第二章一元二次方程回顾与思考侯
上第二章一元二次方程回顾与思考
2
快乐学习 5
增长率与方程
5.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司 缴税的年平均增长率为多少?
解 : 设每年平均增长率为x, 根据题意, 得
40(1 x) 2 48.4.
解这个方程 : (1 x) 2 1.21, (1 x) 1.1, x 1 1.1, x1 1 1.1 10%; x2 1 1.1 0(不合题意, 舍去). 答 : 每年的平均增长率为10%.
快乐学习 4
几何与方程
4. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
解 : 3.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
x 2 56 x ( ) 196. 4 4
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快乐学习
4
几何与方程
4. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
配方法
公式法
ax² +bx+c=0(a≠0) 求根公式为： 4ac b b2
x 2a
________0。
二、基础知识
1. 判断下列方程哪些是一元二次方 程?并说明理由. 不是 (1) 2x=y2－1( ) (2) y2－2y－3=0( 是 )
一元二次方程回顾与思考
数学北师大版九年级上册一元二次方程 回顾与思考2
2 ( m 1 ) x x 1 0 2.已知关于x的一元二次方程 有实 5 m 且 m1 4 数根，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿
3.已知a,b,c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4,且 2 x 4 x b 0 关于x的方程 有两个相等的 实数根，试判断△ABC的形状。
4．分解因式法 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两 个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就 是原方程的解．
解下列方程
１(x+2)2=９（用直接开平方法）
2、x2-2x-1 =0（用配方法）
并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的 根． (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝
－b± b2－4ac 2a _______________________________________.
3．公式法
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④当 b 2 － 4ac≥ 0 时，则将 a ， b ， c 及b 2 － 4ac 的值代入求根公式 求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
；
解一元二次方程的方法有几种?
1．直接开平方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平 方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程， 根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时， x＝ ；当b＜0时，方程没有实数根． 2．配方法 (1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋ a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个 完全平方式，然后两边同时开平方． (2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边； ③配方，方程两边同时加
第二章 一元二次方程回顾与思考
第二章 一元二次方程回顾与思考时间：2011.11.28 主备人：九二数学老师 审核：九年级数学组学习目标：1。
会用适当的方法解一元二次方程。
2.能用一元二次方程解决实际问题。
一、导课知识回顾二、基础知识重现1、当m 时，关于x 的方程(m －1)12 m x +5+mx=0是一元二次方程.2、方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.3、将一元二次方程x 2-2x-2=0化成(x+a)2=b 的形式是 ；此方程的根是 .4、用配方法解方程x 2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－75、解下列一元二次方程(1) 4x 2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x 2=2x 2－6x(用分解因式法解)(3) (x ＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解) (4)(2x －1)2＋(1－2x)－6＝0;6.某公司一月份营业额100万元，第一季度总营业额为331万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？7、某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过5元的情况下，若每床的收费提高2元，则减少10张床位租出，若收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方式变化下去，为了获得1120元的收入，每床的收费每晚应提高多少元？三、小组交流四、课堂展示五、课堂检测1.关于x 的方程(k+1)x 2+3(k －2)x+k 2－42=0的一次项系数是－3，则k=_________.2．一个正方体的表面积是384 cm 2，则这个正方体的棱长为_________.3. 关于x 的方程(a+1)x 122--a a +x －5=0是一元二次方程，则a=_________.4.已知(x 2＋y 2－2)(x 2＋y 2)＝3,则x 2＋y 2＝ .5.请写出一个一元二次方程,使其一根为－1,你写的方程是 .6.已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2＋2m －3＝0的一个根为0,则m 的值为( )A.1B.－3C.1和－3D.不等于1的任何数7.已知2y 2＋y －2的值为3，则4y 2＋2y ＋1值为（ ）A ．10 B.11 C.10或11 D.3或18. 已知32+是方程x 2－4x ＋C ＝0的一个根，求方程的另一个根及C 的值.9、当m 为何值时，一元二次方程()()033222=-+-+m x m x 有两个不相等的实数根?10如图，在scm B AB A p ，B ，ABC 190以向点开始沿边从点点中︒=∠∆的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以scm 2的速度移动。
九年级上册第二章一元二次方程回顾与思考
第二章一元二次方程回顾与思考一、备课标：（一）内容标准：理解配方法，能用配方法解的数字系数的一元二次方程，能用因式分解法解数字系数的一元二次方程。
能用公式法解数字系数的一元二次方程。
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。
能利用一元二次方程解决简单的实际问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（二）核心概念：初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，探索具体问题中的数量关系并能根据数量关系列出方程，发展灵活运用数学知识解决实际问题能力。
十大核心概念在本节课中突出培养的是运算能力、模型思想、应用意识。
二、备重点、难点：（一）教材分析：本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解.济南中考中对于一元二次方程的要求主要包括一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，以及用一元二次方程的知识解决实际问题。
中考中对于这部分的考查形式多样，更多的是与其他知识综合考察，注重学生对于方程思想、转化思想等思想方法的考查，对于学生分析问题和解决问题的能力要求也比较高。
（二）重点、难点分析：重点：用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．利用一元二次方程解决实际问题难度：选择合适的解法解一元二次方程，如何从实际问题中抽象出方程的模型。
三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一次函数的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力；（2）支持性条件：学生初步体会了建立方程的模型思想，能从实际问题中抽象出等量关系。
一元二次方程 回顾与思考
例 如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q 同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C 匀速移动(到点C为止)，它们的速度都是1m/s，几 秒后△PCQ的面积为 Rt△ACB面积的一 半？ （课本第53页习题2.9第2题）
1 1 1 (8 x)(6 x) 6 8 2 2 2 解这个方程，得 x1 2, x2 12
1、当m
=－1 时，关于x的方程
(m－1) x2 +5+mx = 0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，
当 m ≠± 1 时，是一元二次方程；
当m =－1
时，是一元一次方程.
3、将一元二次方程x2-2x-2= 0化成 (x+a)2=b的形式是 (x－1)2=3
.
4、用配方法解方程x2+8x+9=0时 ，应将 方程变形为 ( A ) A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=－9 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=－7
2
2
25
2
解这个方程，得 x1 0(不合题意， 舍去), x2 10
∴10秒后P、Q两点相距25cm。
这节课你学会了什么？
课本57页第16、17题
第二章 一元二次方程
回顾与思考
1、一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2、解一元二次方程的方法有哪些？每种解 法的关键及具体步骤是什么？ 直接开平方法、配方法、公式法、 因式分解法 3、应用一元二次方程解决了哪些类型的 应用题？列方程解应用题的关键及具体 步骤是什么？
解这个方程，得
初中数学教学课例《一元二次方程》教学设计及总结反思
要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知
结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程
及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续
研究一元二次方程奠定了基础。
教学策略选
1、创设情景，引入新课
择与设计
因为数学来源与生活，所以以学生的实际生活背景
为素材创设情景，易于被学生接受、感知。帮助学生从 实际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的空间概念 和抽象能力。情景分析中学生自然会想到用方程来解决 问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的 求知欲望，顺利地进入新课，同时突破难点之一的“由 实际问题列出一元二次方程”。
则 a 的取值范围是________．
（三）、综合提高题
1．a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）=x-
（x+1）是一元二次方程？
2．关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元
二次方程吗？为什么？
四、应用拓展
例 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，
不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
课外作业：
教材 P4 习题 21．11、2．
数学课程标准指出：学生的数学学习内容应当是现
课例研究综 实的、有意义的、富有挑战性的，而动手实践、自主探
述
究与合作交流是学生学习数学的重要方式。本着这一理
念，在本课的教学过程中，我严格遵循由感性到理性，
A．p=1B．p>0C．p≠0D．p 为任意实数
（二）、填空题
1．方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为________，一
一元二次方程回顾与思考(二)演示文稿(1)
例题分析 例3、已知2+ 3 是方程x2-4x+c=0的一个根， 求方程的另一个根及c的值。
解法一：把x=2+ 3 代入得： (2+ 3 )2-4(2+ 3 )+c=0 解得：c=1 把c=1代入方程得x2-4x+1=0
解得：x1=2+ 3
x2=2- 3
3
所以另一个根是2-
，c的值是1
例题分析 例3、已知2+ 3 是方程x2-4x+c=0的一个根， 求方程的另一个根及c的值。
解法二：设另一个根为x2,则 (2+
3 )+x2=4
∴x=2- 3
又（2+ 3 ∴c=1 ）（2-
3 ）=c
巩固练习 2、已知方程3x2+2x-1=0的两根为x1,x2 求下列各式的值：
（1）x12+x22
(3)x1/x2+x2/x1
(2)x1x2-x1-x2-1
专题三 二次三项式ax2+bx+c的分解因式 (公式法）
第二章 一元二次方程 回顾与思考(二)
德安二中 黄敬春
专题一 一元二次方程根的判别式
知识点
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:
△=b2-4ac
(1) △＞0 (2) △=0 (3) △＜0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
例题分析 例1、如果关于x的一元二次方程kx2-4x+4=0 有两个不相等的实数根，那么k的取 值范围是（ C ) (A) k＜ 1 (B) k≠ 0 (C)k＜ 1且k≠ 0 (D)k＞1
巩固练习
1、如果关于x的一元二次方程 （x-2)(x-3)=m有两个不相等的实数根， m＞-1/4 那么k的取值范围是____________.
一元二次方程 小结与思考 (2)
课题：一元二次方程 小结与思考【学习目标】1．理解一元二次方程的概念，能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题．进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型并能够利用一元二次方程解决有关的实际问题。
2．经历解一元二次方程以及在具体的问题情境中建立方程模型的过程进一步发展学生应用数学的能力,在熟练掌握基础知识中体验建立一元二次方程数学模型的重要性，并运用这样的数学模型去解决生活中的实际问题。
3．通过本章内容的回顾与思考让学生在学习的过程中获得成功的体验，发展学生应用数学的意识并培养归纳、总结以及语言表达能力增强学生学习数学的自信心。
【重点难点】教学重点： 1.一元二次方程的概念及四种解法；2.列一元二次方程解决实际问题。
.教学难点：建立相关知识体系明确知识间的联系【课前预习】1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是（4）因式分解法：3. 一元二次方程根的判别式：其规律是：4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .【课堂追踪】一、出示教学目标二、复习过程（一）一元二次方程定义由一名学生解读课前预习1后口答下面两题。
(以下两题由各有一名学生口答，其他学生纠错)例题1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A 、2x ＋1＝0 B 、y 2＋x ＝1 C 、x 2＋1＝0 D 、 例题2. 关于x 的方程(m -2)x m2-2+3x-7=0 是一元二次方程，求m 的值。
一元二次方程的解法教学反思10篇
一元二次方程的解法教学反思10篇精华一元二次方程的解法教学反思10篇作为一名优秀的人民教师，我们要在教学中快速成长，在写教学反思的时候可以反思自己的教学失误，那么写教学反思需要注意哪些问题呢？以下是小编为大家整理的一元二次方程的解法教学反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
一元二次方程的解法教学反思1一元二次方程是九年级上册第二单元内容，是今后学习二次函数的基础，是初中数学教材的一个重要内容。
一、课前思考。
1、学生基础。
在七八年级学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的知识，有着很好的解题基础。
2、教学重点应放在解题方法上，让学生通过观察发现每一种解法的特征，是学生能够根据特征选择合适的解题方法。
3、应注意培养学生的解题技能，解题速度、解题的准确率，特别是利用配方法界一元二次方程时，必须让学生区分方程的配方与式子配方的不同。
4、每节课必须实行小测验，可根据题的难易水准不同，将题量控制在3——5道之间。
二、教学过程中学生出现的主要问题。
1、学生不善于观测，特别是在将四种方法全部学习完之后，学生不能很好的选择合适的方法。
例如：能用直接开平方的题，确将其展开再配方；能利用十字相乘法分解因式的，却选择公式法等。
2、对符号处理的不准确，贴别是一个负的无理分数和一个分数相加时，总是将负号放在分数线的前面。
3、十字相乘法中，常数项分解为两个数相乘时，出现符号错误。
4、用配方法计算时错误率较高。
5、用公式法计算时，没有将b2——4ac的.结果放在根号下。
三、教后反思1、今后在将四种方法讲完之后，要用两节课的时间实行综合练习，第一节课能够采用让学生练习解题的方式，第二节课能够采用让学生说解法、让学生找解题错误之处方法实行。
2、增加小测验的力度，能够将题量减小，次数增加。
这样不但能够增加学生的信心，也能够通过持续的重复，增强学生的熟练水准。
3、为了让学生学会选择合适的方法解题，能够采用同桌互相按要求出题的方法，达到学生对各种解法特征的目的。
(滕州洪绪中学王宜军)第二章一元二次方程回顾思考.doc
课时课题：第二章一元二次方程回顾与思考课型：复习课授课人：滕州市洪绪中学王宜军授课时间：2012年 10 月 16日，星期二，第一节课教学目标：1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想.2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.教法及学法指导：本节应用“学导练当堂清”教学模式，引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，学会解决问题的方法.通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.本章的重点：一元二次方程的解法和应用.本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.课前准备：制作课件,构建知识结构及导学案完成工作.教学过程:第一环节：构建知识结构师生活动内容：在授完本章新课知识后，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.此活动内容在上课前一天布置，让每一位学生都提前做好准备.上课时，选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.同时，教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是：利用一元二次方程解决实际问题.设计意图：学生在整理本章知识结构的同时，可以回顾本章的重点内容，细细体会解一元二次方程的“转化”思想，找寻利用方程解决实际问题的关键.活动的实际效果：基于对学生两年来的不间断训练，绝大分学生可以对本章的主要内容以及注意点详细地总结出来，只是呈现形式略微不同.但也有少数同学只是泛泛地停留在书本上的定义、黑体字上，对于更深入的内容总结不到位，这部分同学在教学中往往也是需要特别关注的同学，需要我们教师从各方面来激发他们对数学学习的兴趣.教师利用实物展台展示部分学生的作业：学生甲的本章知识结构学生乙的本章知识结构：本章的知识体系包括三大部分：（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是：⑴只含有一个未知数；⑵未知数的最高指数必须是2；(3)二次项系数不为0）（二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴直接开平方法；⑵配方法；⑶公式法；⑷分解因式法.（注意：在运用配方法解一元二次方程时，一般先将二次项系数化为1；在运用公式法解一元二次方程时，必须先将方程化为ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式，同时判断b2-4ac是否≥0，如果b2-4ac≥0，才可用公式a acbbx24 2-±-=求解）（三）一元二次方程的应用：花边、道路宽度（P42引例）；梯子滑动（P43引例）；养鸡场问㈠问题情景---- —元二次方程1、定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.⑴直接开平方法⑵配方法⑶公式法ax2+bx+c=0 (a≠0，b2-4ac≥0)的解为：aacbbx242-±-=⑷分解因式法2、解法：3、应用：其关键是能根据题意找出等量关系.题（P 56 2）；古算题（P 65 1）；简单动点问题（P 66 2）；利润问题（P 66 例2）（其关键是能找出题目中的等量关系，列出方程）设计意图：让学生养成良好的梳理所学数学知识的习惯，同时展示部分学生的作品，让学生相互借鉴，共同提高，同时使被展示的学生享受到成功的喜悦.第二环节：基础知识重现师生活动内容：以投影形式展示一组基础题目，内容涉及一元二次方程的定义和解法.其中，1、2小题采取口答形式，第3、4小题对比来做，体会其中的方法，第5小题采取3个同学分别板演、其他同学纠错、教师集中规范的方式来解决.1、当m 时，关于x 的方程(m －1)12 m x +5+mx=0是一元二次方程.2、方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.3、将一元二次方程x 2-2x-2=0化成(x+a)2=b 的形式是 ；此方程的根是 .4、用配方法解方程x 2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )5、解下列一元二次方程(1) 4x 2－16x+15=0 (用配方法解)(2) 9－x 2=2x 2－6x(用分解因式法解)(3) (x ＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)设计意图：上述这一组题目主要目的是巩固对一元二次方程定义的理解、熟练地解一元二次方程.其中，第1、2小题对比，加深学生对一元二次方程和一元一次方程定义的理解；第3、4小题均是对一元二次方程配方法掌握程度的检验，同时，这部分内容所涉及的方法也是后续“二次函数”学习的基础，此处，也为二次函数的学习奠定一定的基础；第5小题设置三道小题，分别限定方法让学生来解一元二次方程，让学生熟练方程的解法.教学效果及注意的问题：对于第1题，学生普遍掌握比较好，但对于与之对比的第2题，有部分同学存在一定的问题，尤其是对于何时是一元一次方程，更是没有思路，通过这两道题的对比，使学生对方程的定义更加深了理解，也明确了判断一个方程是何类方程时，不仅要关注未知数的次数，还要注意系数；对于第5小题中的第（3）小题，部分学生直接用分解因式法来做，这也是本题设置的一个重要意图：当方程中等式右侧不为0时，不可以直接用分解因式法来做，而要先化成一般形式，再具体选用方法.通过这几道题，让学生关注了方程中的易错点，对于今后的学习也作了部分铺垫.第三环节：情境中合作学习师生活动内容：在本环节中，选择具有代表性的三类实际问题：利润问题、简单动点问题、周长一定的面积问题作为例题及小组合作学习的题目，其中的1、3小题作为例题，2、4小题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小组合作完成，第5题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、列方程即可.教师点拨思路:对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题：（1）成本为多少？（2）“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的作用是什么？（3）“售价每上涨1元就少卖10支”的作用？（4）利润的表达形式有哪几种？（5）本题中的等量关系是什么？在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其它的思路，进行一题多解.对于第3题，可以从以下几个方面入手分析：（1）题目中的等量关系是什么？（2）点P 、Q 移动的过程中，哪个量是相同的？（3）如何求出△PCQ 的面积？（4）如何求出Rt △ACB 面积？对于第5题，着重于第（4）（5）两个小问题，需要借助于一定的经验加以解决.同时，此题是典型的二次函数最值问题，放在此处，给学生一个直观的感受.1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？3、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BC=6m ，AC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，已知点P 移动的速度是20cm/s ，点Q 移动的速度是10cm/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的85？ 4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°， AC=6m ，BC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△ A B C P Q CB P Q APCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？5、新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m ，(1) 花圃的面积能达到180m 2吗？(2) 花圃的面积能达到200m 2吗？(3) 花圃的面积能达到250m 2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．(4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此时，篱笆该怎样围？(5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，此时花圃的最大面积会是多少，篱笆该怎样围？设计意图：让学生熟悉一元二次方程应用中的几种主要模型，明确解决各类问题的关键是找寻题目中蕴含的等量关系；另外，这几种问题情景也是在二次函数中频繁出现的实际问题，若在此处有一个良好的基础，势必会对学习二次函数的学习起到事半功倍的效果. 实际效果及问题再现：将1、3两道小题作为例题，学生彻底理解透彻后，本章的基本应用学生已大致掌握，数学建模思想初步形成.在第2题的合作学习过程中，呈现出了不同的思维形式，各组针对“用于购进这批衬衫的资金不多于1500元”展开了讨论，有的同学认为这是一个无用的条件；有的同学认为在解题之初，要结合进价来用；有的同学认为按常规思路解决完问题之后，用来确定最终的解的合理性.各种想法的提出，真正展现了学生开阔的思维，真正体现了合作学习的优势. 第四环节：巩固提高师生活动内容：重点放在一元二次方程的实际应用上，内容呈现形式多样化，设置实际背景比较全面.其中3、4小题表面上看类似，实际有一定的差异，可以对比来看；第5小题为后续学习的二次函数作铺垫；第7题为一道经典的中考真题，让学生感受一下中考的氛围.1.新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向.一条横向，且横向.纵向互相垂直)，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面积的6511.则甬路宽为多少米？设甬路宽为x 米，则根据题意， A B CD A B C D可列方程为 .2.由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得消费者，在半年之内连续两次降价，从4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为x ，则根据题意，可列方程： .3.王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x 人，则根据题意，可列方程： .4.初三.三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x 名学生，则根据题意，可列方程( )5.一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB=100海里.若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 设计意图：对本节知识进行巩固练习,进一步检测学生的学习复习效果. 教学效果：通过对这些题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下学期二次函数的学习奠定一定的基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图. 第五环节：课堂小结师生活动内容：师生共同总结本节课的收获，内容主要设计以下几个方面：（1）整节课的感悟：如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义；在计算时要做到细心；对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等；（2）解决问题时所用到的方法；（3）对于某个知识点的困惑；（4）通过本节课的学习，自己的最大收获.设计意图：学生对数学知识的理解、数学方法的掌握和数学情感的感悟，力争使每个层次的学生在本节课学有所获.东 北BA实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，每个同学的感受也揭示了各自的良好学习方法，为其他同学的学习、听讲等方面提供了有效的借鉴.达标检测：导学案达标题目，当堂面批，及时纠错.板书设计：课题：第二章一元二次方程回顾与思考1.—元二次方程:2.解下列一元二次方程(1)4x2－16x+15=0(用配方法解)(2)9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)(3)(x＋1)(2－x)=1(选择适当的方法解)教学反思：1.作为一章的复习课，本节课设置的内容较为全面细致，重点突出，课堂容量相对来说较大，学生的分组讨论从时间上来看较为紧张，因而，应该更好地规划对某些题目的处理.2.通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己的机会，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.3.学生的学习合作小组也应该是动态的，所学知识的不同，学生的反应也不相同，在分组时，应该将思维形态类似的同学放在一组，这样，可以避免让一些思维活跃的学生代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.同时，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.此外，作为一个较大的章节复习课，希望一节课完成上面所有的任务，是比较困难的，因此，建议根据学生状况灵活选择其中部分例习题，如有可能，将例习题分解成两个课时．。
第二章回顾与思考课件2024--2025学年北师大版九年级数学上册
4
4
解得 x1= 28 + 4 51 > 5（6 舍去），x2=
28 - 4 51 < （0 舍去）．
∴这两个正方形的面积之和不可能等于200cm2．
12. 解方程 (x -1)2-5(x-1) + 4 = 0 时，我们可以将 x-1 看成一个整体，
设x-1 = y，则原方程可化为 y2- 5y + 4 = 0，解得 y1 = 1，y2 = 4. 当 y = 1时，即 x-1=1，解得 x = 2; 当 y = 4 时，即 x-1= 4，解得 x =
解: 设应多种 x 棵桃树．
则有 (100+x)(1000－2x) 1000×100(1+15.2％),
解得 x1 = 380(舍去)，x2 = 20． 所以，要使产量增加 15.2％，应多种 20 棵桃树．
17. 一个直角三角形的斜边长 7 cm，一条直角边比另 一条直角边长 1 cm，求两条直角边的长度. 设一条直角边为 x cm，另一条直角边是 x − 1 cm. x2 + (x − 1)2 = 72
m 需要多长时间？
解:当 S = 10t + 3t2 = 200时，t1= −10(舍去)，t2=
20 ． 3
所以，行驶 200m 需 20 s． 3
15. 如图，在一块长 92 m、宽 60 m 的矩形耕地上挖三条水 渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个矩形小块，水渠应挖多宽？
2a
2
x1= 5 3 x2 = 5 3
[(x+1)− 2][(x+1)− 1]=0
(x+1)− 2=0(x+1)− 1=0
2、7 第二章 一元二次方程 回顾与思考
150支．
第三环节：情境中合作学习
2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，
根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每
月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1
元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫
月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这 批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如 何定价？此时该进货多少？
第四环节：巩固提高
1、新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地
上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、
纵向互相垂直)，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩
形场地面积的 为
11 65
，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x .
米，则根据题意，可列方程
.. 2、由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得
解:设每件售价上涨x元,则售价为（20+x）元,卖 出的件数为（200-10x）件 所以利润为(20+x-16)(200-10x)=1350 化简得： x² -16x+55=0 (x-5)(x-11)=0 x=5或x=11 此时则购进这批衬衫的价格为：16×（200-10x） 当x=5时,16×（200-10x）=2400（元） 当x=11时,16×（200-10x）=1440（元） 题目要求我们购进这批衬衫的资金不多于1500 元,所以x=11. 所以这种衬衫的定价为20+11=31（元/件） 此时该进货的数量为200-10x=90（件）
每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上
涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种
钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？ 此时店主该进货多少？
分析 解答
解：设涨了x元，依题意，得
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程回顾与思考课件
当二次项系数为1时
两边加上一次项系数一半的平方
x2 - 2x + 1 = 6
(2) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x
+ 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（ A ）
A．13
B． 15
C．18
D．13 或 18
任意两边之和大于第三边
针对训练
3. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长是方程
6.（开放题）若关于 x 的一元二次方程 x2 - x + m = 0 有两个不
相等的实数根，则 m 的值可能是 0 （写出一个即可）．
考点五
一元二次方程的根与系数的关系
+ = − , ∙ =
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，
(1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量；
解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = (80 - 2x) 件.
成本为每件 20 元;销售价为 24 元,售出 32 件；上涨 2 元,少售出 4 件.
(2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，
该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
Δ ＞ 0,两个不相等的实数根；
Δ = 0,两个相等的实数根；
Δ ＜ 0,两个不相等的实数根。
= 16 + 12m ＞ 0，
解得 >
4
3
针对训练
5. 下列所给方程中，没有实数根的是（ D ）
A. x2 + x = 0
B. 5x2 - 4x - 1 = 0
第二章《一元二次方程》回顾与思考
课堂小结
丰 富 的 问 题 情 景
一 元 二 次 方 程
近似解
精确解
当m
时，是一元二次方程；
当m
时，是一元一次方程。
典型例题 例2、解下列方程：
(1) x2 12x 27 0; (配方法)
(2) x2 x 56; (公式法) (3) x(5x 4) 5x 4. (分解因式法)
针对练习
2、解方程时 (x 1)2 5(x 1) 4 0 ，我们可以将 x 1看成一个整体，设 x 1 y，则原方程可化为 y2 5y 4 0 ，解得 y1 1， y2 4。当 y1 1 时， 即 x 1 1，解得 x 2；当y1 4时，即 x 1 4 ， 解得 x 5。所以原方程的解为x1 2， x2 5。请 利用这种方法解方程：(3x 5)2 4(3x 5) 3 0 。
应用(检验根 的合理性)
配方法 公式法 分解因式法
典型例题
例3、甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元， 该公司缴税的年平均增长率为多少？
针对练习
3、我国是世界上受沙漠化危害最严重的国家之 一，沙化土地面积逐年增长。2000年初我国沙化 土地面积约为261.5万米2，到2002年初沙化土地 面积已达近262万米2，假设沙化土地面积每年的 增长率相同，那么增长率大约是多少？
北师大版九年级(上)
回顾与思考
知识网络
丰 富 的 问 题 情 景
九年级数学第二章二次函数与一元二次方程;回顾与思考北师大版知识精讲
九年级数学第二章二次函数与一元二次方程；回顾与思考北师大版【本讲教育信息】一、教学内容最大面积是多少；二次函数与一元二次方程；回顾与思考二、教学目标1、能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，掌握并运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值，经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。
2、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
3、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
4、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h （h 是实数）交点的横坐标。
5、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力。
三、知识要点1、建立二次函数模型解答“最大面积”问题的一般步骤（1）分析几何图形的特点，设出自变量x ，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数关系式；（2）利用公式法或配方法求出其最大（小）值； （3）结合实际问题写出结果。
2、二次函数()02≠++=a c bx ax y 与一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的关系（1）对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，可化为一元二次方程02=++c bx ax 。
因此，当抛物线与x 轴相交时交点的横坐标就是一元二次方程02=++c bx ax 的根。
（2）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为()2121,x x x x <，则抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点为)0,(),0,(21x x ，对称轴为直线221x x x +=。
①当042<-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 无解，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点。
②当042=-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点。
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二、一元二次方程的解法
方法 直接开平 方法 配方法 公式法 适合方程类型 (x+a)²=b (x+a) =b x²+px+q=0 +px+q=0 ax²+bx+c=0(a≠0) 求根公式为： 求根公式为：
− b ± b 2 − 4ac x= 2a ________________
注意事项 b≥0时有解， b≥0时有解，b＜0时 时有解 ____. 无解
是)
(5)y2=9(
(4) z(3z-1)=3z2+1( ) 不是 (6)y2-2y3+1=0(不是)
三个条件:(1)是整式方程 (2)只含有一个 是整式方程. 只含有一个 三个条件 是整式方程 未知数. 未知数的最高次数是 未知数的最高次数是2 未知数 (3)未知数的最高次数是
2.方程(m-2)xImI+3mx+1=0是关于X的 方程(m+3mx+1=0是关于 是关于X 方程(m ＿ 一元二次方程， 一元二次方程，则 m =______ 2 3.关于x的方程(k +2(k3.关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+44=0 关于 ≠±1 ± － k______时 为一元二次方程, 当k______时,为一元二次方程,当k=__1 时为一元一次方程. 5)=6x的二次项系数是 方程 的二次项系数是 2 _____，一次项系数是 3 ，常数 ，一次项系数是______， 项是________ 项是 －5
方程变形为ab=0 ab=0的 因式分解 方程变形为ab=0的 形式，则a=0或b=0。 法 形式， a=0或b=0。
二、基础知识
1. 判断下列方程哪些是一元二次方 并说明理由. 程?并说明理由. 不是 (1) 2x=y2－1( ) (2) y2－2y－3=0( 是 ) (3)
2 2-－-3=0( ) 不是 x X
列方程解应用题的解题过程
1. 审清题意，弄清题中的已知量和 审清题意，
未知量找出题中的等量关系。 未知量找出题中的等量关系。 设出未知数， 2. 恰当地设出未知数，用未知数的 恰当地设出未知数 代数式表示未知量。 代数式表示未知量。 3. 根据题中的等量关系列出方程。 根据题中的等量关系列出方程。 等量关系列出方程 4. 解方程得出方程的解。 解方程得出方程的解。 得出方程的解 5. 检验根的合理性。 检验根的合理性。 6. 作答注意单位。 作答注意单位。
本节课你有什么收获？ 本节课你有什么收获？
一元二次方程回顾与思考
学习目标： 学习目标：
1、熟练掌握一元二次方程的解法，能 熟练掌握一元二次方程的解法， 灵活选择方法解一元二次方程。 灵活选择方法解一元二次方程。 2、能利用方程解决有关实际问题，提 能利用方程解决有关实际问题， 高学生的应用能力。 高学生的应用能力。
一、要点回顾
1、一元二次方程的概念与判断 、 （1）定义：一般地，等号两边都是整式，只含有 ）定义：一般地，等号两边都是整式， 一个未知数 一元）， ____未知数（一元），并且未知数的最高次数 未知数（ ），并且未知数的最高次数 的方程， 是_____的方程，叫一元二次方程。 2 的方程 叫一元二次方程。 （2） 判断一个方程是否是一元二次方程看三个 ） 整式 方程 条件： 方程； 含有_____未知数 未知数； 条件：①是____方程； ②含有 一个 未知数； 未知数的最高次数是____. ③未知数的最高次数是 2 （3）一元二次方程的一般形式： ）一元二次方程的一般形式： ax²+bx+c=0(a≠0) ______________________.
(2)要使这两个正方形的面积之和等于 (2)要使这两个正方形的面积之和等于 196cm² 该怎么剪？ 196cm ，该怎么剪？
长的铁丝围成(不剪 用56cm长的铁丝围成 不剪 长的铁丝围成 不剪)
(3)正方形的面积之和能等于200cm (3)正方形的面积之和能等于200cm2吗? 正方形的面积之和能等于
二次项系数若不为1 二次项系数若不为1，必 须先将系数化为1，在进 须先将系数化为1 配方 行____. 当b²-4ac＞0时，方程有 -4ac＞ ____________； ____________； 两个不相等的实根 当b²-4ac=0时，方程有 -4ac=0时 __________________； __________________； 两个相等的实根 当b²-4ac＜0 ，方程无 _________时 _________时 ＜ 实数根。
不可能
四、过关测试 1、（ ）x1=-3，x2=-9; 、（1） 、（ ， （2）x1=-5，x2=-4; ） ， （3）x1=0，x2=1; ） ， （4）x1 = 5 + 3; x2 = 5 − 3 ） 2、小路宽3m . 、小路宽
五、中考动态
1、m为实数 求证 关于 的方程 、 为实数 求证:关于 为实数,求证 关于x的方程 x2+(2m-3)x-(m-1)=0必有两个不相等 必有两个不相等 的实数解. 的实数解
6.当x为何值时,代数式x − 13x + 12的值为0?
2
解:依题意得: x2 − 13 x + 12 = 0 a=1,b=-13,c=12 ∴ b − 4ac = (−13) − 4 ×1×12 = 121〉 0
2 2
13 ± 121 13 ± 11 ∴x = = 2 ×1 2 ∴ x1 = 12, x2 = 1
10%
3、将一条长为56cm的铁丝剪成两段，并把 将一条长为56cm的铁丝剪成两段， 56cm的铁丝剪成两段 每一段铁丝做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 该怎么剪？ 100cm2 ，该怎么剪？
一段为24cm，另一段为32cm。 ，另一段为 一段为 。
5、选用适当的方法解下列方程: 、选用适当的方法解下列方程 (1)2x2-5=0 (2)3x2=4x (3)4x2=0 (4)y2-10y-10=0 (5)16(x-1)2=9(2x+1)2
缺少一次项常用直接开平方法 缺少常数项常用 缺少一次项常用直接开平方法,缺少常数项常用因 直接开平方法 缺少常数项常用因 式分解法,当一边为零另一边易因式分解时也常用 式分解法 当一边为零另一边易因式分解时也常用 因式分解法 公式法和配方法适用于任何 ________________.公式法和配方法适用于任何 一个一元二次方程(b 一个一元二次方程 2-4ac≥0)
三、一元二次方程的应用
1、两个数的差等于4,积等于45,求这两个数. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数. 4,积等于45,求这两个数
-9，-5或5，9 ， 或 ，
2、甲公司前年缴税40万元,今年缴税48.4 甲公司前年缴税40万元,今年缴税48.4 40万元 万元,该公司缴税的年平均增长率为多少? 万元,该公司缴税的年平均增长率为多少?