【2019最新】高考数学二轮专题复习 专题七 7-1 复数与导数能力训练 新人教A版
2019版高考数学(理科)总复习1.7复数练习.docx
2019 版高考数学（理科）总复习1.7复数命题角度 1 复数的概念、运算与共轭复数高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·1)= ()A. -iB. -iC.-iD.-i答案D解析=- i .2.(2018全国Ⅲ·2)(1+ i)(2-i)= ()A .-3-i B.-3+i C.3-i D.3+ i答案D解析(1+ i)(2 -i)= 2+ i -i 2= 3+ i.3.(2017全国Ⅰ·3)设有下面四个命题p1:若复数 z 满足∈R,则 z∈R;p2:若复数 z 满足 z2∈R,则 z∈R;p3:若复数 z1,z2满足 z1z2∈R,则 z1= ;p4:若复数 z∈R ,则∈R.其中的真命题为 ()A .p1,p3 B.p1 ,p4 C.p2,p3 D.p2,p4答案B解析p1:设 z=a+b i(a,b∈R),则∈R,所以 b= 0,所以 z∈R .故 p1正确 ;p2:因为 i2=- 1∈R ,而 z=i? R ,故 p2不正确 ;p3:若 z1= 1,z2= 2,则 z1z2= 2,满足 z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数 ,故 p3不正确 ;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数 ,故 p4正确 .4.(2017全国Ⅱ·1)= ()A .1+ 2i B.1- 2i C.2+i D.2-i答案D解析= 2-i,故选 D.5.(2017山东·2)已知a∈ R ,i是虚数单位.若z=a+ i,z·= 4,则a= ()A.1 或 -1B. 或-C.-D.答案A解析222由 z=a+ i,得 z·=|z| =a+ 3= 4,所以 a = 1,a= ±1,选 A.6.(2016全国Ⅰ·2)设(1+ i)x= 1+y i,其中x,y是实数,则|x+y i |= ()A.1B.C.D.2答案B解析因为 (1+ i)x= 1+y i,x,y∈R ,所以 x=1,y=x= 1.所以 |x+y i|=| 1+ i|= ,故选 B.7.(2016全国Ⅲ·2)若 z=1+ 2i,则 = ()A.1B. -1C.iD.-i答案C解析由题意知 = 1-2i,则= i,故选 C.8.(2017天津·9)已知 a∈R ,i 为虚数单位 ,若为实数 ,则 a 的值为.答案-2解析∵i 为实数 ,∴-= 0,即 a=- 2.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北武汉4月调研)复数的共轭复数是()A.2 + iB. -2+iC.-2-iD.2 -i答案B解析因为 =- 2-i,所以其共轭复数为 -2+ i.2.(2018广东深圳第二次调研)设i为虚数单位,则复数= ()A. -1+ iB. -2+2iC.1 -iD.2 -2i答案C解析= 1-i.3.(2018山东济南一模)复数(其中i为虚数单位)的虚部为()A. B.i C.- D.-i答案C解析因为 i,∴复数的虚部为 -,故选 C.4.(2018河北石家庄一模)已知i为虚数单位,(1+ i) x=2+y i,其中x,y∈ R ,则|x+y i|= ()A.2B.C.2D.4答案A解析∵(1+ i)x= 2+y i,其中 x,y∈R,x+ ix= 2+y i,解得 x= 2,y= 2,∴|x+y i|= 2,故选 A .5.(2018湖南衡阳二模)已知复数z=的实部与虚部之和为1,则实数 a 的值为 ()A.2B.1C.4D.3答案A解析z=,∵实部与虚部之和为1,∴= 1? a= 2,实数 a 的值为 2,故选 A .6.(2018福建高三质量检查)已知复数z满足z(1+ i)= 2-,则z2=.答案-4解析设 z=a+b i( a,b∈R ),则 =a-b i .∴(a+b i)(1 + i)= 2-(a-bi),∴(a-b)+ (a+b )i= (2-a)+b i,∴∴z=- 2i, z2= 4i2=- 4.命题角度 2 复数的运算与复数的模高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·1)设 z=+ 2i, 则 |z|= ()A .0 B. C.1 D.答案C解析因为 z=+ 2i=+ 2i= i,所以 |z|= 1.2.(2017全国Ⅲ·2)设复数 z 满足 (1+i) z=2i,则 |z|= ()A. B. C. D.2答案C解析由题意 ,得 z== 1+i,故 |z|=.3.(2015全国Ⅰ·1)设复数 z 满足 =i, 则|z|= ()A .1 B. C. D.2答案A解析∵= i,∴ z== i,∴|z|= 1.4.(2017江苏·2)已知复数z=(1+ i)(1 + 2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案解析由已知得 z=(1+ i)(1+ 2i) =- 1+ 3i,故 |z|= ,答案为 .新题演练提能·刷高分1.(2018广东惠州4月模拟)已知复数z=,则|z|= ()A.1B.C.D.答案B解析∵复数 z==- 1+ i,∴|z|= ,故选 B.2.(2018河北衡水模拟)已知i为虚数单位,则= ()A.1B.C.D.答案B解析由题意 ,故选 B .3.(2018江西八所重点中学联考)设复数 z 满足 z=,则 |z|= ()A.3B.C.9D.10答案A解析z== 2-i,|2- i|== 3.故选 A .4.(2018河南豫南九校第一次联考)复数 z=|( -i)i |+ i2 018(i 为虚数单位 ),则 |z|= ()A.2B.C.1D.答案C解析z=|1+ i|+ i2 016+ 2= 2+ i 2= 2-1= 1.5.(2018江西上饶二模)设i为虚数单位,若复数z满足= i,其中为复数z 的共轭复数 ,则 |z|= ()A.1B.C.D.2答案B解析由题得 = i(1 -i)= 1+ i,∴z= 1-i,∴|z|= ,故选 B.命题角度 3 复数的几何意义高考真题体验·对方向1.(2017北京·2)若复数(1-i)(a+ i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是()A.( -∞,1)B.( -∞,- 1)C.(1,+∞)D.( -1,+ ∞)答案B解析设 z= (1-i)( a+ i) = (a+ 1)+ (1-a)i, 因为复数 z 在复平面内对应的点(a+ 1,1-a)在第二象限 ,所以解得 a<- 1.故选 B.2.(2016全国Ⅱ·1)已知z=(m+ 3)+ (m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是 ()A.( -3,1)B.( -1,3)C.(1,+∞)D.( -∞,-3)答案A解析要使复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,应满足解得 -3<m< 1,故选 A .3.(2016北京·9)设 a ∈R , 若复数 (1+ i)( a+ i) 在复平面内对应的点位于实轴上 , 则a=.答案-1解析∵(1+ i)( a+ i) =a- 1+ (a+ 1)i∈R ,∴a+ 1= 0,即 a=- 1.新题演练提能·刷高分1.(2018安徽合肥一模)已知复数z 满足 z·(1-2i) = i(i 是虚数 ),则复数 z 在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析∵z·(1 -2i)= i,∴z==- ,∴复数 z 对应的点为- ,位于第二象限 .选 B.2.(2018山西太原一模)若复数z=在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是()A.( -1,1)B.( -1,0)C.(1,+∞)D.( -∞,-1)答案A解析z=i,所以∴-1<m< 1,故选 A .3.(2018江西南昌一模)欧拉公式e ix= cos x+ isin x(i 为虚数单位 )是由瑞士著名数学家欧拉发现的 ,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系, 它在复变函数论里非常重要 ,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的 ()A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限答案A解析由题意可得 := cos + isin i, 即表示的复数位于复平面中的第一象限.4.(2018山东实验中学一模)在复平面内,复数+z对应的点的坐标为(2,-2),则 z 在复平面内对应的点位于 ()A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析设 z=x+y i(x,y∈R),则 +x+y i= 2-2i,即+x+y i= 2-2i.∴ -+x +y- = 2-2i,∴即 z=i .对应点为,- ,在第四象限 ,故选 D.5.(2018北京丰台一模)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点 A,B 对应的复数分别是z1,z2,则 =.答案-1-2i解析由题意 ,根据复数的表示可知z1= i,z2= 2-i,所以 =- 1-2i .。
高考数学二轮专题复习 专题七 7.1 复数与导数课件 新人教A版
且难度较低,复数部分重点考查了复数相等的概念,导数部分考查了求导运算和函
数的单调区间.因此,在本部分复习时以抓基础为主线,应进行适当的训练,不宜过 深过难.
命题热点
高频考点高频 考点高频考点 高频考点高频 考点高频考点 高频考点
5 -5热点一 热点二 热点三 热点四
复数的概念及其几何意义
例1(2015浙江鄞州模拟,复数与导数模块第(1)题)已知复数z1的实部为3,复数z2
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)若u=,求证:u为纯虚数.
(1)解:∵z=a+bi,a,b∈R,b≠0,
∴ω=a+bi+i.
∵ω是实数,b≠0, ∴a2+b2=1,即|z|=1. ∵ω=2a,-1<ω<2, ∴z的实部的取值范围是.
高频考点高频 考点高频考点 高频考点 命题热点
12 -12热点一 热点二 热点三 热点四
解:(1)由题意得(2-a2)+3ai=1+bi, 解得a2=1,b=3a,故a2+b2=10.
(2)对f(x)求导,得f'(x)=(x2+4x)ex,
由f'(x)<0,解得-4<x<0, 所以f(x)的单调递减区间为(-4,0).
聚焦考题 热点考题诠释 能力目标解读
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通过2015年浙江卷可以看出,对复数与导数模块的考查是以解答题形式给出,并
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专题七
自选模块
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第 1 讲
复数与导数
聚焦考题 热点考题诠释 能力目标解读
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(2015浙江,自选模块“复数与导数”)(1)已知i是虚数单位,a,b∈R,复数z=1+ai满足 z2+z=1+bi,求a2+b2的值. (2)设函数f(x)=(x2+2x-2)ex(x∈R),求f(x)的单调递减区间.
高考数学复数专题复习(专题训练) 百度文库
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 3．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．212ii+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i5．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限6．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+8．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1-B ．0C ．1D9．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④C ．②③D ．①③10．若复数2i1ia -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） ABC ．3D ．511．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z的实部为，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．412．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x=-上13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -14．已知i 为虚数单位，则43ii =-（ ） A ．2655i + B ．2655i - C ．2655i -+ D ．2655i -- 15．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi -的模等于（ ）A BC D二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-19．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+ B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -20．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =21．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =22．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件23．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>24．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限25．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --26．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -27．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=28．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限29．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模30．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-.故选：C2．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为，所以其共轭复数为. 故选：D.解析：D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.3．B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B4．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-， 故选：D5．C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】 ， ，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误； ，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.6．B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】 设，， 则，是实数，，则， ，则，解得， 故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.7．A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为， 所以，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A8．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.9．D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】 设，则， 故，， ，. 故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.10．B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】 由复数（）为纯虚数，则 ，则 所以解析：B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由()()()()()()21i 2221112a i a a ia i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B11．B 【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为的实部为，所以可设复数， 则其共轭复数为，又， 所以由，可得，即，因此. 故选：B.解析：B 【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为z，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B.12．A 【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果． 【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，， 根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上， 故解析：A 【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果． 【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+，根据22z z =得222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R .所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上， 故选：A ．13．D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数. 【详解】 ∴， 故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-， 故选：D14．C 【分析】对的分子分母同乘以，再化简整理即可求解. 【详解】 ， 故选：C解析：C【分析】 对43i i-的分子分母同乘以3i +，再化简整理即可求解. 【详解】 ()()()434412263331055i i i i i i i i +-+===-+--+， 故选：C15．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 18．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.19．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．24．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 25．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.26．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．27．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 28．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
数学人教A版(2019)必修第二册第七章复数单元复习(共23张ppt)
点的横坐标是，纵坐标是，复数 = + i可用点(, )表
示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
轴叫做实轴, 轴叫做虚轴．
7.复数的模：
向量的模叫做复数 = + i的模或绝对值，
记作||或| + i|．即|| = | + i| = 2 + 2 ，
复数除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
1 cos 1 + isin1
1
=
cos 1 − 2 + isin 1 − 2 .
2 cos 2 + isin2
2
１．选择题
(１)复数 + i与 + i的积是实数的充要条件是(
16.辨析：
1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍．
例如，复数i的辐角是
2
+ 2，其中可以取任何整数．
2)对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角
也是任意的．
3)在0 ⩽ < 2范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作arg ，
当 ≠ 0时，它叫做虚数；
当 = 0且 ≠ 0时，它叫做纯虚数.
5.共轭复数：
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做
互为共轭复数．
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
复数的共轭复数用表示，
ҧ
即如果 = + i，那么ҧ = − i．
6.复平面
复数的除法法则
+ −
( + i) ÷ ( + i) = 2
高中数学第七章复数7.1.2复数的几何意义应用案巩固提升新人教A版必修第二册
7.1.2复数的几何意义翊醞"固逊强化-培f 尤•通关[A 基础达标]1 .已知复数z = a + a i （ a <0），则复数z 在复平面内对应的点在（A .第一象限 B .第二象限 C.第三象限D.第四象限解析：选 B.因为a <0,所以复数z = a + a 2i 对应的点（a , a 2）位于第二象限. 2 .已知i 是虚数单位，在复平面内，复数— 2 + i 和1 — 3i 对应的点之间的距离是（ ）A. 5B. 10C. 5D. 25解析：选 C.由于复数一2+ i 和1-3i 对应的点分别为（一2, 1） , （1 , - 3），因此由两点 间的距离公式, 得这两点间的距离为'迪（—2— 1） + [1 — （— 3） ] = 5,故选C.3.在复平面内，复数z 对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为.5,则复A . 3 — \. 5C. 2— 5B. 5 — 3i D. 5 — 2i解析：选D.由题意可设复数 z =』5 + y i( y € R, y <0)，则.(二5) 2 + y 2= 3,所以y = — 2, 复数z =5 — 2i.故选D.4. (2019 位），其中x , •黑龙江齐齐哈尔模拟 )若|4 + 2 5i| + x + (3 — 2x )i = 3 + (y + 5)i(i为虚数单y 是实数，则|x + y i| =()A . 5 B. , 13 C. 2 2解析：选 A.由已知, D. 2得 6+ x + (3 — 2x )i = 3 + (y + 5)i , 所以’x + 6= 3, 3— 2x = y + 5,x =— 3,解得 f所以 |x + y i| = | — 3+ 4i| = 5，故选 A.y =4,5. （2019 •昆明检测1 \l~3）在复平面内，复数 z =对应的点为 乙将点Z 绕原点逆时针旋转90°后得到点Z',则Z'对应的复数是（）13. 2+ 2 i 1 3B.2-歹 3 1 + 二 i3 1 D. — i解析：选C.| O2Z = | z | = 1，故Z 点坐标为（cos 60 ° , sin 60 ° ），逆时针旋转90°后得C.OA .6 .已知复数z = 1 — 2m ( m€ R)，且| z | < 2,则实数 m 的取值范围是 ________________ 解析：| z | = 1 + 4m < 2,解得一w m ^ ~2~答案：韦冷7.若复数z 对应的点在直线 y = 2x 上，且| z | =(5，则复数z = _____________________ . 解析：依题意可设复数 z = a + 2a i( a € R)，由| z | =•-』5,得a 2+ 4a 2=・5,解得a =± 1, 故 z = 1+ 2i 或 z =— 1 — 2i.答案：1 + 2i 或—1 — 2i8•若复数 乙=3— 5i , Z 2= 1 — i , Z 3=— 2 + a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上， 则实数a= ____________ .a +1=—2 — 1，从而可得 a = 5.答案：529 .实数m 取什么值时，复平面内表示复数 z = ( m- 3) + (m — 5m- 14)i 的点：(1) 位于第四象限； (2) 位于第一、三象限； (3) 位于直线y = x 上.]m - 3>0,解：(1)由题意得2解得3<n <7,此时复数z 对应的点位于第四象限.m — 5 m- 14<0,m- 3>0, m- 3<0,(2) 由题意得* 2 或t 2m — 5m- 14>0 |m — 5 m- 14<0. 所以 m >7 或—2<m <3,此时复数z 对应的点位于第一、三象限.(3) 要使复数z 对应的点在直线 y = x 上，只需 m — 5m- 14 = m- 3, 所以 m — 6m- 11 = 0, 所以 m= 3±2 5,此时复数z 对应的点位于直线 y = x 上.10.在复平面内，0是原点，向量OA 寸应的复数为2+ i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为点B,求向量0B 寸应的复数；⑵ 如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C,求点C 对应的复数.到点 Z ',所以 Z ( cos 150 ° , sin 150则Z '对应的复数是一T+2i .解析：设复数Z 1, Z 2, Z 3分别对应点 R(3 , — 5), P«1 , — 1) , P 3( — 2 , a ),由已知可得—5+ 1 3—1解：⑴ 设向量OB 寸应的复数为Z i = X i + y i i( x i , y i € R)，则点B 的坐标为(X i , y i )，由题 意可知，点 A 的坐标为(2 , i).根据对称性可知，X i = 2, y i = — i ,故 z i = 2 — i.(2)设点C 对应的复数为Z 2= X 2+ y 2i( X 2, R), (X 2, y 2)，由对称性可知，X 2 = — 2, y 2 =— i ,故 Z 2=— 2— i.应的点在( )A .第一象限 C.第三象限点位于第二象限，故选 B.12.已知复数Z 满足|Z | = 2，则|Z+ 3 — 4i|的最小值是()A . 5B . 2 C. 7D. 3解析：选D.| z | = 2表示复数z 在以原点为圆心，以 2为半径的圆上，而| z + 3 — 4i|表示 圆上的点到(一3, 4)这一点的距离，故|z + 3— 4i|的最小值为.(一3) 2+ 42— 2 = 5— 2= 3.13. i 为虚数单位，设复数 z i , Z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z i = 2 — 3i ，则Z 2= ________ .解析：因为Z i = 2— 3i 在复平面内对应的点的坐标为 (2 , — 3)，且复数Z i , Z 2在复平面内对应的点关于原点对称，所以 Z 2在复平面内对应的点的坐标为(一2, 3)，对应的复数为 Z 2 =—2 + 3i.答案：—2+ 3i 14.已知复数 乙=cos 0 + isin 2 0 , Z 2= 3sin 0 + icos 0，求当0满足什么条件 时，(1) Z 1 , Z 2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2) | Z 2|< ,2.则点C 的坐标为 [B能力提升］11.若 0 € 4 n5,4 n ,则复数(cos 0+ sin 0 ) + (sin 0 — cos 0 )i 在复平面内所对B .第二象限 D.第四象限解析：选B.由复数的几何意义知 (cos 0 + sin 0) + (sin 0 — cos 0 )i 在复平面内对应点的坐标为 (cos 0 + sin 0 , sin0 — cos 0 ).因为 0 €3 54冗，4 n ,所以 cos 0 + sin0 = 2sinn I0 + 〒 <0, sin 0 — cos40 = 2sin( 0 —n 4)>°，所以原复数在复平面内对应的解：(1)在复平面内，Z 1与Z 2对应的点关于实轴对称，则』Qin 2 0- n0 = k n + 6，7 n11 n 卜 n 0 = 2k n + —或 2k n +或 k n +：-, I66 27 n(k € Z)，所以 0 = 2k n+-^(k € Z). (2)由 Z|<2,得,(3sin 0) 2+ cos F <2,22即 3sin 0 + cos 0 <2, 21所以 sin 0 <2,nn所以 k n — 丁< 0 <k n + — ( k € Z).44[C 拓展探究]15.设z € C,则满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？(1) 1 z | = .2; (2) | z | < 3.解：设 z = x + y i( x , y € R), (1) | z | = 2,所以 x 2 + y 2 = 2, 所以点Z 的集合是以原点为圆心，以 ,2为半径的圆.(2) | z | <3,所以 x 2+ y 2w 9.所以点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部. 3sin 0 , =—cos 0 ,。
人教版高中数学必修第二册7.1 复数的概念 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册7.1复数的概念同步精练【考点梳理】考点一复数的有关概念1.复数(1)定义：我们把形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.考点二复数的分类1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)实数(b＝0)，虚数(b≠0)纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系考点三复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.考点四复数的几何意义1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.考点五复数的模1.定义：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或|a＋b i|.3.公式：|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.考点六共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z的共轭复数用z表示，即若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i.【题型归纳】题型一：复数的概念1．（2021·全国·高一课时练习）设全集U C=，实数集为R，纯虚数集为M，那么（）A ．M R U ⋃=B ．U UM R ⋃=ðC ．{}0M R ⋂=D ．U R M R ⋂=ð2．（2021·山西柳林·高一期中）关于复数的下列说法错误的是（）A ．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系B ．在复平面中，实轴上的点都表示实数C ．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数D ．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系3．（2021·浙江·高一单元测试）下列命题：①若z ＝a ＋bi ，则仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；②若2120z z +=，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3题型二：复数实部和虚部4．（2022·全国·高一）复数z 满足()2i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足()12i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．2-B ．-2iC ．1D ．i6．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知i 为虚数单位，且复数|34i |12i z+=-，则复数z 的虚部是（）A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．2题型三：根据相等条件求参数7．（2021·全国·高一课时练习）复数i z x y =+（x ，y R ∈，i 为虚数单位），若()1i 23i x y +=--，则z =（）A ．2B ．5C ．3D ．108．（2020·天津红桥·高一期中）已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则 a b -等于（）A ．1B ．1C ．3D ．49．（2021·上海·高一期末）已知12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A ．若12||||z z =，则12z z =B ．若11z z =，则1z 为实数C ．若220z >，则2z 为纯虚数D ．若()()2212110z z -+-=，则121z z ==题型四：复数的分类问题10．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中，真命题是（）．A ．虚数所对应的点在虚轴上B ．“0a =”是“复数()i ,z a b a b =+∈R 是纯虚数”的充分非必要条件C ．若()0z a a =>，则z a=±D ．“12=z z ”是“12z z =”的必要非充分条件11．（2021·全国·高一课时练习）设m R ∈，则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2021·安徽·东至县第二中学高一期末）有以下四个命题：①若复数34i z =+，则25z =；②若复数()2i z m m =+∈R ，且2z z +=，则1m =；③若复数1i z =--，则z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--；④若复数2z ∈R ，则z 的实部与虚部至少有一个为0．其中所有真命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型五：复数的几何意义问题13．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足1-i-2z =1+i,则在复平面内,复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．（2021·全国·高一课时练习）已知()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（）A ．)22,4⎡⎣B ．[]2,4C ．()22,4D ．()2,415．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i 为虚数单位，复数z 满足2020(2i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的模为15B ．复数z 的共轭复数为21i55--C ．复数z 的虚部为1i5D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限题型六：复数的模的问题（最值）16．（2022·全国·高一）设复数1z ，2z 满足122z z ==，122z z =，则12z z +的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．4217．（2021·全国·高一课时练习）若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（）A ．2B ．52C ．222+D ．324+18．（2021·广东·深圳市富源学校高一期中）若i 为虚数单位，复数z 满足1z ≤，则2i z -的最大值为（）A ．2B ．3C ．23D ．33【双基达标】一、单选题19．（2021·全国·高一课时练习）设集合{}A =虚数，{}B =纯虚数，{}C =复数，则A ，B ，C 间的关系为（）A ．A BC苘B ．B AC苘C ．B CA种D ．A CB苘20．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）若复数12z i =-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（）A ．1B ．-2C ．iD ．2i-21．（2022·全国·高一）已知复数z 满足3i z =+，且z 的共轭复数为z ，则z =（）A ．3B ．2C ．4D ．322．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（）A ．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B ．如果a +b i=c +d i ，那么a =c ，b =dC ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应23．（2021·全国·高一课时练习）已知复数i(,R)z a b a b =+∈，有下列四个命题：甲：||1z =乙：z 的虚部为12丙：复数z 对应的点位于第二象限丁：1z z +=，如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁24．（2021·重庆市育才中学高一期中）已知复数()()cos sin 1i k k k z R θθθ=++∈对应复平面内的动点为()1,2k Z k =，模为1的纯虚数3z 对应复平面内的点为3Z ，若313212Z Z Z Z =，则12z z -=（）A ．1B ．62C ．3D ．325．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）当x []12∈-，时，求复数()2i z x x =+-的模长的最小值是（）A ．2B ．2C ．10D ．10【高分突破】一、单选题26．（2021·福建尤溪·高一期中）已知,a b ∈R ，且1i 32i a a b -+=+，则b =（）A ．1B ．52C ．2D ．427．（2021·山西柳林·高一期中）设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，则21z z -的值为（）A ．1B ．2C ．2D ．无法确定28．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离.在复平面内，复数02i1ia z +=+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，其对应的点为0Z ，满足条件1z =的点Z 与0Z 之间的最大距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．429．（2021·安徽池州·高一期中）已知复数()()2342i =+-++z m m m 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()4,2--C ．()1,4-D ．()1,1-30．（2021·安徽宣城·高一期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式i cos i sin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，3i 4e π表示的复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、多选题31．（2021·山东邹城·高一期中）下列关于复数的命题中正确的是（）A ．若z 是虚数，则z 不是实数B ．若a ，b R ∈且a b >，则2i ia b +>+C ．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D ．复数()()()23122i z t t t t =-+++∈R 对应的点在实轴上方32．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）实数x ，y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+y i ，则下列说法正确的是（）A ．z 在复平面内对应的点在第一象限B ．|z|=2C ．z 的虚部是iD ．z 的实部是133．（2021·山东莱西·高一期末）设复数()()3i 2i z m =+-+，i 为虚数单位，m ∈R ，则下列结论正确的为（）A ．当213m <<时，则复数z 在复平面上对应的点位于第四象限B ．若复数z 在复平面上对应的点位于直线210x y -+=上，则1m =C ．若复数z 是纯虚数，则23m =D ．在复平面上，复数1z -对应的点为Z '，O 为原点，若10OZ '=，则2m =34．（2021·广东白云·高一期末）已知复数()cos sin i 3z αα=+()α∈R （i 为虚数单位），下列说法正确的有（）A ．当π3α=-时，复平面内表示复数z 的点位于第二象限B ．当π2α=时，z 为纯虚数C ．z 最大值为3D ．z 的共轭复数为()cos sin i 3z αα=-+()α∈R 35．（2021·浙江·效实中学高一期中）已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈B ．若复数z 满足z R ∈，则z R∈C ．若复数2i1iz =+，则z 的值为2D ．若复数z 满足i 3i z z +=-，则||z 的最小值为136．（2021·浙江宁波·高一期末）已知复数122i z =-（i 为虚数单位），复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（）．A ．1z 在复平面内所对的点在第四象限B ．21z z -在复平面内对应的点在第一象限C ．12z z -的最大值为131+D ．12z z +的最小值为131-三、填空题37．（2021·湖北·高一期末）已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．38．（2021·全国·高一课时练习）若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．39．（2021·全国·高一课时练习）设复数z=(a 2-1)+(a 2-3a+2)i ，若z 2<0，则实数a 的值为____.40．（2021·上海中学高一期末）已知sin i 2cos ((0,2))2sin i cos z αααπαα+=∈+，则z 的取值范围是__________．四、解答题41．（2021·上海·高一单元测试）实数m 分别为何值时，复数z 2233m m m +-=++（m 2﹣3m ﹣18）i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．42．（2021·全国·高一单元测试）已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．43．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()()2690x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数满足20z a bi z ---=，求z 的最小值．44．（2021·全国·高一单元测试）如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，BC 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.【答案详解】1．D 【详解】由题意，全集U C =，实数集为R ，纯虚数集为M ，可得{}{|,,,0}0U M z z a bi a b R a ==+∈≠⋃ð，所以U R M R ⋂=ð.故选：D.2．C 【详解】复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系,故A 正确；在复平面中，实轴上的点都表示实数，但是虚轴上的点是除了坐标原点外，都表示纯虚数，故B 正确，C 错误；复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系，故D 正确..故选：C.3．A利用特列法可判断①②③都不正确.【详解】在①中0,a b i ==时，z 不为纯虚数，故①错误；在②中12,1z i z ==时，2120z z +=，但120z z ≠≠，故②错误；在③中，0a =时，00i ⨯=不是纯虚数，故③也是错误的.故选：A.4．A 【详解】因为()()()52i 52i 2i 2i 2i z -+===-+-----+，因此，复数z 的虚部为1.故选：A.5．A 【解析】【详解】解：因为()12i 34i z +=-，()2234i 345-=+-=，所以()12i 5z +=，所以()()()()()22512i 512i 512i 12i 12i 12i 12i z --====-++--所以复数z 的虚部为2-；故选：A 6．D 【解析】【分析】首先化简求得z ，由此求得z 的虚部.【详解】|34i |512i 12i z z +=-⇒=-，()()()512i 12i 12i 12i z +==+-+，所以z 的虚部是2.故选：D 7．D 【解析】【分析】根据复数相等求出,x y ，即可得出所求.【详解】()1i 23i x y +=--，123y x =-⎧∴⎨=-⎩，解得31x y =-⎧⎨=⎩，3i z ∴=-+，()23110z ∴=-+=.故选：D.8．A 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-，1,2,1a b a b ∴==∴-=-.故选：A .9．B 【详解】A ：121,z z i ==时，12||||z z =，显然12z z ≠，错误；B ：11z z =则虚部为0，即1z 为实数，正确；C ：2z 为非零实数时，220z >也成立，错误；D ：1z i =，2z i =-时，()()221211220z z i i -+-=-+=，错误.10．D【详解】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A 错；i(,R)z a b a b =+∈表示纯虚数的条件是0a =且0b ≠，因此B 错；i z a =时，也有z a =，C 错；12z z =时有12=z z ，但12z z =-时也有12=z z ，D 正确．故选：D ．11．C【详解】()()()2i 1i =22i z m m m =++-++，复数()()2i 1i z m =++为纯虚数，则20m -=，解得：2m =，所以则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的充要条件故选：C12．C【详解】因为22345z =+=，所以①是假命题；因为2i z m =+，所以2i z m =-，所以由2z z +=可得1m =，故②为真命题；易知命题③为真命题；设i z a b =+，则由2222i z a b ab =-+∈R ，可得0ab =，所以z 的实部与虚部至少有一个为0，故④为真命题．综上，真命题的个数为3，故选：C ．13．D【解析】【分析】利用复数的除法运算，可得z=2-i ，则z 的对应点为(2,-1)，即得解【详解】∵1-i -2z =1+i,∴z-2=21-i (1-i)1i (1i)(1-i)=++=-i,∴z=2-i,∴z 的对应点为(2,-1)14．A【解析】【分析】根据()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，求出m 的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：因为()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，所以3010m m +>⎧⎨-<⎩，解得31m -<<，()()()2222312410218z m m m m m =++-=++=++，因为31m -<<，所以()[)210,2m +∈，则())221822,4m ⎡++∈⎣，所以复数z 的模的取值范围是)22,4⎡⎣.故选：A.15．D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z ，再逐项判断.【详解】因为()50520204(2i)i i 1z -===，所以()()()212i 2i 2i 1i 55i 2z +--=++==， A.复数z 的模为22215555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；B.复数z 的共轭复数为21i 55z =-，故错误；C.复数z 的虚部为15，故错误；D.复数z 在复平面内对应的点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以在第一象限，故正确；故选：D16．B【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得||2a ≤，从而可得选项.【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，所以222a b +=①，222c d +=②.又122z z =，所以(i)(i)()i 2a b c d ac bd ad bc ++=-++=，所以2ac bd -=③，0ad bc +=④.由①+②-③×2，得22()()0a c b d -++=，所以a c =，0b d +=.所以2i z a b =-，由①知||2a ≤，故122||22z z a +=≤.故选：B.17．D【解析】【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案.【详解】设z ＝x +y i(x ，y ∈R )，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，而|CO |＝22，|CA |＝2，易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时，且最大值为|PA |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝324+，故选：D ．18．B【解析】【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据条件可得221x y +≤，2i z -表示点(),x y 与点()0,2间的距离，转化为求圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值，由圆的性质可得答案.【详解】设()i ,z x y x y R =+∈，则由1z ≤，可得221x y +≤所以点(),x y 在圆221x y +=上及其内部.()()222i 2i 2z x y x y -=+-=+-表示点(),x y 与点()0,2间的距离.即求圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值.圆心与点()0,2间的距离为2所以圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值为213+=故选：B19．B【解析】【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．因此只有B 正确．故选：B ．20．B【解析】【分析】结合复数概念直接判断即可.【详解】12z i =-的虚部是2-.故选：B 21．B【解析】【分析】根据共轭复数的概念可求出z ，从而根据复数模的公式可求出答案.【详解】因为3i z =+，所以3i z =-，所以()()22312z =+-=．故选：B.22．D【解析】【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答.【详解】A ：()()i i 2i a b a b b +--=，当0b =时,2i b 不是纯虚数，故A 错误；B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误；C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误；D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确.故选：D.23．D【解析】【分析】先等价转化各个命题，再逐一验证哪一个命题为假命题.【详解】1z =等价于：221a b +=，i z a b =+的虚部为12等价于：12b =，复数z 对应的点位于第二象限等价于：00a b <⎧⎨>⎩，1z z +=等价于：12a =，显然命题丙与丁矛盾，两者一定有一个假命题；若丙为假命题，则12a b ==，但不符合221a b +=（舍）；若丁为假命题，则由221012a b a b ⎧⎪+=⎪<⎨⎪⎪=⎩，得：32a =-（符合题意）；终上所述，丁为假命题.故选：D.24．B【解析】【分析】根据已知条件结合复数的几何意义确定12,z z 所对应点的轨迹方程，然后确定3z ，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.【详解】设cos sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩（R θ∈），则()2211x y +-=，即12,z z 所对应点在以()0,1为圆心，1为半径的圆上，设该圆与y 轴交点()0,2A ，因为模为1的纯虚数3z 对应复平面内的点为3Z ，即3i z =±，若313212Z Z Z Z =，则1Z 为23,Z Z 的中点，故3i z =对应的点()0,1不合题意，舍去，因此3i z =-，由圆的切割线定理可得132333Z Z Z O A Z Z Z ⋅=⋅，设3312,2Z m Z Z Z m ==，则132m m ⨯=⋅，则62=m ，则1262z z -=.故选：B.25．B【解析】【分析】根据复数的几何意义求出复数z 的模，结合二次函数的性质即可求出模的最小值.【详解】由题意得，(2)iz x x =+-所以222(2)2(1)2z x x x =+-=-+，令22(1)2y x =-+，1[]2x ∈-，，当1x =时，函数y 有最小值，且min 2y =，所以min 2z =.故选：B26．C【解析】【分析】利用复数相等列方程组，由此求得b .【详解】由于1i 32i a a b -+=+，所以13422a a a b b -==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩.故选：C27．A【解析】利用复数和模的定义，即可求解【详解】设1z n mi =+，且0m ≠，22222221()n mi n m z n mi n mi n m i n mi n m n m m n -=++=++=++-++++，2z 为实数，则22221(1)0m m m m n m n -=-=++，得221+=m n 则2222122222()n m n m n m i n mi i z n m m n m z n m n ++----==+++-+，则21z z -的值为()22222221n m n m n m +=+=+故选：A28．C【解析】【分析】由复数的运算化简0z ，由0z 为纯虚数可求得a 的值，从而可求得0z ，0Z ，设(),Z x y 且221x y +=，11y -≤≤，由两点间的距离公式即可求解点Z 与0Z 之间的最大距离.【详解】由()()()()()02i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2a a a a z +-++-+===++-，因为复数02i 1ia z +=+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，所以20a +=，解得2a =-，所以02i z =，则()00,2Z ，由于1z =，故设(),Z x y 且221x y +=，11y -≤≤，所以()2222024454543ZZ x y x y y y =+-=++-=-≤+=，故点Z 与0Z 之间的最大距离为3.故选：C.29．B【解析】【分析】结合复数在平面内所对应的点的特征，得到不等式组234020m m m ⎧+-<⎨+<⎩，解之即可求出结果.因为()()2342i =+-++z m m m 在复平面内对应的点在第三象限，所以24134042220m m m m m m ⎧-<<+-<⎧⇒⇒-<<-⎨⎨<-+<⎩⎩，则实数m 的取值范围是()4,2--，故选：B.30．B【解析】【分析】根据欧拉公式代入求解即可.【详解】解：根据欧拉公式i e cos isin x x x =+，得3πi 43π3π22e cos isin i 4422=+=-+，即它在复平面内对应的点为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故位于第二象限.故选：B.31．AD【解析】【分析】由虚数的概念可判断ABC ，由复数的几何意义可判断D.【详解】对于A ，根据虚数的定义，A 正确；对于B ，虚数不能比较大小，B 错误；对于C ，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C 错误；对于D ，对应点的坐标为()231,22t t t -++，因为()2222110t t t ++=++>，所以点在x 轴上方，D 正确．故选：AD ．32．ABD【解析】【分析】根据题意先求出z ，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.【详解】实数x ，y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y )i =0，∴200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，，解得x=y=1，∴z=x+y i =1+i.对于A ，z 在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A 正确.对于B ，|z|=112+=，故B 正确.对于C ，z 的虚部是1，故C 错误.对于D ，z 的实部是1，故D 正确.故选：ABD.33．AC【解析】【分析】由()()3i 2i z m =+-+，得(32)(1)i z m m =-+-，然后逐个分析判断即可【详解】由()()3i 2i z m =+-+，得(32)(1)i z m m =-+-，对于A ，当213m <<时，0321m <-<，1103m -<-<，所以复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，所以A 正确，对于B ，若复数z 在复平面上对应的点位于直线210x y -+=上，则322(1)10m m ---+=，解得1m =-，所以B 错误，对于C ，若复数z 是纯虚数，则320m -=且10m -≠，解得23m =，所以C 正确，对于D ，由(32)(1)i z m m =-+-，得1(33)(1)i z m m -=-+-，则(33,1)Z m m '--，由10OZ '=，得22(33)(1)10m m -+-=，2(1)1m -=，得2m =或0m =，所以D 错误，故选：AC34．BC【解析】【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A ，当π3α=-时，ππ33313cos sin i i 22z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⎣⎦-⎭=+，复平面内表示复数z 的点位于第四象限，故A 错误；对于B ，当π2α=时，ππcos sin i 3i 223z ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+=，为纯虚数，故B 正确；对于C ，222cos 3sin 12sin z ααα=+=+，最大值为3，故C 正确；对于D ，z 的共轭复数为()cos sin i 3z αα=-，故D 错误.故选：BC.35．BD【解析】【分析】A 举反例判断；B 根据复数代数形式证明判断；C 计算复数模判断；D 根据Z 点轨迹方程判断．【详解】解：对于A ，当i z =时，21z R =-∈，但i z =∉R ，所以A 错；对于B ，设i z a b =+，(,)a R b R ∈∈，因为z R ∈，所以0b =，于是i z a b a =-=∈R ，所以B 对；对于C ，因为2i 1iz =+，所以|2i |2||22|1i |2z ===≠+，所以C 错；对于D ，设i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，由|i ||3i |z z +=-，所以()()222213x y x y ++=+-，整理得1y =，即|i ||3i |z z +=-的轨迹是直线1y =，所以||z 的最小值为点(0,0)到直线1y =的距离，即min ||1z =，所以D 对．故选：BD ．36．AC【解析】【分析】复数122z =-i 在复平面内对应的点为(2,2)P -，故选项A 正确；复数2z 在复平面内对应的点Q 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆，故21z z -在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B 错误；12||z z -的最大值为||1131PC +=+，故选项C 正确；12||z z +的最小值为||151P C '-=-，故选项D 错误．【详解】复数122z =-i 在复平面内对应的点为P ，则(2,2)P -，所以点P 在第四象限，故选项A 正确；复数2z 满足2|z -i|=1，则2z 在复平面内对应的点Q 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆，故21z z -在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B 错误；12||z z -表示点P ，Q 之间的距离，所以12||z z -的最大值为||1131PC +=+，故选项C 正确；12||z z +表示点Q 与点(2,2)P '-之间的距离，所以12||z z +的最小值为||151P C '-=-，故选项故选：AC37．1-或6【解析】【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =．故答案为：1-或6.38．2【解析】【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】()22cos 1sin 22cos z θθθ=++=+，当cos 1θ=时，max 2z =，故答案为：239．1-【解析】【分析】由20z <知z 一定为纯虚数,可得2210,320a a a ⎧-=⎨-+≠⎩，即可得到答案；【详解】由20z <知z 一定为纯虚数,所以得2210,320a a a ⎧-=⎨-+≠⎩解得 1.a =-故答案为：1-40．2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．由题意2222222sin i 2cos sin i 2cos sin 2cos 2sin 311sin 1sin 2sin i cos 2sin icos 2sin cos z ααααααααααααααα+++-=====-+++++，20sin 1α≤≤，233321sin α≤≤+，所以222z ≤≤．故答案为：2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．41．（1）m ＝6；（2）m ≠﹣3且m ≠6；（3）m ＝1或m 32=-．【解析】【分析】（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．【详解】解：（1）若复数是实数，则2318030m m m ⎧--=⎨+≠⎩，即363m m m =-=⎧⎨≠-⎩或，得m ＝6；（2）如复数是虚数，则2318030m m m ⎧--≠⎨+≠⎩，即363m m m ≠-≠⎧⎨≠-⎩且，则m ≠﹣3且m ≠6；（3）如复数是纯虚数，则22230303180m m m m m ⎧+-=⎪+≠⎨⎪--≠⎩，则312336m m m m m ⎧==-⎪⎪≠-⎨⎪≠-≠⎪⎩或且，即m ＝1或m 32=-．42．（1）1262z =；（2）13a >【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解.【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴1262z =；（2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-，又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >．【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．43．（1）3a b ==；（2）2．【解析】（1）复数方程有实根，方程化简为0(a bi a +=、)b R ∈，利用复数相等，即00a b =⎧⎨=⎩解方程组即可．（2）先把a 、b 代入方程，同时设复数z x yi =+，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z ，得到||z ．【详解】解：（1）b 是方程2(6)90()x i x ai a R -+++=∈的实根，2(69)()0b b a b i ∴-++-=，∴2690b b a b ⎧-+=⎨=⎩解得3a b ==．（2）设(,)z x yi x y R =+∈，由|33|2||z i z --=，得2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=，z ∴点的轨迹是以1(1,1)O -为圆心，22为半径的圆，如图所示，当z 点在1OO 的连线上时，||z 有最大值或最小值，1||2OO =，半径22r =，∴当1z i =-时．||z 有最小值且||2min z =．【点睛】本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．44．（1）3﹣4i ；（2）16.解：（1）依题点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，得A (-1，0)，AB =(2，2)，可得B (1，2).又BC 对应的复数为4-4i ，得BC =(4,-4)，可得C (5,-2).设D 点对应的复数为x +yi ，x ，y ∈R .得CD =(x -5，y +2)，BA =(-2，-2).∵ABCD 为平行四边形，∴BA =CD ，解得x =3，y =-4，故D 点对应的复数为3-4i .（2）AB =(2，2)，BC =(4,-4)，可得：0AB BC ⋅=，∴AB BC ⊥22AB =，42BC =故平行四边形ABCD 的面积为224216⋅=。
高三数学第二轮重点复习内容
高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
高考数学复数专题复习(专题训练) 百度文库
一、复数选择题1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1- 2．212i i+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i 3．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 4．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1B C D ．5 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i -7．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．48．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i -12．3（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -13．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BCD ．3 14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 15．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 18．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 19．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为220．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 21．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 23．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s n n n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =28．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z30．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D ．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-． 故选：D ．2．D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D解析：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D3．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ． 4．A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A5．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.6．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.7．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 8．C【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．9．B【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩3z i =-+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.10．B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B11．B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B12．B【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i =-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】133i i i +====. 故选：B 13．C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--， 所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.14．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.19．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 20．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 26．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m=时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z=，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】 利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z=224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A: 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B: 1z =-选项C: 1z =-的共轭复数为1z =--选项D: 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
高中数学(人教A版)必修第二册《第7章 复数》单选题专项练习(含答案解析)
高中数学（人教A版）必修第二册《第7章复数》单选题专项练习（含答案解析）一、单选题1．已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（）A．3，0B．2，1C．1，2D．1，-1【答案】A【分析】根据复数相等的定义即可求解.【详解】解：因为（x-1）+（y+1）i=2+i，所以1211xy-=⎧⎨+=⎩，解得3,0x y==，故选：A.2．复数i(2i)-的虚部为（）A．-2B．2C．-2i D．2i 【答案】B【分析】由复数的运算得出虚部.【详解】i(2i)12i-=+，即该复数的虚部为2.故选：B3．已知复数1iz=+，那么||z等于（）A．1B．2CD【答案】C【分析】根据给定条件利用复数模的定义直接计算作答.【详解】因复数1iz=+，则||z=所以||z.故选：C试卷第1页，共39页4．设复数z 12i =-，则复数z 的模为（ ）A ．1B ．10C ．3D 【答案】D 【分析】根据复数模的定义求解即可. 【详解】z 12i =-,z ∴故选：B5．已知复数1z =+（i 为虚数单位），设z 是z 的共轭复数，则z 的虚部是（ ）AB ．CD ．【答案】B 【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部 【详解】由1z =，得1z =，所以z 的虚部是 故选：B6．复数()()1i 2i 3i --++等于（ ） A ．1i -+ B ．1i - C ．i D ．i -【答案】A 【分析】按照复数的加法和减法法则进行求解. 【详解】(1i)(2i)3i (12)(i i 3i)1i --++=-+--+=-+故选：A.7．已知复数23i z =-，若()i z a ⋅+是纯虚数，则实数=a （ ） A ．23-B ．23 C ．32-D ．32【答案】D 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.试卷第3页，共39页【详解】解：()()()()i 23i i 2332i z a a a a ⋅+=++=-++是纯虚数，则230320a a -=⎧⎨+≠⎩，解得32a =.故选：D.8．设复数z 满足(1i)2i z =＋，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -【答案】D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(1i)2i z =＋，得2i 2i(1i)2i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====+++-，1i z ∴=-． 故选：D ．9．已知i 为虚数单位，则复数12i2i 1iz -=++可化简为（ ） A ．1i2-+ B ．1i2-- C ．1i3+ D ．1i2- 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 ()()12i 1i 12i 13i 1i 2i 2i 2i 1i 222z ------+=+=+=+=+.故选：A10．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数31i i i++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【详解】先化简复数得到复数为12i -，即得解. 【点睛】 解：32i 1i=1i i=12i 1ii i i -=----++， 所以该复数对应的点为(1,2)-，在第四象限. 故选：D11．复数z 满足()2i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数z ，即可求得结果. 【详解】 因为()()()52i 52i 2i 2i 2i z -+===-+-----+，因此，复数z 的虚部为1. 故选：A.12．已知i 为虚数单位，复数5i12i iz -+=+-，则z 的模为（ ）A ．B ．3CD 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再用复数模的定义计算作答. 【详解】依题意，(5i)(i)12i 15i 12i 23i i (i)z -+⋅-=+-=++-=+⋅-，则z =所以z 故选：D13．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2-，则i z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i +D ．2i -【答案】D 【分析】依题意根据复数的几何意义得到12z i =-，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得. 【详解】解：由题知，12z i =-，则()i 12i i 2i z =-=+，所以i 2i z =-， 故选：D ．14．若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（ ） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B试卷第5页，共39页根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B15．设复数1z ，2z满足12z z ==122z z =，则12z z +的最大值是（ ） A ．2 B．C ．4D．【答案】B 【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得||a ≤. 【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数， 所以222a b +=①，222c d +=①.又122z z =，所以(i)(i)()i 2a b c d ac bd ad bc ++=-++=， 所以2ac bd -=①，0ad bc +=①.由①+①-①×2，得22()()0a c b d -++=，所以a c =，0b d +=. 所以2i z a b =-，由①知||a ≤122||z z a +=≤ 故选：B.16．在复平面内，若复数z 对应的点为（1，1），则i 1z=-（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2D【答案】B 【分析】首先由坐标确定复数z ，并化简i 1z-，最后求出模长 【详解】由已知复数z 对应的点为（1，1），则1i z =+, 因此1i (1i)(i+1)2i i i 1i 1(i 1)(i+1)2z ++====-----,所以1i 1z=-17．若复数()22i 22a aa +-+∈R 为纯虚数，则3i a -=（ ） AB ．13C ．10D【答案】A 【分析】因为复数为纯虚数故得到2a =-，再由复数模长公式计算得到结果. 【详解】复数()22i 22a aa +-+∈R 为纯虚数，故需要2022202a a a +⎧=⎪⎪⇒=-⎨-+⎪≠⎪⎩3i |32i |a -=+==故选：A18．在复平面内，若复数1i a --对应的点的坐标为()1,2-，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D 【分析】根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可. 【详解】复数1i a --对应的点的坐标为()1,a -- 由题干得到22a a -=⇒=- 故选：D.19．若()()234i 4i a a b a b --=-+-(),a b ∈R ，则实数a b +的值为（ ）A ．8B ．8-C ．0D ．8或0【答案】D 【分析】根据复数相等的定义求解． 【详解】()()234i 4i =()i a a b a b a b --=-+--，又,a b ∈R ，所以2300a a b a b ⎧--=⎨-=⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩或44a b =⎧⎨=⎩，试卷第7页，共39页所以0a b +=或8． 故选：D ．20．若()22i a +-（a R ∈）为实数，()1b -（b R ∈）是纯虚数，则复数i a b +为（ ） A ．2i - B ．12i - C ．2i + D ．12i +【答案】C 【分析】根据复数的分类求出实数,a b 后可得结论． 【详解】由题意20a -=，2a =，10b -=，1b =， 所以i=2+i a b +． 故选：C ．21．设集合{}A =虚数，{}B =纯虚数，{}C =复数，则A ，B ，C 间的关系为（ ） A ．ABCB ．BAC C ．BCA D ．ACB【答案】B 【分析】根据复数的定义、复数的分类判断． 【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B 正确． 故选：B ．22．若复数12z i =-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-2C ．iD ．2i -【答案】B 【分析】结合复数概念直接判断即可. 【详解】12z i =-的虚部是2-.故选：B23．已知复数z满足i z =，且z 的共轭复数为z ，则z =（ ）A B ．2 C ．4 D ．3【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念可求出z ，从而根据复数模的公式可求出答案. 【详解】因为i z =，所以i z =，所以2z ．故选：B .24．若复数()()12i z m m m R =+-∈为纯虚数，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．i -C ．iD ．2i【答案】A 【分析】由复数的类型有10m +=且20m ≠，求参数m ，进而写出z 的共轭复数. 【详解】由题意知：10m +=且20m ≠，∴1m =-，即2i z =，故z 的共轭复数是2i -. 故选：A.25．以下命题中，正确的是（ ）A ．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B ．如果a +b i=c +d i ，那么a =c ，b =dC ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【答案】D 【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答. 【详解】A ：()()i i 2i a b a b b +--=，当0b =时,2i b 不是纯虚数，故A 错误；B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误；C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误；D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确. 故选：D.试卷第9页，共39页26．复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C27．已知复数2i z =-，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】由复数z 求出在复平面内，复数z 对应的点的坐标得答案． 【详解】解：复数2i z =-在复平面对应的点的坐标为：(2,1)-，位于第四象限． 故选：D ． 28．复数i2i+在复平面内对应点的坐标为（ ）A ．12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】结合复数除法运算化简，由复数与复平面的对应关系即可求解. 【详解】()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，故复数i 2i +在复平面内对应点的坐标为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A29．已知i 为虚数单位，则复数1i z =-的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】A 【分析】根据复数的虚部的定义确定复数1i z =-的虚部. 【详解】1i -的虚部是1-． 故选：A ．30．已知i 是虚数单位，若i 1iaz +=+为纯虚数，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】B 【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解． 【详解】因为2i (i)(1i)i i i 11i 1i (1i)(1i)222a a a a a az ++--+-+-====+++-为纯虚数， 所以102102a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，1a =-．故选：B ． 31．已知复数121iz =+与2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，则12z z =（ ） A ．4i - B ．2i - C ．2i D ．4i【答案】C 【分析】试卷第11页，共39页利用复数的除法运算法则化简复数1z ，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y x =对称的点，得到复数2z ，最后利用复数的乘法运算法则即可求得12z z ． 【详解】 因为()()()121i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以复数1z 在复平面内对应的点为()1,1-， 其关于直线y x =对称的点为()1,1-，所以21i z =-+， 所以()()211i 1i 2i z z =--+=， 故选：C ．32．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是11x =和21x =，则这个一元二次方程可以是（ ）. A ．2220x x +=- B ．2240x x -+= C ．2321x x -+ D ．2240x x ++=【答案】B 【分析】设方程为()200++=≠ax bx c a ，根据韦达定理分别将,b c 用a 表示，即可得出答案.【详解】解：设方程为()200++=≠ax bx c a ，则122bx x a+=-=，所以2b a =-， 124cx x a==，所以4c a =， 则方程为()()22400a x x a -+=≠，故只有B 选项符合题意. 故选：B.33．方程2430z z -+=在复数集内解的个数为（ ）.A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】C 【分析】令i z a b =+，再根据复数的运算及复数的模，解方程. 【详解】令()i ,z a b a b =+∈R，则222i 30a b ab -+-=，得2220,30.ab a b =⎧⎪⎨--=⎪⎩当0b =时，2430a a -+=，1a =±或3a =±；当0a =时，2430b b +-=，2b =-2b =-.综上共有6个解：1z =±，3z =±，)2i z =±，故选；C.34．已知()i ,a b a b +∈R 的三角形式为()cos isin r θθ+，则i a b -+的三角形式是（ ）. A ．()cos isin r θθ+B ．()()()cos isin r πθπθ-+-C ．()()()cos isin r πθπθ+++D ．()()()cos 2isin 2r ππθ-∞+-【答案】B 【分析】根据三角形式的表达式知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，根据诱导公式判断选项符合的即可. 【详解】由题知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+， 结合诱导公式知，()()cos cos ,sin sin πθθπθθ-=--=， 故选：B35．下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.A cos isi 66πn π⎫-⎪⎭B cos isi 66πn π⎫+⎪⎭C sin i co 66πs π⎫+⎪⎭D ．cos isin 66ππ⎫+⎪⎭【答案】B 【分析】复数的三角表示为()cos isin z r αα=+，对比选项得到答案. 【详解】复数的三角表示为：()cos isin z r αα=+，其中0r ≥，B 选项满足. 故选：B.36．复数()i ,a b a b +∈R 的平方是一个实数的充要条件是（ ）.试卷第13页，共39页A ．0a =且0b ≠B ．0a ≠且0b =C ．0a bD ．0ab =【答案】D 【分析】利用充要条件的定义和复数的运算判断即可 【详解】因为22222(i)2i (i)2i a b a ab b a b ab +=++=-+为实数， 所以0ab =，反之，当0ab =时，复数()i ,a b a b +∈R 的平方是一个实数， 所以复数()i ,a b a b +∈R 的平方是一个实数的充要条件是0ab =， 故选：D37．在复数集中，一个数的平方恰好是这个数的共轭复数，具有这种特性的数共有（ ）个. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】利用复数相等的条件求解即可 【详解】设复数i(,)z a b a b R =+∈，则由题意可得()2i i(,)a b a b a b R +=-∈，所以222i i(,)a b ab a b a b R -+=-∈，所以222a b a ab b ⎧-=⎨=-⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，或10a b =⎧⎨=⎩，或12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以具有这种特性的数共有4个， 故选：D38i 在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转120，所得点对应的复数是（ ） A．i B．1 C．i D．1-【答案】Ci 在复平面对应的点A ，写出点A 的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解. 【详解】i 在复平面内对应的点为)A，因为tan6π==，则6xOA π∠=，将点A 绕着原点逆时针旋转120，得到的点B 与点A 关于y 轴对称，即点()B ，因此，所求复数为i . 故选：C.39．当01m <<时，复数()()21i z m m m =-+-在复平面上对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】利用m 的范围求出1m -、2m m -的范围即可确定答案. 【详解】 ∵01m <<，∴10m ->，()210m m m m -=-<，∴复数()()21i z m m m =-+-在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D.40．在复平面内，向量OP 对应的复数的共轭复数是i ，则向量OP 对应的复数是（ ）A ．iB ．iC ．-D ．i【答案】B 【分析】由已知OP 对应的共轭复数，直接写出OP 对应的复数即可.试卷第15页，共39页由共轭复数的概念知：OP对应的复数为i . 故选：B41．下列命题中，正确的是（ ）. A ．互为共轭的两个复数之差必是纯虚数 B ．互为共轭的两个复数之和必是纯虚数 C ．任何复数的平方都是非负实数 D ．互为共轭的两个复数的平方仍是共轭复数 【答案】D 【分析】根据共轭复数的性质、复数的加减、乘方运算，并结合特殊值法判断各选项的正误. 【详解】A ：如复数为实数，共轭复数为自身，它们的差为0，故错误；B ：i a b +与i a b -且,a b ∈R 互为共轭复数，它们的和为2a ，不是纯虚数，故错误；C ：显然2i 1=-，不是非负实数，故错误；D ：如B 中复数：()222i 2i a b a b ab +=-+，()222i 2i a b a b ab -=--，它们为共轭复数，故正确. 故选：D42．如果复数()()11i 0a a ++-≠，那么实数a 的值是（ ）. A ．不等于1的实数 B ．不等于—1的实数 C ．不等于±1的实数 D ．任意实数【答案】D 【分析】根据()()11i 0a a ++-≠，利用复数相等求解. 【详解】因为复数()()11i 0a a ++-≠， 所以10a +≠或10a -≠，解得a R ∈， 所以实数a 的值是任意实数， 故选：D43．下列命题中，真命题是（ ）． A ．虚数所对应的点在虚轴上B ．“0a =”是“复数()i ,z a b a b =+∈R 是纯虚数”的充分非必要条件C ．若()0z a a =>，则z a =±D ．“12=z z ”是“12z z =”的必要非充分条件 【答案】D 【分析】根据复数的定义，复数的几何意义，复数相等的定义，充分必要条件的定义判断． 【详解】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A 错； i(,R)z a b a b =+∈表示纯虚数的条件是0a =且0b ≠，因此B 错；i z a =时，也有z a =，C 错；12z z =时有12=z z ，但12z z =-时也有12=z z ，D 正确．故选：D ． 44．已知复数11i=+，则z 的虚部为（ ） A ．1i 2B ．1i 2-C ．12D ．12-【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求出z ,即可得到其虚部. 【详解】 11i 11i 1i (1i)(1i)22z -===-++-, 故虚部为12-，故选：D45．（多选）下列关于复数i x +的说法一定正确的是（ ） A ．是虚数 B ．存在x 使得i x +是纯虚数 C ．不是实数 D ．实部和虚部均为1【答案】B 【详解】 由复数i x +，当i x =-时，i=0x +为实数，故A 、C 不正确； 当0x =时，i=i x +，故B 正确；试卷第17页，共39页由于x 的取值未知，故D 错误； 故选：B46．设(1i)1i x y +=+，其中i 为虚数单位，,x y 是实数，则x yi +=（ ） A ．1 BCD ．2【答案】B 【分析】先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为(1i)1i x y +=+，所以1x y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以i x y +==故选：B.47．设复数z 在复平面内对应的点为(1,3)-，则1iz+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】D 【分析】先求出复数z ，然后化简1iz+即可 【详解】由题意可得13i z =-，所以213i (13i)(1i)1i 3i 3i 12i 1i 1i (1i)(1i)2z -----+====--+++-， 故选：D48．已知复数20172i 1iz -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案① 【详解】复数()()()()20172i 1i 2i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 1i 222z -----=====-++-+， 则13i 22z =+ 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为13(,)22，位于复平面内的第一象限.故选：A 49．设复数3i1iz +=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()2,1- B ．()2,2- C ．()2,1 D ．()2,2【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算求出结果，进而得出复数在复平面内对应的点的坐标. 【详解】 ()()3i 1i 3i 42i2i 1i 22z +-+-====-+,则复数在复平面对应点的坐标为()2,1-. 故选：A.50．设m R ∈，则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】求出()()2i 1i z m =++为纯虚数时m 的值，与2m =比较，判断出结果 【详解】()()()2i 1i =22i z m m m =++-++，复数()()2i 1i z m =++为纯虚数，则20m -=，解得：2m =，所以则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的充要条件故选：C51．已知复数z 满足11z z+=，则||z =（ ）A ．12 B ．1C ．2D 【答案】B 【分析】设()i,,z a b a b R =+∈，根据11z z+=，求得参数，即可得出答案.试卷第19页，共39页【详解】解：设()i,,z a b a b R =+∈， 则11z z+=，即21z z +=，即222i 1i a b ab a b -++=+， 所以2212a b a ab b ⎧-+=⎨=⎩，解得21234a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以||1z . 故选：B. 52．已知复数53i1iz +=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】B 【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解. 【详解】 ∵()()()()53i 1i 53i 28i14i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+， ∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z|z 在复平面内对应的点在第一象限. 故选：B53．对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，下列结论中正确的是（ ） A ．若0a =，则i a b +为纯虚数 B ．若i 32i a b -=+，则3a =，2b = C ．若0b =，则i a b +为实数 D ．若0a b ，则z 不是复数 【答案】C 【分析】结合复数概念逐一判断即可. 【详解】对A ，当0b =时，i a b +为实数，故A 错；对B ，根据对应关系，3a =，2b =-，故B 错；对C ，若0b =，则i a b +为实数，C 正确；对D ，若0a b ，0z =，也是复数，故D 错. 故选：C54．下列结论中，正确的是（ ） A ．Z N Q R C ⊆⊆⊆⊆ B ．N Z Q C R ⊆⊆⊆⊆ C ．N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆ D ．R N Z Q C ⊆⊆⊆⊆【答案】C 【分析】直接根据范围的大小关系得到答案. 【详解】根据范围的大小关系得到：N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆. 故选：C.55．在复平面内，复数12i z =-+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】由复数的几何意义求解即可 【详解】 因为12i z =-+，所以复数12i z =-+对应的点为()1,2-，且在第二象限， 故选：B56．如果()23i 1i z --=-+，那么复数z 为（ ） A ．12i - B ．14i +C ．12i --D ．14i -+【答案】A 【分析】直接计算得到答案. 【详解】()23i 1i z --=-+，故1i 23i 12i z =-++-=-.故选：A. 57．若1i()1ia R z a -∈+=是纯虚数，2z 满足21(1)5z a z +-=，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ）试卷第21页，共39页A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】化简1,z 求出a 再求解2z 即可 【详解】()()()()()1i 1-i 11ii ==1i 1i 1-i 2a a a z a ---+-+=+是纯虚数，故10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩此时1i z =- ()21+15z a z -=，所以()22i 5z +=，即()()()252i 52i 2+i 2+i 2i z -===--，所以复数2z 在复平面内对应的点为()2,1-位于第四象限. 故选：D 58．复数43i2iz -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解. 【详解】 解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+， 所以复数z 的虚部为2-， 故选：A .59．已知复数z 满足()12i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．-2i C ．1 D ．i【答案】A 【分析】根据复数模的计算公式及复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，即可判断其虚部； 【详解】解：因为()12i 34i z +=-，34i 5-=，所以()12i 5z +=，所以()()()()()22512i 512i 512i 12i 12i 12i 12i z --====-++--所以复数z 的虚部为2-； 故选：A60．若(3i)12i z ⋅-=-，则||z =（ ）A B C ．1D 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，从而可求的答案. 【详解】解：因为(3i)12i z ⋅-=-， 所以()()()()12i 3i 12i 55i 11i 3i 3i 3i 1022z -+--====---+，所以||z = 故选：D.61．若复数i1iz =-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A B ．12C ．1D ．2【答案】A 【分析】利用复数除法运算求出复数z 即可求出||z . 【详解】 依题意，i (1i)1i 11i (1i)(1i)222z ⋅+-+===-+-+，所以||z = 故选：A62．设()125i z -=（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的乘除法运算求出z ，即可得出复平面内对应的点所在象限. 【详解】解：由()125i z -=试卷第23页，共39页所以()()()251255105101212121i i 2145i i i i i i z ⨯+++=====+--+- 所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选：A .63．已知为i 虚数单位，复数1i12iz +=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限. 【详解】()()()()221i 12i 1i12i i 3i 31i 12i 12i 12i 14i 555z +-+---=====-++--， 31i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点坐标为31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A.64．已知i 是虚数单位，复数51i +的虚部为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．i【答案】C 【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案. 【详解】由54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+，虚部为1，故选项C 正确. 故选：C.65．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab=0”是“复数a -b i 为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将0ab =和复数i a b -为纯虚数进行化简，再根据必要不充分条件的定义，即可得到答案； 【详解】“0ab =，则0a =或0b =”， “复数i a b -为纯虚数”则0a =且0b ≠,∴"0ab ="是“复数i a b -为纯虚数”的必要不充分条件.故选：B66．已知i 为虚数单位，若复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则(1)z z +⋅=（ ） A ．3i + B ．3i - C ．13i + D ．13i -【答案】A 【分析】由共轭复数定义求z ，再根据复数的运算律计算(1)z z +⋅. 【详解】1i z =+，1i z =-，则(1)(2i)(1i)3i z z +⋅=-+=+，故选：A.67．设复数z 满足i 2z z -=-，则z 的虚部为( ) A ．34-B ．34-C ．iD ．1【答案】D 【分析】设复数i z x y =+，结合已知条件，利用复数相等求出y 即可． 【详解】设复数i z x y =+，x ∈R ，y R ∈，由i 2z z -=-，得(i)i 2x y +=-，即(i 2i x y +=-+， 解得，1y =，故z 的虚部为1. 故选：D ．68．已知复数z 满足()()i 2i 62i z -+=-，则z =（ ）A B ．2C D【答案】C 【分析】试卷第25页，共39页利用复数的运算先求z ，再利用复数的模长公式求解. 【详解】因为()()i 2i 62i z -+=-，所以()()()()62i 2i 62i i=i 2i 2i 2i z ---=++++-， =22i+i=2i --，所以|z故选：C.69．设z ∈C ，且|z |＝1，当|（z ﹣1）（z ﹣i ）|最大时，z ＝（ ） A ．﹣1 B ．﹣i CD【答案】C 【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解．特别注意：令sin θ+cos θ＝t ，则sin θcos θ＝()2112t - 【详解】解：|z |＝1，设z ＝cos θ+isin θ，则|（z ﹣1）（z ﹣i ）|＝令sin θ+cos θ＝t ，则sin θcos θ﹣sin θ﹣cos θ+1＝()211124t -+ ∴当t＝θ＝54π 时，|（z ﹣1）（z ﹣i ）|取最大值，此时，z． 故选：C70．复数z ＝3+4i 对应的点Z 关于原点的对称点为Z 1，则对应的向量1OZ 为（ ） A ．﹣3﹣4i B ．4+3i C ．﹣4﹣3i D ．﹣3+4i【答案】A 【分析】根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果． 【详解】解：∵复数z ＝3+4i 对应的点Z （3，4） ∴Z 关于原点的对称点为Z 1（﹣3，﹣4） 对应的向量1OZ ＝﹣3﹣4i 故选：A ．71．若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（ ）AB ．C ．2D ．4【答案】D 【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案. 【详解】设z ＝x +y i (x ，y ∈R )，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆， |z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，而|CO |＝|CA |，易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时，且最大值为|P A |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝4， 故选：D ． 72．设复数z 满足1-1z z+=i 2 017,则|1+z|=（ ）A ．0B ．1C D ．2【答案】C 【分析】根据复数的乘方及复数的除法求得复数z ，即可得z+1，从而可得答案. 【详解】 解：因为1-1z z+=i 2 017=i ， 所以z=()()()()1-i 1-i 1-i i 1i 1i 1-i ==-++， 所以z+1=1i -，故|z+1 故选：C .73．已知复数z 满足1-i-2z =1+i,则在复平面内,复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限试卷第27页，共39页【答案】D 【分析】利用复数的除法运算，可得z=2-i①① z 的对应点为(2,-1)①即得解 【详解】 ∵1-i-2z =1+i, ∴z -2=21-i (1-i)1i (1i)(1-i)=++=-i, ∴z=2-i,∴z 的对应点为(2,-1) 故选：D .74．若复数z ＝i ⋅（a +i ）（a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为2，则a ＝（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣1 D ．1【答案】B 【分析】由题意可得z ＝﹣1+a i ，根据复数实部和虚部的概念即可得出结果. 【详解】z ＝i ⋅（a +i ）＝﹣1+a i ，由于复数z ＝i ⋅（a +i ）（a ①R ，i 为虚数单位）的虚部为2， ①a ＝2， 故选：B.75．设11z =-，22112z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2arg z =（ ）A ．56πB ．43πC ．116π D ．53π【答案】B 【分析】首先求2z ，再求tan θ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值. 【详解】()22211111442z z ==-=-，复数对应的点是1,2⎛- ⎝⎭，位于第三象限，且tan b a θ==24arg 3z π=. 故选：B76．复数[)()1cos isin 0,2πθθθ--∈的三角形式是（ ）A ．ππ2sin cos isin 222θθθ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．ππ2sin cos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．ππ2sin cos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．ππ2cos cos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解. 【详解】21cos isin 2sin 2isin cos 222θθθθθ--=-2sin sin i cos 222θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cosisin 222θθθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sincos isin 222θθθ⎡--⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2sincos isin 222θθθ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C.77．若1z ，2z 为复数，则“12z z +是实数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】设12i i z a b z c d =+=+，,由12z z +是实数和1z ，2z 互为共轭复数得到a b c d ,,,的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断 【详解】由题意，不妨设12i i z a b z c d =+=+，若12z z +是实数，则12i i ()()i z z a b c d a c b d R +=+++=+++∈故0b d +=，即=-b d ，由于,a c 不一定相等，故1z ，2z 不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若1z ，2z 互为共轭复数，则2i z a b =-，故122z z a R +=∈，故必要性成立.试卷第29页，共39页因此“12z z +是实数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的必要不充分条件. 故选：B78．已知()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（ ） A．)4⎡⎣ B ．[]2,4C．()4D ．()2,4【答案】A 【分析】根据()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，求出m 的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：因为()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，所以3010m m +>⎧⎨-<⎩，解得31m -<<，z ==因为31m -<<，所以()[)210,2m +∈，则())2218m ⎡++∈⎣，所以复数z 的模的取值范围是)4⎡⎣. 故选：A.79．复数z=(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 的共轭复数z 对应的点在虚轴上，则实数a 的值为（ ） A ．a=0或a=2 B ．a=0 C ．a ≠1，且a ≠2 D ．a ≠1或a ≠2【答案】A 【分析】由题意可知实部为零，解方程即可 【详解】∵复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2-2a=0，∴a=0或a=2 故选：A.80．复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ） A ．OA =(1，2) B ．OB =(-3，0) C ．203OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ．OD =(-1，-2)【答案】C 【分析】结合纯虚数概念判断即可 【详解】向量203OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对应的复数为23i ，是纯虚数.故选：C81．关于复数z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是（） A ．3+4i B ．4+3i C ．403+3i D ．3+403i 【答案】B 【分析】22i 136i x y +=+，再利用复数相等可得21326x y ==⎪⎩，解方程组，即可得到答案； 【详解】设i(,R)z x y x y =+∈,22i 136i x y +=+,于是21326x y ==⎪⎩，解得4,3x y =⎧⎨=⎩或4033x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 因为1320x -≥,故132x ≤,所以403x =不符合要求,故43i.z =+ 故选：B82．已知z 是复数，且p :z=12i ；q :z+1z ∈R .则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义，先判断p 能不能推q ，再判断q 能不能推p ，即可得到答案；试卷第31页，共39页【详解】显然,当~12z =时,1111221R 221z z +=++=+=∈, 但当z +1R z ∈时,若令i(,R)z a b a b =+∈, 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 所以有0b =或221a b +=,不一定有12z =+， 故p 是q 的充分不必要条件, 故选：A.83．若复数z 的共轭复数是z ，且z+z =6，z ·z =10，则z=（ ） A ．1±3i B ．3±i C ．3+i D ．3-i【答案】B 【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算求解即可 【详解】设z=a+b i(a ，b ∈R )，则z =a -b i ， 因为z+z =6，z ·z =10，所以222610a a b =⎧⎨+=⎩，， 解得31a b =⎧⎨=±⎩，，即z=3±i .故选：B84．若|z|+z=3+i ，则z=（ ） A ．1－43i B ．1+43iC ．43+i D ．－43+i 【答案】C 【分析】设复数z=x+y i(x ，y ∈R)i =3+i ，从而求出答案. 【详解】设复数z=x+y i(x ，y ∈R)，i =3+i ，因此31x y ==⎪⎩，，解得431x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，故z=43+i . 故选：C.85．设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（ ） A ．1+i B ．2+i C ．3 D ．2i --【答案】D 【分析】由已知可得(2+a )+(b+1)i =0，即可求,a b ，写出复数a ＋b i 即可. 【详解】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--. 故选：D.86．已知集合M={1，2，(m 2-3m -1)+(m 2-5m -6)i}，N={-1，3}，且M ∩N={3}，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．-1 C ．-1或4 D ．-1或6【答案】B 【分析】根据已知得3M ∈，从而有()223156i 3m m m m --+--=，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案； 【详解】 由于{3}MN =,故3M ∈,必有()223156i 3m m m m --+--=,所以22313,560,m m m m ⎧--=⎨--=⎩即41,6?1,?m m =-⎧⎨=-⎩或或得1m =-. 故选：B试卷第33页，共39页87．若复数2-b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为（ ） A ．2 B ．23 C ．-23D ．-2【答案】A 【分析】根据复数概念可得2()b =--，即可得到答案； 【详解】复数2i b -的实部为2，虚部为b -,由题意知2()b =--,所以2b =. 故选：A88．设全集U C =，实数集为R ，纯虚数集为M ，那么（ ） A ．M R U ⋃= B ．U U M R ⋃=C ．{}0M R ⋂=D ．U R M R ⋂=【答案】D 【分析】根据实数和复数的概念，结合补集的运算，得到{}{|,,,0}0U M z z a bi a b R a ==+∈≠⋃，再利用交集的概念，即可求解. 【详解】由题意，全集U C =，实数集为R ，纯虚数集为M ，可得{}{|,,,0}0U M z z a bi a b R a ==+∈≠⋃，所以U R M R ⋂=. 故选：D. 89．复数2i12i+-的共轭复数是（ ） A ．3i 5-B ．35iC ．i -D ．i【答案】C 【分析】利用复数的乘除运算求出2ii 12i+=-，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】 由题意知， 令2i (2i)(1+2i)i 12i (12i)(1+2i)z ++===--， 所以复数的共轭复数为i z =-， 故选：C90．若(12i)2i z -=+，则复数z =（ ）A ．-1B ．i -C ．1D ．i【答案】B 【分析】由复数的除法运算和共轭复数的概念，即可求出结果. 【详解】由(12i)2i z -=+，得2i (2i)(12i)22i 4ii 12i (12i)(12i)5z +++-++====--+，则i z =-. 故选：B.91．复数()21i 1i-=+（ ）A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+【答案】B 【分析】根据复数的乘法、除法运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】复数()221i 12i i 2i(1i)22i1i 1i 1i (1i)(1i)2--+----====--+++-. 故选：B92．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 【答案】D 【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证. 【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误；试卷第35页，共39页对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-， 则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a bb a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误； 对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ===，D 正确 故选：D93．下列命题正确的是（ ）A ．复数1i +是关于x 的方程220x mx -+=的一个根，则实数1m =B ．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，若12=z z ，则1OZ 与2OZ 重合C ．若11z z -=+，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数12i -+，1i -，32i -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC xOA yOB =+（i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y R ∈），则1x y +=【答案】C 【分析】结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A ：复数1i +是关于x 的方程220x mx -+=的一个根，所以：()()21i 1i 20m +-++=，()2i i 222i 0,20,2m m m m m m --+=-+-=-==，故A 错误；对于B ：设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，若12=z z ， 即这两个向量的模长相等，但是1OZ 与2OZ 不一定重合，故B 错误； 对于C ：若11z z -=+，设()i ,z x yx y R =+∈理得：0x =，故i z y =，故C 正确；对于D ：已知复数12i -+，1i -，32i -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC xOA yOB =+，所以()()()3,21,21,1x y -=-+-，()()()()3,2,2,,2x x y y y x x y -=-+-=--，322y x x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得：1x =，4y =，故5x y +=，故D 错误． 故选：C ．94．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为555和5．若()55z =，则复数z =（ ）A ．1B ．1CD 【答案】C 【分析】利用复数除法运算求得z . 【详解】由()55z =，得25z ==== 故选：C ．95．已知()12i 43i z +=+，则z ＝（ ） A ．2-i B ．2＋iC ．211i 55-+D ．211i 55--【答案】B 【分析】根据复数得乘除法运算及共轭复数得概念即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 43i z +=+，所以()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-， 所以2i z =+. 故选：B.试卷第37页，共39页96．已知复数i(,R)z a b a b =+∈，有下列四个命题： 甲：||1z = 乙：z 的虚部为12丙：复数z 对应的点位于第二象限 丁：1z z +=，如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】先等价转化各个命题，再逐一验证哪一个命题为假命题. 【详解】1z =等价于：221a b +=，i z a b =+的虚部为12等价于：12b =，复数z 对应的点位于第二象限等价于：00a b <⎧⎨>⎩，1z z +=等价于：12a =， 显然命题丙与丁矛盾， 两者一定有一个假命题； 若丙为假命题， 则12a b ==，但不符合221a b +=（舍）； 若丁为假命题，则由221012a b a b ⎧⎪+=⎪<⎨⎪⎪=⎩，得：a =；终上所述，丁为假命题. 故选：D.97．若方程20x x m ++=有两个虚根,αβ，且||3αβ-=，则实数m 的值为（ ） A ．52B ．52-C ．2D ．2-【答案】A 【分析】。
高考数学二轮复习 专题回顾练1 复数、导数 理
回顾练一 复数、导数1．(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )．A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A2．(2015·新课标全国Ⅰ卷)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )．A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案 C3．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝ ( )．A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析 ∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 答案 A4．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则f ′(3)＝( )．A ．－5B ．4C ．5D ．－4 解析 由f (1)＝1得a ＝1， 所以f (x )＝x 2－b ln x ， 故f ′(x )＝2x －bx，所以函数f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝2－b ，因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以(2－b )×1＝－1，解得b ＝3， 所以f ′(x )＝2x －3x，故f ′(3)＝2×3－33＝5.答案 C5．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 解析 ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x，由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．x ＝2为f (x )的极小值点．答案 D6．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x. 由x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点． ∴c －a ＝0，∴c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2， 则x 1x 2＝a a＝1，D 中图象一定不满足条件． 答案 D7．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0；设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当l过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0<a <12，故选B.答案 B8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，且 (x －1)f ′(x )<0.若x 1<x 2，且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )．A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．不确定解析 由(x －1)f ′(x )<0可知，当x >1时，f ′(x )<0，函数递减．当x <1时，f ′(x )>0，函数递增；因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )，f (x )＝f (2－x )，即函数的对称轴为x ＝1.所以若1<x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)．若x 1<1，则x 2>2－x 1>1，此时由f (x 2)<f (2－x 1)，即f (x 2)<f (2－x 1)＝f (x 1)，综上f (x 1)>f (x 2)．答案 C9．(2015·北京卷)复数i(1＋i)的实部为________．解析 i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，实部为－1. 答案 －110．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．解析 y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，由导数的几何意义，k ＝y ′|x ＝1＝4， ∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －311．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是______．解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝a 或－a .f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表： x (－∞，－a )－ a (－a ，a )a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋－0 ＋f (x )极大值极小值从而⎩⎨⎧－a 3－3a －a ＋b ＝6，a 3－3a a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)． 答案 (－1,1)12．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围是______．解析 ∵f (x )＝1－xax＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a >0)， ∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数， ∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立， ∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a ≥1x对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1. 答案 [1，＋∞)13．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，复数z ＝1＋a i 满足z 2＋z ＝1＋b i ，求a 2＋b 2的值．解 由z ＝1＋a i ，且z 2＋z ＝1＋b i ，得 1＋2a i －a 2＋1＋a i ＝1＋b i ， 即1－a 2＋3a i ＝b i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＝0，3a ＝b ，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝9，所以a 2＋b 2＝10.14．已知函数f (x )＝－a ln x ＋2a2x＋x (a ≠0)，(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 由已知得，f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝－a x －2a 2x2＋1(x >0)．(1)根据题意，有f ′(1)＝－2， ∴－a －2a 2＋1＝－2， 即2a 2＋a －3＝0. 解得a ＝1，或a ＝－32.(2)∵f ′(x )＝－a x －2a 2x 2＋1＝x 2－ax －2a 2x 2＝x ＋ax －2ax 2(x >0)．①当a >0时，由f ′(x )>0，及x >0得x >2a ； 由f ′(x )<0，及x >0得0<x <2a .∴当a >0时，函数f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增， 在(0,2a )上单调递减．②当a <0时，由f ′(x )>0，及x >0得x >－a ； 由f ′(x )<0，及x >0得0<x <－a .∴当a <0时，函数f (x )在(0，－a )上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增． 15．已知函数f (x )＝x －a x －12，x ∈(1，＋∞)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )在区间[2，＋∞)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 解 (1)f ′(x )＝x －1－x ＋2a －1x －14，x ∈(1，＋∞)．由f ′(x )＝0，得x 1＝1，或x 2＝2a －1.①当2a －1≤1，即a ≤1时，在(1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；②当2a －1>1，即a >1时，在(1,2a －1)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在(2a －1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，a ≤1时，f (x )的减区间为(1，＋∞)；a >1时，f (x )的增区间为(1,2a －1)，f (x )的减区间为(2a －1，＋∞)．(2)①当a ≤1时，由(1)知f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值； ②当a >1时，若2a －1≤2，即a ≤32时，f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；若2a －1>2，即a >32 时，f (x )在[2,2a －1)上单调递增，在(2a －1，＋∞)上单调递减，因为f (2a －1)＝a －12a －22>0，且当x >2a －1时，x －a >a －1>0，所以当x ≥2a －1时，f (x )>0.又因为f (2)＝2－a ，所以当2－a ≤0，即a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；当2－a >0，即32<a <2时，f (x )没有最小值．综上所述：当a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；当a <2时，f (x )没有最小值．16．已知函数f (x )＝ax ln x 图象在点(e ，f (e))处的切线与直线y ＝2x 平行，g (x )＝x 2－tx －2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[n ，n ＋2](n >0)上的最小值；(3)对一切x ∈(0，e]，3f (x )≥g (x )恒成立，求实数t 的取值范围．解 (1)由f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程与直线2x －y ＝0平行，得该切线斜率为2，即f ′(e)＝2.又∵f ′(x )＝a (ln x ＋1)，∴a (ln e ＋1)＝2，a ＝1， 所以f (x )＝x ln x .(2)由(1)知f ′(x )＝ln x ＋1，显然f ′(x )＝0时，x ＝e －1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，①当1e ∈(n ，n ＋2]时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；②当1e≤n <n ＋2时，函数f (x )在[n ，n ＋2]上单调递增，因此f (x )min ＝f (n )＝n ln n ；所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<n <1e ，n ln n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥1e .(3)对一切x ∈(0，e]，3f (x )≥g (x )恒成立， 又g (x )＝x 2－tx －2， ∴3x ln x ≥x 2－tx －2， 即t ≥x －3ln x －2x.设h (x )＝x －3ln x －2x，x ∈(0，e]，则h ′(x )＝1－3x ＋2x 2＝x 2－3x ＋2x2＝x －1x －2x2，由h ′(x )＝0得x ＝1或2，∴x ∈(0,1)，h ′(x )>0，h (x )单调递增，x ∈(1,2)，h ′(x )<0，h (x )单调递减，x ∈(2，e)，h ′(x )>0，h (x )单调递增，∴h (x )极大值＝h (1)＝－1，且h (e)＝e －3－2e －1<－1， 所以h (x )max ＝h (1)＝－1.因为对一切x ∈(0，e]，3f (x )≥g (x )恒成立，∴t≥h(x)max＝－1.故实数t的取值范围是[－1，＋∞)．。
高中数学第七章复数7.1.2复数的几何意义练习含解析新人教A版必修第二册
【解析】|z|＝ 1＋4m2≤2，解得－ 3≤m≤ 3.
2
2
9．实数 m 分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i 满足下列条件？
(1)对应点在 x 轴上方；
(2)对应点在直线 y＝－x－5 上．
解：(1)由 m2－2m－15>0，得当 m<－3 或 m>5 时，z 的对应点在 x 轴上方．
4i|表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为 －32＋42－2＝3.
13．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数 z1>z2 的充要条件是|z1|＞|z2| 【答案】ABC 【解析】①任意复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ a2＋b2≥0 总成立，故
(2a,1)．因为O→Z1与O→Z2共线，所以－3×1－4×2a＝0，解得
a＝－3，即 8
a
的值为－3. 8
B 级——能力提升练
11．(2020 年合肥月考)设复数 z 满足|z－1|＝|z－i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为
(x，y)，则( )
A．y＝－x
B．y＝x
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
第七章 7.1 7.1.2
A 级——基础过关练
1．(2019 年北京海淀区二模)已知复数 z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则( )
A．z＝－1＋i
B．z＝1＋i
C．z＋i 是实数
D．z＋i 是纯虚数
【答案】C 【解析】∵复数 z 在复平面上对应的点为(1，－1)，∴z＝1－i.∴z＋i＝1－i
高考数学二轮专题复习 专题七 7.1 复数与导数能力训练 新人教A版
教学资料范本高考数学二轮专题复习专题七 7.1 复数与导数能力训练新人教A版编辑：__________________时间：__________________专题能力训练17复数与导数1.若复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,|z-m|=5(m∈R),求z和m的值.2.已知复数z=,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.3.已知z,ω为复数,(1+3i)·z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,求复数ω.4.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,若x>0时,xf'(x)-f(x)<0,求使得f(x)>0成立的x的取值范围.5.已知f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)+2x,若函数g(x)在区间[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围.6.已知f(x)=ln x+.(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求a的值.7.已知复数z=b i,是实数,其中i是虚数单位,b∈R.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.8.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.9.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.参考答案专题能力训练17复数与导数1.解:设z=x+y i(x,y∈R),∵|z|=5,∴x2+y2=25.①∵(3+4i)z=(3+4i)(x+y i)=(3x-4y)+(4x+3y)i,它在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.∴它的实部与虚部互为相反数.∴3x-4y+4x+3y=0,即y=7x.代入①,得x=,y=或x=-,y=-.∴z=i或z=-i.当z=i时,z=1+7i,依题意|1+7i-m|=5,即(1-m)2+72=50,解得m=0或m=2.当z=-i时,z=-1-7i,同理可解得m=0或m=-2.故z=i,m=0或m=2;或z=-i,m=0或m=-2.2.解:z==1-i,由z2+az+b=1+i,得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,由复数相等得故a+b=1.3.解:设z=x+y i(x,y∈R),则(1+3i)·z=(x-3y)+(3x+y)i为纯虚数,所以x=3y≠0.因为|ω|==5,所以|z|==5.又x=3y,解得x=15,y=5;x=-15,y=-5.所以ω=±=±(7-i).4.解:当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0,∴当x>0时,F(x)=为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,∴F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)>0;在(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).5.解:(1)∵f(x)=x2-a ln x,∴f'(x)=x-(x>0).∴若a≤0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a>0,则函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(2)∵g(x)=f(x)+2x,∴g'(x)=x-+2=(x>0).设h(x)=x2+2x-a(x>0),∵函数g(x)在区间[1,e]上不单调,∴g(x)在区间(1,e)上存在零点.∴⇒3<a<e2+2e.又∵g(x)在x=e处取得最大值,∴只需g(e)≥g(1),即a≤+2e-.综上所述,实数a的取值范围是.6.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为a<0,所以f'(x)>0.故函数f(x)在其定义域上是单调递增的.(2)①当a≤1时,f'(x)>0,函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是相矛盾.②当1<a<e时,在区间[1,a)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(a,e]上有f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1.由ln a+1=,得a=,符合条件.③当a≥e时,在区间[1,e)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,其最小值为f(e)=2,这与最小值是相矛盾.综上所述,a的值为.7.解:(1)∵z=b i(b∈R),∴i.又是实数,∴=0,得b=-2.∴复数z=-2i.(2)由(1)得z=-2i,m∈R,则(m+z)2=(m-2i)2=(m2-4)-4m i,∵复数(m+z)2所表示的点在第一象限,∴得m<-2.∴实数m的取值范围是(-∞,-2).8.解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,所以g'(x)=2-=.当0<a<时,g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减;当a≥时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.9.解:由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=+a(2x-1)=.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞).当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8).①当0<a≤时,Δ≤0,g(x)≥0,f'(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>时,Δ>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1<x2),因为x1+x2=-,所以x1<-,x2>-.由g(-1)=1>0,可得-1<x1<-.所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数有两个极值点.当a<0时,Δ>0,由g(-1)=1>0,可得x1<-1.当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;当a>时,函数f(x)有两个极值点.。
新课标高考文科数学二轮：小题 专题1 集合、复数、逻辑、函数与导数 7
小题专练·作业(七)一、选择题1．(2019·合肥第一次质量检测)集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x <1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |x ≤2}D ．{x |－2≤x <1}答案 C解析 本题考查集合的运算．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2}．故选C . 2．(2019·湖北黄冈市调研考试)复数z 满足zi ＝－1＋3i ，则z 的共轭复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 本题考查复数代数形式的乘除运算、共轭复数、复数的几何意义．∵zi ＝－1＋3i ，∴z ＝－1＋3i i ＝（－1＋3i ）·ii ·i ＝3＋i ，则z ＝3－i ，∴z 对应的点的坐标为(3，－1)，位于第四象限．故选D .3．(2019·长沙市高三统一考试)若集合M ＝{x |－3<x <1，x ∈R }，N ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈Z }，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2} 答案 B解析 由题意得N ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈Z }＝{－1，0，1，2}，M ＝{x |－3<x <1，x ∈R }，则M ∩N ＝{－1，0}．故选B .4．(2019·江西红色七校联考)集合A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }的真子集的个数是( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 C解析 当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝2；当x ＝3，y ＝－3.因为函数y ＝－x 2＋6在[0，＋∞)上是减函数，所以当x ≥3时，y <0，所以集合A ＝{2，5，6}，共有3个元素，则集合A 的真子集的个数为23－1＝7.故选C .5．(2019·江西抚州联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x >2或x <0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．{3，4}D ．{0，3，4}答案 A解析 因为全集U ＝R ，B ＝{x |x >2或x <0}，所以∁U B ＝{x |0≤x ≤2}．又因为集合A ＝{0，1，2，3，4}，所以题图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0，1，2}．故选A . 6．(2018·衡水调研)设x ，y ∈R ，则“x ≠1或y ≠1”是“xy ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 “x ≠1或y ≠1”的否定是“x ＝1且y ＝1”，“xy ≠1”的否定是“xy ＝1”． 要判断“x ≠1或y ≠1”是“xy ≠1”的什么条件，我们可以判断“xy ＝1”是“x ＝1且y ＝1”的什么条件，显然是必要不充分条件．选B .7．(2019·辽宁五校期末考试)若复数z ＝a ＋i 1－i ，且z ·i 3>0，则实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C .12D ．－12答案 A解析 z ·i 3＝z ·(－i )＝（a ＋i ）（－i ）1－i ＝1－ai 1－i＝（1＋a ）＋（1－a ）i2，∵z ·i 3>0，∴z ·i 3为正实数，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝0，1＋a >0，∴a ＝1.8．(2019·济南市期末考试)已知命题p ：关于m 的不等式log 2m <1的解集为{m |m <2}；命题q ：函数f (x )＝x 3＋x 2－1有极值．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 log 2m <1⇔0<m <2，则命题p 是假命题，綈p 是真命题；f ′(x )＝3x 2＋2x ＝x (3x ＋2)，则f (x )有极值点－23和0，所以命题q 是真命题，所以命题(綈p )∧q 是真命题．9．(2019·唐山摸底考试)设z ＝i （1－2i ）2－i ，则|z |＝( )A .5B ．2C .415D ．1答案 D解析 方法一：∵z ＝i （1－2i ）2－i ＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）25＝35＋45i ，∴|z |＝（35）2＋（45）2＝1.故选D .方法二：|z |＝|i （1－2i ）2－i |＝|i （1－2i ）||2－i |＝|i |·|1－2i |5＝55＝1.故选D .10．(2019·皖南八校联考)“1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x <1.∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．11．(2018·福建三校联考)若命题“∃x 0∈R ，使得3x 02＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，3) B ．(－∞，－3)∪[3，＋∞) C ．[－3，3] D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案 C解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 02＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤3.故选C .12．(2019·南昌市NCS 项目第一次模拟)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：“|x |＋|y |2≤1”，q ：“x 2＋y 2≤r 2”，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( ) A ．(0，255]B ．(0，1]C ．[255，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析 由题意，命题p 对应的是菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x ＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0，由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝24＋1＝255≥r .又r >0，所以实数r 的取值范围是(0，255]．故选A . 13．(2019·陕西高新一中模拟)已知i 为虚数单位，复数i (2－i )，i2－i 在复平面内对应的点分别是A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数的模为( ) A .85 B .2105C .4105D .325答案 B解析 线段AB 的中点C 对应的复数为12[i (2－i )＋i 2－i ]＝12(2i ＋1＋2i －15)＝25＋65i ，该复数对应的模为（25）2＋（65）2＝2105.故选B . 二、填空题14．“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的________． 答案 充分不必要条件解析 由cos2α＝cos 2α－sin 2α知，当sin α＝cos α时，有cos2α＝0，反之，由cos 2α＝sin 2α不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件． 15．已知复数z ＝3＋i（1－3i ）2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________．答案 14解析方法一：∵z ＝3＋i （1－3i ）2＝3＋i －2－23i＝3＋i －2（1＋3i ）＝（3＋i ）（1－3i ）－2（1＋3i ）（1－3i ）＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝(－34＋14i )(－34－14i )＝316＋116＝14.故填14. 方法二：z ·z ＝|z |2，又|z |＝|3＋i （1－3i ）2|＝|3＋i ||1－3i |2＝222＝12，∴|z |2＝14，即z ·z ＝14. 16．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，且P (a ，b )点在角α终边上，则tan2α＝________．答案 －34解析 ∵2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋bi ，∴⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12，∴tan α＝－13， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－13）1－（－13）2＝－34.17．(2019·福州五校)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为________． 答案 4解析 方法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以A ∩B ＝{(0，1)，(－1，0)}，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.方法二：在同一坐标系中作出直线y ＝x ＋1和圆x 2＋y 2＝1的图象(图略)，由图可知，直线与圆有两个交点，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4. 18．(2018·河北武邑中学模拟)给出下列四个命题： ①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B ； ②∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ；③若a ，b 是实数，则“a>b ”是“a 2>b 2”的充分不必要条件； ④“∃x 0∈R ，x 02＋2>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”． 其中真命题的序号是________． 答案 ④解析 ①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B ，所以①为假命题；②当x ＝4时，x 2＝2x ，所以②为假命题；③取a ＝0，b ＝－1，则a >b ，但a 2<b 2；取a ＝－2，b ＝－1，则a 2>b 2，但a <b ，故若a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，所以③为假命题；④“∃x0∈R，x02＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以④为真命题．1．(2018·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案B解析方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.方法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}．故选B. 2．若集合A＝{x|3x－x2>0}，B＝{x|x－1<0}，则集合A∩B为( )A．{x|x<0} B．{x|x<1或x>3}C．{x|0<x<1} D．{x|x<3}答案C解析集合A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝{x|0<x<1}．故选C. 3．(2019·河南南阳月考)已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2，3]，则a＋b＝( )A．－5B．5C．－1D．1答案A解析∵集合P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y<－1或y>2}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，P∪Q＝R，P ∩Q＝(2，3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得－a＝－1＋3，b＝－3，则a＋b＝－5.故选A.4．(2019·安徽定远实验高中月考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案B解析∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)．故选B.5．(2019·河北衡水中学第七次调研考试)已知集合A ＝{1，2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{12}，则A ∪B 为( ) A ．{－1，12，1}B ．{－1，12}C ．{1，12}D ．{12，1，b }答案 A解析 本题考查集合的运算．因为A ∩B ＝{12}，所以2a ＝12，所以a ＝－1，所以b ＝12，所以A ＝{1，12}，B ＝{－1，12}，所以A ∪B ＝{－1，12，1}．故选A .6．(2017·课标全国Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案 D 解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i2＝2－i .故选D .7．(2019·湖南长郡月考(五))记复数z 的共轭复数为z ，已知复数z 满足(2－i )z ＝5，则|z |＝( ) A .3 B .5 C .7 D ．5答案 B解析 方法一：本题考查复数的概念与运算．由题意得z ＝52－i ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2＋i ，则|z |＝|z |＝22＋12＝5.故选B .方法二：由题意得z ＝52－i ，则|z |＝|z |＝5|2－i |＝522＋（－1）2＝5.故选B .8．(2019·河南高考适应测试)已知复数z 满足(1＋i )z ＝4|1－i |(i 为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 本题考查复数的运算、几何意义．(1＋i )z ＝42＝22⇒z ＝221＋i＝2－2i ，则复数z 在复平面内对应的点(2，－2)在第四象限．故选D .9．(2019·云南师大附中月考(六))复数z 满足|z －2＋i |＝1，则|z |的最大值是( ) A .5 B .6 C .5＋1 D .5－1答案 C解析 本题考查复数模的求法．由|z －2＋i |＝|z －(2－i )|＝1知，复数z 对应的点在圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1上，|OC |＝5，所以|z |的最大值是5＋1.故选C .10．(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z ＝(cos θ－45)＋(sin θ－35)i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan (θ－π4)的值为( )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17答案 A解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎨⎧cos θ－45＝0sin θ－35≠θ即⎩⎨⎧cos θ＝45sin θ≠35，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝－35，所以tan θ＝－34，于是tan (θ－π4)＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－34－11－34×1＝－7.故选A .11．(2018·洛阳市第二次统一考试)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i (i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则z ＝a －bi ，∵|z |＝z ＋1－2i ，∴a 2＋b 2＝(a ＋1)－(b ＋2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝a ＋1，b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－2，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．故选D .12．若复数z ＝1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2018＋|3－4i |3－4i ，则z 的共轭复数z 的虚部为( )A ．－15B ．－95C .95iD ．－95i答案 B解析 ∵z ＝1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 018＋|3－4i |3－4i＝1×（1－i 2019）1－i＋53－4i ＝1－（i 4）504·i 31－i＋5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝1＋i 1－i ＋3＋4i 5＝（1＋i ）22＋3＋4i 5＝35＋95i ，∴z ＝35－95i .故z 的共轭复数z的虚部为－95.故选B .13．(2019·江西南昌二中模拟)已知复数z 满足关于x 的方程x 2－2x ＋b ＝0(b ∈R )，且z 的虚部为1，则|z |＝( ) A .2 B .3 C ．2 D .5答案 A解析 ∵复数z 满足关于x 的方程x 2－2x ＋b ＝0(b ∈R )，且z 的虚部为1，∴设复数z ＝a ＋i ，则(a ＋i )2－2(a ＋i )＋b ＝0，即a 2－2a －1＋b ＋(2a －2)i ＝0，∴a ＝1，b ＝2，∴z ＝1＋i ，∴|z |＝2.故选A .14．(2015·课标全国Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n答案 C解析 根据特称命题的否定为全称命题，知綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .故选C .15．(2015·山东)若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tanx ≤1，∵“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.16．(2019·广州调研考试)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ex 0≤0B ．∀x ∈R ，2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1 答案 D解析 本题考查命题真假的判断．由指数函数的性质知e x >0，A 错误；当x ＝2时，2x >x 2不成立，B 错误；当a ＝b ＝0时，ab ＝－1不成立，C 错误；因为“若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1”的逆否命题是“x ，y 都小于等于1，则x ＋y ≤2，x ，y ∈R ”，为真命题，所以“若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1”也为真命题，D 正确．17．已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，有a ＋1a ≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0＝5，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题 B ．p ∧(綈q )是真命题 C ．p ∧q 是真命题 D ．(綈p )∧q 是真命题答案 B解析 ∀a ∈R ，且a >0，由基本不等式可得a ＋1a ≥2，∴p 为真命题．又∵sinx ＋cosx ＝2sin (x＋π4)≤2，∴q 为假命题，∴p ∧(綈q )是真命题．故选B . 18．(2019·河北唐山摸底)命题“∀x >0，均有lnx ≥1－1x ”的否定是( )A ．∃x 0≤0，使得lnx 0≥1－1x 0B ．∃x 0≤0，使得lnx 0<1－1x 0C ．∃x 0>0，使得lnx 0≥1－1x 0D ．∃x 0>0，使得lnx 0<1－1x 0答案 D解析 由全称命题与特称命题的关系，可得命题“∀x >0，均有lnx ≥1－1x ”的否定是“∃x 0>0，使得lnx 0<1－1x 0”．故选D .19．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数c 的取值范围是________． 答案 (0，12]∪[1，＋∞)解析 若命题p ：函数y ＝c x 为减函数为真，则0<c <1.又命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立为真，则2>1c ，所以c ∈(12，＋∞)．因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 一真一假．若p 真q 假，则c ∈(0，12]；若p 假q 真，则c ∈[1，＋∞)．所以实数c 的取值范围是(0，12]∪[1，＋∞)．20．(2019·湖南师大附中月考六)下列说法正确的是( )A ．命题“∃x 0∈[0，1]，使x 02－1≥0”的否定为“∀x ∈[0，1]，都有x 2－1≤0”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角△ABC 中，sinA <cosB ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0” 答案 D解析 本题考查常用逻辑用语．命题“∃x 0∈[0，1]，使x 02－1≥0”的否定为“∀x ∈[0，1]，都有x 2－1<0”，A 错误；命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”是真命题，其逆命题是假命题，B 错误；在锐角三角形中，π2<A ＋B <π⇒π2>A >π2－B >0⇒sinA >sin (π2－B )＝cosB ，C 错误；由原命题和它的逆否命题的关系可知D 正确．故选D .21．(2019·安徽六校第二次联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( ) (1)若a 2＋b 2<c 2，则 C >π2；(2)若ab >c 2，则C >π3；(3)若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；(4)若2ab >(a ＋b )c ，则C >π2；(5)若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C <π3.A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(5)C ．(1)(3)(4)D ．(1)(3)(5)答案 D解析 本题考查余弦定理、基本不等式、反证法的应用．对于(1)，因为a 2＋b 2<c 2，所以cosC＝a 2＋b 2－c 22ab <0，则C >π2，(1)正确；对于(2)，因为a 2＋b 2≥2ab ，ab >c 2，所以cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12，所以C <π3，(2)错误；对于(3)，假设C ≥π2，则a 2＋b 2≤c 2，且c >a ，c >b ，则c 3≥c (a 2＋b 2)＝a 2c ＋b 2c >a 3＋b 3，与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以C <π2，(3)正确；对于(4)，取a ＝b ＝2，c ＝1满足2ab >(a ＋b )c ，但此时易得角C 为最小角，一定为锐角，(4)错误；对于(5)，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2a 2b 2>(a 2＋b 2)c 2≥2abc 2，即ab >c 2，由(2)易得此时有C <π3，(5)正确．综上所述，(1)(3)(5)正确．故选D .22．(2018·河南郑州月考)已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1<0的解集为空集；命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )<0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[52，3]B ．[3，＋∞)C ．[2，3]D ．[2，52]∪[3，＋∞)答案 D解析 p ：∀x ∈R ，ax 2＋22x ＋1<0的解集为空集，则ax 2＋22x ＋1≥0对x ∈R 恒成立，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝8－4a ≤0，∴a ≥2.q ：满足f ′(x )<0，可得函数f (x )在R 上单调递减，则0<2a －5<1，解得52<a <3.若命题p ∧(綈q )是真命题，则p 为真命题，q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是[2，52]∪[3，＋∞)．23．(2018·海淀区练习)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 本题考查充分条件与必要条件、函数的奇偶性．当f (x )为R 上的奇函数时，若x 1＋x 2＝0，则有x 1＝－x 2，所以f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0；若f (x )＝0，则当x 1＝－1，x 2＝2时，f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2≠0，所以“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．故选A .24．(2019·安徽百校联考)“a 3>b 3”是“lna>lnb ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a 3>b 3可得a >b ，当a <0，b <0时，lna ，lnb 无意义；反之，由lna >lnb 可得a >b ，故a 3>b 3.因此“a 3>b 3”是“lna>lnb ”的必要不充分条件．25．(2019·中原名校4月联考题)已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 方法一：因为綈p ：a ≥0，綈q ：0≤a ≤1，所以綈q ⇒綈p 且綈p 綈q ，所以綈p 是綈q 的必要不充分条件．方法二：p ：a <0，q ：a <0或a >1，若考虑綈p 是綈q 的什么条件．我们可以考虑q 是p 的什么条件．显然q 是p 的必要不充分条件．26．“a ＝－2”是“z ＝(a 2－4)＋(a 2－a －2)i 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由a 2－a －2≠0且a 2－4＝0，可得a ＝－2.故选C .27．(2019·豫北名校4月联考题)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 B解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B .28．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1，2，b }．若A ⊆B 成立，则对应的实数对(a ，b )有________对． 答案 4解析 A ＝{x ||x －a |＝4}＝{a ＋4，a －4}，因为A ⊆B 成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝1，a －4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝b ，a －4＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝2，a －4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝b ，a －4＝2.求得实数对(a ，b )为(－3，－7)或(5，9)或(－2，－6)或(6，10)，共4对．。
高一数学培训辅导(人教A版2019必修第二册)7.1 复数的概念(精练)(原卷版)
7.1 复数的概念（精练）【题组一 实部虚部辨析】1．（2020·江西抚州市）若(2)x i i y i +=+,其中,x y R ∈,i 为虚数单位,则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．2-D ．2i -2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）设i 为虚数单位,则复数55z i =-的实部为（ ） A ．5- B ．5i -C ．5D ．5i3．（2020·广西桂林市）复数3z i =-的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．-1D ．i -4．（2020·四川省成都市新都一中高二期中）复数24i z =--的虚部是（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．45．（2020·江苏宿迁市·高二期中）已知复数1z i =-,其中i 是虚数单位,则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【题组二 复数的分类】1．（2021·江西景德镇市）已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数,则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．12．（2021·甘肃兰州市·兰州一中）i 为虚数单位,已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数,则a 等于（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．03．（2021·江西南昌市）设复数i z a b =+(其中a b R ∈、,i 为虚数单位),则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．（2020·贵州毕节市）已知a 为实数,若复数()24(2)z a a i =-++为纯虚数,则复数z 的虚部为（ ）A ．2B ．4iC ．2±D ．45．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高二期末）已知i 为虚数单位,a R ∈,复数()242a a i -+-是纯虚数,则a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-2或26．（2020·北京市八一中学高二期中）若复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数,则m =______7．（2019·河南洛阳市·高二期中（文））已知复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数,则实数m =_____________8．（2020·林芝市第二高级中学）实数m 取怎样的值时,复数()22153m m z i m --=-+是:（1）实数? （2）虚数? （3）纯虚数?9．（2020·辽源市田家炳高级中学校）已知复数()()11z m m i m R =++-∈. （1）m 取什么值时,z 为实数;（2）m 取什么值时,z 为纯虚数.10．（2021·江西上饶市）已知m 为实数,i 为虚数单位,设复数()()2256253z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时,求m 的值;（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方,求m 的取值范围.【题组三 复数的几何意义--复平面】1．（2019·重庆市江津第六中学校高二期中）在复平面内,复数1i -+所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．（2020·甘肃省岷县第二中学）若,a b ∈R ,则复数()()224526a a b b i -++-+-表示的点在（ ）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限3．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））复数()()2lg 2221()x x z x i x R -=-+-+-∈在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．（2020·朔州市朔城区第一中学校）设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且12z i =+,则2z =（ ）A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i --5．（2020·重庆高二期中）已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是____.6．（2020·浙江台州市·高二期中）已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数,则实数m =________;若复数z 对应的点位于复平面的第二象限,则实数的取值范围为________.7（2021·宁夏长庆高级中学）在复平面内,复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限,求实数m的取值范围是________．【题组四 复数的几何意义--模长】1．（2021·浙江高二期末）已知a R ∈,若有a i -=i 为虚数单位）,则a =（ ） A ．1 B ．2- C ．2± D ．±12．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）设复数z 满足1z i -=,z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ,y 满足的关系式为______.3．（2021·江苏高二）已知a ,b R ∈,()123ai b a i +=++,则a =______,3a bi +=______.4．（2020·北京人大附中高二月考）已知i 是虚数单位,若1z i =+,则22z z -=________.5．（2020·上海市通河中学高二期中）若z C ∈且342z i ++≤,则z 的取值范围为__________． 【题组五 复数综合应用】1．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位）,则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限2．（2020·重庆高二期末）若复数12z i =+（i 为虚数单位）,则下列命题正确的是（ ）A ．z 是纯虚数B ．z 的实部为2C ．z 的共轭复数为12i -+D ．z3．（2020·山东聊城市·高二期末）已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-,则（ ） A ．z i +是实数（i 为虚数单位） B ．z i +是纯虚数（i 为虚数单位） C ．1z +是实数 D ．1z +是纯虚数4．（2020·咸阳百灵学校）关于复数3－4i 的说法正确的是（ ） ①实部和虚部分别为3和-4;②复数模为5③在复平面内对应的点在第四象限;④共轭复数为3+4i A ．①③B ．①②④C ．①②③④D ．①③④。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册精英同步卷：7.1复数的概念
精英同步卷：7.1复数的概念 1、设i 是虚数单位，若复数1(2)i(R)a a a -+-∈是纯虚数，则a =()A ．-1B ．1C ．-2D ．22、复数1i Z =-的虚部是( )A.iB.-iC.-1D.1 3、若复数2(1)(1)i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14、如果2(1)(1)i z m m m =++-为纯虚数，则实数m 的值为( )A ． 1B ． 0C ． －1D ． －1或15、设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、复数43i z =+,则z =（ ）A.5B.17C.10D.25 7、已知复数132z i =+，则z z -+=（ ） A ．132i - B ．132i -- C ．332i - D ．332i + 8、设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则复数z 的模为( )A.1B.2C.3D.29、如果一个复数与它的模的和为53i +,那么这个复数是( )A.115B.3iC.113i 5+D.1123i 5+ 10、如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z =（ ）A ．5B ．3 C.2 D. 1 11、已知i 是虚数单位，复数1i z =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标______.12、已知z 是复数,3z =且3i z +是纯虚数,则z =_________.13、已知i 是虚数单位，若复数12i z =-，则||z = .14、34i +=__________15、设复数z 满足条件1z =那么22z i +的最大值是__________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：C解析：由32i,z =-+得z 32i,=--则z 32i,=--对应点(3,2)--位于第三象限．故选C ．6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：C 解析：因为复数132z =， 所以复数z 的共轭复数132z =，2213122z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1333122z z -+=+=，故选C ．8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：C解析：设这个复数为i(,R)a b a b +∈,则22|i |a b a b +=+.由题意知22i 53i a b a b +++,即22i 53i a a b b +=+.∴225,3,a a b b ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解得11,53,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴所求复数为113i 5,故选C.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：(1,1). 解析：因为2i 2i(i 1)1i 1i i 12z z --===-∴=+-，对应点坐标为(1,1).12答案及解析：答案：3i解析：设i(,R)z a b a b =+∈，则i 3i (3)i a b a b ++=++是纯虚数,所以0,30a b =+≠.又因为3z =,所以3b =,所以3i z =.13答案及解析： 5解析：14答案及解析：答案：5解析：15答案及解析：答案：4解析：设,,z x yi x y =+均为实数,则()()()2222221221z i x y i x y +=++=+++它的几何意义表示圆221x y +=上的点A 到点()22,1B --的距离,显然最大距离为1OB +,即最大距离为4.。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第75讲《复数》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的，b 叫做复数z 的(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔(a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作或，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 知识点二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 知识点三、复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2——→＝OZ 2→－OZ 1→.★★★高考典例剖析★★★考点一、复数的概念 1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )， z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0，故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0， 故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.1．(2018·长春调研)若复数z 满足i(z －3)＝－1＋3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为( ) A ．6 B ．1 C ．－1D ．－62．(2017·河南六市联考)如果复数2－b i 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.3．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 考点二、复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2：(2018·长春质检)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 答案 A解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点的坐标为(－2,1)， 即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 命题点2 复数的除法运算典例3：(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.命题点3 复数的综合运算例4：(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2. 故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.4．复数i(2－i)等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i6．2016·全国Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i7．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 8．(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i 9．(2016·全国Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i10．(1＋i )3(1－i )2等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i11．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 考点三、复数的几何意义例5： (1)(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B.12．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心D ．外心13．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．14．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．22．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4iD ．－3－4i3．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或14．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．27．(2017·济宁一模)已知i 为虚数单位，则z ＝i1－2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 39．(2017·河北保定定兴三中月考)“复数z ＝3－a i i (a ∈R )在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．(2017·河北省三市联考)若复数z ＝a ＋3ii ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( ) A ．－4 B ．－3 C ．1D ．211．(2018·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22二、填空题12．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________.13．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为________．14．(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.15．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．16．(2018·唐山质检)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝______，c ＝______.17．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.18．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．19．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．20．(2017·辽宁朝阳三校协作体联考)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.21．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________． 22．若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 23．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________.24．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．三、解答题25．(2018·广州质检)已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 26．(2018·济南调研)若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 知识点二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．知识点三、复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2——→＝OZ 2→－OZ 1→.★★★高考典例剖析★★★考点一、复数的概念 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 1．答案 A解析 ∵i z －3i ＝－1＋3i ，∴i z ＝－1＋6i ， ∴z ＝6＋i ，故z 的实部为6. 2．答案 －23解析 由2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i5，得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23.3．答案 2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i. 考点二、复数的运算 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 4．答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 5．答案10解析 方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2 ＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 6．A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4i z z －1＝i.7．答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.8．答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. 9．答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 10．答案 D解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i＝1－i i ＝－1－i.故选D.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 11．答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i＝－1－i ，故选D. 考点三、复数的几何意义♦♦♦跟踪训练♦♦♦12．答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．13．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.14．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6)．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．答案 A解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1，z ＝i －11＋i＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1. 2．答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1. 4．答案 C解析 ∵复数a ＋b i＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件．故选C. 5．答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0， ∴θ为第二象限角，故选B.6．答案 B解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.7．答案 B解析 z ＝i 1－2i ＝i (1＋2i )1－(2i )2＝－2＋i 5＝－25＋i 5， 其对应的点⎝⎛⎭⎫－25，15位于第二象限． 8．答案 A解析 ∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2.∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3＝2，∴a ＝±1.故选A.9．答案 A解析 z ＝3－a i i ＝(3－a i )(－i )－i·i＝－a －3i. ∵z 在复平面内对应的点在第三象限，∴－a <0，解得a >0.∴“复数z ＝3－a i i在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的充分不必要条件．故选A.10．答案 A解析 因为z ＝a ＋3i i ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a <0，－a >0， 解得a <－3，故选A.11．答案 D解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.二、填空题12．答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.13．答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5 ＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.14．答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i.得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2. 解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.15．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．16．答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，⎩⎨⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.17．答案 3解析 3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i] ＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎨⎧ a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3. ∴a ＋b ＝3.18．答案 3 解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.19．答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 20．答案 14解析 由z ＝3＋i －2(1＋3i )＝－34＋14i ， 得z ＝－34－14i ， 所以z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ·⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 21．答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， ∴λ＋μ＝1.22．答案 5 解析 ∵a ，b ∈R ，且a 1－i ＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.23．答案 －2解析 因为x ＝1－i 1＋i＝(1－i )22＝－i ， 所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 12 0＝－2. 24．答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合{f (n )}中共有3个元素．三、解答题25．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0， 所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2， 即m ∈(－∞，－2)．26．解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 知识点二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．知识点三、复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2——→＝OZ 2→－OZ 1→.★★★高考典例剖析★★★考点一、复数的概念1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题：p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2；p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0， 故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0，故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.1．(2018·长春调研)若复数z 满足i(z －3)＝－1＋3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为( )A ．6B ．1C ．－1D ．－6 答案 A解析 ∵i z －3i ＝－1＋3i ，∴i z ＝－1＋6i ，∴z ＝6＋i ，故z 的实部为6.2．(2017·河南六市联考)如果复数2－b i 1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.答案 －23解析 由2－b i 1＋2i＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i 5， 得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23. 3．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________.答案 2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4，因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2，又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.考点二、复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2：(2018·长春质检)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i答案 A解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)，即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.命题点2 复数的除法运算典例3：(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i等于( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 命题点3 复数的综合运算例4：(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2. 故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.4．复数i(2－i)等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.5．(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 答案10解析 方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2 ＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 6．2016·全国Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.7．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.8．(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. 9．(2016·全国Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 10．(1＋i )3(1－i )2等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i ＝1－i i＝－1－i.故选D.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 11．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.考点三、复数的几何意义例5： (1)(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B.12．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．13．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.14．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1.2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.4．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.5．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0，∴θ为第二象限角，故选B.6．(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.7．(2017·济宁一模)已知i 为虚数单位，则z ＝i1－2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 z ＝i1－2i ＝i (1＋2i )1－(2i )2＝－2＋i 5＝－25＋i 5，其对应的点⎝⎛⎭⎫－25，15位于第二象限． 8．(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( ) A ．1或－1B.7或－7C ．－ 3 D. 3答案 A解析 ∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2. ∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3＝2， ∴a ＝±1.故选A.9．(2017·河北保定定兴三中月考)“复数z ＝3－a i i (a ∈R )在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 z ＝3－a i i ＝(3－a i )(－i )－i·i ＝－a －3i.∵z 在复平面内对应的点在第三象限，∴－a <0，解得a >0.∴“复数z ＝3－a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的充分不必要条件．故选A.10．(2017·河北省三市联考)若复数z ＝a ＋3ii ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( ) A ．－4 B ．－3 C ．1 D ．2答案 A解析 因为z ＝a ＋3ii ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a <0，－a >0，解得a <－3，故选A.11．(2018·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 D解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.二、填空题12．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________. 答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.13．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为________．答案 －2 解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.14．(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i. 由(a ＋b i)2＝3＋4i.得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2. 解得a 2＝4，b 2＝1. 所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.15．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________． 答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．16．(2018·唐山质检)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝______，c ＝______.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，⎩⎨⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.17．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案 3 解析3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b2，b ＝3＋b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.18．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.19．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.20．(2017·辽宁朝阳三校协作体联考)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. 答案 14解析 由z ＝3＋i －2(1＋3i )＝－34＋14i ，得z ＝－34－14i ， 所以z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ·⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 21．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________． 答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)， OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1. 22．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 23．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________.答案 －2解析 因为x ＝1－i 1＋i＝(1－i )22＝－i ， 所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 12 0＝－2. 24．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________． 答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合{f (n )}中共有3个元素．三、解答题25．(2018·广州质检)已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0， 所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2， 即m ∈(－∞，－2)．26．(2018·济南调研)若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念课后·训练提升 基础巩固1.(多选题)下列说法正确的是( ) A.若a+bi=0,则a=b=0 B.x+yi=2+2i ⇔x=y=2C.若y ∈R,且(y 2-1)-(y-1)i=0,则y=1D.(1+√3)i 的虚部是1+√3 答案:CD解析:A,B 错误,即a,x 不一定是复数的实部,b,y 不一定是复数的虚部;C 正确,因为y ∈R,所以y 2-1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得{y 2-1=0,-(y -1)=0,解得y=1.D 正确,故选CD. 2.若复数z=(m+2)+(m 2-9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( ) A.-2 B.3C.-3D.±3答案:B解析:由题意,得{m 2-9=0,m +2>0,解得m=3,故选B.3.已知复数z 1=a+2i,z 2=3+(a 2-7)i,a ∈R,若z 1=z 2,则a=( ) A.2 B.3C.-3D.9答案:B解析:因为z 1=z 2,所以{a =3,2=a 2-7,解得a=3.4.“a=-2”是“复数z=(a 2-4)+(a+1)i(a,b ∈R)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i,是纯虚数;z 为纯虚数时,a 2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.所以由“a=2”可以推出“z 为纯虚数”,反之不成立. 故选A.5.若复数z=a 2-3+2ai 的实部与虚部互为相反数,则实数a 的值为 . 答案:1或-3解析:由题意,可知a 2-3+2a=0,解得a=1或a=-3. 6.若(m 2-1)+(m 2-2m)i>1,则实数m 的值为 . 答案:2解析:由题意,得{m 2-2m =0,m 2-1>1,解得m=2.7.已知z 1=-3-4i,z 2=(n 2-3m-1)+(n 2-m-6)i(m,n ∈R),且z 1=z 2,则m= ,n= . 答案:2 ±2解析:由题意,得{n 2-3m -1=-3,n 2-m -6=-4,解得{m =2,n =±2.8.(1)已知x 2-x -6x+1+(x 2-2x-3)i=0,求实数x 的值.(2)若关于x 的方程3x 2-a 2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,求实数a 的值. 解:(1)∵x ∈R,∴由题意可得{x 2-x -6x+1=0,x 2-2x -3=0,解得-1=(10-m-2m 2)i,所以{3m 2-a2m -1=0,10-m -2m 2=0,解得a=11或a=-715.9.已知m 为实数,复数z=(m 2+m-6)i+m 2-7m+12m+3,求当m 为何值时:(1)z 是实数? (2)z 是虚数? (3)z 是纯虚数?解:(1)由{m 2+m -6=0,m +3≠0,解得m=2.故当m=2时,z 是实数.(2)由{m 2+m -6≠0,m +3≠0,解得m≠2,且m≠-3.故当m≠2,且m≠-3时,z 是虚数.(3)由{m 2+m -6≠0,m +3≠0,m 2-7m +12=0,解得m=3或m=4.故当m=3或m=4时,z 是纯虚数.能力提升1.若a,b ∈R,且a>b,那么( ) A.ai>bi B.a+i>b+i C.ai 2>bi 2 D.bi 2>ai 2答案:D解析:因为虚数不能比较大小,故A,B 错误;因为i 2=-1,a>b,所以-a<-b,即ai 2<bi 2,故D 正确.2.复数z=a 2-b 2+(a+|a|)i(a,b ∈R)为实数的充要条件是( ) A.|a|=|b| B.a<0,且a=-b C.a>0,且a≠b D.a≤0答案:D解析:复数z 为实数的充要条件是a+|a|=0,即a≤0. 3.已知关于∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z 等于( ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i答案:B解析:由题意,可知n 2+mn=-2+(2n+2)i,∴{n 2+mn =-2,2n +2=0,解得{m =3,n =-1.∴z=3-i.4.若复数z 1=sin 2θ+icos θ,z 2=cos θ+i √3sin θ(θ∈R),z 1=z 2,则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+π3(k ∈Z)C.2kπ±π6(k ∈Z)D.2kπ+π6(k ∈Z)答案:D解析:由题意,可知{sin2θ=cosθ,cosθ=√3sinθ,∴cosθ=√32,sinθ=12.∴θ=π6+2kπ,k∈Z.5.已知z 1=(-4a+1)+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R.若z 1>z 2,则a 的取值集合为 . 答案:{0}解析:∵z 1>z 2,∴{2a 2+3a =0,a 2+a =0,-4a +1>2a ,解得a=0.故a 的取值集合为{0}.6.已知复数z 1=m 2+1+(m 3+3m 2+2m)i,z 2=4m-2+(m 2-5m)i,m 为实数.若z 1为实数,z 2为虚数,则m 的取值集合为 . 答案:{-1,-2}解析:∵z 1为实数,z 2为虚数,∴{m 3+3m 2+2m =0,m 2-5m ≠0, 解得m=-1或m=-2. ∴m 的取值集合为{-1,-2}.7.设复数z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(3-m),m ∈R,若z 是纯虚数,求m 的值. 解:由题意得{m 2-3m -3>0,3-m >0,log 2(m 2-3m -3)=0,log 2(3-m )≠0.解得m=-1. 8.已知集合M={(a+3)+(b 2-1)i,8},N={3i,(a 2-1)+(b+2)i},M∩N≠⌀,求整数a,b 的值.解:由题意,得(a+3)+(b 2-1)i=3i,① 或8=(a 2-1)+(b+2)i,②或(a+3)+(b 2-1)i=(a 2-1)+(b+2)i.③ 由①得a=-3,b=±2. 由②得a=±3,b=-2.由③得a,b 无整数解,不符合题意.经检验,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2均满足题意. 故a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.拓展创新复数z=cos(π2+θ)+sin(π2+θ)i,且θ∈[-π2,π2].(1)若z 是实数,求θ的值; (2)若z 为纯虚数,求θ的值.解:z=cos(π2+θ)+sin(π2+θ)i=-sinθ+icosθ.(1)当z 是实数时,cosθ=0, 因为θ∈[-π2,π2],所以θ=±π2;(2)当z 为纯虚数时,{-sinθ=0,cosθ≠0,又θ∈[-π2,π2],所以θ=0.。
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【2019最新】高考数学二轮专题复习专题七 7-1 复数与导数能力训
练新人教A版
1.若复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线
上,|z-m|=5(m∈R),求z和m的值.
2.已知复数z=,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.
3.已知z,ω为复数,(1+3i)·z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,求复数ω.
4.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,若x>0时,xf'(x)-f(x)<0,求使得f(x)>0成立的x的取值范围.
5.已知f(x)=x2-a ln x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=f(x)+2x,若函数g(x)在区间[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围.
6.已知f(x)=ln x+.
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求a的值.
7.已知复数z=b i,是实数,其中i是虚数单位,b∈R.
(1)求复数z;
(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.
8.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.
9.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.
参考答案
专题能力训练17复数与导数1.解:设z=x+y i(x,y∈R),
∵|z|=5,∴x2+y2=25.①
∵(3+4i)z=(3+4i)(x+y i)
=(3x-4y)+(4x+3y)i,
它在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
∴它的实部与虚部互为相反数.
∴3x-4y+4x+3y=0,即y=7x.
代入①,得x=,y=或x=-,y=-.
∴z=i或z=-i.
当z=i时,z=1+7i,
依题意|1+7i-m|=5,即(1-m)2+72=50,
解得m=0或m=2.
当z=-i时,z=-1-7i,
同理可解得m=0或m=-2.
故z=i,m=0或m=2;或z=-i,m=0或m=-2.
2.解:z==1-i,
由z2+az+b=1+i,
得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,
由复数相等得故a+b=1.
3.解:设z=x+y i(x,y∈R),
则(1+3i)·z=(x-3y)+(3x+y)i为纯虚数,
所以x=3y≠0.
因为|ω|==5,
所以|z|==5.
又x=3y,解得x=15,y=5;x=-15,y=-5.
所以ω=±=±(7-i).
4.解:当x>0时,令F(x)=,
则F'(x)=<0,
∴当x>0时,F(x)=为减函数.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,
∴F(1)=0.
在区间(0,1)上,F(x)>0;
在(1,+∞)上,F(x)<0,
即当0<x<1时,f(x)>0;
当x>1时,f(x)<0.
又f(x)为奇函数,
∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
故所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
5.解:(1)∵f(x)=x2-a ln x,
∴f'(x)=x-(x>0).
∴若a≤0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a>0,则函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
(2)∵g(x)=f(x)+2x,
∴g'(x)=x-+2=(x>0).
设h(x)=x2+2x-a(x>0),
∵函数g(x)在区间[1,e]上不单调,
∴g(x)在区间(1,e)上存在零点.
∴⇒3<a<e2+2e.
又∵g(x)在x=e处取得最大值,
∴只需g(e)≥g(1),即a≤+2e-.综上所述,实数a的取值范围是.
6.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,
因为a<0,所以f'(x)>0.
故函数f(x)在其定义域上是单调递增的.
(2)①当a≤1时,f'(x)>0,函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是相矛盾.
②当1<a<e时,在区间[1,a)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(a,e]上有f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1.由ln a+1=,得a=,符合条件.
③当a≥e时,在区间[1,e)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,其最小值为f(e)=2,这与最小值是相矛盾.综上所述,a的值为.
7.解:(1)∵z=b i(b∈R),
∴i.
又是实数,∴=0,得b=-2.
∴复数z=-2i.
(2)由(1)得z=-2i,m∈R,
则(m+z)2=(m-2i)2=(m2-4)-4m i,
∵复数(m+z)2所表示的点在第一象限,
∴得m<-2.
∴实数m的取值范围是(-∞,-2).
8.解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,
所以g'(x)=2-
=.
当0<a<时,g(x)在区间上单调递增,
在区间上单调递减;
当a≥时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
9.解:由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+∞),
f'(x)=+a(2x-1)=.
令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞).
当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;
当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8).
①当0<a≤时,Δ≤0,g(x)≥0,
f'(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;
②当a>时,Δ>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1<x2), 因为x1+x2=-,所以x1<-,x2>-.
由g(-1)=1>0,可得-1<x1<-.
所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
因此函数有两个极值点.
当a<0时,Δ>0,
由g(-1)=1>0,可得x1<-1.
当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
所以函数有一个极值点.
综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;
当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;
当a>时,函数f(x)有两个极值点.。