第03章_第03节_平面问题和轴对称问题
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
第三章 第三节 平面问题和轴对称问题-2009
第三节平面问题和轴对称问题
江五贵
航空学院
平面应力状态特点是：
1) 变形体内各质点在与某方向轴（如Z 轴）垂直的平面上没有应力作用，即σz =τzx =τzy =0，Z轴为主方向，只有σx 、σy 、τxy 三个独立的应力分量。
2) σx 、σy 、τxy 沿Z 轴方向均匀分布，即应力分量与Z 轴无关，对Z 轴的偏导数为零。
在工程实际中，薄壁管扭转、薄壁容器承受内压、板料成形中的一些工序等，由于厚度方向的应力相对很小而可以忽略，一般均作为平面应力状态来处理。
一、平面应力状态
若变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状态。
教材上有些问题，Sigma2
三、轴对称问题
当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。
z 旋转体z 无周向外力
z
子午面为平面，夹角不变
1、柱坐标表示⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡z z z z z στττστττσθρθθθρρρθρij σ=
z
y
x
P（ρ，θ）
M（ρ，θ，Z ）
θ
ρθz zρθ圆柱坐标中的应力单元体
θ
对于有些轴对称问题，例如均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔及平展砧间圆柱体镦粗等，其径向位移分量ρu =∂∂。
03-02_空间问题的四面体单元
第三章轴对称、三维和高次单元§3-2 空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。
由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。
它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。
这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。
和平面问题一样，空间有限单元法采用单元也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体单元。
采用四面体单元和线性位移模式来处理空间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。
在采用四面体单元离散化后的空间结构物中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。
四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p。
每个单元的计算简图如图3-7所示。
在位移法中，取节点位移为基本未知量，四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量)，其节点位移列阵为{}[]Tpp p m m m j j j i i ip m j i ew v u w v u w v u w v u =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=δδδδδ其子矩阵 {}[]i iii w v u =δ (i,j,m)相应的节点力列阵为{}[]Tp mj ie F F F F F -图3-7 空间四面体单元其子矩阵 {}[]Ti i i i W V U F =一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标x 、y 、z 的函数。
当单元足够小时，单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述，即⎪⎭⎪⎬⎫+++=+++=+++=z y x w z y x v z y x u 121110087654321αααααααααααα (3-49) 式中1α，2α，…，12α是十二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。
假定节点i,j,m,p 的坐标分别为(i x i y i z )、(j x j y j z )、(m x m y m z )、 (p x p y p z )，将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x 方向的位移⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=p p p p m m m m j j j j i i i i z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα (3-50)解上述线性方程组，可得到1α，2α，3α，4α，再代入(3-50)式，得])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a Vu +++-+++++++-+++=(3-51) 其中V 为四面体ijmp 的体积，a i ,b i ，…，c p ,d p 为系数。
空间与轴对称问题有限元分析课件
02
CATALOGUE
有限元分析基础
有限元分析的基本概念
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂 的物理系统离散化为有限个简单元（或称为元 素）的组合，以求解复杂系统的物理行为。
它基于变分原理和加权余量法，通过数学模型 将实际工程问题转化为数学问题，从而得到近 似的数值解。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构分析 、流体动力学、电磁场等。
求解线性方程组
通过求解线性方程组得到每个节 点的位移和应力等物理量。
有限元分析的常用软件
ANSYS
功能强大的有限元分析软件，适用于各种工 程领域。
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，适用于模拟复杂 的多物理场耦合问题。
ABAQUS
专业的有限元分析软件，广泛应用于结构分 析、流体动力学等领域。
空间与轴对称问题有限元分析的优缺点
01
数值误差
有限元分析依赖于离散化的网格 ，存在数值误差，可能影响结果 的精度。
建模难度
02
03
计算资源需求
对于复杂问题的建模，需要较高 的专业知识和技巧，建模难度较 大。
对于大规模问题，有限元分析需 要大量的计算资源，如内存和计 算时间。
未来发展方向与挑战
优化算法
建筑领域
建筑设计中的对称和均衡问题需要考虑空间对称 性，以提高建筑的美观性和稳定性。
机械工程领域
机械零件的形状和结构需要考虑轴对称性，以确 保零件的稳定性和可靠性。
空间与轴对称问题的解析方法
解析法
通过数学公式和定理推导出问题的解 ，适用于简单的问题和特定条件下的 求解。
有限元法
将问题分解为有限个小的单元，通过 求解每个单元的近似解来逼近原问题 的解，适用于复杂的问题和不规则区 域的处理。
5 平面问题和轴对称问题的有限元法
( x
1
y
)
y
1 2 E
(
y
1
x)
xy
xy G
2(1 E
)
xy
八未知量：
u, v, x, y, xy, x, y, xy。八个 方程，加上 约束条件， 理论上可求 解各种弹性 力学 的平面 问题
5.1.2平面问题的三角形单元求解
形函数：
Ns
1 2A (as
bsr
cs z)
(s i, j, m)
19
5.2 轴对称问题
用矩阵表示的单元位移为：
d
u w
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
单元应变： 将单元位移函数带入几何方程得：
ui
wi
0 Nm
e
2
（6）求节点力与节点位移的关系
对于一个已经编排好节点号的系统，按节点号叠加单元刚度矩 阵中的元素可得到总体刚度矩阵，在引入一定的边界条件和外 载荷后即可求解。最后的计算格式可记为
2019/10/15
｛F｝={K}{δ}
5.2 轴对称问题
一、轴对称问题的定义
如果物体的几何形状、约束 情况及所受的外力都对称于 空间的某一根轴（如Z轴）， 则通过该轴的任何平面都是 物体的对称面，物体内的所 有应力、应变和位移都关于 该轴对称，这类问题称为轴 对称问题。
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
《轴对称图形》平移、旋转和轴对称
对于任何一对对称点，它们到对称轴的距离相等，且连线垂直于对 称轴。
旋转与轴对称的关系
一个图形以某点为旋转中心旋转一定角度后与另一个图形重合，那 么这两个图形关于这条旋转中心成轴对称。
轴对称应用
艺术领域
许多艺术作品都利用了轴对称原 理，如建筑、雕塑、绘画等，给
人以美的感受。
自然界中
自然界中许多物体也具有轴对称 性，如叶子、花朵、动物身体等 ，这反映了自然界中一种平衡和
平移的性质
平移不改变图形的形状、 大小和方向，只改变图形 的位置。
平移性质
对应线段相等
平移后得到的图形与原图形对应线段相等。
对应角相等
平移后得到的图形与原图形对应角相等。
对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等
平移后得到的图形与原图形对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
平移应用
平行四边形的判定
旋转定义
旋转
在平面内，将一个图形绕 一个定点沿某个方向转动 一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
旋转角
图形旋转时转动的角度。
旋转中心
图形旋转时，定点所在的 位置称为旋转中心。
旋转性质
旋转方向：可以是顺时针或逆 时针方向。
旋转角度：可以是任意角度， 但必须是0°的整数倍。
旋转前后图形全等，对应点到 旋转中心的距离相等，对应线 段长度、对应角大小相等。
根据平行四边形对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另 一个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四 边形。
梯形的判定
根据梯形一组对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另一 个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是梯形。
第三节平面问题和轴对称问题2007
采用圆柱坐标系时，轴对称应力状态的应力张量
为
ij 0 z 0
z
0 z
0
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
轴对称应力状态的平衡微分方程为：
0 z
z z z 0 z
12
1 2
2
(
x y
2
) 2 xy
2
23
2
2
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
31
1
2
9
纯切应力状态属平面应力状态的特殊情况，此时，由平面 应力状态下的应力莫尔圆方程式可得纯切应力状态下的应 力莫尔圆方程。
w z z
z
1 u w 2 z
38
金 属 塑 性 成 形 原 理
2 轴对称状态的几何方程
u
w z z
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
u
z
1 u w 2 z
26
平面问题的主要区别: 平面应力和平面应变问题主要区别： 对于平面应力问题，沿某一方向上没有正应力， 但有正应变（只有在纯剪切时，没有应力的方向 才没有应变）；
对于平面应变形问题，在一个方向上存在正应力 ，但无正应变。
27
什么是平面问题?
什么是平面应力状态?
什么是平面应变状态?
28
选择题
1.平面变形状态相当于平面应力叠加一个应力 球张量( ) 。 2.平面应变状态的最大切应力所在的平面与塑 性流平面垂直的两个主平面交成45∘角( ) 。 3.纯切应力状态下，主应力特点是σ1=-σ2 ( )。
平面几何中的对称问题例题和知识点总结
平面几何中的对称问题例题和知识点总结在平面几何的广袤世界里，对称问题宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。
对称不仅具有美学价值，更在解决几何问题中发挥着关键作用。
接下来，让我们一同深入探索平面几何中的对称问题，通过具体例题来揭示其奥秘，并对相关知识点进行系统总结。
一、对称的基本概念对称，简单来说，就是图形在某种变换下保持不变的性质。
常见的对称类型有轴对称和中心对称。
轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线就被称为对称轴。
例如，等腰三角形沿着底边上的高对折，左右两部分完全重合，底边上的高就是对称轴。
中心对称图形绕着一个点旋转 180 度后能与原图重合。
这个点就是对称中心。
比如平行四边形绕着对角线的交点旋转 180 度后与原图重合，对角线的交点就是对称中心。
二、例题解析例 1：已知点 A(3, 5)关于直线 x ＝ 4 的对称点为 B，求点 B 的坐标。
思路：因为对称轴是直线 x ＝ 4，所以点 A 到对称轴的距离为 4 3＝ 1。
点 B 到对称轴的距离也应该是 1，且在对称轴右侧，所以点 B 的横坐标为 4 ＋ 1 ＝ 5。
由于对称点的纵坐标不变，所以点 B 的坐标为(5, 5)。
例 2：在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上一点，若点 E 关于对角线AC 的对称点为 F，连接 DF，求证：DF ＝ DE。
思路：连接 EF。
因为点 E 和点 F 关于对角线 AC 对称，所以 AC垂直平分 EF。
所以 EF ＝ CE。
又因为正方形 ABCD 中，AD ＝ CD，∠DAF ＝∠DCE ＝ 90°，所以△ADF ≌△CDE（HL 定理），从而DF ＝ DE。
例 3：在三角形 ABC 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 6，BC ＝ 8，点 D 在BC 上，且 BD ＝ 3，点 P 是 AB 边上一动点，若将三角形 BDP 沿直线DP 折叠，使点 B 落在点 B'处，当三角形 B'DC 是等腰三角形时，求AP 的长。
轴对称知识点总结大全
轴对称知识点总结大全第一篇：轴对称知识点总结大全轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
l A B 4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：① 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：方法1 方法2 方法3 例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
空间与轴对称问题有限元分析
划分网格
将连续的求解域离散化为有限个简单 元，形成网格。
建立刚度矩阵和载荷向量
根据每个简单元的特性，建立刚度矩 阵和载荷向量，以描述简单元之间的 力和力矩关系。
求解线性方程组
通过求解线性方程组，得到每个节点 的位移和应力分布。
有限元分析的优势与局限性
优势
有限元方法具有较高的灵活性和通用性，可以处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于各种物理问题的求解。此外，有限元方法可以通过并行计算等技术提高 计算效率。
05
空间与轴对称问题有限元分析 的未来发展
新型有限元方法的研究与应用
混合有限元方法
结合不同类型有限元的优点，以更好地适应复 杂问题的需求。
自适应有限元方法
根据问题求解的实际情况，自动调整有限元的 尺寸和形状，以提高求解精度和效率。
非标准有限元方法
针对特定问题开发非标准的有限元，以获得更好的求解效果。
复杂空间与轴对称问题的挑战与解决方案
高维空间问题
01
随着问题维度的增加，有限元的构造和求解变得更加复杂，需
要发展更高效的算法和软件。
不规则区域问题
02
有限元的构造和处理在不规则区域上更具挑战性，需要研究新
的方法和技巧。
多物理场耦合问题
03
多物理场耦合的空间与轴对称问题需要发展能够同时处理多个
物理场的有限元方法。
误差估计
对称性有助于更准确地估计误差。
空间对称性问题的有限元模型建立
01
02
03
定义对称轴
明确对称轴的位置，以便 在建立模型时考虑对称性。
选取合适的有限元
根据对称性选择合适的有 限元类型，如四边形、六 面体等。
建立对称约束
3-3 平面问题和轴对称问题
2
1 2
(1
3)
平面变形时的应力莫尔圆
金属塑性成形原理
平面应力问题与平面应变问题的相同及区别
相同：Z方向不存在切应力。即 τxz 和 τyz 均为零。 区别：见表
Z方向应力分量 Z方向位移分量
正应变分量
平面应力问题
z 0 w0
x
1 E
( x
-
xy
x
y
y
0
金属塑性成形原理
平面应力状态下任意斜微分面上的正应力、切应力和主应力均可从(3-32)、
（3-33）、（3-35）[Page 75]各式中求得。
由于σ3＝0， 所以平面应力状态下的主切应力为
τ
12
1
2
2
(
x
2
y
)2
2 xy
23
2
2
31
1
2
σ2
σ3
2β2
τmax
A(σx ,τxy)
σα
与σ正方向夹角为150 °。
τα 60o 150o
该截面上的正应力和切应力分别为：
120o O
σ
30sin(150) 25.98MPa
30cos(150) 15MPa
y(0,-30)
金属塑性成形原理
2）主应力 max x y
min
2
x
y
2
2
2 x
30 MPa
30
2
0
0
0 0
0
x y
2 0
0
0
x
2
y
纯切应力状态
或
ij
1
0
0
3
0 0
坐标平面内图形的轴对称和平移
第21课 坐标平面内的图形的轴对称和平移学习目标1.感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化.2.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系.3.会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标.4.利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形.知识点01 坐标平面内图形的轴对称在直角坐标系中，点(a,b )关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b ),关于y 轴的对称点的坐标为(-a,b).1. 关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数2.关于y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变知识点02 坐标平面内图形的平移平移：上加下减，右加左减考点01 坐标平面内图形的轴对称【典例1】已知点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，那么a +b ＝ ﹣1 ．【思路点拨】关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a ，b 的值．【解析】解：∵点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，∴，解得，∴a +b ＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．【即学即练1】平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （3，4），C （3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点；（2）求△ABC 的面积．（3）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于x 轴对称，写出A 1、B 1、C 1的坐标．【思路点拨】（1）根据点A 、B 、C 的坐标及坐标的概念描点即可；（2）根据三角形的面积公式求解可得；（3）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解析】解：（1）如图所示，点A 、B 、C即为所求；能力拓展（2）△ABC的面积为：＝5；（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点．考点02 坐标平面内图形的平移【典例2】用（﹣2，4）表示一只蚂蚁的位置，若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，则此时这只蚂蚁的位置是（ ）A．（1，6）B．（﹣5，2）C．（1，2）D．（2，1）【思路点拨】根据平移规律解答即可．【解析】解：自点（﹣2，4）先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，此时这只蚂蚁的位置是（﹣2+3，4﹣2），即（1，2），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．【即学即练2】三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）分别写出下列各点的坐标：A （1，3） ，A′ （﹣3，1） ；（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 （x﹣4，y﹣2） ．（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？【思路点拨】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）利用平移变换的规律解决问题即可；（3）根据平移变换的性质解决问题．【解析】解：（1）A （1，3），A ′（﹣3，1）．故答案为：（1，3），（﹣3，1）；（2）∵△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′，∴P （x ，y ）的对应点P ′（x ﹣4，y ﹣2），故答案为：（x ﹣4，y ﹣2）；（3）△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．没有对称关系【思路点拨】直接利用关于关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解析】解：∵点A （3，2）与点B （3，﹣2），横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是关于x 轴对称．故选：A．分层提分【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．2．在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（6，3）D．（﹣6，﹣3）【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．【解析】解：在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（6，3）．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．若点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【思路点拨】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得a＝﹣2，b＝﹣3，再代入计算即可．【解析】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．4．若点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．【解析】解：∵点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，∴2a＝4，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．5．把点A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，点B的坐标是（ ）A．（﹣5，3）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣5，﹣1）【思路点拨】根据平移的基本性质，向上平移a，纵坐标加a，向右平移a，横坐标加a；【解析】解：∵A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，∴1+2＝3，﹣2﹣3＝﹣5；点B的坐标是（﹣5，3）．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y），①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y），①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b），①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．6．在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直线PQ∥y轴，则a的值等于（ ）A．﹣5B．3C．﹣4D．4【思路点拨】根据直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等，即可求解．【解析】解：∵直线PQ∥y轴，∴P，Q横坐标相等，∴a＝4，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等是解题的关键．7．如图，将线段AB向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）A．（0，2）B．（1，2）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【思路点拨】利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′即可．【解析】解：如图，观察图象可知点A′的坐标是（1，2），故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．8．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴．（1）m＝ ﹣2 ；（2）点M关于y轴对称的点的坐标为 （3，﹣3） ．【思路点拨】（1）根据MN∥y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得；（2）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解析】解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴，∴点M与点N的横坐标相等，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）由（1）可得点M的坐标为（﹣3，﹣1），所以点M关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．9．△ABC的三个顶点坐标分别是A（a，5），B（7，b），C（4，9），将△ABC平移后得到△A1B1C1，其中A1（3，8），B1（6，3），则点C1的坐标是 （3，12） ．【思路点拨】由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，由此可得结论．【解析】解：由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，∴C1（3，12）．故答案为：（3，12）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．已知点A（a﹣3，a2﹣4），求分别满足下列条件的a的值及点A的坐标．（1）点A在x轴上；（2）已知点B（2，5），且AB∥x轴．【思路点拨】（1）根据x轴上的点的坐标特征可得a2﹣4＝0，求出a的值，进一步可得点A的坐标；（2）根据AB∥x轴，可得a2﹣4＝5，求出a的值，进一步可得点A的坐标．【解析】解：（1）∵点A在x轴上，∴a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；（2）∵AB∥x轴，∴a2﹣4＝5，∴a＝3或a＝﹣3，∴点A坐标为（0，5）或（﹣6，5）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系内坐标轴上的点和平行于坐标轴的点的坐标特征是解题的关键．11．如图在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（每个小正方形的边长均为1）．（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为 （2，2） ．（2）将点B向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到点C，则点C的坐标为 （2，0） ．（3）请在图中表示出D、C两点，顺次连接ABCD，并求出A、B、C、D组成的四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）利用四边形ABCD所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．【解析】解：（1）如图所示：D（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C（2，0）；故答案为：（2，0）；（3）如图所示：四边形ABCD的面积为：4×5﹣×1×4﹣×5×2＝13．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．题组B 能力提升练12．若点A（6，6），AB∥x轴，且AB＝2，则B点坐标为（ ）A．（4，6）B．（6，4）或（6，8）C．（8，6）D．（4，6）或（8，6）【思路点拨】根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等，点B的纵坐标为6，根据AB＝2分两种情况求点B的坐标即可．【解析】解：∵AB∥x轴，∴点A，B的纵坐标相等，∴点B的纵坐标为6，∵AB＝2，∴当点B在点A左侧时，B（4，6）；当点B在点A右侧时，B（8，6）；故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，体现了分类讨论的思想，根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等是解题的关键．13．在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣2），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，2）D．（2，1）【思路点拨】利用平移变换的性质，画出图形可得结论．【解析】解：如图，观察图像可知，B′（1，1）．故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确画出图形解决问题．14．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称的点B'的坐标为（ ）A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）【思路点拨】首先根据纵坐标上移加，下移减可得B点坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解析】解：将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B的坐标为（2，﹣1+4），即（2，3），则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，3）．故选：D．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．15．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）A．a＞B．a＜C．a＜﹣1D．﹣1＜a＜【思路点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．【解析】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限，故，解得a＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16．在平面直角坐标系中有A（m，3），B（4，n）两点，若直线AB平行于y轴，且AB＝4，则m+n＝ 3或11 ．【思路点拨】先根据直线AB平行于y轴可得出m＝4，再由AB＝4可得出n的值．【解析】解：∵点A（m，3），B（4，n），直线AB平行于y轴，∴m＝4．∵AB＝4，∴|3﹣n|＝4，解得n＝﹣1或7．∴m+n＝4﹣1＝3，或4+7＝11故答案为：3或11．【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的横坐标相等是解答此题的关键．17．已知点M（3，﹣2）与点M'（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M'到y轴的距离等于4，那么点M'的坐标是 （4，﹣2）或（﹣4，﹣2） ．【思路点拨】由点M和M′在同一条平行于x轴的直线上，可得点M′的纵坐标；由“M′到y轴的距离等于4”可得，M′的横坐标为4或﹣4，即可确定M′的坐标．【解析】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴M′的纵坐标y＝﹣2，∵“M′到y轴的距离等于4”，∴M′的横坐标为4或﹣4．所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．【点睛】本题考查了点的坐标的确定，注意：由于没具体说出M′所在的象限，所以其坐标有两解，注意不要漏解．18．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 0 ．【思路点拨】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解析】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得（舍去），，∴4a+b＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1是解题的关键．题组C 培优拔尖练19．在平面直角坐标系中，将点A（m，n+2）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A'位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ）A．m＜0，n＞0B．m＜3，n＞﹣4C．m＜0，n＜﹣2D．m＜﹣3，n＜﹣4【思路点拨】根据第二象限点的特征，根据不等式组解决问题即可．【解析】解：平移后的坐标为（m﹣3，n+4），由题意，，解得，故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【思路点拨】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解析】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等．22．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【思路点拨】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．【解析】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，∴，解得，∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．23．在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）A．①④B．②③C．①③④D．①②④【思路点拨】①坐标轴上的点的特征是横坐标为0或纵坐标为0，由此可判断；②由m2≥0，可得点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上；③到点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则点P在四个象限内都有符合条件的点；④由题可知MN在直线y＝3上，由此可判断．【解析】解：①∵点A（a，b）在坐标轴上，∴a＝0或b＝0，∴ab＝0，故①符合题意；②∵m2≥0，∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，故②不符合题意；③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），∴P点共有4个，故③不正确；④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），∴M、N两点在y＝3的直线上，∴MN∥x轴，故④符合题意；故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．25．如图，正△ABO的边长为4，O为坐标原点，A在x轴上，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，翻滚2022次后AB中点M坐标为 （8085，） ．【思路点拨】作出把△ABO经3次翻滚后的图形，作B3E⊥x轴于点E，由勾股定理可得B3E的长，从而可知点B3的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得OE的长，从而可知点B3的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2022次后AB中点M的坐标．【解析】解：如图所示，把△ABO经3次翻滚后，点B落到点B3处，点M经过点N、点H落到点M’处，点A落到点K处，作B3E⊥x轴于点E，则∠B3KE＝60°，B3K＝2，∴KE＝B3K＝2，B3E＝B3K＝2，∴OE＝3×4﹣2＝10，∴K（8，0），B3（10，2）．∴M′（9，）．由图象可知，翻滚三次为一个循环，∵2022＝3×674，∴翻滚2022次后AB 中点M 的纵坐标与点M ′的纵坐标相同，横坐标为2022×4﹣3＝8085，∴翻滚2022次后AB 中点M 的坐标为（8085，）．故答案为：（8085，）．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质等知识，找到旋转规律是解题的关键．26．如图①，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （b ，0），点C （0，2），且|a +2b |+＝0．（1）求点A ，B 的坐标；（2）将三角形ABC 平移，平移后点C 的对应点的坐标为（7，6），点B 的对应点为点D ，如图②．求三角形ACD 的面积；（3）P （m ，3）是一动点，若三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，求出点P 的坐标．【思路点拨】（1）由|a +2b |+＝0，根据非负数的性质可得出a 和b 的值，即可确定点A 和B 的坐标；（2）连接OD ，根据S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC 计算即可求解；（3）根据三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，列出方程计算即可求解．【解析】解：（1）∵|a +2b |+＝0，∴，解得．故点A （4，0），点B （﹣2，0）；（2）∵将三角形ABC 平移，平移后点C （0，2）的对应点的坐标为（7，6），∴三角形ABC 是向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，∴三角形ABC 平移后点B （﹣2，0）的对应点D 的坐标为（5，4），连接OD ，∴S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC＝×4×4+×2×5﹣×4×2＝9；（3）依题意有：×2|m|＝×4×2，解得m＝±4，故点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，关键是能根据|a+2b|+＝0的非负性确定a和b的值，求出点A，B的坐标．27．在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标 （5，﹣1） ；（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m 和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．【思路点拨】（1）根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论．【解析】解：（1）∵A（﹣2，1）平移后得到点A′的坐标为（2，3），∴向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴B（1，﹣3）的对应点B'的坐标为（1+4，﹣3+2），即（5，﹣1）．故答案为：（5，﹣1）；（2）m＝2n，理由：∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），∴3m﹣m＝6n﹣2n，∴m＝2n；（3）∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），∴2n﹣5﹣m＝2m+3﹣（n﹣1），2m+3﹣（n+1）＝（n+3）﹣（n﹣2），解得m＝6，n＝9，∴点A的坐标为（6，10），点B的坐标为（8，7）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．28．我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点P k成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”．（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是P k（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．【思路点拨】（1）构建方程组求解即可；（2）构建不等式组解决问题即可；（3）根据不等式组，求出整数k，可得结论．【解析】解：（1）由题意，解得，，∴P（﹣1，2）；（2）由题意，，解得，t＞﹣；（3）由题意，，解得，，∵x＜y＜2x，∴＜＜，解得，＜k＜5，∵k是正整数，∴K＝2或3或4，∴或或，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题．。
北师大版八年级数学上册第3章 位置与坐标 轴对称与坐标变化
对应点的横坐 对应点的纵坐标
标相同
互为相反数
（3）如果点 P(m，n)在△ABC 内，那么它在△A1B1C1
内的对应点 P1的坐标是 ( m， n ) .
2.如右图所示的平面直角坐标 系中，第一、二象限内各有一 面小旗. (1)两面小旗之间有怎样的位置 关系？
关于 y 轴成轴对称
(-2，6)
(2，6)
仔细观察，完成下列各题：
（1）△ABC 与△A1B1C1 有怎样 的位置关系？
△ABC 与△A1B1C1 关于 x 轴对称
（2）请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1 的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
A：( 1 ，2 ) B：( 5，1 ) C：( 3 ，4 ) A1：( 1 ， 2) B1：( 5，1) C1：( 3， 4 )
第三章 位置与坐标
3.3 轴对称与坐标变化
1.什么叫轴对称图形？ 沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全
重合的图形就是轴对称图形；这条直线称为对称轴. 2.如何在平面直角坐标系中确定点 P 的位置？
b a
a 称为点 P 的横坐标， b 称为点 P 的纵坐标.
轴对称与坐标变化
探索一 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 1. △ABC 与△A1B1C1 在如图所示的直角坐标系中，
讨论：点 P(2，-3)到 x 轴、y 轴和坐标原点的距 离分别多少？
点 M(-3，4)到 x 轴、y 轴和坐标原点的距离分 别多少？
y
M（-3，4） H
1 A
N -2 O 1
x
B
P（2，-3）
归纳总结
y P(a，b)
N
纵坐标的绝对值
15.1 轴对称图形 第3课时平面直角坐标系中的轴对称课件2024-2025学年沪科版八上
2.平面直角坐标系内的点A（-1，2）与点B（-1，-2）关于（ B ）
A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称
3.在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点
B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（ D ）
A．（-4，-2）
B．（2，2）
C．（-2，2）
D．（2，-2）
15.1.3 平面直角坐标 系中的轴对称
八年级上
沪科版
01 学 习 目 标 03 新 知 学 习
目录
02 新 课 引 入 04 课 堂 小 结
学习目标
1.探究在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标特点. 重点
2.能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形.
3.能运用坐标系中的轴对称特点解决简单的问题.
4.如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线x=1的对称点 的坐标为（C ） A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2）
5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),
C(-1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形.
解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)， 关于y轴的对称点分别为 A′(3,5),B′(4,1),C′(1,3). 依次连接A′B′,B′C′,C′A′, 就得到△ABC关于y轴对称的 △A′B′C′.
在坐标系中 作关于坐标 轴对称的图形
先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点) 的对应点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这 个图形的轴对称图形.(一找二描三连）
∴S梯形=
1 AD BC
2
OE
2《轴对称》教材分析单元备课单元备课单元解读
14
03 本章学习目标
本章学习目标
15
1. 通过丰富的生活实例认识轴对称、轴对称图形， 探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴 垂直平分的性质；
2．探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对 称轴；能够按照要求作出简单图形（点、线段、三 角形等）关于给定对称轴对称的图形；认识并欣赏 自然界和现实生活中的轴对称图形；
鲁教版初二数学上
2020
第二章
《轴对称》教材分析
目录
Contents
2
01 本章主要作用与地位 02 本章主要内容 03 本章学习目标 04 本章教学建议
3
01 本章主要作用与地位
一.本章主要作用与地位
4
线段、角 平行（平移）
二次函数
轴对称
全等 位置与坐标
圆
旋转
矩形、菱形、正方形 及正多边形
5
义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算
推
的定义、法 则、顺序）出发，按照逻辑推理 的法则证明和计算.
理
合情推理：合情推理是从已有的事实出发，凭
借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结
果.
在解决问题的过程中，合情推理用于探索思 路，发现结论；演绎推理用于验证结论。
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。
21
5. 重视对学生推理论证能力的培养
合情推理：探索思路，发现结论；
循
演绎推理：证明结论．
序
推理方法：
渐
●综合法
进
●分析法
●综合分析法
22
6.注意数学思想方法的渗透
将军饮马
转化 思想
等腰 分类 三角形 思想
数学 思想
第03章_第03节_平面问题和轴对称问题
主应力：
金 属 变 形 的 物 理 基 础
1 2 1
在平面应力状态中，z方向虽然没有应力，但有应变。只有 在纯切应力状态，没有应力的方向才没有应变。
金 二、平面应变问题 属 如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形， 塑 性 而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或 成 平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。 形 1、特点 原 z 0, zy zx 0 z 为主方向，各分量与z无关，对z的偏 理 导数为零 只有三个独立的应变分量： x , y , xy 金 2、几何方程 u 1 u v 属 x xy yx ( ) 变 x 2 y x 形 v 1 v w ( ) 的 y yz zy y 2 z y 物 w 1 w u 理 z zx xz ( ) z 2 x z 基 础 塑性变形时体积不变 x y
金 三、轴对称问题 属 塑 性 塑性成形中，经常遇到旋 成 转体，用圆柱坐标更为方便。 形 原 ( , , z ) 理 任意点坐标： 应力张量： 金 属 变 形 的 物 理 基 础
ij z
z
z z z
金 第三节 平面问题和轴对称问题 属 塑 一、平面应力问题 性 平面应力状态：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无 成 应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力 形 原 状态即为平面应力状态。 理 1、特点 1）某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为 主方向 z xz yz 0 2）各应力分量与z轴无关，应力分量对z的偏导数为零， 所有应力分布可在x,y坐标面内表示出来
3-3 平面问题和轴对称问题
设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零(W=0)，其余两个
方向的位移分量对z的偏导数必为零，所以：
z = xz yz 0 平面变形只有三个应变分量：εx，εy，γxy
根据体积不变条件有: x y
x xy 0 ij yx y 0
0 0 0
且满足几何方程:
x
u x
z
1 (w
2
u )
z
金属塑性成形原理
轴对称状态时，如图3-38所示，由于子午面在变形中始终不会发生 扭曲，并保持其对称性，所以应力状态具有以下特点：
1）在 θ面上没有切应力，τθρ＝τθz ＝0 ，所以应 力张量中只有四个独立的应力分量，即：
σρ，σθ，σz，σρz ，且σθ 是一个主应力。 2）各应力分量与θ坐标无关，对θ 的偏导数为零。
纯剪应力状态下的应力莫尔圆方程：
2
2
2 xy
12
τ L(0,τ)
y
τ1
σ1＝τ1
σ2＝－σ1
τ1
σ2
σ1
O
σ
O
x
图3-35 纯切应力状态及应力莫尔圆
M(0,-τ)
金属塑性成形原理
练习题1：
各单元体各面上的应力如图所示（应力单位MPa）。试利用应力莫尔
圆： 1）求指定截面（与x轴夹角为60°）上的应力；
2α1 σ1
D
σ
平面应力状态下的应力莫尔圆方程：
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
B(σy ,τyx)
σx+σy
平面应力状态中z方向虽然没有应力，但是有应变存在；只有在纯剪切时， 没有应力的方向才没有应变。
平面图形的对称性-北师大版选修3-4对称与群教案
平面图形的对称性-北师大版选修3-4 对称与群教案
1. 对称性的基本概念
在平面几何中，对称性是指图形可以通过某个中心或者某条直线变换后，自身与原来的图形完全相同。
这个中心或者直线称之为对称中心或对称轴。
对称有两种类型，分别是轴对称和中心对称，轴对称是图形相对于一条直线对称，中心对称是图形相对于一个点对称。
对称的基本概念有以下几个：
•对称图形
•对称中心
•对称轴
•对称操作
2. 对称性的性质
对称性具有以下的特点：
•对称图形和原图形面积相等，周长相等
•任何绕对称中心旋转角度不超过180度的对称操作都是轴对称或者中心对称
•同一个图形可以有不同的对称中心和对称轴
3. 对称性在平面几何中的作用
对称性在平面几何中具有重要的作用，它通过对图形进行变换，使之具有更好的美感和吸引力。
对称性还可以帮助我们进行图形的分类和研究，让我们更好地掌握图形的特点和性质。
同时，对称性还可以帮助我们在解决问题时，发现更多的对称性，进而找到更好的解决办法。
4. 对称性在群论中的应用
群论是对称性研究的数学理论，它研究对称性和变换的性质和关系。
对称性在群论中的应用非常广泛，可以帮助我们研究各种数学结构，如数学和物理中的对称性、图形、多面体等等。
总结一下，对称性是平面几何中的一种基本概念，具有许多重要的性质和作用，在群论中也有广泛的应用。
我们应该认真研究对称性，深度理解其性质和应用，为我们的学习和工作提供有力的支持。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
金 属 变 形 的 物 理 基 础
4、平面应力和平面应变状态的共同点 1) 某向（如z向）无切应力， zx zy 0 ，z为主方向； 2) σz或为零（平面应力）或为σm（平面应变），只有三个 独立分量， x , y , xy ，所以都叫平面问题； 3) 各应力分量与z无关，对z的偏导数为零，平衡微分方程 相同。
金 属 金 轴对称问题 属 塑 特点： θ向位移分量v=0，各分量与θ无关， θ为主方向， 性 z 0 成 形 原 只有四个独立的应变分量。 理 对于有些轴对称问题，例如均匀变形时 的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔及平砧 间圆柱体镦粗等，其径向位移分量u与坐 金 标ρ成线性关系，于是 属 变 形 均匀轴对称 的 u u 物 ,且 理 基 础
金 属 变 形 的 物 理 基 础
3、主应力
1 x y x y 2 xy 2 2 2 3 0
2
主应力σ1的方向与x轴向的夹角
arctan
1 2 xy
x y
金 4、纯切应力状态 属 塑 性 特点：主切应力平面上正应力为零，只有切应力 成 形 原 主轴与坐标轴成450 理
金 三、轴对称问题 属 塑 性 塑性成形中，经常遇到旋 成 转体，用圆柱坐标更为方便。 形 原 ( , , z ) 理 任意点坐标： 应力张量： 金 属 变 形 的 物 理 基 础
ij z
z
z z z
金 属 变 形 的 物 理 基 础
2、平面应力状态的应力张量
x xy y yx 0 0 0 0 0
x 0 zx 0 xz 0 0 0 z
0 0 0 0 y yz 0 zy z
主应力：
金 属 变 形 的 物 理 基 础
1 2 1
在平面应力状态中，z方向虽然没有应力，但有应变。只有 在纯切应力状态，没有应力的方向才没有应变。
金 二、平面应变问题 属 如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形， 塑 性 而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或 成 平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。 形 1、特点 原 z 0, zy zx 0 z 为主方向，各分量与z无关，对z的偏 理 导数为零 只有三个独立的应变分量： x , y , xy 金 2、几何方程 u 1 u v 属 x xy yx ( ) 变 x 2 y x 形 v 1 v w ( ) 的 y yz zy y 2 z y 物 w 1 w u 理 z zx xz ( ) z 2 x z 基 础 塑性变形时体积不变 x y
u v x , y x y 1 u v xy 2 y x
金 3、平面变形的应力特点 属 塑 1)由于平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭 性 曲，所以z平面上没有切应力分量 成 z 为主应力，z向为主方向， xz yz 0 形 原 1 1 z 为平均应力，是不变量 z ( x y ) ( 1 2 ) m 理 2 2 只有三个独立的应力分量。 x , y , xy 金 属 变 形 的 物 理 基 础 2)若以应力主轴为坐标轴，则有
金 3、平面变形的应力特点 属 塑 性 3)平面变形时，由于σz是不变量，而且其它应力分量都与z轴无 成 关，所以应力平衡微分方程和平面应力状态下的应力平衡微分 形 方程是一样的，即 x yx 原 0 x y 理
xy 0 x y y
金 第三节 平面问题和轴对称问题 属 塑 一、平面应力问题 性 平面应力状态：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无 成 应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力 形 原 状态即为平面应力状态。 理 1、特点 1）某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为 主方向 z xz yz 0 2）各应力分量与z轴无关，应力分量对z的偏导数为零， 所有应力分布可在x,y坐标面内表示出来
金 属 塑 性 成 形 原 理
轴对称状态：
当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质 点所处的应力状态称为轴对称应力状态。处于轴对称应力状态 时，旋转体的每个子午面(通过旋转体轴线的平面，即θ面)都始 终保持平面，而且子午面之间夹角保持不变。 特点： 1)过轴线子午面（ θ面）不扭曲 （保持平面），τθρ=τθz=0, σθ为主应 力，只有四个独立应力分量；
1 0 ij 0 2 0 0 1 2 ( 1 2 ) 0 0
平面变形的应力状态是 纯切应力状态叠加一球 应力状态。
0 1 2 ( 1 2 ) 0 1 2 ( 1 2 ) 0 0
0 0 1 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 0 1 ( ) 0 0 1 2 2 0 0 0 0
金 属 塑 2、平衡微分方程 性 x yx zx 成 0 x y z 形 原 xy y zy 0 理 x y z
xz yz z 0 x y z
x yx 0 x y （3-82） xy y 0 x y
ij 0 z 0
金 属 变 形 的 物 理 基 础
z
0 z
0
2)各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数为零。
金 特殊轴对称问题 属 塑 1）均匀轴对称（如圆柱体的平砧间均匀锻粗、圆柱体坯 性 料的均匀挤压和拉拔等） σρ=σθ, 只有三个独立应力分量。 成 形 2）轴对称平面问题（如忽略压边力的光滑圆筒件拉深） 原 理 轴对称特点： z 0 平面应力特点： z z 0