2019版一轮优化探究理数练习：第四章第六节正、余弦定理和应用举例含解析
推荐2019高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第6讲正弦定理与余弦定理分层演练文
第6讲 正弦定理与余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )A ．π6B.π4 C ．π3D.π2解析：选C.易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－（7）22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，故选C.2．(2018·宝鸡质量检测(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )A ．23 B.14 C ．34D.16解析：选B.因为a sin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C，又sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A＋B )＝13，所以sin A ＝14，故选B.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B ·cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，所以A ＝π2，故选B.4．(2018·南昌第一次模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．12B ．14C ．1D ．2解析：选A.由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.故选A.5．(2018·云南第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2 B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S △ABC ＝( )A ．32 B ．3 C ． 6D ．6解析：选B.由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ①，又B ＝π2，所以a 2＋c2＝b 2②，联立①②解得a ＝c ＝6，所以S △ABC ＝12×6×6＝3，故选B.6．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32B.332C ．34D. 3 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×12，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB ＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt △ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝332，即BC 边上的高为332.二、填空题7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：48．(2018·贵阳检测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________．解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7b 2，所以c ＝7b ，cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝27，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝37，所以tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：329．(2018·广西三市第一次联考)设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，所以cos B ＝74，则sin B ＝34，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32. 答案：3210．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________．解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4，AD sin ∠ACD ＝CD sin A ，sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC中，AC sin B ＝BC sin A ，BC ＝AC ·sin Asin B＝4.答案：4 三、解答题11．(2018·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， 即20＝c 2＋4－4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 解得c ＝－42(舍去)或c ＝22， 所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22×22＝2.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则 a cos C ＋c cos A ＝b .所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.因为S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，所以ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，所以b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14.所以b ＝4.1．(2018·河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)因为a sin B ＝－b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3， 即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π6. (2)因为A ＝5π6，所以sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 2．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)根据a sin A ＝csin C ，可得c sin A ＝a sin C ，又因为c sin A ＝3a cos C ，所以a sin C ＝3a cos C ，所以sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝sin Ccos C ＝3，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝5sin 2A ， 所以2sin B cos A ＝5×2sin A cos A . 因为△ABC 为斜三角形，所以cos A ≠0， 所以sin B ＝5sin A .由正弦定理可知b ＝5a ， ①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ， ②由①②解得a ＝1，b ＝5，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章 第四节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 Word版含解析
一、填空题1、若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.解析：∵α∈(－π2，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210.答案：－2 102、已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：依题意由1－cos 2αsin αcos α＝1得2sin2αsin αcos α＝1，则tan α＝1 2，从而tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)·tan α＝－－13－121＋(－13)×12＝－1.答案：－13、已知tan(α－π6)＝37，tan(π6＋β)＝25，则tan(α＋β)的值为________、解析：tan(α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)]＝tan(α－π6)＋tan(π6＋β)1－tan(α－π6)·tan(π6＋β)＝37＋251－37×25＝1.答案：14、在等式cos(*)(1＋3tan 10°)＝1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角的度数是________、解析：1＋3tan 10°＝1＋3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin (30°＋10°)cos 10°＝2sin 40°cos 10°，所以填40°. 答案：40°5、设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________、解析：∵a 2＝1＋2sin 14°cos 14°＝1＋sin 28°∈(1，32)，b 2＝1＋2sin 16°cos 16°＝1＋sin 32°∈(32，2)，c 2＝32，且a >0，b >0，c >0，∴a <c <b .答案：a <c <b6、已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 等于________、解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：7π47、若tan(α＋β)＝25， tan(β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝______.解析：tan(α＋π4)＝tan [(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝25－141＋25×14＝322.答案：3228、已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝________.解析：由于α，β∈(3π4，π)，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，故cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213 ＝－5665.答案：－56659、非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan(θ－π4)＝________.解析：因为非零向量a ，b 共线，所以a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，所以λ＝2，sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13. 答案：13二、解答题10、已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值、 解析：(1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2， 1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α(2cos 2α－1)cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α. 因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2 α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.11、如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值、解析：由已知条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－(12)2＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.12、已知向量OA →＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])、向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n )、(1)求tan α的值；(2)若cos(β－π)＝210，且0<β<π，求cos(2α－β)、解析：(1)∵OA →＝(cos α，sin α)，∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5)，∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0， 即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②联立方程组解得，cos α＝－255，sin α＝－55.∴tan α＝sin αcos α＝12.(2)∵cos(β－π)＝210，即cos β＝－210，0<β<π，∴sin β＝7210，π2<β<π，又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝22.。
2019版一轮优化探究文数练习：第四章 第六节 正、余弦定理和应用举例 含解析
一、填空题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．解析：由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，又a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6. 答案：π62．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为________km.解析：由余弦定理知，AC 2＝102＋202－2×10×20cos 120°＝700.∴AC ＝107 km. 答案：1073.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD 的张角为________．解析：依题意可得AD ＝2010 (m)，AC ＝30 5 (m)，又CD ＝50 (m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案：45°4．锐角△ABC 的三边a ，b ，c 和面积S 满足条件S ＝c 2－(a －b )24k，又角C 既不是△ABC 的最大角也不是△ABC 的最小角，则实数k 的取值范围是________．解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴c 2－a 2－b 2＝－2ab cos C ，由S ＝c 2－(a －b )24k，得4kS ＝c 2－(a －b )2，即4k ·12·ab sin C ＝c 2－a 2－b 2＋2ab ， ∴2kab sin C ＝－2ab cos C ＋2ab ，即k sin C ＝1－cos C ，∴k ＝1－cos C sin C ，∴k ＝tan C 2，又π4<C <π2， ∴2－1<k <1.答案：(2－1,1)5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ， b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ， ∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ＝a ＋c ，则角B 的取值范围是________．解析：∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－(a ＋c )242ac＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac＝3(a 2＋c 2)8ac －14≥34－14＝12， 即cos B ∈[12，1)，∴B ∈(0，π3]．。
2019版高考数学（理）一轮复习：正弦定理和余弦定理含解析
2019版高考数学（理）一轮复习：正弦定理和余弦定理含解析课时分层作业二十四正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b等于()A. B. C.2 D.3【解析】选D.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).2.(2018·潍坊模拟)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2=,cos2=,所以(1+cos B)·c=a+c,所以a=cos B·c=,所以2a 2=a 2+c 2-b 2,所以a 2+b 2=c 2,所以△ABC 为直角三角形.3.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【解析】选C.因为=,所以sin B===>1,故此三角形无解.4.(2017·山东高考)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简,再结合正弦定理去判断.【解析】选A.2sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+(sin Acos C+cos Asin C)=sin Acos C+sin B=sin B+2sin BcosC,即sin Acos C=2sin Bcos C,由于△ABC 为锐角三角形,所以cos C≠0,sin A=2sin B,由正弦定理可得a=2b.5.(2018·长沙模拟)在△ABC 中,A=,b 2sin C=4sin B,则△ABC 的面积为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为b 2sin C=4sin B,所以b 2c=4b,即bc=4,故S △ABC =。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第六章 第四节
一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1(n ∈N *)，且a n b n ＝(－1)n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于________．解析：由S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1可求得a n ＝(－1)n ·4n (n ＋1)，所以b n ＝14n (n ＋1)，于是T 10＝14(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝522.答案：5222．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.解析：由题意得数列{a n }的各项为－12，1，－12，1，…，以2为周期的周期数列，所以S 2 014＝12×1 007＝1 0072. 答案：1 00723．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值(n ∈N *)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝________. 解析：由题设得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3， ∴a n ＝a n ＋3，∴a 3k ＋1＝2(k ∈N)，a 3k ＋2＝4(k ∈N)，a 3k ＝3(k ∈N *)， ∴S 100＝34×2＋33×4＋33×3＝299. 答案：2994．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n . 答案：2n 2＋6n6．设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有________个．解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个． 答案：117．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， 用裂项法求和得S n ＝n n ＋1.答案：nn ＋18．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.答案：10 1009．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎨⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2 ＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2] ＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 答案：－100 二、解答题10．已知函数f (x )＝2n －3n －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，a n 的前n 项和为S n . (1)求使a n <0的n 的最大值； (2)求S n .解析：(1)依题意a n ＝2n －3n －1， ∴a n <0即2n －3n －1<0. 当n ＝3时，23－9－1＝－2<0， 当n ＝4时，24－12－1＝3>0， ∴2n －3n －1<0中n 的最大值为3. (2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2－3·n (n ＋1)2－n＝2n ＋1－n (3n ＋5)2－2.11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的导函数f ′(x )＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值；(2)令b n ＝2a n ，其中n ∈N *，求数列{nb n }的前n 项和． 解析：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b ， 又∵f ′(x )＝－2x ＋7，得a ＝－1，b ＝7， ∴f (x )＝－x 2＋7x .又∵点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，∴有S n ＝－n 2＋7n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8， ∴a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0，得n ≤4，∴当n ＝3或n ＝4时， S n 取得最大值12. (2)由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4.∴b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是首项为8，公比为12的等比数列，故数列{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4，① 12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3，② 由①－②得：12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3， ∴T n ＝16×[1－(12)n ]1－12－n ·24－n ＝32－(2＋n )24－n.12．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知可得⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)，从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n .。
2019届高考数学优化探究练习（含解析）基础很重要！
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高中数学严密的数学思维是很重要的，前提是大量的练习，尤其在高一高二。
但仅仅做题是不够的，做题也得讲战术。
遇到不会的题，很多同学会选择看答案，看答案也是有技巧的。
数学题看答案应该是看两次：第一次，弄懂怎样从上步得到下一步，这样做仅仅是只见树木，不见森林。
要见森林就需要第二次看答案，这第二次要站在一个高度上去看这道题是怎样入手，切入方式有没有什么特别之处，这是能够做到举一反三的重要条件。
遇到有价值的题最好记在错题本上，印象会深刻些。
就数学而言，考试时的发挥非常关键，细心就成为考数学的法宝。
当然考试时难免会遇到不会的题，这时要有良好的心理素质，不要烦躁，暂时跳过去，忘掉，等到做完还有时间再回头做。
切不可因一两道题就影响了后面。
面对高考，扎实的知识基础很重要，但知识的深化与拓展同样必不可少，本文易安挑选，2019版同步优化探究理数练习（打包72份，含答案）部分分享，完整电子版获取方式，见文末！。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 含解析
8．在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝asinax(a∈R，a≠0)的一个完整周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为________．
解析：根据题意，设矩形ABCD的周长为c，
则c＝2(AB＋AD)＝4|a|＋ ≥8 ，
当且仅当a＝± 时取等号．
答案：8
9．关于函数f(x)＝sin(2x－ )，有下列命题：
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋ )；
②直线xx)＝sin 2x的图象向右平移 个单位得到；
④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立．
答案：( ，2)
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期是 ，直线x＝ 是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ< ，则函数解析式为________．
解析：由题设得，A＝2，n＝2，ω＝4，且当x＝ 时，
sin ( π＋φ)＝±1，故φ＝ .
所求解析式为y＝2sin (4x＋ )＋2.
∴ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[ ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)．
答案：[kπ＋ ，kπ＋ ](k∈Z)
6．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin(x＋ )＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
解析：令y1＝2sin(x＋ )，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示，若2sin(x＋ )＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以 <a<2.
解析：(1)因为f(x)＝sin 2xsinφ－2cos2xcos(π－φ)－sin( ＋φ)(0<φ<π)，
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章 第四节 两角和与差的正弦、余弦、
一、填空题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________. 解析：∵α∈(－π2，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45， ∴cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210. 答案：－2102．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________. 解析：依题意由1－cos 2αsin αcos α＝1 得2sin 2 αsin αcos α＝1，则tan α＝12， 从而tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝－－13－121＋(－13)×12＝－1. 答案：－13．已知tan(α－π6)＝37，tan(π6＋β)＝25，则tan(α＋β)的值为________． 解析：tan(α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)] ＝tan (α－π6)＋tan (π6＋β)1－tan (α－π6)·tan (π6＋β)＝37＋251－37×25＝1.答案：14．在等式cos(*)(1＋3tan 10°)＝1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角的度数是________．解析：1＋3tan 10°＝1＋3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin (30°＋10°)cos 10°＝2sin 40°cos 10°，所以填40°.答案：40°5．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：∵a 2＝1＋2sin 14°cos 14°＝1＋sin 28°∈(1，32)，b 2＝1＋2sin 16°cos 16°＝1＋sin 32°∈(32，2)，c 2＝32，且a >0，b >0，c >0，∴a <c <b . 答案：a <c <b6．已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 等于________． 解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4. 答案：7π47．若tan(α＋β)＝25， tan(β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝______. 解析：tan(α＋π4)＝tan [(α＋β)－(β－π4)] ＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝25－141＋25×14＝322.答案：3228．已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝________.解析：由于α，β∈(3π4，π)，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，故cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213 ＝－5665. 答案：－56659．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan(θ－π4)＝________. 解析：因为非零向量a ，b 共线，所以a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，所以λ＝2，sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13.答案：13 二、解答题10．已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2. (1)求tan α的值； (2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解析：(1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2，1＋tan α＝2－2tan α， 所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α(2cos 2α－1)cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2 α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解析：由已知条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－(12)2＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2， ∴α＋2β＝3π4.12．已知向量OA →＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])．向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n )． (1)求tan α的值；(2)若cos(β－π)＝210，且0<β<π，求cos(2α－β)．解析：(1)∵OA →＝(cos α，sin α)， ∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5)， ∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0， 即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②联立方程组解得， cos α＝－255，sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝12. (2)∵cos(β－π)＝210， 即cos β＝－210，0<β<π， ∴sin β＝7210，π2<β<π，又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝22.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章 第三节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的
一、填空题1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋)(ω>0)，若f ()＝f ()，且f (x )在区间(，)上有最大π3π6π2π6π2值，无最小值，则ω＝________.解析：由题意f ()＝1，即ω·＋＝＋2k π，k ∈Z ，所以ω＝＋6k ，k ∈Z.π3π3π3π212又<，所以0<ω<6，故ω＝.π32πω12答案：122．函数y ＝sin(＋x )cos(－x )的最大值为________．π2π6解析：y ＝sin(＋x )cos(－x )π2π6＝cos x ·cos(－x )π6＝cos x (cos ·cos x ＋sin ·sin x )π6π6＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos 2x ＋sin x ·cos x32123212＝·＋sin 2x ＝＋cos 2x ＋sin 2x 321＋cos 2x 214343414＝＋(sin 2x ＋cos 2x )34121232＝＋sin(2x ＋)，3412π3∴当sin(2x ＋)＝1时，y max ＝.π32＋34答案：2343．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象如图所示，则f ()＝________.7π12解析：由图象可知，T ＝π，从而T ＝＝，ω＝3，322πω2π3得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f ()＝0可取φ＝－，π43π4于是f (x )＝2sin(3x －)，则f ()＝2sin(－)＝0.3π47π127π43π4答案：04．若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(，0)π4π3对称，则|φ|的最小值是________．解析：将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移个单位后得到y ＝2sin[3(x －)＋φ]π4π4＝2sin(3x －＋φ)的图象．因为该函数的图象关于点(，0)对称，所以2sin(3×3π4π3－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，故有＋φ＝k π(k ∈Z)，解得φ＝k π－(k ∈Z)．当π33π4π4π4π4k ＝0时，|φ|取得最小值.π4答案：π45．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤|f ()|对x ∈R 恒成立，π6且f ()＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是________．π2解析：由∀x ∈R ，有f (x )≤|f ()|知，当x ＝时f (x )取最值，∴f ()＝sin(＋φ)π6π6π6π3＝±1，∴＋φ＝±＋2k π(k ∈Z)，π3π2∴φ＝＋2k π或φ＝－＋2k π(k ∈Z)．π65π6又∵f ()＞f (π)，∴sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，π2∴－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0.∴φ取－＋2k π(k ∈Z)．5π6不妨取φ＝－，则f (x )＝sin(2x －)．5π65π6令－＋2k π≤2x －≤＋2k π(k ∈Z)，π25π6π2∴＋2k π≤2x ≤＋2k π(k ∈Z)，π34π3∴＋k π≤x ≤＋k π(k ∈Z)．π62π3∴f (x )的单调递增区间为[＋k π，＋k π](k ∈Z)．π62π3答案：[k π＋，k π＋](k ∈Z)π62π36．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin(x ＋)＝a 有两个不同的实数解，则实数π3a 的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin(x ＋)，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如π3图所示，若2sin(x ＋)＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则π3y 1与y 2应有两个不同的交点，所以<a <2.3答案：(，2)37．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期是，π2直线x ＝是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<，则函数解析式为π3π2________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝时，π3sin (π＋φ)＝±1，故φ＝.43π6所求解析式为y ＝2sin (4x ＋)＋2.π6答案：y ＝2sin (4x ＋)＋2π68．在矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a sin ax (a ∈R ，a ≠0)的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为________．解析：根据题意，设矩形ABCD 的周长为c ，则c ＝2(AB ＋AD )＝4|a |＋≥8，4π|a |π当且仅当a ＝±时取等号．π答案：π9．关于函数f (x )＝sin(2x －)，有下列命题：π4①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋)；π4②直线x ＝－是f (x )图象的一条对称轴；π8③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移个单位得到；π4④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．则其中真命题的序号为________．解析：对于①，f (x )＝sin(2x －)＝cos[－(2x －)]π4π2π4＝cos(2x －π)，故①错；34对于②，当x ＝－时，f (－)＝sin[2×(－)－]π8π8π8π4＝sin(－)＝－1，故②正确；π2对于③，g (x )＝sin 2x 的图象向右平移个单位得到的图象解析式为y ＝sin 2(x －π4)＝sin(2x －)，故③错；π4π2对于④，因为f (x )的周期为π，故当α＝时，f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，所以④正确．π2答案：②④二、解答题10．已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋)－sin 2x ＋sin x cos x .π33(1)求f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，]时，求f (x )的值域．π4解析：(1)f (x )＝2cos x sin(x ＋)－sin 2x ＋sin x cos xπ33＝2cos x (sin x ＋cos x )－sin 2x ＋sin x cos x12323＝2sin x cos x ＋(cos 2x －sin 2x )3＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋)．3π3由2k π－≤2x ＋≤2k π＋(k ∈Z)，π2π3π2解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z)，5π12π12∴f (x )的单调递增区间为[k π－，k π＋](k ∈Z)．5π12π12(2)∵x ∈[0，]，∴2x ＋∈[，]．π4π3π35π6则sin(2x ＋)∈[，1]，∴f (x )的值域为[1,2]．π21211．已知函数f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)在x ＝时取π2π6得最大值．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (α)＝，求sin α的值．13解析：(1)因为f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)，π2所以f (x )＝sin 2x sin φ＋2cos 2x cos φ－cos φ＝sin 2x sin φ＋(1＋cos 2x )cos φ－cos φ＝sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ＝cos(2x －φ)，又函数y ＝f (x )在x ＝时取得最大值，π6所以cos(2·－φ)＝cos(－φ)＝1，π6π3因为0<φ<π，所以φ＝.π3(2)由(1)知f (x )＝cos(2x －)，π3所以g (x )＝f (x )＝cos(x －)，12π3于是有g (α)＝cos(α－)＝，π313所以sin(α－)＝±.π3223所以sin α＝sin[(α－)＋]π3π3＝sin(α－)·cos ＋cos(α－)·sin π3π3π3π3＝.3±22612．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下面是某日各时的浪高数据：t (时)03691215182124y (米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解析：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝＝＝，2πT 2π12π6由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；①由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，②∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为，12∴y ＝cos t ＋1(0≤t ≤24)．12π6(2)由题知，当y ≥1时才可对冲浪者开放，∴cos t ＋1≥1，12π6∴cos t ≥0，π6∴2k π－≤t ≤2k π＋，k ∈Z ，π2π6π2即12k －3≤t ≤12k ＋3，k ∈Z ，③∵0≤t ≤24，故可令③中的k 分别为0,1,2，得0≤t ≤3，或9≤t ≤15，或21≤t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。
2019版高考数学(理)一轮总复习课件：4-专题研究2 正、余弦定理应用举例
思考题2 (1)在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的
仰角为30°，测得湖中影子的俯角为45°，则云距湖面的高度
为(精确到0.1 m)( )
A．2.7 m
B. 17.3 m
C. 37.3 m
D. 373 m
【解析】 依题意画出示意图， 则CtaMn3－0°10＝CtaMn4＋5°10， ∴CM＝ttaann4455°°＋－ttaann3300°°×10≈37.3(m) 【答案】 C
思考题 1 (2014·四川，理)如图所示，从气球 A 上测得正 前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的 高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于________ m．(用四舍五入 法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39， sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 3≈1.73)
∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，
BE＝DBsin15°＝202×Fra bibliotek6－ 4
2＝10(
3－1)．
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，
∴AB＝BEtan30°＝130(3－ 3)(米)．
故所求的塔高为130(3－ 3) 米．
【答案】 130(3－ 3) 米
★状元笔记★ 高度问题的注意点 本题有两处易错点：①图形中为空间关系，极易当做平面 问题处理，从而致错；②对仰角、俯角等概念理解不够深入， 从而把握不准已知条件而致错．
【解析】 根据已知的图形可得 AB＝sin4667°. 在△ABC 中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°， 由正弦定理，得sinA3B0°＝sinB3C7°. 所以 BC≈2×04.962×0.60＝60 (m)． 【答案】 60
2019版高考数学理科 课标版一轮复习考点突破训练：第4章第4讲 正、余弦定理及解三角形 含解析 精品
第四讲正、余弦定理及解三角形考点1正、余弦定理及其应用1.[2018湖南省永州市一模]在△ABC中, a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若2sin B=sin A+sin C, cos B=,且S△ABC=6,则b= ()A.2B.3C.4D.52.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2a-b=2c cos B,则角C的大小为()A. B. C. D.3.在△ABC中,A=,a=c,则=.4.[2018江西省红色七校联考]如图,在ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cos A=,cos∠ACB=,BC=13.(1)求cos B的值;(2)求CD的长.5.[2016山东,16,12分][理]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(Ⅰ)证明:a+b=2c;(Ⅱ)求cos C的最小值.6.[2015新课标全国Ⅱ,17,12分][理]△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.考点2解三角形的实际应用7.[2018辽宁省辽南协作校一模]为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()A.(1+)米B.2米C.(1+)米D.(2+)米8.为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图4-4-3所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A,C两地的距离;(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.答案1.C在△ABC中,由正弦定理可得,2b=a+c①,由余弦定理可得,b2=a2+c2-2ac×=(a+c)2-ac②,由cos B=,得sin B=,故S△ABC=ac×=6③,由①②③得,b=4.故选C.2.B解法一把cos B=-代入2a-b=2c cos B得2a-b=-,整理得a2+b2-c2=ab,所以cos C=-=,又C∈(0,π),所以C=.故选B.解法二由2a-b=2c cos B得b=a-c cos B,由a=b cos C+c cos B得b cos C=a-c cos B,所以b=b cos C,所以cos C=,又C∈(0,π),所以C=.故选B.3.1∵a=c,∴sin A=sin C,∵A=,∴sin A=,∴sin C=,又C必为锐角,∴C=,∵A+B+C=π,∴B=,∴B=C,∴b=c,∴=1.4.(1)在△ABC中,因为cos A=,A∈(0,π),所以sin A=-=.同理可得sin∠ACB=.所以cos B=cos[π-(A+∠ACB)]=-cos(A+∠ACB)=sin A sin∠ACB-cos A cos∠ACB=×-×=.(2)在△ABC中,由正弦定理得, AB= sin∠ACB =×=20.又AD=3DB,所以BD=AB=5,又在△BCD中,由余弦定理得,CD=-=-=95.(Ⅰ)由题意知2(+)=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=,所以cos C=-=-()=(+)-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.6.(Ⅰ)S△ABD=AB·AD sin∠BAD,S△ADC=AC·AD sin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得==.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DC cos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.7.D由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题意得AB=AC-0.5=(t-0.5)(米).在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos 60°, 即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=--=x-1+-+2(x>1).因为x>1,所以t=x-1+-+2≥2+(当且仅当x=1+时取等号),故AC最短为(2+)米,故选D.8.(1)设BC=x,由条件可知AC=x+×340=x+40,在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB×AC cos∠BAC,即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×,解得x=380,所以AC=380+40=420,故A,C两地的距离为420米.(2)在△ACH中,AC=420,∠HAC=30°,∠AHC=90°-30°=60°,由正弦定理,可得=,即=,所以HC==140,故这种仪器的垂直弹射高度为140米.。
2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲义：4-6 正弦定理和余弦定理 含答案 精品
§4.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．知识拓展1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × ) (4)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编2．[P10B 组T2]在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．[P18T1]在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 答案 2 3解析 ∵23sin 60°＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.题组三 易错自纠4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 由已知得sin C <sin B cos A ， ∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A ·cos B ＋cos A ·sin B <sin B ·cos A ， 又sin A >0，∴cos B <0，∴B 为钝角， 故△ABC 为钝角三角形．5．(2018·桂林质检)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.题型一 利用正、余弦定理解三角形1．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725 B ．－725C ．±725D.2425答案 A解析 ∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ， ∴8sin B ＝10sin B cos B . ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．题型二 和三角形面积有关的问题典例 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 跟踪训练 (1)(2018·承德质检)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32C.23D ．3 2答案 A解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－(x 2－12)216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是________． 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状 典例 (1)在△ABC 中，cos A2＝1＋cos B2，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定答案 A解析 由已知得cos 2A 2＝1＋cos B2，∴2cos 2A2－1＝cos B ，∴cos A ＝cos B ，又0<A ，B <π，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何计算问题典例 (1)如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.答案562解析 在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin C ＝ACsin B ，则AB ＝AC sin Csin B ＝7×531422＝562.(2)(2018·吉林三校联考)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是______． 答案 (6－2，6＋2)解析 如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练 (1)(2018·安徽六校联考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 ∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ， ∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．答案3解析 因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理，得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝ 3.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．(1)求cos A ―――――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度关系―――――――――→已知a －c ＝66b 利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→ 求sin A ，cos A ――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C及sin B ＝6sin C ， 可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[8分] 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3 B.5π6 C.π6或5π6 D.π6答案 D解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6.3．(2017·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32， ∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a 等于( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2 答案 D 解析 (边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( ) A.14 B.34 C.24D.23答案 B解析 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列， 所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ， 又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.6．(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A，则cos B 等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 由正弦定理知sin B 3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B＝cos π3＝12，故选B.7．(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a＝1，则b ＝________. 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.8．(2018·成都模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为______． 答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π3或2π3. 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________． 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝7π12， ∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3 ＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.10．(2018·长春质检)E ，F 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝________. 答案 34解析 如图，设AB ＝6，则AE ＝EF ＝FB ＝2. 因为△ABC 为等腰直角三角形， 所以AC ＝BC ＝3 2.在△ACE 中，A ＝45°，AE ＝2，AC ＝32，由余弦定理可得CE ＝10. 同理，在△BCF 中可得CF ＝10. 在△CEF 中，由余弦定理得 cos ∠ECF ＝10＋10－42×10×10＝45，所以tan ∠ECF ＝34.11．(2018·珠海模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A.由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.13．(2018·银川模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos A c ＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．4C ．2 3D ．3 3 答案 C解析 ∵a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12， ∴c ＝23，故选C.14．(2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________． 答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.15．在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，则BC ＝________.答案 9解析 如图所示，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，EC . 因为AD 是BC 边上的中线， 所以AE 与BC 互相平分，所以四边形ACEB 是平行四边形，所以BE ＝AC ＝7. 又AB ＝4，AE ＝2AD ＝7， 所以在△ABE 中，由余弦定理得， AE 2＝49＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE ·cos ∠ABE ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠ABE . 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos(π－∠ABE )， ∴49＋BC 2＝2(AB 2＋AC 2)＝2(16＋49)， ∴BC 2＝81，∴BC ＝9.16．(2018·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中， 由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
高考一轮课时训练(理)5.6正、余弦定理及应用 (通用版)
第六节 正、余弦定理及应用 题号 1 2 3 4 5 答案一、选择题1．(德州模拟)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.232．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．8 5 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 23．(成都模拟)设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，则a 2＝b ()b ＋c 是A ＝2B 的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而充分条件D ．既不充分又不必要条件4.如右图所示，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m5．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟二、填空题6．(山东卷)已知a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.7．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 成等差数列，边a 、b 、c 成等比数列，且边b ＝4，则S △ABC ＝________.8．如右图所示，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边取C 、D 两点观察．测得CD ＝ 3 km ，∠ADB ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ACB ＝75°，∠DCB ＝45°，(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，则A 、B 两点间的距离为________．三、解答题9.(银川模拟)如右图所示，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34. (1)求AB 的值； (2)求sin ()2A ＋C 的值．10．(全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos B ＝－513，cos C ＝45. (1)求sin A 的值；(2)设△ABC 的面积S △ABC ＝332，求BC 的长．参考答案1．解析：△ABC 中，a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则b ＝2a ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B2．解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为610 cm 2.答案：B3．解析：设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a 2＝b ()b ＋c ，则sin 2A ＝sin B (sin B ＋sin C )，则1－cos 2A 2＝1－cos 2B 2＋sin B sin C ，∴12(cos 2B －cos 2A )＝sin B sin C ， sin(B ＋A )sin(A －B )＝sin B sin C ，又sin(A ＋B )＝sin C ，∴ sin(A －B )＝sin B ，∴A －B ＝B ，A ＝2B ，若△ABC 中，A ＝2B ，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a 2＝b ()b ＋c ，所以a 2＝b ()b ＋c 是A ＝2B 的充要条件．答案：A4．解析：由条件可得cos(π－4θ)＝(2003)2×2－60022×(2003)2＝－12， ∴sin 4θ＝32，∴山峰的高度为2003×32＝300(m)． 答案：B5．解析：t 小时后，甲乙两船的距离为s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )cos 120°＝28t 2－20t ＋100. ∴当t ＝202×28＝514小时＝514×60分钟＝1507分钟时，甲乙两船的距离最近． 答案：A6．解析：m ⊥n ⇒3cos A －sin A ＝0⇒A ＝π3，由正弦定理得，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ， sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C⇒C ＝π2.∴B ＝π6. 答案：π67．解析：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3，由a 、b 、c 成等比数列，得b 2＝ac ，∴ac ＝16，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝4 3. 答案：4 38．解析：∵∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CDA ＝30°，∴∠DAC ＝30°⇒AC ＝DC ＝ 3.在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°，∴BC ＝DC ·sin 75°sin 60°＝6＋22，在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 75°＝5⇒AB ＝ 5 km. 答案： 59．解析：(1)由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝4＋1－2×2×1×34＝2. 那么，AB ＝ 2.(2)由cos C ＝34，且0<C <π，得sin C ＝1－cos 2C ＝74.由正弦定理，AB sin C ＝BC sin A， 解得sin A ＝BC sin C AB ＝148.所以，cos A ＝528. 由倍角公式sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝5716， 且cos 2A ＝1－2sin 2A ＝916， 故sin ()2A ＋C ＝sin 2A cos C ＋cos 2A sin C ＝378. 10．解析：(1)由cos B ＝－513，得sin B ＝1213， 由cos C ＝45，得sin C ＝35. 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝3365. (2)由S △ABC ＝332得12×AB ×AC ×sin A ＝332， 由(1)知sin A ＝3365，故AB ×AC ＝65， 又AC ＝AB ×sin B sin C ＝2013AB ，故2013AB 2＝65，AB ＝132. 所以BC ＝AB ×sin A sin C ＝112.。
2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题4.6 正余弦定理(讲)(原卷版)
【最新考纲解读】内 容要 求备注A B C解三角形正弦定理、余弦定理及其应用√掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．【考点深度剖析】综合近年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点，经常稳定在解答题中出现，中等难度，故这部分知识应引起充分的重视． 【课前检测训练】 [判一判](1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比。
( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B 。
( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素。
( ) (4)正弦定理对钝角三角形不成立。
( )(5)在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为钝角三角形。
( ) [练一练]1．(2019·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 32．(2019·江西省宜春中学与新余一中高三联考)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，∠A ＝45°，则符合条件的三角形的个数为( ) A ．0B ．2C ．1D ．不确定3．(2019·江西省宜春中学与新余一中高三联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332D ．3 34．若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________。
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 。
已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________。
【题根精选精析】考点1 正弦定理【1-1】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于 .【1-2】在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若角A B C ，，依次成等差数列，且1a =，b =，则ABC S ∆= .【基础知识】正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【思想方法】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则a ＜b sin A b sin A ＜a ＜b【温馨提醒】用正弦定理求出某一个角的正弦值后，在 0到 180之间对应的角有两个，特别注意验证这两个是否满足条件.考点2 余弦定理【2-1】已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是 .【2-2】已知△ABC 的一个内角是120°，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是 .【基础知识】余弦定理：2222cos a b c ab C+-= ，2222cos b c a ac A +-=，2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【思想方法】已知三边(a b c 如、、），由余弦定理任一角.已知两边和夹角(a b C 如、、），由余弦定理求出对对边．【温馨提醒】等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．． 考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用【3-1】在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3边AC 长为 .【3-2】设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C = .【基础知识】【思想方法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．【温馨提醒】正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．【易错问题大揭秘】(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论。
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一、填空题
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．
解析：由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac
，又a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝
32
，又0<B <π，∴B ＝π6
.答案：π62．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为________km.
解析：由余弦定理知，
AC 2＝102＋202－2×10×20cos 120°＝700.
∴AC ＝107km.答案：107
3.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为
20m 、50m ，BD
为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张
角为________．解析：依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又
CD ＝50(m)，
所以在△ACD 中，由余弦定理得
cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010
＝600060002＝22，又0°<∠CAD <180°，
所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.
答案：45°4．锐角△ABC 的三边a ，b ，c 和面积S 满足条件S ＝c 2－(a －b )24k
，又角C 既不是△ABC 的最大角也不是△ABC 的最小角，则实数k 的取值范围是________．
解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴c 2－a 2－b 2＝－2ab cos C ，由S ＝c 2－(a －b )24k
，得4kS ＝c 2－(a －b )2，即4k ·12
·ab sin C ＝c 2－a 2－b 2＋2ab ，∴2kab sin C ＝－2ab cos C ＋2ab ，即k sin C ＝1－cos C ，
∴k ＝1－cos C sin C
，∴k ＝tan C 2，又π4<C <π2，∴2－1<k <1.
答案：(2－1,1)
5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c
，∴cos B ＝a c
，∴a 2＋c 2－b 22ac
＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，
∴△ABC 为直角三角形．
答案：直角三角形
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ＝a ＋c ，则角B 的取值范围是________．
解析：∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2
－(a ＋c )2
42ac ＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac ＝3(a 2＋c 2)8ac
－14≥34－14＝12，即cos B ∈[12，1)，∴B ∈(0，π3
]．答案：(0，π3
]7．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是________．解析：依题意及面积公式S ＝12
bc sin A ，得103＝12
bc sin 60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，。