沪教版(上海)七年级上册数学10.1-2 分式的意义 分式的基本性质(解析版)

10.1-2 分式的意义 分式的基本性质一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x =B ．2x ≠C ．2x =-D ．0x ≠【答案】B 【解析】分式有意义的条件：分式的分母不为零，即240x -≠.解：分式24xx -有意义，240x ∴-≠，即2x ≠．故选择B ． 【点睛】从以下三个方面透彻理解分式的概念： 分式无意义⇔分母为零； 分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零.2．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）在代数式222132,1,,,,22129y x y b x a y b π+--+-中，分式的个数为（ ） A ．2个； B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B根据分式的定义判断即可．解：在在代数式222132,1,,,,22129y x y b x a y b π+--+-中，分式有22231,,9y b a y b +--三个．故选：B 【点睛】本题考查了分式的意义，判断一个式子是不是分式关键看分母中是否含有字母，注意π代表的是一个无理数．3．（2020·上海奉贤·中考模拟）如果分式有意义，则x 与y 必须满足（ ）A ．x ＝﹣yB ．x≠﹣yC ．x ＝yD ．x≠y【答案】D 【解析】根据分式有意义的条件是x -y≠0，可得x -y≠0，进而可得答案． 解：由题意得：x ﹣y≠0， 即：x≠y ， 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零． 4．（2020·上海市川沙中学南校初一期末）已已已已2(1)(2)1x x x -+-已已已0已已已x已已已已 已 A ．已1 B ．已2C ．1D ．1已已2【答案】B试题解析：分析已知和所求，根据分式值为0的条件为：分子为0而分母不为0，不难得到(x -1)(x+2)=0且2x -1≠0；根据ab=0，a=0或b=0，即可解出x 的值，再根据2x -1≠0，即可得到x 的取值范围，由此即得答案.本题解析：已2(1)(2)1x x x -+- 的值为0已(x -1)(x+2)=0且2x -1≠0.解得：x=-2.故选B. 5．（2020·上海浦东新·初一期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）A ．22x yB ．222x yxy y ++C ．21a a ++D ．2222x y x y +-【答案】B 【解析】最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子,分母分解因式,观察互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而约分.最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．解：A 、22x y是最简分式，不符合题意;B 、2212xy+yxy y =不是最简分式，符合题意; C 、21a a ++是最简分式，不符合题意; D 、2222x y x y +-是最简分式，不符合题意;【点睛】本题主要考查了分式化简中最简分式的判断.6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列式子正确的是（）A．22b ba a=B．0a ba b+=+C．1a ba b-+=--D．0.10.330.22a b a ba b a b--=++【答案】C【解析】根据分式的基本性质，即可解答．A．分子乘以b，分母乘以a，所以22b ba a≠，故A错误；B．a ba b+=+1，故B错误；C．()a ba ba b a b---+==---1，故C正确；D．0.10.330.2210a b a ba b a b--=++，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟记分式的基本性质．7．（2020·上海市川沙中学南校初一期末）如果将分式2510aba b+中的a和b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍C ．缩小到原来的12D ．不变【答案】A 【解析】根据分式的基本性质变形后与原分式比较即可．将分式2510aba b +中的a 和b 都扩大到原来的2倍，得2224=52102510a b ab a b a b⨯⨯⨯+⨯+，已分式的值扩大到原来的2倍． 故选A ． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．8．（2020·上海市川沙中学南校初一期末）分式26a b 与19ab的最简公分母是（ ） A ．254ab B ．218ab C ．29bD ．18xy【答案】B 【解析】确定最简公分母的方法为： 已如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；已如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂．分式26a b 与19ab的最简公分母是218ab ． 故选B ．本题考查了最简公分母的定义，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．9．（2020·上海浦东新·初一期末）下列分式化简正确的是：（）A．22()2a ba ba b+=++B．2232322a aa-+-+=C．29131622a aab b b--=+D．2222a b a ba b a b++=--【答案】C【解析】根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．A．分式的分子和分母同时除以（a+b），应得2a+2b，即A不正确，B.2232aa-+不能化简，故选项B不正确C．291(31)(31)31622(31)2a a a aab b b a b-+--==++，C项符合题意，D.2222a ba b+-不能化简，故选项D不正确．故选：C．【点睛】此题考察分式的基本性质，分式的分子和分母需同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 10．（2020·上海市延安初级中学初一期末）下列分式中不是最简分式的是（）A．293aa++B．222x y xyy x-+-C．2242xx x-+-D．3333ab aab b++【解析】根据最简分式的定义逐一判断即可.解：A.293aa++分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A选项不符合题意；B.222x y xyy x-+-是最简分式，故B选项不符合题意；C.2242xx x-+-=()()()2x)x221x x-++-（=21xx--,故C选项符合题意;D.3333ab aab b++是最简分式, 故D选项不符合题意.故应选C.【点睛】本题考查了最简分式的概念及分式的化简,掌握相关知识是解题的关键.二、填空题11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）当x_________________时，分式121xx没有意义．【答案】12 =±【解析】根据分式没有意义的条件，得到关于x的方程，解方程即可．解：已分式121xx没有意义，已210x-=，已．12x=±．故答案为：12 =±本题考查了分式无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义．12．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）当x_____________时，分式21x x x+-的值为0已 【答案】=已1 【解析】由题意得：x+1=0，且x 2-x≠0， 解得：x=-1， 故答案为=-1.13．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）将分式121x x ++写成除法的形式：____________________． 【答案】()()121x x +÷+【解析】根据分式的意义将分式写成除法形式即可．解：将分式121x x ++写成除法的形式为()()121x x +÷+． 故答案为：()()121x x +÷+ 【点睛】本题考查了分式的意义，AB表示A B ÷，其中分数线表示相除的意思． 14．（2020·上海浦东新·初一期末）若113x y+=，则分式323x xy yx xy y -+++的值为_________．【答案】74【解析】根据分式基本性质，分子和分母同时除以xy 可得已()()333322323323111111x xy y xy x xy y y x y xx xy y x xy y xy y x y x-++--+÷-+===++++÷++++ 若113x y+= 则32392744x xy y x xy y -+-==++ 故答案为：74【点睛】考核知识点：分式基本性质运用已熟练运用分式基本性质是关键已15．（2020·上海浦东新·初一期末）当x =_________时，分式242x x--的值为0．【答案】2-【解析】分式有意义的条件是分母不为0；分式的值是0的条件是分母≠0且分子=0．若分式的值为0， 则2-x≠0且24x -=0， 即x=-2． 故答案为:-2已 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义，并考查了分式值是0的条件．16．（2020·上海市延安初级中学初一期末）若分式2228xx x ---的值为零，则x 的值为______________. 【答案】2【解析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．解：由分式的值为零的条件得2-x =0，x 2-2x -8≠0， 已x=±2且x≠4且x≠-2， 已x=2时，分式的值为0， 故答案为2． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．17．（2020·上海徐汇·初三二模）计算：11a b-=________． 【答案】b aab- 【解析】将式子通分计算即可．11b a b aa b ab ab ab--=-=【点睛】本题考查分式通分，正确寻找分母的最小公倍数是解题关键．18．（2020·上海市川沙中学南校初一期末）约分：323615m nm n=-__________． 【答案】225mn-【解析】根据约分的定义逐项分析即可，根据分式的基本性质把分子、分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分．323615m nm n=-225m n -． 故答案为：225mn -． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 19．（2020·上海市卢湾中学初一期末）如果24422x a b x xx，那么+a b 的值是______．【答案】0【解析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决.解：224422444x ax a bx bx x x -+=---- 224()2()44x a b x a b x x --+=-- 所以4a b -=，0a b += 故答案是：0 【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键. 20．（2020·上海市静安区实验中学）分式2223,34a b ab-的最简公分母是_______； 【答案】2212a b【解析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此可得答案.解：分式2223,34a b ab-的分母分别是23a b 和24ab ， 故最简公分母是2212a b .故答案为：2212a b . 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 三、解答题21．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）求下列各分式的值：（1）2532x x ，其中12x =． （2）2236a b a b，其中51,66ab ． 【答案】（1） -2；（2）49【解析】（1）将分式化为整式相除形式，把12x =带代入计算即可； （2）将分式化为整式相除形式，把51,66ab 代入计算即可．（1） 当12x =时， 原式()2532x x =÷-21153222⎡⎤⎛⎫=⨯÷⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦53224⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭ 5524⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭2=-；（2）当51,66ab 时， 原式()()2236a ba b =-÷-225151366666⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷⨯-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5151366662⎛⎫⎛⎫=+⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2233=⨯ 49=． 【点睛】本题考查了求分式的值，解题的思路是把字母的值代入计算即可，注意分式的实质是两个整式相除，故可以将分式变形后代入，以简化运算．22．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）写出一个分式，使它分别满足下列条件： （1）当2x =-时，它没有意义． （2）当3x ≠时，它有意义．【答案】（1）12x +；（2）13x - 【解析】根据分式有、无意义的条件，任意写出一个符合条件的分式即可．解：（1）当2x =-时，分母为0，分式无意义，故分式可以为12x +； （2）当3x ≠时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为13x -． 【点睛】本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义．23．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）底面为正方形的长方体，体积为332cm ，底面边长为cm x ，请用含x 的式子表示这个长方体的高h ，并求当底面边长2cm x =时，h 的值．【答案】232h x=，8cm 【解析】根据长方体的体积公式，表示出长方体的高，用分式表示；再把地面边长的值代入即可求出长方体的高的值．2V x h =，223232h x x=÷=， 当2cm x =，23282h ==cm 【点睛】本题考查长方体体积、代数式求值等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．24．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）（1）3455318x y x y （2）2328x y xy（3）2918933x x x （4）22b a a b （5）22222222a b c bcab c ab（6）2235221215x y x y x y x y 【答案】（1）216x y ；（2）144x y -；（3）33x -；（4）1a b -+；（5）a b ca b c-+++；（6）2454455x y x y xy -+【解析】（1）根据分式的除法运算法则计算即可； （2）将分式的分子、分母约去相同的因式即可；（3）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可； （4）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可；（5）将分式的分子、分母分别应用分组分解法因式分解后约去相同的因式即可；（6）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可．（1）3455318x y x y 21=6x y；（2）2328x y xy1=4)x y -（144x y=-；（3）2918933x x x 29(21)=3(1)x x x -+-23(1)(1)x x -=- 3(1)x =-33x =-；（4）22b a a b()=()()a b a b a b ---+1a b=-+ （5）22222222a b c bcab c ab222222(2)=2a b bc c a ab b c--+++-2222()()a b c a b c--=+- ()()()()a b c a b c a b c a b c -++-=+-++a b ca b c-+=++；（6）2235221215x y x y x y xy()()244=5()x y xy x y x y --+ 44()5()x y xy x y -=+2454455x yx y xy -=+．【点睛】本题主要考查了分式加减乘除混合运算，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握． 25．（2020·全国初二课时练习）将下列式子进行通分． （1）312ab 和2225a b c （2）2a xy 和23b x（3）232c ab 和28abc （4）11y 和11y +【答案】（1）23510ac a b c ，23410b a b c ；（2）236ax x y ，226by x y ；（3）322128c ab c ，2228a b ab c；（4）211y y +-，211y y --． 【解析】解答此题的关键是求出公分母，再通分． （1）两式的最简公分母为10a 2b 3c ； （2）两式的最简公分母为6x 2y ； （3）两式的最简公分母为8ab 2c 2；（4）两式的最简公分母为y 2-1.解：（1）两式的最简公分母为10a 2b 3c ， 故312ab =31525ac ab ac ⨯⋅=23510ac a b c， 2225a b c =222252b a b c b ⨯⋅=23410ba b c；（2）两式的最简公分母为6x 2y ， 故a 2xy =323a x xy x ⋅⋅=236ax x y， 2b3x =2232b y x y ⋅⋅=226by x y， （3）两式的最简公分母为8ab 2c 2，故23c 2ab =2223424c c ab c ⋅⋅=322128c ab c 2a 8bc =28a ab bc ab ⋅⋅=2228a b ab c， （4）两式的最简公分母为y 2-1，故21111y y y +=--， 21111y y y -=+-． 【点睛】解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分． 26．（2020·全国初二课时练习）将下列分式约分：（1）1232632418a x y a x （2）22969x x x --+ （3）()()()()21222122n mnm b a a b a b b a ------【答案】（1）6243a y ；（2）33x x +-；（3）2b a b a -- 【解析】（1）先找到分子分母的公因式，然后约分； （2）先把分子分母因式分解，再约分；（3）先将底数化为相同，再找到分子分母的公因式，然后约分.（1）1232632418a x y a x = 6362636463a x a y a x ⋅⋅ =6243a y ；（2）22969x x x --+ =2(3)(3)(3)x x x -+-=33x x +-；（3）()() ()()21222122n mn m b a a ba b b a------=()() ()()21222122n mn m b a b ab a b a------=2 b ab a --.【点睛】本题考查了约分，熟悉因式分解找到分子分母的公因式是解题的关键．27．（2020·安徽包河·初二期末）已知实数a、b、c满足a b b c a cc a b+++==；计算：()()()a b b c a cabc+++.【答案】8或-1【解析】先设a b b c a cc a b+++===k，易得b+c=ka已，a+c=kb已，a+b=kc已，已+已+已可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．解：设a b b c a cc a b+++===k，则b+c=ka已，a+c=kb已，a+b=kc已，已+已+已得，2（a+b+c）=k（a+b+c），当a+b+c≠0，则k=2，已()()()a b b c a cabc+++=··kc ka kbabc=k3=8；当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，已()()()a b b c a cabc+++=()()()a b cabc---=-1．故答案是8或-1．【点睛】本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入．28．（2019·山东滨州·初二期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：已211x x -+；已222a ba b--；已22x y x y +-；已222()a b a b -+．其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；（2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值 ； （3）在分式运算中，我们也会用到判断和谐分式时所需要的知识，请你用所学知识，化简22344a a bab b b -÷- 【答案】（1）分式222a b a b --是和谐分式，故答案为：已；（2）445a a a ==-=或或 （3）24aab b- 【解析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题； （2）根据和谐分式的定义可以得到a 的值；（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．解：（1）已分式()()22a 2b a 2ba b a b a b --=-+-，不可约分，已分式22a 2ba b--是和谐分式， 故答案为：已； （2）已分式214x x ax -++ 为和谐分式，且a 为整数， 已a 4a 4a 5==-=或或()()()()()()()222222222222244=444444444a a b a b b b a a b a b b a a b a b a b b a b a a ab b a b ab b a b a ab b -⨯-=---=----+=-=-=-(3)原式【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．。