高一数学用二分法求方程的近似解.doc

用二分法求方程的近似解【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．3．使学生进一步理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，能灵活地使用二分法求某些方程的近似解4．通过本节内容的学习，进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化分类讨论等意识．【学习指导】1．我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了．本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法．2．用二分法求函数f(x)零点的步骤是：第一步：确定区间[a，b]，并验证f(a)·f(b)＜0，同时给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点x1；第三步：计算f(x1)；（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；（2）若f(a)·f(x1)＜0，则令b=x1（此时零点x0∈(a，x1)）；（3）若f(a)·f(x1)＞0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1，b)）．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|＜ε，则得到零点近似值a或b；否则重复第二步~第四步．本节是通过一些例题的分析与解决进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化等意识，以提高学生的数学涵养．难点是有些题目的计算比较烦，一定要让学生耐心去算．【例题精析】例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05．【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求．【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间：通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点．令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)．令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)．令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)．令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)．由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05，此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336．【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．)例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序．【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标；（2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）；（3）计算f （221x x ＋）的值，若f （221x x ＋）＜0，则第二个解区间为（221x x ＋，x 2）；若f （221x x ＋）＞0，则第二个解区间为（x 1，221x x ＋）；若f （221x x ＋）＝0，则近似解为x ＝221x x ＋； （4）重复第（3）步的操作，直至给出的解区间（x i ，y i ）满足精确度要求为止；（5）写出原方程的近似解．【评注】利用二分法求方程的实数解的过程亦可以用下图表示．0.1）． 【解法】分别画出函数x y lg =和318x y -=的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程18lg 3=+x x 的解，由图象可以发现，方程18lg 3=+x x 有唯一解，并且这个解在区间（2，3）内,记为0x设 x x x f lg 18)(3--=，用计算器计算，得f (2)>0 , f (3)<0 则 )3,2(0∈xf (2.5)>0 , f (2.75)<0 则 )75.2,52(0．∈xf (2. 5)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,52(0．∈xf (2. 5625)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,56252(0．∈x因为2．5625与2．625精确到0．1的近似值的为2．6，所以原方程的近似解为6.20=x ．【评注】由本题进一步熟悉用二分法求方程的近似解．例4．求方程x 3－9x 2－11x ＋10＝0的一个实数解，精确到0.01．【分析】二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是比较长的，有些计算不用工具甚至无法实施，这就需要借助于科学计算器．【解法】经检验，f(0)＝10＞0，f (1)＝－9＜0，所以函数f (x)＝x 3－9x 2－11x ＋10在［0，1］内有解．如上下去，得到方程x 3－9x 2－11x ＋10＝0实数解所在区间的下表．至此，可以看出，区间［0.6171876 0.62109375］内的所有值，若精确到0.01，都是0.62，所以0.62是方程x 3－9x 2－11x ＋10＝0精确以0.01的实数解．【评注】选好初定区间是使用二分法求近似解的前提条件， 而耐心的计算又是最终解决问题的关键，培养学生的运算能力是老师非常重要的任务．例5．已知函数f (x )＝a x ＋-21x x +（a ＞1） ⑴证明：f (x )在（－1，＋∞）上增函数；⑵证明：f (x )＝0没有负数根；⑶若a ＝3，求方程f (x )＝0的根（精确到0.1）【分析】二分法是一种重要的计算方法，在求方程的根、函数的零点以及现实生活中却有十分重要的应用，也是高考的热点内容．【解法】（1）f (x )＝a x ＋-21x x +（a ＞1） ∵函数y ＝a x （a ＞1），y ＝1－31x +在（－1，＋∞）均为增函数， ∴f (x )＝a x ＋1－31x +（a ＞1）在（－1，＋∞）为增函数． ∴f (x )在（－1，＋∞）上为增函数．⑵当x ∈（－∞，－1）时，31x +恒小于0． 故当x ∈（－∞，－1）时，f (x )恒大于零．∴f (x )＝0在（－∞，－1）上没有实根．当x ∈（－1，0）时，∵f (x )在（－1，0］上为增函数，计算f (0)＝－1＜0故对任意x ∈（－1，0］均有f (x)＜0 , ∴方程f (x )＝0没有负数根．⑶若a ＝3，则f (x )＝3x ＋-21x x + 计算f (0)＝－1＜0，f (1)＝2.5＞0根据解的存在性定理可知f (x )＝0在（0,1）上有实根．利用二分法即可求得它的一个根为0．3【评注】本题欲证函数的单调性常有两种方法，一是定义法，二是利用复合函数单调性，对于本题而言，利用复合函数单调性来说明显得简单．对于方程的根的探讨常常借助于解的存在性定理来判别．例6．已知关于x 的方程02=++c bx ax ，其中0632=++c b a ．⑴ 当a=0时，求方程的根；⑵ 当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间．【分析】可以利用解的存在性定理来进行证明．【解法】⑴ 0=a 时，063=+c b ，∴ c b 2-=，方程为 0=+c bx ∴ b c x -= 从而可得 21=x ． ⑵ 0>a 时，03)23(94434944)232(4222222>+-=+-=-+=-=∆c c a c ac a ac c a ac b 方程02=++c bx ax 有两个根．① 0<c 时，c b a f c f ++=<=)1(,0)0(，由0632=++c b a 得c ab 232--=，∴ 031232)1(>-=+--=c a c c a a f . ∴ 0)1()0(<∙f f ，故 0)(=x f 有一根在（0，1）内．② 0>c 时，c b a f ++=2141)21( ，∵ c a b 232--=， ∴ c a c c a a f --=+--=12523241)21(， ∵ 0>a ，0>c ∴ 0)21(<f ， ∴ 0)21()0(<∙f f ，故 0)(=x f 有一根在（0，21）内． 由 ①，② 可知 02=++c bx ax 有一根在（0，1）内．【评注】分类讨论是高中数学里一十分重要的思想方法，本题中由于无法确定c 的符号，故必须对c 进行讨论，并且当0>c 时是证明了0)21()0(<∙f f ，而不是证明0)1()0(<∙f f ，这一点要予以注意．【本课练习】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2．方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是A ．B ．C ．D ． （ ）4．函数f (x )=5-x 2的负数零点的近似值(精确到0.1)是（） A ．-2.1 B ．-0.2 C ．-2.2 D ．-2.35．求方程2x +x =4的近似解(精确到0.1)（）6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(． ⑴ 若a>b>c 且f(1)=0 ，证明：f(x)的图象与x 轴相交．⑵ 证明：若对R x x ∈21,且)()(,2121x f x f x x ≠<，则方程2)()()(21x f x f x f +=必有一实根在区间),(21x x 内． 7．证明方程x 4－4x －2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．并求出其中一较大的根 的近似值(精确到0.1)．8．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10km 长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？附答案：1． D （提示：函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点,而函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上与横轴的交点的横坐标为-2，故它有有一个零点，且为不变号零点．）2．B （提示：根据解的存在性定理进行判别．）3．B （提示：其余选项均可以根据解的存在性定理进行判别．）4．A （提示：用二分法） 5．1.4（提示：参考书本）6．⑴ ∵ f(1)=a+b+c=0 且a>b>c ∴ a>0且c<0 ∴ 042>-=∆ac b ∴ f(x)的图象与x 轴相交．⑵ 设2)()()()(21x f x f x f x g +-= 则g(x)为二次函数， ∴ 0))()((41)()(22121<--=x f x f x g x g ，∴ g(x)=0有一实根在区间),(21x x 内．从而命题得证．7． 证明：设f (x )＝x 4－4x －2∵f (－1)＝3＞0， f (0)＝－2＜0， f (2)＝6＞0∴f (x )在(－1，0)内至少有一个实根．f (x )在(0，2)内至少有一个实根．x=1.7∴f (x )在[－1，2]内至少有两个实根．8．可利用二分法的原理进行查找， A C E D B如图，设闸门和指挥部所在处点为A 、B ，他首先从中点C 查，用随身带的话机向闸门、待查指挥部两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 中点D ，发现BD 正常，. . . . .可见故障在CD段，再到CD中点E来看，这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50—100m左右，即在一两根电线杆附近．【教学建议】本节习题里出现了根的分布问题，故教学中在前面研究了根的分布问题的基础上进一步讨论了和根的分布有关的问题，另外在教学中要注意对学生的运算能力的培养和训练．。