关于由已知调和函数求解析函教的新方法
(完整版)求曲线解析式的六种常用方法
(完整版)求曲线解析式的六种常用方法
求曲线解析式的六种常用方法
在数学和物理学中，曲线的解析式是描述曲线形状和特征的数
学表达式。
求解曲线的解析式是数学和工程等领域的基础工作之一。
以下是六种常用的方法来求解曲线的解析式：
1.坐标点法
这是最直接的方法之一，通过已知曲线上的若干个坐标点，可
以构建方程来求解曲线的解析式。
通过选择足够多的坐标点来确保
计算的准确性。
2.平移法
平移法基于对已知曲线进行平移变换，通过确定平移后的曲线
上的若干个坐标点来求解解析式。
这种方法常用于对已知曲线进行
微小调整的情况下。
3.逼近法
逼近法通过将曲线近似为一系列线段或曲线段来求解解析式。
常用的逼近方法有线性逼近、多项式逼近和样条逼近等。
4.最小二乘法
最小二乘法通过将已知曲线上的观测值与拟合曲线上的对应点之间的残差最小化来求解解析式。
这种方法适用于曲线上存在较多的观测值的情况。
5.插值法
插值法通过对已知曲线上的若干个点进行插值来求解解析式。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
6.数值优化算法
数值优化算法通过利用数值计算的方法来求解曲线的解析式。
常用的数值优化算法有遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法等。
以上是求解曲线解析式的六种常用方法，每种方法都有其适用的场景和具体实施步骤。
根据具体情况，选择合适的方法来求解曲线的解析式将能够提高工作效率和准确性。
注意：以上内容仅供参考，实际应用中请根据具体情况进行判断和决策。
复变函数课后习题答案(全)
精心整理页脚内容习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+（3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin2sin cos 222i i θθθθθ-+=+精心整理页脚内容3． 求下列各式的值： （1）5(3)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5）3i 3cossin22i ππ=+（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i +=由此2551k i z i ei π=-=-，(0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：精心整理页脚内容(1), (1), (1), (1)2222a a a a i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+从而222x y z x y +=+≥。
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系1. 引言调和函数和解析函数是数学中两个重要的函数类别，在分析学和复变函数研究中具有广泛的应用。
两者有着密切的联系，本文将对两者的定义、性质、用途和工作方式等进行详细解释。
2. 调和函数的定义调和函数是指定义在欧几里德空间中的函数，满足拉普拉斯方程，即：Δf=∂2f∂x12+∂2f∂x22+⋯+∂2f∂x n2=0其中Δ是拉普拉斯算子，f是调和函数。
对于二维空间中的调和函数，即n=2的情况，拉普拉斯方程可以简化为：Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2=0调和函数的定义可以扩展到更高维空间，由此可见，调和函数的概念是多维的。
3. 解析函数的定义解析函数是指定义在复平面上的函数，满足柯西－黎曼方程，即：∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x其中u(x,y)是解析函数的实部，v(x,y)是解析函数的虚部。
柯西－黎曼方程表明解析函数是复可微的，它可以展开成幂级数的形式，具有无穷次可导的性质。
4. 调和函数和解析函数的联系调和函数和解析函数在某些条件下是可以联系起来的。
具体而言，二维空间中的调和函数可以通过某个复数函数的实部或虚部来表示。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个解析函数，其中z=x+iy，u和v分别是f的实部和虚部。
由柯西－黎曼方程可知，∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x可以求出u和v的偏导数。
进一步，可以验证u和v满足拉普拉斯方程：∂2u ∂x2+∂2u∂y2=∂2v∂y2−∂2v∂x2=0∂2v ∂x2+∂2v∂y2=−∂2u∂y2−∂2u∂x2=0因此，u和v分别是调和函数。
这就是调和函数和解析函数的联系。
5. 调和函数和解析函数的性质调和函数和解析函数具有一些重要的性质，这些性质使得它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
5.1 调和函数的性质•调和函数的线性组合仍然是调和函数。
即如果f1(x,y),f2(x,y),…,f n(x,y)都是调和函数，那么对于任意实数c1,c2,…,c n，函数g(x,y)=c1f1(x,y)+c2f2(x,y)+⋯+c n f n(x,y)也是调和函数。
复变函数中由调和函数求解析函数的方法
出了一个问题 ： 已知调和函数 （ ，） ｖｘＹ ， Ｙ 或 （ ，）如何求其共轭调和函数使 ｚ 解析？ 不
以下为文［ ］中提到的结论 ： １ 定理 １ １ 函数 ）＝ｕ ｘ） ＋ ｖｘＹ 在单连通区域Ｄ内解析的充要条件是 ｕ ｘＹ ， ［］ （ ，） ｉ ，） ， （ （ ，） ｖｘｙ 是在 Ｄ内的共轭调和 函数 ， （ ，） 已知 （ Ｙ 及 秽 Ｙ ，） （ ）中的一个， ， 就可确定 ）不过可能 ，
数学天元基金资助 蔡海涛 教授推荐 收稿 日期 ：０ ０年 ９月 ５日 ２１
复变 函数 中由调和 函数求解析 函数的方法
１３ ２
否还有其它方法甚至是更简单的方法 ， 本文拟对其进行总结与探求 ， 并将其在双调和 函数上进
行 适 当推广 。
２ 由调 和 函数 求解 析 函数 方 法
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｓｒ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｗｅ ｃ ｒ ｅ ｕ ｅ ｅａ ｈ ｏ ｅ ｆｆ ｄ ｎ ｎ ｌｔ ｕ ｃｉ ｎ ｒ ｕ ｈ ｔ ｅｒ ｒ ａ ｒ ｉ ｇ ａｒ ｄ ｏ ｔ ｓ ｖ ｒｌｔ ｅ ｒｍｓ ｏ ｎ ｉｇ ａ ａ ｙｉ ｆ ｎ ｔ ｓ ｔ ｏ ｇ ｈ ｉ ｅ ｏ ｍａ ｅ ｉ ｉ ｃ ｏ ｈ ｌ ｐ ｒ ，ａ ｅ ａ ｐ ｅ ｉ ｉ ｕ ｔａｅ ｈ ｗ ｅｒ印 ｐ ｉａｉ ｎ ｈ ｓ ｔ ｏ ｓａ ｄａ ｐ ｃ ｔ ｎ ｓ ｌ ｅ ｅ ｔ ｅ ｒ ｄ ｃ ｌｕ ａ ａｔ ｓ ｘ ｌ ｌ ｌ ｓｒ ｔｄ ｔ ｓ ｏ ｔ ｉ ｍ ｓｌ ｏ ｈ ｌ ｔ ．Ｔ ｅ ｅ ｍｅ ｄ ｐ ｈ ａ ｏ ｏｖ ｄ ｔ ｏ ｙ ａ ａ ｃ ｌ － ｅ ｏ ｈ ｎ ｉ ｈ ｈ ｎ ｔ ｎ ｏ ｉ ｐ ｏ ｌ ｍ ｎ ｔ ｎ ｆｃ ｍｐ ｅ ａｉｂ ｅ ｉ ｆｔ ｓ ｒ ｂ ｅ ｉ ｆ ｃ ｏ ｓｏ ｏ ｌｘ ｖ ｒ ｌ ．Ｆ ｒ ｅｍｏｅ，ｔ ｅ ｅ ｍｅｈ ｄ ａ ｅ ｃ ｍｐ ｅ ｅ ｓｖ ｒｍｏｅ ． ｏ ｈ ｎ ｕ ｉ ａ ｕ ｔ ｒ ｒ ｈ ｓ ｔ ｏ ｓｃ ｎ ｂ ｏ ｒ ｈ ｎ ｉｅ ｐ ｏ ｔ ｄ ｈ
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
由调和函数求解析函数的四种方法
f ( z ) = x2 - y2 + c + i2xy = (x i y ) 2 + c —z + c ,
又由已知/(i ) = - 1 可得 c = 0 ，•••/(2 ) = 22 方 法 4 (变量替换法）
思路:由解析函数的唯一性定理[7_8]，可 知 ：
( 1 ) 在含有实轴一段的区域内，如 果 u (%，y ) + iv(%，y ) 与 u (z ，0) +&(•?，0 ) 都 解 析 ，则 在 D 内
理论来研究调和函数■而如何由已知的调和函数来确定与之相关的解析函数就是一个值得研究问题•
定 义 1 若 二 元 实 变 函 数 p ( * ，y ) 在 区 域 D 内 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 并 且 满 足 拉 普 拉 斯 （Laplace) 方
程 dx dy ,那么称史(*,y )为 区 域 D 内的调和函数.
： . u = x2 - y2 + c9 ： . = x2 - y2 + c + i2xy = {x ■¥iy)2 + c = z2 + c 9
又由已知/(i ) = - 1 可得 c = 0 ，•••/(z ) = z2 方 法 2(不定积分法）
思路:我们知道，解析函数/(z ) = w + k 的导数/ ( 2〇仍为解析函数，且/ ( Z) = 尝
定 的 函 数 ，使 函 数 / ⑴ + ii;(as,y )在 区 域 D 内解析[3]. 由定理3 可 知 ，已知解析函数的实部可以利用柯西-黎曼方程求解该解析函数的虚部，已知解析函数的
虚部可以利用柯西-黎曼方程求解该解析函数的实部.在一般的教材（如 文 献 [4 - 6 ] ) 中都是给出一个或 者两个方法,文章在现有教材介绍的方法基础上，通过举例子来说明如何由已知的调和函数来确定与之相对 应的解析函数的四种不同的方法(偏积分法、不定积分法、线积分法、变量替换法).
函数解析式的求解方法
函数解析式的求解方法一、通过观察函数的性质和特点推导出函数的解析式。
这种方法适用于一些常见函数，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。
对于这些函数，我们可以通过观察函数的图像、性质和特点来推导出函数的解析式。
例如，对于二次多项式函数 y = ax^2 + bx + c，可以通过观察函数的性质来求解函数的解析式。
二次多项式函数的图像是一个抛物线，而且它的对称轴是直线 x = -b/2a。
根据这些性质，我们可以得到函数的一般形式为 y = a(x - p)(x - q)，其中 p 和 q 是抛物线的两个零点。
二、通过已知点求解函数的解析式。
当我们知道函数过一些特定点时，可以通过这些点来求解函数的解析式。
通常我们需要至少知道函数过两个不同的点来确定函数的解析式。
例如，已知函数过点 (1, 2) 和 (3, 4)，我们可以设函数的解析式为 y = ax + b，并将这两个点的坐标代入方程求解 a 和 b 的值。
代入第一个点可以得到 2 = a(1) + b，代入第二个点可以得到 4 = a(3) + b。
求解这个方程组可以得到 a = 1 和 b = 1，因此函数的解析式为 y = x+ 1三、通过函数的导数求解函数的解析式。
对于一些函数，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的解析式。
这种方法通常适用于一些特殊的函数，比如三角函数、指数函数等。
例如，对于函数 y = e^x，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的解析式。
函数的导数是 dy/dx = e^x，所以函数的解析式就是 y = e^x。
四、通过求解函数的积分来确定函数的解析式。
对于一些函数，我们可以通过求解函数的积分来确定函数的解析式。
这种方法通常适用于一些特殊的函数，比如多项式函数、三角函数等。
例如，对于函数 y = x^2，我们可以通过求解函数的积分来确定函数的解析式。
函数的积分是∫y dx = ∫x^2 dx = x^3/3 + C，其中 C 是一个常数。
由已给调和函数确定与之相关的解析函数的多种方法
即有 ｌｏｇａ!"＝ｌｏｇａ!＋＇ｌｏｇａ" ， 这就是中学对数运算中的乘积对 数的运算法则 ；（ ２）
( &
! ＇ ∈Ｒ
，ｋ ・ ・ ＇ !＇＝ｋ ＇ｌｏｇ !＝ｆ（ｋ"!）＝ｆ（! ）＝ *
ａ ｋ
( &
!＇ "＇
∈Ｖ＇
ｎ
， !＇＋＇ "＇＝ｆ（!＋"）， ( * &
ｋ∈Ｐ
!＇∈Ｖ＇
，ｋ ・ ＇ !＇＝ｆ（ｋ!）． *
２ ２ ２ ２ 于是有 ， ! ｕ ＋!ｕ ＝０ ， 即 ｕ（ｘ，ｙ）为调和函数 ． ２ ２
ｄｖ＝－ !ｕ ｄｘ＋ !ｕ ｄｙ＝ !ｖ ｄｘ＋ !ｖ ｄｙ， !ｙ !ｘ !ｘ !ｙ
于是有 !ｕ ＝ !ｖ ， !ｕ ＝ !ｖ ， 从 而 ｕ＋ｉｖ 必 为 一 解 析 函
!ｘ
!ｙ
!ｘ
!ｙ
!ｙ
!ｘ
下面我们 用 四 种 不 同 的 方 法 来 求 以 ｕ（ｘ，ｙ）为 实 部 的 解 析函数 ｆ（ｚ）． 方法 Ⅰ 偏积分法 一般原理 ： 已知 ｕ 为区域 Ｄ!Ｃ 内某解析函数 ｆ（ｚ）的实 部 ， 由 Ｃ．－ Ｒ． 条件 ， !ｖ ＝ !ｕ ， 可得
参考文献 ：
［１］余家荣 ． 复变函数 ［Ｍ］． 北京 ： 高等教育出版社 ， １９７９． ［２］钟玉泉 ， 复变函数 ［Ｍ］． 北京 ： 高等教育出版社 ， ２００４． ［３］西安交通大学高等数学教研室 ． 复变函数 ［Ｍ］． 北京 ： 高等 教 育 出
版社 ， １９９６．
ｕ（ｚ，０）＋ｉｖ（ｚ，０）都解析 ， 则在 Ｄ 内 ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ）≡ｕ（ｚ，０）＋ｉｖ（ｚ，０），ｚ＝ｘ＋ｉｙ．
已知调和函数求解析函数例题
已知调和函数求解析函数例题
已知一个调和函数，我们想找到它的解析函数。
首先，让我们回顾一下调和函数的定义。
一个实数或复数域上的函数称为调和函数，如果它满足拉普拉斯方程的性质，即对于二维情况下的函数
u(x, y)，满足以下条件，∇^2u=0，其中∇^2是拉普拉斯算子。
现在我们来看一个例题。
假设我们已知一个调和函数u(x, y)，我们希望找到一个解析函数f(z)，使得f(z)的实部是给定的调和函数u(x, y)。
这里
z=x+iy是复平面上的变量。
首先，我们知道如果一个函数是解析的，那么它满足柯西-黎曼方程。
对于一个解析函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别是f(z)的实部和虚部，柯西-黎曼方程可以写成以下形式，∂u/∂x=∂v/∂y 以及∂u/∂y=-∂v/∂x。
现在我们可以利用柯西-黎曼方程来找到我们所需的解析函数。
假设我们已知调和函数u(x, y)，我们可以通过对u(x, y)进行积分来找到v(x, y)。
具体地，我们可以选择一个合适的路径，沿着路径对u(x, y)进行积分，然后利用柯西-黎曼方程来找到v(x, y)。
一旦我们找到了v(x, y)，我们就可以得到解析函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)。
另一种方法是利用调和函数的性质和柯西积分公式来找到解析函数。
我们可以利用调和函数在圆盘区域上的平均值性质，结合柯西积分公式来构造出解析函数。
综上所述，已知一个调和函数，我们可以通过柯西-黎曼方程或者调和函数的性质和柯西积分公式来找到它的解析函数。
这些方法可以帮助我们从不同的角度来解决这个问题。
求曲线解析式的六种常用方法
求曲线解析式的六种常用方法本文介绍了求解曲线解析式的六种常用方法。
这些方法能够帮助我们确定曲线的解析表达式，从而更好地理解和分析曲线的特性。
1. 利用已知点和斜率求解析式这种方法通过已知点和该点处曲线的斜率来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算其在曲线上的斜率。
然后，使用该点和斜率来建立曲线的解析式。
2. 利用已知点和切线方程求解析式这种方法利用已知点处曲线的切线方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处切线的方程。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
3. 利用已知点和法线方程求解析式类似于方法2，这种方法利用已知点处曲线的法线方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处法线的方程。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
4. 利用已知点和曲线的导数求解析式这种方法依赖于已知点处曲线的导数，通过计算导数的值来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处导数的值。
然后，使用该值来构建曲线的解析式。
5. 利用已知点和曲线的微分方程求解析式这种方法利用已知点处曲线的微分方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处微分方程的形式。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
6. 利用已知点和曲线的积分方程求解析式最后一种方法是利用已知点处曲线的积分方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处积分方程的形式。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
以上这些方法是求解曲线解析式时常用的六种方法。
根据具体情况，我们可以选择其中合适的方法来确定曲线的解析式。
在应用这些方法时，我们需要注意使用正确的数学工具和技巧，以确保求解的准确性和可靠性。
希望本文提供的信息能够对您有所帮助！。
《复变函数与积分变换(刘建亚)》作业答案
15、求解下列方程： (2)
ez 1 0
z
解： e
1 ，于是
z Ln(1) ln1 i arg(1) 2k i=(2k 1) i, k Z
18、求 Ln(i) ， Ln( 3 4i) 的值及主值．
i i arg(i) 2k i i 2k i ，所以其主值为 i ； 2 2 4 所以其主值 Ln(3 4i) ln 3 4i i arg(3 4i) 2k i ln 5 i( arctan ) 2k i ， 3 4 为 ln 5 i( arctan ) ． 3
9 9 isin i ； 6 6
11 11 3 1 i sin i． 6 6 2 2
习题 2： 3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数． (2) (6)
f ( z ) x 2 iy ；
(4)
f ( z ) sin xchy i cos xshy
(2)
2
e
2Ln( 2)
e
2 ln 2 (2 k 1) 2 i
2
2
cos (2k 1)
2 isin (2k 1) 2
；
1i eiLn1 ei(2 k i) e2 k ；
i e
iБайду номын сангаас
iLni
e
i i 2 k i 2
f ( z)
az b 。 cz d
x 2 ， v( x, y) y ，
解：(2) 因为 u ( x, y )
u x 2 x ， u y 0 ， vx 0 ， v y 1 ．
由已给调和函数求与之对应解析函数的一种简便方法
解
:因为
5u 5x
=
3 x2
+ 12xy -
3 y2
,
52 u 5x2
=
6x
+
12 y,
5u 5y
= 6x2
-
6 xy
-
6 y2
,
52 u 5y2
=
- 6x - 12y
在
z平面
C上
u
(
x,
y)有二阶连续偏导数
,并且有
52 u 5x2
+
52 u 5y2
=
0,故
u ( x, y)在
C上为调和函数. 下面我们来
方法 4 (不定积分法 )
思路分析 :我们知道 ,解析函数
f ( z)
= u + νi 的导数
f’( z)仍为解析函数 ,由
f’( z)
=
5u 5x
+
i
5ν及 5x
C.
- R. 条件
5u 5x
=
55νy,
5u 5y
=
-
5ν得 5x
f’( z)
=
5u 5x
+
i
5ν 5x
=
5u 5x
-
i
5u 5y
=
5ν 5y
数.
定理 C 设若
u ( x, y)是在单连通区域 D 内的调和函数 ,则存在由 C.
-
R. 条件
( 5u 5x
= 55νy,
5u 5y
=
-
5ν )所确 5x
定的函数 ν( x, y) ,使 f ( z) = u ( x, y) + νi ( x, y)在区域 D 内解析.
调和函数与解析函数
u v u v , x y y x
的两个调和函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由解析函数高阶导数定理知，u 和 v 具有任 意阶连续偏导，故 v yx vxy ,
从而 同理
uxx u yy 0. vxx vyy 0.
因此 u 和 v 调和.
？
已知u， 能否找到 v， 使得 u iv 解析？
u+iv = f(z)
调和
解析 为 u 的共轭调和函数
•共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程
§7 解析函数与调和函数的关系
问题1，解析函数的性质非常好，什么样的函数能构 成解析函数的实部和虚部
问题2. 解析函数的实部和虚部的二阶导数是什么关 系
问题3. 如何根据实部（虚部）求其满足的解析函数
1
•调和函数 若二元实函数 H(x, y) 在区域 D 内具 有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程
6
u(x, y)=y3-3x2y
解：）由 1 ux 6xy，u xx 6 y， u y 3 y 2 3x 2，u yy 6 y，
可得
(偏积分法)
u xx u yy 0.
利用C.-R.方程
从而u 调和. 2 ）由 v y u x 6 xy 可得
2
利用C.-R.方程 的另一等式
u v u v , x y y x
的两个实值函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
注 区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数.
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例1 验证 u(x, y)=y3-3x2y 是调和函数，并求以 u(x, y) 为实部的解析函数 f(z). 例2 已知一调和函数 v e x sin y, 求一解析函数 f(z)=u iv, 使 f(0)=1. 例3 已知一调和函数 v e x ( y cos y x sin y ) x y, 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=0.
解析函数和调和函数的关系
§2.2 解析函数和调和函数的关系 教学目的：弄清调和函数与共轭调和函数的概念，能理解并掌握解 析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法 （不定积分法、偏积分法、曲线积分法）求以调和函数为实 部或虚部的解析函数．重点：不定积分法和偏积分法求解析函数．难点：曲线积分法求解析函数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.2.1 调和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数（平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二元实函数，即调和函数），它与解析函数有着密切的联系．本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利用调和函数来求解析函数的若干方法.【定义2.3】 若二元实函数(,)H x y 在区域D 内具有二阶连续的偏导数,且满足二维拉普拉斯方程（Laplace ）22220H H x y∂∂+=∂∂，则称(,)H x y 为D 内的调和函数（或称(,)H x y 在D 内调和），称为拉普拉斯算子. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数. 证 ()f z 在区域D 内解析,所以(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，且在D 内满足C-R 方程u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂，由解析函数的无穷可微性知(,)u x y 和(,)v x y 在D 内都具有任意阶连续的偏导数,从而也具有二阶连续的偏导数 222u v x y x ∂∂=∂∂∂ 222u v y x y∂∂=-∂∂∂， 所以2222220u u v v x y x y y x ∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂；同理可证22220v v x y∂∂+=∂∂. 故实部 (,)u x y 和虚部 (,)v x y 都是D 内的调和函数.§2.2.2 共轭调和函数【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.下面研究复变函数的实部、虚部两个二元实函数与调和函数的关系.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.证明 （必要性） 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内解析， (,)u x y 和(,)v x y 都是D 内的调和函数,且满足柯西—黎曼条件所以 在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.（充分性）在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.所以 (,)v x y ，(,)u x y 具有二阶连续偏导数且满足C R -方程 所以(,)v x y ，(,)u x y 具有一阶连续偏导数且满足C R -方程 故 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.注：10.由解析函数的无穷可微性知,若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则()f z 的任意阶导数在区域D 内也解析,从而 (,)u x y 和(,)v x y 的任意阶偏导数也都是D 内的调和函数.20.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析. 20的反例：易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知,设(,)u x y 和(,)v x y 都是定义在区域D 内的二元实函数,若(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数,则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内一定解析.提问：1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，则下列命题中错误的是（ C ）A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ × ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ √ ） §2.2.3 解析函数与调和函数的关系根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设D 是一个单连通区域, (,)u x y 是D 内的一个调和函数,即 (,)u x y 在D 内具有二阶连续的偏导数,并且22220u u x y ∂∂+=∂∂ 从而u y ∂-∂,u x∂∂在D 内具有一阶连续的偏导数, ()()u u y y x x∂∂∂∂-=∂∂∂∂（曲线积分与路径无关的条件）. 再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得, 存在D 内的二元函数(,)v x y ,使得 (,)u u dv x y dx dy y x∂∂=-+∂∂, 于是 00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰, 其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.另外我们还有u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 即(,)u x y 和(,)v x y 在D 内满足柯西—黎曼条件, 从而易得 2222220v v u u x y y x x y∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂ 所以 (,)v x y 也是D 内的调和函数,并且(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.故 由定理2.4, 我们构造函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+, ()f z 就是D 内以(,)u x y 为实部的解析函数.【定理】※（1）若(,)u x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)v x y , 使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.（2）同理可得 若(,)v x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)u x y ,使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y v v u x y dx dy C y x∂∂=-+∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.注: 此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法――曲线积分法.由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1 证明32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数, 并求以 (,)u x y 为实部的解析函数()f z ,使得(0)f i =.证明： 因为2233u x y x ∂=-∂,6u xy y ∂=-∂,226u x x ∂=∂,226u x y ∂=-∂, 32(,)3u x y x xy =-为正式函数，所以有二阶连续偏导数，所以 22220u u x y∂∂+=∂∂, 即32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数.方法1: （曲线积分法）由补充定理知取00(,)(0,0)x y =,（如图3.20）(,)(0,0)(,)x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰ (,)22(0,0)6(33)x y xydx x y dy C =+-+⎰ 220060(33)x yx dx x y dy C =⋅+-+⎰⎰233x y y C =-+所以 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+,再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法2（微分方程中的常数变异法或称偏积分法）由C R -条件得 2233v u x y y x∂∂==-∂∂ ------------ (Ⅰ) (6)6v u xy xy x y∂∂=-=--=∂∂ ----------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)积分得 22(,)(33)v x y x y dy =-⎰233()x y y x ϕ=-+ ----------- (Ⅲ) 求(Ⅲ)对x 的偏导数代入(Ⅱ)得 6()6xy x xy ϕ'+= , 即 ()0x ϕ'=, 所以 ()x C ϕ=(常数),从而 23(,)3v x y x y y C =-+,所求解析函数为 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+. 再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法3（不定积分法）：..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂, 其中 1()2x z z =+, 1()2y z z i =- 因为 2233u x y x∂=-∂,6u xy y ∂=-∂， 由解析函数的导数公式: ..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂ 得 ()u u f z i x y∂∂'=-∂∂ 222233(6)336x y i xy x y i xy =---=-+ 将1()2x z z =+, 1()2y z z i=- 代入上式 整理得 222()3363f z x y i xy z '=-+= ， 所以 3()f z z C =+再由条件(0)f i =,可得C i =. 故 3()f z z i =+.说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法（常数变异法）；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方法计算.例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解：方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得：110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程， 由0x u =得： )(),(y g y x u = 代入1y u =得：1)(='y g ， C y y g +=)(（C 为任意常数）从而C y y x u +=),(，(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+，所求函数为：C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习：（1）已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解：用不定积分法求解如下：2x u y =，22y u x =-，()2(22)2(1)x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-，0=C ，所以：2()(1)f z i z =--（2） 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数，且(2)0f =，求()f z .解：22222()x y x y u v x y -''==+，2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此，用偏积分求u 比较方便：2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++ 将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =，11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctany v x y x = 是右半平面内的调和函数.下面用方法2(微分方程中的常数变异法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得22u v x x y x y ∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y ∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得2222()y yy x y x y ϕ'+=++, 即()0y ϕ'=,从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x=+++(0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例4 已知调和函数 (cos sin )xv e y y x y x y =+++，求一个解析函数 ()f z u iv =+使(0)0f =. 解(不定积分法) 因为(cos sin sin )1x ve y y x y y x∂=+++∂，(cos sin cos )1x ve y y y x y y∂=-++∂ 所以 ..()C R u v v v f z i i x x y x∂∂∂∂'=+=+∂∂∂∂(cos sin cos )1xe y y y x y =-+++ [(cos sin sin )1]xi e y y x y y +++1z z ze e i =+++，积分得 ()(1)zf z ze i z C =+++，由(0)0f =得0C =， 故 ()f z 1z zze e i =+++.例5 已知调和函数 22u x y xy =-+， 求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+.解2ux y x∂=+∂，2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u uf z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂，积分得 21()(2)2f z i z C =-+，由()1f i i =-+得2iC =， 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习： 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 ：2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xyv x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v vf z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂， 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数，且满足892003u v +=， 试证：()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y xy u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程（常数）. 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数. 提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰，2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明：函数2222,y x xv y x u +=-=都是调和函数，但iv u z f +=)(不是解析函数.证明：y u x u y x 2,2-== ,2,2-==yy xx u u()()222222222,y xxyv y xy x v y x +-=+-=()()222322232,2yxy v yxy v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v 即u 是复平面上的调和函数，v 除原点外在复平面上调和。
复变函数中由调和函数求解析函数的方法
复变函数中由调和函数求解析函数的方法对于解析函数来说，大部分解析函数都是通过求出其偏导数来得到的。
而所谓求偏导数就是求出它的一阶和二阶导数。
这样既可以求出这个解析函数，也可以得到它的变化率。
其中由一阶导数求二阶导数就相当于求偏导数了。
今天我们要用到的就是这种方法。
我们先要求出函数：一、函数是单调的。
如果一个函数是单调的，那么我们要找它的一阶导数和二阶导数的起点，然后利用起点的单调性来求导数。
二、函数是有界的。
如果一个函数是有界的，那么我们要找它的一阶导数和二阶导数的终点，再利用终点的单调性来求导数。
三、函数是连续的。
如果一个函数是连续的，那么我们要找出它的一阶导数和二阶导数的间断点，再利用间断点的单调性来求导数。
这种方法主要应用于求下面复平面上任意函数的解析式：由调和函数求出定义域、导数和极限，以及利用这些知识解决有关问题。
在由调和函数求出定义域和导数后，你还要掌握的一项技能是“定积分”，定积分是积分与微分的总称。
因此要学会两者的综合运用。
由调和函数求出定义域和导数后，要学会由初等函数求其极限的方法。
对于比较简单的复变函数来说，其一般解析式的基本形式为：f(t)=e^{-it(t+e^{-it})}与微分运算，可由初等函数的求导法则确定其解析式。
但对于更为复杂的函数来说，其解析式的基本形式往往是多项式或含参数的积分式，只能依靠定积分求出其解析式。
因此，对于一般的复变函数来说，学会由定积分求出其解析式的方法十分重要。
具体步骤为： 1．求出初等函数的解析式； 2．求出各项系数，使之成为定积分的计算式； 3．从积分号外一侧，开口向上，积分号内侧，从下向上读出原函数或其他定积分形式； 4．将x、 y变量代入计算式，即得该函数的解析式。
其中对于定积分的计算，只需熟悉定积分的基本性质，例如分段函数的定积分、定积分与微分的关系、不定积分换元法、换元积分法等。
复变函数中由调和函数求解析函数的方法很多，但万变不离其宗。
调和函数的解析性定理
调和函数的解析性定理调和函数的解析性定理一直是一个重要的话题，因为它涉及到了整体解析函数以及它们在局部与整体的连续映射。
那么今天就由我来说明这个问题吧。
首先，将自变量x取0，在复数域中建立下面的关系：由上式，可得:x=a(1-x)+x^2-2ax+2a-2x^2，得知： a的取值范围是[0， 2]，也就是[ -1， 1]； x的取值范围是[-1， 2]，也就是[-1， 1]； a=1，所以(1-x)=0，即x=-1/2；再把(1-x)=-1/2代入(1-x)=x^2+2ax+2a-2x^2，即x=1/2+1/2=1/2-x^2=-1/2，所以x=1/4。
现在，在解析函数的定义域中给出上面二次方程组的解析性表达式：(1)将解析函数y=x^2+2ax+2a-2x^2代入式(1)，可得：假设，把式(1)代入已知二次关系式(x-a)(x-1)=0，得：(1-x)(x-a)(x-1)=(1-x)(x-a)(x-1)-(x-1)(x-a)(x-1)+(1-x)(x-a)( x-1)-(x-a)(x-1)+(1-x)(x-a)(x-1)，得：(1-x)(x-a)(x-1)(1-x)(x-a)(x-1)=(1-x)(x-a)(x-1)(1-x)(x-a)(x-1)+(1-x)(x-a)(x-1)-(1-x)(x-a)(x-1)+(1-x)(x-a)(x-1)-(1-x)(x-a)(x-1)=(1-x)(x-a)(x-1)(1-x)(x-a)(x-1)-(1-x)(x-a)(x-1)=0。
(2)给出了上述的二次关系，则可知道y=x^2+2ax+2a-2x^2=(x-1)(x-1)=(x-1)(x-a)(x-1)-(x-a)(x-1)+(1-x)(x-a)(x-1)-(x-a)(x-1)+(1-x)(x-a)(x-1)-(1-x)(x-a)(x-1)-(1-x)(x-a)(x-1)-(1-x)(x-a)(x-1)=0。