新课标2017春高中数学3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第3课时简单的线性规划的应用课时作业

2017春高中数学 第3章 不等式 3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第3课时 简单的线性规划的应用课时作业 新人教B版必修5基 础 巩 固一、选择题1．已知O 为坐标原点，点M (3,1)，若N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4，则OM →·ON→的最大值为导学号 27542899( D )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] 目标函数为z ＝OM →·ON →＝3x ＋y ，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4表示的可行域，如图所示．作出直线l 0：3x ＋y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1经过点A (4,0)时，z 取得最大值12，即OM →·ON →的最大值为12.2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3x －y ≥－1y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为导学号 27542900( B )A ．12B ．10C ．8D ．2[解析] 画出可域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3y ＝1得A (2,1)，∴z max ＝10.3．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是导学号 27542901( B )A ．0B ．1C ． 3D ．9[解析] 由已知不等式组作可行域，如图阴影部分所示，令x ＋2y ＝k ，则y ＝－12x ＋k2，问题由求z 的最小值转化为求直线y ＝－12x ＋k 2的纵截距的最小值．显然当直线y ＝－12x ＋k2过原点O 时，纵截距最小，此时k ＝0，∴z ＝3x ＋2y的最小值为1.4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3 t 、B 原料2 t ；生产每吨乙产品要用A 原料1 t 、B 原料3 t ．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 t ，B 原料不超过18 t ，那么该企业可获得最大利润是导学号 27542902( D )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[解析] 设生产甲产品x t ，乙产品y t ，则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4， z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．二、填空题5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值为5.导学号 27542903[解析] 画出可行域如下图所示，可见可行域中的点A (1,2)到原点距离最小为d ＝5， ∴x 2＋y 2≥5.即x 2＋y 2的最小值为5.6．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0，则2x ＋3y 的最小值是4.导学号 27542904[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)：当直线l 0平移到过A (2,0)点时，2x ＋3y 取最小值． (2x ＋3y )min ＝2×2＋0＝4. 三、解答题7．某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1 h 和2 h ，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3 h 和1 h ；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？导学号 27542905[解析] 设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤83x ＋y ≤9x ≥0，y ≥0 x ∈N ，y ∈N，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域如图所示．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过可行域内的点M 时，目标函数z ＝2x ＋3y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝83x ＋y ＝9，得M (2,3)．答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润．8．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，设z ＝yx，求z 的最大值与最小值.导学号 27542906[解析] 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，作出点(x ，y)的可行域，如图所示(阴影部分)．∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与O (0,0)点连线的斜率，观察图形可知z max ＝k AO ，z min ＝k BO ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)，k AO ＝225.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)，k BO ＝25.故z max ＝225，z min ＝25.能 力 提 升一、选择题1．若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是导学号 27542907( C )A ．90B ．80C ．70D ．40[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0得可行域如图所示．将l 0：3x ＋2y ＝0在可行域内平行移动，移动到经过B 点时，z ＝3x ＋2y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝502x ＋y ＝40，得B 点坐标为(10,20)，∴z max ＝3×10＋2×20＝70，故选C ．2．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是导学号 27542908( C )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C ．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1表示的平面区域内整点的个数是导学号 27542909( D )A ．0B ．2C ．4D ．5[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是导学号 27542910( B )A ．43 B ．83 C ．2D ．4[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且zmax ＝83.二、填空题5．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为9.导学号 27542911[解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3的可行域为如图所示．作l 0：y ＝2x 在平面域内平移到A (3，－3)处时，z 取最大值9.6．已知点P (x ，y )的坐标，满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥xx ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最导学号 27542912[解析] 点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域．A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |min＝|AO |＝2；|PO |max ＝|CO |＝10.三、解答题7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，求目标函数z ＝10x ＋10y 的最大值.导学号 27542913[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11表示的平面区域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1125x －11y ＝－22，解得A (112，92)．而由题意知x 和y 必须是正整数．直线y ＝－x ＋z10由经过A 点向下平移经过的第一个整点为(5,4)．∴z ＝10x ＋10y 的最大值为90.8．关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b －2a －1的取值范围.导学号 27542914[解析]b －2a －1可以转化为点(a ，b )与M (1,2)连线的斜率．由题知x 2＋ax ＋2b ＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f (x )＝x 2＋ax ＋2b .必满足f (0)>0、 f (1)<0, f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >01＋a ＋2b <02＋a ＋b >0，由线性规划可知：点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM ， ∵A (－3,1)、B (－1,0)，∴14<b －2a －1<1.。