1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
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贝叶斯网络, 条件概率、全概率公式
从这个意义上讲， 它是一个“ 执果索因” 从这个意义上讲 ， 它是一个 “ 执果索因 ” 的条件概率计算公式. 的条件概率计算公式. 相对于事件B 而言 ， 概 率 论 中 把 称 为 先 验 概 率 PriorProbability） （PriorProbability），而把称为后验概 Probability） 率 （ Posterior Probability）， 这 是 在已有附加信息（ 已发生） 在已有附加信息 （ 即事件 B 已发生 ） 之后 对事件发生的可能性做出的重新认识， 对事件发生的可能性做出的重新认识，体 现了已有信息带来的知识更新. 现了已有信息带来的知识更新.
条件概率、 §1.5 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式
一、条件概率 简单地说， 简单地说，条件概率就是在一定附加条件之 下的事件概率. 下的事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率， 从广义上看，任何概率都是条件概率，因为 任何事件都产生于一定条件下的试验或观察， 任何事件都产生于一定条件下的试验或观察， 但我们这里所说的“附加条件” 但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条 件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为 件之外的附加信息， 已知某某事件发生了” “已知某某事件发生了”
这一公式最早发表于1763年 这一公式最早发表于1763年，当时贝 1763 叶斯已经去世， 叶斯已经去世，其结果没有受到应有 的重视. 后来， 的重视. 后来，人们才逐渐认识到了 这个著名概率公式的重要性. 叶斯统计已成为机器学习、人工智能、 叶斯统计已成为机器学习、人工智能、 知识发现等领域的重要工具. 知识发现等领域的重要工具. 贝叶斯公式给出了‘结果’ 贝叶斯公式给出了‘结果’事件B 已发生的条件下， 原因’ 已发生的条件下，‘原因’事件的条 件概率. 件概率.
概率论与数理统计课件1.5
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
?
1红4白
12 3
某人从任一箱中任意摸出一球，
?
发现是红球，求该球是取自1号
箱的概率.
1红4白
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
S( AB) S( ) S( A) S( )
P( AB) . P( A)
在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型 中总有
P(B A) P( AB) . P( A)
条件概率的定义
设A、B是某随机试验中的两个事件，且 P A 0
称 P (B | A ) = —P —(A—B )
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
多个事件的乘法公式
设 A1， A2， ， An 为n个随机事件，且
PA1 A2 An1 0
则有
PA1 A2 An PA1 PA2 A1 PA3 A1 A2 P An A1 A2 An1
这就是n个事件的乘法公式．
例 3 乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
AB Ω
《概率学》1.5全概率公式与贝叶斯公式
贝叶斯公式:
设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分， 且P(Ai)>0, i =1,2, …，n． 则对任意事件B，若P(B)>0 则
P(Aj | B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
P(Ai )P(B | Ai )
i1
j 1, 2,..., n
证明:由条件概率的定义及全概率公式有
(2)如果把样本空间的一个划分A1,A2,…,An看作是导 致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求P(Ai|B) 可以用贝叶斯公式.
1 2
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第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
例4 某商店从三个厂家购进一批灯泡，其中甲厂占 25%，乙厂占35%，丙厂占40%。各厂产品的次品率分 别为5%, 4%, 2%. 如果消费者已经买到一个次品灯泡， 问是哪个厂生产的可能性大?
A1
n
A2
P(B) P( Ai)P(B | Ai).
… An
i 1
证明 因为 Ai Aj , (i j).
A3 B …
n
Ai Ai B
Aj B , (i j).
i 1
按概率的可加性及乘法公式有
n
B B ( Ai )B ( A1B A2B AnB),
n i1
n
n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
3 i0
P( Ai)P(B
|
Ai)
3 i0
C9i C33i C132
C3 9i
C132
C33 C132
C93 C132
C91C32 C132
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
由全概率公式得
α = P (B )
= P ( A0 ) P ( B A0 ) + P ( A1 ) P ( B A1 ) + P ( A2 ) P ( B A2 ) = 0.94
1.5.2 贝叶斯公式
(2) 由贝叶斯公式 P ( A0 ) P ( B A0 ) β = P ( A0 B ) = P ( B)
i =1 n
n
n
n
i =1
由假设及乘法公式得到
P ( B ) = ∑ P ( BAi ) = ∑ P ( Ai )P ( B Ai ).
i =1 i =1 n n
利用全概率公式求事件B的概率， 利用全概率公式求事件 的概率，关键是寻求完 的概率 备事件组A1，A2，…，An; 备事件组 ， 寻求完备事件组A 寻求完备事件组 1 ， A2 ， …， An 相当于找导致 ， 事件B发生的所有互不相容的事件 发生的所有互不相容的事件． 事件 发生的所有互不相容的事件．
(1.8)式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式
1.5.2 全概率公式知： 条件概率公式、乘法公式及全概率公式知
P ( BAi ) P ( Ai B ) = P( B)
= P ( B Ai ) P ( Ai )
n
,
j
∑ P( B A )P( A )
下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：
Bayes(贝叶斯 公式 贝叶斯)公式 贝叶斯
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验 的样本空间为Ω ，B为E的事件， 设试验E的样本空间为 的事件， 定理 为 的事件 A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， ， 为完备事件组， ， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则 ， ， ， ， ，
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质： （1）非负性：P A B 0 （2）规范性： P B 1 （3）可列可加性：对任意的一列两两互不相容的事件
Ai i 1,2, 有 P Ai B P Ai B
i 1 i 1
类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质
注意，这不是求条件概率 PA B, PB A
P A PAB AB P AB PAB
A A AB B AB AB
PB P A B P B P A B
3 2 2 3 3 5 4 5 4 5
B2
B3
B1
A
Bn
化整为零 各个击破
说明 全概率公式的主要用途 在于它可以将一个复杂事件的概 率计算问题,分解为若干个简单 事件的概率计算问题,最后应用 概率的可加性求出最终结果.而 这需要对样本空间进行划分.
定理1.2 设B1 , B2 , 是一列互不相容的事件，且 有 Bi , P( Bi ) 0, i 1,2, , 则对任一事件A，有
i 1
P( A) P( Bi ) P( A | Bi ).
i 1
这个公式通常称为全概率公式，它是概率论中 最基本的公式之一。
k AB
2．条件概率的定义和性质
定义： F，P ）是一个概率空间，B F 若（ ， ，且 P AB P（B）>0，则对任意的 A F，称 P A B P B 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概 率。
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （ 2） B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时” 我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 3 1 P B , P A 4 2 A B, 所以AB=A， P AB P A
1.5 条件概率、全概率公式
§1.5 条件概率、全概率公式 贝叶斯公式
目的：掌握条件概率和概率的乘法公式 全概率公式及贝叶斯公式及应用。 重点：条件概率、乘法公式、全概率公 式及贝叶斯公式的掌握和应用。 难点：以上诸公式的灵活应用
一、条件概率及乘法公式
பைடு நூலகம்
引例：某班40名学生中有团员15人。全班分成4
组，其中第一小组有学生10人，其中有4名团员。 如果从班内任选一人作代表，则 （1）该代表恰在第一组的概率是多少？ （2）若选一团员作代表，恰好在第一组的概率是 多少？
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1 4
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.315 3.15%
例1. 5. 6：我们只关心每天是否下雨，把天气
状况分为下雨和不下雨两种。若今天天气状况与 昨天天气状况相同的概率为p，第一天无雨，求 第n 天无雨的概率。
(1. 5. 4)
证明： P( A) P( A ) P[ A (
P[
n n i 1
n
Bi )]
i 1
( ABi )] P( ABi )
i 1
n
P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
这个公式通常称作全概率公式，它是概率论 中最基本的公式之一。
例1. 5. 5：某工厂有四条流水线生产同一种
（４）当 c = 0 , d > 0 时，称为安全模型。此模 型可解释为：每当事故发生了（如红球被取出）， 安全工作就抓紧一点，下次再发生相同事故的概 率就会减少；而当事故没有发生时（如黑球被取 出），安全工作就放松一些，下次再发生事故的 概率就会增大，在这种场合，上述三个概率分别 为：
目的：掌握条件概率和概率的乘法公式 全概率公式及贝叶斯公式及应用。 重点：条件概率、乘法公式、全概率公 式及贝叶斯公式的掌握和应用。 难点：以上诸公式的灵活应用
一、条件概率及乘法公式
பைடு நூலகம்
引例：某班40名学生中有团员15人。全班分成4
组，其中第一小组有学生10人，其中有4名团员。 如果从班内任选一人作代表，则 （1）该代表恰在第一组的概率是多少？ （2）若选一团员作代表，恰好在第一组的概率是 多少？
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1 4
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.315 3.15%
例1. 5. 6：我们只关心每天是否下雨，把天气
状况分为下雨和不下雨两种。若今天天气状况与 昨天天气状况相同的概率为p，第一天无雨，求 第n 天无雨的概率。
(1. 5. 4)
证明： P( A) P( A ) P[ A (
P[
n n i 1
n
Bi )]
i 1
( ABi )] P( ABi )
i 1
n
P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
这个公式通常称作全概率公式，它是概率论 中最基本的公式之一。
例1. 5. 5：某工厂有四条流水线生产同一种
（４）当 c = 0 , d > 0 时，称为安全模型。此模 型可解释为：每当事故发生了（如红球被取出）， 安全工作就抓紧一点，下次再发生相同事故的概 率就会减少；而当事故没有发生时（如黑球被取 出），安全工作就放松一些，下次再发生事故的 概率就会增大，在这种场合，上述三个概率分别 为：
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
全概率公式与贝叶斯公式
可求得:
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只 白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后 再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只 白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后 再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
1-5全概率公式贝叶斯公式1-6伯努利概型
一、全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, A1, A2 ,, An
为 E 的一组事件,若
1 0 Ai Aj , i, j 1,2,, n;
20 A1 A2 An , 则称 A1, A2 ,, An 为样本空间 的一个划分.
A2
A1
A3
A An1
解 因为 P(A C) 0.95,
P(A C) 1 P(A C) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由贝叶斯公式得所求概率为
P(C)P( A C) P(C A)
P(C)P( A C) P(C)P( A C) 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.
n
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
全概率公式
证明 B B B ( A1 A2 An )
BA1 BA2 BAn .
由 Ai Aj (BAi )( BAj )
P(B) P(BA1 ) P(BA2 ) P(BAn ) P(B) P( A1 )P(B | A1 ) P( A2 )P(B | A2 )
P( An )P(B | An )
图示
A2
B
A1
A3
A An1
n
化整为零 各个击破
说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事 件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求出 最终结果.
A2
A1
B
A3
An1 An
例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产 的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, A1, A2 ,, An
为 E 的一组事件,若
1 0 Ai Aj , i, j 1,2,, n;
20 A1 A2 An , 则称 A1, A2 ,, An 为样本空间 的一个划分.
A2
A1
A3
A An1
解 因为 P(A C) 0.95,
P(A C) 1 P(A C) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由贝叶斯公式得所求概率为
P(C)P( A C) P(C A)
P(C)P( A C) P(C)P( A C) 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.
n
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
全概率公式
证明 B B B ( A1 A2 An )
BA1 BA2 BAn .
由 Ai Aj (BAi )( BAj )
P(B) P(BA1 ) P(BA2 ) P(BAn ) P(B) P( A1 )P(B | A1 ) P( A2 )P(B | A2 )
P( An )P(B | An )
图示
A2
B
A1
A3
A An1
n
化整为零 各个击破
说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事 件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求出 最终结果.
A2
A1
B
A3
An1 An
例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产 的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式.
木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料
球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可
能性相同. 若已知取到的球是白球, 问它是木
球的概率是多少？
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件
B 发生的条件概率。记为 PB A
解 据题意，样本空间为 ｛(男,男)，(男, 女)，(女,男), (女, 女)｝. 设A ｛已知一个是女孩｝
｛(男, 女)，(女,男), (女, 女)｝. B {另一个也是女孩｝｛(女, 女)｝.
于是所求事件的概率为
P（B | A） P(AB) 1/ 4 1. P(A) 3/ 4 3
假 设 每 次 乡 试 ， 范 进 考中 的 概 率 为0.3(非 常 小)， 令Ai ｛ 第i次 乡 试 未 考 中 ｝ ，i 1，2， ， 则 他 连 考 十次都不中的概率为 P( A1A2 A10 ) P( A1)P( A2 | A1) P( A10 | A1A2 A9 ) (1 0.3)10 0.0282.
10000小时未坏的概率为1 2，现有一只这种灯泡已经使
用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多
少？
解 设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小
时我们”知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，
即
PB 3 , PA 1
4
2
A B, 所以AB=A， PAB PA
入场 券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的 什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽 取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
《概率论》第1章§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
B1 B2 Bn S
P( Bi ) 0, i 1, 2, , n
则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个分划 将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
B1 B2 B4 B3
A
Bn
上计算然后求和
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
13/22
设 {B1, B2, , Bn} 为样本空间 S 的一个分划，即
S B1 B2 Bn
对任何事件 A 有
A AS AB1 AB2 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | B n ) P( B n )
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( | B)
P( A | B ) 0
3/22
设 P( B) 0, 有
对于任一事件 A有
对于必然事件 S 有
P( S | B) 1
设是 { Ak }两两不相容事件列，则有
P( Ak | B)
k 1 k 1
P( Ak | B)
条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根 据实际问题中的具体意义确定的
第一章 事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
10/22
袋中有 1只红球、n 1只白球，依次将球一个个从 袋中取出. 求第 k 次 (k 1, 2, , n ) 取出红球的概率. 记 Ak { 第 k 次取到红球 } , ( k 1, 2, , n) 则所求概率为 pk P(( A1 是不是所求概率？ P Ak ) Ak 1 Ak )
P( Bi ) 0, i 1, 2, , n
则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个分划 将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
B1 B2 B4 B3
A
Bn
上计算然后求和
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
13/22
设 {B1, B2, , Bn} 为样本空间 S 的一个分划，即
S B1 B2 Bn
对任何事件 A 有
A AS AB1 AB2 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | B n ) P( B n )
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( | B)
P( A | B ) 0
3/22
设 P( B) 0, 有
对于任一事件 A有
对于必然事件 S 有
P( S | B) 1
设是 { Ak }两两不相容事件列，则有
P( Ak | B)
k 1 k 1
P( Ak | B)
条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根 据实际问题中的具体意义确定的
第一章 事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
10/22
袋中有 1只红球、n 1只白球，依次将球一个个从 袋中取出. 求第 k 次 (k 1, 2, , n ) 取出红球的概率. 记 Ak { 第 k 次取到红球 } , ( k 1, 2, , n) 则所求概率为 pk P(( A1 是不是所求概率？ P Ak ) Ak 1 Ak )
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
3
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
§1.5全概率公式与贝叶斯公式
远方来访,他乘火车、轮 船、汽车和飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、 0.4 .如果他乘火车、轮船和汽车来的话,迟到 的概率分别是1/4、1/3、1/12 ,而乘飞机来不 会迟到.(1)求他迟到的概率；(2)如果他迟到了， 则他是乘火车来的概率是多少?
解 给乘火车、轮船、汽车和飞机分别编号 1,2,3,4，设 Ai =｛乘第i种交通工具｝i=1,2,3,4.
显 然 A1B, A2B, , AnB 两 两 不 相 容 ，分配律
有限可加性
P(B)
P
n i 1
Ai B
n
n
P( AiB) P( Ai )P B Ai .
i 1
i 1
乘法公式
3
如果视 A1 , A2 , , An 为“原因”，那么 B 就是“结果”，
解 令 Ai 抽到第i个车间的产品 , i 1 ,
2，3，4，B={抽到次品}． 由全概率公式
4
P(B) P( Ai )P B Ai 0.15 0.04 i 1
0.20 0.03 0.30 0.02 0.35 0.01=2.15%
7
补充例1(P31,B组一、7) 一批零件共6个，其中 合格品4个，不合格品2个，现采用不放回方式 从中取零件两次，每次一个，则第二次取到合 格品的概率为________
11
定理 4 设 为试验E的样本空间，B为E的任一事件，
事件 A1, A2 , , An 为试验E的完备事件组，且
P(B) 0, P Ai 0 , i 1, 2, , n , 则有
P Ai B
P Ai P B Ai
n
(i 1, 2, , n)
解 给乘火车、轮船、汽车和飞机分别编号 1,2,3,4，设 Ai =｛乘第i种交通工具｝i=1,2,3,4.
显 然 A1B, A2B, , AnB 两 两 不 相 容 ，分配律
有限可加性
P(B)
P
n i 1
Ai B
n
n
P( AiB) P( Ai )P B Ai .
i 1
i 1
乘法公式
3
如果视 A1 , A2 , , An 为“原因”，那么 B 就是“结果”，
解 令 Ai 抽到第i个车间的产品 , i 1 ,
2，3，4，B={抽到次品}． 由全概率公式
4
P(B) P( Ai )P B Ai 0.15 0.04 i 1
0.20 0.03 0.30 0.02 0.35 0.01=2.15%
7
补充例1(P31,B组一、7) 一批零件共6个，其中 合格品4个，不合格品2个，现采用不放回方式 从中取零件两次，每次一个，则第二次取到合 格品的概率为________
11
定理 4 设 为试验E的样本空间，B为E的任一事件，
事件 A1, A2 , , An 为试验E的完备事件组，且
P(B) 0, P Ai 0 , i 1, 2, , n , 则有
P Ai B
P Ai P B Ai
n
(i 1, 2, , n)
§1.5 全概率公式与贝叶斯公式
（2） P ( B j A)
P ( AB j ) P ( A)
P(B j )P( A B j ) P ( A)
n P ( Bi ) P ( A Bi )
i 1
P(B j )P( A B j )
由此公式算得： P ( B1 A) 23.1% P ( B2 A) 24.6%
P ( B3 A) 27.7% ห้องสมุดไป่ตู้ ( B4 A) 21.5%
个黑球。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一 球，求此球为白球的概率。 2白 1黑
任取一球 1白 2黑 取一球 乙
P（白）=？
甲
解： 设
A=“最后取出的求为白球” B=“从甲袋中取出的是白球”
由全概率公式：P ( A) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) P ( A B )
答案
补充练习
2 伊索寓言“孩子与狼” 讲的是一个小孩每天到
山上放羊,山里有狼出没。
第一天，他在山上喊： “狼来了，狼来了！”山
下的村民闻声便去打狼
，可到山上，发现狼并 没来，第二天，仍是如 此；第三天狼真的来了 ，可无论小孩怎么喊叫 ，也没有人来救他。现在请你用Bayes公式来分析此寓言中村民对小孩的可 信程度是如何下降的。
0.5% 95% 99.5% 1% 1.47%
P( AB) 0.5% 95% P( B A) 32.3% P( A) 1.47%
例5 一道考题有m个答案，要求学生将其中的一个正确答案选
择出来。某考生知道正确答案的概率为p，而乱猜的概率为1-p， 在乱猜时，m个答案都有机会被他选择，如果他答对了，问确 实知道正确答案的概率是多少？
1-5 条件概率全概率公式与贝叶斯公式
231 321322 2 , 543543543 5
2 ( A ) P ( A ) . 依此类推 P 4 5 5
P ( A A A A ) P ( A A ) P ( A ). n 1 1 2 n 2 2 1 1
例1 一盒子装有4 只产品,其中有板有3 只一等品 1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放 回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” 事 件 B 为“第二次取到的是一等品”试求条件概 解 , 1 ,2 ,3 为一等品 ;4 号为二 . P(B|将产品编号 A). 以 ( i ,j )表示第一次 、 第二次分别取到 i号 、 第
P ( A A ) P ( A A ) P ( A A A A ) 1 2 1 2 1 2 1 2
P ( A ) P ( A A ) P ( A ) P ( A A ) 1 2 1 1 2 1
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P ( A ) P ( A S ) P ( A ( A A A A A A )) 3 3 3 1 2 1 2 1 2
第五节
条件概率
一、条件概率
二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两方面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正 面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已 知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
2 1 A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P (B ) . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB ) P (B ). (BA ) P(BA ), 则P 3 3 4 P ( A)
1-5 条件概率
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？ 如何求取得红球的概率？？？
(2) 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 ,L , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2,L , n ), 则 P ( A ) = P ( A B1 ) P ( B1 ) + P ( A B2 ) P ( B2 ) + L + P ( A非负性 : P ( B A) ≥ 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) = 1, P (∅ B ) = 0;
(3) P( A1 U A2 B) = P( A1 B) + P( A2 B) − P( A1 A2 B);
(4) P ( A B ) = 1 − P ( A B ).
，
(1) 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现 观察其出现 正反两面的情况,设事件 为 正反两面的情况 设事件 A为 “至少有一次 为正面” 事件 事件B为 两次掷出同一面” 为正面”,事件 为“两次掷出同一面”. 现 在来求已知事件A 在来求已知事件 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 发生的概率
2. 乘法公式
设 P ( B ) > 0, 则有 P ( AB ) = P ( A B ) P ( B ).
推广1 : 设 A1 , A2 , A3为事件, 且 P ( A1 A2 ) > 0, 则有
P(A A A ) = P(A )P(A A )P(A A A ). 1 2 3 1 2 1 3 1 2
N ( AB) 6 2 P ( B | A) = = = ′) N (S 9 3
解法二（条件概率的定义法） 解法二（条件概率的定义法） 由于
条件概率全概率公式和贝叶斯公式描述
条件概率全概率公式和贝叶斯公式描述概率（Probability）是用来衡量不同事件发生的可能性的一种数学
概念，它可以由数学公式来表示。
本文将重点介绍概率的三种基本公式：
条件概率公式，全概率公式和贝叶斯公式。
1、条件概率公式：
条件概率是指在已知条件时，一个事件发生的概率，它用来衡量在一
些特定情况下，一些事件发生的可能性，一般用英文缩写表示：P(A，B)，表示在B发生的条件下，A发生的概率，即条件概率公式为：
P(A，B)=P(A∩B)P(B)
其中P(A，B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(A∩B)表示A&B
同时发生的概率，P(B)为B发生的概率。
2、全概率公式：
全概率公式是一种概率计算方法，它用来计算一个事件的概率，即一
个事件发生的总概率和，也称为综合全概率。
它的计算公式为：P（A）=P（A，B1）P（B1）+P（A，B2）P（B2）+……+P（A，Bn）P （Bn）
其中P（A）表示A发生的总概率和，P（A，Bk）表示在Bk发生的条
件下A发生的概率，P（Bk）代表Bk发生的概率，其中k=1,2,3…,n。
3、贝叶斯公式：
贝叶斯公式（Bayes' formula）是一种计算条件概率的方法，它用来
计算一个条件概率，也称为后验概率，它的计算公式为：
P（A，B）=P（B，A）P（A）/P（B）。
1.5 全概率公式和逆贝叶斯公式
件次品，i
0,1,2
；
P( A2 ) P( B | A2 ) 0.257 （2） P( A2 | B) P( B)
例1.29 由于随机干扰，在无线电通讯中发出信号“•”， 收到信号“•”，“不清”，“-” 的概率分别为0.7,0.2,0.1；发 出信号“-”，收到“•”，“不清”，“-”的概率分别为 0,0.1,0.9。已知在发出的信号中，“•”和“-”出现的概率分别 为0.6和0.4， 试分析当收到信号“不清”时，原发信号是“•” 还是“-”的可能性大？ 解：设 A1 表示原发出的信号“•”;A2 表示原发出的信号“-”；
上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方从而解得即有最后利用全概率公式把上述各项概率或其估计值联系起来摸到红球回答是占比率另一种是摸到红球后回答问题2答是这也是一个条件概率它不是别的就是考试作弊同学在全体学生中摸到白球回答是05即一种是摸到白球后回答问题1答是这是一个条件概率它是生日是在7月1日之前的概率一般认为是
i 1
4
（阅读材料）敏感性问题调查方案设计 敏感性问题的调查是社会调查中的一类，如一群人中 参加赌博的比率，吸毒人的比率，学生中看黄色书籍的比 率等调查都属于这类调查，调查的目的是获得感兴趣的比 率。下面以了解大学生考试作弊率为例说明应用全概率公 式处理这类问题的方法 大学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发 展，但考试作弊避着教师进行的，属于不光彩行为，要调 查考试作弊学生在全体学生中所占比率 是一件难事，这 里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实 回答，又能保守个人秘密。经过多年研究与实践，一些心 理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心 是如下两个问题。 问题1：你的生日是在7月1日之前吗？ 问题2：你在考试时作过弊了吗？ 被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题
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解1 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破", 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
j 号产品,则试验的样本空间为 S {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,, (4,1), (4,2), (4,3)}, A {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
PA1 A2 An PA1P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
例3：某种眼镜, 第一次落下时打破的概率为1/2； 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 ； 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求眼镜落下三次而未打破的概率.
例3：某种眼镜, 第一次落下时打破的概率为1/2； 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 ； 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求眼镜落下三次而未打破的概率.
解2
因为 B A1 A1A2 A1 A2 A3且互斥
所以 P(B) 1 P(B) ...
摸球试验 例4 P16 设袋中装有 r 只红球 t 只白球.每次自袋中
二、 乘法定理
设 P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B A).（乘法公式）
设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB)
推广 设 A1, A2,, An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
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例6 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的 占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又 知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问（1） 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
解 （1）设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为"任取一件为i 厂的产品", i 1,2,3. B1 B2 B3 S, Bi Bj , i, j 1,2,3. 由全概率公式得
对每次试验B1 , B2 ,, Bn，
有且只有一个发生。
B2
B3
B1
Bn1 Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S, A 为 E 的事件, B1, B2, , Bn为 S 的一个划分,且 P(Bi ) 0(i 1, 2, , n),
则 P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn )
4 P(A B) 1 P(A| B) 5 P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B)
40 计算、50应用
例1 盒子装有4 只产品,其中3 只一等品,1只二等品.从中 取两次,每次任取一只,作不放回抽样.
设A:“第一次取到一等品” , B :“第二次取到一等 品”,
一、条件概率
10 引入
对于古典概型问题，设试验 E 的样本空间为
S={e1,e2 ,,en }，容量为 n
A容量为m，B容量为v, AB容量为k
由古典概率得
S'=A
P( A) m , P( AB) k , P(B) v ,
n
n
n
P(B | A) k ,
m
可以发现 P(B | A) P( AB) , P( A)
*全概率公式的背景和使用 我们把事件A看作某一过程的结果， 把 B1, B2, , Bn 看作该过程的若干个原因，
每一原因发生的概率已知或可求 即 PBi ;
且每一原因对结果的影响程度已知或可求 即 P A Bi
则可用全概率公式计算结果A发生的概率:
则 P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn )
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的！
研究方法？数学方法？
将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？
1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 杂事件… 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式…
解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a 只
与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球
四次,试求第一、 二次取到红球且第三、 四次取
到白球的概率.
解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件"第 i 次取到红球"
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 )P( A4 A1A2 A3)
4(2) 证明 “A,B恰有一个发生的概率=P(A)+P(B)-2P(AB)”
互斥
证明： P(BA AB) P(BA) P(AB)
P(A) P(AB) P(B) P(AB)
复习：1.4 古典概型
1. 定义 若试验 E 满足下面两点：
1°试验的样本空间只包含有限个元素; 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这种试验称为等可能概型，也称古典概型。
20 定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
若 P(B) 0，同样可称 P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。
时间上：先后； 逻辑上：主从关系
解1：P(B)
A53 A130
解2：P(B) P(A1A2A3)=P A1 P A2 A1 P A3 A1A2
5 43 10 9 8
新内容
P13 例7； P25 9、11
P25 91、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子
中至少有 2 只配成一双的概率是多少？
解一：设 A={4 只鞋子中至少有 2 只配成一双}
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ).
(1) p 4 2 34 2 .
2 2
27
（2）
342
p
2
2
2
34
5 ? 10片中有5片安慰剂；
(1)从中任取5片，求A:? 其中至少有2片安慰剂”的概率；
解：P(A) 1 P(A) =1
(2)每次取1片，不放回地取，
[
C50C55 C150
C15C54 C150
]
求B:? 前三次都取到安慰剂”的概率；
全概率公式
B2
B1
A
B3
Bn1
Bn
证明 A AS A (B1 B2 Bn )
复杂事件
AB1 AB2 ABn .
由 Bi Bj ( ABi )(ABj )
简单事件
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( ABn )
P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn ).
求P解(B1|A)S. 缩减为S', P(B A) 2
3
解2 由条件概率的公式得
P(B A)
P( AB) P( A)
S
n A42 12，nA A31A31 9，nAB A32 6
P(B A) P( AB) 6 /12 2 / 3 P( A) 9 /12
解3 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
(3,1), (3,2), (3,4)},
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)},
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
j 号产品,则试验的样本空间为 S {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,, (4,1), (4,2), (4,3)}, A {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
PA1 A2 An PA1P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
例3：某种眼镜, 第一次落下时打破的概率为1/2； 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 ； 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求眼镜落下三次而未打破的概率.
例3：某种眼镜, 第一次落下时打破的概率为1/2； 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 ； 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求眼镜落下三次而未打破的概率.
解2
因为 B A1 A1A2 A1 A2 A3且互斥
所以 P(B) 1 P(B) ...
摸球试验 例4 P16 设袋中装有 r 只红球 t 只白球.每次自袋中
二、 乘法定理
设 P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B A).（乘法公式）
设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB)
推广 设 A1, A2,, An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
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例6 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的 占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又 知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问（1） 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
解 （1）设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为"任取一件为i 厂的产品", i 1,2,3. B1 B2 B3 S, Bi Bj , i, j 1,2,3. 由全概率公式得
对每次试验B1 , B2 ,, Bn，
有且只有一个发生。
B2
B3
B1
Bn1 Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S, A 为 E 的事件, B1, B2, , Bn为 S 的一个划分,且 P(Bi ) 0(i 1, 2, , n),
则 P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn )
4 P(A B) 1 P(A| B) 5 P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B)
40 计算、50应用
例1 盒子装有4 只产品,其中3 只一等品,1只二等品.从中 取两次,每次任取一只,作不放回抽样.
设A:“第一次取到一等品” , B :“第二次取到一等 品”,
一、条件概率
10 引入
对于古典概型问题，设试验 E 的样本空间为
S={e1,e2 ,,en }，容量为 n
A容量为m，B容量为v, AB容量为k
由古典概率得
S'=A
P( A) m , P( AB) k , P(B) v ,
n
n
n
P(B | A) k ,
m
可以发现 P(B | A) P( AB) , P( A)
*全概率公式的背景和使用 我们把事件A看作某一过程的结果， 把 B1, B2, , Bn 看作该过程的若干个原因，
每一原因发生的概率已知或可求 即 PBi ;
且每一原因对结果的影响程度已知或可求 即 P A Bi
则可用全概率公式计算结果A发生的概率:
则 P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn )
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的！
研究方法？数学方法？
将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？
1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 杂事件… 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式…
解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a 只
与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球
四次,试求第一、 二次取到红球且第三、 四次取
到白球的概率.
解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件"第 i 次取到红球"
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 )P( A4 A1A2 A3)
4(2) 证明 “A,B恰有一个发生的概率=P(A)+P(B)-2P(AB)”
互斥
证明： P(BA AB) P(BA) P(AB)
P(A) P(AB) P(B) P(AB)
复习：1.4 古典概型
1. 定义 若试验 E 满足下面两点：
1°试验的样本空间只包含有限个元素; 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这种试验称为等可能概型，也称古典概型。
20 定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
若 P(B) 0，同样可称 P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。
时间上：先后； 逻辑上：主从关系
解1：P(B)
A53 A130
解2：P(B) P(A1A2A3)=P A1 P A2 A1 P A3 A1A2
5 43 10 9 8
新内容
P13 例7； P25 9、11
P25 91、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子
中至少有 2 只配成一双的概率是多少？
解一：设 A={4 只鞋子中至少有 2 只配成一双}
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ).
(1) p 4 2 34 2 .
2 2
27
（2）
342
p
2
2
2
34
5 ? 10片中有5片安慰剂；
(1)从中任取5片，求A:? 其中至少有2片安慰剂”的概率；
解：P(A) 1 P(A) =1
(2)每次取1片，不放回地取，
[
C50C55 C150
C15C54 C150
]
求B:? 前三次都取到安慰剂”的概率；
全概率公式
B2
B1
A
B3
Bn1
Bn
证明 A AS A (B1 B2 Bn )
复杂事件
AB1 AB2 ABn .
由 Bi Bj ( ABi )(ABj )
简单事件
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( ABn )
P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn ).
求P解(B1|A)S. 缩减为S', P(B A) 2
3
解2 由条件概率的公式得
P(B A)
P( AB) P( A)
S
n A42 12，nA A31A31 9，nAB A32 6
P(B A) P( AB) 6 /12 2 / 3 P( A) 9 /12
解3 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
(3,1), (3,2), (3,4)},
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)},