山西省临汾第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题 含解析

临汾一中2018--2019学年度高二年级第二学期期中考试数学（文）试题一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合要求的. 1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R A C B =（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]-【答案】C 【解析】集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 则()()2,2R A C B ⋂=-. 故答案为：C.2.若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A. 1i + B. 1i -C. 1i --D. 1i -+【答案】B 【解析】()2i,i 1i i i 1i,1izz =∴=-=-=+-1i z ∴=-，故选B.3.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A.815B.18C.115D.130【答案】C 【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C ． 【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．4.在ABC ∆中，若2,2,45BC AC B ===︒，则角A 等于（ ）A. 30︒B. 60C. 120D. 150【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求A 的大小.注意用“大边对大角”来判断角的大小关系.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=，所以2sin 2A =所以1sin 2A =，因BC AC <，所以45A B <=︒， 故A 为锐角，所以30A =︒，故选A.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为10，点(2,1)P 在C 的一条渐近线上，则C 的方程为（ ）A. 221205x y -=B. 221520x y -=C. 2218020x y -=D. 2212080x y -=【答案】A 【解析】 【分析】先求出渐近线的方程为by x a=±，代入P 后可得,a b 关系，结合5c =可得,a b 的值，从而得到双曲线的方程.【详解】双曲线的渐近线的方程为by x a=±，代入()2,1P 可得2a b =， 又5c =且222c b a =+，所以25,5a b ==，故双曲线的方程为221205x y -=，选A.【点睛】求双曲线的方程，关键是基本量,,a b c 的确定，方法有待定系数法、定义法等.前者可根据题设条件得到关于基本量的方程组，解方程组后可得双曲线的方程，后者可利用定义（第一定义、第二定义等）得到基本量的大小，然后直接得到双曲线的方程.6.若0ω>，函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后关于原点对称，则ω的最小值为（ ） A.112B.52C.12D.32【答案】B 【解析】 【分析】求出平移后的图像对应的解析式，再利用其关于原点对称得到ω满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后，对应图像的解析式为()cos()33g x x πωπω=+-，因为()g x 的图像关于原点对称，所以,332k k Z πωπππ-=+∈，故13,2k k Z ω=--∈，因0ω>，故ω的最小值为52，故选B. 【点睛】一般地，如果()()cos (0)f x A x A ωϕ=+≠为奇函数，则,2k k Z πϕπ=+∈，如果()f x 为偶函数，则,k k Z ϕπ=∈.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 44B. 32C. 1017+D. 22+【答案】D 【解析】 【分析】复原出对应的几何体后根据三视图中的数据可得其表面积.【详解】三视图对应的几何体为四棱锥，其底面为矩形，顶点在底面上的投影为矩形对角线的交点（如图所示），且6AB =，2BC =，高4PO =，故,PAD PBC ∆∆1695+=，,PAB PDC ∆∆16117+=四棱锥的表面积为112252617622261722⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ D.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系及相应的数量关系．8.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性比较大小. 【详解】因为0<a ＝132-<1，b ＝log 213<0，c ＝121log 3>121log 2＝1，所以c >a >b .【点睛】本题考查指数式、对数式的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用9.函数()f x =12cos 12xxx ⎛⎫- ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】由函数的解析式 ，当2x π=时,是函数的一个零点,属于排除A,B,当x∈(0,1)时，cosx>0，12012xx-<+,函数f(x) <0，函数的图象在x 轴下方，排除D.本题选择C 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10.已知数列{}n a 满足111,2nn n a a a +==+，则10a =（ ）A. 1024B. 1023C. 2048D. 2047【答案】B 【解析】a n +1=a n +2n ；∴a n +1−a n =2n ；∴(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+…+(a 10−a 9)=2+22+…+29=()921212--=1022；∴a 10−a 1=a 10−1=1022； ∴a 10=1023. 本题选择B 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.如图，已知12,F F 是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段2PF 与圆相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆的离心率为（ ）A.53B.355 D.25【答案】A 【解析】 【分析】利用Q 为2PF 的中点及2PF OQ ⊥可得12PF b =且12PF F ∆为直角三角形，故可得,,a b c 的等式关系，从这个等式关系进一步得到32b a =，消去b 后可得离心率.【详解】连接1,PF OQ ， 因为线段2PF 与圆相切于点Q ，故2PF OQ ⊥， 因12F O OF =，点Q 为线段2PF 的中点，故1PF OQ 且122PF OQ b ==，故222PF a b =-，又12PF PF ⊥，故()2222244444b a b c a b +-==-，整理得到32b a =， 所以()22294a c a-=，所以5c e a ==，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．12.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为'()f x ，若对任意的正实数x ，都有'()2()0xf x f x +>恒成立，且2)1f =，则使2()2x f x <成立的实数x 的集合为（ ）A. (,2)(2,)-∞+∞B. (2,2)C. (2)-∞D. 2,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】构建新函数()()2g x x f x =，可证它是偶函数且为()0,∞+上的增函数，故可得实数x 满足的不等式组，从而得到原不等式的解集.【详解】令()()2g x x f x =，则()()()()()()2''2'2g x x f x xf x x xf x f x =+=+，故当0x >时，有()'0g x >，所以()g x 在()0,∞+上的增函数， 又()()()()22g x x f x x f x g x -=-==，故()g x 为R 上的偶函数.且()g x 在(),0-∞上的减函数， 又2()2x f x <等价于()(2g x g<，所以0x =或2x x ⎧<⎪⎨≠⎪⎩x 的集合(2,2)，故选B.【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.二、填空题.13.已知向量()3,4a =-，()2,4b m =，若向量23a b -与b 共线，则实数m = _________． 【答案】32- 【解析】 【分析】先求出23a b -的坐标，利用向量共线的坐标形式可得m 的值.【详解】因为()2366,4a b m -=---，所以()()66424m m --⨯=⨯-， 故32m =-，填32-. 【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么： （1）若//a b ，则1221x y x y =； （2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.14.若,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值是_________．【答案】1 【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z -+=可得z 的最大值. 【详解】不等式组对应的可行域如图阴影部分所示：当动直线20x y z -+=过A 时，z 有最大值，由1y y x=-⎧⎨=⎩可得()1,1A --，故max 1z =，填1. 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率．15.已知,a b 为正实数且1ab =，若不等式()()a bx y M x y++>对任意正实数,x y 恒成立，则M 的取值范围是_________． 【答案】(,4)-∞ 【解析】 【分析】两次用基本不等式可求得4M <. 【详解】原不等式等价于ay bx a b M x y+++>恒成立， 由基本不等式可知2ay bxa b a b ab x y+++≥++a bx =时等号成立， 故2M a b ab <++，又22244a b ab ab ab ab ++≥==， 当且仅当1a b ==时等号成立，故4M <，填(,4)-∞.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.16.已知21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则方程[]()3f f x =的根的个数是_________．【答案】5 【解析】 【分析】令()t f x =，先求出()3f t =的解为3t e -= 或3t e =，再分别考虑()3f x e -=和()3f x e =的解，从而得到原方程解的个数.【详解】令()t f x =，先考虑()3f t =的解，它等价于2130t t +=⎧⎨≤⎩或ln 30t t ⎧=⎨>⎩，解得3t e -= 或3t e =，再考虑()3f x e -=，它等价于3210x e x -⎧+=⎨≤⎩或3ln 0x e x -⎧=⎨>⎩，前者有1个解，后者有两个解；再考虑()3f x e =的解，它等价于3210x e x ⎧+=⎨≤⎩或3ln 0x e x ⎧=⎨>⎩，前者无解，后者有两个不同的解且与()3f x e -=的解不重复，综上原方程有5个不同的实数解.【点睛】求复合方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦的解的个数问题，其实质就是方程组()()g t mt f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩的解的个数问题，先利用导数或初等函数的性质等工具刻画()g t 的图像特征并考虑()g t m =的解12,,t t t = ，再利用导数或初等函数的性质等工具刻画()f x 的图像特征并考虑()12,f x t t =的解情况，诸方程解的个数的总和即为原方程解的个数.三．解答题.17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2a cA b+=． （1）求B ；（2）若19,2b a ==，求c 及ABC ∆的面积S ． 【答案】（1）2π3B =（2）332【解析】 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化角，利用三角形内角和及和角的正弦公式求出。