常见二阶常系数线性非齐次微分方程特解求法的统一
二阶微分方程特解公式
二阶微分方程特解公式对于一个二阶微分方程，特解是一种满足方程的特殊解。
特解的存在性条件和形式取决于方程的类型和$f(x)$的形式。
下面将介绍三种常见的二阶微分方程类型及其特解的公式。
一、齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
1.一元二次齐次微分方程如果$p(x)=0$，则方程简化为$y''+q(x)y=0$，这类方程的特解公式为：当 $q(x) = 0$ 时，特解为 $y = c_1 e^{kx} + c_2 e^{kx}$，其中$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数，$k$ 是常数。
当 $q(x) \neq 0$ 时，特解为 $y = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是常数，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。
2.含有$x$的二次齐次微分方程如果$p(x)$和$q(x)$都是关于$x$的一次多项式，则方程的特解公式为：当 $q(x) = 0$ 时，特解为 $y = x^k(c_1 e^{kx} + c_2 e^{kx}\ln，x，)$，其中 $k$ 是常数，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。
当 $q(x) \neq 0$ 时，特解为 $y = x^k e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是常数，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。
二、非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程是指形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的微分方程，其中$p(x),q(x)$和$f(x)$是已知函数。
1.常系数非齐次线性微分方程如果$p(x),q(x)$和$f(x)$都是常数，则方程的特解公式为：当$f(x)=0$时，方程的特解为齐次线性微分方程的特解。
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
（ ｉ ｉ ） 当 等于其中一个特征根时 ， 不妨设 Ｉ Ｔ ＝ｒ ： ，
＝ —
两
￣ 。 …
ｅ
ｉ ｏ
‘
＝
（ｉ ） 当 不等于特征根时 ， 微分方程 （ ２ ） 的一个特
解为 ：
南 （ Ｄ 一 ｒ ） 南 （ Ｏ ｔ 一 ｒ ） （ － １ ） ｉ （ 一 ｒ ． ） ｒ ＝
二 阶常 系数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 特 解 的简 便解 法
李 岚
（ 闽西职业 技术学院 电气系 ，福建 龙岩 ３ ６ ４ ０ ２ １ ）
摘
要： 利用积分公 式和微分逆 算子法， 推 导 出一类二 阶常 系数非齐次线性微 分方程 的特 解公 式，
进而得 出求此类微分方程特解的简便方法。 关键词 ： 二阶常系数 非齐次线性微分方程 ； 特征根方程 ； 微分算子； 逆算子
（ ＿１ ） ‘
“ （ ８ ）
ｅａ ｔ ＝ ｅ
毫
所 以结论成立。 推论 １ 如果二阶常系数非齐次线性微分方程 （ ２ ） 的 自由项 ｅ ａ ｔ Ｑ （ ｔ ）中的多项式 Ｑ （ ｔ ）的次数 ／ Ｔ ｔ ＝０ ， 即
Ｑ （ ｔ ）＝ａ 。 ， 则
（ ｉ ｉ ｉ ） 当Ｉ Ｔ等于特征根的重根时， 即 ＝ｒ 。＝ｒ ： ， 微
南 ｃ 一
（ ｉ ｉ ｉ ） 当 等 于对应 齐次方程 的特征 根 的重根 ， 即
Ｏ ｔ ：ｒ ｌ＝ｒ ２ 时
南 （ ＿ １ ） ‘
（
ｒ ２～ｒ １ ）‘ （ Ｔ Ｉ ）
Ｐ
％
（ ７ ）
＝
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。
分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。
例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。
因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。
其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。
众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。
同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。
二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件
Q( x) 6Ax 2B 代入（*）式
6Ax 2B 5x A 5 , B 0
6
y 5 x3e3x 6
非齐通解为
y
(c1
c2 x
5 6
x3
)e3 x
6
二、f ( x) Pm ( x)ex cosx型
f ( x) Pm ( x)ex sinx型及其组合型
f ( x) Pm ( x)ex cosx f ( x) Pm ( x)ex sinx
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 y Y y,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2 ( x)均是m次实系数多项式 7
解 相应齐方程 y y 0
特征方程 r 2 1 0 r1,2 j
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
k
0, 1,
j不是特征方程的根 j是特征方程的单根
由分解定理
Re y xkex[Q1( x)cosx Q2( x)sinx] Im y xkex[Q1( x)sinx Q2( x)cosx]
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。
因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。
(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。
则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
2 Aj 4,
y* 2 jxe jx 2 x sinx (2 x cos x) j ,
所求非齐方程特解为
（取虚部） y 2 x cos x ,
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x .
例5 求方程 y y x cos 2 x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
作辅助方程 y y xe 2 jx ,
2 j 不是特征方程的根 ,
设 y * ( Ax B)e 2 jx ,
代入辅助方程
4 Aj 3 B 0 3 A 1
*
1 4 A ，B j , 3 9
1 4 y ( x j )e 2 jx , 3 9
代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y Qm ( x )e ;
2 p 0,
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6 x 2 8e 2 x 的待定特解的形式.
思考题解答
* y 设 y 4 y 4 y 6 x 的特解为 1
2 2x y 4 y 4 y 8 e 设 的特解为 y2
*
* * * 则所求特解为 y y1 y2
第十章
微分方程
第九节 二阶常系数非齐次线性微 分方程
如果二阶线性微分方程为 y + py + qy = f(x) ， 其中 p、 q 均为常数，则称该方程为二阶常系数线 性微分方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 不恒等于
二阶常系数线性非齐次微分方程特解的若干种求法
2009 , 9( 3): 74- 75. [ 2] 张 云燕 . 常系数非齐次线性微分方程的几个解法 [ J] . 黄 山学院学报 , 2004, ( 6): 8- 9. [ 3] 秦军 . 二阶常系数非齐次线性 微分方程特解的一些求法
,
[ J]. 皖 西学院学报 , 2005, 4( 2): 12- 13 . [ 4] 王春草 . 常数变易法求二阶常 系数线性微分方程的特解 [ J]. 杨 凌职业技术学院学报 , 2009, 12( 4): 22- 23. [ 5] 刘培进 . 二阶 常系 数线 性非 齐次 微分 方 程的 公式 解法 [ J]. 山 东师范 大学 学报 ( 自然 科学 版 ), 2002, 9( 3) : 70 - 71. [ 6] 王焕 . 求二阶和三阶常系数非 齐次线性微分方程特解的 一个公式 [ J]. 高等数学研究 , 2006, 5( 3) : 25- 27.
的 实部 函 数, 而 f2 ( x ) 可 以 被 看作 的复部函数, 于是类型 ∀ 也可转化为
程得 : # C 1 (x)xe + C 2 (x) e = 0 C 1 ( x ) ( e + x e ) + C 2 (x ) e = x e C 1 (x ) = x
2 x x x 2 x x x
2
1 4 x, 12 1 4x x e. 12
4
# 原方程的特解为: y = uv = 方法 7 : 积分法 ( 1) 特征方程为 # y =
x 2 [ 2]
=
1 4x x e. 12 方法 12: 降阶法
[ 2] 2 2 x
- 2 + 1= 0 , # ) ( f (x)
1
=
2
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+py'+qy=F(x)的微分方程，其中p和q是常数，F(x)是已知的函数，y是未知函数。
这类微分方程的解法包括通解和特解。
首先考虑非齐次微分方程的通解。
通解一般分为两部分，即其对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解。
对于齐次微分方程y''+py'+qy=0，它的特征方程为r^2+pr+q=0，其中r是未知常数。
根据特征方程的根的情况分为三种情况：1. 当特征根为实数时，即r1≠r2，则齐次微分方程的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
2. 当特征根为复数时，即r1=r2=α+iβ，实部为α，虚部为β，则齐次微分方程的通解为y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
3. 当特征根为重根时，即r1=r2=r，则齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)e^(rx)，其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
对于非齐次微分方程y''+py'+qy=F(x)，我们可以采用常数变易法求出它的特解：设非齐次微分方程的特解为y1(x)，则y1''+py1'+qy1=F(x)令y1=A(x)e^(mx)，其中A(x)是待定函数，m是未知常数将y1代入上式得到A(x)和m的关系式：A''e^(mx)+2Am'e^(mx)+Am^2e^(mx)+pA'e^(mx)+pAm'e^(mx )+qAe^(mx)=(F(x))/e^(mx)整理得到A''+2mA'+(m^2+p)A=(F(x))/e^(mx)此时我们可以令(A(x))'=0，使得A(x)是一个常数，从而得到一个特解y1=C(e^(mx))，其中C是未知常数。
一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构.
比较两端 x 同次幂的系数，有
A 1, 4 A B 0, 2 A 2 B C 0.
解得
A = 1，B = 4，C = 6.
故所求特解为
y* x 2 4 x 6.
例6
求方程 y + y = x3 – x + 1 的一个特解.
解 因为自由项 f (x) = x3 – x + 1 是一个 x 的三 次多项式， 且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.
是两个不相等的实根. 所以方程的通解为
x C1e
( n n 2 w 2 ) t
C 2e
( n n 2 w 2 ) t
.
2 临界阻尼情形，即 n = w.
这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为
x (C1 C2 t )e
nt
.
3 小阻尼情形，即 n < w . 这时，特征根为共轭复数 n w 2 n2i , 所以方程的通解为
一二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构一二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构形如的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次方程的解的结构二阶常系数线性非齐次方程的解的结构因为方程中pq均为常数且多项式的导数仍为多项式所以可设式的特解为其中qbxax所以设特解为比较两端xcxbxaxcxbxaxbxax所以设方程的特解为比较两端x同次幂的系数
称为振动的微分方程， 是一个二阶常系数线性齐次 方程， 它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0， 其根为
r1, 2 n n 2 w 2 .
由题意列出初始条件
x |t 0 x 0 , dx 0 , dt t 0
二阶常系数非齐次线性微分方程特解形式
二阶常系数非齐次线性微分方程特解形式
二阶常系数非齐次线性微分方程是一类重要的微分方程，它的特解形式是一种重要的解决方案。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，其中p(x)和q(x)是连续函数，f(x)是任意给定的函数。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式是：y=y_h+y_p，其中y_h是齐次线性微分方程的通解，y_p是特解。
特解的求解方法是：首先求出齐次线性微分方程的通解，然后将特解的形式写成y_p=v(x)，其中v(x)是一个未知函数，然后将它代入原方程，求出v(x)的表达式，最后将v(x)代入特解的形式，求出特解。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式是一种重要的解决方案，它可以帮助我们更好地理解和解决微分方程的问题。
它的求解方法也很简单，只需要按照上述步骤进行操作，就可以得到特解的表达式。
总之，二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式是一种重要的解决方案，它可以帮助我们更好地理解和解决微分方程的问题，其解法也很简单，值得我们去学习和掌握。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2pq0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1
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例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 齐次方程yy0的特征方程为r210
因为f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]xcos2x iw2i不是
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
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例1 求微分征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
特解形式
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x1)e2x 2
提示
此时2pq0 2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
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对于二 阶常系数 线 性非 齐 次微 分方 程 的特解 求 法 ， 一 般 教 材 中 ， 利 用 待 定 系数 法 求 解 ， 解 过 在 是 求 程比较枯燥 ２。而且三种情形 的特解求法都不相同 ， ． ］ 不便 于学生记忆掌握。能不能用 同一种方法来 求 自由项 为三种 不 同情 形 时 的特解 呢 ？这就 是下 文 要说 的特解 求法 的统一 。 自由项 为第 一种 情 形 的方 程 Ｙ ＋ ＋ｑ ＝Ｐ （ （ 中 Ｐ （ Ｙ ） 其 ）为 ｎ次 多项 式 ） 自由项 为第 二种 情 形 的方 程 Ｙ ＋ｐ， Ｙ ＝Ｐ （ ） ＋ｑ ）・ 从（ 中 Ｐ （ ｅ 其 ）为 １次 多项 式 ， １ Ａ为常数 ） 自由项 为第 三种 情形 的方程 Ｙ ＋ｑ ＝Ｐ （ ”＋ Ｙ ）・ ０ ・ （ 中 Ｐ （ ｃｓ ｅ 其 ）为 ｎ次 多项式 ， ， Ａ为常 数 ） 或 者 Ｙ ＋ｐ， Ｙ＝ Ｐ （ ） ＋ｑ ）・ ・从（ 中 Ｐ （ ｓ ｎ ｅ 其 ）为 ｎ次 多项 式 ， Ａ为 常数 ） ，
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第２ ３卷 第 ６期
Ｖ０． ３ Ｎｏ ６ １２ ．
荆 门职 业技 术 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｆ ｉ ｇ ｎ Ｔ ｃ ｎ ｃ ｌＣｏｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｍｅ ｅ ｈ ｉ ａ ｌｅ ｅ ｌ Ｊ
２０ ０ ８年 ６月
对 于方 程 （ ） 令 Ｙ ＝ （ ｅ ， 不 难得 到 ２， ） 则 Ｙ ＝ （， １ １ ＋Ａ ）从， ＝ （ ＋２ ｕ ｕｅ Ｙ Ｕ Ａ ＋Ａ ｕ ｅ ２ ） 从，
（） １ （） ２ （） ３ （） ４
代人 方程 （ ） ， 理 得 ２中 整 Ｕ ¨＋（ Ａ ＋ｐ ＋（ ＋ｐ ２ ） Ａ Ａ＋ｇ １ ＝Ｐ （ ） ， ）， １ 若设 方程 对应 的 特征 方程 为 ． ｒ ＝０， 上 式可 以写成 厂 ） （ 则
Ｕ 厂（ Ｕ Ａ） ＝Ｐ （ ”＋ Ａ） ＋ Ｕ ） 这样 ， 程 （ ） 方 ２ 的形 式 就变 成方 程 （ ） １ 了。 对于 方程 （ ） （ ） 显然 它们 的特解 就分 别是 方 程 ３ 、４ ， Ｙ ＋ｑ ＝尸 （ ¨＋ Ｙ ）・ 肼 ・ 从 ＝Ｐ （ ｅ＾叫 ｅ ｅ ） ‘ （） ５
＠ ｓｎａ ｏ 。 ｉ ．ｃ ｎ
７ ３
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所 以 Ｙ ＝一 一２就是原 方程 的一 个 特解 。
这种方法先利用求导升阶然后把观察出的最低阶导数值逐渐 回代从而求出特解 的， 这就避免 了待 定系数法。方程 （ ） ３ （ ） ２ （ ） ４ 通过变换成方程（ ） 都可 以用这种方法求解 。 ５后 一 例 ２ 求方程 Ｙ ５ ６ ｅ ”一 ｙ ＋ ｙ＝ 的一个特解… 。 解 对应的特征方程为 ｒ — ｒ ６＝０， ２ ５＋ 记 ｒ ）＝／ — ｒ ６， Ｙ＝ｕ ｘ ｅ 根据方程（ ） 此方 ２ ５＋ 令 （ ）ｈ， ５， 程可 化为
Ｙ ＋Ｙ 一２ ＝ ２ ． ｙ
显然 Ｙ ＝一１ 足 上式 ， Ｙ 满 将 ＝一１Ｙ ＝０代 人原 方程 得 ，
Ｙ＝一 一２。
［ 收稿 日期 ］２０ ０ ２ ０ ８— ２— ４
［ 作者简 介］陈思源 （９ ８一） 男 ， １７ ， 湖北黄 冈人 ， 西安思 源学 院讲师 。研 究方 向 ： 等数学教 学 。Ｅ—ｍ ｉ：ｓ６ ８ ９ 高 ａ ｃｙ ６９ ９ ｌ
／ 一／ ２ ， ２ ， ＝ （） ７
将 方 程两 边 同时对 求导 ， 得
／… ２ ，
～
／” ＝ １． ２ ，
令／ ２ ， ”＝一ｌ， 代人方程（ ） ７ 中得
／ ＝一 ｌ— ２ ， ．
从 而
＝一 一
＋ｃ，
取 Ｃ＝０ ＝一 一 ，
就是方程（ ） ７ 的一个特解 。所 以原方程的特解为
（） ６
特解 的实部 和 虚部 。而 方 程 （ ） ６ 的形 式正 好 和方 程 （ ） 样 ， ２一 同样 可 以通 过变 换 化 为方 程 （ ） 而 化为 ５继 方程 （ ） １ 。这 样 自由项 为三种 不 同情 形 的方程 的特解 求 法都 可 以统 一为 方程 （ ） 解 的求 法 。 １特 下面 主要通过 例 题来 介 绍方 程 （ ） 解 的一种 特 殊求 法 。 １特 例 １ 求方 程 Ｙ ”＋Ｙ 一２ ＝２ ｙ ｘ＋３的一个 特解 ¨ 。 Ｊ 解 将 方程 两边 同时对 求 导 ， 得
Ｊｎ２ ｏ ｕ ．０ ８
常见二阶常系数线性非齐次微分方程特解求法的统一
陈思 源
（ 安思源学 院 高等数学教研 室 ， 西 陕西 西安
［ 摘
７０ ３ ） １０ ８
要 ］ 对 于常见 的二阶常 系数线性非 齐次微 分方程 ， 一般 教材上特 解 的求法比较繁琐 ， 而且 ３方程 － ＇
的 自由项为不 同类型 的时候 ， 所采取 的方法也大不相 同。文章 通过 变换 ， 使得 当 自由项为三种 不 同类型的 时 候， 二阶常 系数线性非 齐次微 分方程特解的 求法得到 统一。 ［ 关键词 ］ 二阶 常 系数 线性非 齐次微分方程 ； 特解 ； 统一
Ｙ＝（ ～ 一 ÷ ） ｅ ｈ。
例 ３ 求 方 程 Ｙ ＋Ｙ ＝ ０２ ｃｓ 的一个 特解 ¨。 解 它 的特解 即为 Ｙ ”＋Ｙ ＝ 。 ｅ 特解 的实部 。先 求 Ｙ ”＋Ｙ＝ 的特 解 。 ｅ 对 应 的特 征方 程为 ｒ ２＋ｌ＝０， 记 ｒ ＝ｒ ） ２＋ｌ， Ｙ ＝ｕ ｘ ｅ 根 据方 程 （ ）此方 程 可化为 令 （ ）２ ， ５，