中考题数学分类全集27三角形三线1
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总
初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。
并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。
题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。
求证：PA^2=AB^2-PBPC。
证明：作高AD。
则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。
变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。
（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。
求证：PA^2=AB^2+PBPC。
（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。
等腰三角形性质_三线合一”专题
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
求证：BE=CE。
变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。
求证：AD垂直平分BC。
变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF 。
例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。
例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。
图1ABCED分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=12α，又∠EAC C C=-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC ==ββα12。
例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =12，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。
图2分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。
证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ， ∴BD BC =12又∵CE BC =12，∴BD=CE 。
在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
七年级数学三角形的三线(中线、角平分线、高线)(北师版)(基础)(含答案)
三角形的三线（中线、角平分线、高线）（北师版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线答案：D解题思路：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．D选项中，DE不是连接△ABC的顶点与它对边中点的线段，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线2.如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为( )A.4B.3C.4.5D.3.5答案：A解题思路：如图，∵△ABO和△BOM的面积分别为4和2∴S△ABM =6∵AM，BN是△ABC的两条中线∴S△ABM=S△BCN=S△ABC∴S△BCN=6∴S四边形MCNO=S△BCN-S△BOM =4故选A．试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=75°，则∠A的度数为( )A.25°B.30°C.40°D.20°答案：C解题思路：如图，题中有角平分线，因此可以考虑设元，设∠ABD=α，则∠C=∠ABC=2α．在△BCD中，由三角形内角和定理可知α+2α+75°=180°，解得α=35°，因此∠C=∠ABC=70°，所以∠A=180°-70°-70°=40°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，设∠DCB=α，∠DBC=β，若∠A=40°，则下列说法错误的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，在△BCD中，∠DCB=α，∠DBC=β，则∠D=180°-α-β，因此A选项正确；因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则∠ABC=2β，∠ACB=2α，则∠A=180°-2α-2β，因此B选项正确；由∠D=180°-α-β可得α+β=180°-∠D，由∠A=180°-2α-2β，可得α+β=90°-∠A，因此180°-∠D=90°-∠A，整理得∠D=90°+∠A，因此C选项正确；把∠A=40°代入∠D=90°+∠A，得∠D=110°，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC 的度数为( )A.30°B.35°C.37.5°D.40°答案：A解题思路：如图，由AD与CE交于点M，得∠ADC+α=∠AEC+β，变形得2∠ADC+2α=2∠AEC+2β，由AD与BC交于点G，得∠ADC+2α=∠ABC+2β，将上述两式消去α和β，可得∠ABC=2∠AEC-∠ADC因为∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.下列说法正确的是( )A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B.三角形三条高都在三角形内C.三角形的三条高交于一点D.三角形三条中线相交于一点答案：D解题思路：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，A选项错误；锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，B选项错误；三角形的三条高所在的直线交于一点，C选项错误；D选项正确，故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线7.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，过点C作CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC中BC边上的高B.FC是△BCF中BC边上的高C.BE是△ABC中AC边上的高D.BE是△ABE中AE边上的高答案：A解题思路：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．在△ABC中，过点A向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为AD，A选项错误；在△BCF中，过点F向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为CF，B选项正确；在△ABC中，过点B向它的对边AC所在直线作垂线，得到高为BE，C选项正确；在△ABE中，过点B向它的对边AE所在直线作垂线，得到高为BE，D选项正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形的高8.如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于点E，若AE=5，DE=3，CD=，则AB=( )A.6B.C.3D.答案：C解题思路：如图，因为AB⊥BD，AC⊥CD，所以AB是△ADE的边DE上的高，CD是△ADE的边AE上的高，，把AE=5，DE=3，CD=代入，得到AB=3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式9.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点D在BC边上，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若DE=5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为( )A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm答案：D解题思路：如图，连接AD，则△ABC被分成△ABD和△ACD两部分，cm故选D．试题难度：三颗星知识点：等积公式10.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=6，BC=10，则AC：AD=( )A.5：4B.4：5C.5：3D.3：5答案：C解题思路：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，所以AB可以看作是AC边上的高，因为AD⊥BC，所以AD可以看作是BC边上的高，所以，把AB=6，BC=10代入，得到AC:AD=5:3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式。
三线合一解题
求证:CE=ED
A
C
D
B'
E
B
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E在 AC上，D 在BA的延长线上，
AD=AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
D
A
E
B
C
添加辅助线思路
图中AR这条线段的引出可以看成是： 1 ．过A点作DE的平行线． 2 ．过A点作BC的垂线． 3 ． ∠BAC的角平分线． 4 ． BC边的中线．
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
例1.已知AB′=AB，E为BB′的中点，
EC⊥AB′, ED ⊥AB.
A
复习回顾:
等腰三角形有哪些性质?
BD
C
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在
的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”）
三线合一基本图形
等腰三角形三线合一性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
这节课你有那些收获?
结束
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---C--D-------
初中数学三线合一专题试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 在等腰三角形ABC中，顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则下列说法正确的是（）A. AD=BDB. AD=CDC. BD=CDD. AD=BC2. 在等腰三角形ABC中，若底边BC上的高为h，则顶角A的角平分线与底边BC 相交于点D，则AD的长度为（）A. h/2B. hC. 2hD. 3h3. 在等腰三角形ABC中，若底边BC上的中线为m，则顶角A的角平分线与底边BC 相交于点D，则AD的长度为（）A. m/2B. mC. 2mD. 3m4. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD与BC 的关系是（）A. AD=BCB. AD=BDC. AD=CDD. AD是BC的中线ABD与三角形ACD的关系是（）A. 相似B. 全等C. 不确定D. 无法判断6. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的面积关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定7. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的周长关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定8. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的高关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定ABD与三角形ACD的中线关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定10. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的角平分线关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定二、填空题（每题3分，共30分）1. 在等腰三角形ABC中，顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD=______。
2. 在等腰三角形ABC中，底边BC上的高为h，则顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD=______。
三角形三线专题
1.三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（）A．A F、CD、CEB．A F、CE、CDC．A C、CE、CDD．A F、CD、CE2．下列说法中正确的是（）A．三角形三条高所在的直线交于一点B．有且只有一条直线与已知直线平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离3．△ABC中BC边上的高作确的是（）A．B．C．D．4．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形5．不一定在三角形部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．以上皆不对6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm7．下列说法中正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形部B．三角形中至少有一个角不小于60°C．直角三角形仅有一条高D．三角形的外角大于任何一个角8．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④9．（2015春•校级月考）下列说确的是（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④二．填空题（共2小题）10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是cm．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= ．三．解答题（共10小题）12．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC 交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．13．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE= =．（2）∠BAD= =．（3）∠AFB= = ．（4）S△AEC= ．14．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），∠=∠=90°；S△ABC= ；（2）如图（2），∠BAE=∠=∠；（3）如图（3），BF= =；S△ABF= ．19．如图，完成下面几何语言的表达．①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠= = °．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴= =，=2 =2 ；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠=∠=∠，∠=2∠=2∠．20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD 于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：（1）当==时，有=；（2）当==时，有=；（3）当==时，有=；①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；②若=，且AD=18，求AO．点评：本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．答案一．选择题（共9小题）1．（2015•州校级模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（）A．A F、CD、CE B．A F、CE、CD C．A C、CE、CD D．A F、CD、CE考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．解答：解：在△ABC中，BC边上的高是AF；在△BCE中，BE边上的高CE；在△ACD中，AC边上的高分别是CD；故选B点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．2．（2015春•东平县校级期末）下列说法中正确的是（）A．三角形三条高所在的直线交于一点B．有且只有一条直线与已知直线平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：A正确，即三角形的垂心；B应有无数条因此错误；C在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行所以错误；D中语言错误线段不能叫距离．解答：解：B中应为：有无数条直线与已知直线平行，故B错；C中应为：在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错，D中应写成垂线段长度；A 正确．故选A．点评：本题考查了三角形的垂心知识和一些几何基础知识，做题时注意严格对比概念．3．（2015春•期末）△ABC中BC边上的高作确的是（）A．B．C．D．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．解答：解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．故选D．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．4．（2015春•昌乐县期末）如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的部，则此三角形是锐角三角形．解答：解：利用三角形高线的位置关系得出：如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是锐角三角形．故选：A．点评：此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在部．5．（2015春•沙河市期末）不一定在三角形部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．以上皆不对考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的角平分线、中线、高线的定义解答即可．解答：解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形部的线段是三角形的高．故选C．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．6．（2015春•莘县期末）已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB﹣AC是解题的关键．7．（2015春•崇安区期中）下列说法中正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形部B．三角形中至少有一个角不小于60°C．直角三角形仅有一条高D．三角形的外角大于任何一个角考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形角和定理；三角形的外角性质．分析：根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；根据三角形的角和定理判断B；根据三角形的高的定义及性质判断C；根据三角形外角的性质判断D．解答：解：A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部，故本选项错误；B、如果三角形中每一个角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的角和定理相矛盾，故本选项正确；C、直角三角形有三条高，故本选项错误；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个角，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．8．（2015春•校级期中）三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的中线、角平分线、高的定义对四个说法分析判断后利用排除法求解．解答：解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说确；②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；③三条角平分线必交于一点，说确；④锐角三角形的三条高在三角形部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部．故三条高必在三角形的说法错误；故选：B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个角的平分线与这个角的对边交于一点，则这个角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．熟记概念与性质是解题的关键．9．（2015春•校级月考）下列说确的是（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．解答：解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点，说确；③锐角三角形的三条高都在三角形部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部．说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说确．故选D．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个角的平分线与这个角的对边交于一点，则这个角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．二．填空题（共2小题）10．（2014•模拟）如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是cm．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的中线定理：AB2+BC2=2（BE2+AE2），来求出BC的长度，然后再来求△ABC的周长．解答：解：∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，∴AB2+BC2=2（BE2+AE2），AE=AC，∵AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，∴BC=（cm），∴AB+BC+AC=（cm），即△ABC的周长是cm．点评：本题主要考查了三角形的中线定理．11．（2014春•合川区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= 5 cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= 60°．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据题意，E是边AC的中点，所以AE=AC，代入数据计算即可；根据角平分线的定义，∠ABC=2∠ABD，然后代入数据计算即可．解答：解：∵BE是AC边上的中线，AC=10cm，∴AE=AC=×10=5cm，∵BD平分∠ABC，∠ABD=30°，∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°．故答案为：5；60°．点评：本题主要考查了三角形中线的定义以及三角形角平分线的定义，熟记定义并灵活运用是解题的关键，是基础题．三．解答题（共10小题）12．（2015春•期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是20°；②当∠BAD=∠ABD时，x= 120°；当∠BAD=∠BDA时，x= 60°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形角和定理．专题：计算题．分析：利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．解答：解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20若∠BAD=∠BDA，则x=35若∠ADB=∠ABD，则x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．点评：本题考查了三角形的角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角之和．13．（2014秋•剑川县期末）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE= CE =BC ．（2）∠BAD= ∠DAC =∠BAC ．（3）∠AFB= ∠AFC = 90°．（4）S△AEC= 3 ．考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．分析：分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：（1）∵AE是中线，∴BE=CE=BC．故答案为：CE，BC；（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC．故答案为：∠DAC，∠BAC；（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°．故答案为：∠AFC，90°；（4）∵AE是中线，AF是高，BE=2，AF=3，∴BE=CE=2，∴S△AEC=CE•AF=×2×3=3．故答案为：3．点评：本题考查的是三角形的中线、角平分线和高，熟知三角形的中线、角平分线和高的性质是解答此题的关键．14．（2012春•桑日县校级期中）如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形角和定理．专题：动点型．分析：（1）先根据三角形角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在△ADC中，利用三角形角和求出∠ADC的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的角和定理可证明∠DA′E=（∠C﹣∠B）．解答：解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．点评：本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．15．（2012春•都江堰市校级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形角和定理．分析：（1）根据三角形的角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解；（2）根据（1）的思路，把度数换为α、β，整理即可得解．解答：解：（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°．点评：本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的角和定理，仔细分析图形，观察出∠DAE=∠BAD﹣∠BAE，然后分别表示出∠BAD与∠BAE是解题的关键．16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：先根据三角形的中线的定义求出BC=2BD=2CD，再根据三角形周长的定义得出AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，进而求出即可．解答：解：∵AD是△ABC的中线，∴BC=2BD=2CD，∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，∴AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，∴（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=8+7﹣9，∴2AD=6，∴AD=3．点评：本题考查了三角形的中线，三角形的周长，关键是求出2AD=（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=6．17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：先根据三角形的角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC=∠BAC，而∠EAC=90°﹣∠C，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO=80°，利用三角形角和定理得到∠AOF=50°，所以对顶角相等：∠BOE=∠AOF=50°．解答：解：①在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°．∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣60°=30°∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣30°=10°．②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，∴∠FBC=∠ABC=20°，又∵∠C=60°，∴∠AFO=80°，∴∠AOF=180°﹣80°﹣50°=50°，∴∠BOE=∠AOF=50°．点评：考查了三角形的角和定理：三角形的角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质．18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），∠ADB =∠ADC =90°；S△ABC= ；（2）如图（2），∠BAE=∠EAC =∠BAC ；（3）如图（3），BF= FC =BC ；S△ABF= S△AFC．．考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形角和定理．分析：（1）根据三角形的高的概念即可完成填空；（2）根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；（3）根据三角形的中线的概念即可完成填空．解答：解：（1）如图（1），∠ADB=∠ADC=90°；S△ABC=；（2）如图（2），∠BAE=∠EAC=∠BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；S△ABF=S△AFC．故答案为：ADB；ADC；；EAC；BAC；FC；BC；S△AFC．点评：此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．19．如图，完成下面几何语言的表达．①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB = ∠ADC = 90 °．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE = CE =BC ，BC =2 BE =2 CE ；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF =∠CAF =∠BAC ，∠BAC =2∠BAF =2∠CAF ．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：①根据三角形的定义和垂直的定义解答；②根据三角形的中线的定义和线段的中点的定义解答；③根据三角形的角平分线和角平分线的定义解答．解答：解：①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF=∠CAF=∠BAC，∠BA=2∠BAF=2∠CAF．故答案为：ADB，∠ADC，90，BE，CE，BC，BC，BE，CE，BAF，CAF，BAC，BCA，BAF，CAF．点评：本题考查了三角形的角平分线，中线，高，熟记各定义是解题的关键．20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：（1）当==时，有=；（2）当==时，有=；（3）当==时，有=；①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；②若=，且AD=18，求AO．考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：规律型．分析：①过D作DF∥BE，即求AE：AD，因为当=时，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出．②利用①中方法得出AE：（AE+2EF）=1：8，进而得出AE：EF=2：7，以及==得出答案即可．解答：解：①过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．∴AE：EF=2：n．∴AE：AF=2：（n+2）．∴=；②过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：8，∴AE：EF=2：7，∴==，∵AD=18，∴AO=4．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理性质，根据已知熟练将比例是变形得出是解题关键．21．（2015春•迁安市期末）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积= △ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为20 ．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．考点：三角形的面积．分析：（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以S△ABD=S△ACD；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S△ADO=S△BDO，同理可得S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果．解答：解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD，∴，，∴S△ABD=S△ACD，故答案为：=；（2）解方程组得，∴S△AOD=S△BOD=10，∴S四边形ADOB=S△AOD+S△AOE=10+10=20，故答案为：得，20；（3）如图3，连结AO，∵AD：DB=1：3，∴S△ADO=S△BDO，∵CE：AE=1：2，∴S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得：S△ABE=S△ABC=40，S△ADC=S△ABC=15，可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2 y=13．点评：本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．。
等腰三角形三线合一典型题型
等腰三角形三线合一典型题型等腰三角形是数学中常见的一个重要概念，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，等腰三角形的三线合一是一个典型的题型，也是解决等腰三角形相关问题的重要方法之一。
本文将对等腰三角形和三线合一的典型题型进行探讨和解析。
1. 等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质：性质1：等腰三角形的底角相等。
性质2：等腰三角形的两条等边平分顶角。
性质3：等腰三角形的高线、角平分线、中线三条线段重合。
2. 三线合一的概念及应用三线合一是指等腰三角形的高线、角平分线和中线三条线段重合的现象。
在解决等腰三角形相关问题时，可以利用三线合一来简化计算和推导过程。
3. 三线合一的推导过程考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，线段BE是底边AC的中线，线段CF是顶角A的角平分线，线段AD是高线。
我们需要证明BE、CF和AD三条线段重合。
证明思路：首先，连接线段AE和线段AF，并延长线段AF相交线段AD于点G，线段AE与线段DC相交于点H。
根据等腰三角形的性质，可知线段AG与线段AH相等。
同时，由于线段CF是角平分线，所以角BAF 与角CAF相等，进而线段AF与线段GF相等。
再根据等腰三角形的性质，可以得出线段AF与线段FE相等。
于是，我们可以得出线段EF 与线段AG、线段AH相等。
又因为线段BE是底边AC的中线，所以线段EF与线段BE相等。
综上所述，我们得出线段BE、CF和AD三条线段重合。
4. 三线合一的应用示例现给定等腰三角形ABC，其中AB=AC=8cm，顶角A的角平分线与底边BC的交点为D，底边BC上一点为E。
求证：线段DE是等腰三角形ABC的高线。
解题过程：根据题意，我们已知AB=AC，即等腰三角形的两条边相等。
又因为顶角A的角平分线与底边的交点D恰好是底边BC上的一点，所以DE与BC相交于一点。
为了证明线段DE是等腰三角形ABC的高线，我们需要证明线段DE与等腰三角形的两边垂直。
中考数学三角形复习试题以及答案
三角形的概念及其性质1.三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3.三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4.三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5.三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边;在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6.三角形具有稳定性.知识点二、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1.内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2.外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3.重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4.垂心：三角形三条高线的交点.5.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点诠释：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.知识点三、全等三角形1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.性质：(1)对应边相等(2)对应角相等(3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等(4)周长、面积相等3.判定：(1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS)(4)边边边(SSS)(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)要点诠释：判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.知识点四、等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念;(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.知识点五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2.性质：(1)直角三角形中两锐角互余;(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;(7)SRt△ABC= ch= ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高.3.判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形;(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.知识点六、线段垂直平分线和角平分线1.线段垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线的定理：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.2.角平分线的性质：(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上;(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合.四、规律方法指导1.数形结合思想本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题.2.分类讨论思想在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种情况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.3. 化归与转化思想在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时，通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，已知与未知之间的转化;数与形的转化;一般与特殊的转化.4.注意观察、分析、总结应将三角形的判定及性质作为重点，对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养，淡化纯粹的几何证明.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想.经典例题透析考点一、三角形的概念及其性质1.(1)(2010山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形思路点拨：三角形的内角和为180°，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40°、60°、80°，是锐角三角形.答案：B(2)三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是( )A.-6-2思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.解析：根据三角形三边关系得：8-3<1-2a<8+3，解得-5举一反三：【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论.解析：∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c<0， b-a-c<0∴ =(b+c-a)+(a+c-b)=2c.【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能( )A.1种B.2种C.3种D.4种解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C.【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________.思路点拨：要分类讨论，给出的边长中，可能分别是腰或底.注意满足三角形三边关系.解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10;(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11.2.(1)(2010宁波市)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( )A.5个B.4个C.3个D.2个考点：等腰三角形答案：A(2)如图在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______.考点：直角三角形两锐角互余.解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.3.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中( )A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形考点：三角形内角和180°.思路点拨：会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴选A，其它三个答案不能确定.举一反三：【变式1】下图能说明∠1>∠2的是( )考点：三角形外角性质.思路点拨：本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角.解析：A中∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2;B中∠1和∠2是同位角，若两直线平行则相等，不平行则不一定相等;C中∠1是三角形的一个外角，∠2是和它不相邻的内角，所以∠1>∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故选C.总结升华：三角形内角和180°以及边角之间的关系，在习题中往往是一个隐藏的已知条件，在做题时要注意审题，并随时作为检验自己解题是否正确的标准.【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论.解析：若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以选C.【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60°;(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )A.0 个B.1个C.2个D.3个思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和;三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确;(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B.考点二、三角形的“四心”和中位线4.(1)与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( )A.二条中线的交点B. 二条高线的交点C.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点考点：线段垂直平分线的定理.思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.(2)(2010四川眉山)如图，将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形.考点：三角形中位线找规律思路点拨：图①有1个正三角形;图②有(1+4)个正三角形;图③有(1+4+4)个正三角形;图④有(1+4+4+4)个正三角形;图⑤有(1+4+4+4+4)个正三角形;….答案：175.一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形考点：三角形角平分线定理.思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B.举一反三：【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心;(2)O为内心;(3)O为垂心;分别求∠BOC的度数.考点：三角形外心、内心、垂心性质.解析：∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A =116°;(2)O为内心时，∠BOC=90°+ ∠A=119°;(3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或直角三角形解析：三角形的内心都在三角形内部;锐角三角形外心在三角形内部;直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A.【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的( )A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线思路点拨：三角形面积相等，可利用底、高相等或相同得到.解析：三角形的一条中线分得的两个三角形底相等，高相同.应选A.6.(1)(2010广东茂名)如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是( )A、15米B、20米C、25米D、30米考点：三角形中位线定理.思路点拨：BE=AE=5 ，CF=FA=5，BC=2EF=10答案：C。
专题--三角形中的三线(高角分线中线)
目录
1 三角形的中线问题 2 三角形的角分线问题 3 三角形的高线问题
【PART.01】
三角形的中线问题
A designer can use default text to simulate what text would look like. If it is not real text. A designer can use default text to simulate what
变式 在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小；
【解答】因为 b＝acosC＋ 33csinA，根据正弦定理得 sinB＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以 sin(A＋C)＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以
b＝c＝
3时，中线 AM 的长度
4
42
4
取得最大值32.
【PART.02】
三角形的角分线问题
A designer can use default text to simulate what text would look like. If it is not real text. A designer can use default text to simulate what
例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3.
(1) 求角 A 的大小； 60°
(2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
【解答】 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AB·AC·sin∠BAC＝12AB·AD·sin∠BAD
中考数学复习指导：等腰三角形“三线合一”的妙用
1等腰三角形“三线合一”的妙用等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角的角平分线是互相重合的，我们把等腰三角形的这一性质简称为“三线合一”，这是等腰三角形的重要性质，本文例说这一性质在解题中的运用．一、求线段最值在处理线段问题时，如果既能运用全等三角形的知识，又能运用等腰三角形的知识，则应尽可能地运用“三线合一”的性质．这样，还能帮助同学们熟练掌握“三线合一”性质的转化．例1 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是_________．解 过点A 作AD ⊥BC 于点D ．因为AB ＝AC ＝5，BC ＝6，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BD ＝3．再根据勾股定理可知AD ＝4，因为垂线段最短，所以当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．利用等面积法，可得AD ·BC ＝BP ·AC ．即4 ×6＝5BP ，则BP ＝245． 点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法．在此题中还考查了学生为了解决等腰三角形问题添加辅助线的方法．二、证明直线垂证明直线垂直直在证明两直线垂直的问题时，如具备以下两个条件，可用“三线合一”来证明：(1)两线段中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线；(2)三角形是等腰三角形，例2 如图2所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．分析由已知，F是CD的中点，要证AF⊥CD，若连结AC与AD，则只要证得AC ＝AD，则由等腰三角形三线合一可证AF⊥CD．证明连结AC与AD．∵在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝LE，BC＝ED，∴△ABC≌△AED．则AC＝AD．∵AF是等腰△ACD的底边上的中线，∴AF⊥CD．点评本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的性质的应用．三、处理角与角之间的关系在处理角之间的关系时，利用等腰三角形三线合一的性质，并将已知条件与待求证的角关系转化到一起，可以使问题容易地得到了解决．例3 如图3所示，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点．求证：∠BFE＝∠CFE．23分析 因为E 是BC 的中点，故要证∠BFE ＝∠CFE ，我们很自然联想到等腰三角形三线合一定理．只要能证明BE ＝CE ，再由E 是BC 的中点，我们就知道EF 即是∠BFC 的角平分线，因此也就得出结论．证明 ∵1＝∠2，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ，∴△ABF ≌ADCF ，∴BF ＝CF ．则△BCE 是等腰三角形，又∵E 是BC 的中点，∴根据等腰三角形三线合一可得EF 是∠BFC 的角平分线，则∠BFE ＝∠CFE ．点评 本题既考查全等三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质，还考查学生综合运用定理进行推理的能力．例4 如图4所示，ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若∠BAC ＝70°，则∠BAD ＝_______°．解 由AB ＝AC ，AD ⊥BC ，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD ＝∠CAD ，由∠BAC ＝70°，则∠BAD＝35°．点评本题也能利用全等三角形证明，但利用等腰三角形三线合一的证明方法比用全等三角形的证明方法简单得多．4。
中考数学典型题解析——三角形的有关三线典型题
中考数学典型题解析——三角形的有关三线典型题
三角形的三线
1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段．
2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段；
3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
典型例题
三角形的中线
如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则
图中阴影部分的面积是。
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
【总结】根据三角形的面积公式，易得三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个部分．如图所示，AD是△ABC的中线，则S1=S2
练习
设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、
AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，
BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
典型例题
三角形的角平分线和高线
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是
【方法一】等积法
解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
【方法三】相似
【总结】求线段的长度，可以使用等积法、相似、勾股定理或三角函数．
练习
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为。
(完整版)三角形“三线”练习题
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线考点1：三角形的高1.如图7.1.2-1，在△ABC 中，BC 边上的高是__AD______；在△AFC 中，CF 边上的高是___AF_____；在△ABE 中，AB 边上的高是_BE________.图7.1.2-1 图7.1.2-2 图7.1.2-32.如图7.1.2-2，△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，则△ABH 的三条高是__FH …AE …BD_____，这三条高交于_C_______.BD 是△__ABD______、△_ABH_______、△_BHD_______的高.3.如图7.1.2-3，在△ABC 中EF ∥AC ，BD ⊥AC 于D ，交EF 于G ，则下面说话中错误的是（ C ）A.BD 是△ABC 的高B.CD 是△BCD 的高C.EG 是△ABD 的高D.BG 是△BEF 的高4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ）A.锐角三角形B.直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定5.三角形的三条高的交点一定在（ C ）A.三角形内部B.三角形的外部C.三角形的内部或外部D.以上答案都不对6.如图7.1.2-4所示，△ABC 中，边BC 上的高画得对吗？为什么？图7.1.2-4 考点2：三角形的中线与角平分线7如图7.1.2-5所示：（1）AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是____的高，∠_ADB___=∠_ADC___=90°.（2）AE 平分∠BAC ，交BC 于E 点，则AE 叫做△ABC 的 角平分线_______，∠_BAE_______=∠___CAE_____=21∠_BAC_______. （3）若AF =FC ，则△ABC 的中线是_BF_______，S △ABF =____S_bfc___.（4）若BG =GH =HF ，则AG 是_______的中线，AH 是________的中线.图7.1.2-5 图7.1.2-68.如图7.1.2-6，DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB =60°，那么∠EDC =_30_____度.9..如图7.1.2-8，若上∠1=∠2、∠3=∠4，下列结论中错误的是（ D ）图7. 1.2-8A.AD 是△ABC 的角平分线B.CE 是△ACD 的角平分线C.∠3=21∠ACB D.CE 是△ABC 的角平分线10.如图图7.1.2-9所示，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE .图7.1.2-911.在△ABC 中，AB=2BC,AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，试判断AD 和CE 的大小关系，并说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（一）讲
1．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒摆成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，在所有摆成的三角形中，面积最大的三角形的面积为____________cm
2、（2011•眉山）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）
A、1＜L＜5
B、2＜L＜6
C、5＜L＜9
D、6＜L＜10
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系。
专题：计算题。
分析：先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．解答：解：∵x2﹣5x+6=0，
∴（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，
∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，
∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．
故选D．
3．（2011湖北鄂州，8，3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．
第8题图
【解题思路】是利用角平分线的性质定理和判定定理证AP 是∠BAC 外角的平分线！而∠BAC=2∠BPC 也是可证的！由∠BPC=40°和角平分线性质， 得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°， 则∠BAC 的外角为100°，∠CAP=
1
2
×100°=50°。
【答案】50°
【点评】此题考查学生对角平分线性质和三角形外角的知识，学生要证AP 是∠BAC 外角的平分线，需要添加辅助线才行。
难度较大 (二)资料 1、（2011•河北）已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数 则这样的三角形个数为（ ） A 、2 B 、3 C 、5 D 、13 考点：三角形三边关系。
专题：计算题。
分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；解答即可； 解答：解：由题意可得，
，
解得，11＜x ＜15，所以，x 为12、13、14； 故选B ．
点评：本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．
2．在ABC △中，若8AB =，6BC =，则第三边AC 的长度m 的取值范围是 ．
B ． A
． D ．
3．如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB
∥且1
2
EF AB =；②BAF CAF ∠=∠； ③1
2
ADFE S AF DE = 四边形；
④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知△ABC 的面积为36，将△ABC 沿BC 平移到△A ´B ´C ´，使B ´和C 重合，连结AC ´交AC 于D ，则△C ´DC 的面积为
（ ）
（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18
11．（11·贵港）在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝55°，延长AC 到D ，则∠BCD ＝_ ▲
度．
【答案】85
12、（2011•湖州）如图：CD 平分∠ACB ，DE ∥AC 且∠1=30°，则∠2= 60 度．
考点：平行线的性质；角平分线的定义。
13.如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC +∠PCA +∠P AB =__________度.
45．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是
19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，∠B =30°，∠DAB =45°．
⑴求∠DAC 的度数； ⑵求证：
DC =AB
第20题图
C )
(B 'C B
A C B
P
第13题
19．⑴解：∵AB =AC ∴∠B =∠C =30°
∵∠C ＋∠BAC ＋∠B =180°
∴∠BAC =180°－30°－30°=120° ∵∠DAB =45°，
∴∠DAC =∠BAC －∠DAB =120°－45°=75° ⑵证明：∵∠DAB =45°
∴∠ADC =∠B ＋∠DAB =75° ∴∠DAC =∠ADC ∴DC =AC ∴DC =AB 23、（2011•台湾）如图，G 为△ABC 的重心，其中∠C=90°，D 在AB 上，GD ⊥AB ．若AB=29，AC=20，BC=21，则GD 的长度为何？（ ）
A 、7
B 、14
C 、
D 、
考点：三角形的重心。
专题：计算题。
分析：连接AG 、BG ，根据重心的性质可知，S △ABG =S △ABC ，再根据三角形面积的表示方法，列方程求解．
解答：解：连接AG 、BG ， ∵G 为重心， ∴S △ABG
=S △ABC ，
即×AB×GD=××BC×AC ， ×29×GD=××21×20， 29×GD=7×20， 解得GD=．
故选C ．
第19题图
C A
B
D
点评：本题考查了三角形重心的性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点，根据中线平分面积，重心将中线分为1：2两部分求解．。