1.3 克莱姆法则(1)
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则教学目的及要求： 1.克莱姆法则2.利用克莱姆法则求解线性方程组教学重点、难点： 克莱姆法则的应用教学过程：一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。
在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。
含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组a 11x 1 a 12x 2 a 1n x nb 1,a 21x 1a 22x 2a 2n x nb 2,(1)a n1x 1 a n2x 2 a nn x nb n ,a 11 a 12 a 1n Da 21a 22a 2na n1 a n2 a nn2. 克莱姆法则定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组，即a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n0,a 21x 1a 22x 2 a 2n x n0,(2)a n1x 1 a n2x 2 a nn x n0.称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一2 2 5 20,20,8545D jx j D(j 1,2, ,n) (3)其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0.注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)有非零解.三、例题选讲例 1 用克莱姆法则求解线性方程组：2x1 3x2 5x3 2x1 2x2 53x 2 5x3 4解D20235D1( 2) 2 5D260,1820.D 1D 2 D 3x 11, x 23, x 311D2D 3D例 3（ E02） 大学生在饮食方面存在很多问题 ，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食 没有规律， 为了身体的健康就要制订营养改善行动计划， 大学生一日食谱配餐： 需要摄入一 定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。
1.3克莱姆法则
例
用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
b1 a12 b2 a22 x1 = , a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 x2 = a11 a12 a21 a22
三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
a11 a21 A= M an1
a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann
克拉默法则) 定理 (克拉默法则 克拉默法则
如果n元线性方程组的系数行列式 如果 元线性方程组的系数行列式
A ≠ 0 ,则方程组有唯一解 且 则方程组有唯一解 则方程组有唯一解,且 Bi xi = , i = 1, 2,L , n A
思考题解答
此时方程组的解为无解或有无穷多解. 此时方程组的解为无解或有无穷多解
有非零解？ 有非零解？
解:
1 − λ −3 + λ 4 1 − λ −2 4 1− λ 1 A= 2 3−λ 1 = 2 1 0 1− λ 1 1 1− λ 3 = (1 − λ ) + ( λ − 3) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )( −3 + λ )
线性代数1[1].3_Cramer法则
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(2 )
若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。 若有一组不全为零的数是 的解，称为非零解。 的解 非零解
定理1.4： 定理 ： 如果齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0, 则齐次线性方程组只有零解 只有零解。 则齐次线性方程组只有零解。 有非零解， 定理1.5： 如果齐次线性方程组有非零解 定理 ： 如果齐次线性方程组有非零解， 行列式必为0。 则它的系数行列式必为 则它的系数行列式必为 。 系数行列式
若用Cramer法则求此方程组的解，有 法则求此方程组的解， 若用 法则求此方程组的解
1 1 1 1 − 1 ( −1)2 D= 1 2 22 1 − 2 ( −2 ) 2
1 ( −1)3 23 ( −2 ) 3
（考虑范德蒙德行列式） 考虑范德蒙德行列式） 范德蒙德行列式
D = DT
1 1 1 13
4 1 1− λ
(1 − λ )3 + (λ − 3 ) − 4(1 − λ ) − 2(1 − λ )(− 3 + λ ) = (1 − λ )3 + 2(1 − λ )2 + λ − 3 = − λ ( λ − 2 )( λ − 3 ) =
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解。 所以 λ = 0, λ = 2 或 λ = 3 时齐次方程组有非零解。
在把 n 个方程依次相加,得 个方程依次相加 得
n n n ∑ ak 1 Akj x1 + L + ∑ akj Akj x j + L + ∑ akn Akj xn k =1 k =1 k =1 = ∑ bk Akj ,
克拉默法则
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
4.小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2
a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
易知， x1 x2 xn 0 一定是(2)的解，
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
再把 n 方程依次相加，得
n k 1
ak1 Akj
x1
n
k
1
akj
Akj
克莱姆法则PPT资料优秀版
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
ann xn bn.
为n元线性方程组。
（1）
克莱姆法则
定理1：克莱姆法则 如果线性方程组(1)的系数行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a11 j a21
a1, j1 b1 a1, j1 a2, j1 b2 a2, j1
a1n
a2n j 1, 2, , n
an1
an, j1 bn an, j1
ann
克莱姆法则
注意！
一、用克莱姆法则求解含有n 个方程、n 个未知量的线性方程组,
有两个条件必须满足: 1. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 2. 方程组的系数行列式不等于零，即 0
解 如果齐次线性方程组（3）的系数行列式Δ≠0,则它只有唯
所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组.
线性方程组（3）称为齐次线性方程组。
若齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式Δ=0,即 解线性方程组 所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 此方程组的解是(2)式.
2 1 1 2 1 2 1 2 已知齐次线性方程组
有非零解,问λ 应取何
解 线性代数在线开放课程
而： (货物运输)：某物流公司有3辆汽车同时运送一批货物,一天共运8800吨,如果第1辆汽车运2天,第2辆汽车运3天,共运货物13200吨,如果第1辆汽车运1天,第2辆汽车运2天,第3辆汽车运3天
4 0 1 4 2 4 1 4 ,共运货物18800吨,问每辆汽车每天可运货物多少吨?
克莱姆法则求解行列式
克莱姆法则求解行列式1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：概述部分应该介绍文章的主题和背景，同时概述克莱姆法则在求解行列式中的重要性和应用。
可以简要介绍克莱姆法则的定义和原理，以及它在线性代数中的重要性和广泛应用的领域。
克莱姆法则是线性代数中解线性方程组的一种方法，通过利用行列式的性质来求解方程组中的变量。
它得名于法国数学家克莱姆，被广泛应用于数学、物理学、工程学等各个领域中。
在解决实际问题时，常常需要求解一些线性方程组，通过克莱姆法则，我们可以将这一过程转化为求解行列式的问题，从而简化求解过程。
克莱姆法则基于行列式的性质，将方程组的系数矩阵转化为行列式，然后通过计算行列式的值来求解方程组的解。
这种方法在一些具有特殊结构的方程组中特别有效。
克莱姆法则在求解行列式中具有一些重要的优势。
首先，它提供了一种简便的方法来求解行列式，避免了其他复杂的计算过程。
其次，它可以通过行列式的性质直接得到方程组的解，无需进行矩阵的求逆等运算。
这使得克莱姆法则在一些特殊情况下具有更高的效率和精度。
通过本文的研究，我们旨在深入探讨克莱姆法则在求解行列式中的原理和应用，分析其优势和局限性，并总结出一些有关克莱姆法则的重要结论。
在后续的章节中，我们将介绍克莱姆法则的详细原理和应用，并通过具体的例子来说明其实际应用的过程和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下内容进行讨论和阐述克莱姆法则在求解行列式中的应用：1. 克莱姆法则的介绍和原理：我们将详细介绍克莱姆法则的基本概念和原理。
包括行列式的定义和性质，以及克莱姆法则的推导和证明过程。
通过深入理解克莱姆法则的基本原理，我们可以更好地应用该法则解决实际问题。
2. 克莱姆法则的应用：本节将重点讨论克莱姆法则在求解行列式中的具体应用。
我们将通过一些实例和案例来说明如何利用克莱姆法则求解各种规模的行列式。
同时，我们将介绍一些常见的应用场景，如线性方程组的求解和矩阵的逆运算等，以展示克莱姆法则在实际问题中的广泛适用性。
克莱姆法则及其应用1
目录前言 (4)1. 克莱姆法则的定义 (4)2. 克莱姆法则的证明 (4)2.1 克莱姆法则的一般证明方法 (4)2.2克莱姆法则的简易证明 (9)2.3克莱姆法则的一个新证明.......................... 错误!未定义书签。
3. 克莱姆法则的应用................................................................................. 错误!未定义书签。
3.1 三维相对论欧拉方程组的洛仑兹不变性———克莱姆法则的应用 ............................. 错误!未定义书签。
3.2 关于相容线性方程组的广义克莱姆法则................................................... 错误!未定义书签。
结论 (26)参考文献 (27)摘要克莱姆法则是高等代数中的重要内容.本文首先介绍了克莱姆法则的定义，接着给出了克莱姆法则的证明，比如克莱姆法则的一般证明方法，简易证明以及有关它的新的证明方法，最后介绍了有关克莱姆法则在实际中的应用，比如三位相对论欧拉方程组的洛伦兹不变性和关于相容性线性方程组的广义克莱姆法则等.关键词：克莱姆法则；定义；证明；应用；广义克莱姆法则AbstractCramer law is an important content in the advanced algebra.This paper firstly introduces the definition of law cramer.Then gives cramer law proof,such as the laws of cramer general ways to prove, simple and easy proof and the relevant new ways to prove it.At last, the paper introduces the relevant cramer law in real application, such as three relativity euler equations of lorenz invariance and compatibility of linear equations about generalized cramer law, etc.Key words: cramer law；Definition；Proof；Application；General cramer law克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cram er,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
用克莱姆法则求解方程 概述及解释说明
用克莱姆法则求解方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文将介绍克莱姆法则在解方程中的应用。
克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，通过使用矩阵和行列式的概念，能够简洁地求得方程组的解。
本文将详细说明该方法的原理、适用条件、算法步骤以及其在不同领域中的应用。
1.2 文章结构文章分为以下几个部分：引言、克莱姆法则概述、克莱姆法则的应用领域、克莱姆法则局限性与优缺点分析以及结论和总结。
下面将对每个部分进行详细说明。
1.3 目的本文旨在全面介绍克莱姆法则，并通过实例和案例分析展示其在实际问题中的应用。
同时，对于该方法所具有的局限性和优缺点进行客观评述，以便读者深入理解和掌握克莱姆法则并对其进行合适的应用选择。
请根据以上内容撰写“1. 引言”部分内容，确保信息传达清晰连贯，并避免包含网址或其他特殊格式。
2. 克莱姆法则概述:2.1 原理说明:克莱姆法则（Cramer's Rule）是一种用于求解线性方程组的方法。
它基于矩阵论和行列式的相关知识，通过分别计算系数矩阵和增广矩阵的行列式来求解未知量。
克莱姆法则适用于含有n个方程、n个未知量的线性方程组，并且假设该方程组有唯一解。
在克莱姆法则中，我们首先需要构建一个系数矩阵A，然后将其与一个列向量B 进行合并形成增广矩阵。
接下来，我们可以通过计算A和B的行列式来求得每个未知量对应的结果。
具体而言，若方程组为Ax=B，则克莱姆法则给出了如下公式：x_i = det(A_i) / det(A)其中，x_i表示第i个未知量的值，det(A_i)表示将第i列替换为B所形成的新矩阵A_i的行列式，det(A)表示原始系数矩阵A的行列式。
2.2 适用条件:克莱姆法则适用于以下条件：- 方程组必须是线性方程组；- 方程组中包含的未知量个数和方程个数相同；- 系数矩阵A必须是一个非奇异矩阵，即其行列式不为零。
2.3 算法步骤:克莱姆法则的求解步骤如下：1. 根据给定的线性方程组，构建系数矩阵A和列向量B。
1.3 克莱姆(Cramer)法则
个方程相加， 再将 n 个方程相加，得
n n n n ∑ ak 1 Ak 1 x1 + ∑ ak 2 Ak 1 x2 + L + ∑ a k n Ak 1 xn = ∑ bk Ak 1 . k =1 k =1 k =1 k =1
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
考虑齐次线性方程组
显然，它总存在一组全为零的解(称为零解) 显然，它总存在一组全为零的解(称为零解)： 零解
x1 = x2 = L = xn = 0 .
定义 若齐次线性方程组的一组解不全为零 则称为非零解 若齐次线性方程组的一组解不全为零, 则称为非零解 非零解.
8
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
定理 若齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 , 则它只有零解 则它只有零解. 证明 由于当线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时有惟一解， 由于当线性方程组的系数行列式 时有惟一解， 线性方程组 故齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时只有零解. 齐次线性方程组的系数行列式 时只有零解 推论 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式必为零 若齐次线性方程组有非零解, 则其系数行列式必为零. (此为上述定理的逆否命题) 此为上述定理的逆否命题) 思考 (1) 若齐次线性方程组的系数行列式 D = 0 , 则它是否 一定有非零解？ 即定理的否命题是否成立？ 一定有非零解？ (即定理的否命题是否成立？) (2) 齐次线性方程组有非零解和它对应的非齐次线性 齐次线性方程组有非零解 有非零解和它对应的非齐次线性 方程组有无穷多解有何联系？ 方程组有无穷多解有何联系？ 有无穷多解有何联系 9
克莱姆法则
如何结合其他决策方法提高克莱姆法则的决策效果
结合其他决策方法
• 将克莱姆法则与直觉决策、群体决策等其他决策方法相 结合 • 实现决策方法的互补和优化，提高决策效果
决策效果评估
• 建立决策效果评估机制，对决策过程进行监督和反馈 • 根据评估结果，不断调整和优化决策方法，提高决策效 果
CREATE TOGETHER
政策方案的选择
• 通过克莱姆法则对政策方案进行评估和选择，实现最优政策效果 • 克莱姆法则有助于提高政策制定的科学性和民主性，增强政策的可信度
克莱姆法则在个人决策中的应用实例
职业规划
• 通过克莱姆法则明确职业目标，分析个人能力和市场需求，制定合适的职业规划 • 克莱姆法则可以帮助个人实现职业发展目标，提高职业满意度
克莱姆法则的发展历程
• 20世纪60年代，克莱姆法则开始受到广泛关注 • 20世纪70年代，克莱姆法则被广泛应用于项目管理领域 • 20世纪80年代，克莱姆法则逐渐成为决策科学的一个重要分支
克莱姆法则的核心要义与基本原理
克莱姆法则的核心要义
• 明确问题：首先需要清晰地定义问题和决策目标 • 收集信息：收集与问题相关的所有信息和数据 • 列出解决方案：根据收集到的信息，提出所有可能的解决方案 • 评估风险：对每个解决方案的风险进行评估，选择风险最小的方案
决策步骤优化
• 对决策步骤进行精简，提高决策效率 • 引入人工智能和大数据技术，辅助决策过程
如何提高克莱姆法则在复杂问题决策中的准确性
提高信息质量
• 采用多种渠道收集信息，确保信息的真实性、可靠性和全面性 • 提高信息处理的能力和技巧，挖掘信息价值
增强决策者的能力
• 培养决策者的批判性思维和创新能力 • 提高决策者的风险意识和风险应对能力
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 二、克莱姆(Cramer)法则 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理 考虑线性方程组 行 列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理 式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 一 章 行 列 式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 三、齐次与非齐次线性方程组 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行 定义 设线性方程组为 列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 则称此方程组为齐次线性方程组; 注 通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性 方程组的导出(方程)组. 7
克莱姆法则
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证 ] 若 D 0 由克莱姆法则知齐次线性方程组只Hale Waihona Puke 唯一的零解. 与已知矛盾 D=0
由定理三可知,齐次线性方程组的系 数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件. 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件. 综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
2 1 8 1 1 3 9 6 D3 D3 = 27 x 3 D 0 2 5 2 27 1 4 0 6 = 1 27
2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 =27 x 4 D4 D 27 0 2 1 5 =1 1 4 7 0
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件 齐次线性方程组: a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0 显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
则该线性方程组有且仅有唯一解: Dn D1 D2 x1 , x2 ,, xn D D D 其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n a 21 a 2, j 1 b2 a2 , j 1 a 2 n Dj a n1 a n , j 1 bn a n , j 1 ann
克莱姆法则公式
克莱姆法则公式克莱姆法则公式是20世纪40年代由美国物理学家威廉克莱姆(WilliamKlemperer)提出的一个关于质量、动能和热能的互换关系的重要定律。
克莱姆法则公式能够描述质量和能量的转换，从而描述量子物理学的基本特性，也是分子物理学的基础。
克莱姆法则公式的数学表达克莱姆法则公式通过以下数学表达式表示：Δm =E/c其中，m表示物质的质量，E表示物体内部存储的能量，c为光速，可理解为质量和能量之间的比率；Δm为发生物理变化时，质量变化量，ΔE表示发生物理变化时，能量变化量。
克莱姆法则公式的物理意义克莱姆法则公式揭示了质量和动能的互换关系，能量和热能的互换关系，以及物质的能量和质量之间存在着相互转换的可能性。
克莱姆法则公式诠释了质能守恒定律：即在宇宙任何地方、任何时间，物质总质量及能量总量都不会减少或增加，而只能以不同的形式存在，互相转换。
根据克莱姆法则公式，物质的质量和能量的变化是相反的，当物质的质量发生变化时，物质的内部能量也会随之而变化，反之亦然。
也就是说，物质的质量和能量间具有直接的联系，可以相互转换，变量的增加意味着另一个变量的减少，变量的减少意味着另一个变量的增量。
克莱姆法则公式的实际应用克莱姆法则公式可以用于描述原子核释放能量过程和粒子、粒子流构成物质衰变过程，以及粒子发射和吸收物质等交互运动过程。
例如，原子核衰变是一种由质量减少而能量增加的自发现象，这是根据克莱姆法则公式的原理得出的。
此外，电磁能量发射和吸收是按照克莱姆法则来实现物质运动的，物质运动时，电磁能量会在物质和非物质之间转换，克莱姆法则公式也可以解释光子的存在，比如原子间的相互作用。
综上所述，克莱姆法则公式是一个有关质量、动能和热能转换关系的重要定律，它从本质上揭示出物质的质量和能量之间的相互转换。
克莱姆法则公式不仅支持了物质质能守恒定律，也可以用于描述原子核的衰变过程，电磁能量的发射与吸收，以及光子的存在等现象。
线性代数2.行列式计算,克莱姆法则
0 1 1 5 r3 r4 =
0 0 16 60
01 00
1
5
r4 8r3
=
Байду номын сангаас
2 5
01 00
1 2
5 5
=40
0 0 2 5
0 0 16 60
0 0 0 20
可以证明：任一行列式都可以经有限次“行倍加”运算, 化成上三角形行列式,也可化为下三角形行列式
1
a b b ... b b a b ... b 例 计算 n阶行列式 D b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... a
亦可写成： A
O AB
CB
类似可证： A C A B OB
4
注：计算行列式时将行列式性质与展开定理结合起来，效果更好 .
3 1 1 2 例：计算行列式 D 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
解：
c1 2c3
c4 c3
D
5 1 1 1
5 11
11 1 3 1 (1)33 11 1 1
1 b 1 0 1 b 1 0
0
1
c
1
0
1
c1
0 0 1 d 0 0 1 d
1 ab a 0
按第一列展开 (1) 1 c 1
0 1 d
1 ab a 0
r
2
cr3
1
0 1 cd (1 ab)(1 cd) ad
0 1 d 8
例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式
1 1 ... 1
x1 Dn x12
1 3 1 3 2 5 3 1 0 1 1 5 1 4 2 3
克莱姆法则
9 D1 5
3 2
0 1
6 =81 2
x1
D1 D
81 27
0 4 7 6
=3
2 8 5 1
1 D2 0
9 5
0 1
6 = 108 2
1 0 7 6
x2
D2 D
108 = 4 27
21 8 11 D3 来自03 29 5
6 = 27 2
,
x2
D2 D
,,
xn
Dn D
其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n
Dj
a21
a2, j1
b2
a2, j1
a2n
§1.3 克莱姆法则
1.克莱姆法则 2.齐次线性方程组有非零解的充要条件
我们已经知道,在一定条件下,二元(或三元) 线性方程组的解可以用二阶(或三 阶)行列式表示出来.那么,对于n元线性方程组能否用n阶行列式来表示?
一、克莱姆法则
定理二(克莱姆法则) 设线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
an1 an, j1 bn an, j1 ann
定理中包含三个结论:
(1)方程组有解
(2)解是唯一的 (3)解由公式
D ( j=1,2,...,n)给出 j x D j
注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两个前提条件:
(1)未知数个数等于方程个数 (2)系数行列式D0
克莱姆法则及证明
第7节克莱姆（Cramer）法则一、线性方程组元线性方程组是指形式为：（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， ; 称为方程组的系数，称为常数项。
线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。
方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。
为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：(1).这个方程组有没有解？(2).如果这个方程组有解，有多少个解？(3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。
本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。
二、克莱姆法则定理1（克莱姆法则）如果线性方程组（2）的系数行列式：那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：（3）其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即。
分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。
因此证明的步骤是：第一，把代入方程组，验证它确实是解。
这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。
第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有。
这就证明了解的唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有：接下来证明定理。
首先，证明（3）确实是（2）的解。
将行列式按第列展开得：，其中是行列式中元素的代数余子式。
现把代入第个方程的左端，得：这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。
其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式：（4）用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：将此个等式相加，得：从而有：。
这就是说，如果是方程组（2）的一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。
显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是它的解，这个解称为零解；其他的，即不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。
克莱姆法则
克莱姆法则
设含有n 个未知量和n 个方程的线性方程组为
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1
a2 n xn b2
(1.1)
n
bn Anj bk Akj ( j 1, 2,
n)
k 1
于是
n
n
n
Di 1 n
1 n n
1 n
aij
aij ( bk Akj ) aij bk Akj bk ( aij Akj )
D D j 1
D j 1 k 1
D j 1
j 1
k 1
非零解。
由克莱姆法则可以得出
定理2 若方程组(1.4)的系数行列式D≠0，则方程组有唯一零解;若
方程组有非零解，则系数行列式D 必为零。
推论 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是D=0。
x1 x2 x3 0
例2 讨论方程组 x1 x2 x3 0
3 x x x 0
程组(1.1)的解，则
n
a c
j 1
ij
j
bi (i 1, 2,
n)
(1.3)
分别用系数行列式D 的第k 列元素的代数余子式A1k，A2k，…，Ank
乘以式(1.3)的各项，然后相加，得
n
n
n
i 1
j 1
i 1
Aik ( aij c j ) bi Aik
即
当D≠0时，有
2n n
an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
行烈式定义按第一行展开(含义)
0
n
·
·
D=
·
继续进行展开，并注意抓住规律，最后可得 D=(-1){(1+n)+[1+(n-1)]+[1+(n-2)]+···+(1+2]}n!=(1)n212nnn!
方法二：若注意到为把对角线上的非零元素 调整至主对角线上，即成为三角行列式，于是 可用行交换的办法。
2
1 0 0 ··· 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0
x1+4x2-7x3+6x4=0 解 利用克莱姆法则,计算 如下各行列式的值
2 1 -5 1
D=
1 -3 0 -6 =27 0 2 -1 2
1 4 -7 6
8 1 -5 1
D1=
9 -3 0 -6 -5 2 -1 2
=81
0 4 -7 6
2 8 -5 1
D2=
1 9 0 -6 0 -5 -1 2
=-108
-a4 -b3 -c2 -d 0
行
解 行列互换得
相
D5′=
0 -a1 -a2 -a3 -a4 a1 0 - b1 -b2 - b3 a2 b1 0 -c1 -c2 a3 b2 c1 0 -d a4 b3 c2 d 0
同 ， 则 此 行
一方而由性质1得 D5= D5′，另一方而若D5′中列
每行提出公因子（-1），得D5′=(-1)5 D5=- D5式
=1/D｛ai1( b1A11+b2A22+…+bnAn1 ) +ai2( b1A12+b2A22+…+bnAn2 ) +… …
因由性质7 ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=｛
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教学要求
1 2 3 了解克莱姆法则的条件和结论； 认识范得蒙行列式； 熟悉掌握计算行列式的几种常用方法。
教学过程
一、克莱姆法则 条件：1）必须是 n 个方程，n 个未知数； 2）系数行列式 D 一定不等于零。 结论：1）线性方程组有唯一解； 2）唯一解为 x1
D1 D , x2 2 , D D
n 1 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn 1 x3
n 1 xn
Dn ( x j xi )
i 1 j i 1
n
n
3 掌握范德蒙行列式的计算方法。 从第 n 行开始，后行减去前行的 x1 倍，再用行列式按行展开定理，提出每列元素的公 因式，找出递推规律，以此类推。 练习：书 P26 6 题（4） ，8 题（3） 。
a1n xn ann xn
a1n ann
D1 D , x2 2 , D D
由克莱姆法则，得到课本上第 24 页的定理 4、定理 5。 注意： 1）克莱姆法则的作用是为我们推导线性方程组的求解理论提供理论依据； 2）求解线性方程组时，我们很少用克莱姆法则； 3）在第一章讲克莱姆法则，告诉我们，行列式在求解线性方程组时的应用。
齐次线性方程组有非零解的充要条件 非齐次线性方程组有唯一解、无解和有无穷多解的充要条件
大连海事大学数学系 1
练习：书 P28
10 题、11 题、12 题。
二、范德蒙行列式 1 认识范德蒙行列式；
1 x1 Dn x
2 1
1 x2 x
2 2
1 x3 x
2 3
1 xn
2 xn
x1n 1
2 知道范德蒙行列式的结果；
大连海事大学数学系
2
, xn
Dn D
a11
证明： D j
b1 bn
a11 x1 an1 x1 a1 j x j anj x j
a1n ann
a1 j x j anj x j a1n xjD ann
, xn Dn 。 D
an1
a11 an1 a11 an1
当 D 0 时，得到 x1