三角函数 空间向量
总结几何的知识点高中
总结几何的知识点高中一、平面几何1. 一次函数直线及方程、直线与圆之间的位置关系。
2. 二次函数抛物线、椭圆、双曲线、双曲函数等图形及其性质、方程解法及绘图。
3. 三角函数基本概念、三角函数的图像和性质、基本三角函数的运算及其应用。
4. 平面向量平面向量的基本概念、平面向量的基本运算、平面向量的数量积和应用。
5. 数列数列的基本概念、等差数列、等比数列、数列的通项公式、数列的和及应用。
6. 统计统计的基本概念、频数分布表、频数分布直方图、频数分布折线图、频数分布的平均数、中位数、众数、范围等。
7. 概率概率的基本概念、概率的性质、事件的概率、互斥事件、对立事件、相关事件、独立事件等。
8. 空间几何直线与平面的位置关系、空间中平行线的判定、空间中垂直平面的判断。
二、立体几何1. 空间图形立体图形的基本概念、长方体、正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱台、棱锥等图形的性质和计算。
2. 空间坐标空间直角坐标系与三维坐标系、点在空间中的坐标、直线和平面的方程。
3. 空间向量空间向量的基本概念、空间向量的基本运算、数量积和向量积及其应用。
4. 空间中的位置关系点与直线的位置关系、点与平面的位置关系、直线与平面的位置关系。
5. 空间中的运动关系空间中向量的平移、旋转、镜像、推移等空间运动。
以上是高中几何知识点的总结，学生们在学习几何时，要注重掌握每一个知识点的基本概念和性质，同时要注重运用数学知识解决实际问题。
几何不仅是一门美妙的学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
通过系统的学习和不断的练习，相信学生们一定能够轻松掌握高中几何知识，提高自己的数学水平。
如何应用三角函数解决空间几何问题
如何应用三角函数解决空间几何问题在数学中，三角函数是一个重要的概念，它们是一组用于描述角和三角形关系的函数。
三角函数被广泛应用于几何、物理、工程、技术等领域中。
在本文中，我们将会探讨如何应用三角函数来解决空间几何问题。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义如下：正弦函数sin θ = 对边÷斜边余弦函数cos θ = 邻边÷斜边正切函数tan θ = 对边÷邻边其中，θ代表角度，对边、邻边、斜边分别代表角的对边、邻边和三角形的斜边。
二、应用三角函数解决空间几何问题1.空间直角坐标系中的点的坐标假设在空间直角坐标系中，有一点P(x,y,z)。
如果已知点P到坐标轴的距离及与坐标轴正方向的夹角，我们可以使用三角函数来求解点P 的坐标。
以P到x轴的距离及与x轴正方向的夹角α为例，可以得出以下公式：x=cosα * D其中，D代表P到x轴的距离。
同理，可以得到以下公式：y=sinαcosβ * Dz=sinαsinβ * D其中，β代表P到y轴的夹角。
2.空间向量的垂直投影当我们需要求解空间向量a在另一个向量b上的垂直投影时，可以采用以下公式：a∙b/|b|^2 * b其中，∙代表点积，|b|代表向量b的模长。
3.三角形的面积当我们需要求解三维空间中三角形的面积时，可以采用以下公式：S=1/2 * |AB∙AC|其中，AB、AC代表三角形两个向量，∙代表点积。
4.直线与平面的交点当我们需要求解直线与平面的交点时，可以采用以下公式：设经过点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)的直线与平面ax+by+cz+d=0相交，交点为P(x,y,z)，则有：t=(−ax1−by1−cz1−d)/(a(x2−x1)+b(y2−y1)+c(z2−z1))x=x1+t(x2−x1)y=y1+t(y2−y1)z=z1+t(z2−z1)其中，t代表交点P在直线AB上的比率。
向量,三角函数公示
倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2) sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2) cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2) tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—2 2 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝－ -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）平面向量的概念在平面内具有大小和方向的量叫做和向量运算性质实数与向量的积运算律平面向量基本定量?向量平行向量垂直定比分点公式空间向量的概念在空间内具有大小和方向的量叫做和向量共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理两个向量的数量积 空间向量的数量积的性质 空间向量的坐标运算 两向量的夹角定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设=1，OP =2，若21PP P λ=，则b a OP λλλ+++=111。
数学高一上所有知识点归纳
数学高一上所有知识点归纳高一上学期是数学学习的起点，学生们需要掌握并熟练运用一系列的数学知识点。
下面将对数学高一上所有知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地复习和巩固这些知识。
一、函数与方程1. 函数与函数的表示函数的概念、函数的图像、函数的性质、函数的表示方法等。
2. 一次函数与二次函数一次函数的性质、一次函数的图像、一次函数的应用等。
二次函数的性质、二次函数的图像、二次函数的应用等。
3. 指数与对数指数与对数的概念、指数与对数的运算性质、指数函数与对数函数等。
4. 不等式不等式的基本性质、一元一次不等式、一元二次不等式等。
二、平面向量与解析几何1. 平面向量平面向量的概念、平面向量的运算、平面向量的线性运算等。
2. 直线与圆的方程直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系等。
3. 空间向量与空间解析几何空间向量的概念、空间向量的运算、空间向量的线性运算等。
空间解析几何的基本概念、直线与平面的位置关系、点与平面的位置关系等。
三、三角函数与三角恒等变换1. 三角函数与图像正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、性质、图像等。
三角函数的周期性、奇偶性、单调性等。
2. 三角函数的基本关系与恒等变换三角函数的基本关系、同角三角函数值的关系、三角函数的恒等变换等。
四、数列与数列极限1. 数列与数列的概念数列的概念、数列的表示、等差数列、等差数列的性质、等比数列、等比数列的性质等。
2. 数列极限与无穷数列数列极限的概念、数列极限的性质、无穷数列的性质、等差数列的求和等。
五、复数与二次方程1. 复数复数的概念、复数的表示、复数的运算、共轭复数等。
2. 二次方程二次方程的定义、二次方程的解的情况、二次方程根与系数的关系等。
六、概率与统计1. 概率与概率实验概率的基本概念、概率的计算、概率实验与事件等。
2. 统计与统计参数统计的基本概念、统计参数的计算、频数分布表与频数分布图等。
以上是数学高一上所有知识点的归纳总结。
2024年高考数学三角函数空间向量历年真题详解
2024年高考数学三角函数空间向量历年真题详解为了帮助广大高中生备战2024年高考数学考试，本文将详细解析数学科目中的三角函数和空间向量部分的历年真题。
通过对每道题目的解析和详细讲解，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分知识点，并提供备考的指导。
1. 试题一第一道题目涉及三角函数的求解，题目如下：已知三角函数$\sin\theta = \frac{1}{2}$，求$\cos\theta$的值。
解析：根据已知信息，我们可以利用三角函数的定义来求解。
由于$\sin\theta = \frac{1}{2}$，我们可以根据单位圆上的特点得出$\sin$对应的坐标为$\left(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$。
根据单位圆上的关系，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 试题二第二道题目涉及空间向量的投影问题，题目如下：已知向量$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$，向量$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$，求向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。
解析：首先，我们需要计算向量$\overrightarrow{AC}$的模长。
根据向量的定义，$\overrightarrow{AC}$的模长为$\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$。
接下来，我们需要计算向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。
三角函数和向量的转换
三角函数和向量的转换标题：三角函数与向量的魔幻舞蹈在数学的世界里，三角函数和向量就像是一对默契的舞伴，它们相互配合，共同演绎着一场奇幻的舞蹈。
让我们跟随这对舞伴的脚步，一起探索它们的魅力。
第一幕：三角函数的旋律舞台上，一束灯光照亮了一个圆形舞池。
在这个舞池上，三角函数开始了他们的独特演绎。
正弦函数优雅地起舞，它的曲线如同一条优美的弧线，起伏着，充满了神秘感。
而余弦函数则以稳定的步伐跳着，它的曲线如同一条高低起伏的山脉，给人以安定和平和的感觉。
而正切函数则以其独特的舞姿，交织着曲线和渐近线，展现出无尽的变化和灵活性。
第二幕：向量的翩跹舞步在舞台的另一侧，向量也开始了他们的翩跹舞步。
向量的舞姿如同一支灵动的笔触，在舞池上划出了一幅美丽的图景。
位移向量像一只自由飞翔的鸟儿，轻盈地在舞池上跳跃，带给观众无限的遐想。
速度向量则像一股激流，迅猛地穿越舞池，将观众带入了瞬息万变的世界。
而加速度向量则像一阵微风，时而轻柔，时而狂暴，给人以意想不到的惊喜。
第三幕：三角函数与向量的完美融合在第三幕中，舞池上的三角函数和向量开始了一场完美的融合。
正弦函数与位移向量相互呼应，展现出一种和谐的节奏感。
余弦函数和速度向量相互交织，勾勒出一个无限延伸的空间。
而正切函数和加速度向量则相互对应，展示出一种变幻莫测的力量。
整个舞蹈以一曲动人的音乐结束，观众们沉浸在舞蹈的美妙中，仿佛置身于一个魔幻的世界。
三角函数和向量的舞蹈不仅展示了数学的美妙，更让人们感受到了数学的魔力。
在这个舞台上，数学不再是一堆枯燥的公式和计算，而是一种充满情感和生命力的艺术。
三角函数和向量的舞蹈让我们看到了数学的魅力，也让我们对数学充满了无限的向往。
让我们一起沉浸在这场魔幻舞蹈中，感受数学的魅力，享受这场数学的盛宴。
让我们用心去感受，用眼去观察，用思维去思考，让数学的世界在我们手中绽放出更加绚丽的色彩。
这是一场属于数学的独特舞蹈，也是一场属于我们的心灵盛宴。
专题三角函数与向量(学生版).docx
专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略主要考点如下：1.考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2.考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(cox+(p)的性质和图像及其图像变换.3.考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4.考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5.考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6.考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.题型一解斜三角形与向量的综合【例1】已知角A、B、C为^ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c,京=(—cos成，sin*^"), / = (cos*^", sin*^"), a = 2^3? J E L= 2^*(I )若ZiABC的面积S=,,求b + c的值.(II )求b+c的取值范围.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例2】已知A、B、C为三个锐角，且A+B +C=TI.若向量8 = (2sinA — 2, cosA + sinA)与向量2 =C — 3B(cosA—sinA, 1+sinA)是共线向量.(I )求角A； (II )求函数y=2sin2B+cos—-—的最大值.题型三三角函数与平面向量垂直的综合【例3】已知向量甘= (3sina,cosa), 3 = (2sina, 5sina—4cosa), aG(宇,2n),且甘_L言.Ct jr(I )求tana 的值； (II)求cos(y+~)的值.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质ltl2=t2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：(1)先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；(2)先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例4】已知向量盲= (cosa,sina),言= (cosB,sir)B), |2 —言|=|>姑.TT TT 5(I )求cos(a—P)的值；(II )^—^<P<O<a<p 且sinP = ——,求sina 的值.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；⑵利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】1.设函数f(x) = 4.含.其中向量冷= (m, cosx),言= (l+sinx, 1), x《R,且f(亨) = 2.(I )求实数m的值；(II)求函数f(x)的最小值.(3)求f(x)的对称中心和对称轴2.(山东)已知向量扁= (smx,l)〃(品cosx*s2W>0),函数/'(x) = M的最大值为6.JT(I)求刀；(II)将函数y = /(x)的图象向左平移g个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的5倍，纵坐标不变，得到函数V = g(x)的图象.(1)求g(x)在［0,芸］上的值域.(2)五点法做出g(x)在一个周期上的图像。
空间向量的四心公式
空间向量的四心公式空间向量的四心公式是空间解析几何中的一个重要定理，它描述了一个三角形的四个特殊点。
在本文中，我们将介绍四心公式的定义、性质和应用。
让我们来看一下四心公式的定义。
对于一个三角形ABC，它的四心分别是外心O、垂心H、重心G和内心I。
外心是三角形外接圆的圆心，垂心是三角形三条高的交点，重心是三角形三条中线的交点，内心是三角形内切圆的圆心。
四心公式给出了这四个点的坐标关系。
接下来，我们来看一下四心公式的性质。
首先，外心O是三角形三个顶点的中垂线的交点，即OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB。
其次，垂心H是三角形三个顶点的垂线的交点，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。
再次，重心G是三角形三个顶点的中线的交点，即AG=2GM，BG=2GN，CG=2GL，其中M、N、L分别是BC、AC、AB的中点。
最后，内心I是三角形三条边的角平分线的交点，即∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠BCI=∠ACI。
四心公式的应用非常广泛。
首先，它可以用于计算三角形的各种特征，如面积、周长、角度等。
例如，可以利用四心公式计算三角形的外接圆半径、内切圆半径和面积。
其次，四心公式还可以用于解决一些几何问题，如判断三角形的类型（锐角、直角、钝角）、判断四点是否共面等。
此外，四心公式还有一些拓展应用，如用于求解平面内的最小包围圆、最小包围球等。
在实际应用中，四心公式还可以与其他数学知识相结合，解决更复杂的问题。
例如，可以利用向量运算和线性代数的知识，推导出四心公式的几何解释和向量形式。
同时，四心公式也可以与三角函数、三角恒等式等知识相结合，推导出更深入的结论和定理。
空间向量的四心公式是空间解析几何中的一个重要定理，它描述了一个三角形的四个特殊点。
四心公式具有一些重要的性质和应用，可以用于计算三角形的各种特征和解决几何问题。
在实际应用中，四心公式还可以与其他数学知识相结合，解决更复杂的问题。
因此，掌握四心公式对于深入理解和应用空间解析几何非常重要。
山东省高中数学知识点总结
山东省高中数学知识点总结一、函数与导数1. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的表达方式、函数的奇偶性、单调性、周期性、最值问题。
2. 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的性质与图像。
3. 函数的运算：函数的四则运算、复合函数、反函数、参数方程与极坐标方程。
4. 导数与微分：导数的定义、求导法则、隐函数与参数方程求导、高阶导数、微分的概念与应用。
5. 导数的应用：利用导数研究函数的单调性、极值与最值、曲线的切线与法线、洛必达法则、泰勒公式。
二、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本概念：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义与性质。
2. 三角函数的图像与性质：周期性、奇偶性、单调性、最值问题。
3. 三角恒等变换：基本恒等式、和差公式、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差。
4. 解三角形：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角形的解法。
5. 三角函数的应用：解决实际问题、三角方程的解法。
三、数列与数学归纳法1. 数列的概念与表示：数列的定义、通项公式、递推关系。
2. 等差数列与等比数列：定义、通项公式、求和公式、性质。
3. 数列的极限：数列极限的概念、性质、极限存在的条件。
4. 数学归纳法：数学归纳法的原理、证明方法、应用。
5. 无穷数列：无穷等比数列、级数的概念与收敛性。
四、平面向量与解析几何1. 向量的基本概念：向量的定义、向量的加法、数乘、数量积。
2. 向量的几何运算：向量的线性运算、向量的数量积、向量的叉积。
3. 向量在几何中的应用：平面向量的坐标表示、向量的投影、向量方程的几何意义。
4. 圆的方程：圆的标准方程、一般方程、参数方程。
5. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质。
五、立体几何1. 空间几何体：多面体、旋转体的结构特征、表面积与体积公式。
2. 空间直线与平面：直线与平面的位置关系、直线与平面的方程。
3. 空间向量：空间向量的基本概念、空间向量的运算、空间向量的应用。
高中数学三角函数与向量
高中数学三角函数与向量在高中数学中，三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。
三角函数研究角的大小和周边长度的关系，而向量则研究物体在平面或空间中的位移和运动。
一、三角函数三角函数是描述角度大小和长度关系的数学函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们以角A为例来介绍这些函数。
1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与x轴正半轴之间的线段比值。
可以表示为sin(A)。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与单位圆的半径之间的比值。
可以表示为cos(A)。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指在单位圆上，以角A的终边与x轴正半轴之间的弦与角A的终边在x轴正半轴法线上的投影之间的比值。
可以表示为tan(A)。
二、向量向量是具有大小和方向的物理量。
在高中数学中，我们主要研究平面向量和空间向量。
1. 平面向量：平面向量由大小和方向确定。
我们可以用有向线段或坐标表示平面向量。
常见的运算有向量的加法、数乘和点乘。
2. 空间向量：空间向量也由大小和方向确定，但相比于平面向量，空间向量多了一个维度。
我们可以用有向线段或坐标表示空间向量。
空间向量的运算与平面向量类似，只是多了一个维度的考虑。
三、三角函数与向量的应用三角函数与向量在实际问题中有广泛的应用。
1. 几何问题：三角函数与向量可以用来解决几何问题，如平面上的三角形面积、角平分线等；空间中的直线及平面的交角，立体图形的体积等。
2. 物理问题：三角函数与向量在物理学中具有重要的应用，如力学中的合力分解、运动学中的速度和加速度等。
3. 工程问题：三角函数与向量也广泛应用于工程领域，如电路中的电流和电压，机械工程中的力和力矩等。
总结：高中数学中的三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。
高考数学8大模块考试答题思路与模版
高考数学8大模块考试答题思路与模版1500字高考数学考试通常涉及的8大模块包括：函数、数列与数学归纳法、平面向量与空间向量、三角函数、立体几何、解析几何、数与代数、概率与统计。
对于每个模块，以下是相应的答题思路与模板。
1. 函数：答题思路：(1) 确定函数的定义域和值域；(2) 判断函数的奇偶性、周期性等特性；(3) 分析函数的图像特点，包括单调性、极值、拐点、渐近线等；(4) 运用函数的性质解题，如函数的合成、反函数、复合函数等；(5) 注意解题中需要使用函数的定理和公式。
模版：(1) 函数的定义域为：[ ], 值域为：[ ]；(2) 函数为 [ ] 函数，具有 [ ] 特性；(3) 函数的图像 [ ] ，单调递增/递减，存在极值点 [ ];(4) [ ] 是 [ ] 的反函数， [ ] 是 [ ] 的一个零点；(5) 根据函数的性质，得出 [ ] 结果。
2. 数列与数学归纳法：答题思路：(1) 确定数列的通项公式或递推关系；(2) 运用数列的性质解题，如和的计算、前n项和的公式、等差/等比数列的性质等；(3) 运用数学归纳法进行证明。
模版：(1) 数列的通项公式为：[ ]，递推关系为：[ ]；(2) 数列的和为：[ ]，前n项和的公式为：[ ]；(3) 数列满足数学归纳法的条件，使用数学归纳法可证明 [ ]。
3. 平面向量与空间向量：答题思路：(1) 运用向量的基本运算，如向量的加减、数量积、向量积等；(2) 运用向量的坐标表示和向量的模、方向等性质；(3) 解决几何问题时，注意运用向量的共线性、垂直性等条件；(4) 注意解题中需要使用向量的定理和公式。
模版：(1) 向量的坐标分别为：[ ]，向量的模为 [ ]；(2) 向量的数量积为：[ ]，向量的夹角为：[ ]；(3) 由向量的共线性可得 [ ] 结论；(4) 由向量的垂直性可得 [ ] 结论；(5) 根据向量的性质，得出 [ ] 结果。
解析几何学知识点总结高中
解析几何学知识点总结高中几何学是数学的一个分支，主要研究空间和图形的性质以及它们之间的关系。
在高中阶段，几何学是数学教学的重要一部分，学生需要掌握一系列的几何学知识点。
本文将对高中几何学知识点进行总结和解析，以帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。
一、平面几何1.点、线、面平面几何的基础是点、线、面的概念。
在高中阶段，学生需要理解点、线、面的定义以及它们之间的关系。
在学习点、线、面的基础上，学生需要掌握一些常见的几何图形，如圆、三角形、四边形等，以及它们之间的性质和关系。
2.角角是平面几何中一个重要的概念。
学生需要理解角的定义，掌握角的度量方法，以及角的性质和关系。
此外，学生还需要学习一些常见的角，如直角、锐角、钝角等，以及它们之间的关系。
3.三角形三角形是平面几何中一个重要的图形。
在学习三角形时，学生需要了解三角形的定义，掌握三角形的性质和判定方法，以及一些常见的三角形，如等边三角形、等腰三角形等，以及它们之间的关系。
4.四边形四边形也是平面几何中一个重要的图形。
在学习四边形时，学生需要了解四边形的定义，掌握四边形的性质和判定方法，以及一些常见的四边形，如矩形、菱形、平行四边形等，以及它们之间的关系。
5.相似与全等相似与全等是平面几何中两个重要的概念。
学生需要理解相似与全等的定义，掌握相似与全等的性质和判定方法，以及它们在解决几何问题中的应用。
6.圆圆是平面几何中一个重要的图形。
在学习圆时，学生需要了解圆的定义，掌握圆的性质和判定方法，以及圆与其他几何图形的关系。
7.三角函数三角函数是平面几何中一个重要的概念。
学生需要了解三角函数的定义，掌握三角函数的性质和应用，以及三角函数在解决几何问题中的应用。
二、空间几何1.空间图形在学习空间几何时，学生需要掌握一些常见的空间图形，如球体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等，以及它们的性质和关系。
2.立体几何立体几何是空间几何中一个重要的内容。
学生在学习立体几何时，需要掌握立体几何图形的投影、截面、三视图等内容，以及在解决立体几何问题时的方法和技巧。
高二上册文科数学知识点
高二上册文科数学知识点一、线性方程组线性方程组是高二文科数学中的重要内容。
在解线性方程组时，可以通过消元法、代入法、等价方程法等方法来求解。
要注意灵活运用这些方法，根据具体问题选择最适合的解法。
二、函数与导数函数与导数是高二上册文科数学中的另一个重点。
在学习函数的性质和图像时，需要掌握函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等概念。
在求导数时，要熟练掌握基本函数的导数公式，并能够利用导数求函数的单调性、极值等性质。
三、概率与统计概率与统计是高二上册文科数学中的一部分内容。
学习概率与统计时，需要理解随机事件、样本空间、事件的概率等基本概念。
同时也要学会计算事件的概率，并能够应用概率知识解决实际问题。
在统计学习中，要熟悉常见的统计指标，如均值、中位数、众数等，并能够进行数据的整理和分析。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高二文科数学的重要知识点。
学习数列时，要熟悉等差数列、等比数列等常见数列的性质，并能够求解数列的通项公式和前n项和。
在应用数学归纳法证明数学命题时，要注意证明思路的清晰和逻辑的严谨。
五、平面几何与向量平面几何与向量是高二上册文科数学中的难点之一。
在学习平面几何时，要熟练掌握各种几何定理和性质，并能够灵活运用到解题中。
在学习向量时，要了解向量的基本性质和运算规则，并能够用向量解决几何问题。
六、函数与三角函数函数与三角函数是高二上册文科数学中的重要内容。
函数部分要掌握函数的性质、图像和变换等知识，同时要能够解决函数方程和函数不等式。
在学习三角函数时，要熟悉基本三角函数的定义和性质，并能够应用到解决实际问题中。
七、立体几何与空间向量立体几何与空间向量是高二上册文科数学中的难点之一。
学习立体几何时，需要掌握各种立体几何图形的性质和定理，能够运用立体几何知识解决实际问题。
在学习空间向量时，要理解向量的定位和运算规则，并能够应用到解决空间几何问题中。
总之，高二上册文科数学的知识点繁多，需要有良好的数学基础和扎实的学习方法。
高考数学 空间向量知识点
高考数学空间向量知识点高考数学是每个高中生都要面对的一项重要考试。
而在高考数学中，空间向量是一个重要的知识点。
掌握空间向量的概念和应用，不仅有助于解题，还可以拓宽数学思维的广度和深度。
首先，我们来了解一下什么是空间向量。
空间向量是指具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
在三维空间中，我们可以用一个无关点与某一定向线段连接起来，形成一个有向线段，即空间向量。
空间向量有三个重要的性质：大小、方向和平行。
在高考数学中，空间向量常常与平面几何和解析几何等知识点相结合，形成一道综合性题目。
例如，求两条直线是否相交，可以利用空间向量的平行条件来判断。
若两条直线所对应的向量平行，那么两条直线必相交于一点；反之，若两条直线所对应的向量不平行，那么两条直线不相交。
除了判断相交，空间向量还可以用于求解直线的垂直关系。
若两条直线所对应的向量垂直，那么两条直线互相垂直；反之，若两条直线所对应的向量不垂直，那么两条直线不垂直。
在解题过程中，我们还可以利用向量的线性运算来简化计算。
向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
通过将向量加法和数乘运算引入解题过程，我们可以更加方便地推导出最终的结果。
此外，空间向量还与三角函数密切相关。
在空间向量中，我们可以通过向量的坐标来求解向量的大小和方向。
而求解向量的坐标，需要借助于三角函数的相关知识。
通过将空间向量与三角函数相结合，我们可以更加准确地描述向量在空间中的位置和方向。
掌握了空间向量的知识点，我们不仅可以在高考数学中得心应手，更能够用向量的思维方式去解决生活中的实际问题。
向量思维方式强调整体观念，能够帮助我们看清问题的全貌，从而找到解决问题的途径。
总之，空间向量是高考数学中的重要知识点。
通过学习和掌握空间向量的概念和运算规则，我们能够更好地理解和应用空间向量的性质，提高解题的效率。
同时，向量思维方式也有助于我们培养整体观念和拓宽数学思维的广度和深度。
因此，在备战高考数学时，我们务必要重视空间向量的学习和理解，为自己的数学成绩增添亮点。
三角函数与向量的应用
三角函数与向量的应用在数学中，三角函数和向量是两个重要的概念。
它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数和向量的应用，并分别列举一些实际场景中的例子来说明它们的作用。
一、三角函数的应用1. 几何学中的角度测量：三角函数广泛应用于几何学中的角度测量。
我们可以使用正弦、余弦和正切函数来计算三角形中的角度。
2. 物理学中的振动和波动：三角函数在物理学中的振动和波动研究中起着重要的作用。
例如，傅里叶级数可以表示任意周期函数，而傅里叶变换可以将信号从时域转换为频域。
3. 工程学中的三维计算：在工程学中，三角函数可以用来计算转动和旋转的角度。
它们在现代计算机图形学中的应用尤为突出，可以实现逼真的三维模型和动画效果。
4. 统计学中的回归分析：在统计学中，三角函数被广泛应用于回归分析。
通过拟合三角函数的曲线，可以对观测数据进行趋势分析和预测。
二、向量的应用1. 物理学中的力学和静力学：向量在物理学中的力学和静力学研究中扮演着重要的角色。
例如，力可以表示为一个有方向和大小的向量，通过向量的合成和分解可以计算力的合成和平衡条件。
2. 计算机图形学中的矢量图形：在计算机图形学中，矢量图形使用向量的形式来描述和存储图像。
向量的性质使得图像可以无损地缩放和旋转。
3. 统计学中的因子分析：在统计学中，向量用于因子分析。
通过将多个变量表示为向量，可以将复杂的数据关系简化为向量空间中的几何关系。
4. 经济学中的资源分配：向量在经济学中的资源分配模型中得到应用。
通过定义资源向量和约束条件，可以求解最优的资源配置方案。
总结：三角函数和向量在数学、物理学、工程学、统计学等领域中都具有广泛的应用。
在几何学中，三角函数用于角度测量和三角形计算；在物理学中，三角函数用于振动和波动的分析；在工程学中，三角函数用于计算旋转角度和创建三维模型；同时，向量在力学、计算机图形学、统计学和经济学等领域发挥着重要作用。
它们的应用促进了各个领域的发展和研究，为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具和方法。
空间向量的模长与方向角计算
空间向量的模长与方向角计算空间向量是指具有大小和方向的矢量，可以用于描述物体在空间中的位置和运动。
在研究空间向量时，我们经常需要计算其模长和方向角，以便更好地理解和分析问题。
本文将介绍如何计算空间向量的模长和方向角，并提供相关例子进行说明。
一、空间向量的模长计算空间向量的模长是指该向量的长度，用于表示物体的大小或场的强度。
计算空间向量的模长一般遵循以下步骤：Step 1：确定空间向量的坐标表示首先，我们需要将空间向量表示为坐标形式，即确定向量在三个坐标轴上的分量。
一般来说，空间向量可以表示为三元数组(x, y, z)，其中x、y、z分别是向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
Step 2：应用勾股定理计算模长根据勾股定理，我们可以通过向量的坐标分量计算向量的模长，公式如下：⏐V⏐⏐=√(x^2+y^2+z^2)其中，⏐V⏐⏐表示向量的模长，x、y、z分别为向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、空间向量的方向角计算空间向量的方向角用于表示该向量与坐标轴的夹角。
计算空间向量的方向角一般可以按照以下步骤进行：Step 1：确定空间向量的坐标表示同样，首先需要将空间向量表示为坐标形式，即确定向量在三个坐标轴上的分量。
Step 2：计算向量与坐标轴的夹角根据向量和坐标轴的夹角定义，我们可以使用三角函数来计算向量与坐标轴的夹角。
以向量V和x轴为例，夹角θ的计算公式如下：θ=arccos(Vx/⏐V⏐⏐)其中，Vx为向量V在x轴上的分量，⏐V⏐⏐表示向量V的模长。
Step 3：通过轴对称性计算其他方向角一旦确定了向量与x轴的夹角θ，可以利用坐标系的轴对称性质来计算其与y轴和z轴的夹角。
一般来说，x轴与y轴之间的夹角为90度，与z轴之间的夹角也为90度。
三、示例分析为了更好地理解和应用上述计算方法，下面以一个具体的示例进行分析。
设有一个空间向量V(-3, 4, 5)，我们可以计算其模长和方向角。
Step 1：确定向量的坐标表示向量V的坐标表示为V(-3, 4, 5)。
高中数学三角函数常用公式(大全)
高中数学三角函数常用公式(大全)高中数学三角函数常用公式倍角公式Sin2A=2SinA·CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sin α降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)三角函数常用公式正弦函数 sinθ=y/r余弦函数 cosθ=x/r正切函数 tanθ=y/x余切函数 cotθ=x/y正割函数 secθ=r/x余割函数 cscθ=r/y三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cos β·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cos β·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tan β-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦。
数学高一必修一知识点
数学高一必修一知识点1. 集合的概念与运算- 集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的元素所组成的整体。
- 元素与集合的关系：属于（∈）和不属于（∉）。
- 集合的表示法：列举法和描述法。
- 集合的分类：有限集合和无限集合，空集。
- 集合的运算：并集（∪）、交集（∩）、差集（-）、补集（C）、子集（⊆）和真子集（⊂）。
2. 函数的概念与性质- 函数的定义：函数是定义域到值域的映射关系。
- 函数的三要素：定义域、值域和对应法则。
- 函数的表示法：解析式、图象和列表。
- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性和有界性。
- 函数的运算：函数的四则运算和复合函数。
3. 指数与对数- 指数的定义：a^n表示a的n次方。
- 指数的性质：指数的乘法法则、指数的幂的乘方、指数的加减法。
- 对数的定义：如果a^x=b，则x是b的以a为底的对数，记作x=log_a(b)。
- 对数的性质：对数的换底公式、对数的四则运算。
- 指数函数和对数函数：指数函数y=a^x和对数函数y=log_a(x)的性质和图象。
4. 三角函数- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
- 三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性。
- 三角函数的图象：正弦函数、余弦函数的图象。
- 三角恒等式：和差公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差。
- 解三角形：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式。
5. 不等式- 不等式的概念：表示不等关系的式子。
- 不等式的性质：不等式的基本性质。
- 不等式的解法：一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式。
- 一元二次不等式的解集：数轴上的表示法。
- 基本不等式：算术平均数-几何平均数不等式。
6. 数列- 数列的概念：按照一定规律排列的一列数。
- 数列的表示法：通项公式和递推关系式。
- 数列的分类：等差数列、等比数列、递推数列。
- 数列的求和：等差数列求和公式、等比数列求和公式、分组求和法、错位相减法。
空间向量的余弦值
空间向量的余弦值
空间向量的余弦值是指两条向量之间夹角的正弦值。
它是用来比较两个向量之间相似程度的有效工具，在数学、生物学、物理学等很多学科中都有重要的应用。
空间向量的余弦值计算是在三角函数中一个重要的问题，它用来比较两个向量之间的夹角大小和大小。
简而言之，关于空间向量的余弦值，其大小取决于两个向量之间的夹角，如果两向量平行，他们之间的余弦值就是1，如果两向量互相垂直，他们之间的余弦值就是0.
空间向量的余弦值是在空间向量的夹角研究中必不可少的。
可以使用它计算任意两个向量之间的夹角，以及两个向量的夹角的正弦值（余弦值）。
空间向量的余弦值也可以用来判断两个向量是否是相互平行、垂直或者是其他方向性。
空间向量的余弦值可以用来计算各种复杂的几何形状，包括三角形、多边形、圆形以及各种曲面。
它还可以用来计算局部几何性质，如曲率、曲面与直线的交点等。
空间向量的余弦值在物理，化学和生物等科学中也有着重要的应用。
在物理学中它可以用来计算粒子运动的轨道，用于分子模拟和离子或原子间相互作用。
在化学学中，它可以用来计算分子间的位置和键类型，用于描述分子结构。
在生物学中，余弦值可以用来计算基因序列的拓扑特性和分子运动，用于比较物种之间的遗传特性。
总的来说，空间向量的余弦值是空间向量夹角研究的重要概念，它成为现代科学的重要的理论和实践工具，在解决各种科学难题中发
挥了重要的作用。
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（1）求函数24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
解：2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6
（2）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）
求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=
+112cos 222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤
， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． （3））已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期
是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
（3）已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 解：
()2
42sin 22
4sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+⎪⎭⎫ ⎝
+=++=+++⋅
=πωπωπωωωωωx x x x x x x
x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2
π
，可得222πωπ=，所以2=ω．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
πx x f ．
当ππ
π
k x 22
4
4+=
+
，即()Z k k x ∈+
=
216
π
π
时，⎪⎭⎫ ⎝
⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数
()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ
（1）如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，1
3
AN AE =．求证：//MN 平面CDE ．
解析：要证明//MN 平面CDE ，只要证明向量NM 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE 和DC 线性表示．
答案:证明：如图，因为M 在BD 上，且1
3
BM BD =
，所以111333MB DB DA AB ==+．同理11
33AN AD DE =+，又CD BA AB ==-，所以
MN MB BA AN =++ 1111()()3333DA AB BA AD DE =++++2133BA DE =+21
33
CD DE =+．又CD 与DE 不共线，
根据共面向量定理，可知MN ，CD ，DE 共面．由于MN 不在平面CDE 内，所以//MN 平面CDE ．
（2）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）
求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；
解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.
答案:（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5，
∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；
（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1， ∴ AC 1//平面C D B 1；
（3）如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，
PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。
(1)求证：BM ∥平面PAD ；
(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。
解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直， 二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
答案：（1） M 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则
ME
CD 21，又
AB CD 2
1
∴四边形ABME 为平行四边形 ∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄ PAD EA 平面⊂ ∴BM ∥PAD 平面 （4分）
（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则())0,0,1B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,1,1M ，()1,1,0E
在平面PAD 内设()z y N ,,0，()1,1,1---=→--z y MN ，()2,0,1-=→
--PB ，
()0,2,1-=→--DB 由→--→--⊥PB MN ∴0221=+--=⋅→
--→--z PB MN ∴2
1=
z 由→
--→
--⊥DB MN ∴0221=+--=⋅→
--→
--y DB MN ∴2
1=
y ∴⎪⎭
⎫
⎝⎛21,21,0N ∴N 是AE 的中点，此时BD MN P 平面⊥
（8分）
（3）设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ
()2,2,2-=→--PC ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛
---=→--21,21,1MN
，设→--→--MN PC ,为α
3
22
6322cos -
=⋅
-=
⋅=
→
--→--→
--→--MN
PC MN
PC α 32
c o s s i n =-=αθ
故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦为
3
2。