江苏省2012届高三高考信息卷 数学(二)(解析版)

2012高考数学信息卷二一、填空题 1. 已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为2-.2. 函数()f x 的定义域为R . (1)2f -=，对任意的x ∈R ，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞.提示：设()()2h x f x x =-，'()'()20h x f x =->,故()h x 在R 上为增函数.又(1)(1)24h f -=-+=，由()24f x x ->，即()(1)h x h >-，得1x >-.3. 设点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且,,AP mAB nAC m n R =+∈ ，则22(2)m n +-的取值范围是.提示：[(1)]AP AQ AB AC λλγγ==+-,((0,1),(0,1))(1)m n γλγλλγ=⎧∈∈⎨=-⎩, 点(,)m n 在直线系x y λ+=上，点(0,2)到直线系(0,0)x y x y λ+=>>上点的距离取值范围是.4. 已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…}的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推，若120,21n n a a -==，则n = 211 . 提示：∵20(120)1123202102n ⨯+-=++++== ，211n ∴=. 5. 已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点. I 为12PF F ∆内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+，则双曲线的离心率为 2 .B提示：121.22PF PF c c -==, 2,2ca c e a=∴== .6. 如图，在ABC ∆中，90,6,BAC AB D ∠=︒=在斜边BC 上，2CD DB =,则AB AD ⋅的值为 24 .7. 各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项的和为n S，且2(2)n S n =≥，若11n n n n n a a b a a ++=+，且数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则n T =24621n nn ++.=21n S n a ==,11(21)n n n a S S n a -=-=-，212122221212121n n n b n n n n +-=+=+--+-+, 222222(2)(2)(2)13352121n T n n =+-++-+++--+2246222121n n n n n +=+-=++.二、解答题1. 如图，以x O 为始边作角)0παββα<<<（与，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q,已知点P 的坐标为).54,53(-(1)求αααtan 112cos 2sin +++的值；(2)若,0=∙求)sin(βα+的值.解：(1)由三角函数的定义得,54sin ,53cos =-=αα则原式=αααααααααααcos cos sin )cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 22++=++.2518)53(2cos 222=-⨯==α(2)，2,0πβα=-∴⊥∴=⋅OQ OP 2παβ-=∴，53cos )2sin(sin =-=-=∴απαβ，.54sin )2cos(cos ==-=απαβ βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+∴.25753)53(5454=⨯-+⨯=2.如图①三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直， 90=∠ABC ，1BB BC AB ==，M ,N 分别是C A AB 1,的中点.(1) 求证：11//B BCC MN 平面; (2) 求证：C B A MN11平面⊥.① ②证明：(1)如图②,连接11,AC BC ,显然AC 1过点N.M ,N 分别是C A AB 1,的中点，∴1//BC MN又11B BCC MN 平面⊄ ,111B BCC BC 平面⊂,∴11//B BCC MN 平面.(2) 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，1BB BC =,∴11B BCC 四边形是正方形∴111//1BC MN C B BC ），由（⊥∴C B MN 1⊥..,90.,,,11111BMC AMA MAA MBC AA BB BC MB AM CM M A ∆≅∆∴=∠=∠=== 由连接CM M A =∴1,又C A N 1是的中点,∴C A MN 1⊥.C C A C B 相交于点与11， ∴C B A MN 11平面⊥.3．烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。

已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离成反比，现有两座烟囱相距10㎞，甲烟囱喷出的烟尘浓度是乙烟囱的2倍，在距甲烟囱1km 处的烟尘浓度为2个单位/3m ,现要在甲、乙两烟囱之间建一所学校，问学校建在何处，烟尘对学校的影响最小？解：设学校建立在离甲烟囱km x 处，则该处甲、乙两烟囱的烟尘浓度分别为),100(,10,2<<-=x xk y x k y 乙甲＝则在该处的烟尘浓度),100(,102)(<<-+=+=x xkx k y y x f 乙甲 由已知.1,122=∴=k k所以， 220301200230120200)20(30110201012)(2-=-≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=--=-+=x x x x x x x x f .当且仅当,20020=-x 即21020-=x 时取等号，故学校应建立在离甲烟囱km )21020(-处烟尘对学校的影响最小.4．22162x y -=已知双曲线, (1)求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E 的方程.(2)点P 在椭圆E 上，点C (2,1)关于坐标原点的对称点为D ，直线CP 和DP 的斜率都存在且不为0，试问直线CP 和DP 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.(3)平行于CD 的直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，求CMN ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程.解：22222211,0,628c 6.x y a b a a b+=>>=+==（）设椭圆E 方程为则， 221.82x y ∴+=椭圆E 方程为(2)依题意得D 点的坐标为（-2，-1），且D 点在椭圆E 上，直线CP 和DP 的斜率K CP 和K DP 均存在，设P (x ,y ),2211111,,.22224CP DP CP DP y y y y y K K K K x x x x x -+-+-==∴⋅=⋅=-+-+-则P 又点在椭圆E 上，2222118444CP DPy x y K K x -∴=-⋅==--，. 14DP ∴-直线CP 和的斜率之积为定值.(3) 直线CD 的斜率为21，CD 平行于直线l ，∴设直线l 的方程为,21t x y +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1282122y x t x y ， 消去y ，整理得042222=-++t tx x ，)4(24162222,1≤-±-=∴t t t x ,()()212221221)21(1x x y y x x MN -∙+=-+-=∴)22(452<<--⋅=t t .点C 到直线MN 的距离为,52141t t d =+=22452452121t t t t d MN S CMN-⋅=⋅-⋅⋅=⋅=∴∆ .224)4(22=≤-=t t 当且仅当时取等号，即2,4222=-=t t t.2212±=∆x y l CMN 的方程为，此时直线面积得最大值为5. (1) 已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足11122(0),1,2,a a a b a b a =>-=-=333=-a b .若数列{}n a 唯一，求a 的值； (2)是否{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列？若存在，求{}n a ，{}n b 的通项公式；若不存在，说明理由. 解：(1)设{}n a 的公比为q ，则21231,2,3b a b aq b aq =+=+=+. 由123,,b b b 成等比数列得22(2)(1)(3)aq a aq +=++， 即24310aq aq a -+-=.（*）由0a >得2440a a ∆=+>，故方程（*）有两个不同的实根.再由{}n a 唯一，知方程必有一根为0，将0q =代入方程得13a =.(2) 假设存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列，设{}n a 的公比为1q ，{}n b 的公比为2q . 则221211b a b q a q -=-， 22331211b a b q a q -=-， 33441211b a b q a q -=-.由11223344,,,b a b a b a b a ----成等差数列得22121111121122331211121112112()(),2()().b q a q b a b q a q b q a q b q a q b q a q ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩ 即22121122122111(1)(1)0,(*)(1)(1)0.(**)b q a q b q q a q q ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩ (*)2q ⨯-(**)得21121()(1)0a q q q --=. 由10a ≠得12q q =或11q =.当12q q =时，由(*) (**)得11b a =或121q q ==，这时2211()()0b a b a ---=，与公差不为0矛盾.当11q =时，由(*) (**)得10b =或21q =，这时2211()()0b a b a ---=，与公差不为0矛盾.综上所述，不存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列.6.已知函数,164)(21+=x mx x f mx x f -=)21()(2,其中0≠∈m R m 且. (1)判断函数)(1x f 的单调性；(2)若2-<m ，求函数[])2,2())((21-∈+=x x f x f x f （）的最值；(3)设函数⎩⎨⎧<≥=2),(2),()(21x x f x x f x g ，当2≥m 时，若对于任意的[)+∞∈,21x ，总存在唯一的()2,2∞-∈x ，使得)()(21x g x g =成立，试求m 的取值范围.解：（1）,)82(4()(2221+-='x x m x f ）则当0>m 时，知函数)(1x f 在)2,2(-上单调递增，在()2,-∞-及),2(+∞上单调递减；当0<m 时，知函数)(1x f 在)2,2(-上单调递减，在()2,-∞-及),2(+∞上单调递增.(2)由22,2≤≤--<x m ，可得x m m x x f )21(2)21()(2⋅==-. x mx mx x f x f x f )21(2164))((221⋅++=+=∴（）. 由(1)知，当2-<m ，22≤≤-x ，函数)(1x f 在[]2,2-上是减函数，而函数x mx f )21(2)(2⋅=在[]2,2-上也是减函数，故当2-=x 时，函数)(x f 取得最大值162,16242mm m m --⨯+即.当2=x 时, 函数)(x f 取得最小值1622mm +-.(3)当2≥m 时，由于21≥x ，则164)()(211111+==x mx x f x g ，由(1)知，此时函数)(1x g 在[)+∞,2上是减函数，从而]160)()]2(0)(111mx g f x g ，（，即，（∈∈若2≥m 时，由于22<x ，则==)()(222x f x g m x -2)21(=2)21(x m -=22)21(x m ⋅，易知)(2x g 在()2,∞-上单调递增，从而))21(0)())2(0)(2222-∈∈m x g f x g ，（，即，（. 要使)()(21x g x g =成立，只需2)21(16-<m m ，即0)21(162<--m m 成立即可, 设,)21(16)(2--=m m m h 则易知函数)(m h 在[)+∞,2上单调递增，且0)4(=h ，故4<m ，所以42<≤m . 三、理科附加题1.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的，、、613121现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.(2)记X 为3人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的分布列及数学期望.解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i =1，2，3.由题意，知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立, A i ，B j ，C k (i,j ,k =1,2,3,且i,j ,k 互不相同)相互独立，且P (A i )=21,P (B j )= 31,P (C k )= 61. (1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P =3! P (A 1 B 2 C 3)= 6P (A 1) P (B 2) P (C 3)=616131216=⨯⨯⨯.(2) 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知ηη-=3313~X B ），且，（所以,271)31()3(0333=====C P X P η）（,92)32()31()2(1223=====C P X P η）（,94)32)(31()1(2213=====C P X P η）（,271)32()0(3303=====C P X P η）（故X 的分布列是X 的数学期望是227839429212710=⨯+⨯+⨯+⨯=）（X E .2.已知函数)21(11)1ln()(≥+-+-+=a x a ax x x f . (1)当曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线12:+-=x y l 平行时，求a 的值； (2)求函数)(x f 的单调区间. 解：1,)1()12()1(111)(22->+-+-=+---+='x x a ax x x a a x x f , (1)由题意可得,2431)1(-=-='af解得3=a ， 因为,42ln )1(-=f 此时在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(2)42(ln --=--x y ， 即,22ln 2-+-=x y 与直线12:+-=x y l 平行，故所求a 的值为3. (2)令,0)(='x f 得到0,2121=-=x ax ， 由21≥a 可知0,0211≤≤-x a 即. ① 当21=a 时，21021x ax ==-=.所以),1(,0)1(2)(22+∞-∈≤+-='x x x x f ， 故)(x f 的单调递减区间为),1(+∞-.② 当121<<a 时, 2101-,0211x x a=<<<-<-即, 所以在区间0)(),0()21,1(<'+∞--x f a上和，在区间.0)()0,21(>'-x f a上故)(x f 的单调递减区间为),0()21,1(+∞--和a ，单调递增区间为)0,21(-a.③ 当1≥a 时，1-211≤-=ax ，所以在区间)0,1(-上0)(>'x f ； 在区间),0(+∞上0)(<'x f ；故)(x f 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间为),0(+∞. 综合讨论可得：当21=a 时，函数)(x f 的单调递减区间为),1(+∞-； 当121<<a 时，函数)(x f 的单调递减区间为),0()21,1(+∞--和a ，单调递增区间为)0,21(-a.当1≥a 时，函数)(x f 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间为),0(+∞.。