解三角形经典练习题集锦

[基础训练 A 组 ]
一、选择题 b tan 300 ,b a tan 300 2 3, c 2b 4 4, c b 2 3 a
0 A ,sin A 0
cos A sin( A) sin B, A, B 都 是 锐 角 ， 则
2
2
A B, A B ,C
2
2
2
作出图形
b 2asin B,sin B 2sin Asin B,sin A 1 , A 300 或 1500 2
sin B sin A sin C sin B 2( 6 2)(sin A sin B)
BC sin A
4( 6
AB , AC BC sin C
AB AB
2)sin
cos
2
2
4 ． 在 △ ABC 中 ， 若 (a b c)( a b c) 3ac ， 且 tan A tan C 3 3 ， AB 边上的高为 4 3 ，求角 A, B , C 的 大小与边 a, b, c 的长
ABC 3.在△ ABC中，求证： sin A sin B sin C 4cos cos cos 。
222
4.在△ ABC中，若 A B 120 0 ，则求证： a
b 1。
bc ac
1 ．在△ ABC中， 若 sin A sin B, 则 A 一定大于 B ，对吗填 _________
（对或错）
2 ．在 △ ABC 中，若 cos2 A cos 2 B cos2 C 1, 则 △ ABC 的形状是
5．在 △ ABC中，若 a
3,b
2, c
6
2 则 A _________。
2
6．在锐角 △ ABC 中，若 a 2, b 3 ，则边长 c 的取值范围是 _________ 。
一、选Biblioteka Baidu题
1 ． A 为 △ ABC的内角，则 sin A cosA 的取值范围是（
）
A． ( 2,2) B． ( 2, 2 ) C． ( 1, 2 ] D． [ 2 , 2]
______________ 。 3 ． 在 △ ABC
中 ， ∠C
是钝角，设
x sin C , y sin A sin B, z cos A cos B,
则 x, y, z 的大小关系是 ___________________________ 。 4 ． 在 △ ABC 中 ， 若 a c 2b ， 则
5 ．在△ ABC 中，若 (a c)( a c) b(b c) ，则 A （
）
A． 90 0
B． 60 0 C． 120 0 D． 1500
6 ．在△ ABC 中，若 tan A tan B
a2 b 2 ，则 △ABC 的形状是（
A．直角三角形 三角形
B．等腰或直角三角形
C．不能确定
） D．等腰
二、填空题
ac ，则 cos( A C ) cos B cos2B 的值是
_________ 。
三、解答题
（数学 5 必修）第一章：解三角形
1 ．在 △ ABC 中，若 (a 2 b2 ) sin( A B ) (a2 b 2 ) sin( A B ) ，请 判断三角形的形状。
2.120 0
b2 c2 a2 cos A
2 ．在 △ ABC 中，若 C
AB A ． 2 cos
2 AB D． 2 sin
2
900 , 则三边的比 a b 等于（ c
AB
B ． 2 cos
C．
2
） AB
2 sin 2
3 ．在 △ ABC 中，若 a 7,b 3, c 8 ，则其面积等于（
）
A． 12
21 B．
2
C． 28
D． 6 3
三、解答题
2 ．在 △ ABC 中，若角 B 为钝角，则 sin B sin A 的值（
）
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不能确定
3 ．在 △ ABC 中，若 A 2B ，则 a 等于（
）
A． 2b sin A B． 2b cos A C． 2b sin B D． 2b cos B
4 ．在 △ ABC 中，若 lg sin A lg cos B lg sin C lg 2 ，则 △ ABC 的
cosC ； sin C cos A ∴ sin A sin B sin C
，即
cos A
sin A cosB ； 同 理 cosB cosC
4. 解 ： ∵ a c 2b, ∴ sin A sin C 2sin B ， 即
AC AC
2sin
cos
4sin
BB cos
，
2
2
22
∴
B sin
1 AC cos
A． 1 5
B． 1 C． 1
6
7
D． 1 8
AB 7 ．在 △ ABC 中，若 tan
a b ，则 △ABC 的形状是（
）
2 ab
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形
D．等腰三角
形或直角三角形
二、填空题
1 ． 若 在 △ ABC 中 ，
A 600, b 1, S ABC
3, 则
abc
2ac
b2 c2 a2 代入右边
2bc
得右边
a2 c2 b2 c(
2abc
b2 c2 a2 )
2abc
2a 2 2b 2 2ab
a2 b2 ab
ab ba
左边，
a b cos B cos A
∴
c(
)
ba
b
a
3 ．证明：∵ △ ABC是锐角三角形， ∴ A B , 即
A
B0
22
2
sin B
∴ sin A sin( B) 2
1 cos A cosC cos A cosC sin A sin C ______。
3
5．在 △ ABC中，若 a cos2 C
c cos2 A
3b ，则求证：
a
c
2b
2
22
5 ．在△ ABC中， 若 2 lg tan B lg tan A lg tan C , 则 B 的取值范围是
_______________ 。 6 ．在 △ ABC 中，若 b 2
2
C 为最大角， cosC 0, C 为锐角
sin A
A B ,A
B ， 且 A, B 都 是 锐 角 ，
sin A sin( B) sin B
sin A sin 2B 2sin B cosB,a 2bcos B
lg sin A
lg 2, sin A
2,sin A 2cos B sin C
cos B sin C
________。
三、解答题
1.在△ ABC中，若 a cos A bcos B ccosC , 则 △ ABC的形状是什么
解三角形
一、选择题
1 ．在 △ ABC 中， A : B : C 1: 2:3 ，则 a : b : c 等于（ ）
A． 1: 2:3
B． 3: 2:1 C． 1: 3 : 2 D． 2 : 3 :1
cos B sin C
sin( B C ) 2cos B sin C,sin B cosC cos B sin C 0,
sin( B C ) 0, B C ，等腰三角形
0
5.
60
b2 c2 a2 cos A
2bc
8 43
2
3
4
62 22
2
31
1
2 2 ( 3 1) 2
6
．
a2 b2 c2 13 c2 a2 c2 b2 , 4 c2 9,5 c2 13, 5 c 13 c2 b2 a2 c2 9 4
3 B．
2
C． 3 D． 2 3
5．在△ ABC 中，若 b 2a sin B ，则 A 等于（
）
A．300 或 600
B．450 或60 0 C．120 0 或 600 D．30 0或 150 0
6．边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（
）
3 ． 在 锐 角 △ ABC 中 ， 求 证 ：
sin A sin B sin C cos A cosB cosC 。
4 ．在 △ ABC 中，设 a c 2b, A C , 求 sin B 的值。 3
A． 90 0 二、填空题
B． 120 0
C． 135 0
D． 150 0
1 ． 在 Rt △ ABC 中 ， C 900 ， 则 sin A sin B 的 最 大 值 是
B． cos A
C． tan A
D． 1 tan A
3．在 △ ABC中，角 A, B 均为锐角，且 cos A sin B, 则 △ ABC的形状
是（
）
A．直角三角形 角形
B．锐角三角形 C．钝角三角形
D．等腰三
4．等腰三角形一腰上的高是
边长为（
）
3 ，这条高与底边的夹角为 600 ，则底
A． 2
22
2
3 ，而0B
,∴
4
22
B cos
2
13 ， 4
∴ sin B
BB 2sin cos
2
3
13
39
22
44
8
sin( B)
tan A tan( B)
2
2
cos( B)
2
cos B 1
1
， tan A
, tan A tan B 1
sin B tan B
tan B
一、选择题
[ 综合训练 B 组]
3. 2
1． 在 △ ABC中， A 1200, c b, a
21, SV ABC
3 ，求 b, c 。
4 ．在 △ ABC中，
是（
）
C 900 ， 0 0
A 450 ，则下列各式中正确的
A． sin A cos A B． sin B cos A C． sin A cosB D． sin B cosB
2． 在锐角 △ ABC中，求证： tan A tan B tanC 1 。
形状是（
）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．不能确定
D．等腰三角形
5 ．在 △ ABC 中，若 (a b c)( b c a) 3bc, 则 A ( )
A． 90 0
B． 60 0 C． 135 0 D． 1500
6 ．在△ ABC中，若 a 7, b 8, cosC 13 ，则最大角的余弦是 （ ） 14
=_______。
sin A sin B sin C
2．若 A, B 是锐角三角形的两内角，则
tan A tan B _____1（填 >或<）。
3
．
在
△ ABC
中
，
若
sin A 2 cos B cosC , 则 tan B tan C _________。
4．在△ ABC 中，若 a 9, b 10, c 12, 则 △ABC的形状是 _________ 。
解三角形
一、选择题
2 ．在 △ ABC 中，求证： a
b
cos B c(
cos A )
ba
b
a
1．在 △ ABC中，若 C 900 , a 6, B 300 ，则 c b 等于（
）
A． 1 B． 1 C． 2 3 D． 2 3
2．若 A 为 △ ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（
）
A． sin A
AB
4cos
4,( AC BC) max 4
2
三、解答题
1. 解
：
a cos A b cos B c cosC ,sin Acos A sin B cos B sin C cosC
sin 2A sin 2B sin 2C,2sin( A B)cos( A B) 2sin C cosC
cos( A B) cos( A B),2cos A cos B 0
sin B sin C tan B tan C
cos B cosC sin B cosC cosB sin C sin(B C)
2sin A
1 32
A
,B 6
,C 3
,a : b :c 2
sin A : sin B : sin C
:: 222
1:
3:2 4.
锐角三角形
cosB cosC
1 sin A
设
中
间
角
为
，
则
cos
52 82 72 1 ,
600,180 0 600 120 0 为所求
2 58 2
二、填空题
1
1
1
1.
sin A sin B sin Acos A sin 2A
2
2
2
cos A 0 或 cosB 0 ，得 A 或 B
2
2
所以 △ ABC 是直角三角形。
2. 证明：将 cos B
a2 c2 b2 ， cos A
_______________。 2．在 △ ABC中，若 a 2 b 2 bc c 2, 则 A _________。
3．在 △ ABC中，若 b 2, B 300 ,C 1350 ,则 a _________。
4．在 △ ABC中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C 7 ∶ 8 ∶ 13 ，则 C _____________。 5．在 △ABC中， AB 6 2, C 300 ，则 AC BC 的最大值是
2bc
1 ,A
1200
2
1． 如 果 △ ABC 内 接 于 半 径 为 R 的 圆 ， 且 2R(sin 2 A sin 2 C ) ( 2a b) sin B ,
求 △ ABC的面积的最大值。
3.
62
A 150, a
b ,a
bsin A
4sin A 4sin15 0
4
sin A sin B
sin B
62 4
4. 1200 a ∶ b ∶ c sin A ∶ sin B ∶ sin C 7 ∶ 8 ∶ 13，
令
a 7k,b 8k, c 13k
3.已知 △ ABC的三边 a b c 且 a c 2b, A C ，求 a : b : c 2
cosC
a2 b2 c2 2ab
1 ,C
1200
2
5. 4
AC BC AB AC ,