2018-2019学年最新北师大版九年级数学上册专项训练：图形的相似综合测试题-精品试题
2018-2019学年最新北师大版数学九年级上册(新)第四章图形的相似综合题-精品试题
新北师大版九年级上册第四章《图形的相似》练习题1．在直角坐标系中，点A （－2，0），B （0，4），C （0，3）。
过点Ｃ作直线交x 轴于点Ｄ，使以Ｄ、Ｏ、Ｃ为顶点的三角形与ΔAOB 相似，这样的直线最多可以作（ ）条 A 2 B 3 C 4 D 62．如图，∠APD ＝900，AP ＝PB ＝BC ＝CD ，则下列结论成立的是（ ）A ΔPAB ∽ΔPCA B ΔPAB ∽ΔPDAC ΔABC ∽ ΔDBAD ΔABC ∽ΔDCA3．一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为24，它的最小边为_____4．已知ΔABC ∽ΔDEF ，AB ：DE ＝4：1，那么需要_____个ΔDEF 才能把ΔABC 填满。
5．D 、E 分别是ΔABC 的边AC 、AB 上的点，且AB AE AC AD ∙=∙，则∠ADE=_____6．甲、乙两地相距3.5km ，画在地图上的距离为7cm ，则这张地图的比例尺为（ ） A 、2：1 B 、1：50000 C 、1：2 D 、50000：1PABCD7．△ABC 中，∠AED=∠B ，DE=6，AB=10，AE=8，则BC=8、AB 是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B 距墙1.4m ，梯上一点D 距墙1.2m ，BD 长0.5m ，则梯长为 m9．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由。
10．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于F ，在这个图形中，有哪几对相似三角形？你是怎么判断的？若21BCCF，AD 的长为6，求BF 的长及DC CE 的值。
B CADP OFABCDE11．如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.12，一条河的两岸有一段是平行的，在该河岸的这一段每隔5米有一颗树，河对岸每隔50米有一根电线杆。
最新北师大版九年级数学上册《图形的相似》综合测试题及答案解析(精品试卷).docx
《第4章图形的相似》一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S 四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．=B．=C．=D．=10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是（）A．B．C．D．二、填空题11．若，则= ．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为．15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．16．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是．三、解答题19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．20．若=，求的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？《第4章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；网格型；数形结合．【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．【解答】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质．【专题】数形结合．【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC ∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP=AP•CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF 是解题关键．7．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S 四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：5【考点】位似变换．【分析】四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，可知AD∥A′D′，△OAD∽△OA′D′，求出相似比从而求得S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´的值．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴AD∥A′D′，∴△OAD∽△OA′D′，∴OA：O′A′=AD：A′D′=1：3，∴S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´=1：9．故选：A．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．8．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m【考点】相似三角形的应用．【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x 的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：=，解得x=2.2，2.2﹣1.7=0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A ．= B ． =C ． =D ． =【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A 、B 的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C 、D 的正误．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴，∵=，∵=， 故A 、B 选项均错误；∵△ADE ∽△ABC ，∴==， =（）2=，故C 选项正确，D 选项错误．故选C ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选C．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．二、填空题11．若，则= ．【考点】比例的性质．【专题】常规题型．【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解．【解答】解：∵，∴﹣2=，=2+=，∴+1=+1，即=．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．【考点】相似三角形的性质．【分析】由一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，根据相似比等于对应边的比，即可求得答案．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，∴较小三角形与较大三角形的相似比k==．故答案为：． 【点评】此题考查了相似比的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记定义．14．在△ABC 中，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=24cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的周长为18cm ，则△A ′B ′C 各边长分别为 4cm ，6cm ，8cm ．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△A ′B ′C ′∽△ABC ，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△A ′B ′C ′∽△ABC ，∴△A ′B ′C ′的周长：△ABC 的周长=A ′B ′：AB ，∵在△ABC 中，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=24cm ，∴△ABC 的周长为：54cm ，∵△A ′B ′C ′的周长为18cm ，∴A ′B ′：AB=A ′C ′：AC=B ′C ′：BC=，∴A ′B ′=4cm ，B ′C ′=6cm ，A ′C ′=8cm ．故答案为：4cm ，6cm ，8cm ．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．如图，一束光线从点A （3，3）出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B （1，0），则光线从点A 到点B 经过的路径长为 5 ．【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．16．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC=2，OD=3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF=2，则AC 的长为 ．【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB ，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵EF 是△ODB 的中位线，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC ∥BD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴=，即=，解得AC=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， =，△ADE 的面积是8，则△ABC 的面积为 18 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是9：11 ．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE=x，S△BEF=a，∵CE=x，BE：CE=2：1，∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．∵S△BCD﹣S△BEF=S四边形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a=9x2﹣×3x•2x﹣，化简可求出x2=；∴S△AFD：S四边形DEFC=：=：=9：11，故答案为9：11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．三、解答题19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．【考点】比例线段．【分析】根据比例线段的定义得出=，即=，解之可得c．【解答】解：根据题意，=，即=，解得：c=3，答：线段c的长度为3dm．【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键．20．若=，求的值．【考点】比例的性质．【分析】首先由已知条件可得x=，然后再代入即可求值．【解答】解：∵=，∴8x﹣6y=x﹣y，x=，∴==．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】探究型．【分析】令=k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．【解答】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．24．（10分）（2012•富顺县校级模拟）某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】（1）易得△AMD∽△BMC，根据BC=2AD可得S△BMC=4S△AMD，据此可得种满△BMC的花费；（2）根据每平方米8元来看，△AMD面积为20平米方米，△BMC面积为80平方米，因此可以得出梯形的高也就是两三角形高的和为12米，那么可得梯形面积为180平方米，还有80平方米未种，800元未用，所以要选择每平方米十元的茉莉花．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMD：S△BMC=（10：20 ）2=1：4．∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m2，∴S△AMD=20m2，∴S△CMB=80m2，∴△BMC地带所需的费用为8×80=640（元）；（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h．∵S△AMD=×10h1=20，∴h1=4，∵S△BCM=×20h2=80，∴h2=8，∴S梯形ABCD=（AD+BC）•h=×（10+20）×（4+8）=180．∴S△AMB+S△DMC=180﹣20﹣80=80（m2），∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600（元），∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及应用；求得梯形的高是解决本题的难点；用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方．25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比即可得到结论；（2）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论；【解答】解：（1）∵，∴△ABC∽△DBE，∴△ABC的周长：△EBD的周长=，设△ABC的周长为5k，△EBD的周长为2k，∴5k﹣2k=60，∴k=20，∴△ABC的周长=100cm，△EBD的周长=40cm；（2）∵，∴△ABC∽△DBE，∴=（）2=，∵△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，∴S△ABC=812×=700．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？【考点】相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：由题意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河宽BD是13.6米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．。
2018---2019学年度第一学期北师大版九年级单元测试题第四章图形的相似
2018--2019学年度第一学期北师大版九年级数学单元测试题第四章图形的相似做卷时间100分满分120分班级姓名一．单选题（共10小题,每题3分，计30分）1. 如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A． B ． C． D．2. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A．3米 B ．0.3 C ．0.03 D．0.2米3. 如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A ．2cm 2B ．4cm 2C ．8cm 2D ．16cm 24. 如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 6.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是（ ）A ．24mB ．25mC ．28mD ．30m7. 如果△ABC ∽△DEF ，且相似比为21，那么△DEF 和△ABC 的面积比为（ ）A ．B ．C ．4D ．2 8. 如果，那么k 的值为（ ）A ．-1B ．21 C ．2或-1 D ．21或-1 9. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD 的长是（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．1cm10. 已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h 应为（ ）A ．2.7mB ．1.8mC ．0.9mD ．6m二．填空题（共7小题,每题4分，计28分）1. 同一时刻，身高2.26m 的姚明在阳光下影长为1.13m ；小林浩在阳光下的影长为0.64m ，则小林浩的身高为___________．2. 两个多边形相似，面积的比是1：4，一个多边形的周长为16，则另一个多边形的周长为___________．3. 若，则= ．4. 将一副三角板如图叠放，如OB=，则OD= .5. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA ＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．6. 如图，在□ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O，S△DOE =12cm2，则S△AOB等于 cm2.7. 如图、在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（水平距离）为6 米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为三．解答题（共7小题,计62分）1. 如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．2.在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．3. 如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．4. 如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均与小正方形的顶点重合．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．5. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)，(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．6. 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M. 求矩形的长与宽．7. 如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.(1)求证：△BDG∽△DEG；(2)若EG·BG＝4，求BE的长．---------答题卡---------一．单选题1. 答案： A1. 解释：分析：已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．解答：解：∵AB∥CD∥EF，∴．故选A．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．2. 答案： B2. 解释：分析：由题意可知，准星和靶是平行的，根据两三角形相似，对应边成比例列方程即可解答．解答：解：∵AA′∥BB′∴OA：OB=AA′：BB′∴解得：BB′=0.3米．故选B．点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程可求出偏离的距离．3. 答案： C3. 解释：分析：利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．解答：解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是32×=8cm2．故选C．点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形面积之比等于相似比的平方．4. 答案： B4. 解释：分析：三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形，可求出三边的长，即可得出．解答：解：原三角形的边长为：，2，．A中三角形的边长为：1，，．B中三角形的周长为：1，，．在，即相似；C中三角形的边长为：，，3．D中三角形的边长为：2，，．故选B．点评：本题考查相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形．5. 答案： C5. 解释：分析：先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．解答：解：根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，解得：y≈8cm．故选C．点评：本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．6. 答案： D6. 解释：分析：由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．解答：解：由题意得出：EP∥BD，∴△AEP∽△ADB，∴=，∵EP=1.5，BD=9，∴=解得：AP=5（m）∵AP=BQ，PQ=20m．∴AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30（m）．故选D．点评：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用．应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．7. 答案： C7. 解释：分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出两个相似三角形的面积比．解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为，∴△DEF和△ABC的面积比为22=4．故选C．点评：此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，要注意两个三角形的相似比与三角形的有先后顺序有关．8. 答案： D8. 解释：分析：分两种情况讨论．①a+b+c≠0，利用比例的等比性质得出；②a+b+c=0，利用分式的性质得出．解答：解：当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质得到：===k；当a+b+c=0时，a+b=-c，k===-1．因而k的值是或-1．故选D．点评：利用等比性质时，注意运用的条件：各式分母的和不等于0．9. 答案： D9. 解释：分析：根据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．解答：解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，依题意AB∥CD，∴OF⊥CD，∴OE=12，OF=2，而AB∥CD可以得△AOB∽△COD∵OE，OF分别是它们的高，∴，∴CD=1（cm）．故选D．点评：解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．10. 答案： A10. 解释：分析：如下图，根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=2.7m．故选A．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．二．填空题1. 答案： 1.28m．1. 解释：分析：由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得小林浩与影长构成的三角形与姚明和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得小林浩的高度．解答：解：∵光线是平行的，影长都在地面上，∴光线和影长组成的角相等；姚明和小林浩与影长构成的角均为直角，∴小林浩与影长构成的三角形和姚明和影长构成的三角形相似，设小林浩的身高为xm，，解得x=1.28．故答案为：1.28m．点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．2. 答案：另一多边形的周长为8或32．2. 解释：分析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再分周长为16的多边形是较大的多边形和较小的多边形两种情况讨论求解．解答：解：∵面积的比是1：4，∴相似比为1：2，（1）若周长为16的多边形是较大的多边形，则另一多边形的周长为16÷2=8，（2）若周长为16的多边形是较小的多边形，则另一多边形的周长为16×2=32．故另一多边形的周长为8或32．点评：本题主要考查相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，本题注意要分两种情况讨论．3. 答案： .3. 解释：.【解析】试题分析：先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解;∵，∴.∴.考点：比例的性质．4. 答案： 6.4. 解释：6.【解析】试题分析：根据题意得HO，BH的长，进而得出BC的长以及BD的长，即可得出DO的长．试题解析：过点O作OH⊥BC于点H，由题意可得：∠OBH=60°，则sin60°=，解得：OH=3，由BO=2，可得BH=，∵∠A=∠ACB=45°，∴HC=HO=3，∴BC=+3，∵∠D=30°，∴BD=2BC=6+2，∴DO=BC-BO=6．考点：相似三角形的判定与性质．5. 答案： 1∶25. 解释：1∶2【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA＝10 cm，OA′＝20 cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA∶OA′＝10∶20＝1∶2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA∶OA′＝1∶2.故答案为：1∶2.6. 答案： 486. 解释：48【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得AB∥DC，即可证得△AOB∽△DOE，再结合E为CD中点根据相似三角形的性质求解即可.解：∵□ABCD∴AB∥DC，AB=DC∴△AOB∽△DOE∵E为CD中点∴=12cm2∵S△DOE=48cm2.∴S△AOB考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.7. 答案：7. 解释：【解析】∵坡度为1：2，，且株距为6米，∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）．三．主观题1. 答案：证明见解析.1. 解释：证明见解析.【解析】试题分析：利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出，整理得出答案即可．试题解析：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AD•AC．考点：相似三角形的判定与性质．2. 答案：（1）作图见解析；（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．2. 解释：（1）作图见解析；（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．【解析】试题分析：（1）利用位似图形的性质和位似比为2，得出各对应点位置.（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．试题解析：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求.（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．考点：1.位似变换作图；2.点的坐标．3. 答案：（1）证明见解析；（2）CF的长度是169cm．3. 解释：（1）证明见解析；（2）CF的长度是169cm．【解析】试题分析：（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；（2）由△BEF∽△CDF，根据相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．试题解析：（1）在矩形ABCD中，由对称性可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）∵△BEF∽△CDF．∴，即，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．考点：相似三角形的应用．4. 答案：(1)如图；(2)4＋64. 解释：(1)如图；(2)4＋6【解析】解：(1)根据位似图形的性质，分别取线段OA、OB、OC中点A′、B′、C′，顺次连接A′、B′、C′、得到△A′B′C′如图；(2)因为小正方形的边长是1，由勾股定理得A′C′＝2，AC＝4，又A′A＝C′C＝2，所以四边形AA′C′C的周长＝4＋6.5. 答案：(1)如图(2)C2(1，0) 10 5. 解释：(1)如图(2)C2(1，0) 10【解析】解：(1)如图，△A1B1C1，即为所求，C1(2，－2)；(2)如图，△A2BC2即为所求，C2(1，0)，S△A2BC2＝6×4－×2×6－×2×4－×2×4＝24－6－4－4＝106. 答案：24 cm和12 cm6. 解释：24 cm和12 cm【解析】解：∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AM⊥HG，∴＝∵四边形HEDM为矩形，∴MD＝HE，∵HG＝2HE，设HE＝x，则HG＝2x，DM＝x，∴＝，解得x＝12，∴HG＝2×12＝24，∴矩形的长和宽分别为24 cm和12 cm.7. 答案：(1)见解析 (2)47. 解释：(1)见解析 (2)4【解析】(1)证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG.(2)解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，∴∠BDF＝45°＋22.5°＝67.5°，∠F＝90°－22.5°＝67.5°＝∠BDF，∴BD＝BF，∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC＝67.5°＝∠DEG，∴∠DGB＝180°－22.5°－67.5°＝90°，即BG⊥DF，∵BD＝BF，∴DF＝2DG，∵△BDG∽△DEG，BG·EG＝4，∴＝，∴BG·EG＝DG·DG＝4，∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4.。
北师大版九年级数学上册测试题：4图形的相似
单元测试(四) 图形的相似 (时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如果mn ＝ab ，那么下列比例式中错误的是( )A.a m ＝n bB.a n ＝m bC.m a ＝n bD.m a ＝b n2．(成都中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．(淮安中考)如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是( )A.83B.203C ．6D ．104．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ．12.36 cmB ．13.6 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm5．下列说法：①凡是正方形都相似；②凡是等腰三角形都相似；③凡是等腰直角三角形都相似；④位似图形都是相似图形；⑤两个相似多边形的面积比为4∶9，则它们的周长比为16∶81.其中正确的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．26．(宜昌中考)如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12 m ，由此他就知道了A ，B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A ．AB ＝24 m B ．MN ∥ABC ．△CMN ∽△CABD ．CM ∶MA ＝1∶27．如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( ) A ．∠E ＝2∠K B ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长等于六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL8．如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB.若NF ＝NM ＝2，ME ＝3，则AN 的长是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．(南通中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( )A ．1B ．2C ．122－6D ．62－610．如图，在钝角△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝12 cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1 cm/秒，点E 运动的速度为2 cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是( )A ．3秒或4.8秒B ．3秒C ．4.5秒D ．4.5秒或4.8秒二、填空题(每小题4分，共20分)11．若x ∶y ＝1∶2，则x －yx ＋y＝____________.12．如图，已知AD AB ＝DEBC，请添加一个条件，使△ADE ∽△ABC ，这个条件可以是____________．(写出一个条件即可)13．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是____________．14．(金华中考)如图，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距离的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E ，C ，F.若BC ＝2，则EF 的长是____________．15．(柳州中考)如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE.设△ACD ，△BCE ，△ABC 的面积分别是S 1，S 2，S 3，现有如下结论：①S 1∶S 2＝AC 2∶BC 2；②连接AE ，BD ，则△BCD ≌△ECA ；③若AC ⊥BC ，则S 1·S 2＝34S 23.其中结论正确的序号是____________．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)． (1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.17．(10分)(邵阳中考)如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离DC ＝20 m ，求旗杆的高度．18．(10分)(岳阳中考)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm ，球目前在E 点位置，AE ＝60 cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置． (1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．19．(10分)(大庆中考)如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，BC ＝1，点D 在边AC 上，且BD 平分∠ABC ，设CD ＝x.(1)求证：△ABC ∽△BCD ； (2)求x 的值．20．(12分)(淄博中考)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD.连接MF ，NF. (1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论；(2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．参考答案1．C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.A 11.－13 12.答案不唯一，如：∠D ＝∠B 等 13.(9，0) 14.5 15.①②③ 16．(1)图略．(2)图略．17．根据题意，得∠DEF ＝∠DCA ＝90°，∠EDF ＝∠ADC ，∴△DEF ∽△DCA.∴EF AC ＝DEDC .已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，DC ＝20 m ．∴0.25AC ＝0.520.解得AC ＝10.∵四边形BCDG 是矩形，∴BC ＝DG.而DG ＝1.5 m ，∴BC ＝1.5 m ．因此AB ＝AC＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m)．答：旗杆的高度是11.5 m.18．(1)证明：在矩形ABCD 中，由对称性可得出：∠DFC ＝∠EFB ，∠EBF ＝∠FCD ＝90°，∴△BEF ∽△CDF.(2)∵△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即130－60130＝260－CFCF.解得CF ＝169.即CF 的长度是169 cm.19．(1)证明：∵在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD＝36°.∵∠CBD ＝∠A ＝36°，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD.(2)∵∠A ＝∠ABD ＝36°，∴AD ＝BD.∵∠CBD ＝36°，∠C ＝72°，∴∠BDC ＝72°.∴BD ＝BC.∴AD ＝BD ＝BC ＝1.设CD ＝x ，则有AB ＝AC ＝x ＋1.∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC ＝BCCD ，即x ＋11＝1x ，整理，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(负值，舍去)，则x ＝5－12.经检验，x ＝5－12为方程的解．∴x ＝5－12. 20．(1)△BMN 是等腰直角三角形．∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC.∵AC ⊥BD ，∴∠AEB ＝90°.∴∠EAB ＋∠EBA ＝90°.又∵BN 平分∠ABE ，∴∠MNB ＝∠NAB ＋∠ABN ＝12(∠BAE ＋∠ABE)＝45°.∴△BMN 是等腰直角三角形．(2)△MFN ∽△BDC.理由：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM ∥AC ，FM ＝12AC.∵AC ＝BD ，∴FM ＝12BD ，即FM BD ＝12.∵△BMN 是等腰直角三角形，∴NM ＝BM ＝12BC ，即NM BC ＝12.∴FM BD ＝NM BC .∵AM ⊥BC ，∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°.∵FM ∥AC ，∴∠ACB ＝∠FMB.∵∠CEB ＝90°，∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°.∴∠CBD ＋∠FMB ＝90°.∴∠NMF ＝∠CBD.∴△MFN ∽△BDC.。
北师大九年级上《第四章图形的相似》单元评估检测试题(有答案)
2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元评估检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列说法中，正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的菱形都相似C.所有的矩形都相似D.所有的等腰直角三角形都相似2.在中，，，，则等于（）A. B. C. D.3.有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为，其中一条边的长度为．经测量，这条边的实际长度为，则这块草坪的实际面积是（）A. B. C. D.4.把一个矩形减去一个正方形，若所剩下的矩形与原矩形相似，原矩形长边与正方形的边长之比等于（）A.：B.C.：D.：5.冬日的某个下午，小芳和爸爸正在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．若小芳高，则她的影长为（）A. B. C. D.6.如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.7.如图，，与相交于点，那么在下列比例式中，正确的是（）A. B.C. D.8.在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（）A. B.C.或D.或9.如图，在平行四边形中，，连接交于点，若和四边形的面积分别记为，，则为（）A. B. C. D.10.如图直线，直线、分别交、、于、、、、、，且、、、则的长为（）1 / 6A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.垂直于地面的竹竿的影长为，其顶端到其影子顶端的距离为，如果此时测得某小树的影长为，则树高为________．12.如图，在中，，，，点在边上，且，过点作直线与边交于点，使截得的三角形与原三角形相似，则________．13.已知，且的面积是面积的倍，那么对应边的长度是长度的________倍．14.已知，则分式的值是________．15.如图，中，，且，________．16.如图，将缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点，连接，取的中点，再连接，，取它们的中点，得到，则与的面积之比是________．17.如图，在中，是上一点，连接．要使，则必须有________或________或________．18.如图，中，是边上一点，交于，若，，则的值为________．19.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于________． 20.如图所示，是一个平面镜，光线从点射出经过上的点反射后照射到点，设入射角为（入射角等于反射角），，，垂足分别为点，．若，，，则________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，网格图的每个小正方形边长均为．的顶点均在格点上．已知与是以为位似中心的位似图形，且位似比为．请在第一象限内画出；试求出的面积．2 / 622.如图，已知矩形中，是正方形，且矩形与矩形相似，求矩形的宽与长的比．23.如图，已知在中，，，求证：．24.如图，在中，，，，且．①求的长；②求证：．25.如图，在正方形中，是的钟点，与交于点．求证：；请求出与四边形的面积之比．3 / 626.正方形网格中，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．下图中的正方形网格中是格点三角形，小正方形网格的边长为（单位长度）．的面积是________（平方单位）；在图所示的正方形网格中作出格点和″″″，使，″″″，且、、″″中任意两条线段的长度都不相等；在所有与相似的格点三角形中，是否存在面积为（平方单位）的格点三角形？如果存在，请在图中作出，如果不存在，请说明理由．答案1.D2.A3.C4.A5.D6.A7.C8.D9.A10.C11.12.或13.14.15.16.17.18.19.20.4 / 621.解；如图所示：即为所求；的面积为：．22.解：∵矩形与矩形相似，∴，∴，即，∴，方程两边同除以得：解得：．…23.证明：∵，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴．24.解：①设，则∵，∴解得∴；②∵，∴即．∴．25.证明：∵四边形是正方形，∴，∴；解：∵是的中点，∴，设正方形的边长是，则的面积是，的面积是，，，，∴，∴四边形的面积，∴与四边形的面积之比是．26.解：；如图我们可以知道为，为，为长的两倍．且与是垂直的．若存在该三角形，命名为与相似．因为长为长的两倍所以长为长的两倍．，，5 / 6而是不可能由格点三角形构成，所以不存在．6 / 6。
新课标-最新北师大版九年级数学上学期专项训练：图形的相似综合测试题-精品试题
图1 图 2 图 3 图 4 C A D B A D E BC（满分120分 时间100分钟）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知x:y=2:3，则(x+y):y 的值为（ ）Ａ．2:5 Ｂ．5:2 Ｃ．5:3 Ｄ．3:52．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A ．菱形的各角扩大为原来的2倍B ．菱形的边长扩大为原来的2倍C ．菱形的对角线扩大为原来的2倍D ．菱形的面积扩大为原来的4倍3．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；③两个等边三角形一定相似；④任意两个矩形一定相似．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别是1和3，如果△ABC 与△A ′B ′C ′相似，那么△A ′B ′C ′的第三边长应该是( )A ．2B ．22 C ．26 D ．33 5．地图上的比例尺为1：200000，小明家到单位的图距为20cm ，小明骑自行车从单位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每小时( )A ．40000米B ．4000米C ．10000米D ．5000米6．两个相似三角形的最长边分别是35和14，它们的周长差是60，则大三角形的周长为（ ）A ．80B ．36C ．40D ．1007．如图1，已知D 、E 分别是△ABC 的的AB 、AC 边上的一点，DE ∥BC ，且△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为1:3，则AD: AB 为（ ）A ．1:4B ．1:3C ．1:2D ．2:38．如图2，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，腰BA 、CD 的延长线相交于M ，图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对9．如图3，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面半径为0.6米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ -）A ．0.36π米2B ．0.81π米2C ．2π米2D ．3.24π米2 10．如图4，△ACD ∽△ABC ，则下列式子：①CD 2= AD ·DB ；②AC 2= AD ·AB ；③CD AC =BDAB ．其中一定成立的有（ ）A ．3个B ．1个C ．2个D ．0个图7 A B C D E A C O D B 图 5Ａ Ｅ Ｂ Ｃ Ｄ图6 图8 A B E C D 图9A E DF CB 图10 二、填空题（每小题3分，共24分）11．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍．12．已知两个数2、12，请再写一个数，使其中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是 (只需填写一个数)． 13．如图5，已知OB=4，OA=8，OC=6，则当OD= 时，AC ∥BD ．14．如图6，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，且23AE AD AC AB ==，若DE=4，则BC= ．15．如图7，A 、B 两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE//AB ，则AB= 米．16．如图8，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线相交于P ，PF ⊥BC ，AD=3.6，BC=6，EF=3，则PF=_____．17．顶角为36º的等腰三角形为黄金三角形，如图9，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=_____（精确到0.001）． 18．如图10，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定 相似的三角形是 ． 19．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，以点A 为位 似中心把△ABC 放大2倍后得到△A 1B 1C 1，则∠B 1=_____º． 20．已知等边△A 1B 1C 1的边长为1，△A 1B 1C 1的三条中位线组成△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2的三条中位线又组成△A 3B 3C 3，…，以此类推，得到△A n B n C n ，则△A 3B 3C 3的边长为 ；△A n B n C n 的边长为 ．（其中n 为正整数）三、解答题(共60分)21．(8分) 如图11，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= º，BC= ；（2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并证 明你的结论．22．(8分)如图12，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E ，若AD ∶DB=2∶3，AC=15，求DE 的长．图12 AD E B CA BF E D C 图11Q D A C B P图1423．(10分) 一天晚上，身高1.6米的小明站在路灯下，发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的影子恰好是5块地砖的长，根据这个发现，他就算出了路灯的高度，你知道他是怎么算的吗？24．(10分)阅读下列短文：图13-1所示的是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．解：长方体(甲)的体积是3a ·3b ·3c=33abc ， 长方体(乙)的体积是5a ·5b ·5c=53abc ，所以长方体(甲)与长方体(乙)的体积的比是33abc ∶53abc ＝33∶53=(3︰5)3，所以，相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．请仿上例解答下题：鱼是一种高蛋白食物，所以谁都希望买到价廉物美的鱼．假定现在市场上出售同一种鱼(体形是相似形)，以大小论价，大鱼A 每斤1.5元，小鱼B 每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图13-2所示)，那么买哪种鱼更便宜呢？25．(12分) 如图14，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？图13-23a 3 b3c 5a 5 b 5c 图13-1 (甲) (乙)图15-1 图15-2 D F E B C A M D A C B F E G H E C A O D B P26．(12分) 有一块两条直角边BC 、AC 的长分别为3厘米和4厘米的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个面积尽最大的正方形，甲、乙两位师傅加工方案分别如图15-1和图15-2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）．参考答案一、1．C 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B二、11．5，25 12．26 13．3 14．6 15．80 16．7.5 17．0.38218．△DEF 19．72º 20．41，121-n 三、21．解：（1）135，22；（2）△ABC ∽△DEF ．证明：由图可知∠FED=∠ABC=135º，因为AB=2，BC=22，EF=2，DE=1211+=2，而EF BC =2，DE AB =2，即EF BC =DEAB ，所以△ABC ∽△DEF ． 22．解：因为AD ∶DB=2∶3，所以AD ∶AB=2∶5．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE ∶AC= AD ∶AB=2∶5．因为AC=15，所以AE=6．因此CE=9．易证CE=DE ，所以DE=9． 23．解：根据意，画出示意图．其中身高AB=CD=1.6米，影长AC=2米，CE=2.5米，设路灯的高度为x 米．因为OP ∥AB ，所以△ABC ∽△OPC ，所以AB OP =AC OC ，即6.1x =2OC ，则OC=45x ．因为OP ∥CD ， 所以△CDE ∽△OPE ，所以CD OP =CE OE ，即6.1x =5.2OE ，则 OE=1625x ．又因为OE －OC= CE ，所以1625x －45x=2.5，解得x=8．所以路灯的高度为8米．24．解：A 与B 相似比为13∶10， A 与B 体积之比197.210002197101333==．而其价格比是1.5∶1=1.5， A 的体积是B 的2.197倍，买大鱼A 比买小鱼B 合算．25．解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ= t ，QA=6－t ．显然，当QA= AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6－t=2t ，解得t=2．所以当t 为2秒时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）△QAC 的面积=21QA ·DC=21·(6－t)·12=36－6t ．△APC 的面积=21AP ·BC=21·2t ·6=6t ．所以四边形QAPC 的面积=△QAC 的面积+△APC 的面积=36－6t+6t=36(平方厘米)．由计算结果发现在P 、Q 移动过程中，四边形QAPC 的面积保持不变．（3）应分两种情况讨论： ①当AB QA =BC AP 时，△QAP ∽△ABC ，则126t -=62t ，解得t=1.2．所以当t 为1.2秒时，△QAP ∽△ABC ； ②当BC QA =AB AP 时，△PQA ∽△ABC ，则66t -=122t ，解得t=3．所以当t 为3秒时，△PQA ∽△ABC ．26．解：如图15-1，设正方形边长为x 厘米，则AD=4－x ．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ACB ，所以AC AD =BC DE ，即34x -=3x ．所以x=712．所以正方形CDEF 的面积=(712)2平方厘米．如图15-2，设正方形边长为y 厘米，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，交DE 于M ．因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB ，所以AB DE =CHCM ，因为AB=5243+=5．又AC ·BC=AB ·CH ，所以CH=543⨯=512，CM=CH －y=512－y ．所以5y =512512y -，所以y =3760．所以正方形DEFG 的面积=(3760)2．因为712＞3760，所以(712)2＞(3760)2，所以甲师傅加工的方案符合要求．。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》单元测试卷及答案解析
北师大版九年级数学上册《图形的相似》单元测试卷一、选择题1、用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）A．各边的长度B．各内角的度数C．五边形的周长D．五边形的面积2、如图,在△ABC中,AD、BE是两条中线,则的值为( )A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4（第2题图）（第5题图）（第6题图）3、已知a：b：c=4：3：2，且a+3b-3c=14，则4a-3b+c的值是( )A．8 B．10 C．16 D．184、如图,小正方形的边长均为1，则图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．A B．B C．C D．D5、如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)6、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=( )A．B．C．D．17、已知，则的值为（）A．B．C．D．8、如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是（）A．6米B．8米C．10米D．12米二、填空题9、（在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是_____千米．10、如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN 的长为____．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11、如图，若△ADE∽△ACB，且，DE＝10，则BC＝______．12、如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端C、A与O点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆AB的高为________m．13、如图，在△ABC中，，BE、AD分别是边AC、BC上的高，，，那么___________.（第13题图）（第14题图）（第15题图）14、如图，已知，分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且，如果，，，那么_________.15、如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若∆PAE与∆PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个.16、已知：如图，矩形ABCD中，BC边上有一动点M,∠AMN=90°,AB=3，BC=4，CN=1，当BM=_______________,△ABM相似于△MCN。
北师大版(2019)九年级数学上册第四章图形的相似同步检测试卷
北师大版（2019）九年级数学上册 第四章图形的相似同步检测试卷4.1 成比例线段（1）一、选择题.1.下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a=2，b=3，c=2，d=3B.a=10，b=5，c=4，d=6C.a=2，b=5，c=23，d=15D.a=2，b=3，c=4，d=1 2.已知2x=3y ，则下列比例式成立的是 （ ）A.32y x = B. 32=y x C.23yx = D.y x 32= 二、填空题.3.已知P 是直线AB 上的一点，且AP ：PB ＝3：5，则AB ：PB ＝ .4.已知DCBDEA BF =，且BD=3,DC=6,EA=4,则BF ＝ . 5.已知三个数1，2，3，请你添加一个数，使它们构成一个比例式，则这个 数是 . 三、解答题：6.在某市城区地图（比例尺1：9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 和10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？7.已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，c ＝9 cm ，求线段d 的长.4.1 成比例线段（2）一、选择题.1．已知2x ＝3 y ＝4z ，则x ：y ：z 是 ( )A ．2：3：4B ．4：3：2C ．7：6：5D ．6：4：3 2．已知k cba b c a a c b =+=+=+，则k 的值是 ( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．无法确定 二、填空题.3. 已知32=b a ，则b ba += .4. 若753zy x ==,则32x y z x y -++= .5. 若2===f ed c b a ，且23a b c ++=4,则23b d f ++= . 6.若235c b a＝＝，且8＝＋－c b a ，则a ＝ .三、解答题：7.（1）已知2=b a ，求a ab +； （2）已知25=b a ，求ba b a +-.8.已知151110ac c b b a +=+=+，求a :b :c .4.2平行线分线段成比例一、选择题.1. 如图1，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且AH=13AD ，AC 和BH 交于点K ， 则 AK:KC 等于（） A. 1:2B. 1:1C. 1:3D. 2:32.如图2，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，DE//BC,下列结论中，正确的是（） A. AD AC AE AB ⋅=⋅ B. AD AE EC DB ⋅=⋅ C. AD AB AE AC ⋅=⋅D. BD AC AE AB ⋅=⋅二、填空题.3.如图3，△ABC 中， DE ∥BC ，23AD AE =,AB=6，则AC= 4 . 4.如图4，1l ∥2l ∥3l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝ ，CN ＝ .三、解答题：图4A H DKB CAB CD E图1 图3图2图56.如图5，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：AF·BD ＝ AD·FD4.3相似多边形一、选择题.1.下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是45°的两个等腰三角形C. 有一个角是100°的两个等腰三角形D.两个对角线相等的菱形2.下列各组图形中相似的图形是（）A.对应边成比例的多边形B.四个角都对应相等的两个梯形C.有一个角相等的两个菱形D.各边对应成比例的两个平行四边形二、填空题.3.六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，∠B=1020，则∠B1＝.4.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是．三、解答题：5.以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，求新正方形与原正方形的相似比.6.已知矩形草坪长30 m，宽20 m，沿草坪四周外围有5m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？4.4探索三角形相似的条件（1）一、选择题.1.如图，D、E、F、G四点在△ABC的三边上，其中DG与EF相交于点H．若∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝50°，则下列三角形相似的有( )对A．2 B．4 C．5 D．62.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为 ( )A．1 B． 2 C．3 D．43.下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一边对应相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题.4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC＝∠ACB，则△____∽△_______，若AC＝4，AD＝2，则DB＝_______．.三、解答题：5.如图在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°,CD⊥AB于D.（1）请直接写出图中所有的相似三角形（2）你能得出AC2=AD·AB吗？为什么?6.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE 的长．4.4探索三角形相似的条件（2）一、选择题.1．如图,在△ABC 中，点D 在边AC 上，下列条件中，能判断△BDC 与△ABC 相似的是 ( ) A ．AB ·CB=CA ·CD B ．AB ·CD=BD ·BC C ．BC 2=AC ·DC D ．BD 2=CD ·DA2．△ABC 如图所示，则下列各个三角形中，与△ABC 相似的是 ( )3．如图，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是 ( ) A ．BC DE AC AE = B.∠B=∠ADE C. ∠EDC=∠A+ ∠C D. ABACAD AE =二、填空题.4．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若BC=4 cm ，则DE= cm ．三、解答题：5．如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC =3 cm ．(1)在A B 上取一点D （D 不与A 、B 重合），当AD=_________cm 时，△ACD ∽△ABC ． (2)在AC 的延长线上取一点E ，当CE=________cm 时，△AEB ∽△ABC ．此时BE 与DC 有怎样的位置关系?为什么?6．已知：如图，AE 2=AD ·AB ，且∠ABE=∠ACB ．证明：（1）△ADE ∽△AEB ；（2）DE ∥BC ；（3）△BCE ∽△EBD ．4.4探索三角形相似的条件（3）一、选择题.1.下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是 ( )2.已知△ABC 的三边长分别为1、3、2，△A′B′C′的两边长分别为2和6．DBEAC如果△ABC ∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边为 ( )A ．2B ．22 C ．26D ．23．下列说法中，不正确的是 ( ) A.两角对应相等的两个三角形相似 B.两边对应成比例的两个三角形相似C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似D.三边对应成比例的两个三角形相似 二、填空题.4.在△ABC 中，AB=4，BC=5，AC=6．如果DE=8． 那么当EF= ，DF= 时，△ABC ∽△DEF ．5.在△ABC 中，AB=6，AC=8，在△DEF 中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF 相似， 需添加的一个 条件是(写出一种情况即可)． 三、解答题：6.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在单位 正方形的顶点上．请在图中画一个△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1∽△ABC (相似比不为1)，且点A 1、B 1、C 1都在单位正方形的顶点上．4.4探索三角形相似的条件（4）一、选择题.1.如右图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 （ ）A. ①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④二、填空题.2.一支铅笔长16 cm ，把它按黄金分割后，较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色，那么橘红色部分的长是 cm ，浅蓝色部分的长是 cm.三、解答题：3.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），若AB ＝6cm ，求AC 的长度和AB AC的值.4.如图，在下列每个图形中（每个图形都各自独立），是否存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．*4.5相似三角形判定定理的证明（选学）解答题： 1.如图，BCAEAB DE AC AD ＝＝. 求证：AB=AE .2.如图，在△ABC 中（∠B ≠∠C ），AB =8cm ，BC =16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由.3.如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm /s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．C D4.6利用相似三角形测高一、选择题.1.小刚身高1.8m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.9m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.2m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.7mC ．0.6mD ．2.2m2.如图1，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC 、 BC 分别取其三等分点M 、N.量得MN ＝38m ．则AB 的长是 （ ）A ．152mB ．114mC ．76mD ．104m 二、填空题.3.高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长8 m ，此时测得附近一个 建筑物的影长24 m ，则该建筑物的高是 m.4.旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米， 如果此时附近的小树影子长3米，那么小树高是 米. 三、解答题：5. 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC=1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房MN 的高度. （精确到0.1m ）．图16.阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子。
2018年北师大九年级数学上册《第四章图形的相似》测试卷及答案
2018-2019学年九年级数学上册第四章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分)1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）2．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶16 3．若x y ＝13，则x ＋y y＝（ ）A ．4∶3B ．1∶4C ．2∶3D ．4∶14．在比例尺为1∶10000的地图上，相距4cm 的A 、B 两地的实际距离是（ ） A ．400m B ．400dm C ．400cm D ．400km5．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m第5题图第6题图6．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB BC＝23，DE ＝4，则EF 的长是（ ） A.83 B.203C ．6D ．10 7．两个相似三角形对应角平分线的比为2∶3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（ ）A ．8和12B ．9和11C ．7和13D ．6和148．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ）A ．4B ．7C ．3D ．12第8题图9. 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)第9题图第10题图第11题图10．如图，已知矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝BE ，那么BC 与AB 的比值是（ ） A.1＋22 B.1＋32 C.1＋52 D.1＋6211．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC.AP AB ＝AB ACD.AB BP ＝AC CB12．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上一点，连接AE 、BD 交于F ，若S △DEF ∶S △ABF＝1∶9，则DE ∶EC ＝（ ）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶9D ．2∶1第12题图第13题图第14题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD AC ＝AE AB ＝12，∠BAC 的平分线分别交DE ，BC 于点N ，M .则ENBM的值为（ ） A.12 B.13 C.25 D.3514．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ，使斜边DE 所在的直线经过点A .测得边DF 离地面的高度为1m ，点D 到AB 的距离等于7.5m.已知DF ＝1.5m ，EF ＝0.6m ，那么树AB 的高度等于（ ）A ．4mB ．4.5mC ．4.6mD ．4.8m15．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB .其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个第15题图第16题图二、填空题(每小题5分，共25分)16．已知图中的两个三角形相似，则x ＝ .17．如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为 .第17题图18．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．19．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A 、E 、C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为 .第19题图第20题图20．如图，在三角形ABC 中，AB ＝24，AC ＝18，D 是AC 上一点，AD ＝12，在AB 上取一点E ，使以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE ＝ .三、解答题(共80分)21．(8分)已知a b ＝15，求2b －a 3a 的值．22．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，1)，B (－1，4)，C (－3，2)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为1∶2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 2B 2C 2，并直接写出C 2点坐标；(3)如果点D (a ，b )在线段AB 上，请直接写出经过(2)的变化后D 的对应点D 2的坐标．24．(12分)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．25．(12分)如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.(1)若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；(2)若DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．26．(14分)如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD 并延长交CE于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．27．(16分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：(1)CG＝BH；(2)FC 2＝BF ·GF ； (3)FC 2AB 2＝GF GB.上册第四章检测卷1．D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9．A 10.C 11.D 12.A 13.A 14.A15．B 解析：∵BE ，CD 是△ABC 的中线，即D ，E 是AB 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB .∴S △DOE S △COB ＝⎝⎛⎭⎫DE BC 2＝14，OE OB ＝DE BC ＝AD AB ＝12，可知①正确，②错误，③正确．故选B. 16．22 17.9518.(105－10) 19.5.1m20．16或9 解析：∠A 是公共角，△AED 与△ABC 相似分两种情况：①AD 与AC 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AB ＝AD AC ，即AE 24＝1218，解得AE ＝16；②AD 与AB 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AC ＝AD AB ，即AE 18＝1224，解得AE ＝9，∴AE ＝16或9.21．解：∵a b ＝15，∴b ＝5a ，(3分)则2b －a 3a ＝2×5a －a 3a＝3.(8分)22．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1，∠D 和∠D 1，∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.(3分)由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(5分)(2)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15 cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)23．解：(1)如图所示，C 1(3，2)；(3分)(2)如图所示，C 2(－6，4)；(6分) (3)D 2的坐标是(2a ，2b )．(10分) 24．(1)证明：∵∠EFG ＝∠DFG ，∠BFG ＝∠CFG ＝90°，∴∠EFB ＝∠DFC .(3分)∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF ；(5分)(2)解：∵△BEF ∽△CDF ，∴BE DC ＝FB FC .(7分)设CF ＝x cm ，则105140＝280－xx ，解得x ＝160.(11分)∴CF 的长为160cm.(12分)25．解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝48＝12，(3分)∴DE ＝12EF ＝6；(5分) (2)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝23，(8分)∴BC ＝32AB ＝32×6＝9，(10分)∴AC ＝AB ＋BC ＝6＋9＝15.(12分)26．(1)证明：在等边△ABC 中，∠ACB ＝∠A ＝60°，∴∠ACF ＝120°.∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE ＝12∠ACF ＝60°，∴∠A ＝∠ACE .(4分)又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ；(6分)(2)解：∵△ABD ∽△CED ，AD ＝2CD ，∴AB CE ＝AD CD ＝2，∴CE ＝12AB ＝3.(8分)如图，过E 作EG ⊥BF 交BF 于点G ，在Rt △CEG 中，∠ECG ＝60°，CE ＝3，∴CG ＝32，由勾股定理得EG ＝332.(11分)在Rt △BEG 中，BG ＝BC ＋CG ＝6＋32＝152，∴BE ＝BG 2＋EG 2＝⎝⎛⎭⎫1522＋⎝⎛⎭⎫3232＝63＝37.(14分)27．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AE ，∴AB ＝BC ，∠ABH ＋∠BAH ＝∠ABH ＋∠GBC ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG .(3分)∵CG ∥AE ，∴∠AHB ＝∠BGC ＝90°，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH ；(6分)(2)∵△BCF 是直角三角形，CG ⊥BF ，∠CFG ＝∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ，(8分)∴CFBF ＝FGFC，∴FC 2＝BF ·GF ；(10分) (3)∵∠BGC ＝∠BCF ＝90°，∠CBG ＝∠FBC ，∴△BCG ∽△BFC .(12分)∴BC BF ＝BGBC，即FC2 AB2＝FC2BC2＝BF·GFBG·BF＝GFBG.(16分BC2＝BG·BF.(14分)由(2)得FC2＝BF·GF，∴。
北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：图形的相似(含答案)
期末备考压轴题专项习题：图形的相似1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．（1）证明：∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△AED∽△BCE．（2）∵△AED∽△BCE，∴＝，∵AE＝EB，∴AE2＝AD•BC＝36，∴AE＝EB＝6，∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，∴CD＝＝＝15．2．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB．（1）证明：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，BD＝6，求边AC的长．（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB．（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝2×8＝16，∵AC＞0，∴AC＝4．3．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，且AF＝3DF，BF与CD的延长线交点E．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB；（2）在▱ABCD中，AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，又∵△ABF∽△CEB，∴△ABF∽△DEF，∵AF＝3DF，△DEF的面积为1，∴S＝9，△ABF∵AD＝BC＝4DF，∴S＝16，△CBE∴▱ABCD的面积＝9+15＝24．4．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∵∠BEF＝90°，∵∠ABE+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3，∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝，解得：DE＝2，∵AD∥BC，∴△EDF∽△GCF，∴＝，即＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．5．已知：如图，在三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△ABE～△ACD；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．（1）证明：∵∠ABE＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD；（2）证明：∵∠ABE＝∠ACD，∠BGD＝∠CGE，∴△BGD∽△CGE，∴＝，∴＝，又∵∠DGE＝∠BGC，∴△DGE∽△BGC，∴∠GBC＝∠GDE，∵BE平分∠ABC，∴∠GBC＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠GDE＝∠ACD，∴DE＝CE．6．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，＝，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，点E在CB延长线上，且AE＝AC．（1）求证：△AEB∽△BCO；（2）当AE∥BD时，求AO的长．解：（1）∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠E＝∠ABD，∴∠EAB＝180°﹣∠E﹣∠ABE，∠OBC＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD，∴∠EA B＝∠OBC，∴△AEB∽△BCO；（2）过A作AF⊥BC于F，过O作OG⊥BC于G，∵AE∥BD，∴∠E＝∠DBC，∠EAB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ACE，∵∠OBC＝∠EAB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∵tan ∠ABD ＝tan ∠ACB ＝＝＝，∵AC ＝10，∴AF ＝6，CF ＝8，∵AE ＝AC ，∴EC ＝2CF ＝16， ∵∠EAB ＝∠ACE ，∠E ＝∠E ，∴△AEB ∽△CEA ，∴＝，∴＝，∴BE ＝，∴BC ＝EC ﹣BE ＝16﹣＝，∴CE ＝BC ＝，∵AF ⊥BC ，OG ⊥BC ，∴OG ∥AF ，∴＝，∴＝，∴AO ＝．7．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当t＝4时，PC＝4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴＝，即＝，解得：BH＝6，∴AE＝BH＝6，∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，∴点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴＝，∴＝，∴AE＝t，当点P在点O上方时，如图2所示：若＝时，△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，∴＝，解得：t1＝，t2＝（舍去），∴OP＝3﹣＝，∴P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：①若＝，则△OPE∽△ABE，＝，解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，P的坐标为（0，﹣），②若＝，则△OEP∽△ABE，＝，整理得：t2＝﹣9，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．8．如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域．（2）当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？解：（1）由题意得：y1＝2t（0≤t≤6），y2＝16﹣t（0≤t≤16）；（2）当0≤t≤6时，①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC，∴＝，∵AB＝16cm，AC＝12cm，AP＝2tcm，AQ＝（16﹣t）cm，∴＝，解得：t＝，②∵∠A＝∠A，若∠AQP＝∠C，则有△AQP∽△ACB∴＝，∴＝，解得：t＝6.4（不符合题意，舍去）；当6≤t≤16时，点P与C重合，∵∠A＝∠A，只有当∠AQC＝∠ACB时，有△AQC∽△ACB，∴＝，∴＝，解得：t＝7，综上所述：在0≤t≤6中，当t＝时，△AQP∽△ABC，在6≤t≤16中，当t＝7时，△AQC∽△ACB．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．（1）求证：△AEF∽△BDF；（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF．（2）解：∵△AEF∽△BDF，∴＝＝＝，∵DF+EF＝9，∴EF＝3，DF＝6，∴BF＝＝＝10，AF＝＝＝5，∴AD＝5+6＝11，∴AB＝＝＝∵＝，∴＝，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD，∴＝，∴＝，∴DE＝．10．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE与BD相交于点F．（1）△ADF与△EBF相似吗？请说明理由；（2）如果E是BC的中点，那么AF与EF有怎样的数量关系？为什么？解：（1）结论：△ADF∽△EBF．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，∴△ADF∽△EBF．（2）结论：AF＝2EF．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BE∵BE＝EC，∴AD＝2BE，∴＝＝2，∴AF＝2EF．11．如图，在▱ABCD中，G是DC的延长线上点，AG分别交BD和BC于点E、F．若AB ＝12，AE＝8，CG＝3．（1）求证：△GDA∽△ABF；（2）求EF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠AGD＝∠F AB，∠DAG＝∠BF A，∴△GDA∽△ABF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，AB∥CD，∴DG＝CD+CG＝12+3＝15，∠AGD＝∠EAB，∵∠DEG＝∠BEA，∴△DEG∽△BEA，∴＝，即：＝，解得：GE ＝10，∴AG ＝AE +GE ＝8+10＝18，∵△GDA ∽△ABF ，∴＝，即：＝，解得AF ＝，∴EF ＝AF ﹣AE ＝﹣8＝． 12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BE 、CD 交于点O ，OC ＝3OD ，OB ＝3OE ．（1）如果AE ＝6，求AC 的长；（2）如果△ADE 的面积为1，求△BDE 的面积．解：（1）∵OC ＝3OD ，OB ＝3OE ，∴＝＝，∴DE ∥BC ，∴＝＝，△ADE ∽△ABC ，∴＝＝，∵AE ＝6，∴AC ＝18．（2）∵＝＝，∴AD ：DB ＝1：2，∴S △BDE ＝2S △ADE ＝2．13．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．（1）求证：ME2＝MC•MB；（2）如果BA2＝BD•BE，求证：（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∵DM＝ME，∴AM＝MD＝ME，∴∠MAD＝∠MAD，∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠MAC＝∠B，∵∠AMC＝∠AMB，∴△AMC∽△BMA，∴＝，∴AM2＝MC•MB，∵ME＝MA，∴ME2＝MC•MB．（2）证明：∵△MAC∽△BMA，∴＝，∴＝，∴＝，∵AB2＝BD•BE，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BEA，∴∠BAD＝∠E，∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△BMA，∴＝，∴AB2＝BC•BM，∴＝＝．14．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的一点，点E是AC的中点，EF∥AB，EG∥BD，FG与AC交于点Q．（1）求证：△FEG∽△ACD；（2）求证：＝．（1）证明：∵点E是AC的中点，EG∥BD，EF∥AB，∴EG∥CD，EG＝CD；EF∥AB，EF＝AB∵AB＝AC∴EG＝CD，EF＝AC∴＝∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∵EF∥AB，EG∥CD∴∠FEC＝∠BAC，∠GEC+∠DCA＝180°∴∠FEG＝∠FEC+∠GEC＝180°﹣2∠ACB+180°﹣∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣（∠ACB+∠ACD）＝360°﹣180°﹣∠ACB＝∠ACD∴△FEG∽△ACD；（2）证明：∵△FEG∽△ACD∴∠FGE＝∠ADC∵EG∥BD∴∠FGE＝∠QFC∴∠ADC＝∠QFC又∵∠B＝∠ACB∴△QFC∽△ADB∴＝∵AB＝AC∴＝．15．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，当∠BCD＝40°时，CD为△ABC的完美分割线；（2）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．解：（1）当∠BCD＝40°时，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；故答案为：40°；（2）∵△BCD∽△BAC，∴＝，∵AC＝AD＝2，BC＝，设BD＝x，则AB＝2+x，∴＝，解得x＝﹣1±，∵x＞0，∴BD＝x＝﹣1+，∵△BCD∽△BAC，∴＝，∵AC＝2，BC＝，BD＝﹣1+∴CD＝2×＝﹣，如图3，∵△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴AB＝2，∵△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴CD＝1，综上所述，CD的长为或1．。
2018-2019北师大版九年级数学上册第四章图形的相似强化练习(3套)
第四章 图形的相似（3套）第一套一．选择题1．下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122．如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3.已知135＝a b ，则ba b a ＋－的值是（ ） A. 32 B. 23 C. 49 D. 94 4.右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD ，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm5.如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )6.如图，直线1l ∥2l ∥3l ,直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F .AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DE EF的值为（ ） A. 12 B. 2 C. 25 D. 357.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为， 点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2）23833258 A6．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD于点F ，则EF ：FC 等于（ ）A.3：2B. 3：1C. 1：1D. 1：29．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）A ．：B ．2：3C ．4：9D ．8：2710．在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题1.如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=________,BN ∶NC=________2.若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________3.已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，则CD 2=________4.把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.5.Rt △ABC 中，∠C=90°,CD 为斜边上的高。
2018-2019学年度九年级数学上册 第4章 图形的相似单元测试卷 (新版)北师大版
第四章相似三角形考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.已知，则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.2.已知，下列说法中，错误的是（）A. B.C. D.3.数学课外活动小组为测量学校旗杆的高度，在同一时刻，测得一标杆的高为米，其影长为米，此时旗杆的影长为米，则旗杆的实际高度为（）A.米B.米C.米D.米4.若线段是和的比例中项，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（）A.，B.，C.，D.，6.如图有组图形，每组中有两个图形，其中位似图形是（）A.①④⑥B.②④⑤C.①②⑤D.①③⑥7.如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆长为米，测得米，米．则楼高是（）A.米B.米C.米D.米8.某品牌的书包按相同折数打折销售，如果原价元的书包，现价元，那么原价元的书包，现价是（）A.元B.元C.元D.元9.如图，中，，，若，则A.B. C. D.10.下列条件中，能判定的有（）①，，，，，；②，，，，，；③，，，，，．A.个B.个C.个D.个二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.请指出图中从图到图的变换是________变换．12.线段是线段，的比例中项，且，，则________．13.如图，在中，，，则图中的相似三角形共有________对．14.如图，在中，，，，，则________．15.把一个矩形的各边都扩大倍，其面积扩大________倍．16.如图，，，，则________．17.如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，长为，则的长为________．18.两个相似三角形的周长比是，那么这两个三角形的相似比是________．19.如图，已知中的，则放大镜下中________度．20.如图，路灯（点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（点）米的点，沿所在的直线行走米到点时，身影的长度变短了________米．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，在和中，已知，，求证：．22.已知的三边长分别为，，，两边的长分别为，，且与相似，求的第三边．23.如图，在中，、两点分别在、两边上，，，，，求的长．24.如图，将一副三角板按图叠放，则与相似吗？请说明理由．25.一位同学想利用树影测树高．在某一时刻测得的竹竿的影长为，但当他马上测树影时，发现影子不全落在地上，一部分落在了附近的一幢高楼上（如图）．于是他只得测出了留在墙上的影长为，以及地面部分上的影长为．请你帮他算一下树高到底有多高．26.阅读下面材料：如图，在中，是边上的点（不与点、重合），连结．当点是边上的中点时，________；如图，在中，点是线段上一点（不与点、重合），且，连结、，求的值（用含的代数式表示）；如图，是线段上一点（不与点、重合），连结并延长交于点，连结并延长交于点，补全图形并直接写出的值．答案1.B2.C3.B4.C5.A6.A7.D8.C9.D10.C11.相似12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.证明：如图，∵，∴，即．又∵，∴．22.解：∵的三边长分别为，，，两边的长分别为，，且与相似，∴相似比为：，∴，解得：，∴的第三边为．23.解：在和中，∵，∴∴∴24.解：．∵，∴，∴，∴．25.解：如图：设树高为米，过作于，则有，，解得．故树高有．26.；如图，作于，作于，∴．∴，∴．∵；∴，∵，∴．．理由：∵，同理：，，∴．。
2018-2019学年北师大版初三数学上册图形的相似全章复习巩固练习含解析基础篇
《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B．C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3B．8，6C．4，3D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B．C．D．5．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：66. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3A．9B．10C．12D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. 在□ABCD中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______， △CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。
2019秋北师大版九年级数学上册：专项综合全练(二)图形的相似含答案
专项综合全练(二)图形的相似类型一相似三角形的判定与性质的综合应用1.如图4-10-1,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为()图4-10-1A.2B.3C.4D.5答案 B ∵AF⊥BF,∴∠AFB=90°.∵AB=10,D为AB的中点,∴DF=AB=AD=BD=5,∴∠ABF=∠BFD.又∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠CBF=∠BFD,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,即=,解得DE=8,∴EF=DE-DF=3.2.如图4-10-2,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且EF∥BD,AE、AF分别交BD于点G、H,BD=12,EF=8.求:(1)的值;(2)线段GH的长.图4-10-2解析(1)∵EF∥BD,∴∠CEF=∠CBD,∠CFE=∠CDB,∴△CEF∽△CBD,∴=.∵BD=12,EF=8,∴==,∴=.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∴=.(2)∵DF∥AB,∴∠HDF=∠HBA,∠HFD=∠HAB,∴△HDF∽△HBA,∴==,∴=.∵HG∥EF,∴∠AGH=∠AEF,∠AHG=∠AFE,∴△AHG∽△AFE,∴==.∵EF=8,∴GH=6.类型二相似三角形在生活中的应用3.图4-10-3是一个铁夹的侧面示意图,OA,OB表示铁夹的两个面,C是连接铁夹两个面的轴上一点,CD⊥OA于点D,已知DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,我们知道铁夹的侧面是轴对称图形,请求出A、B两点间的距离.图4-10-3解析作出示意图.连接AB,OC,并延长OC交AB于点E.∵夹子的侧面是轴对称图形,OE所在直线是对称轴,∴OE⊥AB,AE=BE,∵∠COD=∠AOE,∠CDO=∠AEO=90°,∴△OCD∽△OAE,∴=,在Rt△OCD中,OC===26(mm),∴=,∴AE=15(mm),∴AB=2AE=30(mm).答:A、B两点间的距离为30mm.4.如图4-10-4,已知边长为2m的正方形铁架DEFG正上方有一盏灯泡A,测得铁架左、右两边的影长分别为BE=6m,CF=4m,试求灯泡距地面的高度.图4-10-4解析因为四边形DEFG为正方形,所以DG∥BC,所以∠ADG=∠B.因为∠DAG=∠BAC,所以△ADG∽△ABC.过点A作AH⊥BC交BC于点H,交DG于点K,设AH=x m,因为=,所以=,x=2.4,经检验x=2.4是所列方程的根,所以灯泡距地面的高度为2.4m.类型三分类讨论思想5.点P是△ABC中AB边上的一点,过P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似,满足这样条件的直线最多有几条?请分别画出来.解析第一种情况如图①,过点P作PD∥BC.因为一条直线平行于三角形的一边,且与三角形的另两边相交,则所得三角形与原三角形相似,即△APD∽△ABC.第二种情况如图②,以PA为角的一边,在△ABC内作∠APE=∠C.因为△APE与△ACB中还有公共角∠A,所以△APE∽△ACB.第三种情况如图③,过点P作PF∥AC,则△BPF∽△BAC,理由同第一种情况.第四种情况如图④,作∠BPG=∠C,则△BPG∽△BCA,理由同第二种情况.6.如图4-10-5所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC∶AB=3∶5,点P从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA以1cm/s的速度向点A移动,如果P,Q分别从B,C同时出发,问经过多少秒,△CPQ和△CBA相似?图4-10-5解析在Rt△ABC中,由BC=8cm,AC∶AB=3∶5,易求得AB=10cm,AC=6cm.设经过x s,△CPQ与△CBA相似,此时BP=2x cm,CP=(8-2x)cm,CQ=x cm.此题有两种可能情况.第一种情况:若△CPQ∽△CBA,则=,即=,解得x=.第二种情况:若△CPQ∽△CAB,则=,即=,解得x=.综上所述,当经过s或s时,△CPQ和△CBA相似.7.如图4-10-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上的某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上).图4-10-6(1)若△CEF与△ABC相似,①当AC=BC=2时,AD的长为;②当AC=3,BC=4时,AD的长为;(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.解析(1)若△CEF与△ABC相似.①当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如图1所示.②当AC=3,BC=4时,分两种情况,连接CD.图1(i)若CE∶CF=3∶4,如图2所示,此时EF∥AB,CD为AB边上的高,(ii)若CF∶CE=3∶4,如图3所示.由相似三角形角之间的关系及折叠的性质,可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD,从而得到CD=AD=BD,即点D为AB的中点.故答案为①;②1.8或2.5.图2图3(2)相似.理由如下:连接CD,与EF交于点O,∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B,由折叠知,∠COF=∠DOF=90°,∴∠DCB+∠CFE=90°,∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A,又∵∠ACB=∠FCE,∴△CEF∽△CBA.类型四解动态探究题8.如图4-10-7,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12.动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动,动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动.两点同时出发,当点P到达点C时,点Q随之停止运动.(1)梯形ABCD的面积等于;(2)当PQ∥AB时,点P离开点D的时间为秒;(3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,点P离开点D的时间为多少秒?图4-10-7解析(1)36.(2).(3)过点D作DE⊥BC于点E.当P、Q、C三点构成直角三角形时,分两种情况:①当PQ⊥BC时,设点P离开点D的时间为x秒,如图,则PQ∥DE,∴∠PQC=∠DEC,∠CPQ=∠CDE,∴△QCP∽△ECD,∴=,即=,解得x=.故当PQ⊥BC时,点P离开点D的时间为秒.②当QP⊥CD时,设点P离开点D的时间为x秒,如图.∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C,∴△QPC∽△DEC,∴=,即=.解得x=.故当QP⊥CD时,点P离开点D的时间为秒.综上所述,当P,Q,C三点构成直角三角形时,点P离开点D的时间为秒或秒.。
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图1 图 2 图 3 图 4 C A D B AD E BC（满分120分 时间100分钟）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知x:y=2:3，则(x+y):y 的值为（ ）Ａ．2:5 Ｂ．5:2 Ｃ．5:3 Ｄ．3:52．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A ．菱形的各角扩大为原来的2倍B ．菱形的边长扩大为原来的2倍C ．菱形的对角线扩大为原来的2倍D ．菱形的面积扩大为原来的4倍3．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；③两个等边三角形一定相似；④任意两个矩形一定相似．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别是1和3，如果△ABC 与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是( )A ．2B ．22C ．26 D ．33 5．地图上的比例尺为1：200000，小明家到单位的图距为20cm ，小明骑自行车从单位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每小时( )A ．40000米B ．4000米C ．10000米D ．5000米6．两个相似三角形的最长边分别是35和14，它们的周长差是60，则大三角形的周长为（ ）A ．80B ．36C ．40D ．1007．如图1，已知D 、E 分别是△ABC 的的AB 、AC 边上的一点，DE ∥BC ，且△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为1:3，则AD: AB 为（ ）A ．1:4B ．1:3C ．1:2D ．2:38．如图2，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，腰BA 、CD 的延长线相交于M ，图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对9．如图3，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面半径为0.6米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ -）A ．0.36π米2B ．0.81π米2C ．2π米2D ．3.24π米210．如图4，△ACD ∽△ABC ，则下列式子：①CD 2= AD ·DB ；②AC 2= AD ·AB ；③CD AC =BDAB ．其中一定成立的有（ ）图7 A B CD EAC OD B 图5 Ａ Ｅ Ｂ Ｃ Ｄ图6图8 A B E C D 图9 A E DF CB 图10 A ．3个 B ．1个C ．2个D ．0个二、填空题（每小题3分，共24分）11．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍．12．已知两个数2、12，请再写一个数，使其中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是 (只需填写一个数)．13．如图5，已知OB=4，OA=8，OC=6，则当OD= 时，AC ∥BD ．14．如图6，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，且23AE AD AC AB ==，若DE=4，则BC= ．15．如图7，A 、B 两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE//AB ，则AB= 米．16．如图8，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线相交于P ，PF ⊥BC ，AD=3.6，BC=6，EF=3，则PF=_____．17．顶角为36º的等腰三角形为黄金三角形，如图9，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=_____（精确到0.001）． 18．如图10，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定 相似的三角形是 ． 19．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，以点A 为位 似中心把△ABC 放大2倍后得到△A 1B 1C 1，则∠B 1=_____º． 20．已知等边△A 1B 1C 1的边长为1，△A 1B 1C 1的三条中位线组成△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2的三条中位线又组成△A 3B 3C 3，…，以此类推，得到△A n B n C n ，则△A 3B 3C 3的边长为 ；△A n B n C n 的边长为 ．（其中n 为正整数）三、解答题(共60分)21．(8分) 如图11，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= º，BC= ；（2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并证 明你的结论．22．(8分)如图12，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E ，若AD ∶DB=2∶3，AC=15，求DE 的长．图12 AD EB CA BF E D C 图11QD A C B P图1423．(10分) 一天晚上，身高1.6米的小明站在路灯下，发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的影子恰好是5块地砖的长，根据这个发现，他就算出了路灯的高度，你知道他是怎么算的吗？24．(10分)阅读下列短文：图13-1所示的是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．解：长方体(甲)的体积是3a ·3b ·3c=33abc ， 长方体(乙)的体积是5a ·5b ·5c=53abc ，所以长方体(甲)与长方体(乙)的体积的比是33abc ∶53abc ＝33∶53=(3︰5)3，所以，相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．请仿上例解答下题：鱼是一种高蛋白食物，所以谁都希望买到价廉物美的鱼．假定现在市场上出售同一种鱼(体形是相似形)，以大小论价，大鱼A 每斤1.5元，小鱼B 每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图13-2所示)，那么买哪种鱼更便宜呢？25．(12分) 如图14，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？图13-23a 3 b3c 5a 5 b 5c 图13-1 (甲) (乙)图15-1 图15-2 D FE B C A M D A C BF EGH E C A OD B P26．(12分) 有一块两条直角边BC 、AC 的长分别为3厘米和4厘米的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个面积尽最大的正方形，甲、乙两位师傅加工方案分别如图15-1和图15-2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）．参考答案一、1．C 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B二、11．5，25 12．26 13．3 14．6 15．80 16．7.5 17．0.38218．△DEF 19．72º 20．41，121-n 三、21．解：（1）135，22； （2）△ABC ∽△DEF ．证明：由图可知∠FED=∠ABC=135º，因为AB=2，BC=22，EF=2，DE=1211+=2，而EF BC =2，DE AB =2，即EF BC =DEAB ，所以△ABC ∽△DEF ． 22．解：因为AD ∶DB=2∶3，所以AD ∶AB=2∶5．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE ∶AC= AD ∶AB=2∶5．因为AC=15，所以AE=6．因此CE=9．易证CE=DE ，所以DE=9．23．解：根据意，画出示意图．其中身高AB=CD=1.6米，影长AC=2米，CE=2.5米，设路灯的高度为x 米．因为OP ∥AB ，所以△ABC ∽△OPC ，所以AB OP =AC OC ，即6.1x =2OC ，则OC=45x ．因为OP ∥CD ， 所以△CDE ∽△OPE ，所以CD OP =CE OE ，即6.1x =5.2OE ，则OE=1625x ．又因为OE －OC= CE ，所以1625x －45x=2.5，解得x=8．所以路灯的高度为8米．24．解：A 与B 相似比为13∶10， A 与B 体积之比197.210002197101333==．而其价格比是1.5∶1=1.5， A 的体积是B 的2.197倍，买大鱼A 比买小鱼B 合算．25．解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ= t ，QA=6－t ．显然，当QA= AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6－t=2t ，解得t=2．所以当t 为2秒时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）△QAC 的面积=21QA ·DC=21·(6－t)·12=36－6t ．△APC 的面积=21AP ·BC=21·2t ·6=6t ．所以四边形QAPC 的面积=△QAC 的面积+△APC 的面积=36－6t+6t=36(平方厘米)．由计算结果发现在P 、Q 移动过程中，四边形QAPC 的面积保持不变．（3）应分两种情况讨论：①当AB QA =BC AP 时，△QAP ∽△ABC ，则126t -=62t ，解得t=1.2．所以当t 为1.2秒时，△QAP ∽△ABC ； ②当BC QA =AB AP 时，△PQA ∽△ABC ，则66t -=122t ，解得t=3．所以当t 为3秒时，△PQA ∽△ABC ．26．解：如图15-1，设正方形边长为x 厘米，则AD=4－x ．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ACB ，所以AC AD =BC DE ，即34x -=3x ．所以x=712．所以正方形CDEF 的面积=(712)2平方厘米．如图15-2，设正方形边长为y 厘米，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，交DE 于M ．因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB ，所以AB DE =CHCM ，因为AB=5243+=5．又AC ·BC=AB ·CH ，所以CH=543⨯=512，CM=CH －y=512－y ．所以5y =512512y -，所以y =3760．所以正方形DEFG 的面积=(3760)2．因为712＞3760，所以(712)2＞(3760)2，所以甲师傅加工的方案符合要求．。