国开《经济数学基础12》形考作业四参考资料

一、计算题（每题6分，共60分） 1.解：y ′=(y −y 2
)′+(cos 2y )′
=(−y 2)′
·y −y 2
−2sin 2y =−2x y −y 2
−2sin 2y
综上所述，y ′=−2x y −y 2
−2sin 2y
2.解：方程两边关于y 求导：2y +2yy ′−y −yy ′+3=0 (2y −y )y ′=y −2y −3 ， yy =
y −3−2y
2y −y
yy 3.解：原式=∫√2+y 2y (12
y 2)=12
∫√2+y 2y (2+y 2)=1
3
(2+y 2)3
2+y 。

4.解 原式=2∫yy (−yyy y
2)=−2y yyy
y 2+2∫yyy y 2
yy =−2y yyy
y 2+4yyy y
2
+y
5.解 原式=∫y 1y y (−1
y )21 =−y 1y |1
2=−y 1
2
+y 。

6.解 ∫yy y y (12y 2)=y 11
2y 2yy y
|1y −∫12
y 1
y 2(yy y )′yy =1
2y 2−1
4y 2|1y =1
4y 2+1
4 7.解：y +y =[0131051−20] (y +y ,y )=[0131001050101−20001]→[105010
0131001−20001
]
→[1050100131000−2−50−11]→[105010013100001211]→[100−106−5010−53−30012−11
]
(y +y )
−1
=[−106−5−5
3−32
−11
] 8.解：(y y )=[12−332−42−10 100010001] →[12−30−450−56 100−310−201] →[12−301−10−56 100
−11−1−201
]
→[12−301−1001 100−11−1−754]→[100010001 −43−2−86−5−75−4] y −1=[−43−2
−86−5−75−4
] y =yy
−1
=[1−30027][−43−2
−86−5−75−4
]=[20−1513−6547−38
]
9.解：y=[
102−1
−11−32
2−15−3
]→[
102−1
01−11
0−11−1
]→[
102−1
01−11
0000
]
所以，方程的一般解为
{y1=−2y3+y4
y2=y3−y4（其中y1,
y2是自由未知量）10解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
[1−14
2−1−1
3−23
2
1
y
]→[
1−14
01−9
01−9
2
−3
y−6
]→[
10−5
01−9
000
−1
−3
y−3
]
由此可知当λ≠3时，方程组无解。

当λ=3时，方程组有解。

且方程组的一般解为{y1=5y3−1
y2=9y3+3（其中y3为自由未知量）
二、应用题
1.解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
y(y)=100+0.25y2+6y
y(y)=100
y
+0.25y+6，y′(y)=0.5y+6
所以，y(10)=100+0.25×102+6×10=185
y(10)=100
10
+0.25×10+6=18.5，
y′(10)=0.5×10+6=11
（2）令y′(y)=−100
y2
+0.25=0，得y=20（y=−20舍去）
因为y=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当y=20时，平均成本最小.
2. 解由已知y=yy=y(14−0.01y)=14y−0.01y2
利润函数y=y−y=14y−0.01y2−20−4y−0.01y2=10y−20−0.02y2
则y′=10−0.04y，令y′=10−0.04y=0，解出唯一驻点y=250.
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，
且最大利润为
y(250)=10×250−20−0.02×2502=2500−20−1250=1230（元）
3. 解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
yy =∫(2y +40)yy 64=(y 2+40y )|46
= 100（万元） 又 ()=∫y ′(y )yy +y 0y
0y =
y 2+40y +36
y
=y +40+36
y
令 y (y )
′
=1−36
y =0， 解得y =6.
x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
4. 解 y ′ (x ) =y ′ (x ) -y ′ (x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令y ′ (x )=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又 y =∫y ′(y )12
10 yy =∫(100−10y ) 12
10yy =(100y −5y 2)|1012
=−20 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.。