10-5 课后·演练·提升

一、填空题
1．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4的概率是________．
2．在区域⎩⎨⎧
x ＋y －
2≤0x －y ＋
2≥0
y ≥0
内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内
的概率为________．
3．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC ＜1
2V S －ABC 的概率是______．
4．圆O 有一内接正三角形，向圆O 随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是________．
5．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于6
5的概率是________． 6．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．
7．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋3
4m ＋1＝0无实根}中随机的取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________．
8．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．
图10－3－4
9．如图10－3－4所示，平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm 的硬币任
意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，则硬币不与圆O 相碰的概率为________．
二、解答题
图10－3－5
10．如图10－3－5所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
11．向边长为2的正方形ABCD 内任投一点，设此点为P ，求∠APB 为钝角的概率．
12．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；
(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧
m ＋n －1≤0
－1≤m ≤1
－1≤n ≤1
，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、
二、三象限的概率．
答案及解析
1.【解析】 如图，要使S △PBC ＞14S △ABC ，只需PB ＞1
4AB ，故所求概率为P ＝34AB AB ＝34.
【答案】 3
4
2.【解析】 如图所示：区域为△ABC 的内部及边界．且S △ABC ＝1
2×22×2＝2.
故所求概率为P ＝π
22＝π
4. 【答案】 π
4
3.【解析】 当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P —ABC ＜1
2V S －ABC ，由几何概型知所求概率为P ＝1－18＝7
8.
【答案】 7
8
4．【解析】 设圆O 半径为R ，则正三角形的边长为
2
R 2－R 2
4＝3R ，∴P ＝12·3R ·3
2R πR 2＝33
4π.
【答案】 33
4π
5.【解析】 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域是
⎩⎨
⎧
0＜x ＜10＜y ＜1
确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由⎩⎪⎨
⎪⎧
0＜x ＜10＜y ＜1
x ＋y ＜6
5
确定的
平面区域，
如图所示．阴影部分的面积是1－12×(45)2＝17
25， 所以两个数之和小于65的概率是17
25. 【答案】 17
25
6.【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为3，所求事件发生的区域长度为2，故所求的概率为P ＝2
3.
【答案】 2
3
7.【解析】 由Δ＝m 2－4(3
4m ＋1)＜0得－1＜m ＜4. 即A ＝{m |－1＜m ＜4}．
由lg m 有意义知m ＞0，即使lg m 有意义的范围是(0,4) 故所求概率为P ＝4－04－(－1)
＝4
5.
【答案】 4
5
8.【解析】 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π
2，
因此取到的点到O的距离小于1的概率为π
2÷2＝π
4，取到的点到O的距离大
于1的概率为1－π4.
【答案】1－π4
9.【解析】因为硬币完全落在矩形内，考虑圆心的位置，试验的全部结果构成的区域是在矩形ABCD内部且到各边距离为1的矩形EFGH内，且EF＝10，FG＝8.
记事件A为“硬币不与圆O相碰”，则事件A发生的区域为以点O为圆心，以2为半径的圆外，且在矩形EFGH内的部分，故其面积为
S A＝10×8－4π＝80－4π，∴P(A)＝80－4π
80＝1－
π
20.
【答案】1－π20
10.【解】弦长不超过1，即|OQ|≥
3
2，而Q点在直径AB上是随机的，事
件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝
3
2×2
2＝
3
2.∴弦长不超过1的概率为1－
P(A)＝1－
3
2.所求弦长不超过1的概率为1－
3
2.
11.【解】以AB为直径，在正方形ABCD内画半圆，当点P在半圆内时，
∠APB 为钝角．记事件A 为“∠APB 为钝角”，则事件A 发生的区域面积为π
2，试验的全部结果构成的区域面积为4.∴P (A )＝π
8.
12.【解】 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以P (A )＝610＝3
5.
(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧
m ＋n －1≤0
－1≤m ≤1
－1≤n ≤1
的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P ＝1272＝1
7.。