ch3-2正交多项式)n
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
正交多项式
正交多项式若首项系数的次多项式，满足就称多项式序列，在上带权正交，并称是上带权的n次正交多项式。
构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定义的多项式集合是区间上关于权函数的正交函数族。
其中证明可用归纳法，略。
例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。
解：构造正交多项式于是故在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。
是n次多项式，对其n次求导后得首项的系数显然最高项系数为1的勒让德多项式为勒让德(Legendre)多项式具体表达式为性质1 正交性证明：反复用分部积分公式，略。
性质2 奇偶性n为偶数时为偶函数，n为奇数时为奇函数。
性质3 递推关系证明略。
性质4 在所有最高项系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式在［－1，1］上与零的平方误差最小。
证：设是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为于是证毕。
性质5在区间［－1，1］内有n个不同的实零点。
第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式当区间为［－1，1］，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。
它可表示为若令当在［－1，1］上变化时，对应的在［0，π］上变化，其可改写成具体表达式为是首项系数为的次多项式。
性质1 递推关系这只要由三角恒等式令即得。
性质2 最高项系数为1的对零的偏差最小。
即在区间［－1，1］上所有最高项系数为1的一切n次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为证：由于且点是的切比雪夫交错点，由定理4知，区间［－1，1］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式。
证毕。
例：求在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
解：最佳逼近多项式应满足由性质2知，当即时，与零偏差最小，故就是在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
性质3 切比雪夫多项式在区间［－1，1］上带权正交，且令则于是性质4只含的偶次幂，只含的奇次幂.性质5在区间［-1，1］上有个零点可用的线性组合表示，其公式为具体表达式为其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同。
正交多项式理论
0
1
两边与 i (x)作内积，则有 （P( x)， i ( x) c（ i ( x)， i ( x) ） i ） （P ( x )， i ( x ) ） 于是 ci ，i 0， ，n。 1， （ i ( x )， i ( x ) ）
dn dn n n ( x ) n!(1 1) n!2 ， n ( x ) n!(2)n， n dx dxn x 1 x 1 p( k )( x 1)n k ( x 1)k k 0 则 （a） Pn (1) 1, Pn (1) (1)n； k 1 dn 2 d Pn ( x ) n ( x 1)n （b） k ( x ) 0， 当k n时. 2 n ! dxn dx x 1 Pi n0 为[-1，1]具有权函数 ( x ) 1 的 （3）Legendre多项式 i
2．切比雪夫（Chebshev）多项式（应用于最小二乘） 1 ~ ,正交多项式组记为{Ti ( x)}n0， 取 [a, b] [1,1], 权 函 数 ( x ) i ~ 1 x2 T ( x ) 1
~ T1 ( x ) x ~ ~ ~ 1 2 且有 (T i , T j ) 0,当i j。 T ( x ) x 2 2 ~ 3 1 1 T3 ( x ) x 3 x [0, ], , dx sind 2 4 sin 1 x
P( x) a0 a1 x an x n
k 1 j 0
( 2 .5 ) ( 2 .6 )
又
x k ( x ) ckj j ( x ), ( k 1,2,, n)
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1 正交化手续
定义1 设 gn ( x)是 [a, b]上首项系数 an 0 的 n次多项式，
( x)为 [a, b]上权函数，如果多项式序列 { gn ( x)}0 满足
b
0, j k.
(g j , gk )
a
(x)gj (x)gk
1
1 2n n!
1 Q( x) (n1) ( x)dx
1
(1)n 2n n!
1 Q(n) ( x) ( x)dx
1
（1） 若 Q(x) 是次数小于 n 的多项式，则 Q(n) (x) 0,
故得
1
)}00是成[a立, b关]上系带权
(
x )的首项系数为1的
gn1( x) ( x n )gn( x) n gn1( x) (n 0,1,).
其中 g0 ( x) 1, g1( x) 0,
n
( xgn ( x), gn ( x)) ( gn ( x), gn ( x))
最高项系数为1的勒让德多项式为
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x 2
1)n ].
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质
性质1 正交性
1 1
Pn (
x)Pm
(
x)dx
p1( x)
x
( x,1) (1,1)
1
数值计算方法_正交多项式
数值计算方法_正交多项式正交多项式是数学中的一类特殊的多项式函数。
这些多项式函数在一定的定义域上满足正交性的性质，即在一定的权函数下，两个不同的正交多项式的内积为0。
正交多项式在数学分析、数值计算和物理学等领域中有着广泛的应用和重要的作用。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
它们各自的定义域、权函数和正交性条件不同，因此在不同的问题中可以选择不同的正交多项式来进行数值计算和求解。
以勒让德多项式为例，其定义域为闭区间[-1,1]，权函数为常数函数1、勒让德多项式满足以下正交性条件：∫[-1, 1] P_n(x) P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)其中P_n(x)表示勒让德多项式的n次多项式。
这意味着在权函数为常数函数1的条件下，两个不同次数的勒让德多项式在[-1,1]上的内积为0，即满足正交性的性质。
正交多项式的正交性给数值计算带来了很大的便利。
通过使用正交多项式可以将一些数学问题转化为多项式的相关计算，进而简化问题的求解过程。
例如，利用正交多项式可以将函数在一定区间上的积分转化为多项式系数的线性组合，从而通过计算多项式系数来估计函数的积分值。
在实际的数值计算中，正交多项式也可以用于数据拟合、插值、逼近等问题。
在确定了问题的定义域、权函数和正交性条件之后，可以通过计算相关的正交多项式系数来求解问题的数值解。
同时，正交多项式的性质还可以用于数值解的稳定性分析和误差估计，提高数值计算的精度和效率。
总之，正交多项式是数值计算中一类重要的数学工具。
通过合理选择不同的正交多项式，可以简化问题的求解过程，并得到更加准确和稳定的数值解。
因此，正交多项式在数值计算中具有广泛的应用前景。
正交多项式相关
上的正交多项式由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。
因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量满足方程组：，而当{φi}为规范正交时，该方程组的解立即可以写为：。
正交多项式的性质假设ω0(x),ω1(x),…是空间上的幂函数系1,x,x2,…经正交化手续得到的正交多项式系，则它有如下性质（1）ωn(x)是n次代数多项式；（2）任一不高于n次的多项式都可以表示成;（3）ωn(x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即以下假设是ωn的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。
定理1，其中：，。
证明由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即（1）其中cj是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有上式左端当s=0,1,…,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。
于是，当s=0,1,…,k-2时，上式变为令s=0，上式变为从而c0=0。
同理，当s依次为1,…,k-2时，可推出cs=0。
于是（1）式可简化为（2）下面我们来确定ck ,ck-1，在（2）式两边乘以并积分，得（3）由于，代入（3）式两端得同理，用乘（2）式两端并积分，可得将ck ,ck-1代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。
如果设ωk (x)的首项系数为αk，则对规范正交系ω(x),ω1(x),…可以得到如下递推关系（4）注：（4）式可通过令代入定理1得到。
定理2n次正交多项式ωn(x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。
证明令n≥1,假定ωn(x)在(a,b)不变号，则这与正交性相矛盾。
于是至少有一个点x1∈(a,b)使ωn(x1)=0，若x1是重根，则ωn (x)/( x - x1)2是一n-2次多项式，由正交性知但另一方面有从而推出x1只能是单根。
今假设ωn (x)在(a,b)内只有j个单根x1,x2,…,xj(j<n)，则ωn(x)( x- x1) ( x- x2) …( x- x j)=q(x)( x- x1)2 ( x- x2) 2…( x- x j) 2现将上式两端乘以ρ(x)并积分，则对于左端来说，由于(x-x1)(x- x2)…(x- xj)的次数小于n，因此积分值等于零；但对右端来说，由于q(x)在(a,b)不变号，所以积分值不为零。
新编文档数值分析第8讲正交多项式精品文档PPT课件
G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
(un , un )
G非奇 异 u1,u2,.u .n.线性无关
Heut-lcf163
第2节 正交多项式
Heut-lcf163
一、正交多项式的概念
定义 若f(x)，g(x)C0a,b，(x)为a,b上的权函
HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
heut-liucf163 heut08yjs163
第三章 函数逼近
函数逼近
1
函数逼近的基本概念
正交多项式的基本概念
正交函数系的性质
正交多项式的构造
函数的最佳平方逼近
Heut-lcf163
第1节 函数逼近的基本概念
Heut-lcf163
函数逼近
则｛S, •｝称为赋范线性空间。 内积与内积空间 N维数量空间内积
(x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 . .x .n y n (x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3
Heut-lcf163
推而广之 设 X是数 K域 (或 RC）上的线性 u空 ,v间 X, ， 有 K中一个数与为 之(u对 ,v)它 ,应满 ，足 记以下
（ 1） (u,v)(v,u)
(2)(u,v)(u,v) (3)(uv,w)(u,w)(v,w) u,v,wX,K
(4)(u,v)0,当 且 仅 u0当 时(u， ,u)＝ 0
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
3.2 正交多项式
k
x n , k n , x k ; k , k k , k
n 1 k 当 时, 即n 1 k n 1时, k可能不等于零 , k 1 n 当k n - 1时，k 0.
x n x n1 n1 x n n x n1 n1 x ;
4、 零点分布 1， Pn x 在区间 1 内有n个不同的实零点 .
三、切比雪夫多项式
区间为 [1,1], 权函数为 ( x ) 1 1 x2 正交化所得正交多项式 称为切比雪夫多项式. ，由序列示 Tn ( x) cos(n arccosx),
由以上定理可知 ,
f x P2 x 2
2
1 2 T3 x ; 2
1 3 3 即f x P x T3 x 2 x x 2 2
就是f x 在 1， 1上的2次最佳一致逼近多项式 .
1 7 故P2 x f x T3 x x 2 x 1, 2 2
例、 求f x 2 x 3 x 2 2 x 1在 1,1上的
2次最佳一致逼近多项式 .
解： 由题意, 所求最佳逼近多项式P x 应满足 2
f x P2 x
=
( x) P2 x H 2
min
f x P2 x
这由三角恒等式 cos(n 1) 2 cos cosn cos(n 1) 推出。
由递推关系式（ 2.11 ），得
T2 ( x ) 2 x 2 1, T3 ( x ) 4 x 3 3 x , T4 ( x ) 8 x 4 8 x 2 1, T5 ( x ) 16x 5 20x 3 5 x ,
正交多项式在数学中的应用
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
数学中的正交多项式和傅里叶级数
数学中的正交多项式和傅里叶级数在数学领域中，正交多项式与傅里叶级数是两个至关重要的概念。
它们能够被用于解决各种数学问题，尤其是在物理和工程学科中。
在接下来的文章中，我们将会探讨这两个概念及其应用。
正交多项式正交多项式是一组多项式，它们在一定区间上满足正交性质。
比如，常见的拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）和埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）就是两个最常见的正交多项式。
如何定义正交多项式？我们可以定义一个带权内积，用于刻画两个多项式f(x)和g(x)之间的相似度。
针对某个区间[a, b]上的两个多项式f(x)和g(x)，它们之间的内积可被定义为：∫ w(x) f(x) g(x) dx其中 w(x) 是某个权重函数，其权重为正值。
按照这个定义，如果两个多项式f(x)和g(x)的内积等于0，则称这两个多项式是正交的。
此外，每个正交多项式的长相相对固定，因此可以通过一定的递归算法求出。
正交多项式有很多重要的性质。
首先，它们可以被用于解决微分方程问题。
例如，拉盖尔多项式可以被用于解决径向薛定谔方程。
其次，它们还可以被用于计算各种积分、矩阵等，因为它们与一些数学变换（如傅里叶变换）之间有着紧密的联系。
因此，正交多项式在科学研究中有着广泛的应用。
傅里叶级数傅里叶级数是一个函数的三角级数展开，可被用于解决周期性函数的问题。
即，任何周期的函数f(t)都可以被表示为以下形式的级数：f(t) = a0/2 + Σ[an cos(nωt) + bn sin(nωt)]其中a0/2是函数在一个周期内的平均值，a,b是展开式的系数，ω是频率。
若函数f(t)满足可积性，则其傅里叶级数收敛于f(t)。
傅里叶级数的应用非常广泛。
特别是在信号处理和图像处理中，傅里叶变换被用于将信号从时域转换为频域，以帮助分析和处理信号。
傅里叶级数也被用于音乐处理、图像压缩、通信、遥感等许多领域。
正交多项式与傅里叶级数正交多项式和傅里叶级数看上去没直接联系，但实际上它们之间存在很紧密的关系。
正交多项式ppt课件
2 2n
， 1
mn mn
性质2：当 n 为偶/奇数时，n 阶勒让德多项式 Pn (x)为偶/奇数。
勒让德多项式(Legendre Multinomial)
性质3：勒让德多项式 Pk (x),k 0,1, 具有下列递推关系
P0 (x) P1 ( x)
1， x
(n 1)Pn1(x) (2n 1)xPn (x) nPn1(x),
线性变换关系：切比雪夫多项式 Tk (x) 与 xk 之间存在线性变换
关系，所以对于一个函数的逼近多项式，可利用 切比雪夫多项式来找一个次数较低的新的近似多 项式，且满足相同的精度要求。
Tk (x) 与 xk 之间存在的线性变换关系
T0 = 1 T1 = x T2 = 2x2-1 T3 = 4x3-3x T4 = 8x4-8x2+1
正交多项式的构造：为了构造在给定区间[a,b] 上关于权函数
(x) 1的正交多项式系 Qj (x),j 0,1, ，
可用递推方法
QQ10((xx))
1 (x
0
)
Qj1(x) (x j )Qj (x) jQj1(x),
j 1, 2,
其中
j
b a
xQ2j
(
x)dx
,
dj
j 0,1,
Example 6.2
解：
f
(x)
cos
4
x
1 2
a0
k 1
a2kT2k
(x)
0.851641878 0.148358121T2 (x) 0.001921449T4 (x)
0.000009965T6 (x)
0.999999472 0.308423253x2 0.015849913x4
3.2 正交多项式
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。
正交多项式的性质
正交多项式的性质（李锋，1080209030）摘要：本文主要阐述了由基按G-S正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。
正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram矩阵的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。
同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。
因而，有必要分析正交多项式有用的性质。
在区间上，给定权函数，可以由线性无关的一组基，利用施密特正交化方法构造出正交多项式族，由生成的线性空间记为。
对于，根据次数的具体要求，总可以在在找到最佳平方逼近多项式。
的具体形式为：这样构造的正交多项式具有以下一些有用的性质：1.为最高次数项系数为1的次多项式；2. 任一不高于次的多项式都可以表示成；3. 当时，；且与所有次数小于的多项式正交，即，其中为权函数；4. 存在递推关系：，其中：推论：（1）两个相邻正交多项式和无公共根；（2）设为正交多项式的一个根，则和异号；5.次正交多项式有个互异实零点，并且都包含在中；6. 假设是正交多项式的个根，那么在每个区内都有的一个零点。
下面来对以上的性质加以证明。
首先对于前3条性质，由的生成方式，线性空间与基的性质，函数正交的概念，显而易见它们是成立的。
性质（4），递推关系的证明：，证明：由于是次多项式，因此可以由线性表出，即（1）其中为常系数。
将上式两边同乘以，并积分有：上式左端当时，的次数小于，从而由正交性质得出积分值等于零。
同样右端第一个积分也为零。
于是，当时，上式就变为令，由正交性可知上式变为：，从而。
同理，当依次为时，可以推出，于是（1）式就可以简化为：（2）下面来确定。
在（2）式两边同乘以并积分，得：由（1）式，可以得到下面的关系：其中为常系数.将上式代入（2）式中可以得到；同理用同乘以（2）式两端并积分，可得；将代入（2）式并整理可以得到结论。
三元二次回归正交组合设计(下)
经过检验发现，b12、b13、b11不显著，应该剔除；b1、b23的显著性水平为 2) 8.53，因此保留在方程中。于是得到回归方程 α=0.25，考虑到其F比接近于 F0.10 (1，
2.841x3 y 10.088 1.077x1 6.215x2 3.677x3 0.938x2 x3 2.225x2
【2】 回归方程检验及失拟检验
回归平方和
S回 S1 S 2 S3 S 23 S 22 S33 717 f回 f1 f 2 f 3 f 23 f 22 f 33 6
1 17 S yi ( yi ) 2 733 17 i 1 i 1
X1 X2 (Z1 ) (Z2 )
11.662 11.662
X3 (Z3 )
11.662
x1x2
8 2.5 0.313 0.781 0.586
x1x3
8 -1.5 -0.188 0.281 0.211
x2x3
8 7.5 0.938 7.031 5.273
X12 (x1′)
6.705 1.654 0.205 15.39 2.225 35.3 26.48
X32 (x3′)
6.705 19.05 2.841 54.1 40.59
Yi
S=733 f=16 Se=2.67 Fe=2 S回=717 f回=6 SR=16 fR=10 Slf=13.33 flf=8
12.56 1.077 13.5 10.14
三元二次回归正交组合设计(下)
——在消除试验机摩擦振动中的应用
吉林大学农机**
三元二次回归正交设计试验方案及计算格式表
j i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
数值分析-正交多项式
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,,n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2, ).
（6） Tn (x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
xk
cos
k
n
,
(k 0,1,2,
, n)
哈尔滨工程大学信息与计算科学系
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x, xn, }利用逐个
1
x
2dx
0, / 2,
m n, m n.
U0( x) 1, U1( x) 2x, Un1( x) 2xUn( x) Un1( x).
(2.14)
2. 拉盖尔多项式
区间[0,)上带权( x) e x的正交多项式
Ln (
x)
e
x
dn dxn
(2n)! (2n n!)2
/
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专用符号: T0 ( x ), T1 ( x ),...Tn ( x ),...
一般表达式: Tn ( x ) cos(n arccos x ),
x 1.
切比雪夫正交多项式
3.切比雪夫多项式集的前 10位 :
T0 ( x ) 1
T1 ( x ) x
T2 ( x ) 2 x 2 1,
勒让德正交多项式
( 2n)! 于是得首项x 的系数a n n .显然最高项系数为 1 2 2 ( n! )
n
的勒让德多项式为
n n ! d ~ 2 n Pn ( x ) [( x 1 ) ] n ( 2n)! dx
勒让德正交多项式
2.勒让德多项式的重要性 质: 性质1 正交性
0，m n； 2 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx ， m n 2n 1 性质2 奇偶性
线性组合
k 1 j 0
k 1
dx 0
｛ k ( x )｝正交 ｛ k ( x )｝线性无关组 Qk 1 ( x ) b j j ( x )
k 1 j 0
( x )
a
b
k
Qk 1 dx ( x ) k ( x ) b j j ( x )dx
b
若Ak 1, 则称之为标准正交函数 系.
正交多项式的基本概念
(2)任意两个相同函数在 [ , ]上的积分等于 . 0, m n , sin mx sin nxdx , m n 0, m n , cos mx cos nxdx , m n
正交多项式系的构造
或按下述定理求 定理：按以下方式定义的多项式集合 { 0 , 1 , n } 是区间[a,b]上关于权函数 ( x ) 0（ , ( x )不恒为零） 的正交函数族。
0 ( x ) 1, 1 ( x ) x 1 k ( x ) ( x k ) k 1 ( x ) k k 2 ( x ) ( k 2,3,, n)
Tn ( x ) cos(n arccos x ),
x 1.
若令x cos , 则
Tn ( x ) cos n 0 ..
切比雪夫正交多项式
1.切比雪夫多项式及其结构特点
权函数 ( x )
n
1 1 x2
由{1, x,... x ,...}正交化得到的多项式
T3 ( x ) 4 x 3 3 x ,
T4 ( x ) 8 x 4 8 x 2 1,
请同学们写出 8 ( x ) ~ 10 ( x )
T5 ( x ) 16 x 5 20 x 3 5 x ,
T6 ( x ) 32 x 6 48 x 4 18 x 2 1, T7 ( x ) 64 x 7 112 x 5 56 x 3 7 x T8 ( x ) 128 x 8 256 x 6 160 x 4 32 x 2 1 T9 ( x ) 256 x 9 576 x 7 432 x 5 120 x 3 9 x T10 ( x ) 512 x 10 1280 x 8 1120 x 6 400 x 4 50 x 2 1
其中
四、勒让德(Legendre)正交多项式
及其结构特点 1.勒让德多项式
权函数 ( x ) 1
由{1, x,... x n ,...}正交化得到的多项式
区间为 [1,1]
专用符号: P0 ( x ), P1 ( x ),... Pn ( x ),...
1 dn 2 n 一般表达式: Pn ( x ) n {( x 1 ) }, n 2 n! dx ( n 1,2,...) P0 ( x ) 1
(1,1) 2 , (sin kx , sin kx ) (cos kx , cos kx ) , 而对k , j 1,2,..., 当k j时, 有 (cos kx , sin kx ) (1, cos kx ) (1, sin kx ) 0 (cos kx , cos jx ) (sin kx , sin jx ) (cos kx , sin jx ) 0
P7 ( x ) (429 x 7 693 x 5 315 x 3 35) 16 ,
五、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式
当权函数（x）
2 n
1 1 x
2
,区间为 [1， 1]时，
由序列 {1, x, x , x ,}正交化得到的正交多项 式
就是切比雪夫 (Chebyshev )多项式, 它可表示为
a b
若函数族 0 ( x )， 1 ( x ), n ( x )， 满足关系 jk 0， ( j， k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a Ak 0, j k 则称{ k ( x )}是a，b上带权 ( x )正交函数系 ;
2
请同学们写出 8 ( x ) ~ 10 ( x )
P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2 ,
5 3
P4 ( x ) (35 x 4 30 x 2 3) 8 ,
P5 ( x ) (63 x 70 x 15 x ) 8 ,
P6 ( x ) ( 23 x 6 315 x 4 105 x 2 5) 16 ,
拉盖儿正交多项式
按上述方法求出正交多项式函数族后，以此正交函 数族为基函数做最小二乘拟合多项式，其正则方程 组的系数矩阵一定是对角阵，不会出现病态。此时 正则方程组的解为：
y, k ak k , k
六、拉盖尔（Laguerre）正交多项式
d n x [0,), ( x ) e , Ln ( x ) e n ( x e ) dx
x x
n
递推关系：
L0 ( x ) 1, L1 ( x ) x 1, L2 ( x ) x 2 4 x 2, n n! k , Ln ( x ) ( 1) k k! x ( n 1,2,) k 0 Ln1 ( x ) ( 2n 1 x ) Ln ( x ) n 2 Ln1 ( x )
二、 正交函数系的性质
定理6.2 区间[a,b]上关于权函数的正交函数系必 定线性无关。 证明 设权函数为 ( x ), 正交函数系为： { , ,... }
0 1 n
( 反证法) 假设{ 0 , 1 ,... n }线性相关， 即存在不全为零的实数 c0 , c1 , 使得： c0 0 c1 1 ... cn b]上正交的充要条件是： 对任意的k , ( k , Qk 1 ) ( x ) k Qk 1dx 0
a
( k 1,2,...)
其中Qk 1 ( x )为任意至多 k 1次多项式
证明：
b k a k
｛ ( x)｝正交 ( x) Q
b a
＝ b j ( x ) k ( x ) j ( x )dx＝0
b j 0 a
k 1
正交函数系的性质
正交多项式系的性质：
(1) { 0 , 1 ,... n }线性无关
( 2) 对Pn ( x ) H n均可表为 0 ,... n的线性组合
0， ( 3) ( j， k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a Ak 0,
不妨设 ci 0，则有： c（ （ （ 0 0， i ) c 1 1， i ) ... c（ n n， i ) c i i， i ) 0
而 （ i， i ) 0, 只有 ci 0 矛盾!
证毕
正交函数系的性质 定理6.3
设 k ( x )是k次多项式， ( x )为权函数，
1
2n 1 n Pn ( x ) Pn1 ( x ) 性质3 递推关系Pn1 ( x ) n1 n1
偶函数, Pn ( x ) 奇函数,
n为偶数时 n为奇数时
勒让德正交多项式
3.勒让德多项式集的前 10位 :
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x
3x 1 P2 ( x ) 2
n k
( n 1,2,)
拉盖儿正交多项式
数据拟合时正交多项式的使用:
定义:满足下列条件的函数族 0 ( x ), 1 ( x ), , m ( x ),
i (i 1,2,, n)为权关于点集x1 , x2 ,, xn 称为以
的正交函数族.
n 2 ( k , k ) i k ( xi ) 0 ( k 0,1, , m ) i 1 ( , ) 0 (k j ) k j
1 3 3 3 x x 5 请同学们写出 6 2 3 4 x x 8 ( x ) ~ 10 ( x ) 7 35 10 3 5 x5 x x 9 21 15 4 5 2 5 6 x x x 11 11 231 231 5 105 3 35 7 x x x x 143 143 429
正交多项式系的构造
0 ( x) 1 1 ( x) x 2 ( x) x 2 3 ( x) 4 ( x) 5 ( x) 6 ( x) 7 ( x)
由{1, x ,.. x n ...}, 正交化构造出 [1,1]正交多项式序列 { n ( x )} 0 :
b
jk jk
三、 正交多项式系的构造
a , b及权函数 ( x ), 均可由一族线性无 只要给定区间
关的幂函数 {1, x ,.. x n ...}, 利用逐个正交化手续 构造出正交多项式序列 { n ( x )} 0 :