狭长结构拓扑优化
拓扑优化算法在结构优化中的应用
拓扑优化算法在结构优化中的应用一、引言随着数字化和自动化技术的快速发展，结构优化的需求越来越强烈。
拓扑优化算法作为一种新兴的结构优化方法，有着广泛的应用前景。
本篇文章将会探讨拓扑优化算法在结构优化中的应用，从算法原理、优化对象、优化过程以及应用案例等方面进行详细探讨。
二、拓扑优化算法原理拓扑优化算法源于拓扑学，其核心思想是通过设计结构的空间形态，来提高结构的性能。
其主要包括以下两种方法：1. 基于布尔运算的方法该方法是将设计空间进行分割，将空间分为有限个区域，并进行布尔运算，以得到规划区域的空间形态。
常用的布尔运算有并、交、差、孔洞等。
2. 基于材料密度分布的方法该方法是将设计空间分割成无数个微观单元，通过控制每个单元的材料密度，来实现结构的优化。
常用的方法有密度过滤、SIMP法等。
三、拓扑优化算法在结构优化中的应用1. 优化对象拓扑优化算法可以用于优化各种结构，包括机械结构、航空航天结构、建筑结构等。
例如，在航空航天结构中，优化的对象可以是飞机机翼的结构；在建筑结构中，优化的对象可以是建筑的整体结构等。
2. 优化目标通过控制拓扑优化算法中的设计变量，可以实现多种目标的优化。
常见的优化目标包括结构的重量、结构的刚度、结构的强度、结构的稳定性等。
3. 优化过程拓扑优化算法的优化过程大都采用自适应元件重分布和单元删除，以得到优化后的结构形态。
其优化过程包括以下几个步骤：（1）定义设计区域。
将结构需要进行优化的区域定义为设计区域。
（2）设置约束条件。
为了实现更加合理的优化，需要在优化过程中加入一些约束条件，如材料性质、设计变量等。
（3）设定初始条件。
在开始优化前需要对初始条件进行设定。
（4）进行优化。
通过不断调整设计变量，实现优化目标。
（5）优化结果分析。
对优化结果进行分析，以验证优化效果。
4. 应用案例1. 飞机机翼的优化在航空航天结构中，机翼是最核心的结构之一。
通过拓扑优化算法对机翼进行优化，可以实现机翼质量的降低、性能的提高。
拓扑优化方法在结构设计中的应用研究
拓扑优化方法在结构设计中的应用研究随着科技的不断进步，结构设计已经从过去的传统经验主义逐渐走向了科学化与智能化的发展方向。
在这一趋势下，拓扑优化方法成为了一种非常有效的结构设计手段，被广泛应用于航空航天、建筑工程、交通工程等领域。
本文将对拓扑优化方法的基本概念和应用进行详细阐述，并探讨未来在该领域的发展前景。
一、拓扑优化方法的基本概念拓扑优化（Topology Optimization）是一种运用数学优化方法，通过优化材料在结构中的分布以达到最优力学性能的设计方法。
其核心思想是基于有限元分析（FEA）的原理，利用数值计算的方法模拟材料受力、变形过程，从而得到最佳的材料形态和布局。
该方法所涉及的数学理论主要包括：变分法、有限元法、优化理论等。
在结构设计中，变分法、有限元法用于求解状态量，如材料内应力、形变、位移等，而优化理论则被用于求解设计空间中最优的材料分布情况。
在具体应用中，拓扑优化可以分为两种类型：密集型优化和拉伸型优化。
密集型优化是指将设计空间划分成小单元后分别考虑其内部的材料分布情况，根据经验规则或优化理论求解最佳的材料分布；而拉伸型优化则是在边界受到应力或变形限制的情况下，通过优化理论求解最佳网络形状和拓扑结构。
二、拓扑优化方法在结构设计中的应用拓扑优化方法在结构设计中的应用涵盖广泛，尤其在工程领域中有着广泛的应用。
下面将从航空航天、建筑工程和交通工程三个方面介绍其应用。
1. 航空航天在航空航天领域中，拓扑优化技术能够帮助设计轻量化、高强度、高刚度的结构件，从而降低整机的重量和燃料消耗。
例如，利用拓扑优化方法，可将飞机机翼中的钢材部分替换为轻量化材料，如碳纤维。
同时，利用拓扑优化技术，可以设计出更佳的涡轮增压器，以提高发动机的效率，同时减少重量和体积。
2. 建筑工程在建筑工程领域中，拓扑优化技术被应用于建筑结构设计中，可有效降低建筑结构的重量，同时提高结构的强度和刚度。
例如，在大型建筑中，利用拓扑优化可以减少结构材料的使用，同时保持结构的坚固。
结构拓扑优化
拓扑优化（topology optimization）1. 基本概念拓扑优化是结构优化的一种。
结构优化可分为尺寸优化、形状优化、形貌优化和拓扑优化。
其中尺寸优化以结构设结构优化类型的差异计参数为优化对象，比如板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结构件外形或者孔洞形状为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象，通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方案。
拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化，具有更多的设计自由度，能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。
图示例子展示了尺寸优化、形状优化和拓扑优化在设计减重孔时的不同表现。
2. 基本原理拓扑优化的研究领域主要分为连续体拓扑优化和离散结构拓扑优化。
不论哪个领域，都要依赖于有限元方法。
连续体拓扑优化是把优化空间的材料离散成有限个单元（壳单元或者体单元），离散结构拓扑优化是在设计空间内建立一个由有限个梁单元组成的基结构，然后根据算法确定设计空间内单元的去留，保留下来的单元即构成最终的拓扑方案，从而实现拓扑优化。
3. 优化方法目前连续体拓扑优化方法主要有均匀化方法[1]、变密度法[2]、渐进结构优化法[3]（ESO）以及水平集方法[4]等。
离散结构拓扑优化主要是在基结构方法基础上采用不同的优化策略（算法）进行求解，比如程耿东的松弛方法[5]，基于遗传算法的拓扑优化[6]等。
4. 商用软件目前，连续体拓扑优化的研究已经较为成熟，其中变密度法已经被应用到商用优化软件中，其中最著名的是美国Altair公司Hyperworks系列软件中的Optistruc t和德国Fe-design公司的Tosca等。
前者能够采用Hypermesh作为前处理器，在各大行业内都得到较多的应用；后者最开始只集中于优化设计，而没有自己的有限元前处理器，操作较为麻烦，近年来和Ansa联盟，开发了基于Ansa的前处理器，但在国内应用的较少。
拓扑优化算法
拓扑优化算法是一种用于解决图论中拓扑优化问题的算法。
该算法的主要目标是通过对图的拓扑结构进行优化，以改进网络的性能、降低延迟、提高吞吐量等。
拓扑优化算法主要包括以下几个步骤：1.图的建模：首先需要将网络转化为图的形式进行建模。
图由一组节点和连接节点的边组成，表示网络中的各个设备和设备之间的连通关系。
节点可以表示交换机、路由器、服务器等网络设备。
2.损失函数的定义：在拓扑优化中，需要定义一个损失函数来衡量网络的性能。
损失函数可以是关于延迟、带宽、能耗等指标的函数。
通过最小化损失函数，可以使得网络的性能得到最优化。
3.优化目标的设定：在拓扑优化中，需要设定一个优化目标，如最小化延迟、最大化带宽等。
优化目标的设定与具体的应用场景相关，可以根据需求进行灵活设定。
4.算法设计：根据建模和设定的优化目标，设计相应的算法来求解问题。
常见的拓扑优化算法包括遗传算法、禁忌搜索、模拟退火等。
这些算法可以根据具体的问题进行选择和调整。
5.算法实现：将设计好的算法转化为计算机程序，并进行实现。
实现过程中需要考虑算法的效率和可扩展性，以便在大规模网络中能够有效地求解问题。
6.实验和评估：根据实际场景和数据，对算法进行实验和评估。
实验可以使用真实网络数据或者仿真工具进行。
评估算法的效果和性能，对比不同算法的优缺点，为进一步优化和改进算法提供依据。
拓扑优化算法主要应用于网络设计、资源分配、流量调度等领域。
在大规模网络中，通过优化网络的拓扑结构，可以减少通信延迟、提高带宽利用率，从而改善用户体验和提升网络性能。
拓扑优化算法的研究不仅关注理论解决方案，还需要考虑实际应用中的可行性和可实施性。
因此，相关参考内容可以包括以下方面：1.拓扑优化算法的数学模型和理论基础：可以介绍拓扑优化算法的基本原理、数学模型和相关理论知识，如图论、优化理论等。
这些知识对于理解算法的原理和思想具有重要意义。
2.拓扑优化算法的应用案例：可以介绍拓扑优化算法在实际应用中的案例和应用场景。
结构拓扑优化设计综述
结构拓扑优化设计综述一、本文概述随着科技的不断进步和工程领域的深入发展，结构拓扑优化设计作为现代设计理论的重要分支，其在航空航天、汽车制造、建筑工程等诸多领域的应用日益广泛。
结构拓扑优化设计旨在通过改变结构的内部布局和连接方式，实现结构在承受外部载荷时的最优性能，包括强度、刚度、稳定性、轻量化等多个方面。
本文旨在对结构拓扑优化设计的理论、方法及其在各领域的应用进行系统的综述，以期为该领域的进一步研究和发展提供参考和借鉴。
本文将回顾结构拓扑优化设计的发展历程，介绍其从最初的试错法到现代数学规划法、智能优化算法等的发展历程，并分析各种方法的优缺点和适用范围。
本文将重点介绍目前结构拓扑优化设计中的主流方法，包括基于梯度的方法、启发式算法、元胞自动机方法、水平集方法等，并详细阐述这些方法的原理、实现步骤和应用案例。
本文还将探讨结构拓扑优化设计中的关键问题，如多目标优化、约束处理、计算效率等，并提出相应的解决方案。
本文将结合具体的工程案例，分析结构拓扑优化设计在实际工程中的应用情况，展望其未来的发展趋势和应用前景。
通过本文的综述，读者可以对结构拓扑优化设计有一个全面、深入的了解，为相关领域的研究和实践提供有益的参考。
二、拓扑优化设计的理论基础拓扑优化设计是一种高效的设计方法，它旨在优化结构的拓扑构型，以达到最佳的力学性能和经济效益。
这一设计方法的理论基础主要源于数学优化理论、有限元分析和计算力学。
数学优化理论为拓扑优化设计提供了框架和算法。
它包括了线性规划、整数规划、非线性规划等多种优化方法。
这些方法可以帮助设计者在满足一定约束条件下，寻求目标函数的最优解。
在拓扑优化设计中，目标函数通常是结构的某种性能指标，如质量、刚度、强度等，而约束条件则可能是结构的制造工艺、材料属性、边界条件等。
有限元分析是拓扑优化设计的核心工具。
它通过将连续体离散化为一系列有限大小的单元，利用单元之间的连接关系，模拟结构的整体行为。
机械设计中的结构拓扑优化方法
机械设计中的结构拓扑优化方法机械设计是一个复杂而又具有挑战性的任务。
为了提高机械结构的性能和效率，研究人员一直在寻找新的优化方法来改进和优化机械结构的设计。
结构拓扑优化是其中一个被广泛研究和应用的方法。
结构拓扑优化是通过重新分配和优化材料的布局和形状来改进机械结构的性能。
它基于仿生学的理念，即通过仿制大自然中的结构和形态来设计出更加高效和优化的机械结构。
在结构拓扑优化中，最重要的步骤之一是确定设计目标和约束条件。
设计目标可以是最小重量、最大刚度、最小变形等等。
约束条件可能包括材料强度限制、最大应力约束、自由度等。
一种常用的结构拓扑优化方法是基于有限元分析的拓扑优化方法。
有限元分析是一种数值模拟技术，可以用于计算和预测机械结构在给定载荷下的应力和变形。
基于有限元分析，拓扑优化方法可以通过迭代的方式改进机械结构的布局和形状，以减小结构的重量或者其他设计目标。
另一种常用的拓扑优化方法是基于拓扑梯度的方法。
拓扑梯度是指在给定设计目标和约束条件下，对于不同的设计变量，计算其对设计目标的贡献和对约束条件的敏感度。
基于拓扑梯度的优化方法可以通过调整设计变量的数值来改善结构的性能，并在优化过程中自动更新结构的拓扑。
除了有限元分析和拓扑梯度方法，还有其他一些拓扑优化方法被广泛应用于机械设计中。
例如，基于基因算法的拓扑优化方法使用仿生学中的遗传算法进行结构优化；基于模糊集合理论的拓扑优化方法利用模糊逻辑来处理不确定性，并生成模糊的优化结果。
不同的拓扑优化方法适用于不同的机械结构和设计要求。
人们可以根据具体的设计目标和约束条件，选择适合的拓扑优化方法。
在实际应用中，拓扑优化方法可以用于优化骨架结构、梁结构、壳体结构等各种类型的机械结构。
然而，尽管拓扑优化方法在机械设计中具有广泛的应用和前景，但也存在一些挑战和限制。
首先，拓扑优化方法通常需要高性能的计算机和复杂的仿真软件。
其次，拓扑优化方法的计算过程时间较长，需要进行多次迭代，对于大型结构和复杂结构来说，计算时间可能会非常长。
拓扑优化文档
拓扑优化1. 什么是拓扑优化拓扑优化是一种通过调整物体内部的结构来优化其性能的方法。
在工程领域中，拓扑优化被广泛应用于设计和优化各种结构和组件，如桥梁、飞机翼、汽车车身等。
通过优化结构的拓扑，可以实现减少材料使用、降低重量、提高强度和刚度等目标。
2. 拓扑优化的原理拓扑优化的原理基于有限元分析和优化算法。
首先，通过建立数学模型将待优化的物体离散化为有限个小单元，然后通过有限元分析计算每个单元的应力和变形。
接下来，通过优化算法对单元进行重新排列和连接，以达到优化目标。
最后，通过迭代计算和优化，得到最佳的拓扑结构。
3. 拓扑优化的优势拓扑优化相比传统的设计方法具有以下几个优势：•轻量化设计：通过优化结构的拓扑，可以减少材料使用，从而降低产品的重量，提高材料利用率。
•强度和刚度优化：通过调整结构的拓扑，可以使得产品在承受外部载荷时具有更好的强度和刚度，提高结构的耐久性和可靠性。
•自由度增加：拓扑优化在设计中引入了更多的自由度，从而可以实现更多创新的设计方案和拓扑配置。
•快速迭代：拓扑优化通过不断迭代计算和优化，可以快速地获得最佳的拓扑结构，节省设计时间和成本。
4. 拓扑优化的应用领域拓扑优化可以应用于各种领域，包括但不限于以下几个方面：4.1 机械工程在机械工程领域，拓扑优化广泛应用于各种机械结构的设计和优化。
例如，通过优化产品的拓扑结构，可以减少材料使用，降低重量，提高产品的强度和刚度。
4.2 建筑工程在建筑工程领域，拓扑优化可以应用于桥梁、建筑结构等的设计和优化。
例如，通过优化结构的拓扑，可以减少材料使用，降低建筑物的重量，提高抗震性能。
4.3 航空航天在航空航天领域，拓扑优化可以应用于飞机、航天器等的设计和优化。
通过优化结构的拓扑，可以减少飞机的重量，提高燃油效率，降低运营成本。
4.4 汽车工程在汽车工程领域，拓扑优化可以应用于汽车车身、底盘等的设计和优化。
通过优化结构的拓扑，可以减少汽车的重量，提高燃油效率，提高操控性能。
拓扑优化方法
拓扑优化方法拓扑优化方法是一种有效的优化方法，目前被广泛应用于求解复杂优化问题。
本文通过介绍拓扑优化方法的基本原理、典型案例、优势与应用等方面，来深入探讨拓扑优化的相关知识。
一、什么是拓扑优化方法拓扑优化方法（Topology Optimization，简称TO）是一种解决复杂最优化问题的有效优化方法，它是利用拓扑的可变性，用于求解复杂拓扑结构组合优化问题的一种新兴方法。
拓扑优化方法既可以用来求解有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）中有序结构问题，也可以用来求解无序结构问题。
二、拓扑优化方法的基本原理拓扑优化方法的基本原理是：在设定的最优化目标函数及运算范围内，利用优化技术，使得复杂结构拓扑结构达到最优，从而达到最优化设计目标。
拓扑优化方法的优势主要体现在重量最小化、强度最大化、结构疲劳极限优化等多种反向设计问题上。
此外，由于拓扑优化方法考虑到结构加工、安装、维护等方面，其结构设计更加实用性好。
三、拓扑优化方法的典型案例1、航空外壳优化：目前，航空外壳的拓扑优化设计可以使得外壳的重量减轻50%以上，同时提升外壳的强度和耐久性。
2、机械联轴器优化：拓扑优化方法可以有效的提高机械联轴器长期使用的耐久性，减少其体积和重量，满足高性能要求。
3、结构优化：通过拓扑优化方法，可以有效地减少刚性框架结构的重量，优化结构设计，改善结构性能，大大降低制造成本。
四、拓扑优化方法的优势1、灵活性强：拓扑优化方法允许在设计过程中改变结构形态，可以有效利用具有局部不稳定性的装配元件；2、更容易操作：拓扑优化方法比传统的有序结构模型更容易实现，不需要做过多的运算；3、成本低：拓扑优化方法可以有效降低产品的工艺制造成本，在改进出色性能的同时，可以节省大量人力物力；4、可重复性高：拓扑优化方法可以实现由抽象到具体的可重复的设计，可以实现大量的应用系统。
五、拓扑优化方法的应用拓扑优化方法目前被广泛应用在机械、航空航天、汽车等机械工程领域，具体应用包括但不限于：机械手和夹具的设计优化，汽车机架优化，电器结构优化，机械外壳优化，振动优化，和结构强度优化等等。
拓扑优化的原理
拓扑优化的原理
拓扑优化是一种优化设计方法，它通过对结构形态进行优化，使得结构在满足特定应力和约束条件的前提下，具有更高的刚度和承载能力。
它的主要原理是通过改变结构的几何形态，来实现对力分布和应力分布的调整，从而达到最优的结构设计。
拓扑优化的过程可以分为三个阶段：初步设计、拓扑优化和结构优化。
初步设计是指根据设计要求和约束条件，确定结构的初步几何形态。
拓扑优化是指在初步设计的基础上，运用数学模型和优化算法，通过剪除不必要的材料，来实现结构形态的优化。
结构优化是指在拓扑优化的基础上，进一步考虑材料的力学性能和结构的受力状态，通过对材料和截面的选择，来实现结构的优化。
拓扑优化的核心是对结构的材料利用率进行优化。
优化的目标是在满足约束条件的前提下，尽可能地减少材料的使用量。
通过对结构的几何形态进行优化，可以有效地降低结构的自重，提高结构的刚度和承载能力。
同时，拓扑优化还可以减少生产成本和施工成本，提高结构的工作效率和安全性。
总之，拓扑优化的原理是通过对结构的几何形态进行优化，来达到最优的结构设计。
它可以提高结构的刚度和承载能力，降低材料的使用量，减少生产成本和施工成本，提高结构的工作效率和安全性。
拓扑优化算法
拓扑优化算法一、引言拓扑优化算法是一种旨在找到结构优化方案的方法，该方案会最大程度地提高性能或减少成本。
在各个领域中，如工程设计、网络规划和材料科学等，拓扑优化算法都起到了至关重要的作用。
本文将从算法原理、应用领域、算法分类和应用案例等方面进行深入探讨。
二、算法原理拓扑优化算法基于拓扑结构来进行设计优化。
它通过改变结构的形状和连接方式，以最大程度地提高结构的性能。
算法原理主要包括以下几个方面：1. 基本原理•首先，需要定义一个结构的初始拓扑。
•其次，根据特定的目标函数和约束条件，通过优化算法对拓扑进行调整。
•最后，通过对不同的拓扑变量进行优化，得到最优的结构设计。
2. 目标函数和约束条件•目标函数是用来衡量结构性能的函数，如材料强度、柔韧性和减震能力等。
•约束条件是在优化过程中需要满足的条件，如体积限制、稳定性要求等。
3. 优化算法拓扑优化算法主要有以下几种： - 拉格朗日乘子法 - 梯度法 - 遗传算法 - 粒子群算法三、应用领域拓扑优化算法在各个领域中得到了广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 工程设计在工程设计中，拓扑优化算法能够帮助提高结构的强度和刚度，减少材料用量和重量。
常见的应用包括飞机翼设计、桥梁设计和汽车车身设计等。
2. 材料科学拓扑优化算法在材料科学中被用来设计新型的材料结构。
通过改变材料的拓扑结构，能够实现特定的性能，如隔音、隔热和导热等。
3. 电力系统规划拓扑优化算法在电力系统规划中能够优化电网的拓扑结构，以提高电网的可靠性和稳定性。
通过合理安排输电线路和变电站等设施，能够减少功耗和线损。
4. 通信网络规划在通信网络规划中，拓扑优化算法能够优化网络的拓扑结构，以提高网络的传输性能和抗干扰能力。
通过合理布置路由器和光纤等设备，能够减少信号传输时延和丢包率。
四、算法分类拓扑优化算法可以被分为两类：连续拓扑优化算法和离散拓扑优化算法。
1. 连续拓扑优化算法连续拓扑优化算法将结构建模为连续的介质，通过对介质的密度进行优化来改变结构的形状。
拓扑优化简介拓扑优化设计流程算例
if enB max(min , en m) if max(min , en m) enB min(1, en m)
if enB min(1, en m)
xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))
1
nely+2
纵向
e
e
nely+1
2(nely+1)
2 1
8 7
4 3
局部
6 5
(1)
(4)
e
(2)
(3)
整体
KU F (有限元基本方程)
U ——各节点位移矩阵
建立优化模型
目标函数(min& max)
约束函数
设计变量
(x) (e )p
min
C UTF
n
( e ) pueT koue
》top(60,20,0.5,3,3)
在Matlab中运行程序行 top(60,20,0.5,3,3)
迭代次数：10
15
30
69
>imagesc
悬臂梁
左端固支
右端中间作用垂直载荷 p 1
F(2*nelx*(nely+1)+nely+2,1) = -1 fixeddofs = [1:2*(nely+1)] >top(80,50,0.5,3,3)
迭代次数：5
10
29
P1 P2
拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
目的：结构轻量化设计
拓扑优化：在给定的设计域 ，约束和载荷条件下， 确定结构构件的连接方式，结构内有无空洞、空洞 数量及位置等拓扑形式。
拓扑优化算法
拓扑优化算法拓扑优化算法拓扑优化算法是一种基于数学模型的优化方法，它通过对设计空间进行拓扑结构的优化，以达到最优设计方案的目的。
该算法广泛应用于工程领域，如飞机、汽车、建筑等领域。
一、什么是拓扑结构？拓扑结构是指一个空间中各个点之间的关系和连接方式。
在设计中，拓扑结构通常被用来描述物体内部的支撑结构或外部形态。
例如，在建筑设计中，拓扑结构可以用来描述建筑物内部的梁柱、墙体等支撑结构；在飞机设计中，拓扑结构可以用来描述飞机外形和内部支撑结构。
二、什么是拓扑优化算法？拓扑优化算法是一种基于数学模型的优化方法，它通过对设计空间进行拓扑结构的优化，以达到最优设计方案的目的。
该算法可以帮助工程师在保证产品性能和质量的前提下尽可能地减少材料消耗和成本。
三、如何进行拓扑优化？1. 建立数学模型首先需要建立一个数学模型来描述设计问题。
这个数学模型通常包括设计空间、目标函数和约束条件。
2. 设计空间设计空间是指所有可能的设计方案的集合。
在拓扑优化中，设计空间通常被定义为一个三维网格模型，每个网格单元代表一个设计变量。
这些网格单元可以被分配为实体或空白。
3. 目标函数目标函数是指需要最小化或最大化的性能指标。
在拓扑优化中，目标函数通常被定义为材料消耗量或结构质量等指标。
4. 约束条件约束条件是指需要满足的限制条件，例如应力、位移、自重等。
5. 优化算法一旦建立了数学模型，就可以使用优化算法来搜索最优解。
拓扑优化算法通常使用迭代方法进行搜索，并在每次迭代中更新设计变量和约束条件。
四、拓扑优化算法的应用领域1. 建筑领域在建筑领域，拓扑优化算法可以用来减少建筑物内部支撑结构的材料消耗和成本，并提高建筑物的稳定性和安全性。
2. 汽车领域在汽车领域，拓扑优化算法可以用来减少汽车零部件的重量和材料消耗，从而提高汽车的燃油效率和性能。
3. 飞机领域在飞机领域，拓扑优化算法可以用来减少飞机结构的重量和材料消耗，从而提高飞机的燃油效率和性能，并降低飞机的维护成本。
结构拓扑优化概述
结构拓扑优化设计概述彭翔1. 拓扑优化是做什么的尺寸优化：根据给定的设计目标和约束，确定结构参数的具体值的优化设计方法。
形状优化：根据给定的性能指标和约束条件，确定产品结构的边界形状或者内部几何形状的设计方法。
拓扑优化：根据给定的设计目标和约束，进行最优材料分布的优化设计方法。
2. 拓扑优化设计的常用方法拓扑优化设计的目标是顺应性C 最小。
ade e T E u E E E t s C e∈==f u K uf )(..min ,u : 各节点的位移矢量 f : 各节点的外力矢量K : 整体刚度矩阵，根据所有元素的元素刚度矩阵e E (e =1,…,N)计算而得。
()∑==Ne e e E 1K K2.1 SIMP 法(Simple isotropic material with penalization)将各元素点的材料分布问题看作为各点的密度值问题，将弹性模量设置为各点的密度值的函数，进行密度值分布优化设计。
弹性模量()()1,0>=p E x x E ijkl p ijkl ρ()()Ω∈≤≤≤Ω⎰Ωx x V d x ,10;ρρ假设材料为各向同性的，将结构拓扑的变化转换为密度ρ的变化，并使用罚因子p 进行修正。
()()01,00ijklijkl ijkl E E E ====ρρ 常用步骤：1) 将设计域进行离散化，构建网格2) 根据给定的体积比，确定各点的密度值为初始值total e V V x max =3) 根据各元素的密度值，确定元素刚度矩阵，进行设计目标(顺应性C)的计算。
()∑==Ne e T e e e x E C 10u k u()()min 0min E E x E x E p e e e -+=[]1,0∈e x其中，e x 为第e 个元素的密度值；()e e x E 为第e 个元素的弹性模量；-3min 10=E 是一个无穷小量，表示空元素的弹性模量；0E 为元素的弹性模量，p 为系数，一般取为3。
拓扑优化算法
拓扑优化算法拓扑优化算法是在对拓扑结构进行优化的过程中使用的一种方法。
其目的是通过调整网络的连接方式，使得网络的性能得到改善。
拓扑优化算法可以应用于各种网络拓扑，如计算机网络、通信网络、物流网络等。
它的基本原理是通过调整网络节点之间的连接关系，来改变网络的结构，从而达到优化网络性能的目的。
拓扑优化算法通常包括以下几个步骤：1. 首先，需要明确需要优化的网络性能指标。
不同的网络系统可能关注的性能指标不同，比如计算机网络可能关注的是网络延迟、吞吐量等；而物流网络可能关注的是运输成本、效率等。
2. 接下来，需要根据具体的网络拓扑结构，构建网络模型。
网络模型可以采用图论中的图结构来表示，其中节点表示网络中的元素，边表示节点之间的连接关系。
3. 然后，需要制定优化目标函数。
目标函数是指在拓扑优化过程中需要最小化或最大化的函数，通常与网络性能指标相关。
4. 在明确了目标函数之后，可以使用优化算法对网络拓扑进行优化。
常用的优化算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法可以通过调整网络节点之间的连接关系，找到一个近似最优的网络拓扑。
5. 最后，需要对优化结果进行评估。
评估可以采用模拟实验、仿真实验等方法，来验证优化结果的有效性。
拓扑优化算法的研究和应用广泛，可以应用于各种实际问题。
比如，在计算机网络中，通过优化网络拓扑可以提高网络的传输速度和稳定性；在物流网络中，通过优化网络拓扑可以降低运输成本和提高效率。
除了上述步骤外，还有一些值得注意的点：- 在网络拓扑优化过程中，需要考虑到现有网络的约束条件。
比如，在计算机网络中，网络节点之间的连接关系可能受到物理设备的限制。
在优化过程中需要遵守这些约束条件。
- 拓扑优化算法可以采用启发式算法来近似求解最优解。
启发式算法是一种通过启发性规则来指导搜索过程的算法，可以在较短的时间内找到较好的解。
典型的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法等。
- 还可以使用多目标优化算法来解决拓扑优化问题。
结构拓扑优化概述
结构拓扑优化概述结构拓扑优化是一种重要的设计方法，旨在通过调整结构的拓扑连接方式和形状，以获得更优的结构性能。
该方法被广泛应用于各种工程领域，包括航空航天、汽车、建筑和机械等。
本文将对结构拓扑优化的基本原理、方法和应用进行详细的概述。
一、结构拓扑优化的基本原理结构拓扑优化的基本原理是通过调整结构的拓扑连接方式和形状，使结构在给定约束条件下具有最佳的性能。
通常，结构的性能指标可以是最小质量、最小应力、最大刚度或最大挠度等。
基于这些性能指标，结构拓扑优化可以通过增加或减少构件的数量、尺寸和位置来优化结构的整体性能。
1.定义设计域：设计域是指结构的整个空间范围，确定了结构的尺寸和形状的可变范围。
2.定义约束条件：约束条件包括结构的载荷、边界条件和材料特性等。
它们用于限制结构在设计域内的变形、应力和挠度等。
3.定义目标函数：目标函数是指优化问题的目标，可以是结构的总质量、最大刚度或最小应力等。
目标函数用于评估结构的性能。
4.分析结构的初始状态：在进行拓扑优化之前，需要对结构的初始状态进行分析，以评估其性能。
5.进行拓扑优化：通过增加或减少构件的数量、尺寸和位置来改变结构的拓扑连接方式和形状，以获得更优的结构性能。
6.进行性能评估：对优化后的结构进行性能评估，以确定是否满足约束条件和目标函数。
7.进行迭代优化：如果优化结果不满足约束条件和目标函数，则需要进行迭代优化，不断优化结构的拓扑连接方式和形状，直到满足约束条件和目标函数为止。
二、结构拓扑优化的方法1.基于连续域方法：基于连续域方法是一种传统的拓扑优化方法，它将结构的拓扑连接方式和形状表示为连续的函数。
常用的基于连续域方法包括有限元法、拓扑敏感的体积法和材料分布法等。
这些方法通过调整结构的密度分布或材料分布，来获得更优的结构性能。
2.基于离散域方法：基于离散域方法是一种较新的拓扑优化方法，它将结构的拓扑连接方式和形状表示为离散的像素点或单元。
常用的基于离散域方法包括单元删除法、增长法和演化算法等。
结构拓扑优化研究方法综述
结构拓扑优化研究方法综述一、本文概述结构拓扑优化作为一种高效的结构设计方法，旨在寻找在给定的设计空间和约束条件下，具有最优性能的材料分布方式。
随着计算机技术和数值方法的快速发展，结构拓扑优化在航空航天、汽车、建筑等多个领域得到了广泛应用，成为提高结构性能、减轻结构重量、降低材料成本的重要手段。
本文旨在对结构拓扑优化的研究方法进行综述，以期为后续的研究提供参考和借鉴。
本文将首先介绍结构拓扑优化的基本概念和研究背景，阐述其在工程实践中的重要性。
随后，将综述结构拓扑优化的主要研究方法，包括变密度法、水平集法、移动可变形组件法等，并分析各方法的优缺点和适用范围。
还将讨论结构拓扑优化中的关键技术和挑战，如多尺度优化、多目标优化、稳健性优化等，并介绍相应的解决方法。
本文将总结结构拓扑优化研究的现状和发展趋势，展望未来的研究方向和应用前景。
通过本文的综述，期望能够为结构拓扑优化的研究和实践提供有益的参考和指导。
二、结构拓扑优化的发展历程结构拓扑优化作为结构优化领域的一个重要分支，其发展历程可追溯至上世纪60年代。
初期的拓扑优化主要基于数学规划和几何规划的方法，通过改变结构的连接方式和分布来寻求最优的结构设计。
然而，由于计算能力和算法的限制，这些方法在实际应用中遇到了诸多困难。
随着计算机技术的飞速发展，特别是有限元方法和优化算法的进步，结构拓扑优化在80年代末期至90年代初期迎来了突破性的发展。
研究者开始利用计算机强大的计算能力，结合数值分析和优化算法，对结构拓扑进行优化设计。
这一时期，涌现出了多种基于数学规划的拓扑优化方法，如均匀化方法、变密度法、渐进结构优化法等。
这些方法在航空航天、汽车、建筑等领域得到了广泛应用，有效提高了结构的设计水平和性能。
进入21世纪，结构拓扑优化研究进入了一个全新的阶段。
研究者开始关注更复杂、更实际的工程问题，如多材料结构拓扑优化、考虑制造约束的拓扑优化等。
随着高性能计算和大数据技术的发展，结构拓扑优化方法也在不断创新和完善。
结构拓扑优化的优化算法研究
结构拓扑优化的优化算法研究一、引言结构拓扑优化是一种优化设计方法，旨在通过对结构内部材料的排布方式进行优化，达到降低结构重量、提高刚度和强度等目的。
该方法是一种基于计算机思维的高效设计手段。
随着计算机技术的快速发展，结构拓扑优化算法也得到了不断的改进与优化。
本文旨在介绍市面上常用的结构拓扑优化算法，并比较各个算法的优缺点，为相关研究提供参考。
二、算法概述目前市面上常用的结构拓扑优化算法包括：面积法、移位法、边界表示法、level set法、演化结构法、相位场法等。
1. 面积法顾名思义，面积法是一种基于面积的结构优化算法，其主要思想是在保证给定约束条件下，尽可能减小结构面积。
这种算法在结构拓扑优化领域尤其适用于大面积单层结构的优化设计。
面积法的优点是模型简单、易于实现；缺点是不能处理复杂的多层结构，容易出现局部极小值。
2. 移位法移位法是一种与面积法相比更加复杂的算法，其主要思想是将结构内部的节点按照一定顺序不断移动，直到达到最优解。
该算法使用较广泛的是SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）方法，其中有个关键参数p可以用来控制优化过程的精度和刚度，p值越大，结果越接近实际物理意义，但计算量也越大。
移位法的优点是可以处理复杂的多层结构，对连通区域与孤立的小区域的处理更为优秀；缺点是计算精度可能受到影响。
3. 边界表示法边界表示法是一种基于边界线的算法，其主要思想是将结构的边长作为优化的主要因素，通过不断更改边界线的位置和形状，使得结构面积或体积达到最优。
该算法是一种综合了面积法和移位法的方法，可以更好地处理复杂结构。
边界表示法的优点是可以处理复杂结构，计算效率较高，有较高的收敛速度；缺点是结构优化结果可能受到约束条件的限制。
4. Level set法Level set法是一种基于梯度的算法，其主要思想是在拓扑优化的过程中维持一个曲面的水平。
在优化过程中，曲面会不断地变形以达到优化目的。
周期狭长结构拼装模块尺寸效应与构型优化
周期狭长结构拼装模块尺寸效应与构型优化孙士平 刘宇峰南昌航空大学,南昌,330063摘要:针对狭长结构拓扑优化过程中存在的计算困难㊁有中间密度存在和优化构型复杂等问题,提出周期模块拼装方法,并建立混合梁单元模块有限元模型,开展了狭长结构的拓扑优化设计㊂以承受均布压力载荷的悬臂狭长结构为例,分析比较了不同模块数㊁不同材料用量以及不同截面梁对优化结果的影响㊂计算结果显示,采用周期模块拼装策略能获得规则简单易制造的优化构型,周期狭长结构具有尺寸效应且存在最佳模块尺寸来最大化拼装结构刚度㊂将混合梁单元模型的模块尺寸与拓扑协同优化结合,获得了清晰规则的类桁架构型㊂最后应用所提方法实现了周期狭长梯形结构的构型优化㊂关键词:狭长结构;周期拼装;尺寸效应;拓扑优化;周期结构中图分类号:T B 122 D O I :10.3969/j.i s s n .1004‐132X.2015.24.004S i z eE f f e c t s a n dL a y o u tO p t i m i z a t i o no fA s s e m b l i n g M o d u l e f o rP e r i o d i c a l T h i n ‐a n d ‐l o n g S t r u c t u r e s S u nS h i p i n g L i uY u f e n gN a n c h a n g H a n g k o n g U n i v e r s i t y ,N a n c h a n g,330063A b s t r a c t :Ar e p e t i t i v em o d u l e a s s e m b l i n g m e t h o d a n dam i x e d f i n i t e e l e m e n tm o d e lw e r e p r e s e n -t e dw h e r e t h e c o m p u t a t i o n a l d i f f i c u l t i e s ,i n t e r m e d i a t e d e n s i t y a n d c o m p l e x g e o m e t r i e s e x i s t e d .T h e i n -f l u e n c e s o f r e p e t i t i v em o d u l e n u m b e r ,m a t e r i a l v o l u m e f r a c t i o n a n db e a ms e c t i o n s i z e s o no pt i m i z a t i o n r e s u l t sw e r e c o m p a r a t i v e l y i n v e s t i g a t e do n t h eb a s i s o f o p t i m i z a t i o nd e s i g no f t h i n ‐a n d ‐l o n g c a n t i l e v e r s t r u c t u r e s u b j e c t i n g t o u n i f o r m p r e s s u r e s .T h e r e s u l t s s h o wt h a t o p t i m i z a t i o n c o n f i g u r a t i o nw i t h r e g u -l a r i t y ,s i m p l i c i t y a n de a s y t o m a n u f a c t u r ec a nb eo b t a i n e db y r e p e t i t i v e m o d u l ea s s e m b l i n g me t h o d .S i z e ef f e c t s o f p e r i o d i c t h i n ‐a n d ‐l o ng s t r u c t u r e a r e o b v i o u s ,a n d th e r ei s a no p t i m a lm o d u l e s i z e f o r p e -r i o d i c t h i n ‐a n d ‐l o n g s t r u c t u r e t om a x i m i z e s t i f f n e s s .R e g u l a r t r u s s ‐l i k e c o n f i g u r a t i o n o f r e p e t i t i v em o d -u l e i s o b t a i n e dw i t h c o n c u r r e n t o p t i m i z a t i o no f b o t hm o d u l e s i z e a n d l a y o u t ,b a s e d o nm i x e d f i n i t e e l e -m e n tm o d e l .F i n a l l y ,t o p o l o g y o p t i m i z a t i o no f a t h i n ‐a n d ‐l o n g t r a p e z o i d a l c a n t i l e v e r s t r u c t u r ew a sa -c h i e v e du s i n g t h e p r o po s e dm e t h o d .K e y w o r d s :t h i n ‐a n d ‐l o n g s t r u c t u r e ;r e p e t i t i v ea s s e m b l i n g ;s i z ee f f e c t ;t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n ;p e r i -o d i c s t r u c t u r e收稿日期:20150213基金项目:国家自然科学基金资助项目(11362017);江西省教育厅科技项目(G J J 13520,G J J 13494)0 引言大长宽比狭长结构广泛应用于工程结构系统,如钢架桥梁㊁桥式起重机的箱形主梁结构㊁飞机机翼主承力横梁等,一般此类结构的整体构型较为复杂,通过尺寸或形状优化实现结构减重的效果有限,采用拓扑优化技术来有效改进结构设计品质成为重要途径㊂然而,由于狭长结构的设计域长宽比较大,常规的拓扑优化方法求解该问题不仅要面临设计变量多㊁计算困难等问题[1],而且优化结果存在大量中间密度分布和细小构件,拓扑构型复杂[2],从而使后续制造困难,导致优化构型缺乏实用性㊂为此,许多研究者努力构建结构系统优化框架来解决周期拼装结构的优化设计问题㊂M o s e s 等[3]结合傅里叶变换和拓扑优化方法首次实现了周期结构的构型设计㊂刘书田等[1]基于平均柔顺性密度和拼装基结构开展了狭长悬臂梁的拓扑优化,分析了载荷组合及材料用量对优化构型的影响㊂张卫红等[4]基于材料/结构尺度关联设计方法研究了周期拼装模块尺度对优化结果的影响㊂Q i u 等[5]基于超单元方法实现了周期多孔材料的构型设计㊂王晓明等[6]提出了基于周期拼装的平面狭长压电作动器拓扑优化设计方法㊂X i e 等[7]采用双向渐进优化方法(b i d i r e c t i o ne v o l u t i o n a r y s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ,B E S O )开展了周期性宏观结构拓扑优化,并比较研究了周期模块尺寸对优化构型的影响㊂S t r o m b e r g 等[2]提出考虑周期构件尺寸和制造约束的拓扑优化方法实现了高层建筑支撑系统的概念设计㊂焦洪宇等[8]采用周期性拓扑优化方法实现了大长宽比壁板的构型设计㊂Y a n 等[9]基于超轻网格微结构开展了结构材料的协同优化㊂X u 等[10]实现了复合材料宏观结构与细观微结构的集成拓扑优化设㊃9823㊃周期狭长结构拼装模块尺寸效应与构型优化孙士平 刘宇峰Copyright ©博看网. All Rights Reserved.计㊂针对大长宽比狭长结构的拼装构型设计问题,本文结合拓扑优化方法和变量关联技术,探讨了周期模块尺寸效应在这类特殊结构中的表现,并考虑加工和构型约束问题,提出采用混合梁单元的模块模型进行模块构型设计和尺寸优化,分析了材料的分配比例,并进一步开展了狭长梯形结构的拼装模块构型设计㊂1 狭长结构的拓扑优化左端固定的狭长结构如图1所示,长L =3000mm ,宽H =160mm ,厚度T =10mm ,上表面受均布压力q =1M P a ㊂材料弹性模量E =70G P a ,泊松比μ=0.3㊂该结构属于典型的大长宽比结构,给定材料用量体分比为f 时,应用拓扑优化方法进行最大化结构刚度的材料布局优化,确定最优结构构型㊂图1 细长悬臂梁示意图1.1 结构整体构型优化基于拓扑优化原理,将图1所示结构有限元离散后,以结构材料用量为约束,最大化结构刚度的拓扑优化数学模型可描述为m i n C (X )=F T U s .t .V (X )=∑n i =1vix i ≤f V 0X =(x 1,x 2, ,x n )T0<δ≤x i ≤1i =1,2, ,n (1)式中,C (X )为结构柔顺度,用来描述结构抵抗变形的能力;F 为结构外载荷向量;U 为结构位移场矢量;X 为伪密度设计变量向量;x i (i =1,2, ,n )为有限单元i 对应的伪密度设计变量,取值为1或0,其中1表示有材料,0表示无材料;n 为设计变量数;V 0为设计域总体积;δ为极小正数(一般取10-3),以避免结构有限元刚度矩阵奇异㊂由于式(1)的拓扑优化结果存在棋盘格和网格依赖性[11],所以采用密度斜率控制法[12]来消除这种数值不稳定现象:|x i -x j |≤(1.0-δ)d i s t (i ,j )/r m i n (2)r m i n =0.5d m i n式中,x i ㊁x j 分别为相邻两个单元i㊁j 的伪密度变量;d i s t (i ,j )为单元i 和j 的中心距离;d m i n 为预先确定的最小构件尺寸㊂结合S I M P (s o l i di s o t r o pi c m i c r o s t r u c t u r e s w i t h p e n a l i z a t i o n)变密度材料插值模型(本文取惩罚系数为3)和优化准则法求解式(1)和式(2),获得的优化结果如图2所示㊂由图2可以看到,材料较多地分布在固定端附近,远离固定端方向的材料分布逐渐减少,形成的支撑连接构件也逐渐细化,优化构型不规则且存在细小构件㊁节点铰接情况和中间密度现象㊂显然,这种狭长结构的优化构型具有布局复杂㊁制造安装及损坏更换成本高等问题,而且随着结构长宽比(L /H )的进一步增大,优化求解和生产制造将更为复杂困难[1‐2]㊂综合考虑结构性能和经济成本,对于大长宽比狭长结构,可将其视为由周期性模块拼接组成,从而改善其拓扑构型的复杂性,降低结构的生产和安装成本,且周期性拼装结构局部受损后的更换和维修更容易㊂图2 结构拓扑优化结果(f =40%)1.2 模块构型优化假设图1所示狭长结构由m 个构型相同的模块拼装组成,每个模块对应一个子设计域Ωj (j =1,2, ,m ),其长度l =L /m ,如图3所示㊂整体结构有限元离散后,以x (j)i表示Ωj内有限单图3 周期模块拼接结构示意图元i 对应的伪密度设计变量,令Ωj 内相同位置的伪密度设计变量相等,即x (1)i =x (2)i = =x (m)i=x i (i =1,2 ,n ),通过变量关联技术完成周期性子设计域Ωj 内相同位置处有限单元的同时保留或删除,从而获得呈周期性分布的结构构型㊂则最大化结构刚度的模块构型拓扑优化数学模型可表述为m i n C (X )=F T U s .t .V (X )=∑mj =1∑ni =1v(j )i x(j )i≤f V 0X (j )=(x (j )1,x (j )2, ,x (j )n )TX =(x 1,x 2, ,x n )T =X (j ) j =1,2, ,m 0<δ≤x i ≤1i =1,2, ,n (3)式中,X (j )为Ωj 内设计变量向量;n 为Ωj 内设计变量数㊂因式(3)既包含尺寸变量m (m =L /l ),又包含拓扑变量x i ,属于尺寸设计与拓扑构型协同优化问题,其求解较为困难,本文采取给定m 下的模块构型拓扑优化以简化计算,来比较模块尺寸l 对优化结果的影响㊂㊃0923㊃中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1.2.1 模块数m 对优化构型的影响图4给出了f =40%时,取m 为4㊁8㊁12㊁16㊁20㊁24优化获得的模块优化构型,结构效率系数φ=C m /C 1,C m 为包含m 个模块的优化结构柔顺度,C 1为整体优化结构柔顺度㊂可以看到,m 较小时(m <8),模块优化构型依然比较复杂,随着m 的增大,优化构型逐渐变得清晰㊁简单且稳定,表现为承受拉压弯矩的上下水平构件与抵抗剪切的中间斜支撑构件的组合㊂拼装结构构型与整体优化构型(图2)相比复杂度明显降低,工程实用性和美观性均得到改善㊂图4 结构效率与m 关系曲线图5给出了不同L /H 和m 时的优化结果,数据显示,随着m 增大,结构优化性能总体上趋于一个极限值,具有尺寸效应[4]㊂当L /H ≤8时,结构效率系数φ随m 的变化规律与文献[4]中优化结构柔顺度随m 增大而单调趋于极限值的变化规律相同;当L /H >8时,φ随m 的变化表现为非单调性,存在最优模块数m 来获得更高的结构刚度,且L /H 越大,最优模块数m 所获得的φ越小㊂另外,当9.375≤L /H ≤18.75时,最优模块数m 所对应模块尺寸l /H 处于1.17~1.25间,与文献[1]考虑集中载荷工况获得的l /H =1.29较一致㊂因此,对于大长宽比狭长结构可根据l /H 比值范围获得可分割的拼装模块数m ,从而实现拼装结构模块构型的有效设计㊂图5 不同L /H 和m 时的结构效率曲线1.2.2 材料用量体分比f 对优化构型的影响取m =16,不同f 时的模块优化构型如图6所示㊂可以看到,当f ≤35%时优化构型基本保持一致,为上下水平构件和中间斜支撑构件的组合,仅斜支撑构件间的连接位置存在一定波动㊂而当f >35%时,中间斜构件增多,增加的材料按比例分配给水平构件和斜构件㊂总体上,优化构型中水平构件材料用量占比f s 存在一定波动,且随f 减小波动增大㊂图6 不同f 时模块构型及材料分配(m =16)2 混合梁单元模型的模块构型优化图4和图6中模块优化构型均表现为上下水平构件和中间斜支撑构件组合的类桁架形式,水平构件仅发生尺寸变化,而中间斜构件形式存在一定变化㊂为此,假设模块中上下水平构件为梁单元,建立混合梁单元的模块有限元模型,该模型由设计域上下水平边界的梁单元和中间区域的实体单元混合组成㊂以梁截面尺寸和中间区域材料分布为设计变量,开展中间区域构型优化,比较梁截面形状尺寸对模块优化构型的影响㊂2.1 模块中间区域构型优化给定f =40%㊁m =16,fs 取不同值时的模块优化结果如表1所示㊂表中梁截面为长宽为d 1㊁d 2的矩形截面,fv 为中间区域材料用量体分比㊂表1 基于不同矩形截面梁的模块优化结果(f =40%)梁截面d 1(mm )×d 2(mm )10×2010×1610×1210×8fs (%)62.55037.525fv (%)15202530优化构型柔顺度C (J)11.601513.974918.344017.0418表1数据显示,当f s >37.5%时模块中间区域优化构型表现为桁架形式,且结构柔顺度随f s 减小而增大;当f s <37.5%时,中间区域增加的材料并没有全部用于增强斜支撑杆,而是集中于上下边界形成两水平构件来增强结构刚度㊂优化结果说明中间区域的材料用量并非越多越好,需要合适分配水平梁和中间支撑区域的材料用量来最大化结构刚度㊂表2给出了f =40%㊁m =16㊁fs =45%时,相㊃1923㊃周期狭长结构拼装模块尺寸效应与构型优化孙士平 刘宇峰Copyright ©博看网. All Rights Reserved.同截面积梁取不同截面形状时的模块优化结果㊂从表2中可以看到优化结果基本相同,说明以刚度为目标的模块优化构型对梁截面形状不敏感,优化构型稳定㊂表2 基于不同梁截面形状的模块优化结果(f=40%)截面形状尺寸惯性矩(mm4)1728.07872.01629.69499.0优化构型柔顺度C(J)15.571715.464215.582615.4345表1和表2的数据说明,基于混合梁单元的模块模型能优化获得构型简单㊁清晰稳定的优化结果㊂因此,通过设计梁截面尺寸能调整水平梁与中间斜支撑构件的材料占比而不改变结构构型,从而实现拼装结构刚度性能的改进,消除不同材料用量下模块构型选择困难问题㊂2.2 梁尺寸与中间区域构型的协同优化由图2优化结果可知,狭长结构因左端承受更大弯矩需要较多的材料来抵抗变形,材料分布从左到右逐渐减少㊂而周期拼装结构的每个模块使用等量材料,显然不能充分挖掘材料潜力,既造成材料浪费又降低结构性能㊂所以本文采用混合梁单元模型,通过变化梁截面来获得不同材料用量下的模块优化构型㊂如图7所示,假设模块中间区域具有相同的构型和材料用量f v,梁截面尺寸为d1×d2,中间区域有限单元伪密度变量为x i,则最大化结构刚度的梁尺寸与中间区域材料分布的协同优化模型为m i n C(X,D)=F T Us.t.V(X,D)=∑m j=1∑n i=1v(j)i x(j)i+375d1∑m j=1d(j)2≤f V0V(X)=∑m j=1∑n i=1v(j)i x(j)i≤f v V0X(j)=(x(j)1,x(j)2, ,x(j)n)TX=(x1,x2, ,x n)T=X(j)D=(d(1)2,d(2)2, ,d(m)2)T0<δ≤x i≤1 i=1,2, ,n4≤d(j)2≤20 j=1,2, ,m式中,D为梁截面尺寸设计变量向量;d1为常量,d1=12mm;d(j)2为模块j的梁截面设计变量㊂采用对偶算法求解该问题,尺寸优化步长取0.5,收敛精度为0.001㊂f=40%,m=16时的优化结果及迭代曲线如图8所示㊂可以看到梁截面具有明显的梯度变图7 周期变截面梁模块结构示意图图8 结构优化结果及迭代曲线化,优化结构柔顺度C=10.4505J,较表2结果减小了32.9%,但构型基本不变㊂2.3 模块构型尺寸优化模块构型的几何结构如图9所示,斜杆连接位置z=x/l,均为实心圆截面梁,水平梁截面半径为R,中间斜梁截面半径为r,基于周期性结构有限元模型进行模块构型尺寸优化㊂图9 模块构型几何示意图以结构刚度最大化为目标,以R㊁r㊁z㊁m为设计变量,材料用量约束的尺寸优化模型为m i n C(X)=F T Us.t.V(X)=2π(R2L+r2L1+r2L2)≤f V0X=(R,r,z)T2mm≤R≤10mm,2mm≤r≤10mm,0≤z≤1mmL1=z2L2+H2m24 L2=(1-z)2L2+H2m24给定f=40%,结构柔顺度C㊁z以及R㊁r的优化结果随m的变化曲线分别如图10和图11所示㊂结果显示,m=16时结构刚度最大,与拓扑优化结果相符;随着m增大,z在0.68~0.74间波动,R基本维持不变,而r则逐渐减小,有约86%的材料分配在水平梁上起主要承载作用,而拓扑优化结果仅为64%的材料分配在水平梁上,此结㊃2923㊃中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.果由拓扑优化模型中有限单元尺寸和最小构件尺寸引起㊂图10 C 及z 随m 变化曲线(f =40%)图11 C 及R 、r 随m 变化曲线(f =40%)3 狭长梯形结构的模块构型设计工程中常采用狭长梯形结构以充分挖掘材料潜力,提高结构效率,如大展弦比机翼主承力翼梁㊁大跨度钢结构等㊂图12为一类狭长梯形结构示意图㊂利用拼装模块思路和混合梁单元模型,基于模块相似性,结合变量关联技术来实现拼装模块材料布局的一致性,获得m =16㊁f =30%的优化结果如图13所示,周期拼装模块按1.03的比例缩放㊂图13a 为基于实体单元模型的模块优化构型,图13b 为基于混合梁单元模型的模块优化构型㊂可以看到优化构型均为类桁架结构,基于实体单元模型的优化结构刚度要高于基于混合梁单元模型的优化结果,但后者更简单和易于制造㊂图12 狭长梯形结构示意图另外,对于包含非整数个模块的拼装梯形结构(图14a ),应用变量关联技术实现周期性设计存在困难,采用混合梁单元模型和对称性约束进行构型优化,给定f =50%时优化结果如图14b 所示㊂可看到优化构型(图14b )与文献[2]优化结(a)实体单元模型(C =4.757J)(b)混合梁单元模型(C =23.795J)图13 狭长梯形结构模块优化构型(m =16)果(图14c )接近,但本文优化构型结合点更清晰,封闭的顶部结构能更有效地传递载荷抵抗变形,斜杆连接位置逐渐移向模块几何中心,与J o h nH a n c o c kC e n t e r 建筑[13]外侧抗风支撑结构(图14d)非常相似,说明基于混合梁单元模型能有效的开展梯度变化结构的构型优化㊂(a)拼装结构示意图(b )优化结果(c )文献[2]优化结果(d )J o h nH a n c o c kC e n t e r建筑[13]图14 梯形结构的优化结果4 结语采用拓扑优化方法和变量关联技术开展了周期拼装狭长结构的构型优化,分析了周期模块数和材料体分比对周期狭长结构优化性能和优化构型的影响㊂计算结果说明,周期拼装狭长结构刚度性能受模块数量影响具有尺寸效应,但存在最佳模块长宽比来最大化周期拼装结构的刚度性能;不同体分比下的模块优化构型均为类桁架形式,水平构件与斜支撑构件的材料用量需要合适匹配㊂基于混合梁单元模型实现了模块尺寸与拓扑的协同优化,获得了清晰规则的类桁架优化构型,进一步对狭长梯形结构进行了构型优化㊂优化结果为大长宽比结构的优化设计提供了参考㊂参考文献:[1] 刘书田,贾海朋,王德伦.狭长结构拓扑优化[J ].计算力学学报,2004,21(6):653‐657.L i u S h u t i a n ,J i a H a i p e n g ,W a n g D e l u n .T o p o l o g y O p t i m i z a t i o no fT h i n ‐a n d ‐l o n g S t r u c t u r e s [J ].C h i -㊃3923㊃周期狭长结构拼装模块尺寸效应与构型优化孙士平 刘宇峰Copyright ©博看网. All Rights Reserved.n e s eJ o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l M e c h a n i c s,2004, 21(6):653‐657.[2] S t r o m b e r g LL,B e g h i n iA,B a k e rW F,e t a l.A p p l i-c a t i o no fL a y o u t a n dT o p o l o g y O p t i m i z a t i o n U s i n gP a t t e r n G r a d a t i o n f o r t h e C o n c e p t u a l D e s i g n o fB u i l d i n g s[J].S t r u c t u r a l a n d M u l t i d i s c i p l i n a r y O p t i-m i z a t i o n,2011,43:165‐180.[3] M o s e sE,F u c h sM B,R y v k i nM.T o p o l o g i c a l D e s i g no fM o d u l a r S t r u c t u r e su n d e rA r b i t r a r y L o a d i n g[J].S t r u c t u r a l a n dM u l t i d i s c i p l i n a r y O p t i m i z a t i o n,2003, 24(6):407‐417.[4] 张卫红,孙士平.多孔材料/结构尺度关联的一体化拓扑优化技术[J].力学学报,2006,38(4):522‐529.Z h a n g W e i h o n g,S u nS h i p i n g.I n t e g r a t e d D e s i g no f P o r o u sM a t e r i a l s a n dS t r u c t u r e sw i t hS c a l e‐c o u p l e dE f f e c t s[J].C h i n e s eJ o u r n a l o fT h e o r e t i c a l a n d A p-p l i e d M e c h a n i c s,2006,38(4):522‐529. [5] Q i u K,Z h a n g W,D o m a s z e w s k iM,e ta l.T o p o l o g yO p t i m i z a t i o no fP e r i o d i cC e l l u l a rS o l i d sB a s e do naS u p e r‐e l e m e n t M e t h o d[J].E n g i n e e r i n g O p t i m i z a-t i o n,2009,41(3):225‐239.[6] 王晓明,亢战.基于周期拼装的平面压电作动器结构拓扑优化[J].计算力学学报,2011,28(2):193‐199.W a n g X i a o m i n g,K a n g Z h a n.S t r u c t u r a l T o p o l o g yO p t i m i z a t i o no fP l a n a rP i e z o e l e c t r i cA c t u a t o r sw i t hR e p e t i t i v e A s s e m b l i n g C o m p o n e n t s[J].C h i n e s e J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l M e c h a n i c s,2011:28(2): 193‐199.[7] X i eY M,Z u oZ H,H u a n g X,e t a l.C o n v e r g e n c eo fT o p o l o g i c a l P a t t e r n s o fO p t i m a l P e r i o d i cS t r u c t u r e su n d e rM u l t i p l eS c a l e s[J].S t r u c t u r a l a n d M u l t i d i s c i-p l i n a r y O p t i m i z a t i o n,2012,46:41‐50.[8] 焦洪宇,周奇才,李文军,等.基于变密度法的周期性拓扑优化[J].机械工程学报,2013,49(13):132‐138.J i a oH o n g y u,Z h o u Q i c a i,L iW e n j u n,e t a l.P e r i o d i cT o p o l o g y O p t i m i z a t i o n U s i n g V a r i a b l e D e n s i t yM e t h o d[J].J o u r n a l o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g, 2013:49(13):132‐138.[9] Y a n J u n,H uW e n b o,D u a nZ u n y i.S t r u c t u r eM a t e r i a lC o n c u r r e n tO p t i m i z a t i o no fL a t t i c e M a t e r i a l sB a s e do nE x t e n d e d M u l t i s c a l eF i n i t eE l e m e n tM e t h o d[J].J o u r n a l f o r M u l t i s c a l eC o m p u t a t i o n a lE n g i n e e r i n g, 2015,13(1):73‐90.[10] X uB i n,X i eY i m i n.C o n c u r r e n tD e s i g no fC o m p o s-i t eM a c r o s t r u c t u r e a n dC e l l u l a rM i c r o s t r u c t u r e u n-d e rR a n d o m E x c i t a t i o n s[J].C o m p o s i t e S t r u c t u r e s,2015,123(5):65‐77.[11] S i g m u n dO,P e t e r s s o nJ.N u m e r i c a l I n s t a b i l i t i e s i nT o p o l o g y O p t i m i z a t i o n:a S u r v e y o n P r o c e d u r e sD e a l i n g w i t h C h e c k e r b o a r d s,M e s h‐d e p e n d e n c i e sa n d L o c a l M i n i m a[J].S t r u c t u r a l O p t i m i z a t i o n,1998,16(1):68‐75.[12] Z h o u M,S h y y Y K,T h o m a s H L.C h e c k e r b o a r da n d M i n i m u m M e mb e rS i z eC o n t r o l i n T o p o l o g yO p t i m i z a t i o n[J].S t r u c t u r a la n d M u l t i d i s c i p l i n a r yO p t i m i z a t i o n,2001,21:152‐158.[13] J o h nH a n c o c kC e n t e r.[E B/O L].[2015‐09‐10].h t-t p://e n.w i k i p e d i a.o r g/w i k i/J o h n_H a n c o c k_C e n t e r.(编辑 王艳丽)作者简介:孙士平,男,1972年生㊂南昌航空大学航空制造工程学院副教授㊂主要研究方向为材料/结构拓扑优化设计㊂发表论文20余篇㊂刘宇峰,男,1987年生㊂南昌航空大学航空制造工程学院硕士研究生㊂创新引领发展迈向制造强国 2015年中国机械工程学会年会在广西南宁召开 由中国机械工程学会㊁广西壮族自治区科学技术协会主办,广西机械工程学会承办的2015年中国机械工程学会年会于2015年11月19-21日在广西南宁隆重召开㊂本届年会以 创新引领发展迈向制造强国”为主题,精彩的主旨报告及丰富多彩的专题活动吸引了来自全国各地500余名机械科技工作者参加㊂中国机械工程学会理事长㊁中国工程院院长周济院士,广西壮族自治区人大常委会副主任高雄出席年会开幕式并致辞㊂会上颁发了2015年度中国机械工业科学技术奖㊁第五届 绿色制造科学技术进步奖”㊁第五届 上银优秀机械博士论文奖”和中国机械工程学会科技奖㊂开幕式及颁奖仪式后,举行了主旨报告会㊂主旨报告会由中国机械工程学会常务理事㊁哈尔滨工业大学校长周玉院士主持㊂中国机械工程学会副理事长㊁华中科技大学教授李培根院士作了题为‘传统制造业转型浅析“的报告㊂中国机械工程学会副理事长㊁西安交通大学教授卢秉恒院士作了题为‘ 中国制造2025”与3D打印“的报告㊂中国机械工程学会副理事长㊁浙江大学教授谭建荣院士作了题为‘设计与创新设计若干问题的思考与探索“的报告㊂中国机械工程学会常务理事㊁中国科学院院士雒建斌教授作了题为‘我国摩擦学研究新进展“的报告㊂广西南南铝集团董事长郑玉林作了题为‘从高端铝合金需求看汽车轻量化新能源带来的发展机遇“的报告㊂2015年年会还举办了丰富多彩的专题活动,包括中国机械工程学会青年学术论坛㊁2015年绿色制造科技成果交流会等㊂(工作总部)㊃4923㊃中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月Copyright©博看网. 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收稿日期:2003-05-05;修改稿收到日期:2003-11-25.基金项目:国家自然科学基金面上项目(10072016);国家自然科学基金重大研究计划项目(90205029);教育部优秀教师资助计划资助项目.作者简介:刘书田*(1962-),男,博士,教授,博士生导师.第21卷第6期2004年12月 计算力学学报 Chinese Journal of Computational MechanicsV ol.21,N o .6D ecem ber 2004文章编号:1007-4708(2004)06-0653-05狭长结构拓扑优化刘书田*1, 贾海朋1, 王德伦2(1.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室工程力学系,辽宁大连116024;2.大连理工大学机械工程学院,辽宁大连116024)摘 要:通常的拓扑优化是在给定区域内,通过设计材料分布实现结构拓扑形式优化。
对于设计区域的长和宽相近的平面问题,现行的方法可得到清晰的拓扑。
但是,狭长结构的设计域具有大的长宽比。
为了保证基结构包含足够多的拓扑形式,宽度方向要求有一定量的有限元分割,从而导致整体网格数和设计变量多、问题求解困难。
本文提出了通过基本结构拼装的狭长结构拓扑优化方法,建立了以最小平均柔顺性密度为目标、同时设计材料分布和设计域几何尺度的基本结构的拓扑优化问题的数学提法和求解方法。
利用所提出的问题提法和求解方法,设计了狭长悬臂梁的拓扑形式,讨论了危险截面的弯矩与剪力的相对值以及材料体积约束对拓扑形式的影响。
数值结果表明,不同的弯矩与剪力的相对数值对应不同的拓扑形式,随着相对数值的增加,梁的拓扑形式由类桁架结构逐渐变成竖直立板加强的框架式结构。
关键词:拓扑优化;柔顺性;悬臂梁;SIM P 中图分类号:O 343;O 224 文献标识码:A1 引 言拓扑优化是优化领域最具挑战性的研究课题。
由于其能够产生结构的新构型,可以获得比传统的形状、尺寸优化更大的收益,因此在工程结构设计领域具有重要的应用前景。
由于Bendsoe 和Kikuchi[1,2]及其他学者的出色工作[3],近20多年来,拓扑优化获得了长足进展,成为备受关注的研究领域。
1988年,Bendsoe 和Kikuchi [1]提出了结构拓扑优化的均匀化方法,建立了基于微结构概念和均匀化理论的连续体结构拓扑优化问题的提法。
Bendsoe 在文献[2]中指出结构的布局优化是一个材料重新分布的优化过程。
在这些工作中,连续体结构被离散成多个单元,每个单元的材料被认为是具有特定微结构的空心材料,并允许单元的微结构参数(例如,材料密度和微结构方位等)在优化过程中连续变化,即可以从实体材料到复合材料,再到形成空洞的连续变化。
每一个单元都是最优结构的实体和空洞子域,最后形成最优的拓扑形式。
这些工作为拓扑优化进一步的发展奠定了理论基础,形成了基于微结构的结构拓扑优化求解体系。
之后,拓扑优化理论得到深入的研究和发展[3],研究了类似棋盘效应、网格相关性、等效材料性能与微结构参数间函数关系的依赖性等具体问题[4],建立了多种派生的拓扑优化方法[5-7]。
拓扑优化逐步成为在设计初始阶段把握结构的主要传力路径、提高结构刚度、获得合适自振频率及临界载荷因子[3,8](结构的屈曲研究)的重要工具。
目前的拓扑优化方法都是基于基结构的概念,即在一固定的区域内通过材料的分布和边界的增删变化实现拓扑优化。
设计区域对最优拓扑有重要影响,因此,拓扑优化设计变量应该包含设计区域的表述参数。
另一方面,对于复杂的设计区域,通常的方法会遇到困难,例如,在一长宽比相差不大的矩形设计区域中,均匀化方法[1]和SIM P 方法[5]均能获得合理的平面弹性问题的拓扑形式。
但当该矩形域非常狭长时,为了反映宽度方向的拓扑变化需要一定量的单元分割。
要保证单元性质,沿长度方向需要更多的分割数,造成单元个数增加,设计变量太多,引起优化问题求解困难甚至无法求解。
因此,设计一基本结构的拓扑形式,通过该基本结构的拼装构成整体结构的设计方案是合理的。
此时,基本结构所占区域成为一重要的设计参数,需要研究拓扑形式优劣的评价指标。
本文建立了基于平均柔顺性密度的结构拓扑优化方法。
不同于通常的拓扑优化方法,基于平均柔顺性密度的方法是以平均柔顺性密度为目标函数,同时优化结构拓扑描述参数(例如,材料密度)和设计区域描述参数(例如,长宽比)。
迭代过程中采用SIM P 法更新每个单元的弹性模量,并针对不同的设计变量分别用解析法和有限差分法计算目标函数和约束函数对设计变量的敏度。
文中给出了常规拓扑优化难以求解的大长宽比悬臂梁的拓扑优化结果,讨论了弯矩和剪力相对数值的大小对拓扑优化结果的影响。
结果说明,随着弯曲与剪切变形相对数值大小的变化,最优拓扑形式由类桁架结构逐渐过渡到上下表面层加竖向加强板的框架式结构。
2 基于柔顺性密度的拓扑优化问题提法 常规的拓扑优化方法均是在给定的设计区域内,通过设计材料的分布(拓扑形式)以使结构的性能指标最优,例如,柔顺性最小。
设计区域大小对结构最优拓扑有重要影响。
因此,设计变量应包含设计区域的描述参数。
对于本文考虑的以矩形区域为设计域的弹性平面拓扑优化问题,其长宽比 是合适的描述设计域的设计参数。
结构的性能指标与结构区域有关。
例如,对于给定的拓扑形式和外部作用,结构柔顺性随着设计区域的增大而增大。
在结构的设计区域变化时,应该定义合理的结构拓扑的评价指标。
平均柔顺性密度C 反映了单位体积(面积)内柔顺性,能够反映区域变化时拓扑形式的优劣。
柔顺性密度越小,对应的拓扑形式越好。
对于以矩形区域为设计域的弹性平面问题,结构的拓扑优化的目的为:寻求合理的材料分布(各单元的材料相对密度 i )和长宽比 的值,以使结构的平均柔顺性密度最小。
find: X =( , 1, 2,…, N e )T(1)min:C (X )(2)s.t.:KU =P(3)1∑Nei =1i V i ≤f max(4)min ≤ i ≤1 (i =1,2,…,N e )(5)式中V i 为第i 个单元的面积,f max 为结构的相对密度(实心材料面积与设计域面积的比值)的上限值, min 为保证单元刚度大于零而设置的材料相对密度的下限值,是很小的正数。
本文取min =0.001。
平均柔顺性密度定义为C (X )=1 U T P =1 U T KU =1 ∑Nee =1u Te K e u e (6)式中N e 为单元个数, 为结构所占区域的面积,U 和u e 分别为整体和单元的位移向量,P 为外力向量。
K 和k e 分别为整体刚度矩阵和单元刚度矩阵。
单元刚度矩阵与单元材料的等效性质相关。
根据SIM P 方法的思想,单元材料为各项同性的空心材料,假设单元内材料的宏观性质为各向同性,其泊松比与实体材料的泊松比相等,弹性模量E ( )与实体弹性模量E 0的比值同相对密度成指数关系:E ( )=E(7)式中 为空心材料相对密度, 为大于零的惩罚因子。
取不同值对应具有不同微结构的空心材料,也影响优化结果的收敛速度。
关于惩罚因子取值的讨论,参见文献[4]。
本文取 =3。
此时,平均柔顺性可表示为C (X )=1 ∑Nee =1( e ) u Te K 0u e (8)式中K 0为材料取实心材料( =1)时的单元刚度阵。
本文采用改进的可行方向法求解式(1)～式(5)表示的优化问题。
由于设计变量有拓扑设计变量(单元材料相对密度 i )和几何设计变量(长宽比 )两类,本文针对上式中不同的设计变量,用不同的方法求解敏度。
平均柔顺性密度对长宽比 的敏度由差分法计算:C =C ( 1, 2,…, N e , )-C ( 1, 2,…, N e , )(9)式中差分步长取为 =max (0.001,0.01 )。
材料相对密度影响材料性质。
在长宽比不变的情况下,对平衡方程(3)微分得KU i =- KiU(10)由定义式(6),并考虑到式(10),有C i =1 U T i P =1 U T i KU =-1 U T KiU (11)由式(7)和式(8),平均柔顺性密度对相对密度的敏度为654计算力学学报 第21卷 Ci=- ( i) -11U T K0U(12)3 狭长悬臂梁拓扑优化目前流行的拓扑优化,其目标通常取为结构整体的柔顺性,设计变量为单元内材料性质的描述参数,例如空心材料的密度。
设计变量的个数与单元数成正比。
对于具有图1所示狭长设计区域(悬臂梁)的结构拓扑优化问题,为了描述拓扑形式沿梁高(宽)度方向的变化,沿高度方向需要一定量的分割数。
为了保证单元的质量,沿长度方向的单元长度应该与高度方向的长度相当。
这势必造成沿长度方向的分割数很大,整体单元个数多,进而引起拓扑优化的设计变量太多。
例如,当在一个长宽比为10的矩形区域内设计某一悬臂结构的拓扑形式时,如果取高度方向的分割数为10,用正方形单元离散结构,则单元数为1000。
如果每个单元取一个设计变量,则问题的设计变量数高达1000。
如果高度方向的分割数增加,设计变量数按高度分割数的平方关系增加。
设计变量太多造成问题求解困难,甚至不能进行。
另一方面,结构的拓扑形式过于复杂,引起实际制造的困难。
解决这一问题的一种合理的方法是通过引入具有优质拓扑形式的基本结构,通过基本结构拼装成整体结构。
基本结构是整体结构的具有典型代表性的局部结构,其边界条件和作用荷载必须真实反映整体结构的受力状态,以保证所设计的最终结构逼近最优。
基本结构的受力状态和边界条件需要根据所处位置和整体结构形式以及尺寸确定。
对于图1所示的结构,本文取图2所示的边界条件设计其拓扑形式。
图中,P1为截面的剪力,P2为梁截面上的弯矩。
基本结构的设计区域很难预先给定,因此,采用式(1)～式(5)表示的含设计域尺度变量的拓扑优化问题的提法是合理的。
本文采用图2所示的具有固定宽(高)度的矩形区域为设计域,将单元材料的相对密度和长宽比为设计变量,按式(1)～式(5)表示的问题提法,并采用改进的可行方向法设计基本结构的拓扑形式。
此时,平均柔顺性密度可用单位长度的柔顺性表示。
4 优化结果与分析如图1所示的悬臂梁,其横截面受到剪力和弯矩的作用。
本文以作用在右端面的集中力P1反映图1整体结构模型Fig.1A lon g-and-th in can tilever b eam图2典型局部分析模型Fig.2Geometry and forces of th e base stru cture剪力,以一对大小相等的水平集中力P2表示弯矩。
边界条件和受力见图2。
取梁的高度H=100mm,剪力P1=600N,弯矩M=P2×H=2400×100 N mm。