第03章_第03节_平面问题和轴对称问题
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u v x , y x y 1 u v xy 2 y x
金 3、平面变形的应力特点 属 塑 1)由于平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭 性 曲，所以z平面上没有切应力分量 成 z 为主应力，z向为主方向， xz yz 0 形 原 1 1 z 为平均应力，是不变量 z ( x y ) ( 1 2 ) m 理 2 2 只有三个独立的应力分量。 x , y , xy 金 属 变 形 的 物 理 基 础 2)若以应力主轴为坐标轴，则有
金 三、轴对称问题 属 塑 性 塑性成形中，经常遇到旋 成 转体，用圆柱坐标更为方便。 形 原 ( , , z ) 理 任意点坐标： 应力张量： 金 属 变 形 的 物 理 基 础
ij z
z
z z z
1 0 ij 0 2 0 0 1 2 ( 1 2 ) 0 0
平面变形的应力状态是 纯切应力状态叠加一球 应力状态。
0 1 2 ( 1 2 ) 0 1 2 ( 1 2 ) 0 0
0 0 1 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 0 1 ( ) 0 0 1 2 2 0 0 0 0
金 3、平面变形的应力特点 属 塑 性 3)平面变形时，由于σz是不变量，而且其它应力分量都与z轴无 成 关，所以应力平衡微分方程和平面应力状态下的应力平衡微分 形 方程是一样的，即 x yx 原 0 x y 理
xy 0 x y y
金 属 塑 2、平衡微分方程 性 x yx zx 成 0 x y z 形 原 xy y zy 0 理 x y z
xz yz z 0 x y z
x yx 0 x y （3-82） xy y 0 x y
金 属 塑 性 成 形 原 理
轴对称状态：
当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质 点所处的应力状态称为轴对称应力状态。处于轴对称应力状态 时，旋转体的每个子午面(通过旋转体轴线的平面，即θ面)都始 终保持平面，而且子午面之间夹角保持不变。 特点： 1)过轴线子午面（ θ面）不扭曲 （保持平面），τθρ=τθz=0, σθ为主应 力，只有四个独立应力分量；
金 第三节 平面问题和轴对称问题 属 塑 一、平面应力问题 性 平面应力状态：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无 成 应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力 形 原 状态即为平面应力状态。 理 1、特点 1）某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为 主方向 z xz yz 0 2）各应力分量与z轴无关，应力分量对z的偏导数为零， 所有应力分布可在x,y坐标面内表示出来
主应力：
金 属 变 形 的 物 理 基 础
1 2 1
在平面应力状态中，z方向虽然没有应力，但有应变。只有 在纯切应力状态，没有应力的方向才没有应变。
金 二、平面应变问题 属 如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形， 塑 性 而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或 成 平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。 形 1、特点 原 z 0, zy zx 0 z 为主方向，各分量与z无关，对z的偏 理 导数为零 只有三个独立的应变分量： x , y , xy 金 2、几何方程 u 1 u v 属 x xy yx ( ) 变 x 2 y x 形 v 1 v w ( ) 的 y yz zy y 2 z y 物 w 1 w u 理 z zx xz ( ) z 2 x z 基 础 塑性变形时体积不变 x y
金 属 变 形 的 物 理 基 础
3、主应力
1 x y x y 2 xy 2 2 2 3 0
2wenku.baidu.com
主应力σ1的方向与x轴向的夹角
arctan
1 2 xy
x y
金 4、纯切应力状态 属 塑 性 特点：主切应力平面上正应力为零，只有切应力 成 形 原 主轴与坐标轴成450 理
金 属 变 形 的 物 理 基 础
2、平面应力状态的应力张量
x xy y yx 0 0 0 0 0
x 0 zx 0 xz 0 0 0 z
0 0 0 0 y yz 0 zy z
金 属 变 形 的 物 理 基 础
只有两个独立应力分量
,
金 轴对称问题 属 塑 特点： θ向位移分量v=0，各分量与θ无关， θ为主方向， 性 z 0 成 形 原 只有四个独立的应变分量。 理 对于有些轴对称问题，例如均匀变形时 的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔及平砧 间圆柱体镦粗等，其径向位移分量u与坐 金 标ρ成线性关系，于是 属 变 形 均匀轴对称 的 u u 物 ,且 理 基 础
ij 0 z 0
金 属 变 形 的 物 理 基 础
z
0 z
0
2)各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数为零。
金 特殊轴对称问题 属 塑 1）均匀轴对称（如圆柱体的平砧间均匀锻粗、圆柱体坯 性 料的均匀挤压和拉拔等） σρ=σθ, 只有三个独立应力分量。 成 形 2）轴对称平面问题（如忽略压边力的光滑圆筒件拉深） 原 理 轴对称特点： z 0 平面应力特点： z z 0
金 属 变 形 的 物 理 基 础
4、平面应力和平面应变状态的共同点 1) 某向（如z向）无切应力， zx zy 0 ，z为主方向； 2) σz或为零（平面应力）或为σm（平面应变），只有三个 独立分量， x , y , xy ，所以都叫平面问题； 3) 各应力分量与z无关，对z的偏导数为零，平衡微分方程 相同。
金 3、平面变形的应力特点 属 塑 1)由于平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭 性 曲，所以z平面上没有切应力分量 成 z 为主应力，z向为主方向， xz yz 0 形 原 1 1 z 为平均应力，是不变量 z ( x y ) ( 1 2 ) m 理 2 2 只有三个独立的应力分量。 x , y , xy 金 属 变 形 的 物 理 基 础 2)若以应力主轴为坐标轴，则有
金 三、轴对称问题 属 塑 性 塑性成形中，经常遇到旋 成 转体，用圆柱坐标更为方便。 形 原 ( , , z ) 理 任意点坐标： 应力张量： 金 属 变 形 的 物 理 基 础
ij z
z
z z z
1 0 ij 0 2 0 0 1 2 ( 1 2 ) 0 0
平面变形的应力状态是 纯切应力状态叠加一球 应力状态。
0 1 2 ( 1 2 ) 0 1 2 ( 1 2 ) 0 0
0 0 1 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 0 1 ( ) 0 0 1 2 2 0 0 0 0
金 3、平面变形的应力特点 属 塑 性 3)平面变形时，由于σz是不变量，而且其它应力分量都与z轴无 成 关，所以应力平衡微分方程和平面应力状态下的应力平衡微分 形 方程是一样的，即 x yx 原 0 x y 理
xy 0 x y y
金 属 塑 2、平衡微分方程 性 x yx zx 成 0 x y z 形 原 xy y zy 0 理 x y z
xz yz z 0 x y z
x yx 0 x y （3-82） xy y 0 x y
金 属 塑 性 成 形 原 理
轴对称状态：
当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质 点所处的应力状态称为轴对称应力状态。处于轴对称应力状态 时，旋转体的每个子午面(通过旋转体轴线的平面，即θ面)都始 终保持平面，而且子午面之间夹角保持不变。 特点： 1)过轴线子午面（ θ面）不扭曲 （保持平面），τθρ=τθz=0, σθ为主应 力，只有四个独立应力分量；
金 第三节 平面问题和轴对称问题 属 塑 一、平面应力问题 性 平面应力状态：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无 成 应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力 形 原 状态即为平面应力状态。 理 1、特点 1）某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为 主方向 z xz yz 0 2）各应力分量与z轴无关，应力分量对z的偏导数为零， 所有应力分布可在x,y坐标面内表示出来
主应力：
金 属 变 形 的 物 理 基 础
1 2 1
在平面应力状态中，z方向虽然没有应力，但有应变。只有 在纯切应力状态，没有应力的方向才没有应变。
金 二、平面应变问题 属 如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形， 塑 性 而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或 成 平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。 形 1、特点 原 z 0, zy zx 0 z 为主方向，各分量与z无关，对z的偏 理 导数为零 只有三个独立的应变分量： x , y , xy 金 2、几何方程 u 1 u v 属 x xy yx ( ) 变 x 2 y x 形 v 1 v w ( ) 的 y yz zy y 2 z y 物 w 1 w u 理 z zx xz ( ) z 2 x z 基 础 塑性变形时体积不变 x y
金 属 变 形 的 物 理 基 础
3、主应力
1 x y x y 2 xy 2 2 2 3 0
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主应力σ1的方向与x轴向的夹角
arctan
1 2 xy
x y
金 4、纯切应力状态 属 塑 性 特点：主切应力平面上正应力为零，只有切应力 成 形 原 主轴与坐标轴成450 理
金 属 变 形 的 物 理 基 础
2、平面应力状态的应力张量
x xy y yx 0 0 0 0 0
x 0 zx 0 xz 0 0 0 z
0 0 0 0 y yz 0 zy z
金 属 变 形 的 物 理 基 础
只有两个独立应力分量
,
金 轴对称问题 属 塑 特点： θ向位移分量v=0，各分量与θ无关， θ为主方向， 性 z 0 成 形 原 只有四个独立的应变分量。 理 对于有些轴对称问题，例如均匀变形时 的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔及平砧 间圆柱体镦粗等，其径向位移分量u与坐 金 标ρ成线性关系，于是 属 变 形 均匀轴对称 的 u u 物 ,且 理 基 础
ij 0 z 0
金 属 变 形 的 物 理 基 础
z
0 z
0
2)各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数为零。
金 特殊轴对称问题 属 塑 1）均匀轴对称（如圆柱体的平砧间均匀锻粗、圆柱体坯 性 料的均匀挤压和拉拔等） σρ=σθ, 只有三个独立应力分量。 成 形 2）轴对称平面问题（如忽略压边力的光滑圆筒件拉深） 原 理 轴对称特点： z 0 平面应力特点： z z 0
金 属 变 形 的 物 理 基 础
4、平面应力和平面应变状态的共同点 1) 某向（如z向）无切应力， zx zy 0 ，z为主方向； 2) σz或为零（平面应力）或为σm（平面应变），只有三个 独立分量， x , y , xy ，所以都叫平面问题； 3) 各应力分量与z无关，对z的偏导数为零，平衡微分方程 相同。