2021年高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练2020-2021文
2021年高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练4文
2021年高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练24文1．(xx·重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx 的最小正周期为( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案 A解析 f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx cosx ·cosx ＝2cos(x －π3)，则T ＝2π.2．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．3．(xx·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间(π2，π)上是增函数的是( ) A ．y ＝sin2x B ．y ＝sinxC ．y ＝tan x2D ．y ＝cos2x答案 D解析 y ＝sin2x 在区间(π2，π)上的单调性是先减后增；y ＝sinx 的最小正周期是T ＝2πω＝2π；y ＝tan x 2的最小正周期是T ＝πω＝2π；y ＝cos2x 满足条件．故选D. 4．函数y ＝2sin(π6－2x)(x∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．5．已知函数f(x)＝2sin(x ＋θ＋π3)(θ∈[－π2，π2])是偶函数，则θ的值为( )A ．0 B.π6 C.π4 D.π3答案 B解析 因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋π3＝k π＋π2(k∈Z )．又因为θ∈[－π2，π2]，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意，故选B.6．(xx·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减答案 D解析 由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确，所以选择D.7．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2>0 C ．x 1<x 2 D ．x 12>x 22答案 D8．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是( )A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]答案 C解析 由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.9．(xx·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．[0，2] C ．[1，2) D ．[1，3]答案 C解析 因为x∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数m ＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈[π2，7π6]时，函数m ＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2]，因此要有两个不相等实根，则m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．(xx·天津，文)已知函数f(x)＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R ，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58]D ．(0，18]∪[14，58]答案 D解析 f(x)＝12(1－cos ωx)＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin (ωx－π4)，当ω＝12时，f(x)＝22sin(12x －π4)，x ∈(π，2π)时，f (x)∈(12，22]，无零点，排除A 、B ；当ω＝316时，f(x)＝22sin(316x －π4)，x ∈(π，2π)时，存在x 使f(x)＝0，有零点，排除C.故选D.11．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________． 答案 －π<α≤012．将函数y ＝sin (ωx＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________． 答案 12解析 注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx＋cosx 的初相是________． 答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)． 14．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2xsinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x∈R |x≠kπ，k ∈Z } T ＝π (2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )解析 (1)由sinx ≠0，得x≠kπ(k∈Z )． 故f(x)的定义域为{x∈R |x≠kπ，k ∈Z }．因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx)＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1， 所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k∈Z )，得k π＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )．15．(xx·浙江，理)已知函数f(x)＝sin 2x －cos 2x －23sinxcosx (x∈R )． (1)求f(2π3)的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 解析 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f(2π3)＝(32)2－(－12)2－23×32×(－12)，得f(2π3)＝2.(2)由cos2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin2x ＝2sinxcosx 得，f(x)＝－cos2x －3sin2x ＝－2sin(2x ＋π6)．所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k∈Z )．16．(xx·三湘名校教育联盟第三次大联考)已知函数f(x)＝sin ωx －sin (ωx＋π3)(ω>0)． (1)若f(x)在[0，π]上的值域为[－32，1]，求ω的取值范围；(2)若f(x)在[0，π3]上单调，且f(0)＋f(π3)＝0，求ω的值．答案 (1)[56，53] (2)2解析 f(x)＝sin ωx －sin(ωx＋π3)＝sin (ωx－π3)．(1)由x∈[0，π]，得ωx－π3∈[－π3，ωπ－π3]，f(x)在[0，π]上的值域为[－32，1]，即最小值为－32，最大值为1，则π2≤ωπ－π3≤4π3，得56≤ω≤53. 综上，ω的取值范围是[56，53]．(2)由题意f(x)在[0，π3]上单调，得π3ω－π3≤π2，解得0<ω≤52.由f(0)＋f(π3)＝0，得sin[（ω－1）π3]＝32，则（ω－1）π3＝2k π＋π3或（ω－1）π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，解得ω＝6k ＋2或ω＝6k ＋3，k ∈Z .又因为0<ω≤52，所以ω＝2.当ω＝2时，x ∈[0，π3]，则ωx－π3＝2x －π3∈[－π3，π3]，f(x)＝sin(2x －π3)在[0，π3]上单调递增，符合题意，综上，ω＝2.1．(xx·辽宁沈阳一模)将函数f(x)＝2sin (ωx＋π4)(ω>0)的图像向右平移π4ω个单位长度，得到函数y ＝g(x)的图像．若y ＝g(x)在[－π6，π3]上为增函数，则ω的最大值为( ) A ．3 B ．2 C.32 D.54答案 C解析 函数f(x)＝2sin (ωx＋π4)(ω>0)的图像向右平移π4ω个单位长度，可得g(x)＝2sin [ω(x－π4ω)＋π4]＝2sin ωx 的图像．若g(x)在[－π6，π3]上为增函数，则－π2＋2k π≤－πω6且πω3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得ω≤3－12k 且ω≤32＋6k ，k ∈Z .∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最大值为32.故选C.2．(xx·福建宁德一模)将函数y ＝3sin(2x ＋π6)的图像上各点沿x 轴向右平移π6个单位长度，所得函数图像的一个对称中心为( ) A ．(7π12，0)B ．(π6，0)C ．(5π8，0)D ．(2π3，－3)答案 A解析 将函数y ＝3sin(2x ＋π6)的图像上各点沿x 轴向右平移π6个单位长度，可得函数y ＝3sin[2(x －π6)＋π6]＝3sin(2x －π6)的图像．由2x －π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .故所得函数图像的对称中心为(k π2＋π12，0)，k ∈Z .令k ＝1可得一个对称中心为(7π12，0)．故选A.3．(xx·福建六校联考)若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)对任意x 都有f(π3＋x)＝f(－x)，则f(π6)＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2答案 D解析 由函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)对任意x 都有f(π3＋x)＝f(－x)，可知函数图像的一条对称轴为直线x ＝12×π3＝π6.根据三角函数的性质可知，当x ＝π6时，函数取得最大值或者最小值．∴f(π6)＝2或－2.故选D.4．已知函数f(x)＝cos 2π3·cos(π2＋2x)，则函数f(x)满足( )A ．f(x)的最小正周期是2πB ．若f(x 1)＝f(x 2)，则x 1＝x 2C ．f(x)的图像关于直线x ＝3π4对称 D ．当x∈[－π6，π3]时，f(x)的值域为[－34，34]答案 C解析 因为f(x)＝－12(－sin2x)＝12sin2x ，其最小正周期T ＝2π2＝π，所以A 项不正确；B 项显然不正确；由2x ＝π2＋k π，得x ＝k π2＋π4(k∈Z )，当k ＝1时，函数f(x)的图像的对称轴为x ＝3π4，所以C 项正确；当x∈[－π6，π3]时，2x ∈[－π3，2π3]，所以－34≤12sin2x ≤12，所以D 项不正确．故选C. 5．已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx＋π6)， 令f(x)＝1，得sin (ωx＋π6)＝12. ∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π.6．(xx·山西怀仁期中)若函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx (x∈R )，又f(α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值是( )A.13B.32C.43D.23答案 D解析 利用辅助角公式将函数解析式变形得f(x)＝2sin (ωx＋π3)．由f(α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为3π4，得14T ＝3π4，∴T ＝3π，∴2πω＝3π，∴ω＝23.故选D.7．函数g(x)＝sin 22x 的单调递增区间是( ) A ．[k π2，k π2＋π4](k∈Z )B ．[k π，k π＋π4](k∈Z )C ．[k π2＋π4，k π2＋π2](k∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋π2](k∈Z )答案 A8．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.9．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析 由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.10．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.11．(xx·天津，文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.12．已知函数f(x)＝4sin(2x ＋π6)(0≤x≤91π6)，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝________． 答案 445π解析 令2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，即f(x)图像的对称轴方程为x ＝π6＋k π2，k ∈Z .∵f(x)的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤91π6，∴f(x)在(0，91π6)上有30条对称轴，∴x 1＋x 2＝2×π6，x 2＋x 3＝2×2π3，x 3＋x 4＝2×7π6，…，x n －1＋x n ＝2×44π3，将以上各式相加得x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝2×(π6＋2π3＋7π6＋ (44)3)＝2×π6＋44π32×30＝445π. 13．(xx·天津，理)已知函数f(x)＝4tanxsin(π2－x)cos(x －π3)－ 3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[－π4，π4]上的单调性．答案 (1){x|x≠π2＋k π，k ∈Z } T ＝π(2)增区间[－π12，π4]，减区间[－π4，－π12]解析 (1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z }．f(x)＝4tanxcosxcos(x －π3)－3＝4sinxcos(x －π3)－3＝4sinx(12cosx ＋32sinx)－3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减．14．(xx·山东，文)设f(x)＝23sin(π－x)sinx －(sinx －cosx)2. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y ＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g(x)的图像，求g(π6)的值．答案 (1)增区间[k π－π12，k π＋5π12](k∈Z ) (2)3解析 (1)f(x)＝23sin(π－x)sinx －(sinx －cosx)2＝23sin 2x －(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x －1＝sin2x －3cos2x ＋3－1＝2sin(2x －π3)＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k∈Z )，所以f(x)的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12](k∈Z )．(或(k π－π12，k π＋5π12)(k∈Z )) (2)由(1)知f(x)＝2sin(2x －π3)＋3－1，把y ＝f(x)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin(x －π3)＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sinx ＋3－1的图像， 即g(x)＝2sinx ＋3－1.所以g(π6)＝2sin π6＋3－1＝ 3.。
2021高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文20210910183
2021高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文20210910183章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修4 P 146A 组T 6(3)改编)已知sin 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A ．49 B.59 C ．23D.79解析：选D.因为sin 2θ＝23，因此sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×49＝79.故选D.2．(必修4 P 147A 组T 12改编)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＋sin x cos π6－cos x sin π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋π6)＋a ，因此f (x )max ＝2＋a ＝1.因此a ＝－1.选A. 3．(必修4 P 69A 组T 8改编)已知tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，因此sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×31＋32＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－321＋32＝－45，因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210.选B. 4．(必修4 P 58A 组T 2(3)改编)如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选D.由题图知T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4.因此T ＝π，因此ω＝2πT ＝2.当x ＝－π12时，y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.因此⎩⎪⎨⎪⎧A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0A sin φ＝1，因此φ＝π6，A ＝2.因此y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.5．(必修5 P 18练习T 1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S △ABC ＝22，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4D.17解析：选B.由已知得12×2×3×sin C ＝22，因此sin C ＝223.由于C ＜90°，因此cos C ＝1－sin 2C ＝13.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×13＝9，因此c ＝3，故选B.6．(必修5 P 18练习T 3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3a cos A＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则a sin B ＝( )A ．43 B.232 C ．423D ．6 2解析：选C.因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，即3a cos A ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a ，因此cos A ＝13，又0＜A ＜π.因此sin A ＝223.又b ＝2，因此a sin B ＝b sin A ＝2×223＝423.故选C.二、填空题7．(必修4 P 146A 组T 5(1)改编)3sin 80°－1cos 80°＝______．解析：3sin 80°－1cos 80°＝3cos 80°－sin 80°sin 80°cos 80°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 80°－12sin 80°12sin 160°＝4sin （60°－80°）sin 160°＝－4sin 20°sin 20°＝－4.答案：－4 8．(必修5 P 20A 组T 11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝1543，则b ＋c ＝________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12bc sin 120°＝1543b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72，即⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝15b 2＋c 2＋bc ＝49，因此b 2＋c 2＋2bc ＝64.因此b ＋c ＝8. 答案：89．(必修4 P 56练习T 3改编)关于函数f (x )＝23sin(12x －π4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π； ②f (x )的图象关于x ＝π2对称；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增；⑤f (x )的图象可由g (x )＝23cos 12x 向右平移π8个单位得到．其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．解析：f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.因此f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故②错误．③正确． 由2k π－π2＜12x －π4＜2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π2＜x ＜4k π＋32π.令k ＝0得，－π2＜x ＜32π.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2.故④正确．g (x )＝23cos 12x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12()x ＋π， f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，因此g (x )的图象向右平移π2－(－π)＝32π即可得到f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④ 三、解答题10．(必修4 P 147A 组T 10改编)已知函数f (x )＝4sin(ωx －π4)·cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原先的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若α为锐角，g (α)＝43－2，求cos α.解：(1)f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx ＝22sin ωx ·cos ωx －22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx －cos 2ωx )－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4－2，由于f (x )在x ＝π4处取得最值，因此2ω·π4－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，因此ω＝2k ＋32，因为ω∈(0，2)，因此ω＝32，因此，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－2，因此T ＝2π3. (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，得到h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6－2的图象，再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原先的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－2的图象，故g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2＝43－2，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，因为α为锐角，因此－π6＜α－π6＜π3，因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，故cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝53×32－23×12＝15－26. 11．(必修5 P 20A 组T 13改编)D 为△ABC 的边BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交AB 于E ，求S △ACE . 解：(1)由题意知AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中， 由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .即1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，①1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.② ①＋②得m 2＝32，因此m ＝62，即BC ＝ 6. (2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AEsin ∠ACE＝EC sin ∠EAC ，BE sin ∠BCE ＝ECsin ∠CBE，由于∠ACE ＝∠BCE ， 且BCsin ∠BAC ＝AC sin ∠CBA ，因此AE BE ＝AC BC ＝66.因此BE ＝6AE ，因此AE ＝25(6－1)．又cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14，因此sin ∠BAC ＝154，因此S △ACE ＝12AC ·AE ·sin ∠BAC＝12×1×25(6－1)×154＝310－1520.。
2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4三角函数的图象与性质练习苏教版
4.4 三角函数的图象与性质考点一三角函数的定义域、值域(最值)1.函数y=的定义域为________.2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为________.3.函数f(x)=1-3sin的值域为________.【解析】1.要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为.答案:2.f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2+,因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4.答案:-43.因为-1≤sin≤1,所以-3≤-3sin≤3,所以-2≤1-3sin≤4,所以函数f(x)=1-3sin的值域为[-2,4].答案:[-2,4]1.求三角函数的定义域的实质解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数的图象求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).【秒杀绝招】图象性质解T1,sin x-cos x=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin x 的图象与性质知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).所以定义域为.特殊值法解T2,易知f(x)≥-4,又x=0时,f(x)=-4,所以f(x)的最小值为-4.考点二三角函数的单调性【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是减函数,则a的最大值是( )A. B. C. D.π2.函数f(x)=sin的单调递减区间为________.【解题导思】序号联想解题1 看到“f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是减函数”想到化简f(x)解析式,[0,a]是某个减区间的子集2 看到“f(x)=sin”想到运用诱导公式转化为f(x)=-sin【解析】1.选C.f(x)=cos x-sin x=cos在上单调递减,所以[0,a]⊆,故0<a≤.2.f(x)=-sin,欲求f(x)单调递减区间,只需求y=sin的单调递增区间. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).答案:(k∈Z)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是( )A. B. C. D.π【解析】选A.f(x)=cos x-sin x=cos在上单调递减,所以[-a,a]⊆,故-a≥-且a≤,解得0<a≤.1.求三角函数单调区间的方法首先化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可.2.已知单调区间求参数的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间,由已知区间是该区间的子集,列不等式(组)求解求补集法由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解1.设函数f(x)=sin,x ∈,则以下结论正确的是 ( )A.函数f(x)在上单调递减B.函数f(x)在上单调递增C.函数f(x)在上单调递减D.函数f(x)在上单调递增【解析】选C.由x∈得2x-∈,所以f(x)先减后增;由x∈得2x-∈,所以f(x)先增后减;由x∈得2x-∈,所以f(x)单调递减;由x∈得2x-∈,所以f(x)先减后增.2.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=________.【解析】因为f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,所以当0≤ωx ≤,即0≤x ≤时,y=sin ωx是增函数;当≤ωx ≤,即≤x ≤时,y=sin ωx是减函数. 由已知=,所以ω=.答案:考点三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题精解读考什么:(1)周期性,奇偶性、对称性等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想. 怎么考:与诱导公式、三角恒等变换结合考查求周期,参数等等. 新趋势:以考查与诱导公式、三角恒等变换结合为主.学霸好方法求周期的三种方法(1)利用周期函数的定义:f(x+T)=f(x).(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.(3)利用图象:图象重复的x轴上一段的长度.①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.周期性【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= ( )A.2B.C.1D.2.(2019·北京高考)函数f(x)=sin22x的最小正周期是________.【解析】1.选A.由于x1=,x2=是函数两个相邻的极值点,故=-=,所以T=π,即ω==2.2.f(x)=(1-cos 4x),最小正周期T==.答案:涉及三角函数的性质问题有哪些注意事项?提示:(1)考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式.(2)掌握一些简单函数的周期:如:①y=Asin(ωx+φ)的周期为.②y=Atan(ωx+φ)的周期为.③y=|sin x|的周期为π.④y=|tan x|的周期为π.奇偶性、对称性【典例】(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【解析】选A.分别画出函数的图象可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图象的升降情况可得A正确.1.函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为( )A. B. C.π D.2π【解析】选C.y=sin 2x+cos 2x=2sin,T==π.2.同时具有:①最小正周期为π;②图象关于点对称的一个函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sinD.y=tan【解析】选D.由T=π,排除C;把x=代入A,B,函数值均不为零,排除A,B;再验证D符合题意.3.(2018·江苏高考)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值是________.【解析】正弦函数的对称轴为+kπ(k∈Z),故把x=代入得+φ=+kπ(k∈Z),φ=-+kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以k=0,φ=-.答案:-1.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选D.由五点法作图知,解得所以f(x)=cos,令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,解得2k-<x<2k+,k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.【一题多解】选D.由图象知T=2×=2,当x==时,f(x)取得最小值,因为T=2,所以当x=-1=-时取到最大值.所以f(x)的一个单调递减区间为,f(x)单调递减区间为,k∈Z.2.(2020·洛阳模拟)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x∈R,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)是周期函数且最小正周期为πB.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间上的值域为[1,]D.函数f(x)在区间上是增函数【解析】选C.对于A,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(-sin x)+cos(-sin x)=-sin(sin x)+cos(sin x)≠f(x),A错误;对于B,f(-x)=sin[sin(-x)]+cos[sin(-x)]=-sin(sin x)+cos(sin x)≠-f(x),B错误;对于C,令t=sin x,则t∈[0,1],y=sin t+cos t=sin∈[1,],C正确; 对于D,f(x)=sin,令t=sin x+,则t=sin x+在上单调递增,t∈,但外层函数y=sin t在上并不具有单调性,所以D错误.。
2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础题组练]1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D ．32解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A.15 B ．－15C.725D ．－725解析：选 C.法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C.法二：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，得sin 2α＝725.故选C.3．(2020·陕西榆林模拟)已知cos θsin θ＝3cos (2π＋θ)，|θ|<π2，则sin 2θ＝( )A.829 B.223C.429D ．229解析：选C.因为cos θsin θ＝3cos (2π＋θ)，所以cos θsin θ＝3cos θ.又|θ|<π2，故sin θ＝13，cos θ＝223，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×13×223＝429，故选C.4．(2020·武汉模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( ) A.34B ．－34 C.14D ．±34解析：选A.因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×14＝34.故选A.5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2＝log 552＝4.故选C. 6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝ ． 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：787．(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，且cos θ＝－513，则sin θ＝ ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ ． 解析：由题知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，所以cos θ＝－xx 2＋36＝－513，解得x＝52，所以sin θ＝－6132＝－1213，tan θ＝－6－52＝125，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝－177. 答案：－1213 －1778．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ ．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210.答案：72109．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 10．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin ()α＋π的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[综合题组练]1．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010， 则cos β＝( ) A.22B.210 C.22或－210D ．22或210解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝22，故选A. 2．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtanπ12－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010C ．－31010D ．31010解析：选C.tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 4．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。
2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形5第5讲三角函数的图象与性质高效演练分层突破
第5讲 三角函数的图象与性质[基础题组练]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.2．(2020·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2 B.π3C.π4 D.π6解析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tanx |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D.4．设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)上单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.5．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为[k π＋π2，k π＋3π2]，k ∈Z ，由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z ，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z ，由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤23，当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.7．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.答案：729．(2020·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝5π6.答案：5π610．(2020·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)11．(2020·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝32cos(2x ＋φ)＋sin 2x .(1)若φ＝π6，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的最大值是32，求φ的值．解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π6.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z .(2)由题意f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大值为32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin φ2＝1，从而cos φ＝0，又0≤φ＜π，故φ＝π2.12．(2020·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间．解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z . 由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3.(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .[综合题组练]1．(2020·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则必有( )A ．α2＜β2B ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β解析：选B.α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22在区间[0，22]上的零点个数为________．解析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2kπ，k ∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22＝sin x －22的零点个数是8个． 答案：1＋12k (k ∈N ) 84．(2020·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫B2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1 ＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π， 所以ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝0⇒B ＝π3，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝12，所以ac ＝a 2＋c 2－9≥2ac －9，ac ≤9， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤934.故△ABC 面积的最大值为934.5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用练习
4.4 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及应用1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案 A解析 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D 项，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C 项，故选A.2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 3．若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8B.π4C.3π8D.5π4解析 f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.4．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.5．若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A ．2B.32C.23D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ωπ3－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴ω的一个可能值是2.6．(2019·安徽省合肥市一中、合肥六中联考)已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，则|x 1－x 2|的值可能为( ) A.5π4B.3π4 C.π2D.π3解析 函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1 ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 变换后得函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋1的图象，易知函数y ＝g (x )的值域为[－1,3]． 若g (x 1)·g (x 2)＝9，则g (x 1)＝3且g (x 2)＝3，均为函数y ＝g (x )的最大值， ∴|x 1－x 2|的值为函数y ＝g (x )的最小正周期T 的整数倍，且T ＝2π4＝π2.7．(多选)将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )具有以下哪些性质( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝－π3对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos2x 的图象．对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝－π3时，g (x )＝32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝－π3对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称，故D 正确．8．(多选)已知函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1，下列四个结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数B ．点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到D ．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域为[0，2]答案 AB解析 函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，因此函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数，因此A 正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋π4＝2sinπ＝0，因此点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心，因此B 正确；由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos2x ，因此由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度不能得到函数f (x )的图象，因此C 不正确；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， ∴f (x )的值域为[－1，2]，因此D 不正确．9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为____________________．答案 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )解析 由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则周期T ＝π，即2πω＝π，则ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 设f (x )周期为T ，由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin2π3＝32. 11．(2020·黄岗中学模拟)已知函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝3sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1，∵周期T ＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .(2)∵g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )max ＝2×1＋1＝3.12.(2019·湖北七校联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，其中点P (1,2)为函数f (x )图象的一个最高点，Q (4,0)为函数f (x )的图象与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位长度得到y ＝g (x )的图象，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的图象的对称中心．解 (1)由题意得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12. 又∵2πω＝12，∴ω＝π6.将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(2)由题意，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －2)＋π3＝2sin π6x .∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋23·sin π6x ·cos π6x ＝1－cosπ3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.由π3x －π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝3k ＋12(k ∈Z )． ∴函数y ＝h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋12，1(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)． 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝2k π＋π6或ωx 2＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2可得，φ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.15．(2019·全国Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增；④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B．②③C．①②③D．①③④ 答案 D解析 如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增，所以③正确．16．(2019·南通模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
高考数学一轮复习全套课时作业4-4三角函数的图像和性质
题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。
2021年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第四节函数y=Asinωx+φ的图象及应用课后作业
2021年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第四节函数y＝Asin ωx ＋φ的图象及应用课后作业理一、选择题1．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π42．(xx·渭南模拟)由y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象，则f (x )为( )A ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π6C ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π3D ．2sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋π33．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π34．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π65．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关 二、填空题6．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.7．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？[冲击名校]1．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.322．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.3．(xx·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．答 案[全盘巩固]一、选择题1．解析：选A 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1.∵0＜φ＜π，∴π4＜φ＋π4＜5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.2．3．解析：选D 由图可知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.4．解析：选B y ＝ 3cos x ＋sin x ＝232cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度后，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图象，此图象关于y 轴对称，则x＝0时，y ＝±2，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π3＝±2，所以m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，由于m >0，所以m min ＝π6.5．解析：选C π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，x ＝π时，函数y 的值为0.正确答案为C.二、填空题6．解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0.答案：07．解析：把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：228．解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.答案：20.5 三、解答题9．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．10．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．[冲击名校]1．解析：选D 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D. 2．解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )．∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案：1433．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.。
第四单元三角函数( 滚动提升)-2021年高考数学一轮复习(原卷版)
第四单元 三角函数B 卷 滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020陕西省西安中学期末】已知函数()()sin ,042,0x x f x f x x π⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则()3f -的值为（ ） A ．1-B．2C ．1D．2-2. 【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞3.【2020浙江省浙江邵外期中】设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角A ．一B ．二C ．三D ．四4. 【2020云南省云南师大附中高三其他（理）】已知角4πα+的终边与单位圆221x y +=交于03P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2α等于（ ） A ．13-B ．23-C ．13D ．235.【2020甘肃省高三其他（理）】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =（ ）A ．3B ．3-C ．7D ．7-6. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π27. 【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A ． 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ． 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ． 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ． 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 8.【2020湖南省高三其他（理）】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.【2020山东省高三其他】将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（ ） A ．23B ．1C ．65D ．210.【2020三亚华侨学校高三测试】设函数()f x 是定义在R 上的函数，满足()()0f x f x --=，且对任意的x ∈R ，恒有(2)(2)f x f x +=-，已知当[0,2]x ∈时，21()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）A ．函数()f x 的最大值是1，最小值是14B ．函数()f x 是周期函数，且周期为2C ．函数()f x 在[2,4]上递减，在[4,6]上递增D ．当[2,4]x ∈时，21()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭11.【2020山东省济宁一中高三一模】若集合{}sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的结论有（ ） A ．A B B ⋃= B ．RRB A ⊆C ．AB =∅D ．RRA B ⊆12. 【2019山东省高三月考】函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（ ）A ．2B ．1C ．0D ． 2-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【2020广东省金山中学高三三模（文）】若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 14. 【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 15. 【2020年高考全国III 卷理数】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16. 【2019山东省淄博第十中学高三期末】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，则T =________，当01x <≤时()(1)f x x x =+，则(4)(5) f f +等于________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【2020陕西省期末】若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-. （1）求m 的值；（2）求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---的值.18．【2020上海高三二模】已知函数()431xf x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,5x ∈，不等式()3xuf x 恒成立，求实数u 的最大值 19．【2020辽宁省高三其他（理）】如图，点13,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ，点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点.（1）若AOB α∠=，求sin 2α；（2）设点P 为单位圆上的动点，点Q 满足OQ OA OP =+，ππ262AOP θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，()f OB OQ θ=⋅，求()fθ的取值范围.当OB OQ ⊥时，求四边形OAQP 的面积.20. 【2020沈阳市第一七0中学期末】已知函数()()cos sin 3f x x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若角(0,)απ∈，33()+252=αf ，求2sin(+)3πα的值. 21.【2020合肥市第八中学月考】已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来12，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，当方程()g x m =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同的实数根时，求m 的取值范围.22. 【2020全国高三一模】已知函数()()()32120ax a b x b f x x a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.()f x '为函数()f x 的导函数. （1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程()32f x x m ='+有三个不等的实数根，求实数m 的取值范围.。
2021高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4讲三角函数的图象与性质分层演练文
2021高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4讲三角函数的图象与性质分层演练文一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：选A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C 、D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C 、D 不正确．2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选 B.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即现在函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.3．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B.由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，因此ωmin ＝2，故选B.4．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选D.y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2.结合选项图形知，D 正确．5．(2020·惠州第三次调研)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A ．34 B ．1 C ．32D ．2解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.法一：设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数能够化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32，因此当t ＝12时，函数取得最大值32.法二：设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数能够化为y ＝－2t 2＋2t ＋1，y ′＝－4t ＋2.当12≤t ≤1时，y ′≤0；当－1≤t ≤12时，y ′≥0. 当t ＝12时y 取得最小值，y min ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×12＋1＝32，选C.6．(2020·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D.f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，因此φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，因此函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，现在f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.二、填空题7．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ＝π8时，f (x )有最小值－2，因此2×π8＋φ＝－π2＋2k π，即φ＝－34π＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π， 因此φ＝－34π.因此f (x )＝－2sin(2x －34π)．由－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，得π8＋k π≤x ≤58π＋k π，k ∈Z ， 因此函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z8．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0且|φ|＜π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋φ＝π2＋2k π2π3ω＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得ω＝2，φ＝π6＋2k π，又因为|φ|＜π2，因此φ＝π6.因此f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π6＝cos π6＝32. 答案：329．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范畴是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，因此f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 因此－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，310．(2020·石家庄质量检测(一))若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是________． 解析：f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin (π＋θ＋π6)＝0，又0＜θ＜π，因此θ＝5π6，因此f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是减函数，因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3.答案：－ 3 三、解答题11．(2021·高考北京卷)已知函数f (x )＝3cos(2x －π3)－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)．因此f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，因此－π6≤2x ＋π3≤5π6.因此sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.因此当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.12．(2021·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，因此f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4)．函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．因此f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．。
2021年高考数学一轮复习 第四章 第3讲 三角函数的图象与性质 文(含解析)
2021年高考数学一轮复习 第四章 第3讲 三角函数的图象与性质 文（含解析）一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－3. 答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3 C.π2D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 答案328．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x 2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2. 答案 29．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos xsin x ≥cos x ，sin x sin x <cos x.画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 10．下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确．②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确． ④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题11. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π， 函数f (x )的值域是[]－2，2. (2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 12．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． ∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8 ＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 14．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．33853 843D 落25538 63C2 揂20265 4F29 伩=z38041 9499 钙H 24730 609A 悚35192 8978 襸37594 92DA 鋚35362 8A22 訢36170 8D4A 赊26793 68A9 梩。
2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形考点规范练20函
2021届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形考点规范练20函考点规范练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0A.T=2,θ= C.T=2,θ=πB.T=1,θ=π D.T=1,θ=B.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度2.已知函数f(x)=sin,则要得到g(x)=-cos的图象,只需将函数y=f(x)的图象( ) A.向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度水深(单位:m)的最大值为( )3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间A.5可能取值为( ) A. C.0B. D.-B.6C.8D.104.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个5.将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=( )A.B.C.D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为( ) A. B.1C. D. 8.(2021河南信阳、三门峡一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,把f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g=( ) A.-1 A.(1,) C.[1,2) 到.11.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0B.1 B.[0,2] D.[1,]C.-D.9.(2021辽宁大连一模)若关于x的方程2sin=m在区间上有两个不等实根,则m的取值范围是( )10.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得12.设函数f(x)=sin,则下列命题:①f(x)的图象关于直线x=对称; ②f(x)的图象关于点对称;③f(x)的最小正周期为π,且在区间上为增函数;④把f(x)的图象向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图象.其中正确的命题的序号为 .能力提升感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章+第4节+三角函数的图象与性质+Word版含解析
多维层次练24[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则有( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 C ．函数f (x )的最小正周期为π2D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减 解析：f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x2sin x cos x＝－tan x (x ≠k π，k ∈Z)所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，且f (x )的最小正周期T ＝π，因此B 、D 正确． 答案：BD2．(2020·临沂市联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( )A.102B ．－102C ．2D ．－2解析：依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案：C3．(2019·湖南三湘名校教育联盟联考)若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( )A ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2B ．f (x )＝|sin(π＋x )|C ．f (x )＝－tan xD ．f (x )＝1－2cos 2 2x解析：因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，所以排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，所以排除C ；f (x )＝1－2cos 2 2x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4，k ∈Z ，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．答案：B4．(多选题)同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数”的函数为( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：根据性质①最小正周期是π，排除选项A ；对于选项C ，当x ＝π3时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 5π6＝－32，不是最值，所以排除选项C.易知y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π具有性质①，②，③.且y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π.所以选项B 、D 均满足性质①，②，③. 答案：BD5．(多选题)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值可以是( )A.83 B ．3 C.103D ．4解析：由题意，函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，令ωx ＋π6＝t ，所以f (t )＝2sin t . 在区间上⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3恰有一个最大值点和最小值点，则函数f (t )＝2sin t 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－πω4＋π6，πω3＋π6上．则⎩⎪⎨⎪⎧－3π2<－πω4＋π6≤－π2，π2≤πω3＋π6<3π2，解得⎩⎨⎧83≤ω<203，1≤ω<4，所以83≤ω<4，只有D 项不满足要求．答案：ABC6．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－2C. 2 D ．2解析：因为f (x )是奇函数(显然定义域为R)，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|＜π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.答案：C7．函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ）， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，所以函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}．答案：{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34的最大值是________，此时自变量取值的集合是________．解析：f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，当cos x ＝32时，f (x )取到最大值1，此时x ＝2k π±π6，k ∈Z.答案：1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π±π6，k ∈Z9．(2019·全国卷Ⅲ改编)设函数f (x )＝sin(ωx ＋π5)(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增； ④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.其中所有正确结论的编号是________． 解析：当x ∈[0，2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5. 因为f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋π5<6π，所以ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，故④正确．y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2ωπ＋π5上极值点的个数即为f (x )在[0，2π]上极值点的个数．由y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2ωπ＋π5上的图象(图略)可知f (x )在[0，2π]有且仅有3个极大值点，有2个或3个极小值点，故①正确，②错误．下面判断③是否正确，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，ωx ＋π5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，ωπ＋2π10， 若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，则ωπ＋2π10<π2，即ω<3，因为125≤ω<2910，故③正确. 答案：①③④10．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 且T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)．即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8， 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.[B 级 能力提升]11．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos |x |D ．f (x )＝sin |x |解析：作出f (x )＝|cos 2x |的图象，由图象知f (x )＝|cos 2x |的周期T＝π2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上递增，A 正确．又f (x )＝|sin 2x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是减函数，B 错误．且f (x )＝cos |x |＝cos x ，周期T ＝2π，f (x )＝sin |x |不是周期函数，所以C 、D 均不正确．答案：A12．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f (π4)＝cos(π4ω－π6)＝1，所以π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝8k ＋23，k ∈Z.因为ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值23.答案：2313．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan(α＋π3)的值．解：(1)f (x )＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z. 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16(k ∈Z)． (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以－π4<α－π4<3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.[C 级 素养升华]14．(多选题)(2019·全国卷Ⅰ改编)关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论，其中正确的结论是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点 D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，故f (x )是偶函数，A 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 单调递减，B 不正确；当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，f (x )＝2sin x 有两个零点，当x ∈[－π，0)时，f (x )＝－2sin x 仅有一个零点，故C 不正确；当x ≥0时，f (x )＝sin x ＋|sin x |，其最大值为2，又f (x )是R 上的偶函数，故f (x )在R 上的最大值为2，D 正确．综上A ，D 正确，B ，C 不正确． 答案：AD。
2021-2022年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质习题
2021年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质习题 理 新人教A 版(I)一、填空题1.(xx·徐州检测)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________. 解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) 2.已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________. 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 3.(xx·云南统一检测)已知函数f (x )＝cos 23x －12，则f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________.解析 因为f (x )＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π6. 答案 π64.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________. 解析 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 答案 π65.(xx·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________. 解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 可知函数图象关于直线x ＝π4对称，则在x ＝π4处取得最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±2. 答案 ±26.(xx·南通调研)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________. 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ). ∴函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π67.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________. 解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ）， ∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) 8.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________.解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，则有y＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54， 画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1， 可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 二、解答题9.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1. 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (i)当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ii)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5， ∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.10.(xx·重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域.解 (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x ). ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. (2)由条件可知，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________.解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32. 答案 3212.(xx·豫南九校质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6， ∵当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12， ∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 则有π2≤a ＋π6≤7π6，π3≤a ≤π， 即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 13.(xx·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－ (－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.答案 π214.(xx·嘉兴一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12时，求函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域. 解 (1)f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x .所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2].。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练19文1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．③，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④，－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k∈Z )B ．k ·360°＋94π(k∈Z )C ．k ·360°－315°(k∈Z )D ．k π＋5π4(k∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．3．(xx·湖北襄阳联考)角α的终边在第一象限，则sin α2|sin α2|＋cosα2|cos α2|的取值集合为( )A ．{－2，2}B ．{0，2}C ．{2}D ．{0，－2，2}答案 A解析 因为角α的终边在第一象限，所以角α2的终边在第一象限或第三象限，所以sinα2|sin α2|＋cosα2|cos α2|＝±2.故选A.4．若点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 答案 A解析 Q(cos 2π3，sin 2π3)，即Q(－12，32)．5．已知tan α＝33，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B 解析 ∵tan α＝33，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.6．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．7．(xx·贵州遵义联考)已知倾斜角为α的直线过x 轴一点A(非坐标原点O)，直线上有一点P(cos130°，sin50°)，且∠APO＝30°，则α＝( ) A ．100° B ．160° C ．100°或160° D ．130°答案 C解析 因为P(cos130°，sin50°)即P(cos130°，sin130°)，所以∠POx＝130°.因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.故选C.8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1D ．sin2 答案 C解析 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R＝2sin1，故选C. 9．(xx·湖北重点中学联考)sin3，sin1.5，cos8.5的大小关系为( ) A ．sin1.5<sin3<cos8.5 B ．cos8.5<sin3<sin1.5 C ．sin1.5<cos8.5<sin3 D ．cos8.5<sin1.5<sin3答案 B解析 因为0<sin3＝sin(π－3)<sin1.5，cos8.5＝cos(8.5－2π)<0，所以cos8.5<sin3<sin1.5.故选B.10．在△ABC 中，若sinA ·cosB ·tanC<0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0. ∵sinA ·cosB ·tanC<0，∴cosB ·tanC<0. 若B ，C 同为锐角，则cosB ·tanC>0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.11．－2 017°角是第________象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案 二，143°，－217°解析 ∵－2 017°＝－6×360°＋143°，∴－2 017°角的终边与143°角的终边相同．∴－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又是143°－360°＝－217°，故与－2 017°终边相同的最大负角是－217°.12．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4；④sin|－1|，其中为负值的个数是________． 答案 2解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为 1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．13．(xx·沧州七校联考)若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a 的值为________． 答案 －4 3解析 tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a ＝－4 3. 14．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． 答案 [0，π4]∪(π2，54π]∪(32π，2π]15．函数y ＝lg(sinx －cosx)的定义域为________． 答案 {x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }解析 利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx ，只需π4<x<5π4(在[0，2π]上)．所以定义域为{x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }．16．若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α. 答案 －225°，－45°，135°，315°解析 令－360°≤135°＋k·180°≤360°，k ∈Z∴k ∈{－2，－1，0，1}．∴相应的角为－225°，－45°，135°，315°.17．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x≥0)，求s in(α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ， 可得sin α＝223，cos α＝13.故sin (α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．(数学文化原创题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长等于9米的弧田． (1)计算弧田的实际面积；(2)按照《九章算术》中的弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(结果保留两位小数)答案 (1)9π－2734(平方米) (2)1.52(平方米)解析 (1)扇形半径r ＝33，扇形面积等于12θ·r 2＝12×2π3×(33)2＝9π(平方米)，弧田面积＝12θr 2－12r 2sin 2π3＝9π－2734(平方米)．(2)圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为12r ，按照上述弧田面积经验公式计算得12(弦×矢＋矢2)＝12×(9×332＋274)＝274(3＋12)，9π－2734×2－278≈1.52(平方米)．。