一类集约束下的向量极值问题的最优性条件
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6．若线性规划问题有最优解， 则最优解一定可以 在可行域的顶点（极点） 达到 。
7．线性规划问题有可行解，则 必有基可行解 。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其 解 _的集合中进行搜索即可得到最优解。
基可行
第二章 第一节 线性规划的基本概念
一、填空题
1．线性规划问题是求一个线性目标函数 _在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于 含有两个变量的 线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指 满足所有约束条件的解 。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量 等于零 。
5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量 所对应的列向量线性无关
3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。
A．观察环境 B ．数据分析 C ．模型设计 D ．模型实施
1
4. 建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（
B）
A 数量 B 变量 C 约束条件 D 目标函数
5.模型中要求变量取值（ D ）
A 可正 B 可负 C 非正 D 非负
6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ）
D 整数规划 E 目标规划
1．运筹学的计划法包括的步骤。 答：观察、建立可选择的解、用实验选择最优解、确定实际问题
2．运筹学分析与解决问题一般要经过哪些步骤 ?
答： 一、观察待决策问题所处的环境
二、分析和定义待决策的问题
三、拟订模型 四、选择输入数据 五、求解并验证解的合理性
六、实施最优解
3．运筹学的数学模型有哪些优缺点 ? 答：优点：（ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ）．通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出
约束条件下的极值
在数学优化问题中，当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值（最大值或最小值）时，我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）或者KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，对于非线性优化问题中的约束条件）等方法来解决。
例如，设有函数f(x, y)要在区域D内找极值，区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义，这里的c是一个常数。
拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。
接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程组，解这个方程组就可以找到可能的极值点。
对于KKT条件，它扩展了拉格朗日乘数法，适用于更广泛的优化问题，包括不等式约束。
在满足KKT条件的情况下，优化问题的解有可能是最优解。
具体步骤如下：
1.构造拉格朗日函数（若有不等式约束，需要构造广义拉格朗日函数）。
2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数，并令它们等于零，得到必要条
件。
3.检验求得的点是否满足KKT条件，包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件（即该点必须位于可行域内）。
4.对于可能的极值点，还需进行二阶条件检验（如海森矩阵判别法）来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。
通过这些方法，我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。
约束问题最优化方法
且 对 满 足 下 述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三 条 件 的 任 意 非 零 向 量 z 有 (9-10) 成 立 ， 则 x* 是 问 题 (9-1) 的 严 格 局 部 极 小 点 ．
(1)
H ，定义集合
I ( x (1) ) {i g i ( x (1) ) 0,1 i l}
(1) x 为 点所有起作用约束的下标的集合．
可行下降方向的判定条件
g j ( x ) d 0 ( j I ( x ))
(1) T (1)
f ( x
(1)
) d 0
T
*
* j
必为零，在运用 K-T 条件求 K-T 点时，利用这一点可 以大大 地简化计算，另 外还要把约束条 件都加上．
2．求满足Kuhn-Tucker条件的点
例 9-1 求下列非线性规划问题的 Kuhn-Tucker 点．
min f ( x) 2x 2x1x2 x 10x1 10x2
线性无关．
若
* x* 是 (9-1) 的局部最优解，则比存在 * (1* , 2 ,, l* )T 和向量
* * T * (1* , 2 ,, m ) ，使下述条件成 立：
l m * * * * * f ( x ) j g j ( x ) i hi ( x ) 0 j 1 i 1 * * j g j ( x ) 0, j 1, 2, , l * j 0, i 1, 2, , l
2 1 2 2
最优化理论第四章约束问题最优性条件
定理4.2
设x* s, f ( x), g i ( x), (i I )在x*可微，g i ( x), (i I )在x *连续，
如果x*是问题 2 的局部最优解，则F0 G0 =。 （证明从略）
2.2 定理4.3 （Fritz，John条件）
* 设x* s，I i g i ( x* ) 0 ，f , g i (i I )在x*处可微，g （ i i I）在x 处连续，
第
四
章
约束问题的最优性 条件（P206）
min f(x) 约束优化： s.t. gi (x) 0, h ( x) 0, j
x Rn i 1,..., m j 1,..., l
s x gi ( x) 0, i 1,..., m; h j ( x), j 1,..., l
iI
①K-T条件
* 进一步条件，若g（ i I ）在 x 处可微，K-T条件为： i m （ f x*） - wi gi ( x* ) 0 ② i 1 ② * m n方程组 wi gi ( x ) 0, i 1,..., m ③ ③ ④ wi 0, i 1,..., m * 给定x ，验证是否符合K-T条件用① 应用 * x 未定，求解K-T点，求解② +③
2.4
定理4.5 （约束问题最优解的一阶充分条件）
问题（2）中，f 是凸函数，g （ ）是凹函数，s为可行域，x* s, i i 1,..., m I i gi ( x* ) 0 , f 和gi (i I )在点x*可微，gi (i I )在点x*连续，且在x*处 K - T 条件成立，则x*为全局最优解。 x 1， 0 为全局最优解（例子）
最优性条件(非线性规划)kuhn-tucker条件
定义 2 设 S Rn, x S,d Rn,d 0 ，若存在 t 0 ，使
x td S
则称向量 d 是函数 f(x)在点 x 处关于 S 的可行方向。
定义 3. 设 f : Rn
R, x Rn , d Rn , d 0, e
u2 2u
0 2 0
得u1
1 3 ,u2
2 3
0
故x (2,1)T 是K T点。
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续）
●
g1与g 3交点： x12
x22 5 x1 0
0
得x (0, 5)T
(0, 5)T S,故不是K T点；
m
ui g i ( x) 0
i
ui 0, i 1,2,, m
ui gi (x) 0
2( x1 3) u1 2x1 u2 u3 0(1)
2( x2 2) u1 2x2 2u2 u4 0(2)
u1 , u2 , u3 , u4 0
d d
，如果极限
lim f (x e) f (x) , R
0
存在，则称此极限为函数
f(x)在点
x
处的方向导数,记做
f (x d
)
定理 如果 f(x)在点 x 处可微，这 f(x)在点 x 处沿任何非
零向量
d
的方向导数存在，且
f (x ) d
f
(x )T
e, e
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
约束优化问题的极值条件
等式约束优化问题的极值条件求解等式约束优化问题 )(min x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1⋅⋅⋅= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法）1.对于二元函数 ),(m in 21x x f ..t s ()0,21=x x h ，根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ϕ=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,m in 21⋅⋅⋅ ..t s ()0,,,21=⋅⋅⋅n k x x x h ),,2,1(l k ⋅⋅⋅= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示：()n l l x x x x ,,,2111⋅⋅⋅=++ϕ ()n l l x x x x ,,,2122⋅⋅⋅=++ϕ...()n l l l l x x x x ,,,21⋅⋅⋅=++ϕ将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21⋅⋅⋅++ 二、拉格朗日乘子法（升维法）设T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的l 个等式约束方程。
为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F lk k k ∑=+=1),(λλ把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的原目标函数()x f 的极值点。
()λ,x F 具有极值的必要条件),,2,1(0n i x F i ⋅⋅⋅==∂∂ ，),,2,1(0l k Fk⋅⋅⋅==∂∂λ可得n l +个方程，从而解得T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=和k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=共有n l +个未知变量的值。
运筹学第15讲 约束最优化方法 (1)
第六章 约束最优化方法
6.1 Kuhn-Tucker 条件
一、等式约束性问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y) 在ф(x,y)=0 条件下的极 值。 即 min f(x,y) S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ
充要条件是
⎧ min ∇ f ( x ) T d ⎪ A 1d ≥ 0 ⎪ ⎨ Ed = 0 ⎪ ⎪ | d j |≤ 1 , j = 1 , L n ⎩ 0。
的目标函数最优值为
第六章
6.2 既约梯度法
显 然 d = 0 是 可 行 解 , 所 以 P1的 最 优 值 必 ≤ 0 。 1 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 < 0 , 则 d 为 ( P )的 下 降 可 行 方 向 ； 2 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 = 0， 则 x 为 K − T 点 。 < 确定一维搜索的步长： 设 x( k )是 可 行 解 , d ( k ) 为 下 降 可 行 方 向 , 求 λ k 使 x( k + 1 ) = x( k ) + λ k d ( k ) . ⎧ m in f ( x( k ) + λ d ( k ) ) ⎪ ⎪ s .t . A ( x( k ) + λ d ( k ) ) ≥ b λk满 足 : ⎨ ⎪ E ( x( k ) + λ d ( k ) ) = e ⎪ ⎩ λ ≥ 0 $ = b − A x( k ) , d $ = A d (k), 显 然 b $ < 0. 令b 2 2 2 利 用 定 理 1可 得 λ 的 上 限 λ m a x $i ⎧ b $ i < 0} ⎪ m in { $ | d = ⎨ di ⎪ +∞ ⎩ $< 0 d $≥ 0 d
约束优化问题的最优性条件
{
}
连续，若 x 是(NLP1)的局部最优解，则存在不全 为零的非负数 w0 , wi (i ∈ i ) ，使得
w0∇f ( x) − ∑ wi ∇gi ( x) = 0
i∈I
证明：参见陈宝林书 page 239
注：运用Fritz John 条件时，可能出现 w0 = 0 的情形。这时Fritz John 条件中实际上不包含 目标函数的任何数据，只是把起作用约束的梯 度组合成零向量。这样的条件，对于问题的解 的描述，没有多大价值。我们感兴趣的是
w0 ≠ 0 的情形，所以为了保证 w0 ≠ 0 ，还需
要对约束施加某种限制。这种限制条件通常称 为约束规格。在定理7.3中，如果增加起作用 约束的梯度线性无关的约束规格，则给出不等 式约束问题的著名的K-T条件。
定理7.8 (K-T 必要条件) 考虑约束问题(NLP) , x 为可行点，I = i gi ( x) = 0 ， f (x) 和 gi (x) (i ∈ I ) 在 x 处可微, gi (x) (i ∉ I ) 在 x 处连续, hj (j=1,…,l) 在 x 处连续可微。向量集
∂f = d T ∇f ( x ) ≥ 0 ∂d
(d
= 1)
即在极小点处的可行方向一定不是下降方向
n R 定理7.1 考虑约束极值问题 (NLP) , 设 S 是 中的非空集合，x ∈ S ， f (x) 在 x 处可微。如果 x
是局部最优解，则
F0 ∩ D = ∅
证明：参见陈宝林书 page236
定理7.5 设在问题（NLP1）中, f 是凸函数, gi(x)(i=1,2,…,m) 是凹函数，S为可行域，x ∈ S
I = i gi ( x) = 0 ， f (x) 和 gi (x) (i ∈ I )在 x 处可微,
最优化方法(约束优化问题的最优性条件)
s.t. c1 ( x ) = x 1 + x 2 + x 3 − 3 = 0 , c 2 ( x ) = − x 1 + x 2 ≥ 0
c 3 ( x ) = x1 ≥ 0 , c 4 ( x ) = x 2 ≥ 0 , c 5 ( x ) = x 3 ≥ 0
带入约束条件可知满足约束条件 将 x = (1,1,1) 带入约束条件可知满足约束条件
验证KT点的步骤 小结
• • • • • • 1 化为标准形式 2 验证约束成立 并且求得有效约束 3 约束规范 ∇f ( x * ) − λ1 ∇c1 ( x * ) − λ 2 ∇c 2 ( x * ) = 0 4 一阶条件方程 例如 5 验证不等式约束互补条件、乘子的非负性 验证不等式约束互补条件、 6结论 结论
* T
并且有效约束集合为 并且有效约束集合为 I = {1,2}
*
∇f ( x ) = ( −3,−1,−2) T ， ∇c1 ( x ) = ( 2,2,2) T ， ∇c 2 ( x ) = ( −1,1,0) T T T 线性无关。 且 ∇c 1 ( x ) = ( 2,2,2) 与 ∇c 2 ( x ) = ( −1,1,0) 线性无关。
向量 d ，如果对任意的 i ∈ I ( x) 有 ∇ci ( x)T d > 0 , 则 d 是点 x 的 可行方向。
令 证明： x ' = x + t d , t > 0。 则对任意的 i ∈ I ( x ) , 有
ci ( x' ) = ci ( x) + t ∇ci ( x)T d + o( || td ||2 )
= t ∇ci ( x)T d + o( || td ||2 )
约束非线性规划讲解
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
分析：
(1) 如果 I ( x*)中只有一个指标，不妨 设 g1 ( x)为积极约束。
则不存在向量d 使得 g1 ( x*)T d 0 T f ( x *) d0 成立。
12
则不存在向量d 使得 g1 ( x*)T d 0 成立。 T f ( x*) d 0
令 Q { x | h( x ) 0 , g ( x ) 0 } , 称 Q 为此约束极值问题的
可行域。
2
min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 , , m s.t. g j ( x ) 0 j 1 , 2 ,, l
hi ( x ) 0 hi ( x ) 0 hi ( x ) 0
gi ( x ) ( i I ( x*) ) 在 点 x * 处 连 续, { gi ( x*)| i I ( x*) } 线性无关。若 x *是约束极值问题 (1)的 局 部 极 小 点 ， 则存在一组实数 i 使 其 满 足
l f ( x*) i gi ( x*) 0 i 1 () i gi ( x*) 0 , i 0, i 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
约束型极值问题的条件研究
在实 际工作 中遇到 的大 多数 极值 问题 ，其变 量 的取 值 多 受 到一 定 限制 ，这 种 限 制 由约 束 条 件 来体 现 。带有 约束 条件 的极 值 问题称 为约束 极 值 问题 ，其数学 模 型为 ：
ｒｉ ｍ ）
｛ ）＝０ ＝１２３ …， ｈ（ ， ，，， ｍ，
约 束 型 极 值 问题 的 条件 研 究
王 跃 ，杨 蛟 ，王智 勇
（．昆明冶金 高等专科学校 公 共课 部 ，云南 昆明 ６ ０ ３ ； １ ５ ０ ３
２ ．四Ｊ 内江 职 业 技 术 学 院 基 础 部 ， 四川 内江 ６ １０ ） Ｉ Ｉ ４ １０
摘
要 ： 实际工作 中约束条件 下的最优化 问题是 目前研 究的热点。约束条件的选取与为改善在极值理论 中存在 算法仅获得局部 最优解并加速寻解的迭代过程 ，就最优 性条件 进行 了假 设与定义 ， 并推导得 出其可以与库恩 一哈克奈件对应 ，从 而找到约束型极值 的必要但 不充分备件 ，为求其解提供 了一种思路。 关键词 ：约束型极值条件 ；方 向向量 ；库恩 一哈克条件
ｃ ｎｓｒ ｉ ｅ ｘ ｒ ｍａ，ｗｈ ｃ ｏ ｉ ｅ ｎ ｉ ｅ ｏ ｅｔｎ ｈ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｏ ｓｒ ｉ ｅ ｘ ｒ ｍａ ｏ ｔａｎ ｄ ｅ ｔｅ ｉｈ ｐｒｖ ｄ ｄ ａ ｄ ａ ｆｒｇ ｔｉ ｇ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｆｃ ｎ ｔａｎ ｄ ｅ ｔｅ ． Ｋｅ ｒ ｓ：ｃ ｎ ｔａｎ ｄ ｅ ｔｅ ｍ ｏ ｄ ｔ ｎ；ｄ ｒ ｃｉ ｎ ｖ ｃｏ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｓｒ ｉ ｅ ｘ ｒ ｍｕ ｃ ｎ ｉｉ ｏ ｉｅ ｔｏ ｅ ｔｒ；Ｋｕ ｎ－ ｈ Ｈｕｃ ｏ ｄ ｔｏ ｋ ｃ ｎ ｉｉｎ
中 图 分 类 号 ：０ ２ ２４ 文 献标 识码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ ０ ７ ０ ９— ４ ９一（０ １０ ０ ８ ２ １ ）３— ０ ４—０ ４
《管理运筹学》填空题集锦
1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。
2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。
4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。
运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。
11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。
12．运筹学中所使用的模型是数学模型。
用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。
13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。
15.数学模型中，“s·t”表示约束。
16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。
1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。
5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
最优性条件(非线性规划)kuhn-tucker条件
ㄡ ▽h(ㄡ )
最优性条件即：
▽h(x*)
f ( x*) *h j ( x*) j
j 1
h
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： 考虑问题 min f(x) (fg) s.t. gi(x) ≤0 i=1,2, …,m 设 x*∈S={x|gi(x) ≤0 i=1,2, …,m} 令 I={i| gi(x*) =0 i=1,2, …,m} 称I为 x*点处的起作用集（紧约束集）。 如果x*是l.opt. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约 束时，才产生影响，如：
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 定理（最优性必要条件）： （K-T条件） 问题(fg), 设S={x|gi(x) ≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i ∈I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。 向量组{▽gi(x*), i ∈I}线性无关。 如果x*----l.opt. 那么， u*i≥0, i ∈I使
Байду номын сангаас
问题
min f(x) (fgh) s.t. g(x) ≤0 h(x)=0 约束集 S={x|g(x) ≤0 , h(x)=0}
一、等式约束问题的最优性条件： 考虑 min f(x) (fh) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y)极值 min f(x,y) 即 在ф(x,y)=0的条件下。 S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λ ф(x,y)
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况： min f(x) 分量形式： s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是(fh)的l.opt. ,则存在υ*∈ Rl使
《最优化理论》课件
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
最优性条件
(1)
s.t. g( x) 0 可行域为 Q { x| g( x ) 0 }。
Q : 可行解集 可行点集
1.可行方向和积极约束
(1) 可行方向：
设 x0 Q，d 为 一 个 向 量 。 如 果 存 在实 数 0， 使 得 对 任 意 的 ( 0 , ) 有 x0 d Q ,则 称
的局部极小点，则存在一组实数i 使其满足
ifg(i
l
x*) igi ( x*) 0 i 1
( x*) 0 , i 1, 2 ,, l
()
i 0, i 1, 2 ,, l
()式称为K T条件（库恩 塔克条件），满足()式的点
称为K T点。
(4) 对于有等式约束的极值问题
min f ( x)
i
gi ( x*)
i 1
0,
i
1, 2,,
l
(3)
i
0,
i
1, 2,, l
i
gi (
i
x*) 0, 0, i
i 1
1,2,, , 2 ,, l
l
ii
0, 0,
gi ( x*) 0; gi ( x*) 0;
定理 4( K T条件）设 x* Q，f ( x)和 gi ( x)(i I( x*) )在 点 x *处可微，gi ( x)(i I( x*) )在点 x *处连续, { gi ( x*)|i I( x*)}线性无关。若 x *是约束极值问题（1）
s.t .
x1 x1
x2 0
4
x2 0
的 K T 点。
解：f ( x) 2[ x1 3 , x2 3 ]T。
g1( x) 4 x1 x2 g1( x) [ 1, 1]T
一类集约束下的向量极值问题的最优性条件
一类集约束下的向量极值问题的最优性条件
宋永明
【期刊名称】《重庆理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(022)002
【摘要】利用序局部凸Hausdorff空间中的广义次似凸映射下的择一定理,得出带集约束的向量极值问题的最优性条件.
【总页数】4页(P60-63)
【作者】宋永明
【作者单位】重庆师范大学,数学与计算机科学学院,重庆,400047
【正文语种】中文
【中图分类】O221
【相关文献】
1.含有集约束向量极值问题的最优性条件 [J], 吴泽忠
2.可微向量极值问题的Benson真有效解的最优性条件 [J], 王其林
3.一类集值映射向量优化问题的最优性条件 [J], 蒋娅
4.局部凸空间中带有约束的向量极值问题的最优性条件 [J], 杨瑞;朱建青;国起
5.拓扑向量空间中非光滑向量极值问题的最优性条件与对偶 [J], 陈修素
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向量极值问题
向量极值问题向量极值问题是数学中的一个重要概念，研究如何找到向量函数的最大值或最小值点。
在应用中，向量极值问题经常出现在经济学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍向量极值问题的基本概念、求解方法以及实际应用。
一、向量极值问题的基本概念向量极值问题是指在一定条件下，如何找到使得向量函数取得最大值或最小值的点。
在向量极值问题中，我们通常需要考虑多个自变量对应的向量函数，并通过约束条件确定自变量的取值范围。
常见的向量极值问题可以用以下形式表示：求向量函数f(x)的极值，其中x=(x1,x2,...,xn)为自变量，f(x)为目标函数，约束条件为g(x)=0。
解决向量极值问题的方法主要有两种：拉格朗日乘数法和牛顿法。
下面分别介绍这两种方法的基本原理和步骤。
1. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束优化问题的方法，也可用于求解向量极值问题。
其基本思想是在目标函数中引入一个或多个拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分。
通过求解构造的拉格朗日函数的梯度为零的点，即可得到极值点。
2. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解非线性方程组的方法，也可用于求解向量极值问题。
其基本思想是利用目标函数的梯度和海森矩阵进行迭代，逐步逼近最优解。
通过迭代求解，可以找到目标函数的驻点，再通过判断海森矩阵的正定性确定极值点。
三、向量极值问题的实际应用向量极值问题在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是几个常见的应用场景：1. 经济学中的应用在经济学中，向量极值问题常常用于研究经济模型中的最优决策问题。
例如，在生产函数中，可以通过求解使得产量最大的自变量取值，确定最优生产方案。
2. 物理学中的应用在物理学中，向量极值问题常常用于描述物理系统中的平衡状态。
例如，通过求解势能函数的极值点，可以确定物体在重力场中的平衡位置。
3. 工程学中的应用在工程学中，向量极值问题通常用于优化设计问题。
例如，在工程设计中，可以通过求解满足约束条件的目标函数的极值点，确定最优设计方案。
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Ｓ ＯＮＧ ｎ — ｎ Ｙ０ ｇ ｍｉｇ
（ ｏｅｅｏ Ｍ ｔ ｍ ｔｓ Ｃｍ ｕ ｒ Ｃ ｏｇｉ ｏｍ ｌ ｎ ｅｓｙ ｈｎｑ ｇ ００ ７ ｈ ａ Ｃ ｌｇ ｆ ａ ｅ ａ ｃ ＆ ｏ ｐｔ ， ｈｎｑ ｇＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｔ，Ｃｏｇｉ ０ ４ ，Ｃ ｉ ） ｌ ｈ ｉ ｅ ｎ ｖ ｉ ｎ４ ｎ
ｙ铮 ｙ—Ｙ Ｅｉ Ｙ ｙ ≤ ｙ 铮 ｙ ｎ ＋， ｔ ≥ ｙ ，ｙ ＜ Ｙ 铮 Ｙ ＞ Ｙ 用 Ｙ 表 示 ｌ ． ，的 拓 扑 对 偶 ， 称 ｌ： ＝ ，
｛ ∈Ｙ （ ， ） Ｏ Ｅ Ｙ ｝ ｌ 的对偶锥 ， 中（ ， ） Ｙ ：Ｙ Ｙ ｆ ，Ｖｙ ＋ 为 ， ＞ ＋ 其 Ｙ Ｙ 表示线性泛函 Ｙ 在点 Ｙ的函数值 ．
引理 １ … （ 一定 理 ）设 Ｄｃ 是 一非 空集 合 ，， 序 局部 凸 Ｈ ｕｄｒ 空 问 ， 具 有拓 扑 内部非 空 择 ｌ是 ａｓｏｆ 且 的闭凸点 锥 ｙ ， ： ＋ Ｄ— ｙ在 Ｄ 上是 广义 次 似 凸的 ， 下列 条件 必有 一个 成 立 ， 不 能 同时成 立 ． 则 但
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宋永 明 ： 类集约 束下 的 向量极值 问题 的最优 性条 件 一
６ １
空的闭凸锥 ， ＋ ， Ｅ Ｙ ， ｔ ＋ Ｙ ≠ｌ Ｏ ＋ ｉ Ｙ 表示 ｌ 的拓扑内部 ． ｌ中建立序关系 ： ≥ｙ铮 ｙ Ｙ ，Ｙ ， ｎ ， ＋ 在 ， Ｙ —Ｙ∈ ＋ ＞
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｏｐ ｉ ｌｔ ｏ ｄ ｔ ｎ ｉ ｓａ ｌ ｈ ｄ ｆｒｖ ｃｏ ｘｒ ｍｕ ｐ ｏ ｌｍｓｗｉ ｅ ｏ ｓｒｉ ｔｂ ｐ ｌｉｇ ｔ ｍａｉｙｃ ｎ ｉｉ ｓｅ ｔｂ ｉ ｅ ｏ ｅ ｔｒｅ ｔ ｏ ｓ ｅ ｍ ｒｂ ｅ ｔ ｓ ｔｃ ｎ ｔａｎ ｙ ａ ｐ ｙｎ ｈ
定义 １ 称 映 射 Ｆ： 一 ｌ在 Ｄ 上 是 广 义 次 似 凸 的 ． 果 ］ｕ∈ ｉ Ｙ Ｖ ， ∈ Ｄ， ∈ ［ ， ］ Ｄ一 ， 如 ｎ ＋， ｔ Ｖ ０ １， Ｖｅ＞０ ］Ｚ∈Ｄ， ， ］ｙ＞０ 使 ： ，
ｅ Ｆ ） １ ） （ ） Ｆ（ ∈ Ｙ ｕ＋ （ ＋（ 一 Ｆ 一７ Ｚ）
约束 的可微 向量 极值 问题 的最优性 条件 ．
１ 预 备 知 识
设 是 线性空 间 ， Ｄ ，， ｌ是线性 拓扑空 间 ， 是局 部 凸的 Ｈ ｕｄ珊 空 间 ， ＋ Ｙ中的拓 扑 内部 非 且 ａｓｏ Ｙ是
收稿 日期 ：０ｒ—１ —１ ２Ｏ ２ ２ ７ 基金项 目： 重庆市教委科研 项 目（ １７８６ ． Ｋ０００ ） 作者 简介 ： 宋永明（９８ ）男 ， １７一 ， 山东垦利人 ， ｒ 硕士研究生 ， 主要从事最优化理论及 应用 的研究
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第２ ２卷
第 ２期
重 庆 ３ 学 院 学 报（ － 自然科 学 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｎｑ ｇＩｓｔｔ ｏ ｅｈ ｏ ｇ（ ａ ｒｌ ｃｅｃ） ｏｒａ ｏ ｏｇｉ ｔｕｅ ｆ ｃｎｌ ｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｅ Ｃ ｎ ｎｉ Ｔ ｏ ｕ ｎ
２０ 年 ２月 ０８
Ｆ ｂ．２ ０ ｅ ０８
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． １２ ２
一
类 集 约 束 下 的 向量 极 值 问题 的 最 优 性 条 件
宋永 明
（ 重庆师范大学 数学与计算机科学学院 ， 庆 重 ４０４ ） ００７
Ｏｐ ｍ ａｉｙ Ｃｏ ｄ ｔｏ ｏ ｎ ｆＶｅ ｔ ｒ Ｅｘ ｒ ｍ ｕ ｏ ｌｍｓ ｉ ｔ ｌ ｎ ｉｉｎ ｆ ｒ ａ Ｋｉ ｄ ｏ ｃｏ ｔｅ ｍ Ｐｒ ｂ ｅ ｔ ｗｉｈ ｅ ｔ Ｓ ｔ￣ ｔａｎｔ ｒｉ
无 穷维 向量极 值 问题 的最 优性条 件一 直 吸引着 许 多学 者 的关 注 ． 献 ［ ］ 文 １中在 局部 凸 Ｈ ｕｄｒ 空 间 ａｓｏｆ ｆ
中讨论 了广义次似凸映射下的 Ｂｎｏ 真有效解一些特性 ； ｅｓ ｎ 文献［］ ２ 中在实线性空间中建立 了次似凸集值 映射的择一定理， 并获得了集值映射向量优化的最优性条件 ； 文献 ［］ ３ 中在序线性拓扑空间中利用次似凸 映射的择一定理讨论 了向量优化的最优性条件； 文献［ ］ ４ 中在序局部 凸 Ｈ ｕ ｏ 空间中利用择一定理讨 ａ ｄｒ ｓ ｆ 论了最优性条件 ． 本研究在序局部凸 Ｈ ｕ ｏｆ ａｓ ｒ 空间中利用广义次似 凸映射下 的择一定 理， ｄｆ 得到 了带集合
ｈ ｈ ｍ ｔ ｅ ｔ ｏｅ ｕ ｄ ｒｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｕ ｃ ｎ ｅ —ｉ ｐ ｎ ｏｄ ｒｄ ｌ ａｌ ｃ ｎ ｅ ｕ ｄ ｒ ｓ ｃ ｓ ｔｅ ａ ｅ ａｉ ｅ ｒ ｍ ｎ ｅ ｅ ｅ ａｉ ｄ ｓ ｂ ｏ ｖ ｘ ｌ ｅ ｍａ ｓｉ ｒ ｅ ｅ ｃ ｌ — ｏ ｖ ｘ Ｈａ ｓ ｏｆ ａ ｅ ． ｖ ｈ ｚ ｋ ｏ ｙ ｐ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｔｅ ｒｍ ； ｖ ｃｏ ｘｒ ｍｕ ｐ ｂｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｅ ｅａ ｉ ｚ ｓ ｂ ｏ ｖ ｘｉ ； ｈ ｒ ａｉ ｏｅ ｄ ｋ ｖ ｈ ｅ ｔｒ ｅ ｔ ｅ ｍ ｒ ｌｍ； Ｆ． ｉ ｅｅ ｔ ． ｏ － ｆ ｒｎ ｉ － ｄ ａ ｂｌ ｙ ｐｉ ｌｔ ｃ ｎ ｉ ｏ ｉ ｔ ；ｏ ｔ ｉ ｏ ｄ ｔ ｎ ｉ ｍａ ｙ ｉ
① ］Ｘ ∈Ｄ， ．． Ｏ ｓ ｔ 一Ｆ（ ０ ∈ｉｔ ） ｎＹ＋
② ］Ｙ ∈ｌ ｔ ）ｓｔ Ｆ ）Ｙ ＞ ， ∈Ｄ ， ：＼ ０ ，． （ （ ， ） ０ Ｖ ． １
引理 ２。 设 厂 — ｌ在线 段 ［ ＯＸ ＋ 的每一点 是 Ｆ一可微 的 ， ［ ］ ： ， Ｘ ，Ｏ 】 则对 ＶＹ ∈ Ｙ ］０＜０＜１使 得 ， ，