江苏省高二数学苏教版选修2-2教学案：第3章1数系的扩充与复数的概念
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.1 数系的扩充》5
《数系的扩充》教学设计一、学情分析：在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。
另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯．二、教学目标1在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。
2理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．三、重点与难点重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念．难点：复数的概念．四、教具 15-12-=x 取什么值时，复数是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）0追问：如何说明两个复数相等？πsin ,2,6,25,3421,0,32,52i i i i i i ++--（五）反思回顾问题：你学到了什么？你还有什么疑惑？你进一步想探究的是什么？回顾本节课，i的引入者是欧拉，问题的提出者是卡当，卡当虽然没有解决问题，但他依然是大数学家，因为，发现问题比解决问题更重要，哈尔莫斯说，问题是数学的心脏．会不会还有复数以外的数呢？数学是无穷的科学，正如这无边无际的海洋．我们就是这一叶扁舟，在知识的海洋探索永无止境，屈原说“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”以此和大家共勉．（投影：问题是数学的心脏．数学是无穷的科学．路漫漫其修远兮，吾将上下而求索．）设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．最后，以三句名言作为结束语，期望与学生产生共鸣．（六）课外作业1、上网搜索复数的发展历史和在科学技术发展中的作用。
2、能否运用类比推理由实数性质得到复数性质？。
苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 第三章 数系的扩充和复数的引入3
宁县五中导学案一、 章节知识网络二、 归纳专题专题一 复数的概念及分类复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i ，满足i 2＝－1，且i 同实数间可以进行加、减、法的运算，结合复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，a ，b 的条件可把复数分为： 复数(z ＝a ＋b i ， a ，b ∈R) ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.其中纯虚数中“b ≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意． 例 1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ． 2 B ． －2C ． －12 D. .12【思路点拨】 先将已知复数化为“a ＋b i”的形式，再由纯虚数定义求a .【规范解答】 法一 1＋a i2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2， 故选A.法二 1＋a i 2－i ＝i a －i2－i为纯虚数，所以a ＝2， 故选A.【答案】A专题二 复数的四则运算复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i 2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i ，ω或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)设ω＝－12±32i ，则ω2＝ω，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N ＋)等．(2)(12±32i)3＝－1.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b ib －a i＝a ＋b i i b －a ii＝a ＋b i ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一的计算过程简化．例2 已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＋z ＝( )A ．1－iB ．－2iC ．1＋iD ．－2【思路点拨】 先计算z 1＝z 2－2zz －1，再计算z 1＋z .【规范解答】法一 z 2－2zz －1＝1－i2－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i＝－2i ，∴z 2－2zz －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A. 法二 z 2－2zz －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i＝－i －i－i ·i＝－2i. ∴z 2－2z z －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A.专题三 共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z |＝1⇔z ＝1z；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z . 例3设z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝1，|z 2|≠1，求|z 1＋z 21＋z 1·z 2|的值．【思路点拨】 利复数模的性质：z ·z ＝|z |2进行化简． 【规范解答】 ∵|z 1|＝1，∴|z 1|2＝z 1·z 1＝1. 从而|z 1＋z 21＋z 1z 2|＝|z 1＋z 2z 1z 1＋z 2|＝|1z 1|＝1|z 1|＝1.专题四 复数的几何意义1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数2．任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一 点(a ，b )又可以与以起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特|z |，|z －a |的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．例4 已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．【规范解答】(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一|z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝cos θ－22＋sin θ＋22＝9＋42sinθ－π.4当sin(θ－π)＝1时，4|z－z1|取得最大值9＋42，作业布置课本63页第2,3题。
高中数学选修2-2学案：3 1 1数系的扩充和复数的概念
第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念巩固练习：1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A.x =－21B.x =－2或－21 C.x ≠－2 D.x ≠1且x ≠－2 3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－14.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.5.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______.6.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.7.若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值.8.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i . 答案：1.D 2.D 3. 解析：由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 4. 解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或 ∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：25. 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b c a a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 26.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1. 7. 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-m m ∴m 2=8，∴m =±22. 8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解之得：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解之得：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅。
苏教版高中数学选修123.1数系扩充教案
3.1 数系的扩大和复数的引入【教课目的】（依据课程标准对本节课的要求，本节课的教课目的以下：（1）经过回想数系的扩大过程，察看所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部.2）经过小组议论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题.（3）经过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相像的题目. 【教课要点】复数的观点【教课难点】虚数单位i的引进及复数的观点【教课过程】一、问题情境(多媒体)问题1:同学们,从小到大，我们认识了各种各种的数.进入高中，我们学习了会合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？问题2:你能用会合关系符号将这些数集“串”起来吗？设计企图：一方面从学生已有的认知下手，便于学生迅速进入学习状态，激发他们的学习热忱，培育学生的归纳、归纳与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题.恩格斯以前说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的.”这样高的评论，看来我们要好好领会此中的神秘，最熟习的地方常常也能发现亮丽的风景.这些数其实不是素来就有，也不是突如其来的，任何事物的发生发展老是有原因的.太古的人类，为了统计捕捉的野兽和收集的野果，创建了自然数，那么其余数呢？它们产生的原由是什么呢？（归纳学生的回答：原由之一——客观需求）从数学内部看，我们研究数，与数的运算是分不开的，数集不过包括了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不不过是数集的扩大，更是运算规则的完美.二、学生活动问题3:我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思虑一下，这些运算在各个数集中总能实行吗？（学生回答）追问：这些问题是怎么解决的呢？——增添新数经过增添新数，解决了某些运算在本来的数集中不是总能够实行的矛盾.正是数学家们追求完满的理性精神，促进他们不停发现问题，解决问题，进而推进数学的发展.（原由之二——数学内因）设计企图：让学生思虑数集扩大的原由，在此基础之上，帮助学生从头建构数集的扩大过程，这是本节课的生长点.问题4:那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实行了吗？问题5:需要解决什么问题？（负数开偶次方的问题）我们知道，非负数能够开平方，负数只好开奇次方？现实的问题摆在眼前，怎样才能解决？——增添新数学生议论：试试增添新数，求解方程x21,x22,(x1)21.设计企图：教师引领学生采纳类比的思想，将问题转变为找一个数的平方为－1，进而让“引入新数”瓜熟蒂落．第一个正视这种问题的是意大利数学家卡尔丹 .16世纪，意大利数学家卡尔丹碰到问题“将10分红两部分，使二者的乘积等于40”时，出现了疑惑.他以为把答案写成“515和15”就能够知足条件，可是却没法解说.面对这些矛盾，笛卡尔、欧拉、高斯等一个又一个数学家们加入了研究的队伍，经过他们严实的论证，最后终于确立了它的合理地位.可是这种数与以前获得的实实在在的实数对比，仿佛缺乏有力的现实基础，因此法国数学家笛卡尔就将其命名为“虚数”，表示与实数相对应.此后虚数也加入了数的队列，与实数“平分秋色，和平共处”.1777年，瑞士数学家欧拉初次提出用i表示平方等于-1的新数.1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i通行于世.三、建构数学实数集的扩大就从引入平方等于－1的“新数”i开始的.（一）我们引入新数??，叫做“虚数单位”，并规定：（）21 ??=-1;（2）实数能够与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍旧成立.由这两个规定，我们获得：i代表一个数，；此外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮相助”.依据以上两项规定，请同学们思虑问题6：增添的新数不过是 i吗？问题7：你还可以写出其余含有 i的数吗？问题8：你能写出一个形式，把方才所写出来的数都包括在内吗？设计企图：学生经过问题6、7的铺垫，指引学生由特别到一般，抽象归纳出复数的代数形式z=a bi(a,b R)，帮助学生主动建构复数的代数形式．我们结构的数都能够用a bi来表示.abi是由实数与虚数单位i“复合”运作而成，我们把它们称为复数，由全部的复数构成的会合称为复数集，记作C，我们常用字母z表示复数.（二）z a bi（a,b R），也称a bi为复数的代数形式，此中a叫复数的实部，b叫复数的虚部（是实数）.由此，追问： a bi(a,b R)能表示实数吗？问题9：实数集与扩大后的复数集是什么关系呢？问题10：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？设计企图：学生经过议论自但是然地想到要对复数进行分类，进而深入对复数观点的理解问题10是让学生直观地感觉复数的分类，进一步深入复数的观点.进而攻陷本节拟订的第二个教课目的.问题11：两个二项式相等的充要条件是什么？你能类比得出两个复数相等的充要条件吗？设计企图：指引学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等而且虚部与虚部相等.并在此时告诉学生两个复数只好说相等或许不相等，除非它们都是实数时才能够比较大小.陪伴着此问题的解决使得本节最后一个教课目的顺利体现.(三)复数的相等假如两个复数的实部与虚部分别相等,则称两个复数相等,即：a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)a=c且b=d..例1、指出以下复数的实部和虚部(1)4;(2)2 3i;(3)5i 2;(4)0;(5)6i;(6)23注意:复数的实部与虚部都是实数.例2．实数m 分别取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)??是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？剖析：由于m∈R，因此m(m 1),m 1都是实数，由复数z=??+????(a,b∈R)是实数、虚数、纯虚数与零的条件能够确立实数m 的值．解（）当m，即m 时，z 为实数；110 1（）当1 即时，为虚数；2m 0,m1z（）当m(m1) 0即时，为纯虚数 .31 0,mzm练习1：已知z=m 2(1+??)- (m+??),m 为实数，当m 为什么值时，复数 z 是(1)实数(2)虚数(3)纯虚数设计企图：例题1主假如前后照顾，采纳观点同化的方式完美认知结构；实现对目标 1的巩固.例题2 及练习1 主假如稳固复设定的目标 2中数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数相关观点，起到实时反应、学致使用的功能.设计企图：加强复数相等的充要条件， 并让学生感觉到复数问题能够化归为实数问题来求解 .例3：已知（2??-1)+i=y-(3-y)i,此中??,??∈R,求??,??的值.【分析】依据复数相等的定义，得方程组设计企图：加强复数相等的充要条件，并让学生感觉到复数问题能够化归为实数问题来求解.2??-1=????=5【分析】由题意得2{-(3-??)解得{1=??=4设计企图：加强复数相等的充要条件，并让学生感觉到复数问题能够化归为实数问题来求解.练习：2（）若（3-10i)y(-2i)x1-9i,务实数x,y1已知复数(2)zk 23k(k25k6)i(k R),且z小于，求k的值（1）??=1,??=1(2)k=2设计企图：本题主假如为了实时稳固、检查讲堂成效；进而进一步提高学生剖析问题和解决问题的能力.（四）讲堂小结经过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑问？并抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，全部的复数也能用数轴上的点来表示吗？设计企图：经过学生总结、教师提炼，深入内容，让学生领会数系扩大过程中包含的创新精神和实践能力.提出问题激发学生对复数的后续学习的欲念 ,为下节课学习埋下伏笔. （五）作业部署1、书面作业：课后习题A组第1、2题.2、知识拓展作业：小构成员沟通合作，写一篇与数系扩大和发展相关的小论文；这节课，我们共同感觉了数的观点发展的过程，虚数的出现与好多新惹祸物同样，刚开始并不为人所接受.关于“虚数”的研究，经历了漫长的过程，最后人们发现复数在物理学，空气动力学等好多领域的实质作用后，虚数才被大家所接受，正所谓实践才是查验真谛的独一标准.“数系发展到复数以后还可以不可以持续扩大？跟着数学领域的不停扩展，也许有一天数系会突破复数集的拘束，迈向更广的数系空间.建议有兴趣的同学课下认识章末阅读资猜中“四元数”的内容.。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
第3章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、数学建构问题1怎样解决-1也能开平方的问题?解引入虚数单位i,规定:① i2=-1;②实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i是-1的一个平方根.问题2根据虚数单位的规定,得到形如a+b i(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解①复数的定义:形如a+b i(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.②复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+b i(a,b∈R),把复数表示成a+b i的形式,叫做复数的代数形式.问题3复数与实数有什么关系?解对于复数a+b i(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+b i(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=b i叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.(图1)学生分组活动活动1复数集C和实数集R之间有什么关系?活动2如何对复数a+b i(a,b∈R)进行分类?活动3复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?问题4a=0是z=a+b i为纯虚数的充分条件吗?解是必要不充分条件.问题5两个复数相等的充要条件是什么?解两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-错误！未找到引用源。
苏教版高中数学选修(2-2)-3.1《数系的扩充》参考教案1
3.1 数系的扩充【教学目标】1．经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求．2．理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．3．使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养．【教学重点】复数的引入与复数的分类．【教学难点】复数概念的引入．【教学过程】一、问题情境：问题的提出：将数字10分成两部分，使他们的乘积等于40，求这两部分？（让学生展开讨论，提出解决问题的方案，并引导学生发现：由于负数不能开平方，从而该方程在实数范围内无解．）二、学生活动被誉为最后一位数学通才的彭加勒曾说：“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状”．现在，还是先让我们沿着历史的足迹，重温数的发展历程即数系不断扩充的过程！（板书课题）（与学生一起回顾数学史，经历数的概念的发展和数系扩充的过程，感受数学的应用价值与文化价值，体会数学创造与发现的过程．）1．数系的扩充是生产实践与社会发展的需要．（1）计数的需要产生了自然数．（2）为了表示具有相反意义的量引入了负数，数集由自然数集扩充为整数集．（3）为了测量与分配的需要，引入了分数，数集由整数集扩充为有理数集．（4）第一次数学危机，使人们发现了无理数，数集由有理数集扩充为实数集．2．数系的扩充是数学内部发展的需求．从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的，不妨以解方程为例：x+=有自然数解吗？问题1：在自然数集中方程40x+=有自然数解吗？问题2：在整数集中方程40x-=有解吗？问题3：在整数集中方程320x-=有解吗？问题4：在有理数集中方程220点评：从自然数集、整数集、有理数集到实数集：（1）每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．（2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．三、意义建构1．数集进一步扩充的必要性x+=有实数解吗？问题5：方程210x+=无解，负数不能开平方的问题，表明数的概念需要进说明：面临方程210一步发展，实数集需要进一步扩充．2．实数集扩充的方法（1）引入新数数集每一次的扩充，都引入了一种新数，使得到的新的数集包含了扩充前的旧数集．因此，实数集再扩充，就要引入新数．（2）引入虚数①历史回顾：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”(((=++-=+-1055 4055“数”吗？它表示什么意义呢？②1637年，法国数学家笛卡儿给这样的新数起名为虚数，即“虚的数”与“实数”相对应．（3）认识复数①引入虚数后，数系又扩充为什么样的数集呢？=-，且称②1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,它满足：i21为虚数单位．。
高中数学苏教版《选修2-2》《第三章 数系的扩充与复数的引入》精
高中数学苏教版《选修2-2》《第三章数系的扩充与复数的引入》精高中数学苏教版《选修2-2》《第三章数系的扩充与复数的引入》精品专题课后练习【2】(含答案考点及解析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.若复数【答案】【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》复数》复数概念和向量表示【解析】试题分析：由题意知，考点：复数的概念.，解得．（为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m_____.2.从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为 .【答案】【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》积分【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知，点积为矩形面积，那么比值为.取自阴影部分的面积为，总的区域面考点：1.定积分的几何意义；2.几何概型.3.若复数的实部为，且A．，则复数的虚部是（）B．C．D．【答案】B【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》复数》复数综合运算【解析】试题分析：设，则由，得，即复数的虚部是，选.考点：复数的概念，复数的模.4.过点P(－1,2)且与曲线y＝3x－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线2方程是________．【答案】2x－y＋4＝0【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数的概念和几何意义【解析】易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2. ∴所求直线的斜率k＝2.∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.5.已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为 ( )． A．f(x)＝(x －1)＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1)2C．f(x)＝2(x－1) D．f(x)＝x－1【答案】A【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数计算【解析】分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.26.设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式是 .【答案】{k|k≥1}≤恒成立,则正数k的取值范围【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数的综合运用【解析】∵k为正数,∴对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式由g'(x)==0,得x=1,≤恒成立?[]max≤[]minx∈(0,1)时,g'(x)>0,x∈(1,+∞)时,g'(x)<0, ∴[]max==.=0,得x=,同理由f'(x)=x∈(0,)时,f'(x)<0,x∈(,+∞)时,f'(x)>0, []min==,∴≤,k>0k≥1.7.下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线所以直线平面，直线平面；直线，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误 D．大前提错误，结论错误【答案】D【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》推理与证明》合情推理与演绎推理【解析】试题分析：如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线平面，直线平面时，直线与直线可能平行，也可能异面，故结论错误，选D. 考点：演绎推理.8.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________(用n表示)．【答案】Sn＝6n＋2.【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数【解析】根据图形可知，当n＝1时，S1＝6＋2；当n＝2时，S2＝6×2＋2；当n＝3时，S3＝6×3＋2，…，依此推断，Sn＝6n＋2.9.已知函数【答案】在上是单调减函数,则实数的取值范围是___________．【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》利用导数研究函数的单调性【解析】试题分析：由题意，得在是：．，因为函数在恒成立，则上是单调函数，所以，所以实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性．10.已知，为的导函数，则得图像是（）【答案】A【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数计算【解析】感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学教案选修2-2《第3章 数系的扩充与复数的引入》最新修正版
目标定位：数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需要．复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充．《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练，从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用，有助于发展学生的创新意识．引进虚数，把实数集扩充到复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩充．虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后，在解决实际问题中才得到广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固了下来．复数与平面向量有着密切的联系．复数的向量形式是它的几何意义之一；借助向量，我们可以得到复数的加法法则，并赋予其几何意义；复数减法的几何意义与向量减法也是一致的．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．同时，复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能．数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容，突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义．教材解读：复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．它们是数学思维能力的具体体现．数系的扩充与复数的引入具体地综合体现了上述数学思维过程．这些使得学生可以在以往具体经历各种数学思维方式的基础上，在更高层次上加以理解．本章教学内容虽然不多，但中学阶段重要的数学思想方法都有所体现．时，常用到待定系数法建立相应的方程组来解决．这充分体现了转化化归思想和方程思想．复数包括实数和虚数两部分，虚数还分纯虚数和非纯虚数．解决与复数概念有关的问题时，对虚部b的讨论十分关键．要合理地加以分类讨论，要注意不重复且不遗漏．复数的四则运算可类比实数运算来学习，但它不是实数运算合情推理的结果，而是一种“规定”，是新的定义．复数的四则运算本身也是一个建构的过程，其前提是对虚数单位i的两个规定，从而形成了一个具有公理化结构特点的小系统．公理化思想的有机渗透，对学生体会数学精神，感悟数学本质很有教育价值．对本章的教学提出以下建议：1．数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．教学中，应突出数系的扩充过程，让学生通过回忆以往的学习历程，了解数集的每一次扩充，既是客观实际的需要，又是数学内部发展的需要．从数的运算和解方程的角度感悟“实数不够用了”，从而理解引入虚数的必要性．2．复数的运算是一种新的规定，它是数学体系建构过程中的重要组成部分．学生通过类比归纳、运算求解，进一步体会在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾，有利于形成对数学较为完整的认识．3．在复数运算的教学中，可以类比多项式的运算法则来理解和记忆．应注意避免烦琐的计算与技巧训练．对于有兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3＝1的根，介绍代数学基本定理等．4．复数的几何意义和复数加减法的几何意义，可结合平面解析几何和平面向量中的有关知识来学习，这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第3章_3.1_数系的扩充
3．1数系的扩充复数的概念及代数表示法问题1：方程2x 2－3x ＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？ 提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和12.问题2：方程x 2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 提示：没有解．问题3：若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？ 提示：有解，x ＝i.问题4：实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记作a ＋b i ，这一新数集形式如何表示？ 提示：C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }．1．虚数单位i我们引入一个新数i ，叫做虚数单位，并规定： (1)i 2＝－1.(2)实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 2．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C . 3．复数的代数形式复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与 虚部.复数的分类问题1：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时，z 是什么数？ 提示：当b ＝0时，z ＝a 为实数．问题2：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，z 是什么数？提示：当a ＝b ＝0时，z ＝0为实数；当a ＝0，b ≠0，z ＝b i 为纯虚数．1．复数z ＝a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数 (b ＝0)，虚数 (b ≠0)，(当a ＝0时为纯虚数).2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部． 2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里， 一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．[对应学生用书P35]复数的概念[例1] 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.[一点通] z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是复数的基本定义，由a ，b 的取值来确定z 是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0.∴x ＝－1. 答案：－12．已知复数2＋7，27i,0i,5i ＋8，i(1－3)，i 2，其中纯虚数的个数为________．解析：∵0i ＝0，i 2＝－1， ∴纯虚数有27i ，()1－3i.答案：23．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0.即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0. 且m ≠2时， 复数z 是虚数； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0.即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．复数相等的充要条件[例2] 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． [思路点拨] 因为M ∪P ＝P ，所以MP ，从而可建立关于m 的关系式，进而求得m 的值．[精解详析] ∵M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}， P ＝{－1,1,4i}，且M ∪P ＝P .∴M P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1， 或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.∴m ＝1或m ＝2.[一点通] (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带． (3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．4．当关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m ＝________. 解析：设实根为x 0，则x 20＋x 0＋2x 0i ＋3m ＋i ＝0. 即x 20＋x 0＋3m ＋(2x 0＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0.∴m ＝112.答案：1125．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，求实数x 、y 的值． 解：∵x ，y 为实数，∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数，由复数相等的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 6．已知m 是实数，n 是纯虚数，且2m ＋n ＝4＋(3－m )i ，求m ，n 的值． 解：设n ＝b i(b ∈R 且b ≠0)由2m ＋n ＝4＋(3－m )i 得2m ＋b i ＝4＋(3－m )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4，b ＝3－m . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，b ＝1.∴m 的值为2，n 的值为i.复数概念的综合应用[例3] 若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值． [思路点拨] 分析条件→两复数均为实数→得关于m 的不等式组→求解. [精解详析] ∵m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10. 解上式得：m ＝3.[一点通] 不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m 的方程(组)求解．7．已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋2＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围． 解：∵x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋2＋(y 2－1)i ，(x ，y ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x >3或x <－1. 8．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z <0，求实数k . 解：∵z <0，∴z ∈R . ∴k 2－5k ＋6＝0.∴k ＝2或k ＝3.但当k ＝3时，z ＝0不符合题意． k ＝2时，z ＝－2<0符合题意． ∴k ＝2.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a ＋b i>0(a ，b ∈R )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0b ＝0.[对应学生用书P36]一、填空题 1．下列命题中，①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中正确的命题是________．解析：①若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x ＝－1则x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1不适合，③错；④是正确的．答案：④2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析：由复数相等的充要条件可知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 答案：－43．复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )是纯虚数，则a 的取值为________． 解析：∵复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，|a －1|－1≠0.解之得a ＝－1. 答案：－14．已知M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 解析：∵M ∩N ＝{3}，∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0. 解之得a ＝－1. 答案：－15．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________． 解析：∵z 1>z 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.故a ＝0. 答案：0 二、解答题6．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i ，实部小于零，虚部大于零，求实数k 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)(k －2)<0，k (k －1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12<k <2，k >1或k <0. 解得－12<k <0或1<k <2.7．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解：由复数相等的条件可知：⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝2，－(x 2＋y 2)＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.8．设复数z ＝lg(m 2－2m －14)＋(m 2＋4m ＋3)i ，试求实数m 的值，使(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数． 解：(1)∵z 为实数，∴虚部m 2＋4m ＋3＝0，则m ＝－1或m ＝－3.而当m ＝－1时，m 2－2m －14＝1＋2－14<0(舍去)； 当m ＝－3时，m 2－2m －14＝1>0. ∴当m ＝－3时z 为实数． (2)∵z 为纯虚数，∴实部lg(m 2－2m －14)＝0， 且m 2＋4m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －14＝1，m 2＋4m ＋3≠0，解得m ＝5. ∴当m ＝5时z 为纯虚数．。
高中数学教案 选修2-2教案 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1数系的扩充与复数的概念
数系的扩充和复数的概念【教材分析】本章《数系的扩充与复数的引入》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。
本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。
【学情分析】在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。
另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。
【三维目标】知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。
情感、态度与价值观：（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法；（２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点；（３）感受人类理性思维的作用。
【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件【教学难点】数集扩充的必要性和过程【教学设计】设计思想知识来源于实际生活。
教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。
本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。
媒体设计本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。
设计特色（１）重视数学的人文价值。
（２）知识建构采用合作探究模式。
【教学过程】一、课前投影,揭示课题名家名言虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物－－莱布尼茨。
高中数学苏教版选修2-2第3章《3.1 数系的扩充》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学苏教版选修2-2第3章《3.1 数系的扩充》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能目标
了解引进复数的必要性;理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等).
2过程与方法目标
通过问题情境,了解扩充数系的必要性,感受数系的扩充过程,体会引入虚数单位i和复数形式的合理性,使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识.
3.情感、态度与价值观
通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
2学情分析
学生对数系扩充的知识并不熟悉,教学中教师需多作引导.教学中可结合具体例子,以促进对复数实质的理解.
3重点难点
重点:复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.
难点:虚数单位i的引进及复数的概念.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课
请同学们回答以下问题:
(1)在自然数集N中,方程x+4=0有解吗?(在自然数集中,方程x+4=0无解,为此引进负数,自然数→整数;)
(2)在整数集Z中,方程3x-2=0有解吗?(在整数集中,方程3x-2=0无解,为此引进分数,整数→有理数;)。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.1 数系的扩充》
数系的扩充一、教学目标1 知识与技能：了解数系扩充的必要性；理解虚数单位i的产生及意义；2 过程与方法：了解数系扩充的数学历史进程，感受人类思维与现实相联系的历程，掌握复数的分类，理解得数的四那么运算；3 情感、态度与价值观：以数系的历史开展培养学生开展的眼光；用数系扩充的数学内涵使学生正视数学文化价值与科学价值。
二、教学重点复数的概念，虚数单位i，复数的分类以及复数在实际生活中的应用三、教学难点数系扩充的过程与方法及虚数单位的引入四、学情分析高二学生在初中阶段已经经历了由自然数集到整数集到有理数集再到实数集的数系扩充，这就说明学生已有学习复数的相关知识根底，具有学习复数的可能性；同时学生在解决一元二次方程的过程中经常会遇到无解的情境，这就为进一步学习复数提供了矛盾，具有学习复数的必要性五、教材分析本章?数系的扩充与复数的引入?是中学课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定根底。
六、教学过程〔一〕、忆一忆，翻翻“旧帐〞1现实情境：今天老师在这里做个大胆的预测，在不久的将来，咱们班上产生1位教授，2位明星，3位知名医生，4位公司老师，5位县委书记，……另外，还有0个害群之马；请问，这里的0，1，2，3，4，5…是什么数？现实情境从生活的角度来回忆数系的扩充过程2数学情境：【问题1】在自然数集中方程有解吗【问题2】在整数集中方程有解吗【问题3】在整数集中方程有解吗【问题4】在有理数集中方程有解吗数学情境从数学的角度来阐释数系的扩充过程〔二〕、研一研，探探新知【问题5】在实数集中方程有解吗【问题6】如何解决“在实数范围中开方运算不总实施的矛盾〞？1复数的概念：引入，使，规定形如的数叫做复数注意：①复数通常用字母表示，即复数可记作:把这一表示形式叫做复数的代数形式；②全体复数所组成的集合叫复数集，记作C；③复数把实数叫做复数的实部和虚部。
江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修2-2 第三章《数系的扩充和复数的概念》 数系的扩充与复数的引
第3章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充（1）② （2）52，4 (3)a,b 中有且仅有一个为0 1．必要不充分 2.必要不充分条件(0ab =Û00a b ==或,复数ba i+为纯虚数Û0,0a b =?) 3．(-∞,-1)∪(-1,+ ∞)4．2个 5. 1 6．(1)5或-3；(2)m ≠5且m ≠-3；(3)-2；(4)-3 7．a =4,b =2i 8．xy =1(x ≠0且x ≠1)9．设纯虚数m =yi (y ∈R 且y ≠0)，原方程可化为x 2+x +2xi -(3yi -1)i =0,即(x 2+ x+3y )+(2x +1)i =0,∴230,210.x x y x ⎧++=⎨+=⎩解得1,21.12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴112m i =.10．由题意1sin 131cos 0,0.x x x x y ⎧+<-⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2(1,)x y k k k Z π==≤∈.3.2 复数的四则运算（1）1004-1005i （2）9+6i （3）-1 （4）-4 （5）2 1.(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇒==⇒+= 2.i ii i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+- 3.1i - 4.由117i i 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=3a b ，,=8a b +5．1+i 6．-1 7．-1 8．5 9．1 10．ad +bc =0 11．-2 12．i 22± 13．(x +2)(x -2)(x +2i )(x -2i ) 14．3+4i 或-3-4i 15．334 16．2 17. 1 18．(1) -8i (2) -1 (3) -1 (4) 2-i (5) i (6) -1 (7) i(8)1710i+ (9) i 19．(1)10；(2)0；(3)(a 2+b 2) 2 20．(1)i ；(2)12i-；(3) 0 17．0 22．-i 23．i ，-32，0 24．1 25.2 26.1 27.1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ 28．15 29．38 30．2+i 31．1122i -32．i - 33．i 2+ 34．44i 35．i -1 36．±i 37．1 38．5+3i 39．解：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x y i i y +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4.40．x = -2，y =12 41．2,1,a b =-⎧⎨=-⎩或4,2,a b =-⎧⎨=⎩42．z 1=5-9i ，z 2=-8-7i 43． 4-4i44．(1)设实根为t ，则t 2+2t +2xy +(t +x -y )i =0，根据复数相等的充要条件，得t 2+2t +2xy =0，且t +x -y =0. 消去t 得：(x -1)2+(y +1)2=2；(2)所求点的轨迹是以(1,-1)为半径的圆，直线t=y-x 与圆有公共点，≤-4≤t ≤0.45．设,,z x yi x y Z =+∈，则222210101010()x y z x yi x y i z x yi x y x y+=++=++-+++， 因为10z z+为实数，所以2210y y x y -+=0，所以y =0或x 2+y 2=10.当y =0时，1010z x z x +=+，因为1010x x x x+≥+≤-或 又1＜10z z+≤6，所以y =0不合题意. 当x 2+y 2=10时，1010210xz x x z +=+=，所以1＜2x ≤6,又因为x ∈Z ,所以x =1,2,3分别代入检验，得z =1±3i ，或z =3±i . 46．(1)222211()()a b w z a bi a b i z a bi a b a b=+=++=++-+++, 因为-1＜w ＜2，所以w 为实数，所以220bb a b-=+， 又因为b ≠0,所以a 2+b 2=1.此时w =2a ∈(-1,2),所以1(,1)2a ∈-.(2)221(1)[(1)][(1)]1(1)(1)1z a bi a bi a bi bu i z a bi a b a-----+-====-++++++, 因为b ≠0，所以u 是纯虚数.(3)222222112()222(1)311(1)(1)b b a w u a i a a a a a a a -⎡⎤-=--=+=+=++-⎢⎥++++⎣⎦因为1(,1)2a ∈-，所以11(,2)2a +∈，所以1(1)21a a ++≥+， 当且仅当a =0时取等号，所以w -u 2的最小值为1.3.3 复数的几何意义（1）(U （2）四 （3）二 （4）二 （5 1．= 2．1+3i ，7 – 11i 3．6或2-8i 或-2+12i （提示：分情况讨论） 4．解：设R )∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+Θ，由题意得 2-=y .2111(2)(2)(22)(4)22555z x i x i i x x i i i -==-+=++---Q由题意得 4=x . ∴ i z 24-=. ∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=，21240,8(2)0,a a a ⎧+->∴⎨->⎩∴(2,6)a ∈5．第四象限 6．1+i ；2+i 7.2(3)z i =+=29686i i i ++=+,10z ==8． (1 9．±(4+3i ) 10. 2π 11． 12．(x -9)2+y 2=36 13．3322i + 14．5；1 15．解：设x 是方程的实数根，当x=0时，方程不成立，当x ≠0时，243x iz x++=-，222224325||()()818x z x x x x+∴=-+-=++≥，当且仅当x 2=5，即5x =±时取等号.所以min ||32z =16．15π（提示：图形是圆环） 17．最大值为513+，最小值为513- 18．如图，|2|2z i -=在复平面内表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆.|24||(24)|z i z i +-=--+，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M 、N ，使得M 或N 到定点(2,4)P -的距离最大或最小.显然过P 与圆心的直线交圆与M 、N ，M 、N 即为所求.不难求得(1,1)M ，(1,3)N -，即当1z i =+时，|24|z i +-有最大值32；当13z i =-+时，|24|z i +-有最小值2.19．解法1：由条件(1)1z i --+=，知复数z 的对应点A 在以（-1，1）为圆心，1为半径的圆上运动，而34(34)z i z i -+=--，它表示点A 和点B （3，-4）的距离.如图， 显然，BC AB BD ≤≤，∴34z i -+的最大值和最小值分别是411+和411-解法2：设34z i ω=-+34,145,z i z i i ωω∴=+-∴+-=+- 又11z i +-=，451i ω∴+-=可知ω对应的点的轨迹是以A （-4，5）为圆心，半径为1的圆. 如图， 所以max min 411,411ωω=+=-20．解法1：令,234,(,,,)z a bi z i x yi a b x y R ω=+=+-=+∈则2342()34(23)(24)z i a bi i a b i ω=+-=++-=++-2324a x b y +=⎧⎨-=⎩ 即 (3)2(4)2x a y b -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩2211z a b =∴+=Q ，即 22(3)(4)122x y -+⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22(3)(4)4x y -++=解法2：设234z i ω=+-，则 234z i ω=-+， 又1z =，故有 22z =， ∴(34)2i ω--=，∴对应点的轨迹是以(3,4)-为圆心，2为半径的圆，即22(3)(4)4x y -++=21．解：（1）令1z bi =+，b R ∈，1z ≤≤Q 2112b ∴≤+≤即：11b -≤≤故z 对应点的轨迹是以()()1,1,1,1-为端点的线段. （2）令1z bi =+，b R ∈， 则22212(,)z b bi z x yi x y R =-+=+∈令22124(1)x b y by x ⎧=-∴⎨=⎩∴-- 122b y ≤∴-≤≤Q故2z 对应点的轨迹是以（1，0）为顶点，且以x 轴为对称轴的开口向左的抛物线，在（0，-2），（0，2）两点间的一段.（3）令z u ω=+，则u z ω=-，故u z ω=-1,1u z ω=∴-=Q又Q 复数z 所对应的点在()()1,1,1,1-为端点 的线段上运动， 由1z ω-=，可知z u +的对应点轨迹是以()()1,1,1,1-为端点的线段上的点为圆心，1为半径的圆.所以这是一个圆系，其面积4s π=+.单元自测1．2-2i 2．④ 3．m ≠－1且m ≠6 4．2i 5．3 6．32i－ 7．0 8．2- 9．(-2,2) 10．i 51-- 11．13 12．3=m 13．217=m 14．3，0 15．(1)21--=或x ; …………………………4分 (2)x=1; …………………………9分 (3)-2<x<-1 …………………………14分 16．2025100)21(])11()21[(i i i ii +-+-+⋅+ 5210[(12)1()]i i i =+⋅+--()210112i i i =+-=+…………………………14分17．2333122i i i z i i i-+++===+-- …………………………6分则得;1)1()1(2i b i a i -=++++即i i a b a -=+++1)2(………………………12分解得4;3=-=b a …………………………14分 18．设(0)z bi b =≠ …………………………4分 则0)(2=-⋅-⋅+bi i i bi b …………………………10分 即022=-b b 2=∴b 得2z i = …………………………16分 19．解：设D （x,y ）(12)1(2)(1,2)AD x yi i x y i x y =+-+=-+-=--u u u r…………………………4分 (1)27(2)0AD AB x y ⊥⇒-⋅--=u u u r u u u r…………………………6分AD AB ==⇒=u u u r…………………………8分6804x x y y =-=⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩或 684D D z z i ∴=-=+或 ………………………10分 由C B D A C D A B BC ADz z z z z z z z z z =⇒-=-⇒=-+u u u r u u u r 68447103D DC C z z iz i z i=-=+⎧⎧∴⎨⎨=--=-⎩⎩或 …………………………16分 20.解：设实数根为a ， …………………………2分 则 2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=，即2tan 2(1)0a a a i θ---+= …………………………6分∵a ，tan R θ∈，∴2tan 2010a a a θ⎧--=⎨+=⎩∴1a =-且tan 1θ=， …………………………12分 又02πθ<<∴4πθ=…………16分。
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 3.1《数系的扩充与复数的概念》
3.1 数系的扩充与复数的概念导学案学习目标1、经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求。
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
学习重难点重点：复数的基本概念.难点：虚数单位i的引进及复数的概念。
学习过程一、课题引入1、思考：我们知道，对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac＜0时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？2、引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．3、复数的一般形式：4、叫做复数集，一般用字母C表示。
自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R以及复数集C之间有如下的关系：5、理解数的分类：6、注意对虚部(z＝a＋bi，b叫做z的虚部，它是一个实数)和纯虚数(z＝a＋bi，当a＝0，b≠0时，z＝bi叫做纯虚数)、零(z＝a＋bi，当a＝b＝0时，z＝0)和纯虚数以及虚数(z＝a＋bi，b≠0时，z叫做虚数)和纯虚数等相关概念容易混淆，请同学们辨析清楚。
7、若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＝z2⇔这是复数相等的定义，也就是说，它是一项规定．由这个定义可以得出一个推论：二、练习检测1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与部。
0.618，0，5i+8，4，2－3i，0，i3421+-，i25+，6i.2、计算i＋i2＋i3＋i4．三、例题讲解例1、实数m取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i是(1)实数(2)纯虚数？(3)虚数？【拓展练习】当m为何实数时，复数。
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数例2、已知(21)(3)x i y y i-+=--，其中,,x y R∈求x与y.,72+,72i,2i(),31-i,293i-immmZ)1(222-+-+=四、练习巩固1、若x ，y 24yi i =+，求x ，y.2、若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6) =0，求x 的值.五、课堂小结1.虚数单位i 的引入；2.复数有关概念： 复数的代数形式: (,)z a bi a R b R =+∈∈复数的实部 、虚部虚数、纯虚数复数相等a bi c di +=+ ⇔a c b d=⎧⎨=⎩ 六、课后作业 同步检测。
苏教版数学高二-备课参考数学苏教版选修2-2教案 3.1 数系的扩充
1.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
2.已知m∈R，复数z= +(m2+2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i.
答案：
1.解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴ ，
∴x=－ ，∴ ∴m2=8，∴m=±2 .
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入学案 理 苏教版选修2-2
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————第3章数系的扩充与复数的引入一、学习目标：1. 理解复数的基本概念；2. 理解复数相等的充要条件；3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；4. 会进行复数代数形式的四则运算；5. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
二、重点、难点重点：掌握复数的概念；复数的加法与减法的运算及几何意义；复数的四则运算。
难点：对复数概念和复数的几何意义的灵活运用及复数运算的准确运用。
三、考点分析：1. 复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2. 复数的代数运算是高考的另一热点，以选择题、填空题的形式出现，属容易题。
一、复数的有关概念1. 复数的概念形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。
若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数。
2. 复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）。
3. 共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）。
4. 复平面借用直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
5. 复数的模向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝二、复数的几何意义一一对应复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）；1. 复数z＝a＋bi←−−−→一一对应平面向量OZ（a，b∈R）。
2. 复数z＝a＋bi←−−−→三、复数的运算1. 复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di （a ，b ，c ，d∈R），则①加法：z 1＋ z 2＝（a ＋bi ）＋（c ＋di ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ； ②减法：z 1－ z 2＝（a ＋bi ）－（c ＋di ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ； ③乘法：z 1· z 2＝（a ＋bi ）·（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ；④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d ++-++-===+≠++-+ 2. 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C，有1z ＋2z ＝2z ＋1z ，（1z ＋2z ）＋3z ＝1z ＋（2z ＋3z ）。
苏教版数学高二- 选修2-2教师用书 第三章 数系扩充与复数的引用
第三章数系的扩充与复数的引用3．1数系的扩充(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数的单位；理解复数的有关概念与复数的分类，理解并掌握复数相等的定义．2．过程与方法体会实际需要与数学矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．3．情感、态度与价值观体会数学的发展来源于实践，又利于推动社会的发展进步和数学问题的解决，形成数学应用意识．●重点难点重点：对引入复数的必要性的认识，复数的基本概念和复数相等的充要条件．难点：虚数单位i的引入和复数的基本概念．为了突出重点，突破难点，多创设问题情境，引发学生的认知冲突，激发学生将实数系扩充的欲望，教师适度点拨引导，通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数“i”开始，复数的分类、复数的概念、复数的相等关键是抓住复数的代数形式，这样抓住突破问题的关键所在，有利于突破难点．(教师用书独具)●教学建议1．关于复数概念的教学关于复数概念的教学，建议教师很好地利用课本中解决x2＝－1这一问题，让学生了解复数引入的背景，很好地理解虚数单位i的意义，以及复数的形式，掌握复数的实部与虚部的概念．2．关于复数分类的教学关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注意与以前学过的数的衔接．3．关于复数相等的充要条件的教学关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等的问题转化为方程组解的问题的思想，解决此类问题．●教学流程创设问题情境，结合知识点1、2中的问题引入复数的概念并分类，定义复数相等的充要条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握复数的概念、性质及应用.⇒通过例2及其互动探究，理解复数的分类；求解的关键是列出实部、虚部应满足的条件(方程或不等式)．⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握两个复数相等的充要条件.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识和数学思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.课标解读1.理解复数的基本概念、复数的代数表示(重点)．2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用(重点、难点)．3．实部、虚部的概念(易混点).复数的概念及代数表示若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．【提示】有解，x＝±i.1．虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝－1；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数、复数集(1)形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．复数的分类与复数相等1.复数的分类复数z＝a＋b i(a，b∈R)，当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，特别地，若a ＋b i＝0⇔a＝b＝0．复数的概念(1)若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；(2)当z∈C时，z2≥0；(3)若实数a与a i对应，则实数与纯虚数一一对应；(4)若a＞b，则a i＞b i.【思路探究】(1)理解复数的有关概念；(2)命题真假的判断，可根据复数的概念通过举反例的形式进行．【自主解答】(1)中，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，(1)是假命题．(2)错误，当且仅当z∈R时，z2≥0成立，但z＝i时，z2＜0.(3)错误，当a＝0时，a i＝0，此时不满足实数与纯虚数对应．(4)错误，两个复数不全是实数不能比较大小．1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，这是特别应注意的，以防思维定势．2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举反例的形式否定一个命题是常用的方法．下列给出的四个命题：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ； ③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ④复数z ＝－1＋i 的虚部是i. 其中，正确的命题个数是________．【解析】 由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，∴①错．两个虚数不能比较大小(除非均为实数)，②错．当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0不是纯虚数，③错．复数z ＝－1＋i 的虚部是1不是i ，④错．∴正确的命题个数是0. 【答案】 0复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 【思路探究】 复数的分类标准―→列出方程（不等式）（组）―→解出m ―→结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2.∴当m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，解得m ＝－3.∴当m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m ≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性． 2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．若例题中的复数“z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m)i ”改为复数“z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )”，试求当a 为何值时，z 是实数？z 是纯虚数？【解】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．复数相等的充要条件【思路探究】 根据两复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等，列方程组求解．【自主解答】 ∵x ，y 为实数， ∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数， 由复数相等定义，⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.因此实数x ＝3，y ＝－2.1．本题的解题关键是两复数相等的充要条件，要注意只有在代数形式下确定实部、虚部后才能运用复数相等的条件．2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．如果(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝(3x ＋2y)＋y i ，求实数x ，y 的值． 【解】 由两复数相等的充要条件知： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∴实数x ＝－1，y ＝2.对纯虚数的概念把握不准致误实数m 取何值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数？【错解】 由题意得m 2＋m －2m ＋3＝0，解之得m ＝－2或m ＝1.∴当m ＝－2或m ＝1时，复数z 是纯虚数．【错因分析】 错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为零”这一条件，从而产生了增解．【防范措施】 1.复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )是纯虚数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，二者缺一不可．2．对复数分类时，切记复数的实部、虚部要都有意义． 【正解】 要使复数z 是纯虚数，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝1，m ≠－2且m ≠－3，∴m ＝1. 故当m ＝1时， 复数z 是纯虚数．1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别.对于纯虚数b i(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解，为利用方程思想提供了条件．3．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．如a＋b i＞0(a，b∈R)⇔a＞0且b＝0.1．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．【解析】2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2.∴所求复数z＝2－2i.【答案】2－2i2．(2013·连云港高二检测)若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝________．【解析】 由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i ，根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i. 【答案】 2＋i3．若a －b －2i ＝1＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________． 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，－2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴a 2＋b 2＝5. 【答案】 54．已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ？(2)z 是虚数？(3)z 是纯虚数？【解】 (1)z ∈R 时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2)z 为虚数时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)z 为纯虚数时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 综上知，当m ＝－3时，z ∈R ；当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数；当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数．一、填空题1．设a ，b ∈R ，则“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的____条件． 【解析】 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a ＝________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.【答案】 －43．(2013·张家港高二检测)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.【答案】 －14．若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a －b ＝________． 【解析】 由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2，∴a －b ＝－2. 【答案】 －25．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则有下列结论：①A ∪B ＝C ；②∁S A ＝B ；③A ∩∁S B ＝∅；④B ∪∁S B ＝C. 其中正确的是________．【解析】 ①显然错误；∁S A ＝{虚数}，故②错误；A ∩∁S B ＝A ，故③错误；④正确．【答案】 ④6．(2013·无锡市高二检测)设a ∈R ，且a ＋2i 2为正实数，则a 的取值范围是________．【解析】 a ＋2i 2＝a －2为正实数， ∴a －2＞0，则a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)7．下列说法正确的个数是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y)i ，其中x ∈R ，y ∈∁CR ，其中C 为复数集，则必有⎩⎨⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ）；②2＋i ＞1＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在．【解析】 ①中，由y ∈∁CR ，C 为复数集知，y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），不成立，故①错误；②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；③中，对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数，若a ＝－1，则(a ＋1)i 是0，不是纯虚数，故③错误；④中，实数的虚部为0，故④错误． 【答案】 08．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，log 2（x 2－3x －2）＞1，∴x ＝－2.【答案】 －2 二、解答题9．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 【解】 由纯虚数的定义知，log 2(m 2－3m －3)＝0且log 2(m －2)≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0且m －2≠1，解得m ＝4. 10．(2013·徐州高二检测)已知复数z ＝m(m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时，复数z 是(1)0 ；(2)纯虚数；(3)z ＝2＋5i?【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）＝0，m 2＋2m －3＝0.可得m ＝1；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）＝0，m 2＋2m －3≠0.可得m ＝0；(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）＝2，m 2＋2m －3＝5.可得m ＝2；综上：当m ＝1时，复数z 是0；当m ＝0时，复数z 是纯虚数；当m ＝2时，复数z 是2＋5i .11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，其中x ，y ∈R ，求复数z ＝y －x i.【解】 由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝(3x ＋2y )＋y i ， ∴(3x ＋2y )＋y i ＝(x ＋y )＋(x ＋3)i(x ，y ∈R )． 由复数相等定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝x ＋y ，y ＝x ＋3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∴复数z ＝2＋i.(教师用书独具)已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值． 【自主解答】 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由两个复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴实数k 的值为±2 2.(2013·常州高二检测)求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 值．其中x ∈R ，y 是纯虚数．【解】 设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎨⎧x ＝－32，b ＝4.因此x ＝－32，y ＝4i.3．2复数的四则运算第1课时 复数的加法、减法、乘法运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解复数代数形式的加法、减法与乘法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法、乘法运算．2．过程与方法渗透转化思想，经历探究过程，提高数学运算能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．●重点难点重点：复数代数形式的加法、减法、乘法运算．难点：复数减法、乘法运算与算法的理解．复数的加(减)法、乘法运算法则均是作为“规定”给出的，在教学中，引导学生领会这样处理的合理性，加深对运算法则的理解．为了突破难点，类比实数的减法、类比多项式的合并同类项与乘法，减少不必要的公式记忆，减少运算错误．(教师用书独具)●教学建议1．关于复数加法、减法法则的教学类比多项式的合并同类项，应用复数的加法、减法法则的关键是确定复数的实部和虚部，然后是复数实部与实部，虚部与虚部的加、减运算，要正确运用法则．2．关于复数乘法运算的教学类比多项式的乘法法则，但要把i2化为－1，明确实数系的乘法公式在复数系仍然成立，不仅可以简化运算，而且为引出共轭复数提供实例支持，为进一步学习复数的除法做点准备．●教学流程创设问题情境，结合知识点1，2中的问题给出复数加(减)、乘法法则和共轭复数的定义，明确运算律．⇒通过例1及其变式训练，让学生掌握复数的加减运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握复数代数形式的乘法.⇒通过例3及其互动探究，理解共轭复数并掌握有关运算.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.课标解读1.掌握复数代数形式的加减运算(重点)．2．理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算(重点、难点)．3．掌握共轭复数的概念及应用(易错点).复数的加减法1．已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】满足．2．若复数的z1，z2满足z1－z2＞0，能得到z1＞z2吗？【提示】不能，如(2＋i)－i＞0，但2＋i与i不能比较大小．1．复数的加法、减法法则(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数)．(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2．运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1．(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．复数的乘法与共轭复数1．复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？【提示】类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．2．复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．【提示】两复数实部相等，虚部互为相反数；z1·z2＝a2＋b2，积为实数．3．是否存在复数z，使z＝z?【提示】存在，当z∈R时，z＝z.1．复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律 z 1z 2＝z 2z 1 结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 32.共轭复数(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是z ＝a －b i ．(2)关系：若z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1，z 2互为共轭复数⇔a ＝c 且b ＝－d ．(3)当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z ，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．复数的加法、减法运算12R )． 设z ＝z 1－z 2且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.【思路探究】 着眼于(1)复数的加减运算法则，(2)复数相等的充要条件． 【自主解答】 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.1．复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．2．把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.【解】(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.(2)由z＋1－3i＝5－2i，得z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.复数的乘法运算2(2)(2012·重庆高考)若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________．【思路探究】利用复数乘法及复数相等的充要条件．【自主解答】(1)∵(m2＋i)(1＋m i)＝m2－m＋(m3＋1)i，∵(m2＋i)(1＋m i)是实数，∴m3＋1＝0，则m＝－1.(2)∵a＋b i＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，∴a＝1，b＝3.∴a＋b＝4.【答案】(1)－1(2)41．复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件，求a，b.2．三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(1)设a∈R，且(a＋i)2·i为正数，则a＝________．(2)(2012·山东高考改编)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝________．【解析】(1)∵(a＋i)2·i＝[(a2－1)＋2a i]i＝－2a＋(a2－1)i.依题意－2a＞0且a2－1＝0，∴a＝－1.(2)设z＝x＋y i(x，y∈R)，则z(2－i)＝(x＋y i)(2－i)＝(2x＋y)＋(2y－x)i.从而2x＋y＋(2y－x)i＝11＋7i，∴2x＋y＝11且2y－x＝7，从而x＝3且y＝5，故z＝3＋5i.【答案】(1)－1(2)3＋5i共轭复数的概念【思路探究】设z＝x＋y i(x，y∈R)，要求z，关键在于求x，y.根据共轭复数的性质、复数相等的充要条件，把复数的代数运算转化为实数运算．【自主解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i.得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.1．有关复数z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：(1)设z ＝a ＋b i ，则z·z ＝a 2＋b 2；(2)z ∈R ⇔z ＝z .2．紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．若把例题中复数z 满足的条件改为“3z ＋(z －2)i ＝2z －(1＋z)i ”，试求复数z.【解】 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. ∵3z ＋(z －2)i ＝2z －(1＋z )i ， ∴3(a ＋b i)＋(a －2－b i)i ＝2(a －b i)－(1＋a ＋b i)i ， ∴3a ＋b ＋(3b ＋a －2)i＝2a ＋b －(2b ＋a ＋1)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝2a ＋b ，3b ＋a －2＝－2b －a －1， 解之得a ＝0且b ＝15. 故所求的复数z ＝15i.转化思想在复数求解中的应用(满分14分)已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .【思路点拨】 根据共轭复数的概念，设出z 和z 的代数形式，然后代入所给等式，利用两个复数相等的充要条件求解．【规范解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R ).2分 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，6分则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，12分所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.14分1．运用共轭复数的概念与复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．正确熟练地进行复数运算是解题的基础．2．求解复数问题，一般设出复数的代数形式，利用有关概念和性质，将复数问题转化为实数问题，复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法．1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如，(3－2i)＋2i＝3.3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．4．理解共轭复数的性质：(1)z∈R⇔z＝z.(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋b i)(a－b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．1．(2013·浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)·(2－i)＝________．【解析】(－1＋i)(2－i)＝－2＋3i－i2＝－1＋3i.【答案】－1＋3i2．(2013·徐州高二检测)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1＝________．【解析】∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z·z＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.【答案】－i3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－y i(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________．【解析】∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－y i)＝(x＋3)＋(2－y)i，∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，由复数相等定义，得x＝2且y＝8，∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.【答案】－1＋10i4．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)．【解】(1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.(2)原式＝[(－34＋34i2)＋(34－14)i](1＋i)＝(－32＋12i)(1＋i)＝－32－32i＋12i－12＝－1＋32＋1－32i.一、填空题1．(2013·无锡高二检测)复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________．【解析】∵z－(1－i)＝2i，∴z＝1－i＋2i＝1＋i.【答案】1＋i2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝________．【解析】(1＋b i)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i，令2－b＝0且2b＋1≠0，∴b＝2.【答案】 23．(2013·常州高二检测)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z 的实部是________．【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i∴－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，由复数相等定义，a＋1＝2且b＝3，∴a＝1.即z的实部为1.【答案】 14．(2012·湖南高考改编)复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是________．【解析】∵z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，∴z的共轭复数是z＝－1－i.【答案】－1－i5．设f(z)＝z，若z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝________．【解析】∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝3＋4i－(－2－i)＝5＋5i，∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.【答案】 5＋5i6．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为________． 【解析】 ∵z 2＝(32－a i)2＝(34－a 2)－3a i ， ∴(34－a 2)－3a i ＝12－32i(a ∈R )， 则⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.【答案】 127．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________． 【解析】 z 2＝t －i ，z 1·z 2＝(3＋4i )(t －i )＝(3t ＋4)＋(4t －3)i 是实数， ∴4t －3＝0，∴t ＝34. 【答案】 348．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i (p ，q ∈R )等于________．【解析】 (－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，整理得(q －p )＋(p －2)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q －p ＝0，p －2＝0，∴p ＝q ＝2. 故z ＝p ＋q i ＝2＋2i. 【答案】 2＋2i 二、解答题9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i (a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，求z 1，z 2.【解】 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a －b －1)i ＝4 3.∴⎩⎨⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i.10．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z.【解】 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i 整理，得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，故有⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝－4，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以复数z ＝1＋2i.11．已知复数z ＝(1－i )2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i (a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数．【解】 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得 (1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， ∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i.(教师用书独具)已知复数z ＝1＋i ，实数a ，b 满足az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立，求a ，b 的值． 【自主解答】 az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∴(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.∴所求实数a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.已知复数z 1满足z 1－2＝(1＋i)·i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2的值．【解】 由z 1－2＝(1＋i)·i ＝(1＋i)(－i)＝1－i ， ∴z 1＝2＋(1－i)＝3－i ，∵z 2的虚部为2.∴可设z 2＝a ＋2i(a ∈R )． 则z 1·z 2＝(3－i)(a ＋2i)＝(3a ＋2)＋(6－a )i 为实数． ∴6－a ＝0，即a ＝6，因此z 2＝6＋2i.第2课时复数的乘方与除法运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握复数的代数形式的乘方与除法运算法则，理解i n(n∈N*)的周期性．2．过程与方法通过复数除法的运算过程理解复数的除法运算实质是分母实数化问题．3．情感、态度与价值观通过对复数除法法则合理性的探究，让学生用联系的观点看问题，培养学生的探索精神．●重点难点重点：复数代数形式的乘方与除法运算．难点：复数除法运算及应用．为了突出重点，突破难点，将复数的除法作为乘法的逆运算，让学生相互交流，研讨得出除法运算法则；同时充分运用类比思想，将复数的除法与实数除法类比，复数的除法与根式除法的有理化类比．(教师用书独具)●教学建议1．关于复数代数形式的乘方、除法运算法则的教学教学时，建议教师采取类比的方法进行教学：类比多项式乘方进行复数乘方运算教学(但i2要化为－1)，类比根式除法的分母有理化进行复数除法运算教学(利用分数的基本性质，把分子分母同乘以分母的共轭复数转化成复数乘法进行运算)．2．关于虚数单位i的幂的周期性的教学教学时，建议教师对i的幂的周期性加以归纳，对它的考查常和数列相结合，其周期是4，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．同时注意(1±i)2＝±2i，1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i在简化运算中的应用．●教学流程创设问题情境，根据问题归纳i n的性质，乘方运算与复数的除法运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握i n的周期性及其应用，并注意简化运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握复数代数形式的除法运算（分母实数化）.⇒完成例3及其变式训练，熟练进行复数代数形式的四则运算，理解一些简单运算技巧.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.课标解读1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立(重点)．2．理解复数商的定义，能够进行复数除法运算(重点、难点)．3．了解i幂的周期性(易错点).复数的乘方与i n(n∈N*)的周期性1．若z∈C，则z2＝z2正确吗？【提示】不正确．若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2ab i，z2＝a2－b2－2ab i.2．计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值是什么规律吗？【提示】i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．1．复数范围内正整数指数幂的运算性质设对任何z∈C及m，n∈N*，则z m z n＝z m＋n，(z m)n＝z mn，(z1z2)n＝z n1z n2.2．虚数单位i n(n∈N*)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i．复数的除法如何规定两复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，c＋d i≠0)相除？【提示】通常先把(a＋b i)÷(c＋d i)写成a＋b ic＋d i的形式，再把分子与分母都乘c－d i，化简后可得结果．把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，且x ＋y i ＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ．i 的运算特征计算下列各式的值． (1)1＋i ＋i 2＋…＋i 2 012＋i 2 013； (2)(1－1i )2 014＋(1－i)2 014.【思路探究】 (1)由等比数列求和公式与i 的周期性，(2)注意到(1±i)2＝±2i ，再利用复数乘方的运算律．【自主解答】 (1)1＋i ＋i 2＋…＋i 2 012＋i 2 013＝1－i 2 0141－i ＝1－i 21－i ＝1＋i.(2)∵1－1i ＝1＋i 2i ＝1＋i ，且(1±i)2＝±2i. ∴(1－1i )2 014＋(1－i)2 014 ＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i 3－21 007i 3＝0.1．虚数单位i 的性质：①i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1(n ∈N *)． ②i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．2．复数的乘方运算，要充分适用(1＋i )2＝2i ，(1－i )2＝－2i ，1i ＝－i 及乘方运算律简化运算．计算i2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50.【解】i2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[2（1－i）2]25＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.复数的除法(1)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝________．(2)(2012·课标全国卷改编)复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数是________【思路探究】运用复数乘除运算法则与共轭复数的概念．【自主解答】(1)2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝2（1－i）2＋2i＝1＋i.(2)∵z＝－3＋i2＋i＝（－3＋i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝－5＋5i5＝－1＋i.∴z的共轭复数z＝－1－i.【答案】(1)1＋i(2)－1－i1．这类问题求解的关键在于“分母实数化”，类似于根式除法的分母“有理化”．2．复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式．(1)设i 是虚数单位，则i 3（i ＋1）i －1等于________．(2)复数z 满足(1＋2i )·z ＝4＋3i ，则z ＝________． 【解析】 (1)∵i ＋1i －1＝（1＋i ）2－（1－i ）（1＋i ）＝2i－2＝－i ， ∴i 3（i ＋1）i －1＝i 3·(－i )＝－i 4＝－1.(2)∵z ＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i ）（1－2i ）5＝10－5i5＝2－i ，∴复数z ＝2－i ＝2＋i . 【答案】 (1)－1 (2)2＋i复数四则运算的综合应用(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2； (2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.【思路探究】 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．【自主解答】 (1)i －231＋23i＋(5＋i 2)－(1＋i2)2＝（1＋23i ）i 1＋23i＋(5－1)－2i2＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22（1＋i ）3（5－4i ）i（5－4i ）（1－i ）＝22（1＋i）4i （1－i）（1＋i）＝22[（1＋i）2]2·i2＝2·(2i)2·i＝－42i.1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减. 2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用：(1)a＋b ib－a i＝（a＋b i）ib i－a i2＝（a＋b i）ia＋b i＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；(2)记住一些简单结论如1i ＝－i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，(1±i)2＝±2i等．计算：(1)3＋2i2－3i＋(－32－i2)6；(2)－23＋i1＋23i＋(21＋i)2＋（4－8i）2－（－4＋8i）24＋3i.【解】(1)原式＝i（2－3i）2－3i＋i6(－12＋32i)6＝i＋i2＝i－1.(2)原式＝i（23i＋1）1＋23i＋22i＋（4－8i）2－[－（4－8i）]24＋3i＝i＋1i ＋（4－8i）2－（4－8i）24＋3i＝i＋(－i)＋0＝0.复数集中错用判别式导致错误已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i )x ＋2＋k i ＝0有实根，求实数k 的值构成的集合．【错解】 ∵方程有实根，∴Δ＝(k ＋2i )2－4(2＋k i )＝k 2－12≥0， ∴k ≥23或k ≤－23，∴实数k 的值构成的集合为(－∞，－23)∪[23，＋∞)．【错因分析】 错解忽略了根据判别式与0的大小关系确定方程有无实根的适用范围是在实系数范围内．【防范措施】 1.数集扩充后，在实数集中的性质、运算切忌盲目推广到复数集，有些结论不一定成立．2．设出实根x 0，利用复数的代数运算和复数相等的定义，实施复数问题实数化．【正解】 设x ＝x 0为方程x 2＋(k ＋2i )x ＋2＋k i ＝0的实根，代入整理后得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k)i ＝0， 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2. ∴k 的值构成的集合为{－22，22}．1．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用i n 的同期性．此外，实数运算中的平方差公式、两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i )2＝2i ，(1－i )2＝－2i ，1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，－b ＋a i ＝i (a ＋b i )．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．3．在进行复数运算时，要理解好i 的性质，切记不要出现和“i 2＝1”，“i 4＝－1”等错误．1．(2012·广东高考改编)设i 为虚数单位，则复数5－6ii ＝________． 【解析】 5－6i i ＝（5－6i ）ii 2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i . 【答案】 －6－5i2．复数1－3i（3＋i）2＝________．【解析】原式＝1－3i2（1＋3i）＝（1－3i）22（1＋3i）（1－3i）＝－14－34i.【答案】－14－34i3．设z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2·…·i12，则z1·z2＝________．【解析】z1＝(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i9＋i10＋i11)＝0＋0－1＝－1.z2＝i1＋2＋…＋12＝i78＝－1，∴z1z2＝1.【答案】 14．(1)若2＋a i1＋2i＝－2i，求实数a的值．(2)若复数z＝2i1－i，求z＋3i.【解】(1)依题意，得2＋a i＝－2i(1＋2i)＝2－2i，∴a＝－ 2.(2)∵z＝2i1－i＝2i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝i(1＋i)＝－1＋i，∴z＝－1－i，∴z＋3i＝－1＋2i.一、填空题1．复数1＋i 1－i＋i 3＝________．【解析】 1＋i1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i ，i 3＝i 2·i ＝－i .∴原式＝i －i ＝0. 【答案】 02．(2012·四川高考改编)复数（1－i ）22i ＝________．【解析】 z ＝－2i2i ＝－1. 【答案】 －13．(2012·浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝________． 【解析】 3＋i1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2＋4i2＝1＋2i .【答案】 1＋2i4．设z 是复数，α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，对于虚数单位i ，α(i )＝________．【解析】 α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ， 又i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i)＝4. 【答案】 45．(2013·连云港高二检测)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a的值是________．【解析】 1＋a i2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝（2－a ）＋（1＋2a ）i5，由纯虚数定义，则2－a ＝0，∴a ＝2. 【答案】 26．当z ＝－1－i 2，z 100＋z 50＋1的值等于________．【解析】 z 2＝(－1－i2)2＝－i .∴z 100＋z 50＋1＝(－i )50＋(－i )25＋1 ＝(－i )2＋(－i )＋1＝－i . 【答案】 －i7．(2012·江苏高考)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．【解析】 ∵11－7i 1－2i＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝15(25＋15i)＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3. ∴a ＋b ＝5＋3＝8. 【答案】 88．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz ＝________． 【解析】 z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， z ＝a －b i.依题设z ＋z ＝2a ＝4，a ＝2. z ·z ＝a 2＋b 2＝8，则b ＝±2. ∴z z ＝（z ）2z ·z＝18(2±2i)2＝±i.【答案】 ±i 二、解答题9．计算[(1＋2i )·i 100＋(1－i 1＋i )5]2－(1＋i 2)20.【解】 [(1＋2i )·i 100＋(1－i 1＋i)5]2－(1＋i2)20＝[(1＋2i )·1＋(－i )5]2－i 10. ＝(1＋i )2－i 10＝1＋2i .10．已知z ＝1＋i ，如果z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．【解】 由z ＝1＋i ，有z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝（1＋i ）2＋a （1＋i ）＋b（1＋i ）2－（1＋i ）＋1＝（a ＋b ）＋（a ＋2）i i ＝(a ＋2)－(a ＋b)i ，由已知(a ＋2)－(a ＋b)i ＝1－i . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i )＝1－i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【解】 由(z 1－2)(1＋i )＝1－i ，得z 1＝1－i 1＋i ＋2＝2－i .由复数z 2的虚部为2，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴4－a ＝0，即a ＝4， ∴z 2＝4＋2i.(教师用书独具)满足z＋5z是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．【自主解答】设虚数z＝x＋y i(x，y∈R，且y≠0)．则z＋5z＝x＋y i＋5x＋y i＝x＋5xx2＋y2＋(y－5yx2＋y2)i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y－5yx2＋y2＝0，x＋3＝－y，∵y≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝5，x＋y＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－1，y＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x＝－2，y＝－1.∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．复数z＝（1＋i）2＋3（1－i）2＋i，若z2＋az＜0，求纯虚数a.【解】（1＋i）2＋3（1－i）2＋i＝2i＋3（1－i）2＋i＝3－i2＋i＝（3－i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝1－i.∵a是纯虚数，设a＝m i(m∈R，且m≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋a 1－i＝－2i ＋m i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋(m2－2)i ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＜0，m 2－2＝0，得m ＝4，∴a ＝4i. 3．3复数的几何意义(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能掌握复数的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系，会求复数的模，理解复数加减法的几何意义．2．过程与方法让学生经历探究学习的过程，结合问题引导，提高学生的数学探究能力，理解对应与运动变化的观点．3．情感、态度与价值观通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育，体会数形结合的思想方法．●重点难点重点：复数的两个几何意义及应用，复数加减法的几何意义．难点：复数的两个几何意义及应用，复数的模及其数形结合在最值求解中的应用．为了突出重点、突破难点，一定要注意类比，充分运用几何直观，降低理解难度，建立知识之间的横向联系，形成知识架构．(教师用书独具)●教学建议1．关于复平面内的点、平面向量和复数之间关系的教学注意类比，类比有序实数对，平面内的点和平面向量间的关系，沟通知识间的横向联系，重视几何直观，作出复数所对应的几何图形，通过数形结合，使问题变得直观、简捷、易解．2．关于复数模的教学教学时建议教师类比实数的绝对值、平面向量的模的概念来引导学生掌握复数的模的概念．3．关于复数加、减法的几何意义的教学教学时，建议教师在明确复数的几何意义基础上，进而将复数的加、减运算转化成对应向量的加、减运算．注重方法介绍，难度不宜过大．●教学流程创设问题情境，通过向量与点之间的对应关系，得到复数的几何意义.⇒通过问题情景，进一步理解复数模及加减法的几何意义.⇒通过例1及变式训练，使学生掌握复数几何意义的应用.⇒通过例2及变式训练，使学生掌握复数的模及其几何意义的应用.⇒。
江苏省泰兴中学高二数学苏教版选修2-2教学案：第3章1数系的扩充与复数的概念
江苏省泰兴中学高二数学讲义（39）数系的扩充与复数的概念【教学目标】1、 体会数的概念的发展和数系扩充的过程,体会数学文化.2、 了解复数的代数表示，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.【预习导引】 ：问题引入：1.从小学到高中，大家依次认识了哪些类别的数，能回顾一下吗？2.你“会”解方程吗？（1）小学由“算术”向“方程”的教与学变化（2）方程的变化3.数的“范围”为何会扩大？（1）解决实际生产生活的度量问题；（2）运算的“需要”实数集应怎样扩充？探究任务一：复数的定义如何使方程210x +=有解？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数； 当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， . 则说这两个复数相等. a bi +=c di + ⇔ ；a bi +=0 ⇔ . 注意:两复数 比较大小.【典型例题】例1.（1）若,x y R ∈，则“0x =”是“x yi +为纯虚数”的 条件（2）下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；③两个复数不相等的一个充分条件是其实部不相等；其中正确的序号为例2.已知226(2)0,(,)x y x y i x y R +-+--=∈，求,x y 的值.例3.实数m 取什么数值时，复数z =22(232)(32)m m m m i --+-+是:(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数例4.已知复数：2(43)0z x x x i =+-+>，求实数x 的值.例5.已知关于x 的方程221x kx xi ki ++=--有实数根，求实数k 的值，并求方程的实数根.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（39）班级: 姓名: 学号：1．下列结论中，正确的是A.Z N Q R C ⊆⊆⊆⊆B.N Z Q C R ⊆⊆⊆⊆C.N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆D.R N Z Q C ⊆⊆⊆⊆2．下列命题中，真命题是A.两个复数可以比较大小B.两个实数可以比较大小C.两个虚数可以比较大小D.实数和虚数不可以比较大小3.实数m = 时，复数1(1)z m m i =-++是实数.4.若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，则实数x = ；y = .6.a ＝0是复数()z a bi a b R =+∈、为纯虚数的 条件7.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数； (3)z 是纯虚数； (4)z =21+4i .8.已知关于x 的方程0)13()21(2=--++i m x i x 有实数根，求纯虚数m 的值.9. 已知△ABC 中，B （-3,0），C （3,0）且AB.BC.AC 成等差数列（1）证明点A 在一个椭圆上运动并求出这个椭圆的方程；（2）写出这个椭圆的焦点坐标，长轴长与短轴长.10.给出函数2()ln f x x x =-，（1）求函数在1x =的切线方程； （2）求函数的极值.11.AB 是过椭圆左焦点F 的弦，C 是椭圆的右焦点，已知4,90AB AC BAC ==∠=︒，(1)求椭圆的标准方程；（2）在椭圆上找一点P ，使三角形△PAB 的面积最大.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.1 数系的扩充》4
数系的扩充江苏省奔牛高级中学 周伯明 教学目标：1、 经历数的概念的发展和数系的扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件﹒教学过程：一、引入投影：选修2-2 数系的扩充教师：同学们，很高兴有机会和大家一起来学习《数系的扩充》这一节知识当你看到本节课的课题时，你的第一感觉是本节课要学习什么内容呢？学生：应该是和数、数集有关系，数集的扩充吧﹒教师：你的直观感觉很正确，那我们先一起来回顾一下以前我们所学习过的数集？学生：我们已经学习了自然数集（N ）、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 等集合﹒教师：很好！那你能理出它们之间的关系吗？ 学生：N Z Q R ⊆⊆⊆ ﹒教师：很好！在上述包含关系中，能把包含符号改写成真包含符号吗？为什么呢？数集是怎样一步步扩充的呢？学生：可以！从整数集中除了自然数，还有负整数；有理数集中除了整数，还有分数；实数集中除了有理数还有无理数二、了解数集扩充的必要性教师：很好！那么同学们知道为什么以上数集要一步步扩充呢？ 具体的说？教师：人类因为计数的需要才产生了自然数，形成了自然数集但是仅有自然数是不够用的，生活和生产实践的需要也推动了数的不断发展，这里我们不妨大致回顾一下数的发展简史首先从社会生活的角度来看数的发展−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−−→−−−−−−−−−−→为了计数的需要满足测量与分配等的需要满足刻画相反意义的量的需要满足度量正方形对角线长等的需要自然数分数负数教师：这一切在今天看起来是那么的自然，然而在数学史上，每一步的跨出都充满了艰难与曲折﹒比如，“0”这个自然数的出现就比其他自然数迟了很多年；又如，在无理数诞生之前，人们发现边长为1的正方形的对角线长既不能用整数来表示，又不能用两个整数的比来表示，从而引发了一次数学危机，甚至有人为之献出了宝贵的生命有兴趣的同学，课后可以查阅相关的资料教师：我们常说数学话给我们什么启发呢？所以我们再从数学发展的内部来看看数集为何要进行扩充请同学们解以下方程：①6=5；②3-2=0;③2-2=0学生：①-1；②23；③教师：23-2=0-2=0 N Z Q R x x x −−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→为了计数的需要满足减法的需要满足解+6=5等方程的需要满足除法的需要满足非负数开方的需要满足解等方程的需要满足解等方程的需要严格的说，上述答案不够准确，因为事先没有规定在哪个数集内解这些方程在自然数集里，方程①其实是无解的﹒在自然数集中，任意两个数做加法和乘法是没有问题的，但是在做减法的时候较小的数是不能减去较大的数的，所以为了满足数的运算的需要，我们引入了负数，数集扩充到整数集﹒同理，如果在整数集中，方程②也是无解的﹒在整数集中，加法、减法和乘法总可以实施，但是，除法只能解决整除的问题，为此引入分数，数集扩充到有理数集根据以上的分析，你知道在有理数集中方程③为什么会无解吗？要想有解，该怎么办？学生：在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为0）总可以实施但是，开方的结果可能不是有理数，所以方程③无解﹒为此引入无理数，数集扩充到实数集﹒教师：那么在实数集中所有的运算都能实行了吗？学生：四则运算都能实行，开方只能对非负数三、总结数集扩充的规律教师：现在我们回头反思一下数的发展历程，看看能不能从中获得一些启示：（1）每一次对数集进行扩充时，是如何解决矛盾的？学生：新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的﹒（2）数集扩充之后，有没有影响到原有的运算及性质？学生：没有教师：对，具体得说，将自然数集扩充到整数集的时候，我们添加了负数，那么新引进的负数可以与原来的自然数进行四则运算，而且原有的加法、乘法运算律仍然成立；将整数集扩充到有理数集时，新引进的分数可以与原来的整数进行四则运算，而且加法、乘法运算律仍然成立那么，将有理数集扩充到实数集的时候，你们能类似的表述一下吗？学生：新引进的无理数可以与原来的有理数进行四则运算，而且原有的加法、乘法运算律仍然成立﹒教师：为什么不提减法和除法的运算性质？学生：因为减法、除法可以分别转化为加法和乘法教师：很好！也就是说，数集的每一次扩充，新添加的数可以与原来的数进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立简单概括，即“运算照旧”教师：综上所述，“引进新数”和“运算照旧”可以看成是数集扩充时应遵循的两个基本原则四、扩充数系教师：回到刚才解方程的话题，数集扩充到实数集后，是不是所有的方程都有解了呢？学生：不对﹒教师：在学习过程中经常遇到一元二次方程无解的情况，其中最简单的一个无解的一元二次方程是21=0教师：新的矛盾出现了，回头看实数集中的运算，其实只是部分解决了开方运算，说明实数集也不够用了，如何解决？学生：再对实数集进行扩充（引进新数）﹒教师：（也即进行数系的扩充）那么如何再对实数集进行合理地扩充呢？这是我们这节课要研究的核心问题在刚才的分析过程中我们发现研究数集常常和相应运算联系在一起，所以我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系，所以，我们今天研究的课题是——数系的扩充（板书课题）﹒教师：现在我们把目光再聚焦在这个一元二次方程上21=0﹒类似无解的一元二次方程还有很多，比如22=0,23=0等等教师：要想这些方程有解，关键是负数有平方根就行了﹒可是有很多负数，怎么办？教师：我们发现一般的-a = a ×（-1），（a > 0），所以，关键还是方程2 = -1有解，你打算怎么办？学生:引进一个新数﹒教师：很好！大数学家欧拉也是这么想的，他把这个数记为i，该字母源于英文单词“imag i nar”的第一个字母，是“假想的、虚构的”意思，在数学里，我们称之为虚数单位﹒教师：根据数系扩充的原则，你认为应该给i做哪些合理的规定先个人思考，然后再相互交流﹒学生：为解决矛盾，应规定：i2 = -1；为了“运算照旧”，应规定：实数可以与i进行四则运算，而且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立教师：板书虚数单位及规定引入虚数单位“i”，并规定：（1）i2=-1（2）实数可以和i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立教师：引进新数i后方程2=-1的解是什么呢？学生：±i教师：既然实数可以和i进行四则运算，3可以加i吗？可以减吗？可以乘吗？即有3i , 数吗？（学生讨论，交流）教师：：你能写出一个统一形式，把刚才写出来的数都包含在内吗？学生：ab i（a，b∈R）教师：很好！这些数都由两个部分复合而成，一部分是实数，另一部分是实数与虚数单位的乘积，所以我们给它们取一个很形象的名字——复数﹒我们就把ab i（a，b∈R）称为复数的代数形式由所有复数构成的集合称为复数集，用C表示，该字母教师：ab i （a，b∈R）能表示实数吗？学生：若虚部为零，此时它就是实数；若虚部不为零，就把ab i（a，b∈R）称为虚数板书：当且仅当b=0时，是实数a；当b≠0时，叫做虚数，特别地，当a=0且b≠0时，=b i叫做纯虚数问题：引进复数后，复数集C与实数集R之间的关系是什么？学生：R C⊆﹒教师：现在已知复数12.()z a bi z c di a b c d R=+=+∈，其中，，，若a c b d==，，则复数12z z，为何关系？反之成立吗？板书：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即,.a c a bi c dib d =⎧+=+⇔⎨=⎩这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等五、反馈练习教师：学以致用，下面我们通过几条题目来巩固一下今天学习的知识﹒ 概念巩固判别下列复数是实数还是虚数？如果是虚数，则判断它们是否为纯虚数，并说明其实部和虚部12i -，2012i +，2，22i，(2i ，1()ai a R +∈，22()()()a a a a i a R -++∈追问1：1()ai a R +∈有没有可能和前面的某个复数相等？为什么？追问2：22()()()a a a a i a R -++∈能否和2012i +相等？若能，你能求出相应的实数a 的值吗？ 备用练习 练习1 实数m取什么值时，复数(1)(1)z m m m i =-+-是：（1）实数？ 2虚数？（3）纯虚数？ 练习2已知()(2)(25)(3)x y x y i x x y i ++-=-++，求实数，的值六、课堂小结教师：下面请同学回忆归纳一下今天这节课所学到的知识学生：（1）数系的扩充过程、扩充的必要性和扩充的规则；（2）复数的基本概念； （3）复数相等的条件教师：今天，我们一节课就已经掌握了复数的概念，在数学史上，这一过程经历了近300年，许多卓越的数学家为之作了重大的贡献 也许会有同学问，复数系够用了吗？还要不要再扩充？那么，我只能回答说目前的确有一些数学家正在研究这个问题，比如，有人提出了建立超复数系的设想﹒但可以明确的是，在我们中学阶段，复数系已经够用了﹒在以后的学习过程中，不加特殊说明的情况下，仍然在实数集范畴内进行研究。
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江苏省泰兴中学高二数学讲义（39）
数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
1、体会数的概念的发展和数系扩充的过程,体会数学文化.
2、了解复数的代数表示，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
【预习导引】 ：
问题引入：1.从小学到高中，大家依次认识了哪些类别的数，能回顾一下吗？
2.你“会”解方程吗？
（1）小学由“算术”向“方程”的教与学变化
（2）方程的变化
3.数的“范围”为何会扩大？
（1）解决实际生产生活的度量问题；
（2）运算的“需要”
实数集应怎样扩充？
探究任务一：复数的定义
如何使方程210x +=有解？
为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .
形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；
当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；
探究任务二：复数的相等
若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， . 则说这两个复数相等. a bi +=c di + ⇔ ；a bi +=0 ⇔ . 注意:两复数 比较大小.
【典型例题】
例1.（1）若,x y R ∈，则“0x =”是“x yi +为纯虚数”的 条件
（2）下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；
③两个复数不相等的一个充分条件是其实部不相等；
其中正确的序号为
例2.已知226(2)0,(,)x y x y i x y R +-+--=∈，求,x y 的值.
例3.实数m 取什么数值时，复数z=22(232)(32)m m m m i --+-+是:
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
例4.已知复数：2(43)0z x x x i =+-+>，求实数x 的值.
例5.已知关于x 的方程221x kx xi ki ++=--有实数根，求实数k 的值，并求方程的实数根.
江苏省泰兴中学高二数学课后作业（39）
班级: 姓名: 学号：
1．下列结论中，正确的是
A.Z N Q R C ⊆⊆⊆⊆
B.N Z Q C R ⊆⊆⊆⊆
C.N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆
D.R N Z Q C ⊆⊆⊆⊆
2．下列命题中，真命题是
A.两个复数可以比较大小
B.两个实数可以比较大小
C.两个虚数可以比较大小
D.实数和虚数不可以比较大小
3.实数m = 时，复数1(1)z m m i =-++是实数.
4.若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是
5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，则实数x = ；y = .
6.a ＝0是复数()z a bi a b R =+∈、为纯虚数的 条件
7.已知m ∈R ，复数z=1
)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，
(1)z ∈R; (2)z 是虚数； (3)z 是纯虚数； (4)z=
2
1+4i.
8.已知关于x 的方程0)13()21(2=--++i m x i x 有实数根，求纯虚数m 的值.
9. 已知△ABC 中，B （-3,0），C （3,0）且AB.BC.AC 成等差数列
（1）证明点A 在一个椭圆上运动并求出这个椭圆的方程；
（2）写出这个椭圆的焦点坐标，长轴长与短轴长.
10.给出函数2()ln f x x x =-，
（1）求函数在1x =的切线方程； （2）求函数的极值.
11.AB 是过椭圆左焦点F 的弦，C 是椭圆的右焦点，已知
4,90AB AC BAC ==∠=︒，
(1)求椭圆的标准方程；（2）在椭圆上找一点P ，使三角形△PAB 的面积最大.。