惠州市2018年高三年级第一次调研考试[理数]

惠州市2018届高三第一次调研考试数学（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合{|12}M x x =-≤≤，{|2}xN y y ==，则M N =（ ）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[0,2]D ．[2,)+∞（2）已知a 是实数，i 是虚数单位，若1a ii-+是纯虚数，则a =（ ） A. 1 B. -D.（3）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12（4）已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且(1)2f =， 则不等式2(log )2f x >的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B .1(0,)(2,)2+∞ C.(0,(2,)2+∞ D.)+∞ （5）点()y x P ,为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥--012083022y x y x y x 所表示的平面区域内的动点，则x y的最小值为（ ） A ．21- B ．2- C ．3- D ．31-（6）设命题p ：若定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则x R ∀∈，()()f x f x -≠． 命题q ：()||f x x x =在(,0)-∞上是减函数,在(0,)+∞上是增函数． 则下列判断错误的是（ ）DCA ．p 为假B ．q 为真C ．p ∨q 为真 D. p ∧q 为假（7）已知函数()3cos()(0)3f x x πωω=+>和()2sin(2)1g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同，若[0,]3∈x π，则()f x 的取值范围是（ ）A.[3,3]-B.3[,3]2-C.[-D.3[3,]2-（8）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1,）(0,1,1),1(,1,0)2，绘制该四面体三视图时, 正视图的方向如下图所示，则得到左视图．．．可以为（ ）（9）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用⨯2勾⨯股+()2勾—股⨯=4朱实+黄实=弦实，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为3:1，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）()732.13≈A ．866B ．500C ．300D ．134（10）已知函数()x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的[]84,21，∈x x ，当21x x <时，都有()()02121>--x x x f x f 恒成立；② ()()x f x f -=+4； ③ ()4+=x f y 是偶函数；若()()()2017116f c f b f a ===，，，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. a b c << （11）已知三棱锥S ABC -，ABC ∆是直角三角形，其斜边8,AB SC =⊥平面,ABC6SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．64πB ．68πC ．72πD ．100π朱朱 朱朱黄（12）已知12,F F 分别是双曲线22221(,0)y x a b a b-=>的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1, 2)B ．(2, +∞) C．(1, D ．)+∞ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．（14）二项式6(x 展开式中的常数项是 ． （15）已知正方形ABCD 的中心为O 且其边长为1， 则()()=+⋅- ．（16）已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边，4=a ，)64(，∈b ，C A sin 2sin =，则边c 的取值范围是 .三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，148,,a a a 成等比数列． （1）已知数列{}n a 的前10项和为45，求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1199n T n =-+， 求数列{}n a 的公差．（18）（本小题满分12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线l 1OO 逆时针旋转 (0)θθπ<<后，边11B C 与曲线l 相交于点P ． （1）求曲线l 长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离．（19）（本小题满分12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升。

伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来。

例如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工。

该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70（1）根据调查的数据，是否有以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由； （2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加。

70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x ；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y ，求x y <的概率． 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（20）（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C ab a b+=>>的右顶点为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点1F ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N 两点（||||PM PN >），若:PAM PBN S S λ∆∆=，求实数λ的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数x ax x x f ln 2)(2+-=（其中a 是实数）． （1）求)(x f 的单调区间；（2）若320)1(2<<+a e e ，且)(x f 有两个极值点1x 212,()x x x <，求)()(21x f x f -的取值范围．（其中e 为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=ty t x 542532（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A B ,两点，点P的极坐标为π4⎛⎫- ⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值．（23）（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()211,()f x x x g x x a x a =-++=-++． （1）解不等式()9f x >；（2）12,x x ∀∈∃∈R R ，使得12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案1【解析】依题意得，．2【解析】设i=i (0)1iab b-≠+，则i=(1i)i=ia b b b-+-+，所以{,1,a b b=-=-解得a=1, 选择A 3【解析】由题意，末尾是0，2，4，末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3 个，所以共有4+3+3=10个，故选C．4【解析】()f x是R的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，所以()f x在[0,)+∞上是增函数，所以2(l o g)2(1)f x f>=2(|l o g|)(1)f x f⇔>2|l o g|1x⇔>2l o g1x⇔>或2log1x<-2x⇔>或12x<<. 答案B.5【解析】如图所示，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥--128322yxyxyx所表示的平面区域为图中阴影部分．由⎩⎨⎧=-+=-+1283yxyx可得⎩⎨⎧-==13yx，故()1,3-A．xy的几何意义为直线OP的斜率，故当点P与点A重合时直线OP的斜率的最小，此时31-=OPk．6【解析】函数()f x不是偶函数，仍然可,(-)()x f x f x∃=使， p为假；()||f x x x==22(x0)(x0)xx⎧≥⎪⎨-<⎪⎩在R上都是增函数， q为假；以p∨q为假，选C．7【解析】因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相同，所以ω=2，()3cos(2)3f x xπ=+，由[0,]3∈xπ，得2[,]33xπππ+∈，根据余弦函数的单调性，当23xππ+=，即3xπ=时，f (x)min=3-，当233xππ+=，即0x=时，f (x)max=32，所以f (x)的取值范围是3[3,]2-，选择D.8【解析】满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故答案选B．9【解析】设勾为a ，则股为a 3 ， ∴ 弦为a 2 ，小正方形的边长为a a -3．所以图中大正方形的面积为 24a ，小正方形面积为()2213a - ，所以小正方形与大正方形的面积比为()2314132-=- ∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为 1341000231≈⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-． 10【解析】由①知函数()x f 在区间[]84，上为单调递增函数；由②知()()()x f x f x f =+-=+48，即函数()x f 的周期为8，所以()()()1182522017f f f c =+⨯==，()()311f f b ==；由③可知()x f 的图象关于直线4=x 对称，所以()()()5311f f f b ===，()()71f f c ==；因为函数()x f 在区间[]84，上为单调递增函数，所以()()()765f f f <<，即c a b <<11【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥所在长方体的外接球,即三棱锥所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径,即三棱锥的外接球的半径R=5;所以三棱锥的外接球的表面积.选D.12【解析】如图1，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，则过F 1与渐近线a y x b =平行的直线为ay x c b=+，联立,,a y x c b a y x b ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得,2,2bc x a c y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即(,)22bc c M a -因M 在以线段12F F 为直径的圆222x y c +=内，故222()()22bc c c a -+<，化简得223b a <, 即2223c a a -<，解得2ca<，又双曲线离心率1ce a =>，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13． 30 14．240 15． 1 16．)102,24(13．【解析】第一次，i=1，满足条件，i ＜6，i=1+2=3，S=6， 第二次，i=3，满足条件，i ＜6，i=3+2=5，S=6+10=16， 第三次，i=5，满足条件，i ＜6，i=5+2=7，S=16+14=30， 第四次，i=7，不满足条件i ＜6，程序终止， 输出S=30，故答案为：3014．【解析】二项式6)2(xx +展开式的通项公式为r rrr x C T 236612-+=，令0236=-r ，求得4=r，所以二项式6(x 展开式中的常数项是46C ×24=240．15．【解析】()()145cos 21=⨯⨯=⋅=+⋅- 16．【解析】由正弦定理C c A sin sin 4=，AcA 2sin sin 4=∴，A c cos 8=∴， 由余弦定理A bc c b cos 161622-+=，A b A b 222cos 16cos 6416-=-∴164)4(16)4)(4(166416cos 22b b b b b b A +=-+-=--=，b b Ac 41616464cos 6422+=+⨯==由)64(，∈b ，40322<<c ，10224<<∴c .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（本小题满分12分） 【解】（1）设数列}{n a 的公差为d （0≠d ），由148,,a a a 成等比数列可得2418a a a =⋅，即)7()3(1121d a a d a +⋅=+，得d a 91= (4)分由数列{}n a 的前10项和为45得4545101=+d a ，即454590=+d d ，所以3,311==a d ．故数列}{n a 的通项公式为：3831)1(3+=⨯-+=n n a n ． …………8分 （2）因为11n n n b a a +=)11(11+-=n n a a d ，所以数列{}n b 的前n 项和为n T )11(1)11()11()11(11113221++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=n n n a a d a a a a a a d，即n T n n dnd d d d nd a a d +-=+-=+-=+-=9191)9191(1)9191(1)11(1211， 因此112=d，解得公差1-=d 或1． …………12分 18．（本小题满分12分）【解】(1) l 在侧面展开图中为BD 的长，其中AB = AD = π，∴l; …………………………3分 (2)当2πθ=时，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………4分则有(0,1,0)A -、(0,1,0)B 、(1,0,)2P π-、1(1,0,)C π-，……………………6分(0,2,0)AB ⇒=、(1,0,)2AP π=-、1(1,0,OC π=-设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则20y x y =⎧⎪⎨-++⎪⎩取z = 2得(,0,2)n π=，……………………10分 所以点C 1到平面PAB 的距离为1||||OC n d n π==；……………………12分注：本题也可以使用等积法求解．19．（本小题满分12分）【解】（1）222()100(20204020)()()()()60406040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯ 4004001002.778 2.7065760000⨯⨯=≈> ………4分所以有90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关” …………5分 （2）“x y <”包含：“0,1x y ==”、 “0,2x y ==”、 “0,3x y ==”、 “1,2x y ==”、 “1,3x y ==”、 “2,3x y ==”六个互斥事件…………6分且0312334233664(0,1)400C C C C P x y C C ===⨯=，03213342336612(0,2)400C C C C P x y C C ===⨯= 0330334233664(0,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，122133423366108(1,2)400C C C C P x y C C ===⨯= 12303342336636(1,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，21303342336636(2,3)400C C C C P x y C C ===⨯=所以：412410836362001()4004002P x y +++++<=== ． …………12分20．（本小题满分12分）【解】（1）因为1BF x ⊥轴，得到点2(,)b B c a--， …………2分所以2222221()21a a bb a ac c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩，所以椭圆C 的方程是22143x y +=． …………5分 （Ⅱ）因为1sin 22(2)112sin 2PAM PBN PA PM APMS PM PM S PN PN PB PN BPN λλλ∆∆⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠ ……6分所以2PM PN λ=-．由（Ⅰ）可知(0,1)P -，设MN 方程:1y kx =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程221143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)880k x kx +--=．即得122122843843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩（*） 又1122(,1),(,1)PM x y PN x y =+=+，有122x x λ=-， …………7分将122x x λ=-代入（*）可得：222(2)1643k k λλ-=+． …………8分 因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++， …………9分 则2(2)14λλ-<<且2λ>44λ⇒<<+ (没考虑到2λ>扣1分) ………11分综上所述，实数λ的取值范围为(4,4+． …………12分 注：若考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果2分. 21．（本小题满分12分）【解】（1）()f x 的定义域为(0)+∞，，2222()2x ax f x x a x x-+'=-+=，…….1分 令2()22g x x ax =-+，216a ∆=-，对称轴4ax =，(0)2g =， 1)当162-=∆a ≤0，即－４≤a ≤4时，)(x f '≥0于是，函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间．………………2分2)当162-=∆a ＞0，即4a <-或4a >时，①若4a <-，则()0f x '>恒成立,于是，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无减区间．……3分②若4a >令()0f x '=，得14a x =，24a x =， 当12(0)()x x x ∈+∞，，时，()0f x '>，当12()x x x ∈，时，()0f x '<．于是，()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，，单调递减区间为12()x x ，．……4分 综上所述：当4a …时， ()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间．当4a >时，()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，，单调递减区间为12()x x ，．…5分（2）由（1）知，若()f x 有两个极值点，则4a >，且1202a x x +=>，121x x =，1201x x ∴<<<又211220x ax -+=，1112()a x x =+，1202()3e a e +<<,1111133e x e x +<+<+，又101x <<，解得,1113x e<<……………………………………………7分 于是，22121211222()()()ln ()ln 2f x f x x x a x x ax x -=--+-+22121212)(2(ln l (n ))x x x x x x a =----+112122)2()(ln 2x x x x a a x x -⋅-=+- 11111))4l 11(n (x x x x x -⋅+=-+2112114ln x x x =+-……………………………………9分 令22()l 14n h x x x x =-+1(2x <<，则2232(1)()0x h x x --'=<恒成立， ()h x ∴在11(,)3e 单调递减，，即分 22.（本小题满分10分）【解】（1）曲线1C 的普通方程为4320;x y +-= 2分曲线2C 的直角坐标方程为:2y x =. 5分（2）1C 的参数方程的标准形式为32,5(42.5x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)代入2y x =得 29801500,t t -+= 6分设12,t t 是A B 、对应的参数,则121280500.93t t t t +==>， 7分 1212||11||||8.||||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ++∴+===⋅ 10分 23.（本小题满分10分）【解】（Ⅰ）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩ 2分()9f x >等价于111,,1,22303929x x x x x x ⎧⎧≤-≥-<<⎧⎪⎪⎨⎨⎨->⎩⎪⎪>->⎩⎩或或 3分 综上,原不等式的解集为{|33}.x x x ><-或 5分（2）||||2||.x a x a a -++≥ 7分 由(Ⅰ)知13()().22f x f ≥= 所以32||2a ≤， 9分 实数a 的取值范围是33[,].44- 10分。