高中学生数学解题中整体思想的应用
例谈整体思想在数学解题中的运用
例２ 求 函数ｙ ：
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（ ∈Ｒ） 的
试题 研究 ＞ 探究 试题
例 ４ 证 明 ： ～ …３ １
２ ４ ２ ｎ－Ｉ
… ～
数学教 学通讯 （ 教师版 ）
＋ ＝１ ， ４ａ ＝１ ２ ５， ＝１ ， ３
体 结 构 意 义 上 的 变 式 和 整 体 思 想 的 运
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ห้องสมุดไป่ตู้
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做 整 体 。 时 ． 以起 到 “ 暗 花 明 又 一 有 可 柳
解 靴 须 转 换 思 维 ， 辟 蹊 径． 值， 必 另
ｊ 整体思想 在 函数 中的运 用
在 解 有 关 函 数 问 题 时 运 用 整 体 思 想 ．主 要 体 现 在 运 用 函数 性 质求 值 、 求 特 定 函 数 的 最 值 以及 抽 象 函数 的 有 关
问 题 中 ． 题 时 ． 函 数 的 某 一 部 分 看 解 将
快速 获解 ． 高解 题 效 率． 提
一 一 一 一
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目的 整 体 结 构 特 征 和 数 量 关 系 的 基 础 上 巧 妙 地 运 用 整 体 思 想 ． 往 能 够 达 到 往 变 多 为少 繁 为 简 、 化 化难 为易 的 目的．
号 成 立 ． 显 然是 不 可能 的． 明 利 用 均 这 说
例谈整体思想在数学解题中的应用
例谈整体思想在数学解题中的应用打开文本图片集“整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念.整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简单相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到决定性的作用.整体思想在数学解题中非常重要，它使得我们在具体的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清楚地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉.函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类讨论和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得非常烦琐，看不到问题的本质.如果能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了.例1已知函数f（某）=某2+2a某+b在[1，2]上有两个零点，证明：0≤a+b≤2.一般性解法：利用零点的分布问题加以讨论，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的知识.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不小心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出一定的思维含量.如果我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境.另解：设f（某）的两个零点为某1，某2∈[1，2]，则f（某）=某2+2a某+b=（某-某1）（某-某2），由题意知：要求a+b的范围，故可以先整体地将它表达出来，于是令某=，则+a+b=f（）=-某1-某2，即a+b=某1-·某2--.由于某1，某2∈[1，2]，即知某1-某2-∈[，]，所以0≤a+b≤2.评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采用“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁.此题还可以作如下的变式：已知函数f（某）=某3+2a某+b在[1，2]上有三个零点，证明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就会显得非常烦琐，让人“望而却步”，但如果采用另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性.利用上面的解题思想方法，我们可以很容易解2022年浙江省高中数学竞赛第19题：设二次函数f（某）=a某2+（2b+1）某-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.解：由题意，设t为二次函数在[3，4]上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因为g（t）=t-2+，t∈[3，4]是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，b∈R，关于某的方程某4+a某3+2某2+b某+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值.此题留给读者思考.一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质研究其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.如果能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效.例2ma某{某3+2某+t，某≤1}=.一般性解法：设f（某）=某3+2某+t，某≤1，再对f（某）求导，求出f（某）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取绝对值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类讨论，计算过程比较烦琐.另解：注意到y=某3+2某在某≤1上是奇函数，所以，y∈[-3，3]，于是，要求ma某{某3+2某+t，某≤1}，只要求ma某{y+t，y≤3}即可，由绝对值的几何意义（如图1）即知：ma某{y+t，y≤3}=t+3.评注：此题改编于2022年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知ma某{某2-2某-t，0≤某≤3}=2，则t=.同样，此高考题采用整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不需要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念.例3已知e为自然对数的底数，设函数f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2），则A.当k=1时，f（某）在某=1处取到极小值B.当k=1时，f（某）在某=1处取到极大值C.当k=2时，f（某）在某=1处取到极小值D.当k=2时，f（某）在某=1处取到极大值一般性解法：学生往往不假思索，先对f（某）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”.另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2）所决定的.评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过研究发现，这道试题有一定的背景，即2022年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（某）=（某-a）2（某+b）ek，b∈R，某=a是f（某）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略.另一背景即2022年浙江省高中数学竞赛第9题：设函数f（某）=某（某-1）2（某-2）3（某-3）4，则函数y=f（某）的极大值点为（）A.某=0B.某=1C.某=2D.某=3上述两个题目都可以采用整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在研究问题中的作用.有关函数的导数问题，我们往往都是直接对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点.例4已知a>0，b∈R，函数f（某）=4a某3-2b某-a+b.（1）证明：当0≤某≤1时，①函数f（某）的最大值为2a-b+a；②f（某）+2a-b+a≥0.（2）略.一般性解法：学生碰到此类函数问题，先对函数f（某）=4a某3-2b某-a+b求导，然后分类讨论求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致复杂的计算.另解：①证明：由于f"（某）=24a某>0，故由函数的凹凸性知：f （某）ma某=ma某{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.②由题意，函数f（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为：f（某）d某=0.设折线A-C-B对应的函数为g（某），由于函数f（某）在[0，1]上为凹函数，故某∈[0，1]时，g（某）≥f（某）.于是，g（某）d某≥f（某）d某=0，即知g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（某）ma某≥f（某）min.若不然，即f（某）ma某S△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积：g（某）d某=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，这与g（某）d某≥f（某）d某=0矛盾.因此，由f（某）ma某≥f（某）min，知f（某）+2a-b+a≥f（某）min+f（某）ma某≥f（某）min+f（某）min≥0.评注：第②题一般采用导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的加以解决.事实上，根据高等数学的观点：导数是研究函数局部性质的一个“利器”，但要研究整体的性质非借助于积分不可.所以，我们借助于积分的，能在整体上清楚地看到解决第②题的关键：f（某）ma某≥f（某）min，此题的本质显得非常直观、简单，论证过程自然流畅、一气呵成.我们被这样精美的构思、奇妙的解法、鲜明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和命制的意义所在.杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大巍峨的气势，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在研究数学问题时，应该首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细节迷失方向.。
例谈整体思想在数学解题中应用[论文]
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例谈整体思想在数学解题中的应用摘要：整体思想是一种重要的数学思想方法，它是从整体上把握全局，注重问题的整体结构和特征，分析条件和结论的联系，从而使问题得以解决，常能化繁为简，变难为易，使解题过程显得简洁明快。
关键词：数学思想整体思想数学是一门具有严密逻辑性的基础学科，随着人类的进步和科学的发展，人们对数学的严密性和逻辑性有了更高的要求，因此，数学教师从教学的一开始就要有意识地培养学生的数学思维品质，有意识地贯穿数学思想方法，激发学生的创新思维和寻求新知识新方法的欲望，使学生把握一些解题的规律和方法，这样把学生从各种纷繁复杂的题型中解脱出来，使他们从中得到一些乐趣，在乐中求新，在新中获得更大的收益，其中整体思想是一种经常用到的数学解题的思想方法。
整体思想作为一种重要的思想方法，它在中学数学的各个方面都有广泛的应用。
学生若能灵活运用整体思想，常常能化繁为简，变难为易，提高解题的准确性和灵活性。
整体思想，就是在处理与解决问题时，胸怀整体的全局，暂时忽略或模糊问题的某些局部，注重问题的整体结构和整体特征，从整体上把握解决问题的方向，从整体上分析条件和结论的联系，并作出决策。
对于有一些数学问题，我们如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则能化零为整，化分散为集中，使解题过程显得简洁明快，体现和谐美和数学美。
下面我们通过具体实例来探究整体思想在解题中的应用。
一、在求函数值中的应用例：已知函数f（x）=x3+x+sinx+2，且f（-2）=8则：f（2）=（）a.10b.6c.-4d.8解析：由于y=x3，y=x，y=sinx都是奇函数，所以将x3+x+sinx 看作一个整体，故设g（x）=x3+x+sinx，（此函数为奇函数）所以f（x）=g（x）+2∵f（-2）=8 ∴f（-2）=g（-2）+2∴g（2）=-6∴f（2）=g（2）+2=-4，故选c。
二、在函数单调性中的应用例：求函数y=（x2+5）/（x2+4）1/2的最值。
“整体”思想在解题中的应用
“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。
运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。
下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。
“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。
解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。
例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。
分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。
解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。
分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。
解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。
这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。
数学整体思维高中教案人教版
数学整体思维高中教案人教版
1.能够全面、系统地理解并掌握整体思维的概念及其在数学中的应用。
2.能够灵活运用整体思维的方法解决数学中的问题。
3.培养学生的综合思维能力和创新意识。
教学重点和难点：
重点：整体思维的概念和应用。
难点：运用整体思维解决实际数学问题。
教学过程：
一、引入
教师通过引入实际生活中的问题，引导学生思考如何用整体思维来解决问题，激发学生的学习兴趣。
二、讲解
1.讲解整体思维的概念和应用，让学生了解整体思维在数学中的重要性。
2.举例说明整体思维在数学中的应用，让学生理解整体思维的具体运用方法。
三、实践
1.教师设计一些练习题，让学生动手解决，培养学生的整体思维能力。
2.学生分组讨论，共同解决一些复杂的数学问题，培养学生的合作意识和团队精神。
四、总结
通过本节课的学习，让学生总结整体思维的特点和方法，并能够灵活运用到实际生活和学习中。
五、作业
布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
教学反思：
整体思维是一种综合性的思维方式，能够帮助学生更好地理解和解决数学中的问题。
在教学中，要注重培养学生的整体思维能力，引导学生从整体的角度思考问题，不断提高他们的创新意识和综合思维能力。
数学中的整体思想
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
整体思想在高中数学解题中的应用
整体思想在高中数学解题中的应用作者：贾广利来源：《考试周刊》2013年第73期摘要：高中数学解题教学中，整体思想法就是指通过研究问题的整体结构和形式，并且把问题的各个部分看成一个整体，从而解决数学问题的一种思维方法。
本文对在高中数学解题教学中如何运用整体思想进行了分析和研究。
关键词：整体思想高中数学解题教学教学应用一、树立整体教学思想，引导学生进行自主探究1.帮助学生构建整体思想在传统高中数学教学中，教师习惯运用从简单到复杂、从局部到整体的教学方法加深学生对某一数学知识的理解，再通过课后训练对所学的知识进行巩固。
但是随着教学改革的不断深入，传统的教学方法已经无法适应现代教学的发展。
因此，为了改变传统的教学模式，提高课堂教学效率，教师在高中数学教学中应用整体思想进行教学。
整体思想就是教师为学生构建一个知识框架，然后由学生探索框架内的各个知识点，进而实现从整体到局部的教学方法。
例如，在学习高中函数图像时，教师就可以运用整体思想，为学生讲解函数的概念，然后引导学生探索函数图像的特征，从而得出函数图像的奇偶性、周期性、单调性和对称性。
2.引导学生用整体思想去自主探究在给出整体的知识框架后，教师应当引导学生进行自主探究。
例如，在解决高中立体几何中的有关问题时，学生面对复杂的几何图形可能无所适从，这时教师就可以引导学生构建整体思想，从整体上把握立体几何，即几何的证明和计算。
首先要解决证明问题，对于证明就会运用到垂直和平行的有关知识。
其次要解决计算问题，而计算又包括角和距离的问题。
通过层层分析和研究，找到解决立体几何问题的办法。
二、构建数学整体意识，避免纠结于单个元素在高中数学教学过程中，学生经常会遇到这样的情况，题目中给出的条件不足，但是当运用整体思想对题目进行分析时就会发现，条件其实都是隐藏在题目中，通过对条件的运用可有效地解决问题。
例如，在学习三角函数的计算问题时，学生对三角函数的函数值都非常熟悉，但是对于35°角，学生很难知道它所对应的三角函数值。
整体思想在数学解题中的运用
用“ 集装 箱”将 一些零 散 的小物件集束成 大 物
件 ， 而 大 大 方 便 运 载. 这 种 处 理 问题 的 思 维 从 方 式就 是 聚 零 为 整. 运 用 到 数 学 解 题 中， 是 就 把 某 一 式 子 进 行 整 体 代 入 ， 者 把 某 一“ 或 组 块 ”进 行 整 体 设 元 ， 者 把 某 一 成 分 进 行 整 体 或 消约 ， 者 把 握 结 构 的 特 征 ， 行整 体 处 理 . 或 进 由于 充 分 发 挥 了整 体 效 能 ， 此 解 题 过 程 变 因 得 十 分 简便 . 例 1 设 等 比数 列 (a ) ’ 的前 n 项 和 为 S "s 已知 S 。 48 1S 2 - 60 ， S 、的值 . 二 " 求 分析 大 多数 同学都 想 到 用基本 量 思想 求 解 : 利 用 等 比数 列 前 n 项 和 的公 式得 ，
1 一 4
Байду номын сангаас60 ， 望从 希
结 中求 出 a ， 4 ， 和 再代 入公 式求 S ，的值 ， 果 遇 到 障碍. 本 题 要 想求 出 a ， 4 确 有较 大 困难 . 和 其 实 我 们 可 以 引 导学 生从 整 体 上 认 识 条 a , ( 1 一 q") = 4 8 ， a , ( 1 一 q2 ") 件 60 , 1 一 q 1 一 q
a l <1 一 q")
1 一 4
= 48 ，
n 3 + 6n z + l l n
6
例 3 过 抛 物 线 尹 = 2p x 的焦 点 的 一条 直 线 AB 和 此抛 物 线 相 交 ， 两个 交 点 的纵 坐标 为 y l . y 2， 求证 : YIY2 = 一 尸. 分析 按 常 规 要 分斜 率存在 与不存 在 两
妙用整体思想解决高中数学难题
、
有些 问 题 ，如 果单 独考 察 个体 范 围 ，较 易 出错 。而 注 意 各 部 分之 间 的 整
体 表 示 ，容 易 得解 。 例 １ 已 知 １ ａ ２ ① ，且 、 —ｂ
２ 一 ｓ肿 ＝ 口 ＋ ｌ＋ 口 ＋ ２＋ … ＋ 口２
【 根据方程特点 ， 用整体换 元， 解】 采 将分式方程化为整式方程来解。
设 ２ ＋３ ｘ＝Ｙ ，则 原 方 程 可 化 为 Ｙ 一 ＝ ， 即 Ｙ ４ 一４ ｙ一５＝０， 解 得 Ｙ ＝５ ，或 －－１ 。故 ２ ＋３ ＝５ 或 ，
３ 一 ２ ＝ ａ２ １＋ ａ２ ２ ＋ … ＋ 口３ ＋ ＋
为 整 体 ， 可 知 Ｓ 、 Ｓ 一Ｓ 、 ２
小值 。
ｍ＋ ＝４ ， ，？ 一ｍ ＝ 一２ ，解 得 ｍ ＝３，
＝
１ ．
方程可化为 ： 一 ） 一 ３ ＋ ＋ ２ ０ ４ ） １ ：
令 ＋ Ｙ ＝ ｔ —Ｙ＝ Ｓ ， 得 ， 可
是一 种 较 高级 的 思 维 方 式 ，具 有 简 约 性
且 ４ 一 ｂ＝ ３ａ ６ ＋ 口 ６ 由 ① Ⅱ口 ２ （ 一 ） （ ＋ ），
现在 的高考数 学试题 ，越来越 注重 基 础 知 识 、基 本 技 能 以 及 各 种 思 想 方 法 的考察 ，尤其是全 国高 中数学联赛 ，更 注 重 能 力 的检 验 。 因此 ，要 达 到 快 速 解 题 的 目 的就 要 求 学 生 有 灵 活 的 思 维 方 式 以及 扎 实 的基 本 功 ，数 学 思 想 方 法 的 教 学尤为重要。某些相对复杂的数学问 题 ， 如 果 从 它 的 各 个 组 成 部 分 逐 一 分 析 ，有时能找到解题途径 。而有意识地 拓宽 问题 的视 角 ，将待解问题看作一个 整 体 ， 通 过 研 究 问 题 的 整 体 形 式 与 结 构 ， 某 种 整 体 处 理 ， 往 能化 难为 易 ， 做 往 化 繁为简 ，化未知为 已知 ，从而达到巧 解 问 题 的 目的 。这 种 从 整 体 出发 研 究 问
数学思想在解题中的重要作用 二、整体思想
数学思想在解题中的重要作用二、整体思想整体思想就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想.用整体思想解题往往能起到化难为易，化繁为简的作用，甚至有时会绝路逢生，柳暗花明.例1 （山东省枣庄市）如图2，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1＋∠2等于( )A ．315°B ．270°C ．180°D ．135°分析：根据已知条件，显然无法直接求得∠1，∠2的值，若把∠1+∠2看作一个整体，利用三角形的外角性质和内角和定理问题就容易解决了.解：由三角形外角的性质可得，∠1=∠C+∠4，∠2=∠3+∠C ，所以∠1+∠2=∠C+∠4+∠3+∠C.因为∠C+∠3+∠4=180°，∠C=90°，所以∠1+∠2=180°+90°=270°，故应选B.评注：把∠1+∠2看作一个整体求值，把不易求解的问题简单化，充分体现了整体思想在解题中的作用.此题还可以根据四边形的内角和以及直角三角形两锐角互余求解.借助“整体思想”，加强宏观把握，可以给解题拓宽思路，节约时间．例2．已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩， ，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ） Ａ．112k -<<-；Ｂ．102k <<；Ｃ．01k <<；Ｄ．112k << 析解：常规思路是：解关于x 、y （用含k 的代数式表示），进而得到x-y ，再利用10x y -<-<，求出k ，但通过观察发现②-①式即得x-y ，视（x-y ）为整体更妙，②-①，得x-y=1-2k ，所以-1＜1-2k ＜0，112k <<，故选D ． 例3. 如图1，在△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，求证：∠DAE ＝21(∠B －∠C ). 分析 要证明本题中的结论，由于AE 是∠BAC 的平分线，则有∠CAE ＝21∠BAC ＝21(180°－∠B －∠C )，而考虑到∠A +∠B +∠C ＝180°，即∠B +∠C ＝180°－∠A ，此时可视∠B +∠C 为一个整体，再由AD 是BC 边上的高，即可证明.① ②证明 因为AE 是∠BAC 的平分线（已知），所以∠CAE ＝21∠BAC （角平分线的定义）， 即∠CAE ＝21(180°－∠B －∠C )＝90°－21∠B －21∠C （三角形内角和定理及整体代换）， 又因为AD 是BC 边上的高（已知），所以∠ADC ＝90°（高的定义），即∠DAC ＝90°－∠C （直角三角形的两个锐角互余），所以∠DAE ＝∠DAC －∠CAE ＝90°－∠C －(90°－21∠B －21∠C )＝21(∠B －∠C )（整体代换）.F例4. 某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是16分．其中三位男生的方差为6(分2)，两位女生的成绩分别为17分，15分．求这个学习小组5位同学考试分数的方差分析:要计算这个学习小组5位同学考试分数的方差，根据已知三名男生的方差为6(分2)，可设这三名男生的得分分别是x 1，x 2，x 3，根据方差计算可得])16()16()16[(31232221-+-+-x x x =6，由此可得 232221)16()16()16(-+-+-x x x =18，将这个关系式作为一个整体，代入方差的计算公式可计算出5位同学考试分数的方差.解: 设这三名男生的得分分别是x 1，x 2，x 3，则有])16()16()16[(31232221-+-+-x x x =6，由此可得 232221)16()16()16(-+-+-x x x =18， 所以512=S [232221)16()16()16(-+-+-x x x +(17-16)2+(15-16)2]=4， 即这个学习小组5位同学考试分数的方差为4.点评：本题在计算过程中，通过将一个关系式看作一个整体代入计算，使问题得意解决.充分体现了整体思想在解决问题中的重要作用.例5、（芜湖市）已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为 ． 分析：由已知条件入手确定x 、y 都不等于0，据此利用分式的基本性质将求值式变形为含有已知条件的式子，再将已知条件整体代入求解．解：由已知条件可知x 、y 都不等于0，则xy ≠0，将yxy x y xy x ----22142的分子和分母都除以E D C B A 图1xy 得2)11(7)11(2----xy x y ，再将已知条件代入该式可得2)3(14)3(2----⨯=4． 例6、（赤峰市）已知114a b +=，则3227a ab b a b ab-+=+- ． 分析：本题直接由已知求出a 、b 的值很困难，由已知可得a 、b 均不等于0，则根据分式的基本性质将求值式的分子、分母都除以ab 得722131-++-ab a b，再将已知条件整体代入该式即可使问题得解． 解：ab b a b ab a 7223-++-=722131-++-ab a b =74234-⨯-=1．例7.已知411242=++x x x ，求分式2243535x x x +-的值. 分析:由已知条件求出x 的值显然行不通.注意到已知条件的分子是单项式，而分母是多项式，故取倒数后整体代入，则可求解.解:由411242=++x x x 取倒数，得.41224=++xx x 化简，得.3122=+x x 所以原式=2235135xx +-1)1(3522-+=x x =.41335=-⨯= 温馨提示:对于某些条件分式的求值问题，运用整体代换思想，可收到化难为易、出奇制胜的解题效果.。
高中数学解题中整体思想的合理运用
一
例２ ，已知ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｓ ｉ ｎ ｙ ＝ ，求 ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ｃ ｏ ｓ ｙ的取值范围。 解 ：设 ｕ ＝ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ｃ ｏ ｓ ｙ ， 将 已知式与待求式两边平方得 ：
＝ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｎ ｙ ＋ ｓ ｉ ｎ ｙ
简单 地说 ， 解 答数学 习题 时 ， 暂 时忽略 局部 复杂 而模 糊
即 令｛ Ｉ ｃ ０ …． ０ ∈ （ ｏ ， ） ， 则 ＋ ＝ ｓ ｉ ｎ ０ ＋ ｃ ｏ ｓ ０ ＋ ｙ＝ｓ ｉ ｎ０ ２
ｓ ｉ ｎ ０ ｃ ｏ ｓ ０ ， 直接求解 较困难 ，于是又令 ｓ ｉ ｎ Ｏ ＋ｃ ｏ ｓ Ｏ ＝ｔ （ ｆ ∈（ １ ， ］ ） 产 ＝１ ＋２ ｓ ｉ ｎ ０ ｃ ｏ ｓ ０ ￣ｓ ｉ ｎ Ｏ ｃ ｏ ｓ Ｏ ＝
点评 ： 本题 中整体配方后 ， 就可以视 √ ＋ ４ 一 了 一 为
＋４
（ ３）＋ （ ４）得 ： ＋ ＝ ２ ＋ ２ ｃ ｏ ｓ （ ｘ — ） ，即 ２ ｃ ｏ ｓ （ ｘ — ）
２
且仅当ｘ ＝０ 时等号成立 ，故 Ｙ的最小值是 三。
３
ｏ
＝ “
一 一
２
因为－ －２ ￣２ ＜ ｃ ｏ ｓ（ ｘ －ｙ）≤２ ，所以一２ ≤ 一三≤２ ，解
学园 Ｉ Ｘ Ｕ Ｅ Ｙ Ｕ Ａ Ｎ
２ ０ １ ４年 第 ６期
高 中数学 解题 中整体思想 的合理运用
张庆 贤 内蒙古赤峰 市 巴林 右旗 大板 三 中
【 摘 要 】 在高 中数学的教学中， 教师教学的重点要侧重于对学习方法的教学， 主要负责对解题 的思路和方法进行 引导，
整体化思想在数学解题中的应用及其教学对策
标 。整 体 化 思 想 在 很 多类 型 的 题 目中都 有 广 泛 的 应 用 。如
置 换 ，这 样 就 可 以 减 少 参 数 ，从 而 解 决 问 题 。
ｍ
—
一
Ｋ厂
一 Ｋ
＝ （ｉ 一 ） ２ ｓ １ ｎ
一
我 １ 知 道 一 ≤２ （ｉ 一 ） 『 ］ ２ 一ｓ ｎ １ ≤２
例 １ ０ ４年 全 国竞 赛题 ：已知实数 ａ 、Ｘ ．０ ２ 、ｂ 、Ｙ满 足
ａ ｂ ｘ ｙ ２ ｘ ｂ ＝ ，则 （２ｂ）ｙ ａ （２ｙ） ＋ ＝ ＋ ＝ ，ａ＋ ｙ ５ ａ 。ｘ＋ｂ ｘ 的值 为多少？ ＋ ＋
思考 与分析 ：
所 ≤ 舌 ≤ ２
所 以一 ≤ｋ １ ６ ≤ 即 选 择 Ａ。
此题 突出 了对 问题 整体结构 的分 析和改 造 ，发现 问题 的整体结构特 征 ，减少 未知数 ，在解题 过程 中需 要善 于用 “ 成 ”的眼光 ，把某 些式子 或 图形 看成 一个 整体 ，把 握 集 它们之 间的关联 ，并利 用这个 “ 整体 ”对 问题 实施 调节与 转化 ，这样 就能使 问题 变得简单 ，从而 实现快速解答 。
解整体 与局部的关系 。合 理处理两 者之间 的联 系 ，这样 往
往就能在 解题过程 中收到事半功倍 的效果 。
Ａ ［６ 】 Ｂ ４ 】 Ｃ ＿ ，１ Ｄ． － ，６ ‘ ． － ，Ｉ ．［，８ ．［Ｉ 】 ［Ｉ 】
思 考 与 分 析 ：这 里 出 现 了 ，ｍ， 三 个 参 数 ， 唯 一
＝
例谈整体思想在数学解题中的应用
例： 求函数ｙ ＝ （ ２ ＋ ５ ） ／ ２ ＋ ４ ） 的最值 。 解 析： 将 ＋ ４ ） 看作 一个整体， 则：
分析 ： 可以 一 ２ ） ｍ ｆ （ 一 １ ） １ ） 表示 ， 再根
数学 的严 密性 和逻辑性 有 了更高 的要求 ． 因 此． 数学 教师从教 学 的一开始 就要 有 意识地 培养 学生 的数学 思维 品质 ． 有 意 识地 贯穿数 学思 想方法 ． 激发 学生 的创新 思维 和 寻求新 知识新 方法 的欲 望 ． 使学 生把 握一 些解题 的 规律 和方法 ． 这样 把学生 从各 种纷 繁复 杂 的 题型 中解 脱 出来 ．使他 们 从 中得 到一 些 乐 趣． 在 乐 中求 新 ． 在新 中获得更 大的 收益 ． 其 中整 体 思想 是 一种 经 常用 到 的数 学解 题 的
故设ｇ ） ＋ ＋ ｓ ｉ ， （ 此 函数 为奇函数 ） 所 ｂ Ｒ ｌ ｆ ｘ ） ＝ ｇ （ ｘ ） ＋ ２ ２ ） ＝ ８ ． ‘ ： ， （ 一 ２ ） ＝ ： 一 ２ ） ＋ ２ ２ ） ＝ 一 ６ ２ ） ＝ ２ ） ＋ ２ ＝ 一 ４ ， 故选Ｃ 。
．
ａ ＝ ｌ ／ ２ ￣－ １ ） 坝１ ） 】
ｂ ＝ ｌ ／ ２ １ ） － １ ） 】
’
．
当 ＝ ２ 时（ 即 ＝ ０ 时） ， ｙ ． ￣ ｏ ＝ ５ ／ ２ 。 三 求函数最值中的应用
・ ．
ｌ ｆ － ２ ） ＝ ４ ａ － ２ ｂ ＝ 一 １ ） 坝１ ）
’
’ ．
瑚一 １ ） １ ） 的 范围 来求解。
解： 由已知条件可知 ：
１ ） ＝ ａ － ｂ １ ） ＝ 叶６
一
数学中的整体思想
整体证明
利用整体思想对猜想进行证明，揭 示数学命题之间的内在联系和规律。
整体探究
通过探究数学命题的整体结构和性 质，发现新的数学规律和性质。
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整体构造法的应用场景
01
解决代数方程
在代数方程中，整体构造法可以用于解决一些复杂的方程组或高次方程。
通过将问题看作一个整体，可以发现方程之间的内在联系，从而简化解
题过程。
02
几何问题
在几何问题中，整体构造法可以用于解决一些复杂的图形问题，如面积、
体积和角度等问题。通过将图形看作一个整体，可以更直观地理解图形
03
整体构造法
整体构造法的定义
整体构造法是一种数学解题方法，它强调从整体的角度去 观察和思考问题，将问题看作一个整体，而不是将其拆分 成多个部分。通过整体构造法，可以更全面地理解问题， 发现问题的本质和内在规律。
整体构造法的核心思想是“以全局带动局部”，即通过研究 整体性质来推导和解决局部问题。这种方法在数学中广泛应 用于解决代数、几何和概率统计等领域的问题。
解析几何
在解析几何中，整体观察法可用于研究几何图形之间的关系和性质。例如，在研究平面几 何图形的面积和周长时，可以通过整体观察法发现它们之间的联系和规律，从而简化计算 过程。
函数分析
在函数分析中，整体观察法可用于研究函数的性质和变化规律。通过整体观察函数的图像 和性质，可以更好地理解函数的性质和变化规律，从而更好地解决与函数相关的问题。
02
在数学中，整体观察法通常用于 研究数学对象之间的关系、结构 和性质，以便更好地理解数学概 念、定理和解题方法。
整体观察法的应用场景
解决代数问题
整体观察法在代数问题中应用广泛，例如解方程组、因式分解、不等式证明等。通过从整 体上观察代数式或方程组，可以发现它们之间的内在联系和规律，从而简化解题过程。
整体思想在高中数学解题中的应用
想方法1www 2021年第3期中学数学教学参考（下旬>体思想在高中数学解题中的应用王立嘉(广东省惠州市东江高级中学）摘要：整体思想是指从问题的整体结构和形式出发，整体把握内部各要素之间的关联，从而达到有效解题和高效教学的一种思维方式。
整体思想既能让教师全局性地把握授课内容，也能让学生建立知识框架、抓住问题本质和提高数学思维能力。
因此，探讨整体思想在高中数学解题中的应用尤为重要。
关键词：整体思想；高中数学；解题文章编号：1002-2171 (2021)3-0037-031整体思想高中学生在解题过程中常出现无从下手的感觉，究其原因，除了数学知识掌握不到位之外，往往是由 于缺乏整体思想，未能整体把握题目的主线.只在零碎的条件和知识中徘徊不前，这也是解题能力难以得 到提升的重要原因。
整体思想贯穿了高中数学教学的整个过程—教师采取从整体辐射到局部的授课方式，先让学生整体建构知识框架，再引导学生丰富框架内各部分的内容，从而促进学生构建整体思想。
在题目中快速找到问题本质和解题思路，灵活运用所 学知识各个攻破，最终快而准地解出题目。
例如，函数/U)在区间[-7C，7T]上的图像大C O S X~T X致为（）。
该函数不是基本初等函数.对于第一次接触该类型题目的学生来说可能会无从下手，抓不住问题的核 心。
但是，教师在讲授函数的基本性质时，如果能先从整体角度讲解如何研究函数的变化规律即函数的性质，如单调性、最值和奇偶性等，那么学生就可以在大脑中形成研究一般函数的基本出发点，从而该类型 问题便能迎刃而解。
构建整体思想，学生在解决实际问题时便能找到主线做到有的放矢，然后顺藤摸瓜各个击破。
整体思 想覆盖高中数学的各个知识点，是高中数学的重要思想，教学中需注重培养学生用整体思想解题的意识和能力。
解题过程中，我们常用综合法或者分析法构建题目已知条件和问题的“桥梁”，求解过程中又会专注于“支解”各个条件及问题，这样会使一些问题不易求解。
谈整体思想在数学解题中的应用
常 使 用 ， 么在 数 学 解 题 中如 何 巧 妙运 用 呢 ？ 面我 结 合 教 学 那 下
实践来谈一谈． 观 察全 局
一
、
观察全局 ， 就是 从 全 局 上 对 已 知条 件进 行 观察 分 析 ， 合 综
考 虑 ， 而 得 出解 决 问题 的途 径 ． 从
函数 ｙ ＋ ａ－ ）＋ 一 联 系 起 来 ： （２ １ｘ ａ ２
０， 进一 步得 到 ｘ 二 ，＝ ｘ ＝ ． ＝ ｙ ２，ｙ ３
２
例 ２￣ ＿ ． ｆ
ｘ＋ ２ ｖ
－
－
－
４ｋ ＋１
，
２ Ｉｘ ＋ｖ： ｋ ２ ＋
且０ ｘｙ ３ 则ｋ ＜ ＋＜ ， 的取 值 范 围是
＼／
解 ： 题 意 知 ， 物 线 与ｘ 的 交 点 坐 标 ， 个 交 点 在 （ 由 抛 轴 一 一 １ ０ 的 左 边 ， 一 个 交 点 在 （ ， ） 右 边 ， 物 线 开 口 向上 ， ，） 另 １０ 的 抛 则可得 ：
ｘ＋ＸＶ＋Ｖ
（ ＋ ） ＋１
一
由 韦 达 定 理 可 得 ： ｈ＝ ，ｂ一 １ ａ＋ ２ ａ （＋ ） ａ ， ａ ｂ ２ ｂ
— —
＝一Ｏ．
ａ ｂ
考 虑 ， 畅 通 无 阻 ． 时它 又 能 培 养 学 生 思 维 的 灵 活 性 、 捷 则 同 敏 性 ． 体 思 想 作 为 重 要 的 数 学 思 想 之 一 ． 们 在 解 题 过 程 中经 整 我
ｖ＝二 ｋ＋１ 从 ３
．
而得 ０ 二 ｋ １ ３ 解 得 一 ＜ ＜ ． ＜ ＋＜ ． ｋ
３ ５ ５
如
二 、 体 代 入 整
有 些习题 ， 果孤立地利用 条件 ， 如 问题 虽 可 以 得 到 解 决 ． 但 解 题 过 程 比较 复 杂 ； 如 果 把 所 有 已 知 条 件 看 做 一 个 整 体 ． 但 直 接或 变 形 以后 代 人 所 求 ， 问题 就 容 易 解决 多 了．
数学解题中的一把金钥匙——整体思想
数学学习与研究2014.18一、整体代入有些问题,如果孤立地利用条件,问题虽然可以得到解决,但解题过程比较复杂,如果把一些组合式子看成一个“整体”,并把它直接代入另一式,以避免局部运算的麻烦和困难,这就是整体代入.例1当x =1时,代数式px 3+qx +1的值是2014,则当x =-1时,代数式px 3+qx +1的值是.分析对于此题,若想分别求p 和q 的值,这是不必要的,也不可能.由题设得p +q +1=2014,如果我们视p +q 为一个整体,则有p +q =2013,于是,当x =-1时,有px 3+qx +1=-p -q +1=1-(p +q )=1-2013=-2012.二、整体换元整体换元是用新的元去代替已知或已知式的某一部分,从而达到化繁为简、化难为易的目的.例2解方程x x +1()2+5x x +1()+6=0.分析如果先将括号展开,题目就难解了.根据方程的结构特征,把x x +1看作整体y ,则原方程转化为y 2+5y +6=0,解得y 1=-3,y 2=-2,当y 1=-3时,x x +1=-3,解得x 1=-34;当y 2=-2时,x x +1=-2,解得x 2=-23.经检验x 1=-34,x 2=-23均为原方程的根.三、整体构造整体构造就是根据已知条件和所求,整体构造相应的式子,通过对两个式子的联合研究来解决问题.例3已知a ,b 为两个不相等的实数,且满足a 2=1-2a,b 2=1-2b,求b a +a b的值.分析根据常规,习惯于先求出a ,b ,这需分四种情况讨论,运算较繁,且容易出错.若能整体把握b a+a b =b 2+a 2ab =(a +b )2-2ab ab,只需求出a +b 与ab ,易联想到根与系数的关系.本题可构造出以a ,b 为两实数根的一元二次方程x 2+2x -1=0,∴a +b =-2,ab =-1,b a +a b =(a +b )2-2ab ab=-6.四、整体求解整体求解是将问题中的某些局部计算作整体求解,从而达到简化问题和减少计算量的目的.例4有大、小两种货车,2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?分析设一辆大车与一辆小车一次可以各运货x 吨、y 吨,则有2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,然后用常规方法解得x 与y 的值,再代入下一步作答,非常烦琐.简便解法:由题意,可得2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,①×7-②,得9x +15y =73.5,从而就有3x +5y =24.5.五、整体补形整体补形是从图形的整体性角度出发,将问题中不完整的图形补为完整的图形,从而利用图形的整体性质使问题巧妙获解.从整体补形的角度去思考问题,巧妙添加辅助线,从而导致解题方向明朗化.例5如图1,AB =4,DB ⊥AB ,EA ⊥AB ,DB =3,EA =6,又点M 是DE 的中点,求BM 的长.分析由已知条件可以联想到平行四边形,故延长DB 到F ,使DF=EA =6,连接EF ,AD ,由AE ⊥AB ,DB ⊥AB ,得AE ∥DB ,∴四边形ADFE 为平行四边形.在Rt△ABD 中,AD =AB 2+DE 2√=5.∴EF =AD =5.由中位线定理得BM =12EF =52.六、化零为整化零为整就是化部分为整体,避免分散计算.在很多几何题中,如果把所求部分进行单个计算,有时不能使问题获解,只有把所有部分看作一个整体进行合理转化,才能得出结论.例6如图2,☉A,☉B,☉C 两两不相交且半径都为0.5厘米,则图中阴影部分的面积为________.分析由于各个扇形的圆心角的度数均未知,从而不能分别求各个扇形的面积.为此,将三个阴影部分整体考虑,注意到三角形内角和为180°,所以三个扇形的圆心角的和为180°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积为半径为0.5厘米的圆的面积的一半,即12×π×0.52=π8(平方厘米).七、应用题中的整体思想我们在研究有关应用题时,如果能从大处着眼,从整体入手,往往可化繁为简,思路明晰.例7甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发,相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带了一只小狗,狗每小时跑10千米,小狗随甲同时出发,向乙跑去;当它遇到乙后,就立即回头向甲跑去;遇到甲后,就立即回头向乙跑去,直到甲、乙两人相遇狗才停住.求这条狗一共跑了多少路.分析本题如按常规解法,考虑“狗”的行程,不仅图无法画出,且容易导致思路曲折复杂,无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举:要求狗的行程,已知狗的速度,只需知道狗奔跑的时间;而这时间也恰是甲、乙二人走完全程所用的时间,而求甲、乙二人走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题.如果设甲、乙两人从出发到相遇所用时间为x 小时,根据题意列方程:6x +4x =100,解之得x =10,因此狗以10千米/时的速度跑了10小时,则它一共跑了10×10=100(千米).当然,整体思想在数学解题中的应用还涉及其他的各种题型.有了整体思想的意识,从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.灵活恰当地运用整体思想,往往能帮我们走出困境,走向成功.数学解题中的一把金钥匙———整体思想◎范金伟(山东省枣庄市第三十七中学277212)图1. All Rights Reserved.。
整体思想在数学解题中的应用
整体思想在数学解题中的应用作者：李玉宝来源：《理科考试研究·初中》2014年第07期解决数学问题的思想和方法有许多种，比如方程和函数的思想方法、转化的思想方法、数形结合的思想方法、分类的思想方法等.这些方法对于一些问题能起到化难为易，化繁为简的作用.本文要说的是另一种数学思想方法——整体思想方法，在解决数学问题中的妙用.所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想.有些问题若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则畅通无阻、妙不可言.下面通过举例来说明整体思想在数学解题中的应用.一、在代数问题中的应用例1已知a+1a=3,则a2+1a2=.解因为a+1a=3,所以(a+1a)2=9,即a2+2+1a2=9,所以a2+1a2=7.评注本题若从局部入手，求出a的值，则需要解关于a的一元二次方程，而且解出的根也有两个，再将a的两个值代入到a2+1a2，不但繁难，而且容易出错.若分析清楚此题的结构后，把a+1a当成一个整体来看待，这个问题的解决就变得容易了.例2分解因式(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1).解设a+b=m，ab=n,原式=m(m-2n)+(n-1)(n+1)=(m-n)2-1=(m-n+1)(m-n-1)=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1).评注本题若先化简以后再进行分解就显得有点繁，但若将a+b，ab分别看成一个整体，则使得待分解的式子在形成上得到简化，这样就可以迅速分解因式.例3甲、乙两人从相距10千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只小狗，狗每小时跑10千米，小狗随甲同时出发，向乙跑去；当它遇到乙后，就立即回头向甲跑去；遇到甲后，就立即回头向乙跑去，直到甲乙两人相遇狗才停住.求这条狗一共跑了多少路.解设甲、乙两人从出发到相遇所用时间为x小时.根据题意列方程：6x+4x=100，解之得x=10.因此狗以10千米/时的速度跑了10小时，则它一共跑了10x=10×10=100(千米).答：从甲、乙两人出发到相遇狗一共跑了100千米的路程.评注本题如按常规解法，考虑“狗”的行程不仅图无法画出，且容易导致思路曲折复杂，无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举：要求狗的行程，已知狗的速度，只需知道狗奔跑的时间；而这时间也恰恰是甲乙二人所走完全程所用的时间.而求甲乙二人所走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题.二、在几何问题中的应用例4在Rt△ABC中，∠C=90°，若有a+b=5，c=4，则S△ABC=.解因为a+b=5,所以b=5-a,所以S△ABC=12ab=12a(5-a)=12(5a-a2).又因为c=4,所以42=a2+(5-a)2,所以5a-a2=92.所以S△ABC=12(5a-a2)=94.评注我们要求的是12ab，但不一定要分别求出a、b的值.本题利用整体的思想求出5a-a2的值，从而求出12ab的值.例5已知Rt△ABC斜边AB的边长为52 cm，两条直角边的差为12 cm，求三角形的周长及斜边上的高.解如图1，设AC=x cm，BC=y cm，则x-y=12,①x2+y2=254.②把①平方，得x2-2xy+y2=14.③把②代入③得xy=3.所以(x+y)2=x2+2xy+y2=494,所以x+y=72.故周长为72+52=6.又因为S△ABC=12xy=12AB·CD,所以54CD=32,所以CD=65.评注本题设出了x，y但并不需要分别求出x、y的值，在这里把x-y、x+y当作整体看待，就使得解题更简捷明了.当然整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于以上几种，还涉及到其他的各种题型.有了整体思想的意识，在思考问题时才能使复杂的问题简单化，灵活恰当地运用整体思想，往往能帮我们走出困境.而只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，才能使使问题迎刃而解.。
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整体思想在数学解题中的应用解决数学问题的思想和方法有许多种，比如方程和函数的思想方法、转化的思想方法、数形结合的思想方法、分类的思想方法等.这些方法对于一些问题能起到化难为易，化繁为简的作用.本文要说的是另一种数学思想方法――整体思想方法，在解决数学问题中的妙用.所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想.有些问题若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则畅通无阻、妙不可言.下面通过举例来说明整体思想在数学解题中的应用.一、在代数问题中的应用例1已知a+1a=3,则a2+1a2=.解因为a+1a=3,所以(a+1a)2=9,即a2+2+1a2=9,所以a2+1a2=7.评注本题若从局部入手，求出a的值，则需要解关于a的一元二次方程，而且解出的根也有两个，再将a的两个值代入到a2+1a2，不但繁难，而且容易出错.若分析清楚此题的结构后，把a+1a当成一个整体来看待，这个问题的解决就变得容易了.例2分解因式(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1).解设a+b=m，ab=n,原式=m(m-2n)+(n-1)(n+1)=(m-n)2-1=(m-n+1)(m-n-1)=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1).评注本题若先化简以后再进行分解就显得有点繁，但若将a+b，ab分别看成一个整体，则使得待分解的式子在形成上得到简化，这样就可以迅速分解因式.例3甲、乙两人从相距10千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只小狗，狗每小时跑10千米，小狗随甲同时出发，向乙跑去；当它遇到乙后，就立即回头向甲跑去；遇到甲后，就立即回头向乙跑去，直到甲乙两人相遇狗才停住.求这条狗一共跑了多少路.解设甲、乙两人从出发到相遇所用时间为x小时.根据题意列方程：6x+4x=100，解之得x=10.因此狗以10千米/时的速度跑了10小时，则它一共跑了10x=10×10=100(千米).答：从甲、乙两人出发到相遇狗一共跑了100千米的路程.评注本题如按常规解法，考虑“狗”的行程不仅图无法画出，且容易导致思路曲折复杂，无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举：要求狗的行程，已知狗的速度，只需知道狗奔跑的时间；而这时间也恰恰是甲乙二人所走完全程所用的时间.而求甲乙二人所走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题.二、在几何问题中的应用例4在Rt△ABC中，∠C=90°，若有a+b=5，c=4，则S△ABC=.解因为a+b=5,所以b=5-a,所以S△ABC=12ab=12a(5-a)=12(5a-a2).又因为c=4,所以42=a2+(5-a)2,所以5a-a2=92.所以S△ABC=12(5a-a2)=94.评注我们要求的是12ab，但不一定要分别求出a、b的值.本题利用整体的思想求出5a-a2的值，从而求出12ab的值.例5已知Rt△ABC斜边AB的边长为52 cm，两条直角边的差为12 cm，求三角形的周长及斜边上的高.解如图1，设AC=x cm，BC=y cm，则x-y=12,①x2+y2=254.②把①平方，得x2-2xy+y2=14.③把②代入③得xy=3.所以(x+y)2=x2+2xy+y2=494,所以x+y=72.故周长为72+52=6.又因为S△ABC=12xy=12AB?CD,所以54CD=32,所以CD=65.评注本题设出了x，y但并不需要分别求出x、y的值，在这里把x-y、x+y 当作整体看待，就使得解题更简捷明了.当然整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于以上几种，还涉及到其他的各种题型.有了整体思想的意识，在思考问题时才能使复杂的问题简单化，灵活恰当地运用整体思想，往往能帮我们走出困境.而只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，才能使使问题迎刃而解.。
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高中学生数学解题中整体思想的应用
高中数学是我们在高中学习阶段必须学习的主要课程之一，同时，也是高考必考学科。
为了提高我们的数学解题水平，合理地运用整体思想解决数学问题就显得十分必要。
标签：高中数学解题整体思想应用
一、前言
高中数学题对于我们来说具有难度大、涉及知识点多等特点，同时，也是对我们逻辑思维能力与知识掌握水平的考查。
因此，合理地运用整体思想，才能发挥我们所学知识的价值，提高解题准确性。
二、高中生运用整体思想解题的价值分析
所谓的整体思想就是在数学题的解题过程当中，把比较模糊的细节进行暂时的忽略，通过对整体的分析和考虑得出问题结论。
在高中数学解题过程中，整体思想是一種灵活而重要的解题思想。
在高中数学解题中，身为学生的我们要合理地运用整体思想解决复杂数学问题，这有助于提高我们自身对数学知识的理解、运用水平，改善数学解题效率与准确性。
同时，还有助于提高我们学习、运用数学知识的自信心。
除此之外，整体思想还可以在方程、几何证明等问题中使用，是攻克数学难题的利器[1]。
三、高中学生数学解题中整体思想的合理应用
所谓整体思想，顾名思义，就是将某个算式或者字母组合看成一个整体，然后利用等量代换、构造图形等方式快速、有效地解决问题，提高解题速度与准确性。
（一）高中数学整体思想应用时的等量变化法
整体思想等量变换法是解决高中数学难题常用的方法，其主要内容就是通过对原题中已知条件与问题的研究，把问题量和条件关系量等使用已知条件进行代换求解。
例如，已知sinx+siny=22，试问cosx+cosy的取值范围应该是多少？
分析：在此题的解答中，第一步应该分析已知条件和求解问题之间的变量关系，然后，在将cosx+cosy通过等量代换的方式，带入已知条件。
解：设cosx+cosy=μ
因为sinx+siny=22，所以（sinx+siny）2=sin2x+sin2y+2sinx·siny=12①
因为cosx+cosy=μ，所以μ2=（cosx+cosy）2=cos2x+cos2y+2cosx·cosy②
经整理①+②可得：
12+μ=sin2x+sin2y+2sinx·siny+cos2x+cos2y+2cosx·cosy=2cos（x-y）+2，等价于μ2-32=2cos（x-y）
因为，cosθ最小值为-1，因此，2cos（x-y）最小值为-2，最大值为2；
等价于-2≤co s（x-y）≤2
所以，-2≤μ2-32≤2
经整理：-142≤μ≤142，等价于-142≤cosx+cosy≤142。
因此，cosx+cosy的取值范围为-142，142。
总结：此类问题在解答中，如果运用直接计算或者正余弦函数定义进行解答，必然增加解题难度。
因此，在此类问题解答中，要合理运用三角函数知识，通过整体思想的应用，才有助于我们简化解题步骤，提高解题速度[2]。
（二）高中数学整体思想应用时的方程变换法
在高中数学知识的运用与问题的解答中，我们经常会遇到很多方程无法进一步简化，实现求解的情况。
此时，我们应该主动使用整体思想相关理论，对方程进行变换处理，从而实现求解目的。
例如，现知道y=x2+5x2+4（x∈R）成立，问函数式中y的最小值应该是多少？
分析：在此题的解答中，首先我们应该对原式进行适当的化简、处理，然后根据根号及方程等相关知识特点，运用整体变换思想，合理地处理问题，获得答案。
解：根据题意可知：y=x2+5x2+4=1x2+4+
1x2+4=4x2+4-14x2+4+2。
根据根式运算意义及特点可知，4x2+4≥2。
所以-14x2+4≥-22。
等价于4x2+4-14x2+4+2≥52；
因为y=x2+5x2+4=4x2+4-14x2+4+2≥52，
所以，y≥52；由此可知，函数y的最小取值是52。
综上所述，在此类函数不等式问题的解答中，涉及了诸多的数学知识内容，且数学计算式相对复杂，若通过合理地运用整体方程变换思想，将有助于学生发现问题突破口，找准解题关键，提高解题效率及准确性。
因此，整体思想是我们高中数学解题中不可或缺的思想方法之一[3]。
（三）高中数学整体思想应用时的整体代入法
把题目中显现的已知条件作为整体代入到问题当中，也是运用整体思想解答数学难题的又一便捷途径。
例如，现存在等比例函数{an}，已知an>0、a2a4+2a3a5+a4a6=25，试问a3+a5的和是多少？
分析：本题中求解的问题是a3+a5的和，通过观察可以发现a3+a5的和与a1、q存在密不可分的关系，所以在解答的过程中第一步应该将a1、q的数值求出，此时，就应该将整体代换思想运用于解题中，把a1、q看成整体代入已知条件中，通过相互转化，求得答案。
解：设等比数列{an}的公比是q；且an=a1qn。
根据已知条件可得：a2a4+2a3a5+a4a6=a1qa2q3+2a1q2a1q4+a1q3a1q5=[a1（q4+q2）]=25等价于a1（q4+q2）=±5；
由题意可知an>0，所以a1（q4+q2）=5。
又因为a3+a5=a1q2+a1q4=a1（q2+q4）
所以，a3+a5=5
总结分析：在数列等数学问题的处理中，应该详细品读题中给出的已知条件，然后结合所学相关知识的公式、概念，合理地运用整体代入思想中的整体代入法，才能够快速、高效准确地求得答案，提高所学知识的利用价值。
四、结语
总之，高中数学问题万变不离其宗，只有扎实地掌握了基础知识，再配合整体解题思想的合理运用方式，必然可以提高我们的解题水平与解题准确性。
参考文献：
[1]董百生才.例谈数学中整体思想解题法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2011（S1）：36～38.
[2]陈会英.整体思想在数学中的运用举例[J].成功（教育），2011（18）：174.
[3]张伟勉.运用整体思想提高解题速度[J].科教文汇（下旬刊），2014（06）：156，158.。