无棱二面角的探讨

关于“无棱”二面角问题的探讨二面角问题是历年高考考查的热点，也是难点．求二面角的基本步骤是：作，证，算．即先作出一个平面角，再证明这个角就是所求二面角的平面角，最后将这个平面角放在一个三角形中计算求解．其中根据二面角的含义作出二面角的平面角是一个关键，但有时题目中并没有给出二面角的棱，直接作角便遇到了困难．本文就这类无棱二面角问题做一些探讨．一、由“无棱”向“有棱”转化将二面角的两个面延展，通过添线、补体的方式寻找二面角两半平面的公共点，由公理1和公理2确定两个面的交线；或平移面，根据同位二面角相等得到新二面角的棱，从而将“无棱”二面角问题转化为“有棱”二面角问题．1．补体法例1 如图1，在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别是棱AB 、11C D 的中点，求平面11A ADD 与平面F DEB1所成的二面角（锐角）的余弦值． 解析：延长11D A ,F B 1，设两延长线交于点G ，连结DG ，则DG 为平面11A ADD 与平面F DEB1的交线，显然 DF F B GF ==1，D D G D 11=，取DG 的中点H ，连结H D 1，FH ，则DG H D ⊥1，DG FH ⊥，从而HF D 1∠为平面11A ADD 与平面F DEB1所成二面角的平面角．由⊥F D 1平面11A ADD 知H D F D 11⊥，令正方体的棱长为1，在Ｒt △H FD 1中，222211==D D H D ，211=F D ，则212221t a n 111===∠H D F D HF D ，从而36c o s =∠D H F ． 点评：（1）两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同位（即同向）二面角相等，即将二面角的一个或两个面平移至适当位置，使其相交，组成一个易求的二面角．（2）将“无棱”问题转化为“有棱”问题，实际上是将难求二面角问题转化为易求二面角问题．2．平移法例2 如图2，在三棱柱111C B A ABC -中，所有棱长都为2，侧面⊥AC A 1底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为 60，求平面C B A 11与平面ABC 所成的锐二面角的正切值． 解析：由平面//ABC 平面111C B A 知，平面ABC 与平面11A B C 所成的锐二面角大小等于二面角C B A C --111的大小．过点C 作11C A CO ⊥于O ，因为侧面⊥AC A 1底面A B C ，所以⊥CO 平面111C B A，则6011=∠A CC ，于是 60cos 11⋅=CC O C 1212=⨯=，则O 为11C A 的中点．过1C 作111⊥C M A B 于M ，作11B A ON ⊥于N ，连结CN ，则M C ON 1//，由三垂线定理有CN B A ⊥11，则ONC ∠为二面角C B A C --111的平面角．由M C ON 121=112321B A ⋅=23=，得tan ON CO ONC =∠ON CC 60sin 1⋅=2=．点评：寻求面面平行是关键，而面面平行常由线线平行得到．二、避开找棱问题 常从以下四个方面入手：1．垂面法作出二面角βα--l 两半平面的垂面γ，或证明平面γ是α、β的公垂面，可由垂面γ与二面角两半平面α、β交线的夹角求得二面角的大小．例3 如图3，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，且⊥SD 平面ABCD ，2=SA ，求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角大小．1B 1A 1D 1C D ACEBFGH图12图B N1A A1C CO1B M解析：因为⊥SD 平面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，所以DC SD ⊥，又AD DC ⊥，则⊥DC 平面SAD ，由于⊂DC 平面SDC ，所以平面⊥SDC 平面SAD ．同理有⊥BC 平面SDC ，因⊂BC 平面SBC ，所以平面SBC ⊥平面SDC ，即平面SDC 为平面SAD 与平面SBC 的公垂面，而SD 与SC 分别为交线，则CSD ∠为平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角的平面角．由⊥SD 平面A B CD 有AD SD ⊥，在Ｒt △SAD 中，22AD SA SD -=31222=-=，则ta n C SD ∠=SD DC31=33=，从而平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角大小为 30．点评：证面面垂直是关键．2．垂线法从空间一点P 向二面角βα--l 的两个面分别引垂线a 、b ，由这两条垂线的夹角推断二面角的大小．例4 如图4，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，PA =2=BA ，22=BC ，E 、F 分别是AD 、PC 的中点，求平面BEF 与平面PBA 夹角（锐角）的大小．解析：因为⊥PA 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD ，所以BC PA ⊥，BA PA ⊥，又AB BC ⊥，A PA BA = ，所以⊥BC 平面P B A ．在Ｒt △PBA 中，=PB 22222=⨯=PA ．又22=BC ，F 为PC 中点，则BF PC ⊥．连结PE 、CE ，易证△PAE ≌△CDE ，则CE PE =，因为点F 为PC 中点，所以EF PC ⊥，又F EF BF = ，则⊥PC 平面ABE ，即PC 、BC 分别是平面BEF 、平面PBA 的垂线，所以PCB ∠等于平面BEF 与平面PBA 所成的锐二面角的大小．在等腰Ｒt △PBC 中，45=∠PCB ，即平面BEF 与平面PBA 夹角的大小为 45．点评：寻找两半平面的垂线是关键．3．面积射影法依据：设锐二面角βα--l 的大小为θ，在一个半平面α内有一个面积为S 的封闭图形，该图形在另一个半平面β内的射影的面积为'S ，则SS 'cos =θ．此原理称为面积射影定理．例5 如图5，AC 是圆O 的直径，点B 圆O 上，⊥EA 平面ABC ，EA FC //，且30=∠BAC ，4=AC ，3=EA ，1=FC ，求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角大小．解析：因为AC 是圆O 的直径，所以△ABC 为直角三角形，AB cos =⋅∠AC BAC 234⨯=32=,BAC AC BC ∠⋅=sin 2214=⨯=．因⊥EA 平面ABC ，EA FC //，则AB EA ⊥，⊥FC 平面ABC ，则BC FC ⊥．在Ｒt △FBC 中，22BC FC BF +=52122=+=．在Ｒt △EAB 中，=BE 22AB EA +21)32(322=+=．过点F 作EA FG ⊥于点G ，易证四边形ACFG 为矩形，从而4==AC FG ，2=-=EG EA AG ，则22GF EG EF +=52=，在△BEF 中，由余弦定理有=∠BFE cos EF BF BEEF BF ⋅-+22222225252)21()52()5(⨯⨯-+=15=，由于=∠BFE sin BFE ∠-2cos 1=562．又=ABC S △1123222⨯⨯=⨯⨯AB BC 23=．设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角大小为θ，则226232c os △△===BEF ABC S S θ．所以 45=θ，即平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角大小为 45．BCSD A图3OE FCGBA图4E DAFPBC点评：常找（或作）出一个半平面内的三角形（或四边形）在另一个半平面内的射影，再利用面积射影定理求解．关键是找射影及求面积．4．向量坐标法借助向量工具，将二面角问题转化为两半平面法向量的夹角问题． 理论依据：如图6，在二面角βα--l 内任取一点O ，过O 作α⊥OA 于点A ，作β⊥OB 于点B ，设OA 与OB 确定平面γ，且C l = γ，连结AC 、BC ，则l OA ⊥，l OB ⊥，故γ⊥l ，从而AC l ⊥，且BC l ⊥，知ACB ∠为二面角βα--l 的平面角，由 90=∠=∠B A 知AOB ∠与ACB ∠互补．设1n 、2n 分别为α、β的法向量，则夹角><21,n n或其补角是二面角βα--l 的平面角．显然，><21,n n的大小与棱无关紧要，所以不需考虑棱的位置．例6 如图7，点P 是边长为1的菱形ABCD 所在平面外一点，点Q 为CD 中点，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ， 60=∠BAD ，求平面PAD 与平面PBQ 所成锐二面角的余弦值．解析：如图，以A 为原点，DA 、AP 所在直线方向分别为x 、z 轴，在平面ABCD 内，过点A 且垂直于DA 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则)3,0,0(P ，)0,23,21(-B ，)0,43,45(-Q ，得)0,43,43(=QB ,)2,23,21(--=PB ．设),,(1z y x n =是平面PBC 的一个法向量，则由QB n ⊥1，且PB n ⊥1，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0021PB n QB n ，从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+02232104343z y x y x ．令1-=x ，得3=y ，1=z ，即)1,3,1(1-=n ．显然，)0,1,0(2=n 是平面PAD 的一个法向量，则><21,cos n n51511)3()1()0,1,0()1,3,1(2222121=⋅++-⋅-=⋅=n n n n ，即平面PAD 与平面PBQ 所成锐二面角的余弦值为515． 点评：（1）利用向量坐标法求解时，首先应根据几何体的特点，选择三个两两垂直的方向，建立空间直角坐标系，利用已知数据进行计算；（2）找两半平面的法向量是关键．有时可直接观察出某个半平面的法向量，这样可省去一些计算；（3）常根据原几何体中二面角两半平面的张开程度，或者两法向量在坐标系中的大致指向来确定所求二面角与两半平面法向量夹角的关系；（4）坐标法是将严密的逻辑推理转化为坐标计算，一般很少添加其他辅助线，但计算繁琐，且易出错．小结：无棱二面角问题的求解有很多不同的策略，在求解过程中应根据题目的特点选择适当的方法．综合本文可知，求解无棱二面角问题时，可按如下步骤进行：先通过补形或平移面的方式寻找二面角的棱，再利用二面角的定义或三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角，从而求得二面角的大小．若作棱有难度，可考虑面积射影法、空间向量坐标法等．值得注意的是，利用三垂线定理或面积射影定理都只能求锐二面角，所以要清楚所求的是锐二面角还是钝二面角，以及得到的角的大小与所求二面角的大小的关系（相等或互补），这样才能准确地求出问题中的二面角大小．图6ABαβO 1n 2n l γC图7zPQCDxyBA。