高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理
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高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件
解析答案
(3)12，14，－58，1163，－3229，6614，…. 解 各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别 比分母小3.
2－3 因此把第 1 项变为－ 2 ， 原数列化为－212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…， 故 an＝(－1)n2n2－n 3.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)－1,7，－13,19，…； 解 数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对 值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
解析答案
(2)0.8,0.88,0.888，…； 解 数列变为891－110，891－1102，891－1103，…， 故 an＝891－110n.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
跟踪训练 2
n＋1 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n＋2，则 a4 等于( A )
1
1
A.30
B.32
1
1
C.34
D.20
解析 a4＝S4－S3＝56－45＝310.
解析答案
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为 _a_n_＝___26_，n_－_n_＝5_，_1_，n_≥__2__.
答案
2
考点自测
1.已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，nn1＋1，…，下面各数中是此数列
中的项的是( B )
1
1
1
1
A.35
B.42
C.48
D.54
1 2345
解析答案
(3)12，14，－58，1163，－3229，6614，…. 解 各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别 比分母小3.
2－3 因此把第 1 项变为－ 2 ， 原数列化为－212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…， 故 an＝(－1)n2n2－n 3.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)－1,7，－13,19，…； 解 数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对 值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
解析答案
(2)0.8,0.88,0.888，…； 解 数列变为891－110，891－1102，891－1103，…， 故 an＝891－110n.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
跟踪训练 2
n＋1 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n＋2，则 a4 等于( A )
1
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A.30
B.32
1
1
C.34
D.20
解析 a4＝S4－S3＝56－45＝310.
解析答案
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为 _a_n_＝___26_，n_－_n_＝5_，_1_，n_≥__2__.
答案
2
考点自测
1.已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，nn1＋1，…，下面各数中是此数列
中的项的是( B )
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A.35
B.42
C.48
D.54
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解析答案
2015年高考数学一轮总复习精品课件：第五章+数列 5.1 数列的概念与简单表示法(共28张PPT)
乘法”等.
(1)已知 a1 且 an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即
an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).
所有等式左右两边分别相加,代入 a1 得 an.
(2)已知 a1 且
=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”,
1 024
1
2
1
2
( -1)
2
·
1 -2
2
关闭
·…·
1 2
2
·
1 1
2
=
.
( -1)
2
≥
1
64
,当 n≥5
.∴从第 5 项开始各项均小于
1
1 000
.
答案
考点一
考点二
考点三
第十七页，编辑于星期五：十一点 十一分。
探究突破
方法提炼
由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“累加法”“累
2.在数列{an}中,已知 a1=a,a2=b,an+1+an-1=an(n≥2),则 a6 等于(D)
A.a
B.b
C.b-a
D.a-b
第十页，编辑于星期五：十一点 十一分。
梳理自测
(a,b,c
+
3.已知数列{an}的通项 an=
是(
都是正实数),则 an 与 an+1 的大小关系
)
A.an>an+1
如果已知数列{an}的
的递推公式.它是数列的一种表示法.
6.数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为
(1)已知 a1 且 an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即
an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).
所有等式左右两边分别相加,代入 a1 得 an.
(2)已知 a1 且
=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”,
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,当 n≥5
.∴从第 5 项开始各项均小于
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答案
考点一
考点二
考点三
第十七页，编辑于星期五：十一点 十一分。
探究突破
方法提炼
由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“累加法”“累
2.在数列{an}中,已知 a1=a,a2=b,an+1+an-1=an(n≥2),则 a6 等于(D)
A.a
B.b
C.b-a
D.a-b
第十页，编辑于星期五：十一点 十一分。
梳理自测
(a,b,c
+
3.已知数列{an}的通项 an=
是(
都是正实数),则 an 与 an+1 的大小关系
)
A.an>an+1
如果已知数列{an}的
的递推公式.它是数列的一种表示法.
6.数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为
数列的概念及简单表示法一轮复习公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，因此
可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
(3)an
＝
0
1
n为奇数 n为偶数
或
an
＝
1＋－1n 2
或
an ＝
1＋cos nπ 2
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列 条件，确定数列{an} 的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； (2)a1＝1，an＝n－n 1
·an－1 (n≥2)； (3) 已 知 数 列 {an} 满 足 an＋1＝an＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＝n－n 1an－1 (n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2，…，a2＝12a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n.
题型二
由数列旳递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求
an.
思维启迪
解析
探究提升
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．
高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法课件
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
显然当n＝1时，不满足上式．
∴an＝42， ·3nn－＝1，1n，≥2.
(2)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－ 2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1 为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.]
nn－1
＝2 2 .
nn－1
又 a1＝1 适合上式，故 an＝2 2 .
►考法3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an. 【例4】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公 式．
[解] ∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
分类标准 类型
满足条件
项数
有穷数列 无穷数列
项数_有__限__ 项数__无__限__
单调性
递增数列 递减数列
常数列
摆动数列
an＋1_>__an an＋1_<__an
其中n∈N*
an＋1＝an
从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是_列__表__法___、_图__象__法__和__通__项_公__式__法__． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与__序__号__n__之间的关系可以用一个式子来表示，那么 这个公式叫做这个数列的通项公式．
即aan1＝n＋1 1×1n×2×1，所以an＝nn1＋1. 当n＝1时，a1＝1×1 2＝12，与已知a1＝12相符， 所以数列{an}的通项公式为an＝nn1＋1. (3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)． 又a1＝1，∴a1＋3＝4. 故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n， +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1， 0， 1， 0， 1， 0分， 1母， 0依， 次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则 是该数列的 ( )
2，5， 2 2， 2 5
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27， . 5，8， 2 5 20，
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测 第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
12［11n1］11n1.
n
2n
④将数列统一为 3，5，7，对9 ，于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n， +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1， 0， 1， 0， 1， 0分， 1母， 0依， 次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则 是该数列的 ( )
2，5， 2 2， 2 5
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27， . 5，8， 2 5 20，
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测 第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
12［11n1］11n1.
n
2n
④将数列统一为 3，5，7，对9 ，于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17
高考数学一轮总复习第5章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
满分策略 1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时， 一定要注意自变量的取值，如数列 an＝f(n)和函数 y＝f(x)的 单调性是不同的． 2.数列的通项公式不一定唯一． 3.在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求 出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 an＝Sn－Sn－1 的形式， 但它只适用于 n≥2 的情形.
[解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3，∴数列中有两项是负数，即为 a2， a3. ∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，由二次函数性质，得当 n＝2 或 n＝3 时，an 有最小值，其最小值为 a2＝a3＝－2. (2)由 an＋1>an 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式 an＝n2＋kn＋4， 可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n∈N*， 所以－k2<32，即得 k>－3.
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列 8——用函数的思想解决数列问题 [2017·南京段考]数列{an}的通项公式是 an＝n2＋kn＋4. (1)若 k＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时， an 有最小值？并求出最小值． (2)对于 n∈N*，都有 an＋1>an.求实数 k 的取值范围． [解题视点] (1)求使 an<0 的 n 值；从二次函数看 an 的 最小值． (2)数列是 一类特殊函数，通项公式可以看作相 应 的解析式 f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在 N*上单调递增，可利用二次 函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中 n 的取值．
3n－1＝2 5，可得 n＝7.
3．已知 5
f(1)＝3
，f(n
＋1)＝
fn＋1 2
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理 高三全册数学课件
＝__－___1n___.
2021/12/8
第二十八页，共六十三页。
【解析】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得 a1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝2n.
2 ． 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 通 项 公 式 为 an ， 则 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.
3．三种必会方法 (1)叠加法：对于 an＋1－an＝f(n)型，若 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可 求的，可用多式相加法求得 an.
2021/12/8
第三十六页，共六十三页。
2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)， 即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3， 则 b1＝a1＋3＝5，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列．所以 bn＝5×2n－1，故 an＝5×2n－1－3.
2021/12/8
第三十四页，共六十三页。
考向三 由递推关系求通项公式
n2＋n＋2
【例 3】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____.
【解析】 由条件知 an＋1－an＝n＋1， 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2 ＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋2n＋2.
2021/12/8
高考数学一轮复习第五章数列第一节数列的概念与简单表
解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n 1－3)＝2n－2n 1＝2n 1.
－ － －
又 a1＝－1 不适合上式， 故
－1，n＝1， an＝ n－1 ，n≥2. 2
－1，n＝1， 答案：an＝ n－1 ，n≥2 2
答案：(1)√
(2)×
(3)×
(4)√
2． 已知数列{an}的通项公式为 an＝9＋12n， 则在下列各数中， 不是{an}的项的是 A．21 C．152 B．33 D．153 ( )
143 * 解析：由9＋12n＝152，得n＝ ∉N . 12
答案：C
3．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (n≥2)，则 a4＝ ( an－1 3 A. 2 7 C. 4 5 B. 3 8 D. 5
过
基
础
小
题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列． (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． ( ( ) ) )
(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＋1 ＝Sn＋1－Sn. ( )
S1 ，n＝1， ____ an＝ Sn－Sn－1 ，n≥2.
5．数列的分类
分类的 标准 按项的 个数 名称 有穷数列 无穷数列 含义 项数有限的数列 项数无限的数列 从第二项起， 每一 递增数列 项 大 于 它 的 前 一 按项的 变化趋 势 从第二项起， 每一 1 1 1 递减数列 项 小 于 它 的 前 一 1， ， ，…， 2 3 2 015 项的数列 项的数列 3,4,5，…，n 例子 1,2,3,4，…，100 1,4,9，…，n2，…
高三数学一轮复习 5.1数列的概念与简单表示法课件
a3=2sin3 2 =-2≠2,其他选项都适合,故选B.
完整版ppt
10
3.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些 数目的点可以排成一个正三角形(如图).
则第7个三角形数是( )
A.27
B.28
C.29
D.30
【解析】选B.由图可知,第7个三角形数是
1+2+3+4+5+6+7=28完. 整版ppt
2n
(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;各项绝
对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数
列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,
所以an=1n •2,也1可n 写完为整版ppt
18
n
an=
3 n
1 ,n为 正 奇 数 n ,n为 正 偶 数 .
A.①②
B.③④
C.①③
完整版ppt
D.②④
8
【解析】选D.①错误.不是所有的数列的第n项都能使用公式表 达. ②正确.根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可以有多个. ③错误.如已知an+2=an+1+2an,则只要知道任意连续两项都可 以确定这个数列. ④正确.根据数列的前n项和的定义可知.
完整版ppt
13
6.在数列{an}中,a1=1,an+2=an+1-an(n∈N*),则a100等
于
.
【解析】因为an+2=an+1-an, 所以an+3=an+2-an+1. 两式相加得an+3=-an, 则an+6=-an+3=an, 即数列{an}的周期为6,
高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及简单表示法课件 文
【解】 由已知Sn＝2an－a1 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)． 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1. 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列， 即a1＋a3＝2(a2＋1)．
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an＝2n.
【答案】 C
(2)(2016·西安八校联考)观察下列三角形数表： 1 2 3 4 … 97 98 99 100 3 5 7 …… 195 197 199 8 12 ……… 392 396 20 ………… 788 …………… ……… …… …
其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之 和，则该数表的最后一行的数为( )
高考真题演练 课时作业
突破考点 01
由数列前几项归纳数列的通项公式
（基础送分型——自主练透）
1．数列的分类
2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
1.有限 无限 > < 2．序号n
【调研1】 (1)(2016·西安五校联考)下列可作为数列
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征，并对此进行归纳、猜想； ⑤若给出图示，充分结合图示分析规律． 2．由数列的前几项求通项时，数列的通项公式不唯一．
突破考点 02
Sn与an的关系
（高频考点型——多维探究）
数列的前n项和通常用Sn表示，记作____出下列各数列的一个通项公 式：
①－1,7，－13,19，… ②0.8,0.88,0.888，… ③1,0，13，0，15，0，17，0，… ④32，1，170，197，…
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an＝2n.
【答案】 C
(2)(2016·西安八校联考)观察下列三角形数表： 1 2 3 4 … 97 98 99 100 3 5 7 …… 195 197 199 8 12 ……… 392 396 20 ………… 788 …………… ……… …… …
其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之 和，则该数表的最后一行的数为( )
高考真题演练 课时作业
突破考点 01
由数列前几项归纳数列的通项公式
（基础送分型——自主练透）
1．数列的分类
2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
1.有限 无限 > < 2．序号n
【调研1】 (1)(2016·西安五校联考)下列可作为数列
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征，并对此进行归纳、猜想； ⑤若给出图示，充分结合图示分析规律． 2．由数列的前几项求通项时，数列的通项公式不唯一．
突破考点 02
Sn与an的关系
（高频考点型——多维探究）
数列的前n项和通常用Sn表示，记作____出下列各数列的一个通项公 式：
①－1,7，－13,19，… ②0.8,0.88,0.888，… ③1,0，13，0，15，0，17，0，… ④32，1，170，197，…
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：5.1数列的概念与简单表示法
n 2 ＋ ( － 1 ) ∴an＝(－1)n . n
• 【归纳提升】 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观 察分析，抓住以下几方面的特征： • ①分式中分子、分母的特征； • ②相邻项的变化特征； • ③拆项后的特征； • ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
• (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它 蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可 靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1 来调整．
解：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3， an＋1 ∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2· 3n 1 ，
－
∴an＝2· 3n 1－1.
－
n－1 (2)∵an＝ a (n≥2)， n n－1 n－2 1 ∴an－1＝ a － ，„，a2＝2a1. n－1 n 2 以上(n－1)个式子相乘得 1 2 n－1 a1 1 an＝a1· „· n ＝ n ＝n. 2· 3·
•4．数列的通项公式 • 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公 式．
子
f(n)
对点演练 已知数列 1， 3， 5， 7，„， 2n－1，则 3 5是它的 ( A．第 22 项 C．第 24 项 B．第 23 项 D．第 28 项 )
解析：观察知已知数列的通项公式是 an＝ 2n－1， 令 an＝ 2n－1＝3 5＝ 45，得 n＝23. 答案：B
5．Sn 与 an 的关系 已知 Sn，则
S1，n＝1， an＝S －S (n≥2) n －1 n
• 【归纳提升】 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观 察分析，抓住以下几方面的特征： • ①分式中分子、分母的特征； • ②相邻项的变化特征； • ③拆项后的特征； • ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
• (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它 蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可 靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1 来调整．
解：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3， an＋1 ∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2· 3n 1 ，
－
∴an＝2· 3n 1－1.
－
n－1 (2)∵an＝ a (n≥2)， n n－1 n－2 1 ∴an－1＝ a － ，„，a2＝2a1. n－1 n 2 以上(n－1)个式子相乘得 1 2 n－1 a1 1 an＝a1· „· n ＝ n ＝n. 2· 3·
•4．数列的通项公式 • 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公 式．
子
f(n)
对点演练 已知数列 1， 3， 5， 7，„， 2n－1，则 3 5是它的 ( A．第 22 项 C．第 24 项 B．第 23 项 D．第 28 项 )
解析：观察知已知数列的通项公式是 an＝ 2n－1， 令 an＝ 2n－1＝3 5＝ 45，得 n＝23. 答案：B
5．Sn 与 an 的关系 已知 Sn，则
S1，n＝1， an＝S －S (n≥2) n －1 n
高考数学一轮总复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
解法二：因为 an＋1－an＝nn＋ ＋12－n＋n 1＝n＋11n＋2>0，所以 an＋1>an，所以数列 {an}是递增数列．
答案：递增
第十四页，共40页。
4．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式 an＝________. 解析：由 Sn＝32an＋13，得当 n≥2 时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，得 an＝23an－23an －1， 所以当 n≥2 时，an＝－2an－1. 又 n＝1 时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1， 所以 an＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1
第三十一页，共40页。
即aan1＝n＋1 1×1n×2×1，所以 an＝nn1＋1. 当 n＝1 时，a1＝1×1 2＝12，也与已知 a1＝21相符， 所以数列{an}的通项公式为 an＝nn1＋1.
第三十二页，共40页。
数列(shùliè)的性质
[典 例 导 引] (1)(2017 届沧州七校联考)已知数列{an}满足 an＝3nn－＋116(n∈N*)，则数 列{an}的最小项是第________项． (2)已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝ a3n－an＋31(n∈N*)，则 a2 017 等于________．
第三十三页，共40页。
【解析】 (1)解法一：因为 an＝3nn＋－116，所以数列{an}的最小项必为 an<0，即
n＋1 3n－16<0.
3n－16<0，从而
16 n< 3 .
∴当 n 取最大值 5 时，an 的值最小．
第三十四页，共40页。
解法二：an＝1333nn－＋136＝131＋3n1－916， 当 3n－16<0 时，an 递减，此时当 n＝5 时，an 最小． 当 3n－16>0 时，an 也为递减，此时当 n＝6 时，an 最大． (2)由已知得 a1＝0，a2＝－ 3，a3＝ 3，a4＝0，a5＝－ 3，…，由此可知数列{an} 的项是以 3 为周期重复出现的，而 2 017＝3×672＋1，因此 a2 017＝a1＝0. 【答案】 (1)5 (2)0
答案：递增
第十四页，共40页。
4．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式 an＝________. 解析：由 Sn＝32an＋13，得当 n≥2 时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，得 an＝23an－23an －1， 所以当 n≥2 时，an＝－2an－1. 又 n＝1 时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1， 所以 an＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1
第三十一页，共40页。
即aan1＝n＋1 1×1n×2×1，所以 an＝nn1＋1. 当 n＝1 时，a1＝1×1 2＝12，也与已知 a1＝21相符， 所以数列{an}的通项公式为 an＝nn1＋1.
第三十二页，共40页。
数列(shùliè)的性质
[典 例 导 引] (1)(2017 届沧州七校联考)已知数列{an}满足 an＝3nn－＋116(n∈N*)，则数 列{an}的最小项是第________项． (2)已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝ a3n－an＋31(n∈N*)，则 a2 017 等于________．
第三十三页，共40页。
【解析】 (1)解法一：因为 an＝3nn＋－116，所以数列{an}的最小项必为 an<0，即
n＋1 3n－16<0.
3n－16<0，从而
16 n< 3 .
∴当 n 取最大值 5 时，an 的值最小．
第三十四页，共40页。
解法二：an＝1333nn－＋136＝131＋3n1－916， 当 3n－16<0 时，an 递减，此时当 n＝5 时，an 最小． 当 3n－16>0 时，an 也为递减，此时当 n＝6 时，an 最大． (2)由已知得 a1＝0，a2＝－ 3，a3＝ 3，a4＝0，a5＝－ 3，…，由此可知数列{an} 的项是以 3 为周期重复出现的，而 2 017＝3×672＋1，因此 a2 017＝a1＝0. 【答案】 (1)5 (2)0
高考数学总复习 第五章 第一节数列的概念与简单表示法课件 理
因此an＋1－ an－3＝0，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数 列，故{an}的通项为an＝3n－1.
第二十六页，共42页。
点评：已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点： (1)应重视分类讨论法的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意 an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需 统一“合写”． (3)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数 列(shùliè)的通项公式应分段表示(“分写”)， 即an＝
叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫 做无穷数列．
二、通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an＝f(n)．数列的实质是定 义域为正整数集N*(或N*的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．通项公式an ＝f(n)即为函数的解析式．其中项数n相当于自变量，项an相当于函数 值．
第二十三页，共42页。
将以上各式相加，得 an－a1＝n＋n－1＋n－2＋ n－3＋…＋2＝n－12n＋2，
∴an＝n－12n＋2＋2＝n2＋2n＋2. 答案：n2＋2n＋{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an
，则
an＝________.
1 nan
第四页，共42页。
四、数列的表示 1．列举法：如1,3,5,7,9，… 2．图象法：由(n，an)点构成． 3．解析法：用通项公式an＝f(n)表示，如an＝2n＋1. 4．递推法：用前几项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如 a1＝1，an＝1＋2an－1. 五、数列分类 有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动(bǎidòng)数列， 常数数列；有界数列，无界数列．
高考数学(理科)大一轮复习第五章第一节数列的概念与简单表示法【精品课件】
A
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大一轮复习· 数学· RJ（理）
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2.常见数列的通项公式: ①自然数列:1,2,3,4,… an=n; ②奇数列:1,3,5,7,… an=2n-1; ③偶数列:2,4,6,8,… an=2n; ④平方数列:1,4,9,16,… an=n2; ⑤2的乘方数列:2,4,8,16,… an=2n;
⑥正整数的倒数列: 1, 1 , 1 , 1， 234
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,
则
_S_1 ，n 1，
an
_S_n-_S_n_-1__，n
2.
4.数列的分类
有限 无限
＞ ＜
【特别提醒】 1.数列的项与项数:数列的项与项数是两个不同的概念, 数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的 项对应的位置序号.
a n1
【A.解3 析】B选. 5B.由题C.意7 知，Da1.=81，a2=2，
2
3
4
5
a3
3 2
，a
4
5. 3
2.(必修5P31练习T4(1)改编)数列 1，2，3，4，5， 3579
的一个通项公式an是________.
【解析】由已知得,数列可写成
故通项为
1，2，3，， 135
答案:
0，a5 015=a2=
3，
a6 3，
3.
5.(2016·九江模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,
a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1
=2(Sn+1),则S10的值为 ( )
A.91
B.90
C.55
D.54
【解析】选A.当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即3+a3+1=2×4, 解得a3=4;当n>1,n∈N*时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn =2(Sn+1+1),两式相减得an+2+an=2an+1,故数列{an}从第 二项起是首项为2,公差为2的等差数列,所以S10=1+2 ×9+ ×2=91.
【规范解答】(1)选C.由前三项可知,该数列的通项公
式可能为an=
所以 2n 1， 2n
a a
b b
8， 即 11，
a b
19， 2 3. 2
(2)①观察各项的特点:每一项都比2的n次幂多1,所以
an=2n+1. ②数列的符号规律为(-1)n,由第二、三、四项特点,可
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 332，n+1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1n n 12 1 1n n2 2n .
2n 1
2n 1
n. 2n 1
n
2n 1
感悟考题 试一试 3.(2016·石家庄模拟)把1,3,6,10,15,21,…这些数叫 做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正 三角形(如图).
则第7个三角形数是 ( )
A.27
B.28
C.29
D.30
【解析】选B.由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5
数列{an}中,Sn=___________叫做数列
的前n项和
a1+a2+…+an
2.数列的表示方法
列表法
图象法
公式 法
通项 公式
递推 公式
列表格表示n与an的对应关系 把点_(_n_,_a_n)_画在平面直角坐标系中
把数列的通项使用_____表示的方法 公式
使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和 an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法
22
(2)根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项 公式. ①3,5,9,17,33,…
② 1，8， 15，24， 5 79
③1, 0，1，0，1，0，1 ，0， 357
④ 3，1，7 ，9 ， 2 10 17
【解题导引】(1)根据前几项规律写出其通项公式后再 列方程组求解. (2)观察项与项数之间的关系,项与前后项之间的关系, 分子与分母的关系以及符号规律.
是序号的2倍加1, 可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17, …联想到数列1,4,9,16,…即数列{n2},可得分母的通 项公式为cn=n2+1, 所以可得它的一个通项公式为an=
③把数列改写成 1，0，1，0，1，0，1，0， 分母依次为 12345678
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
1［1 2
1 n1
2n
.
④将数列统一为 3，5，7 ，9 ， 对于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17
+6+7=28.
4.(2016·成都模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=
an 3 , n∈N*,则a2015等于 (
)
3an 1
A.0
B. 3
C. 3
D. 3
2
【解析】选B.根据题意,由于数列{an}满足a1=0,an+1=
an 3a n
31，那故么可可知知数a列1=0的, 周a2 期 为33，,a那3 么可3，知a4a2
an
1 n
;
⑦重复数串列:9,99,999,9 999,… an=10n-1;
⑧符号数列:-1,1,-1,1,…或1,-1,1,-1,… an=(-1)n
或an=(-1)n+1.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(必修5P31例3改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+ 1
(n≥2),则a4= ( )
第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
98 2
考向一 已知数列的前几项求通项 【典例1】(1)(2016·太原模拟)已知数列
根据前三项给出的规律, 3， 5， 7 ， 9 ， a b ，， 则实2 数4对(6a,ab)可b 能1是0 ( )
A．19,3 B．(19， 3) C.(19，3 ) D.(19， 3 )
22