正方形性质课件
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正方形的性质课件ppt
角判定法
总结词
若四边形所有角都是直角，则该四边形是正方形。
详细描写
正方形的一个基本性质是其所有角都是直角，因此，如果一个四边形的所有角都 是直角，那么它就是正方形。
对角线判定法
总结词
若四边形的对角线互相垂直且相等，则该四边形是正方形。
详细描写
正方形的对角线不仅相等，而且还互相垂直，因此，如果一 个四边形的对角线互相垂直且相等，那么它就是正方形。
正方形的性质课件
汇报人： 202X-12-30
目录
• 正方形的定义与特性 • 正方形的性质 • 正方形的判定 • 正方形的面积与周长 • 正方形的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
正方形的定义与特性
定义
正方形是四边相等且四个角都 是直角的四边形。
正方形的所有边长相等，所有 内角都是直角，即90度。
正方形的对角线相等且互相平 分，对角线将正方形分成两个 全等的等腰直角三角形。
正方形瓷砖在地面铺设中应用广 泛，其规整、简洁的特性使得地
面整洁美观。
墙面装潢
正方形瓷砖也常用于墙面装潢，特 别是厨房、卫生间等空间的墙面， 既美观又易清洁。
家居摆设
正方形形状的家居摆设如相框、画 框等也十分常见，符合人们的审美 习惯。
THANKS
感谢观看
04
正方形的面积与周长
面积计算公式
面积计算公式
正方形的面积等于边长的平方，即边 长乘以边长。
举例说明
如果正方形的边长为5厘米，则其面 积为5厘米 x 5厘米 = 25平方厘米。
周长计算公式
周长计算公式
正方形的周长等于四倍的边长，即4倍的边长。
举例说明
如果正方形的边长为5厘米，则其周长为5厘米 x 4 = 20厘米。
《认识正方形》PPT课件(2024)
正方形特点
四边等长，四角均为90度。
2024/1/30
4
正方形与长方形关系
正方形是长方形的特例
当长方形的长和宽相等时，即为正方 形。
长方形与正方形的区别
长方形长和宽不等，而正方形四边等 长。
2024/1/30
5
正方形对称性
正方形的轴对称性
正方形有两条对称轴，分别是两条对角线。
正方形的中心对称性
正方形关于其中心点对称，即任意一点关于中心点的对称点仍在正方形上。
19
05
正方形相关数学问题探 讨
2024/1/30
20
正方形内角和问题
正方形内角和定理
正方形四个内角之和等于360度 。
证明方法
通过划分正方形为两个三角形， 利用三角形内角和定理进行证明
。
应用举例
解决与正方形内角相关的几何问 题，如角度计算、形状判断等。
2024/1/30
21
正方形对角线性质
2024/1/30
2024/1/30
11
03
正方形在生活中的应用
2024/1/30
12
建筑设计中应用
正方形作为建筑的基本形状之一，在建筑设计中广泛应用，如房屋、大厦、广场等 。
正方形的平面布局可以使得空间更加均衡、稳定，符合建筑美学的要求。
2024/1/30
正方形的建筑结构具有良好的承重性和稳定性，能够保证建筑的安全性和耐久性。
• 实例2：已知正方形周长为24m，求其边长和面积。 • 边长计算：a = C / 4 = 24m / 4 = 6m。 • 面积计算：S = a² = 6m × 6m = 36m²。 • 应用场景：正方形周长与面积计算在建筑设计、土地测量、
正方形的性质经典课件
相等。
判定方法：除 了四个角都是 直角外，还可 以通过邻边相 等的平行四边 形是正方形来
判定。
与菱形的区别： 虽然菱形的四 个边都相等， 但是菱形的角 度不一定是直 角，因此菱形 不一定是正方
形。
04
正方形的面积与周长
正方形的面积计算公式
定义：正方形面积是边长的平 方
公式：S=a²
举例：如果边长为3，则面积为 9
正方形的相关推论
正方形的对角线性质：相等且互 相平分
正方形的面积性质：等于边长的 平方
添加标题
添加标题
正方形的边长性质：相等
添加标题
添加标题
正方形的内角性质：每个内角都 是90度
感谢观看
汇报人：PPT
05
正方形的特殊性质
正方形的对角线长度相等且互相平分
对角线性质：对角线长度相 等且互相平分
证明方法：利用勾股定理或 相似三角形性质
定义：正方形四条边相等， 四个角都是直角
应用：在几何学、物理学等 领域有广泛应用
正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形
定义：正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形 性质：每个三角形的两边长度相等，且两个锐角都是45度 证明：通过正方形的性质和三角形的性质，可以证明这个结论 应用：这个性质在几何学中有广泛的应用，例如在解决几何问题、设计图案等方面
判定方法：对角 线相等的平行四 边形是正方形， 它的对角线互相 垂直平分
应用：在几何学 中，正方形是一 种重要的图形， 具有许多独特的 性质和判定方法， 可以应用于许多 领域
四个角都是直角的平行四边形是正方形
定义：如果一 个平行四边形 的四个角都是 直角，则它是 一个正方形。
判定方法：除 了四个角都是 直角外，还可 以通过邻边相 等的平行四边 形是正方形来
判定。
与菱形的区别： 虽然菱形的四 个边都相等， 但是菱形的角 度不一定是直 角，因此菱形 不一定是正方
形。
04
正方形的面积与周长
正方形的面积计算公式
定义：正方形面积是边长的平 方
公式：S=a²
举例：如果边长为3，则面积为 9
正方形的相关推论
正方形的对角线性质：相等且互 相平分
正方形的面积性质：等于边长的 平方
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正方形的边长性质：相等
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正方形的内角性质：每个内角都 是90度
感谢观看
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05
正方形的特殊性质
正方形的对角线长度相等且互相平分
对角线性质：对角线长度相 等且互相平分
证明方法：利用勾股定理或 相似三角形性质
定义：正方形四条边相等， 四个角都是直角
应用：在几何学、物理学等 领域有广泛应用
正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形
定义：正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形 性质：每个三角形的两边长度相等，且两个锐角都是45度 证明：通过正方形的性质和三角形的性质，可以证明这个结论 应用：这个性质在几何学中有广泛的应用，例如在解决几何问题、设计图案等方面
判定方法：对角 线相等的平行四 边形是正方形， 它的对角线互相 垂直平分
应用：在几何学 中，正方形是一 种重要的图形， 具有许多独特的 性质和判定方法， 可以应用于许多 领域
四个角都是直角的平行四边形是正方形
定义：如果一 个平行四边形 的四个角都是 直角，则它是 一个正方形。
18.2.3正方形 正方形的性质 课件(共30张PPT)人教版数学八年级下册
的冬天，干啥还希望MNE≌△MDF(ASA),∴EM=FM ．
D
∵四边形ABCD和为。正”真方的，形济,南∴的∠人们N在B冬E天=是4面5上°含笑的。他们一看
那些小山，心中便觉得有了着落，有了依靠。他们由天上
∴∠BNE=90°看－到∠山上N，B便E不=知4不5°觉地，想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
M
∴∠NBE=∠BN点E幻,想∴不能B一E时＝实N现E，．他们也并不着急，因为有这样慈善 N
情境导入
仔细观察下列实际生活中的图片,你会发现这些都
是正方形的形象． 小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈 小山在冬天特别可爱，好像是把济南放在一个小摇篮里， 它们全安静不动地低声地说：“你们放心吧，这儿准保暖 和。”真的，济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看 那些小山，心中便觉得有了着落，有了依靠。他们由天上 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这 点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善 的冬天，干啥还希望别的呢！
那些小山，心中便觉得有了着落，有了依靠。他们由天上
（2）若BD与EF相交于点M,连接AM, 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
试判断AM与的冬E天F，的干啥数还希量望别关的呢系！ 和位置关
B
C
△DAO是全等的等腰直角三角形.
例题精析
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC=B小D山整,把A济C南⊥围了B个圈D儿,，A只O有北=边B缺O着点=口C儿O。这=一D圈O.
《正方形的性质》课件
绘画创作：正方形 在绘画创作中常用 于构图，如达芬奇 的《最后的晚餐》、 梵高的《星夜》等 名画中都运用了正 方形的构图。
平面设计：正方 形在平面设计中 常用于版面布局， 如书籍封面、海 报、网页设计等。
雕塑创作：正方 形在雕塑创作中 常用于造型，如 古希腊的雕塑、 中国的石狮子等。
正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质 正方形的四条边相等，而矩形的边不一定相等 正方形的四个角都是直角，而矩形的角不一定都是直角 正方形的对角线互相垂直且平分，而矩形的对角线不一定互相垂直且平分
对称轴：正方形有 四条对称轴，分别 是两条对角线、两 条边
对称中心：正方形 有四个对称中心， 分别是四个顶点
对称性：正方形具有 旋转对称性，可以绕 任意一个顶点旋转90 度，得到相同的图形
对称群：正方形的Βιβλιοθήκη 对称群是D4，即 四元旋转群外角：四个外角均为45度 内角：四个角均为90度
对角线：对角线互相垂直， 且平分
正方形是菱形 的一种特殊形 式，当菱形的 对角线垂直且 相等时，菱形 就是正方形。
正方形和菱形 都有四条边， 四个角都是直
角。
正方形和菱形 都可以通过旋 转和翻转得到
其他形状。
正方形和菱形 都可以通过平 移和缩放得到 其他大小和位
置的形状。
正方形是正方体的一个面
正方形的边长等于正方体的棱 长
正方形的对角线等于正方体的 对角线
正方形的面积等于正方体的一 个面的面积
正方形是等腰直角三角形的特例，当等腰直角三角形的底边和腰相等时，就形成了正方形。
正方形的边长等于等腰直角三角形的斜边长，即正方形的边长等于等腰直角三角形的底边和 腰的和。
正方形的对角线等于等腰直角三角形的斜边长，即正方形的对角线等于等腰直角三角形的底 边和腰的和。
1.3.1正方形的性质课件(35张PPT) 2023-2024学年北师大版九年级数学上册
正方形的性质
正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
E CF
∴∠BCE =∠DCF.
又∵ CE = CF，∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF.
② 延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE≌△DCF，
A
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.
B
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF.
1 正方形的性质
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？
〃
正方形矩 形
一组邻边相等
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形
一个角是90°
探究新知，经历过程
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特
殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
3 2.5 2
为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．（分类讨论） 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形 之间的关系吗？
相关图形性质的关系
菱形的性质
正方形 的性质
1.3 正方形的性质与判定 初中数学北师大版九上授课课件
求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. A
D
分析：因为正方形具有矩形和菱形的所
O
有性质,所以结论易证. 证明：∵四边形ABCD是正方形,
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴AC=BD , AC⊥BD, AO=CO,BO=DO.
性质应用
例1：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，
再由一个直角，得出是矩形；
最后由一组邻边相等可得正 方形；
450 C F
有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形
做一做
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A H
A
H
E
DE
A
H
D
D
G
E
G
B F
GB C
F
C
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正 方形？
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形 既是矩形，又是菱形.
又∵CE=CF,
∴△BCE≌△DCF.
B
∴BE=DF.
D E
C
F
(2)延长BE交DE于点M. ∵△BCE≌△DCF, ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°, ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
正方形的性质经典课件
对角线相等的菱形是正方形
总结词
菱形如果对角线相等，则该菱形是正 方形。
详细描述
菱形的对角线互相垂直且平分对方， 如果菱形的对角线还相等，则这个菱 形的所有边都相等，因此它是一个正 方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形
总结词
矩形如果对角线互相垂直，则该矩形是正方形。
详细描述
在矩形中，如果对角线互相垂直，则这个矩形的所有角都是直角，并且所有边都相等，因此它是一个正方形。
03
正方形的面积与周长
正方形的面积计算公式
总结词
正方形的面积计算公式是边长的平方。
详细描述
正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积 = 边长^2。这个公式是正方形面积的标准计算方 法，适用于任何大小的正方形。
正方形的周长计算公式
总结词
正方形的周长计算公式是四倍的边长。
详细描述
正方形的周长是四个边的长度之和，即周长 = 4 × 边长。这个 公式是正方形周长的标准计算方法，适用于任何大小的正方形。
正方形的边长相等
总结词
正方形四条边的长度相等。
详细描述
正方形的一个基本性质是其四条边的长度相等。这意味着正方形的任意一边都 可以被等分，且等分点之间的线段也相等。这个性质是正方形与长方形、菱形 等其他平行四边形相区别的关键。
正方形的四个角都是直角
总结词
正方形每个角都是直角，即角度为90度。
详细描述
建筑美学的体现
空间利用与功能性
正方形在建筑设计中也有助于提高空 间利用率，特别是在有限的空间内， 通过合理的布局和规划，实现功能性 和美感的统一。
正方形在建筑设计中能够带来稳定、 平衡和和谐的美感，增强建筑的艺术 性和视觉效果。
第1课时正方形的性质ppt课件
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形 平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以正方形具有矩形、菱形所有的性质.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
(1)已知,如图①,点E、F分别在BG、CD上,且AE⊥BF, 垂足为M.求证:AE=BF.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
3．在正方形ABC中,∠ADB= 45°,∠DAC= 45°, ∠BOC= 90°.
A
D
O
B
C
第3题图
A
D
O E
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是 22.5°.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
D
O
B
C
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
DA
∟
∟D A
D
轴
正 矩形 方 菱形
形 平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以正方形具有矩形、菱形所有的性质.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
(1)已知,如图①,点E、F分别在BG、CD上,且AE⊥BF, 垂足为M.求证:AE=BF.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
3．在正方形ABC中,∠ADB= 45°,∠DAC= 45°, ∠BOC= 90°.
A
D
O
B
C
第3题图
A
D
O E
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是 22.5°.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
D
O
B
C
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
DA
∟
∟D A
D
轴
正方形的性质课件
性质：正方形的对角线互相平分
正方形是轴对称图形
正方形有两条垂直的对称轴，分别 是两条对角线所在的直线。
正方形的任意一条边都可以沿着对 称轴旋转180度后与另一条边重合。
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称轴旋转180度后与另一个角重合。
正方形的四个角都是直角，且每条 边的长度相等。
正方形的四个角都是直角
定义：正方形是四边形中唯一一个四个角都是直角的四边形 性质：正方形的四个角都是直角，每个角的大小为90度 特点：正方形是特殊的平行四边形，它的对角线相等且互相平分 应用：在几何学、建筑学、工程学等领域中，正方形具有广泛的应用
正方形的对角线相等且互相平分
性质：正方形的对角线相等
建筑材料：正 方形形状的砖 块和其他建筑 材料在建筑中 广泛使用，因 为它们容易堆
叠和固定。
正方形在数学问题中的应用
几何证明：正方形是四边相等、四个角都是直角的特殊四边形，常用于几何证明题的解题思 路。
面积计算：正方形的面积计算公式为边长的平方，是数学中基础几何量的计算方式之一。
空间几何：在空间几何中，正方形可以作为构建三维物体的基础单位，例如正方体。
组合图形：正方形可以与其他图形组合，形成更为复杂的图形，如拼图、图案设计等。
正方形在日常生活中的应用实例
建筑学：正方形在建筑设计中有广泛应用，如窗户、门、墙等
家居用品：正方形在桌椅、床铺、沙发等家具设计中常被采用，具有简洁、美观的视 觉效果
包装设计：正方形是包装盒设计中最常用的形状之一，能够保护商品，方便携带和运输
正方形的定义
正方形是四边相等且四个角都是直角的四边形。 正方形是特殊的长方形，长方形是矩形的一种。 正方形的对角线相等且互相平分。 正方形的面积等于边长的平方。
《正方形的性质》PPT课件
整理课件
12
（2）求∠CBE的度数；
（3）当 AP 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并
说明理由. AB
D
C
F
E
AP
B
整理课件
11
正方形的判定方法:
(1)定义法：有一组邻边相等且有一个角 是直角的平行四边形是正方形;
(2)矩形法：先判定四边形是矩形，再判 定这个矩形是菱形（一组邻边相等的矩 形是正方形）；
(3)菱形法:先判定四边形是菱形，再判定 这个菱形是矩形（有一个角是直角的菱 形是正方形）.
AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数
是
。
整理课件
7
3.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、 O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积 是.
O2
O1
4.正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、 CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当 BM= 时，四边形ABCN的面积最大．
整理课件
2
（1）正方形的定义:
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形.
（2）正方形的性质:
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂 直平分，每一条对角线平分一组对角.
整理课件
3
例1. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点长为a（a为大于0的常数）
的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴
正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、
y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;
正方形(1)——性质 —初中数学课件PPT
到用正方形的知识解决问题 1.求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角三角形. 如图X18-25-1,四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相 范例 交于点O.求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等 腰直角三角形.
角：__每__个__角__都___等__于__9_0_°___； 对角线：__对__角__线___互__相__平__分__并__且___垂__直__相__等_____.
课前学习任务单
2.下列说法错误的是 A.正方形的四条边相等 B.正方形的四个角相等 C.平行四边形的对角线互相垂直 启后 D.正方形的对角线相等
第十八章 平行四边形
第25课时 正方形（1）——性质
课前学习任务单
任务一：明确本课时学习目标 1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别. 目标 2.掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证 和计算.
任务二：复习回顾
1.平行四边形、矩形、菱形有什么联系和区别？
__略__.__________________________________________；
（2）解：两个正方形重叠部分的面积等于 .
∵△AOE≌△BOF，
∴S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF= S△EOB+S△AOE=S△AOB
= S正方形ABCD=
.
当堂高效测 1.（10分） 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ D ） A.对角线相等 B.对角线垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相平分 2. （10分） 正方形的面积为4，则它的边长为 ____2______，对角线长为_________.
（1）证明：在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中，可知AO=BO， ∠AOB=90°，∠A1OC1=90°,∠OAB=∠OBC=45°, ∴∠AOE+∠EOB=90°, ∠BOF+∠EOB=90°. ∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF（ASA）.
角：__每__个__角__都___等__于__9_0_°___； 对角线：__对__角__线___互__相__平__分__并__且___垂__直__相__等_____.
课前学习任务单
2.下列说法错误的是 A.正方形的四条边相等 B.正方形的四个角相等 C.平行四边形的对角线互相垂直 启后 D.正方形的对角线相等
第十八章 平行四边形
第25课时 正方形（1）——性质
课前学习任务单
任务一：明确本课时学习目标 1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别. 目标 2.掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证 和计算.
任务二：复习回顾
1.平行四边形、矩形、菱形有什么联系和区别？
__略__.__________________________________________；
（2）解：两个正方形重叠部分的面积等于 .
∵△AOE≌△BOF，
∴S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF= S△EOB+S△AOE=S△AOB
= S正方形ABCD=
.
当堂高效测 1.（10分） 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ D ） A.对角线相等 B.对角线垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相平分 2. （10分） 正方形的面积为4，则它的边长为 ____2______，对角线长为_________.
（1）证明：在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中，可知AO=BO， ∠AOB=90°，∠A1OC1=90°,∠OAB=∠OBC=45°, ∴∠AOE+∠EOB=90°, ∠BOF+∠EOB=90°. ∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF（ASA）.
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D
B 1 1 AO =BO= 2 AC CO=DO= 2 BD
C
∴OA=OB=OC=OD ∠AOB=∠BOC=∠COD=AOD=90° ∴△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
如何由矩形和菱形判别正方形呢？
矩形
正方形
菱形
正方形的判定
菱形的性质
四条边相等
四个角都是直角
相等、 垂直且互相平分， 每一条对角线 平分一组对角
矩形的性质
A
O B
D
C
对称性------ 是轴对称图形
快速抢答
正方形是轴对 称图形，它的 对称轴是什么？
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
平行四 边形 对边平行且相等 四边都相等 矩形 菱形 正方形
√ √
√ √ √ √
√ √
√ √
四个角都是直角
对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等
√ √ √ √ √ √
正方形不但具备一般的平行四边形的性质， 而且同时具备矩形和菱形的性质。
学而时习之
例4已知：如图，四边形ABCD是正 方形，对角线AC、BD相交于点O， A 求证：△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， O
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在 AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判 断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°， AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等， 四个角都是直角）． 又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG． ∵ ∠1=∠3． 又 ∠3+∠2=90° ∠1+∠2=90°． ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角 是直角的菱形是矩形）．
回顾：特殊的平行四边形
矩形---------------有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形。
有一个角是直角，有 一组邻边相等的平行 四边形是什么呢？
菱形------------- 有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形。
正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形。
正方形的性质
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已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在 AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判 断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°， AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等， 四个角都是直角）． 又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG． ∵ ∠1=∠3． 又 ∠3+∠2=90° ∠1+∠2=90°． ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角 是直角的菱形是矩形）．
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设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的 小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积 相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种 方法？
想一想
平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系 平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四 边形EFGH是正方形吗?为什么?
有一个内角 是直角
一组邻边 相等 一组邻边相等且
有一个角是直角
有一个内 角是直角 一组邻边 相等
正方形的 判定
1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做 。 正方形。 2.有一组邻边相等的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。 4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
Ａ
Ｈ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｂ
Ｆ
Ｃ