2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题导数的热点问题教学案文

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专题04 导数及其应用(教学案) 2019年高考数学(理科)考纲解读与热点难点突破 Word版含解析

【2019年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；【重点、难点剖析】1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式∈(2)导数的四则运算①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎡⎦⎤u x v x ′＝u x v x －u x vx[v x 2(v (x )≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数 y ＝x ＋sin x . 【感悟提升】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．【变式探究】(2018·全国Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．答案 2x －y ＝0解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)， ∴切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线的切线，则b = ．【答案】1ln 2-【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x'=，对求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线相切于点222(,)P x y ，则，由点111(,)P x y 在切线上得，由点222(,)P x y 在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【举一反三】(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________．解析 ∵(e x )′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎪⎪⎝⎛⎭⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)．答案 (1，1)【变式探究】 (1)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1(2)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义． (2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力．【答案】(1)C (2)－3【感悟提升】1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．题型二、利用导数研究函数的单调性【例2】已知函数f (x )＝2e x －kx －2. (1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)内的单调性；(2)若存在正数m ，对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立，求正实数k 的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝2e x －k ，x ∈(0，＋∞)，因为x >0，所以2e x >2.当k ≤2时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增．当k >2时，由f ′(x )>0得x >ln k2，此时f (x )单调递增；由f ′(x )<0得0<x <ln k2，此时f (x )单调递减．综上，当k ≤2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，ln k2内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln k2，＋∞内单调递增．校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． (1)求m 的值；校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留一位小数) 【解析】解 (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10. (2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)10x －2＋4(x －6)2＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x ) <0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．【规律方法】在利用导数求实际问题中的最大值和最小值时，不仅要注意函数模型中的定义域，还要注意实际问题的意义，不符合的解要舍去．题型五利用导数解决不等式的有关问题【例5】(2016·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围． (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －ax －x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －ax －x ＋1，则g ′(x )＝1x －2ax ＋2＝x 2＋－a x ＋1xx ＋2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －2－1，x 2＝a －1＋a －2－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )＜0. 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．【举一反三】 (2015·湖南，21)已知a ＞0，函数f (x )＝e ax sin x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点，证明： (1)数列{f (x n )}是等比数列； (2)若a ≥1e 2－1，则对一切n ∈N *，x n ＜|f (x n )|恒成立. 证明 (1)f ′(x )＝a e ax sin x ＋e ax cos x ＝e ax (a sin x ＋cos x ) ＝a 2＋1e ax sin(x ＋φ)，其中tan φ＝1a ，0＜φ＜π2.令f ′(x )＝0，由x ≥0得x ＋φ＝m π，即x ＝m π－φ，m ∈N *，对k ∈N ，若2k π＜x ＋φ＜(2k ＋1)π，即2k π－φ＜x ＜(2k ＋1)π－φ，则f ′(x )＞0；若(2k ＋1)π＜x ＋φ＜(2k ＋2)π，即(2k ＋1)π－φ＜x ＜(2k ＋2)π－φ，则f ′(x )＜0. 因此，在区间((m －1)π，m π－φ)与(m π－φ，m π)上， f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－φ(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－φ(n ∈N *)．此时，f (x n )＝e a (n π－φ)sin(n π－φ)＝(－1)n ＋1e a (n π－φ)sin φ.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋2e a [（n ＋1）π－φ]sin φ（－1）n ＋1e a （n π－φ）sin φ＝－e a π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝e a (π－φ)sin φ，公比为－e a π的等比数列．(2)由(1)知，sin φ＝1a 2＋1，于是对一切n ∈N *； x n ＜|f (x n )|恒成立，即n π－φ＜1a 2＋1e a (n π－φ)恒成立，等价于a 2＋1a ＜e a （n π－φ）a （n π－φ）(*)恒成立，因为(a ＞0)．设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t 2.令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减；当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增．从而当t ＝1时，函数g (t )取得最小值g (1)＝e. 因此，要使(*)式恒成立，只需a 2＋1a＜g (1)＝e ，即只需a ＞1e 2－1.。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质教学案理2

专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T ＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用. 【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】 (2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1 (1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．【答案】(1)C (2)(－∞，2]【解析】(1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题．要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x ＞0，解得x ＞1或x ＜0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)结合图形，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，解得a ≤ 2. 【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型二、函数的图象及其应用【例2】(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B【方法技巧】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法． (2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B选项；当[]0,2x ∈时，()=4e xf x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题17圆锥曲线教学案文含解析.pdf

圆锥曲线【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M .2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．二、圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝＝.ca1－(b a )2(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝＝.c a1＋(b a )22．双曲线－＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．x 2a 2y 2b 2ba三、直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．【高考题型示例】题型一、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)[2018·天津卷]已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与x 2a 2y 2b2双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1x 24y 212x 212y 24C.－＝1 D.－＝1x 23y 29x 29y 23【解析】如图，不妨设A 在B 的上方，则A ，B .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝＝＝2b ＝6，∴(c ，b 2a )(c ，－b 2a )bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 22bc c b ＝3.又由e ＝＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴ a ＝.c a3∴ 双曲线的方程为－＝1.x 23y 29故选C.①②联立，解得a ＝3且b ＝4，可得双曲线的方程为－＝1.x 29y 216(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝x3答案　C解析　如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设＝a ，则由已知得＝2a ，|BF ||BC |由抛物线定义，得＝a ，故∠BCD ＝30°，|BD |在Rt△ACE 中，∵＝|AF |＝3，＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |，|AE ||AC |∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，＝3a ＝3.|FC |∴p ＝＝＝，|FG |12|FC |32因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.题型二　圆锥曲线的几何性质例2、(2018·北京)已知椭圆M ：＋＝1(a >b >0)，双曲线N ：－＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆Mx 2a 2y 2b 2x 2m 2y 2n2的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．答案　－1　23解析　方法一　双曲线N 的渐近线方程为y ＝±x ，则＝tan 60°＝，∴双曲线N 的离心率e 1满足e ＝1＋nm n m321＝4，∴e 1＝2.n 2m 2由Error!得x 2＝.a 2b 23a 2＋b 2如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2.∴＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0，4a 2b 23a 2＋b2∴3－－2＝0，解得＝2－3.6b 2a2(b 2a 2)b 2a23∴椭圆M 的离心率e 2满足e ＝1－＝4－2.2b 2a23∴e 2＝－1.3方法二　双曲线N 的渐近线方程为y ＝±x ，n m则＝tan 60°＝.n m3又c 1＝＝2m ，∴双曲线N 的离心率为＝2.m 2＋n 2c 1m如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋＝2a ，3∴a ＝.1＋32∴椭圆M 的离心率为＝＝－1.c 2a 21＋33【变式探究】(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为的直线与C 交于M ，N23两点，则·等于( )FM → FN →A ．5B ．6C ．7D ．8答案　D解析　由题意知直线MN 的方程为y ＝(x ＋2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error!或Error!不妨设点M 的坐标为(1,2)，点N 的坐标为(4,4)．又∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．FM → FN →∴·＝0×3＋2×4＝8.FM → FN →故选D.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与Cx 23的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( )A. B ．3 C ．2 D ．4323答案　B解析　由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝± x .13设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，1333所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝.3则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝·tan 60°＝3.3故选B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017·全国Ⅱ)若双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的x 2a 2y 2b2弦长为2，则双曲线C 的离心率为________．【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，Bx 2a 2y 2b2两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝，则椭圆E 的离心率为( )35A. B. C. D.12233222答案　D解析　设|F 1B |＝k ，(k >0)依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .∵cos∠AF 2B ＝，35在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ，∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－(2a －3k )(2a －k )，65化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ，∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形．∴c ＝a ，椭圆的离心率e ＝＝.22ca 22(2)已知双曲线M ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，＝2c .若双曲线M 的右支上存在x 2a 2y 2b 2|F 1F 2|点P ，使＝，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )a sin ∠PF 1F 23csin ∠PF 2F 1A. B.(1，2＋73)(1，2＋73]C ．(1,2) D.(1，2]答案　A解析　根据正弦定理可知＝，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1|PF 2||PF 1|所以＝，即|PF 2|＝|PF 1|，|PF 2||PF 1|a 3c a3c＝2a ，|PF 1|－|PF 2|所以＝2a ，解得＝，(1－a 3c )|PF 1||PF 1|6ac3c －a而>a ＋c ，即>a ＋c ，|PF 1|6ac3c －a整理得3e 2－4e －1<0，解得<e <.2－732＋73又因为离心率e >1，所以1<e <，故选A.2＋73【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，x 2a 2y 2b2点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )36A. B. C. D.23121314答案　D解析　如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝，|BF 2|＝1，3故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan∠PAB ＝＝＝，|PB ||AB |3a ＋236解得a ＝4，所以e ＝＝.c a 14故选D.(2)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点且与双曲线C 的一条渐近线垂直，x 2a 2y 2b 2(23a ，0)以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝c ，则双曲线C 的423渐近线方程为( )A ．y ＝±x B ．y ＝±x 23C ．y ＝±2x D ．y ＝±4x答案　B解析　方法一　由题意可设渐近线方程为y ＝x ，b a则直线l 的斜率k l ＝－，a b 直线l 的方程为y ＝－，a b (x －23a )整理可得ax ＋by －a 2＝0.23焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝＝，|ac －23a 2|a 2＋b 2|ac －23a 2|c则弦长为2＝2＝c ，c 2－d 2c 2－(ac －23a 2)2c 2423整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得＝0.(e －1)(e －2)(e 2＋3e －2)又双曲线的离心率e >1，则e ＝＝2，c a所以＝＝＝，ba c 2－a 2a 2(c a)2－13所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .3方法二　圆心到直线l 的距离为＝，c 2－(223c )2c3∴＝，|ac －23a 2|cc 3∴c 2－3ac ＋2a 2＝0，∴c ＝2a ，b ＝a ，3∴渐近线方程为y ＝±x .3题型三　直线与圆锥曲线例3、(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解　(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝.2k 2＋4k2所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝.4k 2＋4k2由题意知＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.4k 2＋4k2因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.【变式探究】(2018·天津)设椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为，x 2a 2y 2b 253点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6.2(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若＝sin∠AOQ (O|AQ ||PQ |524为原点)，求k 的值．解　(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有＝，c 2a 259又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝b ，2由|FB |·|AB |＝6，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.2所以椭圆的方程为＋＝1.x 29y 24(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝，而∠OAB ＝，y 2sin ∠OABπ4所以|AQ |＝y 2.2由＝sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.|AQ ||PQ |524由方程组Error!消去x ，可得y 1＝ .6k9k 2＋4由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组Error!消去x ，可得y 2＝.2kk ＋1由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝3，两边平方，9k 2＋4整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝或k ＝.121128所以k 的值为或.121128【变式探究】[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为的直线与C 交于M ，N23两点，则·＝( )FM → FN →A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝(x ＋2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error!或Error!不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．FM → FN →∴·＝0×3＋2×4＝8.FM → FN →故选D.【答案】D【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.【变式探究】(2017·天津)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，x 2a 2y 2b 2△EFA 的面积为.b 22(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 3c 2与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为.1m由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为＋＝1，x 2c y c即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝，y ＝， 2m －2 c m ＋23c m ＋2即点Q 的坐标为.( 2m －2 c m ＋2，3c m ＋2)由已知|FQ |＝，3c 2有2＋2＝2，[ 2m －2 c m ＋2＋c ](3c m ＋2)(3c 2)整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝(m ＝0舍去)，43即直线FP 的斜率为.34进而可得|FP |＝＝， c ＋c 2＋(3c 2)25c 2所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝－＝c .5c 23c 2由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝×＝，3c 2349c 8所以△FQN 的面积为|FQ ||QN |＝.1227c 232同理△FPM 的面积等于.75c 232由四边形PQNM 的面积为3c ，得－＝3c ，75c 23227c 232整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.x 216y 212【变式探究】已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．x 2a 2y 2b2(1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝a ，求椭圆的离心率；12(2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝，求椭圆的短轴与长轴的比值．2a 3a 2＋b 2解　(1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ，∴|AB |＝＝a ，2b 2a 12即a 2＝4b 2，故e ＝＝＝＝.c aa 2－b 2a 21－b 2a 232(2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，联立Error!消去y ，得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0，Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，2a 2c a 2＋b 2a 2 c 2－b 2 a 2＋b 2∴|AB |＝|x 1－x 2|1＋1＝·＝·2 x 1＋x 2 2－4x 1x 228a 2b 4a 2＋b 2＝＝，4ab 2a 2＋b 22a 3a 2＋b 2∴a 2＝2b 2，∴＝，b 2a 212∴＝，即椭圆的短轴与长轴之比为.2b 2a 2222【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x )(x 0≠0)．20(1)求直线AB 的方程；(2)求的值．|OB ||OD |解　(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0.所以直线AB 的方程y －x ＝2x 0(x －x 0)，20即y ＝2x 0x －x ，20即直线AB 的方程为2x 0x －y －x ＝0.20(2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x ，20所以AB 的中点坐标为.(x 02，0)设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 0.12由Error!联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x ＝0.1420Δ＝(mx 0－1)2－4×m 2×＝1－2mx 0>0，x 204即mx 0<.12因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝，1－mx 0m 2y 1y 2＝3y ＝.2x 204m 2所以＝， 1－mx 0 216m 4x 2012m 2解得mx 0＝－3±2，满足Δ>0.3所以点D 的纵坐标y D ＝－＝，x 02m x 206±43故＝＝4±6.|OB ||OD ||y B ||y D |3。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题19概率与统计教学案理含解析20190330267

概率与统计【2019年高考考纲解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．【重点、考点剖析】一、排列组合与计数原理的应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2. 个元素，元素无重复二、二项式定理 1．通项与二项式系数T r ＋1＝C r n a n －r b r，其中C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．2．各二项式系数之和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n. (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.三、古典概型与几何概型 1．古典概型的概率公式P(A)＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积.试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积四、相互独立事件和独立重复试验1．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.2．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.五、离散型随机变量的分布列、均值与方差1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18C．16 D．10解析：分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.选D.答案：D【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A．120种 B．156种C．188种 D．240种解析：解法一记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为A22A33，A22A33，C12A22A33，C13A22A33，C13A22A33，故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．解法二记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．答案：A【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( ) A．120种B．156种C．188种D．240种答案 A解析当“数”排在第一节时有A22·A44＝48(种)排法，当“数”排在第二节时有A13·A22·A33＝36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A22·A33＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A12·A22·A33＝24(种)排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法．(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为( )A．9 B．10 C．11 D．12答案 D解析根据题意个位数需要满足要求：n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴个位数可取0,1,2三个数，∵十位数需要满足：3n<10，∴n<3.3，∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．【变式探究】(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A．18种B．24种C ．36种D ．48种答案 C解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6(种)抢法；若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A 23＝6(种)抢法．根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )A.9种 B ．18种 C ．12种 D ．36种答案 B解析若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．题型二二项式定理例2、(1)[2018·全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80【解析】 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为Tr ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r，令10－3r ＝4，得r＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. 故选C. 【答案】C【变式探究】(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________. 答案 16 4解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16.a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.【变式探究】(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案 660【变式探究】若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( )A ．22 018－1 B ．82 018－1 C ．22 018 D ．82 018【解析】由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.所以ξ的分布列为E ξ＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.题型五离散型随机变量的分布列、均值与方差例5、[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【解析】(1)解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为502 000＝0.025.(2)解：设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解.3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．解析：(1)∵EX1＝6，∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2，又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5，∴由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件， ∴其性价比为66＝1，∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件， ∴其性价比为4.84＝1.2，又1.2＞1，∴乙厂的产品更具可购买性．。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题函数与方程思想数形结合思想教学案文

函数与方程思想、数形结合思想【2019年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 例1.若0<x 1<x 2<1，则( )A.21e e x x ->ln x 2－ln x 1B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1C.1221e >e x x x xD.1221e <e x x x x答案 C解析设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确；设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴1221e >e x x x x ，故选C.例2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________. 答案 (－∞，0)例3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －＋x －2>0，x －＋x －2>0，解得x >2或x <－1.例4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 答案 [－6，－2]解析当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3.令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x4＝－x －x ＋x4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 例5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23答案 D解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.例6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 答案 C例7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 答案 12解析由已知得，等差数列{a n }的公差d >0，设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称，故S n 取最小值时n 的值为12.例8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 答案－9解析由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9. 题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例9.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.例10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D. 3 答案 B解析因为∠PAQ ＝60°，|AP |＝|AQ |，所以|AP |＝|AQ |＝|PQ |，设|AQ |＝2R ，又OQ →＝3OP →，则|OP |＝12|PQ |＝R .双曲线C 的渐近线方程是y ＝b ax ，A (a ，0)，所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－2＝aba 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，在△OQA 中，由余弦定理得，例10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案 D解析如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt△F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.例11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12. 例12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________.答案 2 2解析连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l 时，S 四边形PACB 有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.。

专题04 导数及其应用(教学案) 2019年高考数学(文科)考纲解读与热点难点突破 Word版含解析

【2019年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 【重点、难点剖析】1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的四则运算①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎡⎦⎤u x v x ′＝u x v x －u x vx [v x 2(v (x )≠0)． 3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x .4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．6．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立；(2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立；(3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )＞0的必要不充分条件.【题型示例】题型一、导数的几何意义【例1】(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D解析方法一 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.方法二 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数，∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【举一反三】(2018·全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析因为y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.【变式探究】若函数f (x )＝ln x (x >0)与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫ln 12e ，＋∞ B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－ln 2，＋∞)答案 A解析设公切线与函数f (x )＝ln x 切于点A (x 1，ln x 1)(x 1>0)，则切线方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)．设公切线与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a 切于点B (x 2，x 22＋2x 2＋a )(x 2<0)，则切线方程为y －(x 22＋2x 2＋a )＝2(x 2＋1)(x －x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝2(x 2＋1)，ln x 1－1＝－x 22＋a ，∵x 2<0<x 1，∴0<1x 1<2.又a ＝ln x 1＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12－1＝－ln 1x 1＋14⎝⎛⎭⎫1x 1－22－1，令t ＝1x 1，∴0<t <2，a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)，则h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0， ∴h (t )在(0,2)上为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1＝ln12e， ∴a ∈⎝⎛⎭⎫ln 12e ，＋∞. 【变式探究】【2016高考新课标2文数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线的切线，则b = ．【答案】1ln 2-【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【举一反三】(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 ∵(e x )′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)．答案 (1，1)【变式探究】 (1)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1(2)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义．(2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力．【感悟提升】1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．题型二、利用导数研究函数的单调性【例2】已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1()m ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意x ∈[]1，e ，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知f ′(x )＝4x －2mx ＝4－2mx 2x(x >0)，当m ≤0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当m >0时，f ′(x )＝4－2mx 2x＝－2m ⎝⎛⎭⎫x ＋2m ⎝⎛⎭⎫x －2m x (x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <2m ；令f ′(x )<0，得 x >2m . ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2m ，＋∞上单调递减．综上所述，当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当m >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2m ，＋∞上单调递减． (2)方法一由题意知4ln x －mx 2＋1≤0在[]1，e 上恒成立，即m ≥4ln x ＋1x 2在[]1，e 上恒成立．令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[]1，e ， ∴ g ′(x )＝2()1－4ln x x 3，x ∈[1，e]，令g ′(x )>0，得1<x <14e ；令g ′(x )<0，得14e <x <e.∴g (x )在⎝⎛⎭⎫1，14e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫14e ，e 上单调递减． ∴g (x )max ＝g 14e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4ln e 14＋1⎝⎛⎭⎫e 142＝2e e ， ∴m ≥2e e. 方法二要使f (x )≤0恒成立，只需f (x )max ≤0，由(1)知，若m ≤0，则f (x )在[]1，e 上单调递增． ∴f (x )max ＝f (e)＝4－m e 2＋1≤0，即m ≥5e2，这与m ≤0矛盾，此时不成立．若m >0，(ⅰ)若2m ≥e ，即0<m ≤2e2，则f (x )在[]1，e 上单调递增， ∴f (x )max ＝f (e)＝4－m e 2＋1≤0，即m ≥5e 2，这与0<m ≤2e 2矛盾，此时不成立．。

专题03 函数的应用(教学案) 2019年高考数学(文科)考纲解读与热点难点突破 Word版含解析

【2019年高考考纲解读】1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．【重点、难点剖析】热点一函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．【题型示例】题型一函数的零点例1、(1)方程4sin πx＝21－x在[－2,4]内根的个数为() A．6 B．7 C．5 D．8答案 D解析由原方程得2sin πx＝11－x，同一坐标系中作出函数y1＝11－x和y2＝2sin πx的图象如图所示．由图象可知，共有8个交点，故选D.(2)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (1－x )，且当x ∈[－4,1)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪1x －1，g (x )＝2sin ωx 是以1为最小正周期的函数，则函数F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[－3,5]的所有零点之和等于( )A ．17B ．16C ．4D ．2答案 A所以可作出当x ∈[－3,5]时，函数f (x )与g (x )的图象如图所示，根据两个函数图象的交点及函数图象的对称性可设交点的横坐标由左到右依次为x 1，x 2，x 3，…，x 16，交点的横坐标间的关系为x 1＋x 16＝2，x 2＋x 15＝2，x 3＋x 14＝2，…，x 8＋x 9＝2，所以F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[－3,5]的所有零点之和等于1＋x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 15＋x 16＝1＋2×8＝17，故选A.【感悟提升】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定．(2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．【变式探究】(1)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个答案 B解析由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )周期为2，作函数f (x )和g (x )的图象，图中，g (3)＝3－log 23>1＝f (3)，g (5)＝3－log 25<1＝f (5)，可得有两个交点，所以选B.(2)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 A解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．题型二函数的零点与参数的范围例2、(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.【变式探究】(2018·天津)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．答案 (4,8)解析作出函数f (x )的示意图，如图．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ1＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0. 由Δ2＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)．综上，得4<a <8.【感悟提升】(1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数．(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．【变式探究】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <2，－(x －3)2＋2，x ≥2，若关于x 的方程f (x )－k ＝0有唯一一个实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 [0,1)∪(2，＋∞)解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，－(x －3)2＋2，x ≥2的图象如图所示，结合图象可以看出当0≤k <1或k >2时符合题设．【变式探究】已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (3,5)解析 ∵偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，∴f (x －2)＝f (x －1－1)＝1f (x －1)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为2，在区间[－1,3]内函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点等价于函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，解得3<a <5.题型三函数的实际应用问题例3、经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎨⎧ 175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x 60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？(2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x. ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130 ≥85⎝⎛⎭⎫2x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值16. ②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数．当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少．【感悟提升】(1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题04导数及其应用教学案文含解析

导数及其应用【2019年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 【重点、难点剖析】1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的四则运算①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝ux v x －u x vx[v x ]2(v (x )≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x .4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值． 6．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )＞0的必要不充分条件. 【题型示例】题型一、导数的几何意义【例1】(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x 答案 D解析方法一 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 故选D.方法二 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 故选D.【举一反三】(2018·全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析因为y ′＝2x，y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.【变式探究】若函数f (x )＝ln x (x >0)与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12e ，＋∞ B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－ln 2，＋∞) 答案 A解析设公切线与函数f (x )＝ln x 切于点A (x 1，ln x 1)(x 1>0)，则切线方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)．设公切线与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a 切于点B (x 2，x 22＋2x 2＋a )(x 2<0)，则切线方程为y －(x 22＋2x 2＋a )＝2(x 2＋1)(x －x 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝x 2＋，ln x 1－1＝－x 22＋a ，∵x 2<0<x 1，∴0<1x 1<2.又a ＝ln x 1＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12－1＝－ln 1x 1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－22－1，令t ＝1x 1，∴0<t <2，a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)，则h ′(t )＝12t －1－1t ＝t －2－32t <0，∴h (t )在(0,2)上为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1＝ln 12e，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12e ，＋∞. 【变式探究】【2016高考新课标2文数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线的切线，则b = ．【答案】1ln2-【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【举一反三】(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 ∵(e x)′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)．答案 (1，1)【变式探究】 (1)曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1(2)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义． (2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力．【感悟提升】1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．题型二、利用导数研究函数的单调性【例2】已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1()m ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意x ∈[]1，e ，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知f ′(x )＝4x －2mx ＝4－2mx2x(x >0)，当m ≤0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当m >0时，f ′(x )＝4－2mx2x＝－2m ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2m ⎝⎛⎭⎪⎫x －2m x(x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <2m；令f ′(x )<0，得 x >2m.∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2m，＋∞上单调递减．综上所述，当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当m >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫2m，＋∞上单调递减．(2)方法一由题意知4ln x －mx 2＋1≤0在[]1，e 上恒成立，即m ≥4ln x ＋1x2在[]1，e 上恒成立．令g (x )＝4ln x ＋1x2，x ∈[]1，e ， ∴ g ′(x )＝2()1－4ln x x3，x ∈[1，e]，令g ′(x )>0，得1<x <14e ；令g ′(x )<0，得14e <x <e.∴g (x )在⎝⎛⎭⎫1，14e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫14e ，e 上单调递减． ∴g (x )max ＝g 14e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4ln e 14＋1⎝⎛⎭⎫e 142＝2ee ，∴m ≥2e e.方法二要使f (x )≤0恒成立，只需f (x )max ≤0，由(1)知，若m ≤0，则f (x )在[]1，e 上单调递增． ∴f (x )max ＝f (e)＝4－m e 2＋1≤0，即m ≥5e 2，这与m ≤0矛盾，此时不成立．若m >0， (ⅰ)若2m ≥e，即0<m ≤2e2，则f (x )在[]1，e 上单调递增， ∴f (x )max ＝f (e)＝4－m e 2＋1≤0，即m ≥5e 2，这与0<m ≤2e 2矛盾，此时不成立．(ⅱ)若1<2m <e ，即2e2<m <2，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤2m，e 上单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2m ＝4ln 2m－1≤0，即2m ≤14e ，解得m ≥2e e. 又∵2e 2<m <2，∴2e e ≤m <2，(ⅲ)若0<2m≤1，即m ≥2，则f (x )在[]1，e 上单调递减，则f (x )max ＝f (1)＝－m ＋1≤0， ∴m ≥1. 又∵m ≥2， ∴m ≥2.综上可得m ≥2e e .即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e e ，＋∞.【变式探究】 (2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增． (2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x.当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x，则h ′(x )＝－x e x<0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x－1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)单调递增．而g (0)＝0，故e x≥x ＋1.当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2，(1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)，取x 0＝5－4a －12，则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0，故f (x 0)>ax 0＋1. 当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．【变式探究】【2016高考山东文数】已知.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明对于任意的[]1,2x ∈成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；.当0≤a ， )1,0(∈x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；，)(x f 单调递减.当0>a 时，.（1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a ，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，，]2,1[∈x ，令，]2,1[∈x .则，由可得，当且仅当1=x 时取得等号.又，设，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，因为，所以在]2,1[上存在0x 使得),1(0x x ∈ 时，时，0)(<x ϕ，所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减，由于，因此，当且仅当2=x 取得等号，所以，即对于任意的]2,1[∈x 恒成立。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案(文科)含解析

坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．题型二参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三极坐标参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)．(1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)，则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max＝2＋14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围．【解析】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为，故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时， d=8a =；当4a <-时， d由题设得，所以16a =-.综上， 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3±. 【解析】（I ）由可得C 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得，所以l的斜率为3或3-. 【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题10导数的概念及运算(教学案)含解析

1．了解导数概念的实际背景。

2．通过函数图象直观理解导数的几何意义。

3．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数。

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

热点题型一导数的计算例1、求下列函数的导数(1)y ＝e xsin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2。

(4)y ＝ln(1－2x )。

【提分秘籍】导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。

(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。

【举一反三】求下列函数的导数 (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2；(3)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4。

热点题型二导数的几何意义及应用例2、（2018年全国I 卷理数）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.【变式探究】【2017山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【答案】（1）22ππ2y x =-- （2）见解析【解析】（Ⅰ）由题意()22fππ=-又()22sin f x x x =-'，所以()2f ππ'=，因为()00,m =所以当0x >时， ()0,m x > 当0x <时， ()0m x < (1)当0a ≤时， x e a - 0>当0x <时， ()0h x '<， ()h x 单调递减，当0x >时， ()0h x '>， ()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--； (2)当0a >时， ()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln x a =， 2=0x ①当01a <<时， ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时， ()ln 0,0x a e e h x '-， ()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时， ()ln 0,0xae eh x -><'， ()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时， ()ln 0,0xae eh x ->>'， ()h x 单调递增.所以当ln x a =时()h x 取得极大值.当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时， ()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【提分秘籍】导数几何意义的应用及解决(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题教学案理含解析

【2019年咼考考纲解读】导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力•估计以后对导数的考查力度不会减弱•作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在 .【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.例1、已知函数f (x ) = a e 2* — a e x — x e x (a > 0, e = 2.718…，e 为自然对数的底数)，若f (x )》0对于x €R 恒成立.(1)求实数a 的值;In 2 1 1xo，且K+4?三 f(x0)<4.⑴解由找£ =昇(霽—占—克)刁0对于兀€尺恒成立，i 殳的数 ^w = se ±- S-JT,可得^(JT ) = ae 7 — a — Jf^O 对于JT E R 恒成立?Vr (0) =0, /.f Cr)(0),从而盘=o 罡fW 的一牛极小值点>g J Gr) =«*—!, Af 7 (0) = s — 1=0,即 3=1.当 a=l B 寸# ^(x) = s , —1—jj 『(r) = e ?— 10)时,/ W<0, £■(£在(一8, 0)上单调递减,xG (Oj +8)时〉(JT )>0 f y(jr)在+8)上单调递增' ・"Cr)彥血)=0,故a=l-⑵ 证明当 a = 1 时，f (x ) = e 2"— e x — x e x ,f '( x ) = e x (2e x — x — 2).令 h (x ) = 2e x — x — 2,则 h '(x ) = 2e x — 1,•••当 x € ( —a, — In 2)时，h '(x )<0, h (x )在(—g,— In 2)上为减函数; 当 x € ( — In 2 ,+a )时，h'(x )>0, h ( x )在(一In 2 , +^)上为增函数，导数的热点问题⑵ 证明：f (x )存在唯一极大值点••• h( — 1)<0, h( — 2)>0,•••在(—2, — 1)上存在 x = x o 满足 h (x o ) = 0, ••• h(x )在(—g,— In 2)上为减函数， •••当 x € ( —g, x o )时，h (x )>0 , 即f '(x )>0, f (x )在(—g, x o )上为增函数，当 x €(x o ,— In 2)时，h (x )<0 ,即 f '(x )<0, f (x )在(x o ,— In 2)上为减函数，当 x € ( — In 2,0) 时，h (x )< h (0) = 0, 即f '(x )<0, f (x )在(—In 2,0)上为减函数, 当 x € (0，+g )时，h (x )> h (0) = 0, 即f '(x )>0, f (x )在(0，+g )上为增函数， • f (x )在(一In 2 ,+g )上只有一个极小值点 0,综上可知，f (x )存在唯一的极大值点 x o ,且 x o € ( — 2, — 1).xoh ( x o ) = 0,「・2 e— X o — 2= 0,2x + 2x 11< ,• f (x o )<4；t in 21e € ( — 2,— 1),12e 厂 2e + 4e °；In 2 11综上知 2e + 4e 2< f(xo)<4.【方法技巧】用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f (x )在[a ,b ]上是增函数，则①？ x €[a , b ]，则f (a ) < f (x ) < f (b )；②对？ X 1, X 2€[a ,b ],且X 1<X 2，则f (X 1)<f (X 2).对于减函数有类似结论.⑵ 利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值 M 或最小值m )，则对？ x € D,有f (x ) < M 或f (x ) > m .(3)证明 f (x )< g ( x )，可构造函数 F (x ) = f (x ) — g (x )，证明 F (x )<0. 【变式探究】已知函数 f (x ) = ax — In x .x o + 2x o4, X o € ( — 2, — 1),•••当 x € ( — 2, — 1)时，一 4' 2x oXo冷• f ( x o ) = e— e— x o eX o + 1)=(1)讨论f( x)的单调性；— m ,— 1，求证：f (x ) >2 ax — x e ax —1 1 ax — 1(1)解由题意得 f '( x ) = a — x = x (x >0),z\. z\.①当a <0时，则f '(x )<0在(0,+^)上恒成立, ••• f (x )在(0,+^)上单调递减.②当a >0时,1 2设 t = — €(0, e],a⑵若a €则当x € c ，+8,f '(x )>0, f (x )单调递增,当x €，a 〕,f '(x )<0 , f (x )单调递减.综上当a w0时，f (x )在(0 ,+^)上单调递减; 当a >0时，f (x )在y, 1 ”单调递减，在 £⑵ 证明令 g (x ) = f (x ) — 2ax + x e ax —1,+m 上单调递增.ax — 1 .=x e — ax — In x ,ax — 1ax — 11贝U g (x) = e + ax e — a — 一x ax +x e ax —1 —------------ x --------------- (x >0),/八 I ax - 11 '=(ax + 1) j e —一 =, x ,:设 r ( x ) = x e ax —1— 1(x >0), 则 r '(x ) = (1 + ax )e ax —1(x >0),ax — 1 亠• e >0,•••当 x € 0,,r '(x )>0, r (x )单调递增;当x €1a,r '(x )<0, r (x )单调递减. •••当 0<x <—时，g '(x )<0，当 x>-时，g '(x )>0,a• • r (x ) max = r A + 1 a eea ，+8 j 上单调递增,) t 2心i' 1则ga = h(t) = g-In t + 1(0<t <e),1 1 2h '(t ) = e — - w 0, h (t )在(0, e ］上单调递减, e t ••• h(t) > h(e 2) = 0;g (x ) >0,故 f (x ) >2 ax — x e ax —1.题型二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.例 2、(2018 •全国 n )已知函数 f (x ) = e x — ax 2. (1)若 a = 1，证明：当 x >0 时，f (x ) > 1 ；⑵若f (x )在(0，+^)上只有一个零点，求a(1)证明当 a = 1 时，f (x ) >1 等价于(x 2+ 1)e —x — 1 w 0.设函数 g (x ) = (x 2+ 1)e —x — 1，则 g '( x ) = — (x 2— 2x + 1) •e —x =— (x — 1)2e —x .当x ^1时，g '(x )<0，所以g (x )在(0，+m )上单调递减. 而 g (0) = 0，故当 x >0 时，g (x ) w 0，即即 f (x ) > 1.2 — x⑵解设函数h (x ) = 1 — ax e .f (x )在(0，+^)上只有一个零点等价于h ( x )在(0，+^)上只有一个零点.(i )当 a wo 时，h (x )>0，h (x )没有零点; (ii)当 a >0 时，h '(x ) = ax (x — 2)e —x .当 x € (0,2)时，h '(x )<0 ;当 x € (2，+^)时，h '(x )>0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，+s )上单调递增. 4a故h (2) = 1 — 2是h (x )在(0，+^)上的最小值.e①若 ②若 ③若2eh (2)>0，即即 a <4，h (x )在(0，+^)上没有零点. 2 eh (2) = 0，即a= ，h (x )在(0，+^)上只有一个零点.4 2eh (2)<0，即卩 a >4，因为 h (0) = 1，所以h ( x )在(0,2)上有一个零点；33X 2 16a 16a由(1)知，当 x >0 时，e >x ，所以 h (4 a ) = 1 — 4a = 1 — 2a 2>1 e e16a 32a4= 1 —1 >0,故 h (x )在(2,4 a )上有 a一个零点.因此h(x)在(0，+^)上有两个零点.2e 综上，当f (x )在(0,+^)上只有一个零点时，a = 4.【感悟提升】 ⑴ 函数y = f (x ) — k 的零点问题，可转化为函数 y = f (x )和直线y = k 的交点问题. (2)研究函数y =f (x )的值域，不仅要看最值，而且要观察随x 值的变化y 值的变化趋势.【变式探究】设函数 f (x ) = e x — 2a — ln( x + a ), a € R, e 为自然对数的底数. (1)若a >0,且函数f (x )在区间［0 ,+s )内单调递增，求实数 a 的取值范围；⑵ 若0<a <2,试判断函数f (x )的零点个数.解 ⑴丁函数心)在【5 +甸内单调递増，:(Jr) = e ，----------- 在［(b +8)内恒成立.jr+ a即&厂在［0』+8)内恒成立. 记 — e -J —JT ,则 f Cr) = - e _r -l<0 恒成立,弋3在区间［0, +8)內单调递拆b即实数右的取值范围为［1, +8匚⑵•/0<a <2, f ，(x) = e x — x +a (x >— a )，记 h (x ) = f '(x )，贝U h '(x ) = e x + —+>0,x + a 知f ' (x)在区间(一a ,+^ )内单调递增.1 1又••• f ' (0) = 1 — a <0, f ' (1) = e — a + 1>0,当一a <x <x °时，f '(x )<0, f (x )单调递减; 当x >x 。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案文(含解析)

坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a ＋y 2b ＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．题型二参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三极坐标参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)．(1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)，则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max＝2＋14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围．【解析】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为，故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时， d=8a =；当4a <-时， d由题设得，所以16a =-.综上， 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =l 的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（I ）由可得C 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得，所以l【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题03函数的应用教学案理含解析

函数的应用【2019年咼考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1) ①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围.⑵函数简单性质的综合考查•函数的实际应用问题.(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查.利用函数性质解决相关的最值•题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法.【重点、难点剖析】1 •函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x) = 0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) = f (x) —g(x)的零点就是方程f(x) = g(x)的根，即函数y = f (x)的图象与函数y= g(x)的图象交点的横坐标.(3) 零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) • f (b)<0，那么，函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点，即存在c€(a, b)使得f (c) = 0,这个c也就是方程f (x) = 0的根.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.(4) 二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2. 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反馈文字语言? 数学语言? 数学应用？检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导11数的有关知识加以综合解答.3. 在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x),即把方程写成f(x) = g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系•【题型示例】题型一函数的零点一f(x) _ I c * % w ? 一例1、(2018年全国I卷理数)已知函数J Unx, x>0. 能)=.若g( x)存在2个零点.，则a 的取值范围是A. [ - 1, 0)B. [0 , +R)C. [ - 1 , +R)D. [ 1, +R)【答案】C【解析】画出函数画的图像，匚司在y轴右侧的去掉，再画出直线庄m,之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个有两个解，也就是函数回有两个零点，此时满足EKZU, 即心T|,故选C.【答案】C【变式探究】【2017课标3,理11】已知函数■' '- - ■'' 有唯一零点，则a='■•■' 有唯一零点，则a=A. -121B.—3C. 12 D. 1交点，即方程『何=p—日1【答案】CA.21B. 31C. 2D. 1当g x =0时，x =1，当x ::: 1时，g x :: 0，函数g x 单调递减,当x . 1时，g x• 0 ,函数g x单调递增,当x =1时，函数取得最小值g 1 =2 ,设疋f - ，当x = 1时，函数取得最小值一1 ,若m 0 ,函数h(x]与的数ag(x)没有交点」当-日<0时,-咫⑴"⑴时，此时的数阳(对和怨0)有一个交点'即-ax2 =—1 f解得& = * .故选C-【变式探究】(1)(2015 •海南)已知函数.f(x) = In x- 2的零点为x o,贝U x o所在的区间是() A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3) D . (3,4)(2) [ x]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9] = 2, [ —4.1] =- 5.已知f(x) = x —[x]( x€ R), g(x) = log 4(x —1)，则函数h( x) = f (x) - g(x)的零点个数是()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4⑴答案：C 解析："」£严在(山+却上是增ffl数，又加)=蚯 1 一转卜=lnl-2<0?人2)=ln2-打»切，只3尸In 3」寸池5€阳,故选C⑵答案：B解析：函数h(x) = f (x) - g(x)的零点个数可转化为函数f (x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f (x) = x-与函数g (x ) = log 4(x — 1)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交若函数y = f (x ) — a 在区间［—3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是____________________________________________________________________________________________ . 【答案】0, 1【解析】函数y = f (x ) — a 在区间［—3,4］上有互不相同的10个零点，即函数y = f (x ), x € ［ — 3,4］与y = a 一一一一 1 一_的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数 f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0 v a v 2时满足题意.【方法技巧】 1 •确定函数零点的常用方法 (1)解方程判定法，若方程易求解时用此法.⑵零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识.(3) 数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.x + 1, - 1< x <0,[x ] =x , O w x <1, x — 1, 1 w x <2,x 2— 2x +13的函数，当x € [0,3)时,f (x )=2(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式题型二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.解析令 h (x ) = — x — a ,若g (x )存在2个零点，贝y y = f (x )的图象与y = h (x )的图象有2个交点，平移y = h (x )的图象可知，当直线 y = — x — a 过点(0,1)时，有2个交点, 此时 1 = — 0— a , a =— 1.当y =— x — a 在y = — x +1上方，即a <— 1时，仅有1个交点，不符合题意;当y =— x — a 在y = — x + 1下方，即a >— 1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为［—1,+^). 故选C._ _ 一一 1 2【变式探究】已知偶函数f (x )满足f (x — 1) = f ---------- ，且当x € ［ — 1,0］时，f (x )= x ,若在区间［—1,3］内,T x函数g (x ) = f (x ) — log a (x + 2)有3个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________ . 答案 (3,5)1 解析 •••偶函数f (x )满足f (x — 1) = f ---------- ,(组)求解.e x , x w o , 例2、(2018 •全国I )已知函数f (x )=< In x , x >0,取值范围是( )A . [ — 1,0)B . [0 ,+s)C. [ — 1 ,+s )D. [1 ,+s)答案 Cg ( x ) = f (x ) + x + a .若g (x )存在2个零点，则a 的则 g (x ) = f (x ) — h (x ).y = h (x )图象的示意图，如图所示.T x 且当x € ［—1,0］时,f (x) = x2,1••• f (x — 2) = f (x — 1- 1) = f x_］= f (x ),•••函数f (x )的周期为2，在区间［—1,3］内函数g (x ) = f (x ) — log a (x + 2)有3个零点等价于函数 f (x )的图象与y = log a (x + 2)的图象在区间［—1,3］内有3个交点. 当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且f Og a3<1，解得3<a <5.|lOg a 5>1.【感悟提升】(1)方程f (x ) = g (x )根的个数即为函数 y = f (x )和y = g (x )图象交点的个数.⑵ 关于x 的方程f (x ) — vm= 0有解，m 的范围就是函数 y = f (x )的值域.|2x — a , x <0,【变式探究】(2018 •四川省凉山州诊断性检测)已知函数f (x ) =(a € R),若函数f (x )在|3x — a , x >0R 上有两个零点，贝U a 的取值范围是( )A . (0,1]B . [1 ,+s)『严―6 >ft解折；函数斫二应晚尺上有两个険且&卸数血-个施二方程廿―盘在巧Q]上有一个解』再根据当/{-巧0]时，0<2^=1,可得0远1. 故选A.【举一反三】函数f (x ) =，方程[f (x )] 2— (1) f (x ) + 1 — m= 0有4个不相等实根，则 m 的取值范围是e答案 C C. (0,1) U (1,2)答案AD. (—s,1)C.e 2— e + 1 B. ，+mD. e 2— ee 2+ e ，-pm A.号解析根据题意画出函数f (x)的图象.x 1 — x当 x >0 时，f (x ) = r ,贝y f '(x ) = — (X >0), e e1故f (1)=-为f (x )在(0,+s )上的最大值. e2 设 t = f (x ) , t — ( 1) t + 1 — m= 0 有两个根 t i , t 2,由图可知，对应两个 x 值的t值只有一个，故可设11对应一个x 值，t 2对应3个x 值. 右=0，情况为 1t20， e 当属于第一种情况时，将 0代入方程得 m= 1,2 1 此时二次方程t — (m^ 1)t +1 — m= 0的根是确定的，一个为 0, —个为2>-,不符合第一种情况的要求；e 1 m+12— + 1 — m <0,当属于第二种情况时， e e 1 — m>0,2n e — e + 1 即—2 <m <1.e + e题型三、函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域•其解题步骤是： (1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题. (2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式. (3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果. (4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.【例4】经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y (升)与速度x (千米/时)(50 < x < 120)的关系可近似表示为：75 x 2— 130x + 斗肛If ；, 75 y =彳 x12 — 60, x € [80, 120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低?1t1>e ，x € [50 , SO(2)已知A B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解 (1)当 x € [50,80)时， y =秒&― 130x + 4 900) = ^( x — 65) 2+ 675],1当x = 65时，y 有最小值 675= 9.75 当x € [80,120]时，函数单调递减，故当 x = 120时，y 有最小值10.因为9<10,故当x = 65时每小时耗油量最低.(2)设总耗油量为I ，由题意可知I = y •空x①当 x € [50,80)时,120 8,' I = y • —= x + x 5 \ x 4 900 x = ，即x = 70时，I 取得最小值16.x 120 1 440②当x € [80,120]时，I = y ・「= ---------- — 2为减函数.当x = 120时，I 取得最小值10.因为10<16,所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少.【感悟提升】(1) 解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2) 对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨, 一 1 2月处理成本y (兀)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y = ^x — 200x + 80 000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100元.(1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 4 900 ------- —130 x 当且仅当85 4 900 — 130 = 16,(2) 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为'{x • 80 000 - 200= 200, 1 80 000当且仅当-x = -------- ，即x = 400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为2 x⑵设该单位毎月茯利为S 」则 S= 1 OOx-j -1 OO JC - ■字-200x+ £0 000 )= -|x ; + 300^-80 000= -1(^-300)—35 000/因为 400<r<600?所以当时，S 有最大值-4。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质教学案文

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】（2018年江苏卷）函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.【变式探究】【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B【举一反三】【2016年高考四川文数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1 (1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型 2、函数的图象及其应用【例2】（2018年全国IIIA. AB. BC. CD. D 【答案】D【解析】当A,B.排除C ，故正确答案选D.【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时， 0y =，故排除D ；当1x =时， sin201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．【举一反三】【2017课标3，文7】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（）A BD ．C D 【答案】D【解析】当1x =时， ()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C ；当x →+∞时， 1y x →+，故排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B 选项；当[]0,2x ∈时，()=4e x f x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

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导数的热点问题【2019年高考考纲解读】利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大．【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例1、(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1. (1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间； (2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x－1x.由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x .当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)． (2)证明当a ≥1e 时，f (x )≥exe－ln x －1.设g (x )＝e xe －ln x －1(x ∈(0，＋∞))，则g ′(x )＝e xe －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.【方法技巧】用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f (x )在[a ，b ]上是增函数，则①∀x ∈[a ，b ]，则f (a )≤f (x )≤f (b )；②对∀x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)．对于减函数有类似结论．(2)利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值m )，则对∀x ∈D ，有f (x )≤M (或f (x )≥m )． (3)证明f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，证明F (x )<0.【变式探究】(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ax 2＋x －1ex.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥0.题型二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．例2、(2018·天津)设函数f (x )＝(x －t 1)·(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极值；(3)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝－(x －t 2)－63有三个互异的公共点，求d 的取值范围．解 (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.又因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63，函数f (x )的极小值为f (t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.(3)曲线y ＝f (x )与直线y ＝－(x －t 2)－63有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x －t 2＋d )(x －t 2)·(x －t 2－d )＋(x －t 2)＋63＝0有三个互异的实数解．令u ＝x －t 2，可得u 3＋(1－d 2)u ＋63＝0.设函数g (x )＝x 3＋(1－d 2)x ＋63，则曲线y ＝f (x )与直线y ＝－(x －t 2)－63有三个互异的公共点等价于函数y ＝g (x )有三个零点．g ′(x )＝3x 2＋(1－d 2)．当d 2≤1时，g ′(x )≥0，这时g (x )在R 上单调递增，不合题意．当d 2>1时，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－d 2－13，x 2＝d 2－13.可得g (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．所以g (x )的极大值为g (x 1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－d 2－13＝23d 2－329＋63>0.g (x )的极小值为g (x 2)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2－13＝－23d 2－329＋6 3.若g (x 2)≥0，则由g (x )的单调性可知函数y ＝g (x )至多有两个零点，不合题意．若g (x 2)<0，即(d 2－1)32>27，也就是|d |>10，此时|d |>x 2，g (|d |)＝|d |＋63>0，且－2|d |<x 1，g (－2|d |)＝－6|d |3－2|d |＋63<－6210＋63<0，从而由g (x )的单调性，可知函数y ＝g (x )在区间(－2|d |，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，|d |)内各有一个零点，符合题意．所以d 的取值范围是(－∞，－10)∪(10，＋∞)．【感悟提升】(1)函数y ＝f (x )－k 的零点问题，可转化为函数y ＝f (x )和直线y ＝k 的交点问题． (2)研究函数y ＝f (x )的值域，不仅要看最值，而且要观察随x 值的变化y 值的变化趋势．【变式探究】设函数f (x )＝(x －1)e x－k2x 2.(1)当k <1时，求函数f (x )的单调区间； (2)当k ≤0时，讨论函数f (x )的零点个数．(2)f (0)＝－1，①当k <0时，f (1)＝－k2>0，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在[0，＋∞)上只有一个零点．在区间(－∞，0)中，因为f (x )＝(x －1)e x－k2x 2>x －1－k2x 2，取x ＝2k－1∈(－∞，0)，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1>⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1－1－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －12 ＝－k2>0，又f (x )在(－∞，0)上单调递减，故f (x )在(－∞，0)上也只有一个零点，所以函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有两个零点；②当k ＝0时，f (x )＝(x －1)e x在单调递增区间[0，＋∞)内，只有f (1)＝0. 而在区间(－∞，0)内，f (x )<0，即f (x )在此区间内无零点．所以函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上只有唯一的零点．综上所述，当k <0时，函数f (x )有两个零点，当k ＝0时，f (x )只有一个零点．题型三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．例3、罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y 最小？解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝32n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x ＝m ⎝⎛⎭⎪⎫32x ＋x ＋2m －32(0<x <m )． (2)当m ＝96时，f (x )＝96⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＋x ＋160，则f ′(x )＝96⎝⎛⎭⎪⎫12x －32x 2＝48x2(32x －64)．令f ′(x )＝0，得32x ＝64，所以x ＝16.当0<x <16时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,16)内为减函数；当16<x <96时，f ′(x )>0，f (x )在区间(16,96)内为增函数，所以f (x )在x ＝16处取得最小值，此时n ＝9616－1＝5.答需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y 最小．【感悟提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)作答：回归实际问题作答．【变式探究】图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB ＝2x ，BC ＝y .(1)写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度最大．解 (1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx . 所以4＝2x ＋2y ＋πx ，得y ＝4－＋πx2.依题意知0<x <y ，得0<x <44＋π. 所以y ＝4－＋πx 2⎝⎛⎭⎪⎫0<x <44＋π.(2)依题意，得T ＝AB ·S ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2xy －12πx 2＝8x 2－(4＋3π)x 3.令T ′＝16x －3(4＋3π)x 2＝0，得x ＝0或x ＝169π＋12.因为0<169π＋12<4π＋4，所以当0<x <169π＋12时，T ′>0，T 为关于x 的增函数；当169π＋12<x <44＋π时，T ′<0，T 为关于x 的减函数，所以当x ＝169π＋12时凹槽的强度最大.。