第8讲：二次函数专题讲座.docx

（聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座

（一）二次函数的解析式的三种形式

（1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）；

（2）顶点式： y=a （ x+m ）2 +n （ a≠0 ）；

（3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2）（ a ≠ 0 ）

【例 1】已知二次函数y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）；

（2） y=f （ x）的最大值是１５；（ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１７。求 y＝ f （ x）的解析式。

（二）二次函数的基本性质

（ 1）二次函数f（ x）=a x2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称

轴方程为 x ＝－

b

，顶点坐标是（－

b

，

4ac b2

）。2a2a4ac

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b

] 上递减，在 [ －

b

，2a2a

＋∞ ) 上递增。

当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b

] 上递增，在 [ －

b

，2a2a

＋∞ ) 上递减。

（ 2）直线与曲线的交点问题：

①二次函数f（ x）=ax 2 +bx+c（ a ≠０），当＝ b2－４ ac＞0时，图像与 x 轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是

｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜ x１－ x２｜＝。

| a |

②若抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与直线y=mx+n，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ，即 px 2 +qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二

次方程的判别式的符号决定。

特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0的判别式的符号问题。

当 = b 2 － 4ac>0 时，方程 ax 2 +bx+c=0 有两个不同的实数根，即对

应的抛物线与 x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被

x 轴截得的弦长

L=|x 2 － x 1 |= ( x 2

x 1 ) 2

( x 2 x 1 ) 2 4x 1 x 2

。

| a |

当 = b 2 － 4ac=0 时，方程 ax 2 +bx+c=0

有两个相等的实数根，即对 应的抛物线与 x 轴只有一个交点，此时抛物线与

x 轴相切。

当 = b 2 － 4ac<0 时，方程 ax 2 +bx+c=0

无实数根，即对应的抛物线

与 x 轴有无交点，此时二次函数的图像恒在

x 轴上方或者下方。

【例２】已知函数

f （ x ） =ax 2 +bx+c 的图像经过点（１，１） ，（３，

５）且 f （０） ＞０，求 a ， b ，c 使该函数的最小值最大。

（三）二次函数闭区间上的最值问题

（１）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值，且它只能在区间的端

点与二次函数图像的顶点处取得最值。

（２）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值受制于对称轴与区间的

相对位置关系，为此有下列四种情形：

①对称轴和区间均是静态的；②对称轴是动态的，但区间是静态的；

③对称轴是静态的，但区间均是动态的；④对称轴和区间均是动态的。

（３）二次函数

y=f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a>0 ）在闭区间 [m ，n] 上的最

值：

①若 x

b m ，则 y=f （ x ）在区间 [m ， n] 上是增函数，此时必有

2a

f （ m ）≤ f （ x ）≤ f （ n ）；

②若 m

x b n ，则 y=f （ x ）的最小值为 [f(x)] min =f( －

b

2a )，但

2a

最大值应视对称轴与区间端点的距离而定；

③若 m x b

m

n

2a

，则 y=f （ x ）的最大值为 [f(x)] max =f(n) ；

④若

m

n

b 2

x

n ，则 y=f （ x ）的最大值为 [f(x)] max =f(m) ；

2

2a

b

n ，则 y=f （x ）在区间 [m ，n] 上是减函数，此时必

（ 3）若 x

2a

有 f （ n ）≤ f （ x ）≤ f （ m ）。

（４）二次函数在闭区间上的最值求解步骤： ①配方； ②作图； ③截断。

注：关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。 【例３】已知函数

y ＝－ x 2

+ax －

a

＋

1

在区间［０，１］上的最大

4

2

值是２，求实数

a 的值。

【例４】（２００３年全国高考试题）已知

a 为实数，函数

y ＝ x 2+ ｜ x

－ a ｜＋１， x ∈Ｒ。

（１）讨论 y ＝ f （ x ）的奇偶性；

（２）求 y ＝f （x ）的最小值。

（四）设 x １ ，x ２ 是实系数一元二次方程

ax 2 +bx+c ＝０（ a ＞ 0）的两个