2017-2018学年金陵中学第一学期10月月考高三数学试卷(含答案)

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江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则AB = .2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为0x +=,则实数m 的值为 .7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 .9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2(3cos ,cos )n x x =.(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且132m n ⋅=-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,且过点1)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=.(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e=相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1(,e)e内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线L '的方程.22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(θ为参数,[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4p πθ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.试卷答案一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 45. 37. 31n-8.169. [5,13] 10.311. 36 12. 10(,]3-∞ 13. 111(,)(,1)32214. 5{|4a a <-或3}4a >- 二、解答题.15. 解(1)当3x π=时，1]m =-，1]4n =，所以311442m n ⋅=-=.(2) 2cos cos m n x x x ⋅=-112cos2222x x =-- 1sin[2]62x π=--，若122m n ⋅=-.则11sin[2]6222x π--=-，即sin[2]6x π-=. 因为[0,]4x π∈，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos[2]6x π-= 所以cos2cos[[2]]66x x ππ=-+cos[2]6x π=--1sin[2]62x π-⨯12=-=16.证明(1)因为在PAD ∆中, ,AP AD AM PD =⊥，所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ∆的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.又AB ⊂平面PAB , MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ，平面PAD平面,ABCD AD CD AD =⊥，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以AM ⊥平面PCD .17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==则1cos CE EB θ==，tan ED θ=，tan AE θ=，于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θθθ-=+因为E 在CD 之间,所以03πθ<<，故2sin ()cos f θθθ-=+，03πθ<<.(2) 22cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03πθ<<，令()0f θ=,得1sin ,26πθθ==，故当06πθ<<，()0f θ<，()f θ递减,当sin 62ππθ<<,()0f θ>,()f θ递增,所以,当6πθ=时, min ()()6f f πθ==12-+=答:当6DCE π∠=时, ()f θ最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =，由题意知22311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,010y k x =,又F , 所以直线AF的方程为y x =-.由221,4y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得2200(7)x x --20070x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C的横坐标C x =又点(,)C C C x y在直线y x =-上，所以C C y x =-=C的坐标为同理,点D的坐标为，所以2k =101472y k x ==，即存在7m =,使得217k k =.19.(1)证明:因为*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，21(1)2n n a p S ++=-+所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，所以*1,()n n a pa n N +=∈，又因为1p >,所以11n nn n a a p p++=，所以数列{}n na p是常数列, 112,2n n n n a a a p p p p -===，所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.(2)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n np n -=1(1)()2017n n n n -+所以20182b =.(3)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121n k -=++. 因为322322(21)n n k b k ---=+，所以当11n k ≤≤+时, 32n n c b =-，当2n k ≥+时，32n n c b =-. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++0121k k +++=-++(1)(2)2+121k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)(1)22121k k k k k k ++++=++. 20. (1)设直线2y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e=，把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n ah x ax x x=--, 设函数()h x 在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x x x x <，令22()a a h x a x x x'=+--2220ax x ax -+==, 则220ax x a -+=,设2()2m x ax x a =-+,因为121x x =,故只需0,20,()0,am e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩,所以, 2211e a e <<+.②因为121x x =,所以，121()()M f x f x ax =-=1221221n (21n )a ax ax x x x ----- 11121n a ax x x =---1111(21n )a ax x x -- 21112221n aax x x =--由21120ax x a -+=,得12121x a x =+,且111x e<<. 12111211222121x x x M x x x +=-+222111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设21x t =,211t e <<,令11()4(1n )+12t t t t ϕ-=-， 221()4()(+1)2t t t ϕ'=-222(1)0(1)t t t --=<+， ()t ϕ(在21(,1)e 上单调递减,从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<，所以,实数M 的取值范围是28(0,)1e +. 高二数学Ⅱ（附加题）21. 解(1)由题知 2 11 3MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1 10 32 17 2⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以0 3)2l 7 det(2MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .由 2 11 3x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3'x y x x y y ''-=⎧⎨''+=⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧'=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x +-⨯+-=，即5470x y +-=.即直线L 的方程为5470x y +-=. 22.解(1)由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22:13x C y +=，由cos ()4p πθθ-=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.(2)在22:13x C y +=上任取一点,sin )P θθ(02)θπ≤≤，则点P 到直线l的距离为d=|2sin()4|πθ+-=，02θπ≤≤，当sin()13πθ+=-，即76πθ=时，max d =23. 解(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()P A P A =-2211(1)25p =--=，解得35p =.(2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3, 且24(0)(1)25P X p ==-=, 2(1)(1)P X p p ==-24(1)(1)125p p p +--=， 327(3)125P X p ===，故(2)1(0)P X P X ==-=54(1)(3)125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望24()2125E X =+⨯54272133125125125+⨯=.24.解(1)如图,以D 为坐标原点,分别以直线1,,DA DC DD 所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -，易得1(0,2,3)A B =-,设BE a =,则(0,2,)AE a =，因为1A B AE ⊥,所以1(0,2,3)AB AE ⋅=- (0,2,)430a a ⋅=-=，解得43a =,即4(0,2,)3AE =, 又1(2,2,3)D B =-,(2,2,0)AC =-, 所以1(2,23)D B AE ⋅=-4 (0,2,)03⋅=,所以1D B AE ⊥, 且1(2,2,3)(2,2,0)0D B AC ⋅=-⋅-=，所以1D B AC ⊥，又AE AC A =，所以1D B ⊥平面AEC . (2) 4(0,2,)3AE =，1(2,0,3)D A =-，1(0,2,3)DC =-，设平面1ACD 的一个法向量(,,)n x y z =，则110,0,D A n D C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230,x z y z -=⎧⎨-=⎩令0z =，则3x y ==，即(3,3,2)n =，sin |cos ,AE θ=<|||||AE n n AE n ⋅>=⋅423=2⨯⨯==22.。

江苏省南京市金陵中学河西分校2017-2018学年高三上学期期中数学模拟试卷(3) Word版含解析

2017-2018学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷（3）一、填空题：1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|y=}，则集合A∩∁U B=．2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i，则a+b=．3．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，大于或等于14秒的为良好，由测试结果得到的频率分布直方图如图，则该班百米测试中成绩良好的人数有人．5．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π）的图象如图所示，则f（0）=．6．如图是一个算法的流程图，若输入x=2，则输出k的值是．7．将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为．8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=．9．在△ABC中，=2，=m+n，则mn=．10．等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1≠0，S k+3=0，则k=．11．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．12．若函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=．13．已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．14．已知函数，分别给出下面几个结论：①f（x）是奇函数；②函数f （x）的值域为R；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）=f（x）+x有三个零点．其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）二、解答题：15．在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若2sinAcosC=sinB，求的值；（2）若sin（2A+B）=3sinB，求的值．16．已知cos（β﹣）=，sin（α+β）=，其中0＜α＜＜β＜π．（1）求sin2β的值；（2）求cos（α+）的值．17．已知函数f（x）=ax2﹣（5a﹣1）x+3a+1（a∈R）．（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）在区间[1，5]上有零点，求a的取值范围．18．如图①，有一块圆心角为90°，半径为2的扇形钢板，计划将此钢板切割成顶部为等腰梯形的形状，最终变成图②的形状，OM⊥CD，垂足为M．（1）设∠MOD=θ，以θ为自变量，将五边形OADCB的面积S表示成θ的函数关系式；（2）设t=cosθ﹣sinθ，①求t的取值范围；②用仅含t的式子表示五边形OADCB的面积S，并求出S的最大值及取得最大值时θ的值．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若从数列{a n}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n}，记该数列的前n项和为T n，求T n的表达式．20．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；（3）如果对于一切x1、x2、x3∈[0，1]，总存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、填空题：1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|y=}，则集合A∩∁U B={x|﹣2≤x≤﹣1}．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出∁U B，再计算A∩∁U B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|y=}={x|x＞﹣1}，∴∁U B={x|x≤﹣1}∴A∩∁U B={x|﹣2≤x≤﹣1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤﹣1}．2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i，则a+b=0．【考点】复数相等的充要条件．【分析】先化简复数，再利用复数相等则实部与实部等，虚部与虚部等，解出a、b，可得结果．【解答】解：∵a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i，∴﹣1+ai=b+i根据复数相等的定义可知a=1，b=﹣1则a+b=1﹣1=0故答案为：03．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；等可能事件的概率．【分析】根据题意，同时抛掷两个骰子，共6×6=36种情况，而向上的点数之积为3的倍数必须至少有一个骰子向上的点数为3的倍数，即3或6，其情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：根据题意，同时抛掷两个骰子，共6×6=36种情况，而向上的点数之积为3的倍数必须至少有一个骰子向上的点数为3的倍数，即3或6，其情况数目为4×2+6×2=20种，则向上的点数之积为3的倍数的概率=，故答案为．4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，大于或等于14秒的为良好，由测试结果得到的频率分布直方图如图，则该班百米测试中成绩良好的人数有人47．【考点】频率分布直方图．【分析】由题意求出成绩大于或等于14秒的频率与频数即可．【解答】解：由题意，成绩大于或等于14秒的人数为：50×（1﹣0.06）=47人故答案为：47．5．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π）的图象如图所示，则f（0）=sin．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值﹣1，以及﹣π≤φ＜π，求出φ即可得函数解析式，从而代入x=0即可计算得解．【解答】解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π﹣）==，∴ω=．∵当x=π时，y有最小值﹣1，因此×+φ=2kπ﹣（k∈Z）．∵﹣π≤φ＜π，∴φ=．∴y=sin（x+），∴f（0）=sin．故答案为：sin．6．如图是一个算法的流程图，若输入x=2，则输出k的值是4．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=122，k=4，满足条件x＞100，退出循环体，从而求出最后k的值即可．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，k=0x=3×2﹣1=5，k=1，不满足条件x＞100，执行循环体；x=3×5﹣1=14，k=2，不满足条件x＞100，执行循环体；x=3×14﹣1=41，k=3，不满足条件x＞100，执行循环体；x=3×41﹣1=122，k=4，满足条件x＞100，退出循环体，输出k=4．故答案为：4．7．将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求函数的图象先向左平移，图象的函数表达式，再求图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式．【解答】解：将函数的图象先向左平移，得到函数的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：故答案为：8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=1．【考点】正弦定理．【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定最后答案．【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°，由正弦定理知，，即；由a＜b知，A＜B=60°，则A=30°，C=180°﹣A﹣B=90°，于是sinC=sin90°=1．故答案为：1．9．在△ABC中，=2，=m+n，则mn=﹣6．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由已知==，从而=﹣，由此能求出mn的值．【解答】解：∵在△ABC中，=2，∴==，∴=﹣=﹣（）=+，∴=，∴=3﹣2，∵=m+n，∴m=3，n=﹣2．∴mn=﹣6．故答案为：﹣6．10．等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1≠0，S k+3=0，则k=10．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由已知结合等差数列的性质可求得a7=0，而a1+a13=2a7=0，由求和公式可得a1+a k+3=0，可求k的值【解答】解：由题意可得，S9=S4∴S9﹣S4=a5+a6+a7+a8+a9=0由等差数列的性质可得，5a7=0∴a7=0，a1+a13=2a7=0∵S k+3=×（k+3）=0∴a1+a k+3=0∴k+3=13∴k=10故答案为：1011．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【考点】余弦定理的应用．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．12．若函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由函数f（x）=，f（f（））=4，构造关于b的方程，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=，若＜1，即b＞，则f（f（））=f（）==4，解得：b=（舍去），若≥1，即b≤，则f（f（））=f（）==4，解得：b=，综上所述：b=，故答案为：13．已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．【考点】函数的零点．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}14．已知函数，分别给出下面几个结论：①f（x）是奇函数；②函数f （x）的值域为R；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）=f（x）+x有三个零点．其中正确结论的序号有①②④．（请将你认为正确的结论的序号都填上）【考点】函数的零点；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】①利用奇函数的定义进行验证；②当x＞0时，，可求其值域，由①知当x＜0时，可求f（x）值域，x=0时，f（x）=0，从而可判断；③由②知若x1≠x2，则不一定有f（x1）≠f（x2）；④由③知f（x）的图象与y=﹣x有三个交点，故可判断．【解答】解：①∴正确②当x＞0时，∈（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1）由①知当x＜0时，f（x）=∈（1，+∞）∪（﹣∞，0）x=0时，f（x）=0∴函数f （x）的值域为R，故正确；③由②知若x1≠x2，则不一定有f（x1）≠f（x2），由于x＜0时，f（x）=，x＞0时，，不妨令函数值为3，则可知或，故不正确④由③知f（x）的图象与y=﹣x有三个交点，原点及第二、四象限各一个，∴函数g（x）=f（x）+x有三个零点，故正确．故答案为：①②④二、解答题：15．在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若2sinAcosC=sinB，求的值；（2）若sin（2A+B）=3sinB，求的值．【考点】解三角形．【分析】（1）由2sinAcosC=sinB，可得sin（A﹣C）=0，故有A=C，故a=c，=1．（2）由sin（2A+B）=3sinB，可得sin[（A+B）+A]=3sin[（A+B）﹣A]，利用两角和的正弦公式化简可得tanA=tan（A+B）=﹣tanC，由此求得的值．【解答】解：（1）∵2sinAcosC=sinB，∴2sinAcosC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，于是sinAcosC﹣cosAsinC=0，即sin（A﹣C）=0．…因为A，C为三角形的内角，所以A﹣C∈（﹣π，π），从而A﹣C=0，所以a=c，故=1．…（2）∵sin（2A+B）=3sinB，∴sin[（A+B）+A]=3sin[（A+B）﹣A]，故sin（A+B）cosA+cos（A+B）sinA=3sin（A+B）cosA﹣3cos（A+B）sinA，故4cos（A+B）sinA=2sin（A+B）cosA，∴tanA=tan（A+B）=﹣tanC，∴=﹣．16．已知cos（β﹣）=，sin（α+β）=，其中0＜α＜＜β＜π．（1）求sin2β的值；（2）求cos（α+）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2β=cos2（β﹣）的值．（2）先利用同角三角函数的基本关系求得sin（β﹣）和cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]的值．【解答】解：（1）∵cos（β﹣）=，sin（α+β）=，其中0＜α＜＜β＜π，sin2β=cos2（β﹣）=2﹣1=﹣．（2）∵cos（β﹣）=，sin（α+β）=，其中0＜α＜＜β＜π，∴β﹣为锐角，α+β为钝角，∴sin（β﹣）==，cos（α+β）=﹣=﹣，cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]=cos（α+β）•cos（β﹣）+sin（α+β）•sin（β﹣）=﹣•+•=．17．已知函数f（x）=ax2﹣（5a﹣1）x+3a+1（a∈R）．（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）在区间[1，5]上有零点，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】（1）通过讨论a=0，a≠0结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，求出a的范即可；（2）根据函数的零点定理结合函数的单调性求解即可．【解答】解：（1）a=0时：f（x）=x+1，在[1，+∞）递增，符合题意；a≠0时：若f（x）在区间[1，+∞）上是单调增函数，则只需即可，解得：0＜a≤，综上：a∈[0，]；（2）a=0时：f（x）=x+1，在区间[1，5]上无零点，不合题意，a≠0时：即0＜a≤时：若函数f（x）在区间[1，5]上有零点，只需f（1）＜0，f（5）＞0即可，∴，解得：a＞2，由（1）得：0＜a≤，故不存在满足条件的a．18．如图①，有一块圆心角为90°，半径为2的扇形钢板，计划将此钢板切割成顶部为等腰梯形的形状，最终变成图②的形状，OM⊥CD，垂足为M．（1）设∠MOD=θ，以θ为自变量，将五边形OADCB的面积S表示成θ的函数关系式；（2）设t=cosθ﹣sinθ，①求t的取值范围；②用仅含t的式子表示五边形OADCB的面积S，并求出S的最大值及取得最大值时θ的值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）设∠MOD=θ，以θ为自变量，∠AOD=∠BOC=45°﹣θ，即可将五边形OADCB 的面积S表示成θ的函数关系式；（2）设t=cosθ﹣sinθ，①利用辅助角公式求t的取值范围；②用仅含t的式子表示五边形OADCB的面积S，用配方法求出S的最大值及取得最大值时θ的值．【解答】解：（1）由题意，∠AOD=∠BOC=45°﹣θ，∴S=sin2θ+2×sin（45°﹣θ）=2sin2θ+4sin（45°﹣θ）（0°＜θ＜90°）；（2）①t=cosθ﹣sinθ=sin（45°﹣θ），∵0°＜θ＜90°，∴﹣45°＜45°﹣θ＜45°，∴﹣1＜t＜1；②∵t=cosθ﹣sinθ，∴sin2θ=1﹣t2，∴S=2（1﹣t2）+2t=﹣2（t﹣）2+3，∵﹣1＜t＜1，∴t=，θ=15°S取得最大值3．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若从数列{a n}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n}，记该数列的前n项和为T n，求T n的表达式．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，利用S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，建立方程，求出首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）确定新数列{b n}的通项，利用分组求和，即可求T n的表达式．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，则∵S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，∴3a1+3d+5a1+10d=50，（a1+3d）2=a1（a1+12d）∵公差d≠0，∴a1=3，d=2∴数列{a n}的通项公式a n=2n+1；（2）据题意得b n==2×2n+1．∴数列{b n}的前n项和公式：T n=（2×2+1）+（2×22+1）+…+（2×2n+1）=2×（2+22+…+2n）+n=2×+n=2n+2+n﹣4．20．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；（3）如果对于一切x1、x2、x3∈[0，1]，总存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导函数，令f'（x）＜0，结合a＜0，可得函数单调递减区间；（2）设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），求出切线方程，代入点P的坐标，两方程相减，借助于基本不等式，即可证得A、B 两点的横坐标之和小于4；（3）先确定0＜a＜2，再求导函数，确定函数的单调性与最小值，进而可确定正实数a的取值范围．【解答】（1）解：f'（x）=3x2+2ax﹣a2=3（x+a）（x﹣）令f'（x）＜0，∵a＜0，∴∴函数单调递减区间[，﹣a]；（2）证明：当a=0时，f（x）=x3+2设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），∵y′=3x2，∴在点A处的切线斜率为k=∴在A处的切线方程为y﹣（x13+2）=（（x﹣x1）∵切线过点P，∴t﹣（x13+2）=（（2﹣x1）∴①同理②①﹣②可得∵x1≠x2，∴∵x1≠x2，∴∴∴0＜x1+x2＜4∴A、B 两点的横坐标之和小于4；（3）解：由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（﹣a2+a+3），∴﹣1＜a＜2∵a＞0，∴0＜a＜2∵∴x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单调递增∴当x=时，f（x）有最小值f（）=﹣∴f（）=﹣＞0①，f（0）＜2（﹣）②，f（1）＜2（﹣）③，由①得a＜；由②得，∵0＜a＜2，∴不等式③化为＜0令g（a）=，则g′（a）=，∴g（a）为增函数∵g（2）=﹣＜0，∴当时，g（a）＜0恒成立，即③成立∴正实数a的取值范围为．2018年7月20日。

高三数学-【数学】江苏省南京市金陵中学2018届高三2018月月考精品

金陵中学2018年高三年级10月月考数学试题一、填空题（每小题5分，共计70分）1．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z= 。

2．已知向量a 和向量b 的夹角为120°，|a |=3，|b |=5，则|a —b |= 。

3．若n n x x x x x x x x 2,,2,2,2,3,,,,321321 则的方差为的方差为。

4．右面算法输出的结果是。

5．已知απαtan ,2)4tan(则=+= 。

6．函数)1(112>-+-=x x x x y 的最小值等于。

7．等差数列}{,022,0,}{11273n n b a a a d a 数列且公差中=+-≠是等比数列，且8677,b b a b 则== 。

8．已知两条直线m ，n ，两个平面βα,，给出下面四个命题： ①αα⊥⇒⊥n m n m ,//； ②n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα；③αα////,//n m n m ⇒； ④./,//,//βαβα⊥⇒⊥n m n m其中真命题．．．的序号。

9．从集合{1，2，3，4，5}中任取两个不同元素bx ax x f b a +=2)(,作为的系数)(b a <，则这个函数在区间（—3，0）内恒为负值的概率为。

10．已知直线a a x y x y 则相切与曲线,)ln(1+=+=的值为。

11．函数x a x x f -=)(在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为。

12．已知)(x f y =是定义在实数集R 上的偶函数，且在[)+∞,0上单调递增。

则不等式)1()2(+≤x f x f 上的解集为。

13．在平面直角坐标系1925:,22=+y x C xoy 椭圆中的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为。

14．存在t t x x x 则实数成立使得不等式,||202--<<的取值范围是。

金陵中学高三10月学情调研—解析版

5 2 2 金陵中学高三年级学情调研测试数学试卷考试时间：120 分钟满分 150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 A = {0 , 1 , 2}， B = {x x 2- 3x ≤ 0}，则 A B 等于（）A. {1 , 2}B. {0 , 1 , 2}C. {0 , 1 , 2 , 3}D. {x 0 ≤ x ≤ 3}【答案】B2. 已知复数 z 满足(2 - i )z = 1 + 2i （ i 为虚数单位），那么 z 的虚部为（）A. 1B. -1 【答案】AC. 0D. i5x 2 y 23. 若两个正数 a , b 的等差中项为，等比中项为 2，且 a > b ，则双曲线a 2 -b 2= 1的离心率 e 等于（）1 5 A.B.C.D.3333【答案】D4. 马林·梅森（Marin Mersenne ，1588-1648）是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人数，梅森在欧几里得、费马瞪等人研究的基础上对2 p-1作出了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2 p-1（其中 p 是素数）的素数，成为梅森素数. 在不超过40 的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（） 5 1 9 1 A.B.C.D.1162222【答案】A5. 若函数 f (x )= sin⎛ 1 x +θ⎫ - 3 cos ⎛ 1 x +θ⎫⎛ θ < π⎫的图像关于原点对称，则θ的值为（）⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ππ π⎪ ⎪ ⎭⎝⎭πA. -B.66C. -D.33【答案】D6 13 24⎭ 6. 已知 ∆ABC 的面积为 S ，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若2S = (a + b )2- c 2，则 tan C 的值是（）A.4 B. - C. 333 4 D. - 34【答案】B7. 若过抛物线 y 2= 4x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB ， CD ，则四边形 ABCD 的面积的最小值为（）A. 8B.16C. 32D. 64【答案】C解：由题意知抛物线的焦点 F (1 , 0)，设直线 AB 的方程为 y = k (x -1)，设 A (x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 )联立方程得 k 2 x 2- (2k 2- 4)x + k 2= 0 ，有 x + x 2 = 2 + 4 k 2 ， AB = x 1 + x 2 + 2 = 4 + 4 k2同理可得 CD = 4 + 4k211 4(k2 + 1)(2)(k 2+ 1)2⎛ 21 ⎫∴ S = ⋅ = ⋅2 2k 2⋅ 4 k + 1 = 8⋅ k2= 8 k ⎝+ k 2 + 2⎪ ≥ 32 ，故选 C.8. 已知点 P 为函数 f (x )= 1x 2+ 2ax 与 g (x )= 3a 2ln x + b (a > 0)的图像的公共点，若以点 P 为切点可作直2线与两个函数的图像都相切，则实数b 的最大值为（）2 2A. e 333 2 B. e 32 23 C. e 23 3 3 D.e 22【答案】B⎧ 1x 2 + 2ax = 3a ln x+ b (*)()⎧⎪f (x 0 )=g (x 0 ) ⎪ 2 00 0解：设 P x 0 , y 0，由题意知 ⎨ ⎩⎪ f '(x 0 ) = g '(x 0 ) ，即 ⎨ ⎪x ⎩⎪+ 2a = 3a 2x 0 (**)有（**）得 (x 0 + 3a )(x 0 - a )= 0 ， a > 0 , x 0 > 0，∴ x 0 = a 将 x = a 代入（*）式整理得b = 5x 2- 3x 2ln x ( x > 0)2令 h (x )= 5x 2- 3x 2 ln x ( x > 0)， h '(x )= 2x (1 - 3ln x )(x > 0)2 ⎛1⎫ ⎛ 1 ⎫∴h (x )在 0 , e 3 ⎪ 上单调递增，在 e 3 , + ∞ ⎪ 上单调递减⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 1 ⎫ 3 2∴b max = h e 3 ⎪ = e 3 . 故选 B.⎝ ⎭ 21x 2x二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9. 已知圆C : x 2+ y 2- 2x = 0，点 A 是直线 y = kx - 3上任意一点，若以点 A 为圆心，半径为1的圆 A 与圆C 没有公共点，则整数 k 的值可能为（）A. - 2B. -1C. 0D.1【答案】ABC10. 下列说法正确的是（）A. 若 x , y > 0 ， x + y = 2 ，则2x+ 2 y的最大值为4B. 若 x < 1 ，则函数 y = 2x +212x -1的最大值为-1 C. 若 x , y > 0 ， x + y + xy = 3，则 xy 的最小值为1 D. 函数 y = 【答案】BD 1sin 2x + 4 cos 2 的最小值为9 x11. 已知集合 M ={(x , y ) y = f (x )}，若对于任意(x , y 1)∈ M ，存在(x2, y 2 )∈ M ，使得 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 成立，则称集合 M 是“完美对点集”.给出下列四个集合：① M =⎧(x , y ) y = 1 ⎫ ；② M = {(x , y ) y = sin x + 1}；⎨ ⎬ ⎩⎭③ M = {(x , y ) y = log x }；④ M = {(x , y ) y = ex- 2}；其中是“完美对点集”的序号为（）A. ①B.②C.③D.④【答案】BD解：对于① M =⎧(x , y ) y = 1 ⎫ ，其图像是过一、三象限的双曲线，作第一象限的角平分线与双曲线交于点 A ，⎨ ⎬ ⎩⎭与OA 垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点，所以对于点 A 在图像上不存在点 B 使得OB ⊥ OA ,所以①不符合；对于② M ={(x , y ) y = sin x + 1}作出函数图像，在图像上任取一点 A ，连OA 过原点作直线OA 的垂线OB ，因为 y = sin x + 1的图像沿 x 轴向左向右无限延伸，且与 x 轴相切，因此直线OB 总会与 y = sin x + 1图像相交，所以②符合；13 3 22对于③ M ={(x , y ) y = log x }，作出 y = log x 函数图像，过原点作出其函数图像的切线OT （切点T 在第一象限），则过切点T 作OT 的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T ，不存在点 M 使得OM ⊥ OT ，所以③不符合; 对于④ M ={(x , y ) y = e x- 2}其图像过点 (0 , -1)且向右向上无限延伸，向左向下无限延伸，所以在图像上任取一点 A ，连OA 过原点作OA 的垂线OB ，必与 y = e x- 2的图像相交，即一定存在点 B 使得OB ⊥ OA 成立，故④符合；故本题选 BD.12. 已知在棱长为1的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E ， F ， H 分别是 AB ， DD 1 ， BC 1 的中点，下列结论中正确的是（）A. D 1C 1 // 平面CHDB. AC 1 ⊥ 平面 BDA 1C. 三棱锥 D - BA C 的体积为 51 16D. 直线 EF 与 BC 1 所成角为30︒【答案】ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 S 2 = 3， S 3 - S 1 = 6，则 a 6 =.【答案】3214. 已知二项式⎛ x 2 + ⎝a ⎫6⎪ 的展开式中含 x 3 项的系数是160 ，则实数 a 的值是.⎭【答案】 215. 已知正三棱锥 S - ABC 的侧棱长为4 ，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是 .【答案】64π解：如图所示，正三棱锥 S - ABC 的侧棱长为4 ，底面边长为6，xSA 2 - AE 2 (4 3)2- (2 3)2表 ⎨ b + ee则 AE = 2⋅3 3⋅ 6 = 2 2∴三棱锥的高 SE = = = 6又由球心O 到四个顶点的距离相等在直角三角形 AOE 中， AO = R ， OE = SE - SO = 6 - R 又由OA 2= AE 2+ OE 2，即 R 2= (2 ∴ S = 4πR 2 = 64π. 3)2+ (6 - R )2，解得 R = 416. 已知函数 f (x )= ⎪⎧ ln x , 0 < x ≤ e ，若 a , b , c 互不相等，且 f (a )= ⎪⎩2 - ln x , x > ef (b )= f (c )，则 a + b + c 的取值范围是.【答案】⎛2e + 1 , 2 + e2⎫⎪ ⎝⎭解：由题意知 ln a = ln b = 2 - ln c ，且 1< a < 1 < b < e < c < e2e所以 - ln a = ln b = 2 - ln c ，则 ab = 1， bc = e2所以 a + b + c = 1+ b + e 2 = 1 + e 2( )= b b b +1 + e2 ( < < ) '( )= b 2 - (1 + e 2 )( < < )令 g b b1 b e ， g bb1 b eb2所以 g (b )在(1 , e )上单调递减，所以2e + 1= g (e )< g (b )< g (1)= 2 + e2e故 a + b + c 的取值范围为⎛ 2e + 1 , 2 + e 2 ⎫ .⎪ ⎝⎭四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 10 分）在 ∆ABC 中，分 a , b , c 别为内角 A , B , C 的对边，且满足(b - a )(sin B + sin A )= c ( 3 sin B - sin C ).（1）求 A 的大小；（2）再在① a = 2 ，② B =π，③ c =43b ，这三个条件中，选出两个使 ∆ABC 唯一确定的条件补充在下面32 23 n + n +1 n 1nnn n 2n 的问题中，并解答问题，若，，求 ∆ABC 的面积.解：（1） (b - a )(sin B + sin A )= c (3 sin B - sin C )又由正弦定理a =b = c，得(b - a )(b + a )= c(3b - c )，即b 2 + c 2 - a 2 =3bcsin A sin B sin C∴cos A =b 2 +c 2 - a 2 = 2bc 2又 0 < A < π，∴ A = π.6（2）选①② 由正弦定理a =b ，得b = a sin B = 2 sin A sin B sin A又由余弦定理b 2= a 2+ c 2- 2ac c os B ，得(2 2 )2= 22 + c 2- 2 ⨯ 2c cos π，解得c =+ 4∴ S = 1 ac s in B = 1 ⨯ 2 ⨯ ( + 6 )⨯ 2=+ 1. ∆ABC 2 2 2选①③由（1）知 A = π，6由余弦定理 a 2= b 2+ c 2- 2bc cos A ，即 4 = b 2+ 3b 2- 3b 2，即b 2= 4 ， b = 2（负舍）∴c = 2 ∴ S= 1 bc s in A = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 3 ⨯ 1= .∆ABC 2 2 218. （本小题满分 12 分）设 n ∈ N +，数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 S = S + a + 2 ， a , a , a 成等比n n n +1nn125数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b }满足b = (-1)na+ ( 2 )1+a n，求数列{b }的前2n项的和T . 解：（1）由 S = S + a + 2 ，得 a - a = 2(n ∈ N+)∴数列{a n }是以 a 1 为首项， 2 为公差的等差数列.由 a , a , a 成等比数列可得a 2= a ⋅ a ，即(a + 2)2= a (a + 8)，解得a = 11252151111数列{a n }的通项公式为 a n = 2n -1(n ∈ N +). 32 63 3n n2 6 2 22 6DS DS ⋅ ODn （2）由（1）得 a n = 2n -1(n ∈ N + )，∴b =( 2 )1+a n+ (-1)n a = 2n + (-1)n (2n -1) ∴=2(22n -1)+ [- + - + - - (- )+ (+ )]= 2n +1 +-T n2 -11 3 5 74n 3 4n 122n 2.19. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S - ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱 SD 上的点（1）求证： AC ⊥ SD（2）若 SD ⊥ 平面 PAC ，求二面角 P - AC - S 的大小；解：（1）连接 BD 交 AC 于点O ，连接 SO ，由题意知 SO ⊥ AC .在正方形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，SO BD = O ，SO , BD ⊂ 平面 SBD ，∴ AC ⊥ 平面 SBD又 SD ⊂ 平面 SBD ，∴ AC ⊥ SD .（2）由题意知 SO ⊥ 平面 ABCD ，以为O 坐标原点， OB , OC , OS 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz . 设底面边长为 a ，得 SO =6 a2⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ ⎫故 S 0 , 0 , a ⎪ ，知 D - 2 a , 0 , 0⎪ , C 0 , 2 a , 0⎪2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫SD ⊥ 平面 PAC ，∴平面 PAC 的一个法向量为 DS = ⎝ a , 0 , a ⎪22 ⎭⎛ 平面 SAC 的一个法向量为OD = -⎝ ⎫a , 0 , 0⎪ 2⎭∴cos , =DS ⋅OD = - 12二面角 P - AC - S 为锐角，∴二面角 P - AC - S 为60︒.20. （本小题满分 12 分）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l ，单位： cm ）先从中随机抽取100 件，测量发现全部介于85cm 和155cm 之间，得到如下频数分布表：2 OD n150 分组 [85 , 95) [95 , 105) [105 , 115) [115 , 125) [125 , 135) [135 , 145) [145 , 155]频数29223324 82已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布 N μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数 x ，σ2近似为样本方差s 2 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求 P (132.2 < l < 144.4)；（2）公司规定；当l ≥ 115 时，产品为正品；当l < 115 时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元，记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.参考数据： ≈ 12.2若 X ~ N (μ,σ2)，则 P (μ-σ< X ≤ μ+σ)≈ 0.6827 ， P (μ- 2σ< X ≤ μ+ 2σ)≈ 0.9545，P (μ- 3σ< X ≤ μ+ 3σ)≈ 0.9973 .解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x = 90 ⨯ 0.02 + 100 ⨯ 0.09 + 110 ⨯ 0.22 + 120 ⨯ 0.33 + 130 ⨯ 0.24 + 140 ⨯ 0.08 + 150 ⨯ 0.02 = 120.抽取产品质量指标值得方差s 2 = 900 ⨯ 0.02 + 400 ⨯ 0.09 + 100 ⨯ 0.22 + 0 ⨯ 0.33 + 100 ⨯ 0.24 + 400 ⨯ 0.08 + 900 ⨯ 0.02 = 150∴l ~ N (120 , 150)，由 ≈ 12.2∴ P (μ< l ≤ μ+σ)= P (120 < l ≤ 132.2)≈ 1⨯ 0.6827 ≈ 0.3414 ，2 P (μ< l ≤ μ+ 2σ)= P (120 < l ≤ 144.4)≈ 1⨯ 0.9545 ≈ 0.47732∴ P (132.2 < l < 144.4)= P (120 < l ≤ 144.4)- P (120 < l ≤ 132.2)= 0.1359 .（2）由频数分布表得， P (l < 115)= 0.02 + 0.09 + 0.22 = 0.33， P (l ≥ 115)= 1 - 0.33 = 0.67 随机变量ξ的取值为90 , - 30且 P (ξ= 90)= 0.67 ， P (ξ= -30)= 0.33随机变量ξ的分布列为150⎪ξ90 - 30 P0.670.33∴ E (X )= 90 ⨯ 0.67 - 30 ⨯ 0.33 = 50.4 .21. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x )= x ln x ， g (x )= λ(x 2-1)（λ为常数）（1）当λ= 1时，证明：对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立；2（2）若对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立，求实数λ的取值范围. 解：（1）设 h (x )= x ln x -1(x2-1), x ≥ 1，即要证当 x ≥ 1时， h (x )≤ 02h '(x )= ln x + 1 - x ，设 p (x )= ln x +1- x ， p '(x )= 1-1 ≤ 0 对 x ∈[1 , + ∞)恒成立x ∴ p (x )≤ p (1)= 0，即 h '(x )= p (x )≤ 0∴h (x )在[1 , + ∞)上单调递减，即h (x )≤ h (1)= 0 ∴当 x ≥ 1时，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立.（2）法一：设 H (x )= x ln x - λ(x 2-1)，故对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 H (x )≤ 0 = H (1)恒成立.H '(x )= ln x + 1 - 2λx当 H '(x )= ln x + 1 - 2λx ≤ 0即ln x + 1 ≤ 2λ时x对任意 x ∈[1 , + ∞)恒成立时，函数 H (x )递减，显然满足题意设 r (x )=ln x + 1， x ∈[1 , + ∞)，则 r '(x )=- ln x≤ 0 ， r (x )递减，故 r (x ) = r (1)= 1xx 2∴1 ≤ 2λ，即λ≥ 1，满足题意.2max当λ≤ 0 时， H '(x )= ln x + 1 - 2λx ≥ 0，对任意 x ∈[1 , + ∞)恒成立时，函数 H (x )递增，∴ H (x )≥ H (1)= 0 恒成立，显然不满足题意当0 < λ< 1 时，设 q (x )= ln x + 1 - 2λx ， q '(x )= 1 - 2λ= 0 ，得 x = 1> 12当 x ∈ ⎛1 , 1 2 x 2λ ⎫ 时， q '(x )> 0 ， q (x )= H '(x )递增，⎝ λ⎭∴ H '(x )≥ H '(1)= 1 - 2λ> 0，故 H (x )递增，∴ H (x )> H (1)= 0，不满足题意综上：实数λ的取值范围为λ≥ 1.2x ⎨2 2法二：对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立，等价于ln x - λ⎛x -1 ⎫≤ 0在[1 , + ∞)恒成立( )⎛ 1 ⎫'( )1⎛⎪ ⎝⎭1 ⎫ - λx2 + x - λ令 h x = ln x - λ x -⎪ ， h x x = x - λ x + x 2 ⎪ =x 2⎝⎭ ⎝ ⎭当λ≤ 0 时， h '(x )≥ 0 ，即 h (x )在[1 , + ∞)上单调递增，∴h (x )≥ h (1)= 0，即 f (x )≥ g (x )，与题意矛盾，当λ> 0 时，令t (x )= -λx 2+ x - λ，其图像开口向下，对称轴方程为 x = 12λ当 ∆ = 1 - 4λ2≤ 0 时，即λ≥ 1， t (x )≤ 0 ，得 h '(x )≤ 0 ， h (x )在[1 , + ∞)上单调递减，∴h (x )≤ h (1)= 0 2 即对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立1⎧x + x = 1当 ∆ = 1 - 4λ2> 0 时，即0 < λ<，记 - λx 2 + x - λ= 0 的两个不等实根为 x 2 , x 2 ，则 ⎪ 122λ不妨设 x 1 < x 2 ，则0 < x 1 < 1 < x 2⎪⎩x 1 ⋅ x 2 = 1当 x ∈ (1 , x 2 )时， t (x )> 0 ，得 h '(x )> 0 ， h (x )在[1 , + ∞)上单调递增，∴h (x )≥ h (1)=0，与题意矛盾综上：实数λ的取值范围为λ≥ 1.2x 2 y 2()122. （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆C : a2+b 2的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；= 1 a > b > 0 的离心率e = 2，椭圆上的点到左焦点 F 1（2）求椭圆C 的外切矩形 ABCD 的面积 S 的取值范围.解：（1）由题意知 c a b 2 = a 2 - c 2 = 3= 1， a + c = 3，解得 a = 2 ， c = 12∴椭圆C 的方程为： x+ y = 14 3 .（2）当矩形 ABCD 的一组对边斜率不存在时，此矩形时 ABCD 的面积 S = 8 当矩形 ABCD 的一组对边斜率不存在时，不妨设 AB , CD 所在直线的斜率为 k ，则 BC , AD 的斜率为 - 1k设直线 AB 的方程为 y = kx + m ，3111 m 2 k 2 + 1 k 2 4 + 3 k 2 1 + 1 3 + 4k 2 k 2 + 1 4 + 3k 2 k 2 + 1 12k 4 + 25k 2 + 12 k 4 + 2k 2 + 1 12 + 1 k 2 + 1 +2 k 2 12 + 1 4 123 + =⎧ y = kx + m联立 ⎪ x 2 y 2 ，得(4k 2 + 3)x 2 + 8mkx + 4m 2 -12 = 0 ， ⎨ ⎩⎪ 4 3 1有 ∆ = (8mk )2 - 4(4k 2 + 3)(4m 2 -12)= 0 ，解得 m 2 = 4k 2 + 3 ，显然直线CD 的方程为 y = kx - m则直线 AB 与CD 间的距离为 d 1 = = 2 = 2同理， BC 与 AD 间的距离为d 2 = 2 = 2∴ S ABCD = d 1d 2 = 4⋅ = 4 = 4= 4 ≤ 4= 14 （当且仅当k = ±1时等号成立）又 S ABCD > 4 = 8 ，∴8 < S ≤ 14 .综上：椭圆C 外切矩形 ABCD 面积的取值范围是 (8 , 14].2 m k 2 + 1 4k 2+ 3k 2 + 1 4 + 3k 2 k 2 + 1 k 212 + k 4 + 2k 2 + 1 3 3。

2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一(上)第一次月考数学试卷(10月份)及答案

2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{2，3，4}B．{3}C．{2}D．{0，1，2，3，4} 2．（5分）设点P（x，y），则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c4．（5分）已知集合A＝，B＝{m，2，8}，若A∪B＝B，则m＝（）A．1B．2C．3D．55．（5分）不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣4）]∪[4，+∞]）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）6．（5分）已知x＞2，则函数的最小值是（）A．6B．8C．12D．167．（5分）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|﹣2≤x≤2} 8．（5分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有A⊆P（A）；②存在集合A，使得n[P（A）]＝3；③若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅；④若A⊆B，则P（A）⊆P（B）；⑤若n（A）﹣n（B）＝1，则n[P（A）]＝2×n[P（B）]．其中正确的命题个数为（）A．5B．4C．3D．2二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀x∈R，2x2﹣3x+4＞0B．∀x∈{1，﹣1，0}，2x+1＞0C．∃x∈N，使D．∃x∈N+，使x为29的约数10．（5分）已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（）A．﹣2B．C．D．11．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．请把答案填写在答题卡相应位置上）12．（5分）集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|x2﹣ax+b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B ＝{3}，则ab＝．13．（5分）若关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），则a﹣+1的最小值为．14．（5分）若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是．15．（5分）若存在两个互不相等的实数a，b，使得成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知正实数x，y满足5x2+4xy﹣y2＝1，则12x2+8xy﹣y2的最小值为四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：；（2）解不等式：6﹣2x≤x2﹣3x＜18．18．（12分）若x1和x2分别是函数y＝2x2+4x﹣3的两个零点．（1）求|x1﹣x2|的值；（2）求的值．19．（12分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩∁R A中只有一个整数，求实数m的取值范围．20．（12分）精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为w＝（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3（w+）万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为（4+）元/件．（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？21．（12分）已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．（1）若不等式y＞b的解集为（0，3），求实数a，b的值；（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围．22．（12分）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝a﹣，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）求不等式y＜（2a+2）x﹣b﹣2的解集；（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若对于任意正数t，P∩Q≠∅，求的最大值．2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{2，3，4}B．{3}C．{2}D．{0，1，2，3，4}【分析】利用全集求出M的补集，然后求出与N的交集．【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则∁U M＝{3，4}，所以（∁U M）∩N＝{3}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，常考题型，基础题．2．（5分）设点P（x，y），则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当x＝2且y＝﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”，当点P在直线l：x+y﹣1＝0上时，不一定得到x＝2且y＝﹣1，得到x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的充分不必要条件．【解答】解：∵x＝2且y＝﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”，当“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”时，不一定得到x＝2且y＝﹣1，∴“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1＝0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．3．（5分）设a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．【解答】解：∵b＜a，d＜c，∴设b＝﹣1，a＝﹣2，d＝2，c＝3选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立选项C，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题．4．（5分）已知集合A＝，B＝{m，2，8}，若A∪B＝B，则m＝（）A．1B．2C．3D．5【分析】可求出集合A＝{2，3}，根据A⊆B即可得出m＝3．【解答】解：∵集合A＝＝{2，3}，且B＝{m，2，8}，A∪B＝B，∴m＝3，故选：C．【点评】本题主要考查描述法、列举法的定义，子集的定义，以及分次不等式的解法．5．（5分）不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣4）]∪[4，+∞]）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，∴△＝a2﹣16≤0⇒﹣4≤a≤4．故选：A．【点评】本题考查一元二次不等式的解集．6．（5分）已知x＞2，则函数的最小值是（）A．6B．8C．12D．16【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为x＞2，所以x﹣2＞0，所以y＝＝+8+8＝16，当且仅当即x＝3时取等号，故选：D．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题7．（5分）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|﹣2≤x≤2}【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合∁R N中，又在集合∁R M中，即∁R N∩∁R M．又M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴图中阴影部分表示的集合是：∁R N∩∁R M＝{x|﹣2≤x≤2}∩{x|x＜1，或x＞3}＝{x|﹣2≤x＜1}，故选：A．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、V enn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．8．（5分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有A⊆P（A）；②存在集合A，使得n[P（A）]＝3；③若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅；④若A⊆B，则P（A）⊆P（B）；⑤若n（A）﹣n（B）＝1，则n[P（A）]＝2×n[P（B）]．其中正确的命题个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据集合与元素的关系可判断①③④，根据集合的子集个数公式可判断②⑤．【解答】解：对于①，对于任意集合A，都有A⊆A，故A∈P（A），故①错误；对于②，设n（A）＝m，则A的子集个数为2m，故n[P（A）]＝2m，显然2m＝3无非负整数解，故②错误；对于③，若A∩B＝∅，则A，B的公共子集只有空集∅，故P（A）∩P（B）＝{∅}，故③错误；对于④，若A⊆B，则A的所有子集都是B的子集，故P（A）⊆P（B），故④正确；对于⑤，若n（A）﹣n（B）＝1，不妨设n（A）＝m，则n（B）＝m﹣1，∴n[P（A）]＝2m，n[P（B）]＝2m﹣1，显然n[P（A）]＝2×n[P（B）]，故⑤正确．故选：D．【点评】本题考查集合与集合，元素与集合的关系，考查集合的子集计算，属于基础题．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀x∈R，2x2﹣3x+4＞0B．∀x∈{1，﹣1，0}，2x+1＞0C．∃x∈N，使D．∃x∈N+，使x为29的约数【分析】利用二次不等式的解集判断A；特殊值判断B；特例判断C；特例判断D．【解答】解：因为y＝2x2﹣3x+4，开口向上，△＝9﹣32＜0，所以2x2﹣3x+4＞0恒成立，所以A是真命题；因为x＝﹣1时，2x+1＝﹣1＜0，所以∀x∈{1，﹣1，0}，2x+1＞0，不成立，所以B不是真命题；∃x∈N，使，x＝0或x＝1时成立，所以C是真命题；∃x∈N+，使x为29的约数，例如x＝29，所以D是真命题；故选：ACD．【点评】本题考查命题的真假的判断，是基本知识的考查．10．（5分）已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（）A．﹣2B．C．D．【分析】求解一元二次方程化简p，由p是q的必要不充分条件，可得方程ax+1＝0的解集是方程x2+x﹣6＝0的解集的非空真子集，由此求解实数a的值．【解答】解：由x2+x﹣6＝0，得x＝﹣3或x＝2，即p：x＝﹣3或x＝2；q：ax+1＝0，∵p是q的必要不充分条件，∴方程ax+1＝0的解集是集合{2，﹣3}的非空真子集，则＝2，或，即a＝或a＝．故选：BC．【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用，是基础题．11．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．【解答】解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），依次分析选项：对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查二次函数的性质和二次不等式的解集、二次方程的韦达定理的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．请把答案填写在答题卡相应位置上）12．（5分）集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|x2﹣ax+b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B ＝{3}，则ab＝30．【分析】先求出A＝{3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}；若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，则B＝{2，3}；∴；∴a＝5，b＝6；∴ab＝30，故答案为：30．【点评】本题主要考查并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，属于基础题．13．（5分）若关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），则a﹣+1的最小值为3．【分析】由题意可得a＝﹣b＞0，a﹣+1＝a++1，再利用基本不等式求得a﹣+1的最小值．【解答】解：∵关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），∴，即a＝﹣b＞0．则a﹣+1＝a++1≥2+1＝3，当且仅当a＝1时，取等号，故a﹣+1的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查一次不等式的解法，基本不等式的应用，属于基础题．14．（5分）若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是．【分析】由已知中不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，我们分别讨论2m＝m﹣1时，2m＜m﹣1时，2m＞m﹣1时满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案【解答】解：∵设不等式＜0的解集为A∵不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则（，）⫋A①当2m＝m﹣1时，A＝∅，不成立；②当2m＜m﹣1，即m＜﹣1时，不等式解为A＝（2m，m﹣1），不符合条件，舍去；③当2m＞m﹣1时，不等式解为A＝（m﹣1，2m），则m﹣1≤且2m≥，解得≤m≤，即m取值范围是≤m≤．故答案为：≤m≤【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质，其中根据已知条件分讨论，并在每种情况下构造关于m的不等式组，是解答本题的关键15．（5分）若存在两个互不相等的实数a，b，使得成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【分析】根据条件可知a，b为方程x2﹣mx+1＝0的两个不相等的实根，然后由Δ＞0，求出m的取值范围．【解答】解：由存在两个互不相等的实数a，b，使得成立，可知a，b为方程x2﹣mx+1＝0的两个不相等的实根，∴Δ＝m2﹣4＞0，∴m＞2或m＜﹣2，∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的性质，考查了转化思想，属基础题．16．（5分）已知正实数x，y满足5x2+4xy﹣y2＝1，则12x2+8xy﹣y2的最小值为【分析】由5x2+4xy﹣y2＝（5x﹣y）（x+y），设5x﹣y＝m，x+y＝n，（m＞0，n＞0），求出x，y，12x2+8xy﹣y2＝表示为m，n的式子，运用基本不等式可得最小值．【解答】解：∵5x2+4xy﹣y2＝（5x﹣y）（x+y）＝1，设5x﹣y＝m，x+y＝n，（m＞0，n＞0），可得x＝，y＝，∴12x2+8xy﹣y2＝＝（m2+9n2）+≥×2+＝，当且仅当m＝3n，即x＝2y时，上式取得等号，故12x2+8xy﹣y2的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化能力和运算能力，属于较难题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：；（2）解不等式：6﹣2x≤x2﹣3x＜18．【分析】（1）利用根式与分数指数幂的运算法则，计算即可；（2）不等式等价于，求出解集即可．【解答】解：（1）＝﹣++＝﹣++＝4；（2）不等式6﹣2x≤x2﹣3x＜18等价于，化简得；即，解得；即﹣3＜x≤﹣2或3≤x＜6，所以原不等式的解集为{x|﹣3＜x≤﹣2或3≤x＜6}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了有理数指数幂的化简问题，是基础题．18．（12分）若x1和x2分别是函数y＝2x2+4x﹣3的两个零点．（1）求|x1﹣x2|的值；（2）求的值．【分析】由题意求得x1+x2＝﹣2，，（1）由求解；（2）由，进一步变形整理得答案．【解答】解：由题知，x1和x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣2，，（1）＝；（2）＝＝＝﹣17．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩∁R A中只有一个整数，求实数m的取值范围．【分析】（1）“x∈A”是“x∈B”的必要条件，等价于B⊆A，据此列式可得；（2）B∩∁R A中只有一个整数，只能是﹣2这个整数．【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B“是“x∈A“的充分条件，所以B⊆A，所以或2m≥1，解得：﹣≤m或m≥，所以m；（2）因为A＝[﹣1，2]，所以∁R A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），又B∩∁R A中只有一个整数，所以这个整数必定是﹣2，故2m∈[﹣3，﹣2），所以m∈[﹣，﹣1）【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题．属基础题．20．（12分）精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为w＝（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3（w+）万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为（4+）元/件．（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据利润公式得出y关于x的函数；（2）利用基本不等式得出最大利润【解答】解：（1）由题意知y＝（4+）w﹣3（w+）﹣x＝w+30﹣﹣x＝﹣﹣（0≤x≤5）．（2）∵y＝﹣﹣＝33﹣[（x+3）+]≤33﹣•2＝27（0≤x ≤5）．当且仅当x＝3时，上式取“＝”∴当x＝3时，y取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元．【点评】本题考查了函数模型的应用，基本不等式求最值，属于中档题21．（12分）已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．（1）若不等式y＞b的解集为（0，3），求实数a，b的值；（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围．【分析】（1）利用一元二次不等式与对应方程的关系，即可求出a、b的值；（2）解法一、不等式化为x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立，利用判别式△≤0，列不等式求出m的取值范围．解法二、不等式化为3m2﹣2m≥﹣2x2+2x+4恒成立，求出右边最小值，转化为关于m的不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，由不等式y＞b的解集为（0，3），即方程﹣3x2+a（6﹣a）x+12﹣b＝0的两根为0和3；由根与系数的关系知，，；经检验知，a＝3，b＝12时，不等式y＞b的解集为（0，3）；所以a＝3，b＝12；（2）解法一：当a＝3时，y＝﹣3x2+9x+12，由y≤3x+9m2﹣6m恒成立，得﹣3x2+6x+12≤9m2﹣6m，即x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立；又二次不等式对应的函数为y＝x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m开口向上，只需△＝4﹣4（﹣4+3m2﹣2m）≤0，化简得3m2﹣2m﹣5≥0，解得m≤﹣1或m≥；综上知，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．解法二：当a＝3时，y＝﹣3x2+9x+12，由y≤3x+9m2﹣6m恒成立，得9m2﹣6m≥﹣3x2+6x+12，即3m2﹣2m≥﹣x2+2x+4恒成立，又﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，即3m2﹣2m≥5，解得m≤﹣1或m≥；所以m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．22．（12分）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝a﹣，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）求不等式y＜（2a+2）x﹣b﹣2的解集；（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若对于任意正数t，P∩Q≠∅，求的最大值．【分析】（1）由题意可得y＝ax2+x﹣a+，分类讨论，即可求出a的值；（2）不等式转化为（ax﹣1）（x﹣2）＜0，分类讨论即可求出不等式的解集；（3）根据不等式解集对应的关系，得到﹣2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）当b＝a﹣时，y＝ax2+x﹣a+，∵集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，①当a＝0时，x＝﹣，此时满足题意，②当a≠0时，令ax2+x﹣a+＝0，则△＝1+4a（a﹣）＝0，解得a＝1或，综上所述a的取值集合为{0，，1}；（2）由y＜（2a+2）x﹣b﹣2可得ax2﹣（2a+1）x+2＜0，即（ax﹣1）（x﹣2）＜0，1°当a＞0时，则不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＜0，①若0＜a＜，则＞2，此时不等式的解集为（2，），②若a＞，则＜2，此时不等式的解集为（，2），③若a＝，此时不等式的解集为∅，2°当a＝0时，不等式即为﹣x+2＜0，此时不等式的解集为（2，+∞），3°当a＜0时，则不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＞0，此时不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞），综上所述：当a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞），当a＝0时，不等式的解集为（2，+∞），当0＜a＜时，不等式的解集为（2，），当a＝时，不等式的解集为∅，当a＞时，不等式的解集为（，2），（3）∵集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，对于任意正数t，﹣2∈Q，∵P∩Q≠∅，∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0，则4a﹣2﹣b≥0，∴4a≥b+2＞3，则﹣≤﹣＝，令t＝3b﹣2＞1，此时b＝，则﹣≤＝≤，当且仅当t＝4，即a＝1，b＝2时，取等号，故的最大值为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，不等式的解法，根据集合关系进行等价转化是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．。

2027-2018学年第一学期江苏省南京市金陵中学2018届高三上学期10月考数学试卷与解析

已知 A x |

16．（本题满分 14 分）已知定义域为 R 的函数 f ( x ) (1)求实数 m 的值； (2)解不等式 f ( x ) f (1 x ) 0 ．
2 x 1 是奇函数. 2 x 1 m
17. （本题满分 14 分）已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)＝x2＋2x. (1)求函数 g(x)的解析式； (2)解不等式 g(x)≥f(x)－|x－1|； (3)若 h(x)＝g(x)－λf(x)＋1 在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
y f ( x 1) 为偶函数， f (2) 1 ，则不等式 f ( x) e x 的解集为
▲
．
二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 14 分）
1 3x 1 0 ， B x | x 2 4 x 4 m 2 0, m 0 ， x7 （1）若 m 3 ，求 A B ；（2）若 A B B ，求实数 m 的取值范围．
20．(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) x a
a ln x, a R ， 2
2
(I)求函数 f ( x ) 的单调区间； (II)若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ，( x1 x2 )，求证： 1 x1 a x2 a ．
高三数学参考答案
3．公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数，且 a4 a10 16 ，则 a10 4． “ 2 x 4 ”是“
1 1 ” 成立的 x 2▲源自．▲条件．

江苏省南京市金陵中学2018届高三上学期10月考数学---精校解析Word版

2017—2018学年第一学期高三月考试卷数学一、填空题1. 已知全集,集合,,则_______．【答案】【解析】由,得：，则，故答案为. 2. 已知且，则＝______．【答案】【解析】∵，，∴，故，故答案为.3. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则________．【答案】32【解析】试题分析：∵等比数列公比为，∴，又∵，∴.考点：等比数列的通项公式.4. “”是“” 成立的__________条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分【解析】由得；由得：；若，则不成立；若，则成立，故“”是“” 成立的必要不充分条件，故答案为必要不充分.5. 不等式的解集为_______．【答案】【解析】试题分析：，∴不等式的解集是.考点：解不等式.6. 设函数的图象过点A(2，1)，且在点A处的切线方程为，则________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得：，∵，∴，而，∴.考点：导数的运用.7. 若函数的零点为，则满足的最大整数k =_______．【答案】2【解析】试题分析：令，则，，∴由零点存在定理可知在上至少存在一零点，再由在上单调递增可知零点的唯一性，∴，∴满足不等式的最大整数.考点：零点存在定理.8. 已知函数(为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是_______．【答案】【解析】因为函数（为常数），若在区间上是增函数，由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，又在区间上是增函数，所以，故有，故答案为.点睛：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型.9. 已知实数,函数，若，则实数的值为_______．【答案】和8【解析】试题分析：函数满足，当时，，，=，，，当时，，，，=，，，则考点：1.分段函数；2.轴对称图形；10. 已知，，则用表示为____________．【答案】【解析】∵，，∴，，∴，化为，故答案为.11. 已知数列{a n}是等差数列，且，它的前n项和S n有最小值，则S n取到最小正数时n 的值为______．【答案】12【解析】∵等差数列的前项和有最小值，∴，，又，∴，，可得当时，，，∴，因此取到最小正数时的值为12，故答案为12.12. 已知时，不等式恒成立，则的取值范围是__________．【答案】...............13. 已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是________；【答案】或【解析】法一：数形结合图像法，函数与函数的恰好有两个交点，如图，因为过定点所以或故的范围为.法二：直接法：函数与函数的恰好有两个交点，，①当时，方程得在与单调递减，故；②当，由，有，解得，或，则与每一段函数有且只有一个交点，那么同时满足①②，故.答案.【考点定位】本题考察了分段函数数与未知函数交点情况去求参数取值范围的问题，着重强调了分段函数要分段讨论，特别体现了形结合这种思想在解题中的巨大作用，考察了学生对函数图像、性质的把握，对函数的分段讨论的思想，需要较强的想象、推理能力14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为________．【答案】点睛：本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属较难题；首先构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.二、解答题15. 已知，，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用分式不等式的解法求出集合，二次不等式的解法求出集合，然后求解交集；（2）利用已知条件求出，转化为不等式组，求解即可.试题解析：（1）若，，（2）又,，即实数的取值范围为.16. 已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义，代入化简可得对恒成立，故可得的值；（2）利用定义证明函数为减函数，结合奇偶性与单调性可将不等式等价转化为，可得结果.试题解析：(1)由已知，，即=，则=，所以对恒成立，所以．(2)由，设，则，所以在R上是减函数，由，得，所以，得，所以的解集为．点睛：本题主要考查了函数的奇偶性与单调性以及利用单调性解抽象函数的不等式的能力，注重对基础的考查，难度一般；若函数为奇函数，可得对于任意，均有，对于形如这种形式的抽象函数不等式主要利用函数的单调性与奇偶性来解，其转化为.17. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，求出，坐标关系，然后把坐标代入解析式即可；（2）把不等式表示出来，分及两种情况可解；（3）写出的解析式，由题意可知为函数的增区间的子集，分情况讨论可求的范围.试题解析：(1)设函数的图象上任一点关于原点的对称点为，则，即，∵点在函数的图象上，∴，即，故.(2)由可得：，当时，，此时不等式无解；当时，，∴，因此，原不等式的解集为.(3).①当时，得在上是增函数，符合题意，∴.②当时，抛物线的对称轴的方程为.(ⅰ)当，且时，在上是增函数，解得.(ⅱ)当，且时，在上是增函数，解得，综上，得. 18. 如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为平方米.(1)按下列要求写出函数关系式：①设(米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式.(2)求梯形部件ABCD面积的最大值．【答案】（1）①，②；（2）【解析】试题分析：（1）①梯形上底和下底确定，故需表示梯形高即可．过点C作于E,则在中，，故梯形面积为；②思路与第一问相同，不同的是变量的选取差异，在中，，则梯形上、下底分别为和2，高为，故梯形面积为；（2）以为例，函数解析式变形为，利用导数求被开方数的最大值即可.试题解析：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C作于E，（1）①∵，∴，∴4分②∵，∴，∴， 8分（说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分）（2）（方法1）∴，令，则， 10分令，，（舍）． 12分∴当时，，∴函数在（0，）上单调递增，当时，，∴函数在（，1）上单调递减， 14分所以当时，有最大值，16分答：梯形部件面积的最大值为平方米．（方法2）∴， 10分令，得，即，（舍）， 12分∴当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减， 14分所以当时，16分答：梯形部件ABCD面积的最大值为平方米．考点：1、函数解析式；2、函数的最大值.19. 已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数m ，使得．【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）本题是等差、等比混合计算题目，解题关键是等差数列和等比数列的公共项，由等差数列的定义设，（为整数），根据等比中项列方程得求，进而确定等比数列公比，再写通项公式；（2）本题考查分段数列的通项公式，当，等式同时涉及等差数列和等比数列的项，故可采取验证的方法，当时，利用等比数列通项公式得关于的方程，通过研究方程解的情况得出结论．试题解析：（1）设数列前6项的公差为，则，（为整数）又，，成等比数列，所以，即，得 4 分当时，， 6 分所以，，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，所以，当时，．故8分（2）由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，当时等式成立，即；当时等式成立，即； 10分当时等式不成立； 12分当时，，若，则，所以14分，，从而方程无解所以．故所求或． 16分考点：等差数列和等比通项公式.20. 已知函数，(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，()，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）去绝对值，分为时，，函数单调递增；当时，根据导数与0的关系得其单调性；（2）由（1）知，当时，函数单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有，此时函数的单调递减区间为；单调递增区间为，进一步得出和，从而得出答案.试题解析：(1)依题意有，函数的定义域为，当时，，，函数的单调增区间为，当时，，若，，此时函数单调递增，若，，此时函数单调递减，综上所述，当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调减区间为，单调增区间为(2)由(1)知，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；则必有，此时函数的单调减区间为，单调增区间为，由题意，必须，解得由，，得，而，下面证明：时，设，()，则，所以在时递增，则，所以，又因为，所以，综上所述，.- 11 -。

江苏省南京市金陵中学高三数学理月考试题含解析

江苏省南京市金陵中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）参考答案：D2. 已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．3. （文）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列结论错误的是（）A．和均为的最大值. B．；C．公差；D．；参考答案：D由，，可知，且，所以，所以和均为的最大值. 所以A,B,C都正确，选D.4. 给出定义:若 (其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①的定义域是,值域是;②点是的图像的对称中心,其中;③函数的最小正周期为1;④ 函数在上是增函数.则上述命题中真命题的序号是（）A．①④ B．①③ C．②③ D．②④参考答案：B略5. 复数z＝的共轭复数是（）A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i参考答案：D略6. 复数是虚数单位的实部是A． B． C． D．参考答案：答案：A7. 已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点相同，且F到双曲线的右顶点的距离等于1，则双曲线的离心率的取值范围是A．（1，2） B．（1，3） C． D．（2，3）参考答案：Ａ8. 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【专题】算法和程序框图．【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环累加循环变量的值到累加变量S，并在循环变量k值大于等于8时，输出累加结果．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=，满足条件k＜8，k=4，s=+，满足条件k＜8，k=6，s=++，满足条件k＜8，k=8，s=+++=，不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时，我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果．9. 若均为区间的随机数，则的概率为A． B． C．D．参考答案：D略10. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A． B．C． D．参考答案：D由样本中数据可知，，由茎叶图得，所以选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面四边形中，点分别是边的中点，且，．若，则的值为_____________.参考答案：13.5略12. 已知，且，设直线，其中，给出下列结论：①的倾斜角为；②的方向向量与向量共线；③与直线一定平行；④若，则与直线的夹角为；⑤若，，与关于直线对称的直线与互相垂直．其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）参考答案：②④13. 若两个单位向量，的夹角为60°，则_______．参考答案：【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到的值．【详解】∵两个单位向量，的夹角是60°，∴444﹣4×1×1×cos60°+1＝3，故，故答案为．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．14. 若集合，则．参考答案：试题分析：根据题的条件可知，，根据集合的交集的定义可知，.考点：集合的运算.15. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1+ a2+ a3=2, a3+ a4+ a5=8,则a4+ a5+ a6= .参考答案：16略16. 给出以下五个命题：①点的一个对称中心②设回时直线方程为，当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位③命题“在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题④对于命题p：“”则“”⑤设，，则“”是“” 成立的充分不必要条件. 不正确的是参考答案：④⑤略17. 若圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y+c=0的距离等于1，则实数c的取值范围是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

南京市金陵中学2019_2020学年高一数学上学期10月月考试题含解析

A。 B。
C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意，以及函数图像，得到时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果。
【详解】当时,由得 ;由函数图像可知，；
由函数是定义在上奇函数，
所以当时, ，此时也满足；
综上，不等式的解集为 .
故选:A
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.
11。设，其中为参数，。若函数在区间上的最大值为 ,则函数在区间上有( ）.
A。最小值 B. 最小值 C。最小值 D. 最大值
【答案】B
【解析】
【分析】
先设，则，根据题意得到在区间上的最大值为，再判断函数是奇函数，求出在区间上的最小值为，即可得出结果.
【详解】设，则 ,
二、填空题：本大题共 4小题，每题 4 分,共 16 分．
13。若，则实数的值为________。
【答案】1
【解析】
【分析】
分别讨论和两种情况，即可得出结果。
【详解】若 ,则 ,所以 ,此时，不符合集合中元素的互异性；
若 ,则，当时, ，满足题意;
综上，。
故答案为：
【点睛】本题主要考查由元素与集合间的关系求参数的问题，熟记元素的特征即可，属于基础题型。
【详解】若 ,则，符合题意；
若，由在区间上是增函数，
可得：，解得。
综上，的取值范围为。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记二次函数性质，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型。
10.已知函数是定义在上奇函数，且当时，函数的图像如图所示,则不等式的解集为( ）.

上海金陵中学高三数学理月考试卷含解析

上海金陵中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b?α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a∥α推不出a∥b，由a∥b也推不出a∥α，如a在α内，故a∥α”是“a∥b”既不充分也不必要条件，故选：D．2. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C【知识点】利用导数研究函数的单调性因为。

故答案为：C3. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：B4. 函数在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是A．B．C．(－∞,0) D．参考答案：D5. 已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二倍角的正切．【专题】计算题．【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx 的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．【解答】解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx 时注意利用x的范围判定其符合．6. 已知复数，则它的共轭复数等于( )A． B． C． D．参考答案：C7. 函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“健身俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．216参考答案：C略9. 若、为锐角△的两内角，则点是…( )(A)第一象限的点 (B)第二象限的点 (C)第三象限的点 (D)第四象限的点参考答案：D10. ”a<0”是”函数在区间上单调递增”的A.必要不充分条件B.充要条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）若幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，8），则a= ．参考答案：3考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数f（x）的图象经过点（2，8），列出方程，求出a的值．解答：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，8），∴2a=8；解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．12. 如图，是圆的切线，切点为，，是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径等于________．参考答案：13. 已知向量，则在方向上的投影为_______.参考答案：2略14. 若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ．参考答案：15. 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为参考答案：16. 从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为．参考答案：17. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【专题】压轴题；导数的概念及应用．【分析】设F（x）=f（x）﹣x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x2）＜可得f（x2）﹣＜f（1）﹣，最后根据单调性可求出x的取值范围．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣∵f′（x）＜，∴F′（x）=f′（x）﹣＜0即函数F（x）在R上单调递减而f（x2）＜即f（x2）﹣＜f（1）﹣∴F（x2）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减∴x2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

金中十月高三数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=\sqrt{4-x^2}$，其定义域为（）A. $[-2,2]$B. $[-2,2]$C. $[-2,2]$D. $[-2,2]$2. 下列命题中正确的是（）A. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处连续B. 函数$f(x)=x^2$在$x=0$处可导C. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在$x=0$处可导D. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处可导3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=3$，$d=2$，则$S_5$等于（）A. 30B. 35C. 40D. 454. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(1)$等于（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在直角坐标系中，直线$y=2x+1$与圆$x^2+y^2=1$的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定6. 已知函数$f(x)=\ln(x+1)$，则$f'(x)$等于（）A. $\frac{1}{x+1}$B. $\frac{1}{x}$C. $\frac{1}{x-1}$D.$\frac{1}{x+1}$7. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，则$q$等于（）A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 4D. $\frac{1}{4}$8. 在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为（）A. $(2,3)$B. $(3,2)$C. $(2,-3)$D. $(-3,2)$9. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，则$f'(x)$等于（）A. $3x^2-6x+2$B. $3x^2-6x-2$C. $3x^2-6x+3$D. $3x^2-6x-3$10. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f''(x)$等于（）A. $-\frac{1}{x^3}$B. $\frac{1}{x^3}$C. $-\frac{1}{x^2}$D.$\frac{1}{x^2}$二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数$f(x)=\sqrt{x}$，则$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。

金陵中学2018年10月考数学

2
若 f (a + 3) =−(a + 3)2 + 8 =2a ，此时区间中点 a + 3 > 0 ，
2 解得 a =−4 − 15 （舍）或 a =−4 + 15 ；综上所述，
a = −4 时， f ( x) 在 [−4, −1] 最大值为 7 ；
a =−4 + 15 时， f ( x) 在 15 − 4, 15 −1 最大值为 8 .
x
17. 【答案】⑴ (1,3) ；⑵ (0,1) ；
【解析】⑴ −1 < x − 2 < 1 ；
⑵由奇函数可得 f (1 − m) < − f (1 ) −= m2 f (m2 −1) ，
由单调减可得1 > 1 − m > m2 −1 > −1，解得 m ∈ (0,1) .
18. 【答案】⑴见解析；⑵最大值 f (1) = 1 ，最小值 f (−1) =−1.
【解析】由 2 ≤ −1 得 x + 1 ≤ 0 .
x −1
x −1
5. 【答案】 −1 ；
【解析】 g ( f (2)) = g (1) = −1 .
6. 【答案】 (−∞, −4] ；
【解析】由题意解得 p =
[−2,
5]
，则有
2m −1 ≤ −2 1 − m ≥ 5
，解得
m
∈
(
−∞,
−4]
.
7. 【答案】 (−1,0) 和 (1, +∞) ；
【解析】由函数图象可知.
8. 【答案】 (0, 2] ；【解析】函数为偶函数， x ≥ 0 时， f ( x) = 2 单调递减， f ( x) ∈(0, 2] ，由对称可知 f ( x) ∈(0, 2] .

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高三(上)期中数学试卷

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={x|log2x＜2}，B={-1，0，1，2，4}，则A∩B=______．2.已知复数z=（1+i）（1+3i），其中i是虚数单位，则|z|的值是______．3.已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是______．4.从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为______．5.如图是一个算法的流程图，则输出a的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为______．7.已知，则sin2x=______．8.数列{a n}满足：a n=，且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是______．9.在平面直角坐标系xOy中，若曲线（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，则2a+3b的值是______．10.已知函数f（x）=-+4x-3ln x在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是______．11.在△ABC中，AB=AC，BC=2，=，=，若=-，则=______．12.已知，则方程f[f（x）]=3的根的个数是______．13.已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b-ac=0，则的最大值为______．14.若存在正数x，y，使得（y-2ex）（ln y-ln x）z+x=0（其中e为自然对数的底数），则实数z的取值范围是______二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．16.已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=-，sin（α+β）=．（1）求tan2β的值；（2）求α的值．17.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．18.已知圆O：x2+y2=4与坐标轴交于A1、A2、B1、B2（如图）．（1）点Q是圆O上除A1、A2外的任意点（如图1），A1Q、A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求MN的最小值；（2）点P是圆O上除A1、A2、B1、B2外的任意点（如图2），直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m-k 为定值．19.设函数，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．（1）当k≤0时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，3）上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在x0（x0＞0），使得f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．20.若数列{a n}同时满足：①对于任意的正整数n，a n+1≥a n恒成立；②对于给定的正整数k，a n-k+a n+k=2a n对于任意的正整数n（n＞k）恒成立，则称数列{a n}是“R（k）数列”．（1）已知a n=，判断数列{a n}是否为“R（2）数列”，并说明理由；（2）已知数列{a n}是“R（3）数列”，且存在整数p（p＞1），使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：{b n}是等差数列．21.二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M-1；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．22.在极坐标系中，设圆p=3上的点到直线p（cosθ+sinθ）=2的距离为d，求d的最大值．23.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．24 已知，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若p n是f n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）．2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高三（上）期中数学试卷答案和解析【答案】1. {1，2}2.3. 44.5. 106. 27. -8. （2，3）9. -810. 0＜t＜1或2＜t＜311.12. 513.14. （-∞，0）∪[，+∞）15. 证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．16. 解：（1）∵β∈（，π），cosβ=-，可得：，∴．∴；（2）∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），又∵sin（α+β）=，∴．∴cosα=cos（α+β-β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=．∵α∈（0，），∴．17. 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于BE=10tanθ≤10，AF=≤10，而且≤tanθ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]．即L=10×，θ∈[，]．（2）设sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即θ=或θ=时，L取得最大值为20（+1）米．18. 解：（1）设直线A2Q的方程为y=k（x-2），则直线A1Q的方程为，由，解得；即，由，解得，即N（3k-2，-3）．∴．当k＞0时，，当且仅当k=1时等号成立．当k＜0时，，当且仅当k=-1等号成立，线段MN长的最小值是2．（2）由题意可知A1（-2，0），A2（2，0），B1（0，-2），B2（0，2），∴直线A2P的方程为y=k（x-2），由，得，直线B2P的方程为，令y=0，则，即，∵直线A1B2的方程为x-y+2=0，由，解得，∴E（，），∴EF的斜率，∴，即2m-k为定值．19. 解：f′（x）=+k（-）=+=，（1）当k≤0时，e x-kx2＞0 对任意的x＞0都成立，所以，当x＞3时，f′（x）＞0；当0＜x＜3 时，f′（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）f′（x）=，由函数f（x）在区间（1，3）上存在两个极值点，得f′（x）=0在区间（1，3）上至少有两个解，即e x-kx2=0在区间（1，3）上至少有两个解．即k=，令g（x）=-k，x∈（l，3），则g′（x）=，所以，当1＜x＜2时，g′（x）＜0；当2＜x＜3吋，g′（x）＞0，所以g（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，3）上单调递增．又g（2）=-k，g（3）=-k＜g（l）=e-k，所以-k＜0，且-k＞0，即＜k＜，此时存在x1∈（1，2），x2∈（2，3），使得g（x1）=g（x2）=0，且当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，当x∈（x2，3）时，f′（x）＜0，满足条件．所以k的取值范围是（，）．（3）令h（x）=，得h′（x）=，当x≥3时，h′（x）≥0，当且仅当x=3时等号成立，所以，h（x）在[3，+∞）上单调递增，所以，当x＞3吋，h（x）＞h（3），（h（3）=＞0），即e x＞h（3）x3，当x＞3时，f′（x）=＞=，设x0为3和中较大的数，则当x＞x0时，f′（x）＞0，∴対任意给定的实数k，存在x0，（x0＞0），使得f（x）在区区间（x1，+∞）上单调递增．20. 解：（1）当n为奇数时，a n+1-a n=2（n+1）-（2n-1）=3＞0，所以a n+1≥a n．a n-2+a n+2=2（n-2）-1+2（n+2）-1=2（2n-1）=2a n．当n为偶数时，a n+1-a n=2（n+1）-2n=3＞0，所以a n+1≥a n．a n-2+a n+2=2（n-2）+2（n+2）=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R（2）数列数列”．证明（2）由题意可得：b n-3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+（n+1）d1，所以n（d2-d1）≥b1-b2①，n（d2-d1）≥b1-b2+d1，②．若d2-d1＜0，则当n＞时，①不成立；若d2-d1＞0，则当n＞时，②不成立；若d2-d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ，则b3p-1-b3p-2=b3p-1-（n-p）d-（b3p+1-（n-p-1）d）=b3p-1-b3p+1+d=d-λ，同理可得：b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ，所以b n+1-b n=d-λ．所以：{b n}是等差数列．21. 解：（Ⅰ）设，则有=，=，所以且，解得所以M =，从而M -1=（Ⅱ）因为==且m ：2x ′-y ′=4，所以2（x +2y ）-（3x +4y ）=4，即x +4=0，这就是直线l 的方程．22. 解：将极坐标方程p =3转化为普通方程：x 2+y 2=9 p （cosθ+sinθ）=2可化为x +y =2在x 2+y 2=9上任取一点A （3cos a ，3sin a ），则点A 到直线的距离为 d ==，它的最大值为4．23. 解：（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则有A （0，0，1），B （2，0，0），C （0，2，0），E （0，1，0）．=（2，0，0）-（0，1，0）=（2，-1，0），=（0，2，-1），（2分） cos ＜＞=．（4分）由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是．（5分）（2）=（0，1，-1），设平面ABE 的法向量为m 1=（x ，y ，z ），则由m 1⊥，m 1⊥，得取n =（1，2，2），平面BEC 的一个法向量为n 2=（0，0，1），（7分） cos ＜n 1．n 2＞==（9分）由于二面角A -BE -C 的平面角是n 1与n 2的夹角的补角，其余弦值是-．（10分）24. （1）解：g （x ）=f 4（x ）+2f 5（x ）+3f 6（x ）=+2+3，∴g （x ）中含x 2项的系数为=1+10+45=56．（3分）（2）证明：由题意，p n =2n -1．（5分） ①当n =1时，p 1（a 1+1）=a 1+1，成立；②假设当n =k 时，p k （a 1a 2…a k +1）≥（1+a 1）（1+a 2）…（1+a k ）成立，当n =k +1时，（1+a 1）（1+a 2）…（1+a k ）（1+a k +1）≤2k -1（a 1a 2…a k +1）（1+a k +1） =2k -1（a 1a 2…a k a k +1+a 1a 2…a k +a k +1+1）．（*）∵a k＞1，a1a2…a k（a k+1-1）≥a k+1-1，即a1a2…a k a k+1+1≥a1a2…a k+a k+1，代入（*）式得（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k（a1a2…a k a k+1+1）成立．综合①②可知，p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）对任意n∈N*成立．（10分）【解析】1. 解：∵集合A={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}，B={-1，0，1，2，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：∵z=（1+i）（1+3i）=-2+4i，∴|z|=．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 解：一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数为：=（2+4+5+6+8）=5，∴这组数据的方差：S2=[（2-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（8-5）2]=4．故答案为：4．先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 解：从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，基本事件总数n==10，这2名代表都是女同学包含的基本事件个数m==3，∴这2名代表都是女同学的概率为p==．故答案为：．基本事件总数n==10，这2名代表都是女同学包含的基本事件个数m==3，由此能求出这2名代表都是女同学的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟算法的流程图知，a=4，b=10，a＜b，a=7，b=8，a＜b，a=10，b=6，a＞b，满足判断框内的条件，退出循环，输出a=10．故答案为10．6. 【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，属于基础题．求出椭圆的右焦点，列出方程求解P即可．【解答】解：椭圆的右焦点为F（1，0），若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得，解得p=2．故答案为2．7. 解：已知，则sin2x=-cos（+2x）=-1+2=-1+=-，故答案为：-．由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得sin2x的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．8. 解：∵a n=，且数列{a n}是递增数列，则，∴2＜a＜3，∴a∈（2，3），∴实数a的取值范围是（2，3）．故答案为：（2，3）．首先，根据数列{a n}是递增数列，得到，求解实数a的取值范围即可．本题重点考查了数列的函数特征，数列的增长趋势，属于综合性题目．9. 【分析】由曲线（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与线2x-7y+3=0垂直，解方程可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到切线的斜率是解答的关键．【解答】解：曲线（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，其中y′=2ax，即有，故2a+3b=-8.故答案为-8．10. 解：∵函数∴f′（x）=-x+4-∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=-x+4-=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2-4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．先由函数求f′（x）=-x+4-，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=-x+4-=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2-4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．11. 解：以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示．则B（-1，0），C（1，0），设A（0，m），由题意得D（，），E（，），∴=（，），=（1，-m），∵，∴×1+×（-m）=-，解之得m=2（负值舍去）由此可得E（，），=（-，），=（-1，-2）∴=-×（-1）+×（-2）=-．故答案为：-以BC的中点O为原点，建立如图所示直角坐标系，可得B（-1，0），C（1，0）．设A（0，m），从而算出向量的坐标关于m的式子，由建立关于m的方程，解出m=2．由此算出的坐标，从而可得的值．本题给出等腰三角形的底面长，在已知两个向量的数量积的情况下求另外向量的数量积．着重考查了等腰三角形的性质、向量的数量积公式和向量的坐标运算等知识，属于中档题．12. 【分析】本题考查了分段函数与复合函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．由题意得2f（x）+1=3或|ln f（x）|=3，从而解得f（x）=e3或f（x）=e-3；从而再讨论即可．【解答】解：由题意得，2f（x）+1=3或|ln f（x）|=3，即f（x）=1（舍去）或f（x）=e3或f（x）=e-3；若f（x）=e3，则2x+1=e3或|ln x|=e3，故x=（舍去）或x=或x=；若f（x）=e-3，则2x+1=e-3或|ln x|=e-3，故x=或x=或x=；故方程f[f（x）]=3共有5个解，故答案为：5．13. 解：由b2+2（a+c）b-ac=0得（b+a+c）2=ac+（a+c）2≤+（a+c）2=（a+c）2，∴b+a+c≤（a+c），∴b≤（a+c），∴≤，当且仅当a=c时取等．故答案为由b2+2（a+c）b-ac=0得（b+a+c）2=ac+（a+c）2≤+（a+c）2=（a+c）2再解关于b的不等式即可．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．14. 解：则（y-2ex）（ln y-ln x）z+x=0可化为：，令t=，得（t-2e）ln t=-．令f（t）=（t-2e）ln t，（t＞0），则f′（t）=g（t）=ln t+1-，则g′（t）=，故g（t）为（0，+∞）上的增函数，又因为f′（e）=g（e）=1+1-2=0，故当t∈（0，e）时，f′（t）＜0，当t＞e时，f′（t）＞0，所以f（t）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，所以f（t）在（0，+∞）存在最小值f（e）=-e，即f（t）的值域为（-e，+∞），∴-∈（-e，+∞），所以z∈（-∞，0）∪[，+∞），故填：（-∞，0）∪[，+∞），令=t，分类参数得（t-2e）ln t=-，求出g（t）=（t-2e）ln t的值域，从而得出z的范围．本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．属于难题．15. （1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直，属于中档题．16. （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，再利用二倍角的正切函数公式求解得tan2β的值；（2）由已知可求α+β∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），再利用两角差的余弦函数公式可得cosα的值，根据α的范围，从而确定α的值．本题考查了二倍角公式、角的灵活拆分等知识，属于中档题．17. （1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L =EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．18. （1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，进而得出MN的最小值；（2）求出个直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论．本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．19. （1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解；（2）求函数的导数，结合函数极值与导数之间的关系进行转化即可；（3）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，极值与导数之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．20. （1）由题意可知根据等差数列的性质，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n-3+a n+3）+（a n-2+a n+2）+（a n-1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．21. （1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可，再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵；（2）在所求的直线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵M的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可．本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题．22. 欲求d的最大值，即求出圆上一点何时到直线的距离最大，先将圆p=3和直线p （cosθ+sinθ）=2的极坐标方程化成直角坐标方程，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．23. （1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可．考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量，本题主要考查了两面角的计算，考查了学生综合分析问题的能力和解决问题的能力．24. （1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；（2）确定p n的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。

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