北航理论力学王琪

(1) : a A = 0 ( 2) : rAC // a A (3) : rAC = 0
d LrA = dt
∑
i =1
n
M A ( F i ( e) )
（4）相对质心的动量矩定理
若：∑ M C ( Fi ( e) ) ≡ 0
i =1
n
dL = dt
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r C
∑
n
i =1
M C ( F i ( e) )
M = J Eα
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理论力学
§2-2 动量矩定理
本田公司研制的机器人骑车
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理论力学
§2-2 动量矩定理
问题：滑块置于斜面上，如何确定约束力合力作用线的位置?
mg
C
mg
C
θ
θ
B: 斜面光滑，
A: 斜面有摩擦， 滑块处于平衡
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滑块无初速释放
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理论力学
FAx
A
FAy
FI
θ
aA
C
mg
B
AB = L
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1 2 && && 1 3 1 mL θL= θ− + mgL ( g + sin aA θ ) sin − θ ma =0 A L sin θ 3 2 2 2
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理论力学
如果框架匀速直线平移
§2-2 动量矩定理
3 & & Lθ + ( g + a A ) sin θ = 0 2 3g & & Lθ + sin θ = 0 2
o
m1 g
不计杆的质量
m1v A + m2 (v A + v Br )
θ
ω
M
B
水平方向动量守恒
v Br
m1 x & A + m2 ( x & A + Lω cosθ ) = C
m1& x x &A + m2 ( & &A − Lω 2 sin θ ) = 0 m2 Lω 2 sin θ x & &A = m1 + m2
rAC × ( − m a A )
表示质点系的牵连惯性力（作用在质心C）对A点之矩
将方程（1）在过动点A的轴z上投影可得质点系相对动轴的动量矩定理
n d LrAz = ∑ M Az ( Fi ( e) ) + [rAC × ( − m a A ) ] dt i =1 z
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理论力学
d LrA = dt
x o
r &'i = vir
y
v &ir = air
Fei = − mi a A
' (e) ' (i) ' ' ( r × F ) + ( r × F ) + ( r ( r × m a ) = ∑ i i ir ∑ i Ri ∑ i Ri ∑ i × Fei )
' ' ( r × F ) =− ( r ∑ i ei i ×m iaA) =−
猫的下落
§2-2、动量矩定理
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理论力学
“新”的问题
质点系由两个相同的小齿轮和两个相同的大齿轮构成， 每个齿轮视为均质圆盘，在力偶 M 作用下由静止开始运动。 问题: 1、系统的动量
M
如何变化？ 2、对某一轴的 动量矩如何 变化？
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上节课的主要内容
LO = ∑ (ri × mi vi )
i =1 n
LO = rC × m v
L = ∑ (ri '×mi vir )
r A i =1
n
r L = r × m v + L 对定点O与对动点C 动量矩的关系 O C C C
质点系对惯性参考系中固定点O（或固定轴z）的动量矩定理
d LO = dt
∑
' ( m r ∑ i i )×aA = rAC ×(−maA)
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理论力学
§2-2 动量矩定理
dLrA n = ∑MA (Fi(e) ) + rAC × (−maA ) dt i=1
（1）
LrA : 质点系相对动点A的动量矩
∑
i =1
n
M A ( Fi ( e) ) 作用于质点系上的外力对A点之矩的矢量和
mg
B
AB = L
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理论力学
落地时钟
航海计时器中的力学问题
航海计时器
g & & θ + sin θ = 0 l
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理论力学
§2-2 动量矩定理
o
θ θ
o
(A)
θ
o
(B)
o
θ
g
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(C)
(D)
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理论力学
§2-2 动量矩定理
例：图示振动系统，其支座O位于系统的 质心且以加速度 a 运动，求系统作微幅振 动的固有频率。已知：a, L，m，k，h
y’
Fe = −ma A
A
aA mg F1
B
x’
FN 1
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FN 2
F2
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理论力学
§2-2 动量矩定理
例：滑块A可在光滑水平面上滑动，为使AB杆以匀角速度 ω 绕 铰链A转动，求作用在AB杆上的力偶M。设：m1 = m2 = m, AB = L
y
A
FN
vA
x
解：1、取滑块A和小球B为研究对象 2、受力分析与运动分析 系统的动量：
问题：若滑块不脱离地面，试确定AB杆的最大角速度。
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理论力学
§2-2 动量矩定理
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理论力学
§2-2 动量矩定理
（3）质点系相对动点A的动量矩定理(公式)的讨论
n d LrA = ∑ M A ( Fi ( e) ) + rAC × ( − m a A ) dt i =1
外力对A轴之矩： 动量矩定理:
M A = (WL + lmg )sinθ
( LW + lmg )sin θ − J Eα J A + ml 2
&& + J α = ( LW + lmg )sin θ ( J + ml 2 )θ E
A
&& = AB杆的角加速度: α A = θ
FAy
电机的驱动力矩（相对质心的动量矩定理）:
∑
i =1
n
M O ( Fi )
(e)
dLz = dt
(e) M ( F ∑ z i ) i =1
n
问题：如何将质点系的动量矩定理推广到非惯性参考系？
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理论力学
落地时钟
问题的引出
航海计时器
g & & θ + sin θ = 0 l
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理论力学
演示实验１
问题的引出
A
θ
aA = 0
C
mg
B
AB = L
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理论力学
如果框架的运动规律为：y A
§2-2 动量矩定理
= L sin ω t
3 & & Lθ + ( g + a A ) sin θ = 0 2
A
3 & & Lθ + ( g − ω 2 L sin ωt ) sin θ = 0 2
C
θ
aA
mg
θ = A sin( ω 0 t + β )
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理论力学
实验现象的定性分析
实验1: 手放开后飞机加速运动 实验2: 手放开后飞机减速运动
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理论力学
实验现象的定性分析
n dLrAz' = ∑ M A ( Fi( e) ) + [rA'C × ( Fe )] dt i =1 z' ' ' ' ' ' = − mgx c + FN x B + Fe y C > 0;当（ − mgx c + Fe y C ）> 0
n
a Brω θ M
B
a B = a A + a Br
i =1
m1a A + m2 (a A + a Br ) = FN + m1 g + m2 g
y : m1 0 + m2 a Br cosθ = FN − (m1 + m2 ) g
m2 g
FN = (m1 + m2 ) g + m2 Lω 2 cosθ
理论力学
• 思考题完成情况
作业：2-5、2-10、2-11
– 收到作业份数：17 – 分析结果完全正确的份数：4 – 分析结果部分正确的份数：11 – 分析结果不正确的份数：2 – 第一个正确完成作业者：13系
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理论力学
质点系对O点的动量矩 平移刚体对O点的动量矩 质点系相对动点A的动量矩
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m2 g
n dLrA = ∑ M A ( Fi ( e) ) + rAC × (− ma A ) dt i =1