(完整版)数学模型第二章习题答案

15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.

解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.

量纲矩阵为：

A=)

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---ρ()()

()()()()(001310013212s v P T M L

齐次线性方程组为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=+=-++0

30

32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y

由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 1

13ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系

数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0

，

[μ]=MLT -2

（LT -1L -1

）-1L -2

=MLL -2T -2

T=L -1

MT -1

，[g ]=LM 0T -2

,其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()

(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即

⎪⎩⎪

⎨⎧==+=+0

2y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)

由量纲i P 定理 得 g v μρπ1

3

--=. 3

ρ

μλg

v =∴，其中λ是无量纲常数.

16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为

[v ]=LM 0T -1

，[ρ]=L -3

MT 0

，[μ]=MLT -2

（LT -1L -1

）-1L -2

=MLL -2T -2

T=L -1

MT -1

，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2

其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为

A=)

()()()()

()()()(210010

11001

1311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----

齐次线性方程组Ay=0 即

⎪⎩

⎪

⎨

⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为

⎪⎩

⎪⎨⎧

---=--=)

21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21

y y

得到两个相互独立的无量纲量

⎩⎨⎧==-----2

/112/32

2

/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==

πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(1

2

1-=πϕπ ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为

0),,,,(=k g m l t f

其量纲表达式为：

1

12120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t

10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(120011010001

010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨

⎧=--=+=+0

200541

5342y y y y y y y 的基本解为

⎪⎩

⎪⎨⎧

--=-=)

1,21

,1,21,0()0,21,0,21,1(21

Y Y 得到两个相互独立的无量纲量

∴g l t =

1π, )(21πϕπ=, 2/12

/12mg kl =π ∴)(2

/12/1mg kl g l t ϕ=

，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

t ,'

t ；l ,'

l ;m ,'

m . 又)(2

/12/1g m l k g l t '''=

'ϕ 当无量纲量

l l m

m '='时， 就有 l

l l g g l t

t '

=

⋅'='

. （三）2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速

率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周

⎩⎨⎧==---2

2

/112/11

2/12/1ππk g m l g tl