百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲设计》调研卷理科数学(第二模拟)Word版含解析汇报
百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第一模拟) Word版含解析
百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学（第一模拟）一、填空题：共14题1．已知全集U={x∈N*|x2-9x+8≤0},集合A={1,2,3},B={5,6,7},则(∁U A)∩(∁U B)=.【答案】{4,8}【解析】本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算,利用集合的运算法则求解.有限数集的运算直接利用集合运算的概念求解,无限数集的运算一般结合数轴求解.由题意知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁U A={4,5,6,7,8},∁U B={1,2,3,4,8},所以(∁U A)∩(∁U B)={4,8}.2．设复数z满足(1+i)z=i(i是虚数单位),则z在复平面内对应的点到坐标原点的距离为.【答案】22【解析】本题考查复数的运算、几何意义以及两点间距离公式的应用.利用复数的运算法则将复数化简为a+b i(a,b∈R)的形式是解题的关键.通解由题意可得z=i1+i =i(1−i)2=12+12i,则z在复平面内对应的点(12,12)到坐标原点的距离为22.优解由复数的几何意义可知,z在复平面内对应的点到坐标原点的距离为|z|=|i||1+i|=12=22.3．在“爱我江苏知识问答”比赛现场,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为.【答案】85【解析】本题考查茎叶图、平均数等统计知识,利用茎叶图知识和平均数的计算公式求解.由题意可知,所剩数据的平均数为84+84+84+86+875=85.4．已知函数f(x)=x2−x,x≥0g(x),x<0是奇函数,则g(f(-2))的值为.【答案】-2【解析】本题主要考查函数的奇偶性及分段函数求值,考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(22-2)=-2,所以g(f(-2))=g(-2)=f(-2)=-2.5．已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1). 若(a+k b)⊥c,则实数k的值为.【答案】-114【解析】本题考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件.利用向量垂直的坐标运算求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0.因为a+k b=(2+k,-1+k),所以由(a+k b)⊥c得-5(2+k)+(-1+k)=0,解得k=-114.6．如图是一个算法流程图,则输出i的值是.【答案】4【解析】本题考查算法流程图,利用逐次列举的方法求解.当流程图运行次数不多时,可以逐次列举,直到满足判断框内的条件.由题意知,该流程图共循环4次,且循环结果依次为i=1,a=2;i=2,a=5;i=3,a=16;i=4,a=65.此时输出i,故输出i的值是4.7．2015年9月12日,中国在西昌用CZ-3B成功发射通信技术试验卫星一号,某社区为了帮助居民更多地了解通信技术卫星的作用,进行了一次有奖知识问答,共有5道不同的题目,其中选择题3道,判断题2道,甲、乙两人依次各抽取1道,则甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是.【答案】35【解析】本题考查古典概型,利用古典概型的概率计算公式求解.古典概型问题基本事件的计数是关键,可以利用列举法、列表法或者树形图求解.3道选择题分别记为A,B,C,2道判断题分别记为d,e,则甲、乙两人依次各抽取1道的所有结果有(A,B),(A,C),(A,d),(A,e),(B,C),(B,d),(B,e),(C,d),(C,e),(d,e),共10种,其中甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有(A,d),(A,e),(B,d),(B,e),(C,d),(C,e),共6种,故所求概率为610=35.8．圆心在直线x+y-3=0上的圆C:x2+y2+Dx+5=0与y=1相交于点M、N,则∠MCN=.【答案】2π3【解析】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系.直线与圆相交的弦长一般利用圆心距、半弦长和半径之间的关系求解.由题意可得点(-D2,0)在直线x+y-3=0上,所以D=-6,则圆C:(x-3)2+y2=4,则|MN|=24−1=23,所以∠MCN=2π3.9．如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,则四棱锥P-ABCD的体积为.【答案】2【解析】本题考查空间几何体的体积、空间中直线与平面的位置关系,利用面面垂直的性质定理和锥体的体积公式求解.已知面面垂直,一般利用性质定理转化为线面垂直,另外锥体的体积需要乘以13,不能遗漏.取AD的中点E,连接PE、BE,因为△PAD是正三角形,所以PE⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,PE⊂平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,则PE是四棱锥P-ABCD的高,且PE=3,底面积为2×2sin 60°=23,故四棱锥P-ABCD的体积为13×23×3=2.10．已知数列{a n }的前n 项和是S n ,且满足a 1=12,4S n−12+a n (4S n-1+1)=0(n ≥2,n ∈N *),则数列{1S n}的前n 项和为 .【答案】2n 2【解析】本题主要考查S n 与a n 的关系、等差数列的定义及前n 项和公式.先由已知条件及a n =S n -S n-1(n ≥2,n ∈N *)求得1S n-1Sn −1=4(n ≥2,n ∈N *),得到数列{1S n}是等差数列,进而求得{1S n}的前n 项和.由题意知,4S n−12+a n (4S n-1+1)=0(n ≥2,n ∈N *),所以4S n−12+(S n -S n-1)(4S n-1+1)=0(n ≥2,n ∈N *),整理得4S n S n-1+S n -S n-1=0(n ≥2,n ∈N *),等式两边同时除以S n S n-1整理得1S n-1Sn −1=4(n ≥2,n ∈N *),即数列{1S n}是等差数列,且首项1S 1=2,公差d =4,所以1S n=2+4(n-1)=4n-2,所以数列{1S n}的前n 项和为n (2+4n−2)2=2n 2.11．已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f (α)=1,α∈(0,π3),则cos(2α+5π6)= .【答案】-2 23【解析】本题考查三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系的应用.先利用三角函数的图象得解析式,再利用同角三角函数的基本关系求解.由三角函数的图象可得A =3,T4=7π12-π3=π4,T =π=2πω,ω=2,又f (π3)=3sin(2π3+φ)=-3,0<φ<π,则φ=5π6,f (α)=3sin(2α+5π6)=1,sin(2α+5π6)=13.又α∈(0,π3),所以2α+5π6∈(5π6,3π2),则cos(2α+5π6)=-2 23.12．已知关于x 的方程|log m x-4|=a (m >0且m ≠1)有两个不同的实根x 1,x 2,且x 1=x 23,则a =. 【答案】2【解析】本题考查指数与对数运算、指数方程与对数方程的解法.解法一 由|log m x-4|=a得,a ≥0,且有log m x =4±a ,所以x =m 4±a .由于x 1≠x 2,故a ≠0,即a >0.若x 1=m 4+a ,x 2=m 4-a ,则由x 1=x 23得m4+a=(m4−a)3,所以4+a=3(4-a),解得a=2;若x1=m4-a,x2=m4+a,则由x1=x23得m4-a=(m4+a)3,所以4-a=3(4+a),解得a=-2(舍去).综上,a=2.解法二由x1=x23得log m x1=3log m x2,由|log m x-4|=a得,a≥0,且有log m x=4±a,由于x1≠x2,故a≠0,即a>0.所以log m x1=4+a,log m x2=4-a 或log m x1=4-a,log m x2=4+a,代入log m x1=3log m x2,可得a=2(负值舍去).13．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,且F1(-2,0)到双曲线渐近线的距离为1,过右焦点F2的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点,且点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为.【答案】1633【解析】本题考查双曲线的定义、标准方程和几何性质,利用双曲线的定义和几何性质求解.因为双曲线C的左焦点为F1(-2,0),所以c=2,又F1(-2,0)到双曲线渐近线的距离为1,则b=1,a=3,则双曲线C的方程为x23-y2=1.又x P=2,所以PQ⊥x轴,则|PQ|=233.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=23,|QF1|-|QF2|=2a=23,则|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|)=43,|PF1|+|QF1|=43+|PQ|=1433,△PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=1433+233=1633.14．已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x,g(x)=x2-2x,若对任意的x1∈(0,2],存在x2∈[0,2],使得f(x1)<g(x2),则实数a的取值范围是.【答案】(ln 2-1,+∞)【解析】本题考查导数在研究函数单调性、最值中的应用,结合分类讨论的方法求解. 由题意可得f(x)max<g(x)max=0.f'(x)=ax-(2a+1)+2x =(ax−1)(x−2)x,当a≤0时,f(x)在(0,2)上单调递增;当a>0时,若0<a≤12,则f(x)在(0,2)上单调递增,若a>12,则f(x)在(0,1a)上单调递增,在(1a,2)上单调递减.所以当a≤12时,f(x)在(0,2]上单调递增,f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2<0,所以ln2-1<a≤12;当a>12时,f(x)max=f(1a)=-2-12a-2ln a<0恒成立,所以a>12.所以实数a的取值范围为(ln2-1,+∞).二、解答题：共12题15．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且(a2+b2-c2)sin A=ab(sin C+2sin B),a=1.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的周长的取值范围.【答案】(1)由(a2+b2-c2)sin A=ab(sin C+2sin B),结合余弦定理可得2ab cos C sin A=ab(sin C+2sin B),2cos C sin A=sin C+2sin(A+C), 化简得sin C(1+2cos A)=0.因为在△ABC中sin C≠0,所以cos A=-12,又A∈(0,π),所以A=2π3.(2)因为A=2π3,a=1,由正弦定理可得b=a sin Bsin A =233sin B,c=233sin C,所以△ABC的周长l=a+b+c=1+233sin B+233sin C=1+233[sin B+sin(π3-B)]=1+233(12sin B+32cos B)=1+233sin(B+π3).因为B∈(0,π3),所以B+π3∈(π3,2π3),则sin(B+π3)∈(32,1],则l=a+b+c=1+233sin(B+π3)∈(2,1+233].【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换以及三角函数的性质等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力.(1)根据余弦定理求解;(2)利用正弦定理进行边角互化、利用三角公式进行三角恒等变换,将解析式化为标准型后,结合角的取值范围求解三角函数的取值范围.【备注】将三角恒等变换、解三角形结合起来是当前高考考查三角的主要命题方向之一,这类问题的核心是等价转化.通过正弦定理、余弦定理和三角公式对三角函数解析式进行化简、变形,根据角的取值范围正确确定三角函数的符号是解决这类问题的关键,同时要注意一些代数式的变形,能够变形的要先变形,对代数式要有一定的化简、变形能力.16．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D、E分别是AA1和BC的中点.求证:(1)B1C1⊥DE;(2)AE∥平面B1DC.【答案】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,则AA1⊥B C.又AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥B C.因为AA1,AE是平面ADE内的两条相交直线,所以BC⊥平面ADE,则BC⊥DE.又BC∥B1C1,则B1C1⊥DE.(2)取B1C的中点F,连接EF、DF,则EF∥B1B,EF=12B1B.又AD∥B1B,AD=12B1B,所以AD∥EF,AD=EF,所以四边形ADFE为平行四边形,则AE∥DF.又DF⊂平面B1DC,AE⊄平面B1DC,所以AE∥平面B1DC.【解析】本题考查空间线、面位置关系的证明.(1)利用线面垂直的判定定理及性质将线线垂直、线面垂直相互转化;(2)利用线面平行的判定定理证明.【备注】高考中立体几何的设问相对固定化,基本是证明垂直、平行等位置关系,依据都是相关判定定理和性质定理.在利用判定定理、性质定理进行线线、线面、面面平行与垂直的相互转化时,要注意思路明确、条件充分,绝对不能想当然.17．如图,有一块不规则的铁片废料OABC,其中曲线OC是顶点为O,开口向右的抛物线的一部分,其余均为直线段,AB⊥BC,点O在AB上的射影为D.已知OD=2,DB=BC=4,AD=1.(1)在曲边AOC上是否存在一点P,使其与A、B、C构成的四边形PABC的面积最大?若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由;(2)若从该铁片废料上截下一块矩形铁片,该矩形的两边分别在AB和BC上,其中一个顶点在曲边AOC上,求矩形铁片面积的最大值.【答案】(1)以点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(4,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,代入解得p=12,则曲线OC:y=x,0≤x≤4.连接AC,设存在点P(x0,y0)满足题意.当四边形PABC的面积最大时,抛物线在点P处的切线应与AC平行,又A(-1,-2),则k AC=2−(−2)4−(−1)=45,所以y'x=x=12x0=45,解得P(2564,58),此时线段AP在该铁片废料内部,所以存在点P(2564,58),使得四边形PABC的面积最大.(2)设矩形在曲边AOC上的顶点为E,当点E在线段AO:y=2x,x∈(-1,0]上时,设E(x,2x),x∈(-1,0],此时矩形铁片的面积S=(4-x)(2x+2)=-2x2+6x+8,x∈(-1,0],由二次函数的性质知,此时S在(-1,0]上单调递增,所以当x=0时,矩形铁片的面积S取得最大值8.当点E在曲线OC上时,设E(x,x),x∈(0,4),此时矩形铁片的面积S=(4-x)(x+2)=8+4x-2x-x x,S'=2x -2-32x=−3x−4x+42x=−(x+2)(3x−2)2x,令S'=0,得x=49,当x∈(0,49]时,S'≥0,S单调递增,当x∈(49,4)时,S'<0,S单调递减,所以当x=49时,S取得最大值,且S max=(4-49)×(23+2)=329×83=25627.又25627>8,所以矩形铁片的面积的最大值为25627.【解析】本题考查应用数学知识解决实际问题的能力,解决方法是先通过审题,弄清题意,提取题干中的有用信息,进而将实际问题转化为数学问题,建立函数关系式,再利用导数知识求解最值.【备注】实际应用题是应用所学数学知识解决实际问题,体现了数学的工具性作用,能够集中考查考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力,受到命题专家的高度关注,已经成为必考题型之一.解题的关键是在实际问题的背景下建立相应的数学模型,常见的数学模型有函数与导数模型、三角模型、不等式模型等,在复习时要特别注意.18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点B(0,1)的连线的斜率为12,左、右焦点分别为F1、F2,过点A的直线l与椭圆C交于点M,与y轴交于点N,点P在椭圆上,且AM=λOP,AN=μOP(O为坐标原点).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若AN=52AM,求△MF1F2的面积;(3)证明:λμ是定值,并求出该定值.【答案】(1)由题意知b=1,ba =12,解得a=2,所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)由题意可得x N-x A=52(x M-x A),即2=52(x M+2),解得x M=-65,代入椭圆C的方程解得y M2=1625,所以△MF1F2的面积为12|F1F2|·|y M|=12×23×45=435.(3)由题意可知,直线l的斜率一定存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+2),则N(0,2k).设M(x1,y1),由x24+y2=1y=k(x+2)可得(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,则−2+x1=−16k24k2+1−2x1=16k2−44k2+1,故x1=2−8k24k2+1,代入直线l的方程得y1=k(x1+2)=4k1+4k2,则|AM|=(x1+2)2+y12=(2−8k24k2+1+2)2+(4k4k2+1)2=41+k24k2+1.又|AN|=21+k2,所以|AM|·|AN|=8(1+k2)4k2+1.由题意可得直线OP的斜率也是k,则直线OP 的方程为y=kx,由x24+y2=1y=kx可得(4k2+1)x2-4=0,解得x P2=41+4k2,y P2=4k21+4k2,则|OP|2=4(1+k2)4k2+1.又AM·AN=|AM|·|AN|=λμ|OP|2,所以λμ=|AM|·|AN||OP|2=2,是定值.【解析】本题考查椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识.圆锥曲线解答题运算量适中,多以椭圆为载体,考查直线与椭圆的位置关系,考查考生的运算求解能力.【备注】直线与椭圆的位置关系是高考解析几何的主要命题方向之一,这类问题一般采用逐个击破的方法求解.因为解析几何的本质是利用代数方法研究几何问题,所以解析几何中最值、定值是常见题型.19．已知函数f(x)=a ln x-(a+b)x-3(a≠0)在x=1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在[e,e2]上的图象恒不在函数g(x)=-(a+1)x+e-4的上方,求实数a的取值范围(e是自然对数的底数).【答案】(1)f'(x)=ax-(a+b),因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f'(1)=a-(a+b)=-b=0,即b=0,则f(x)=a ln x-ax-3(a≠0).故f'(x)=ax -a=a(1−x)x(a≠0,x>0),所以当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞);当a<0时,函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).(2)由题意可得当x∈[e,e2]时,f(x)≤g(x)恒成立,即f(x)-g(x)=a ln x-ax-3+(a+1)x-e+4=a ln x+x+1-e≤0在[e,e2]上恒成立.令h(x)=a ln x+x+1-e,x∈[e,e2],则h'(x)=ax +1=x+ax,当-a ≤e,即a ≥-e 时,h'(x )≥0在[e,e 2]上恒成立,所以h (x )在[e,e 2]上单调递增,h (x )max =h (e 2)=2a+e 2+1-e≤0,a ≤e −1−e 22,此时无解;当e<-a <e 2,即-e 2<a <-e 时,x ∈[e,-a ]时,h'(x )≤0,x ∈(-a ,e 2]时,h'(x )>0,所以h (x )在[e,-a ]上单调递减,在(-a ,e 2]上单调递增,由h (e)=a+1≤0,得a ≤-1,由h (e 2)=2a+e 2+1-e≤0,得a ≤e −1−e 22,所以-e 2<a ≤e −1−e 22;当-a ≥e 2,即a ≤-e 2时,h'(x )≤0在[e,e 2]上恒成立,所以h (x )在[e,e 2]上单调递减,h (x )max =h (e)=a+1≤0,a ≤-1,所以a ≤-e 2.综上可得,实数a 的取值范围是a ≤e −1−e 22.【解析】本题考查导数在研究函数性质中的应用,考查等价转化思想、构造法等的应用,难度较大.备考策略是熟悉导数在研究函数单调性、极值、最值等方面的应用. 【备注】函数的单调性与极值、最值的应用是高考命题的重点与热点,并且其难度不会再加大,因而预测2016年高考对函数的单调性、极值、最值等的考查仍是重点,而且已知条件中函数表达式的背景和结构不会太复杂.20．已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且满足S n +a n =n−1n (n +1)(n ∈N *).(1)证明:数列{a n +1n (n +1)}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式;(3)是否存在正整数m ,使得2n S n +1≥m 恒成立?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)由S n +a n =n−1n (n +1)(n ∈N *) ①,可得S n-1+a n-1=n−2(n−1)n (n ≥2,n ∈N *) ②, ①-②可得2a n -a n-1=n−1n (n +1)-n−2(n−1)n (n ≥2,n ∈N *),则a n =12a n-1+n−12n (n +1)-n−22(n−1)n (n ≥2,n ∈N *),a n +1n (n +1)=12a n-1+n−12n (n +1)-n−22(n−1)n +1n (n +1)=12a n-1+12n -n−22(n−1)n =12a n-1+12(n−1)n =12[a n-1+1(n−1)n ](n ≥2,n ∈N *),又a 1=0,则a 1+12=12, 所以数列{a n +1n (n +1)}是首项和公比都是12的等比数列.(2)由(1)可得a n +1n (n +1)=(12)n ,所以a n =12n -1n (n +1).(3)由S n +a n =n−1n (n +1)可得,S n =n−1n (n +1)-a n =n−1n (n +1)+1n (n +1)-12n =1n +1-12n ,所以2nS n +1=2nn +1,令2nS n +1=b n ,则b n =2nn +1>0,b n +1b n=2n +1n +2×n +12n=2(n +1)n +2>1,n ∈N *,所以b n+1>b n ,即数列{b n }单调递增,则(b n )min =b 1=1,所以若2n S n+1≥m对任意的n∈N*恒成立,则m≤(2n S n+1)min=1,所以存在正整数m=1满足题意.【解析】本题考查等比数列的定义、通项公式,考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力,难度较大.(1)应用等比数列的定义证明;(2)利用等比数列的通项公式求解;(3)通过研究数列的单调性得数列的最小项即可求解.【备注】数列解答题一般考查等差数列、等比数列等特殊数列的通项公式、求和或与之有关的问题;也可以将数列与函数、不等式等知识综合起来;还可以给出一个递推关系式,在此基础上设计几个小问,数列题各个小问中提供的条件通常是解题的风向标、指路石,要充分应用,而且各小问间通常是一环扣一环,考生在备考时要注意这一点,并且熟练掌握相关公式.21．如图,△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,交△ABC的外接圆于E,延长AC交△DCE 的外接圆于F,若AD=3,AE=5,求EF的长.【答案】在△ABC的外接圆中,∠BAE=∠BCE,连接DF,在△DEC的外接圆中,∠DCE=∠DFE,又∠BAD=∠CAD,∴∠CAD=∠DFE,则△FDE∽△AFE,因而EDEF =EFAE,EF2=ED·AE=10,即EF=10.【解析】本题主要考查三角形相似,考查考生的推理能力、逻辑思维能力.以圆为背景的问题在高考中是基本不变的,因而圆的有关几何性质的灵活应用是解题的关键.22．已知点(1,1)在矩阵A=302a的作用下变为点(3,3),求矩阵A的逆矩阵.【答案】由题意可得A 11 =3 02 a 11 = 32+a = 33 ,所以2+a =3,a =1,则A = 3 02 1 .设其逆矩阵A -1= x y z w ,则AA -1=3 02 1 x y z w = 1 00 1 ,则 3x =13y =02x +z =02y +w =1,解得 x =13y =0z =−23w =1,所以矩阵A 的逆矩阵A -1= 13−231. 【解析】本题考查二阶矩阵对应的变换以及逆矩阵的求解.解题时,先求出矩阵A ,再利用待定系数法求逆矩阵.23．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2-2 2ρcos(θ+π4)-2=0,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,若M 是曲线C 上的动点,且点M 的直角坐标为(x ,y ),求x+y 的最大值.【答案】ρ2-2 2ρcos(θ+π4)-2=0,即ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-2=0,将 x =ρcos θy =ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4.又M 是曲线C 上的动点,且点M 的直角坐标为(x ,y ),因而利用圆的参数方程,设x =1+2cos φy =−1+2sin φ(φ为参数),则x+y =2sin φ+2cos φ=2 2sin(φ+π4)≤2 2,当且仅当sin(φ+π4)=1时,x+y 取得最大值2 2.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,同时考查参数方程的应用.24．解不等式|x+1|-2|x|≤-6.【答案】因为|x+1|-2|x|= x −1,x <−13x +1,−1≤x ≤01−x ,x >0,所以不等式|x+1|-2|x|≤-6⇔ x <−1x −1≤−6或−1≤x ≤03x +1≤−6或 x >01−x ≤−6,解得x ≤-5或x ≥7,故不等式|x+1|-2|x|≤-6的解集为{x|x ≤-5或x ≥7}.【解析】本题考查绝对值不等式的解法,可以利用零点分区间讨论法去掉绝对值求解.25．如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD =60°,四边形BDEF 是矩形,平面BDEF ⊥平面ABCD ,BF =3,G ,H 分别是CE ,CF 的中点.(1)求异面直线DG和AH所成角的余弦值;(2)求二面角H-BD-C的大小.【答案】连接AC,交BD于点O,则OB=OD,取EF的中点N,连接ON.因为四边形BDEF是矩形,O,N分别为BD,EF的中点,所以DE⊥BD,ON∥ED.因为平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,所以ED⊥平面ABCD,所以ON⊥平面ABCD.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,故OB,OC,ON两两垂直.以O为坐标原点,OB,OC,ON所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)因为底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,BF=3,所以A(0,-3,0),C(0,3,0),E(-1,0,3),F(1,0,3),D(-1,0,0),则G(-12,32,32),H(12,32,32),所以DG=(12,32,32),AH=(12,332,32).设DG,AH的夹角为θ,则cosθ=DG·AH|DG|·|AH|=14+94+94132×372=19481=19481481,所以异面直线DG和AH所成角的余弦值为19481481.(2)因为B(1,0,0),所以BH=(-12,32,32),DB=(2,0,0).设平面BDH 的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ·BH =0n ·DB =0⇒−x + 3y +3z =02x =0 ,令z =1,得x =0,y =- 3,故n =(0,- 3,1)为平面BDH 的一个法向量.由ED ⊥平面ABCD ,得平面BCD 的一个法向量为DE =(0,0,3), 则cos<n ,DE>=n ·DE|n |·|DE|=0×0+(− 3)×0+1×32×3=12,由图易知二面角H-BD-C 为锐角,所以二面角H-BD-C 的大小为60°. 【解析】本题主要考查空间角的计算,考查空间向量的坐标运算,难度中等.解题的方法是建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解.【备注】空间角的计算是高考的热点,求解方法是利用空间向量将所求空间角进行转化,异面直线所成的角是两直线方向向量的夹角或其补角,二面角是两个平面法向量的夹角或其补角.26．已知二项式( a − b )n 中,a ,b ,n ∈N *,且a ≠b .(1)当n =3,4时,分别将该二项式表示为 p - q (p ,q ∈N *)的形式;(2)求证:存在p ,q ∈N *,使得等式( a − b )n = p - q 与(a-b )n =p-q 同时成立. 【答案】(1)当n =3时,( a − b )3=(a+3b ) a -(b+3a ) b = a (a +3b )2- b (b +3a )2.当n =4时,( a − b )4=a 2-4a ab +6ab-4b ab +b 2=(a 2+6ab+b 2)-4(a+b ) ab =(a 2+6ab +b 2)2- 16ab (a +b )2.(2)由二项式定理得( a − b )n =∑k =0n(-1)k C n k ( a )n−k ( b )k ,若n 为奇数,则( a −b )n =[C n 0( a )n +C n 2( a )n−2( b )2+…+C n n−3( a )3( b )n−3+C n n−1( a )( b )n−1]-[C n 1( a )n−1( b )+C n 3( a )n−3( b )3+…+C n n−2( a )2( b )n−2+C n n ( b )n ],分析各项指数的奇偶性,可将上式表示为( a − b )n =u 1 a -v 1 b 的形式,其中u 1,v 1∈N *,也即( a − b )n = u 12a - v 12b = p - q ,其中p =u 12a ,q =v 12b ,p ,q ∈N *.若n 为偶数,则 ( a −b )n =[C n0( a )n +C n 2( a )n−2( b )2+…+C n n−2( a )2( b )n−2+C n n ( b )n ]-[C n 1( a )n−1( b )+C n 3( a )n−3( b )3+…+C n n−3( a )3( b )n−3+C n n−1( a )( b )n−1],类似地,可将上式表示为( a − b )n =u 2-v 2 ab 的形式,其中u 2,v 2∈N *,也即( a − b )n = u 22- v 22ab = p - q ,其中p =u 22,q =v 22ab ,p ,q ∈N *. 所以存在p ,q ∈N *,使得等式( a − b )n = p - q 成立.同理可得( a + b )n = p + q ,从而有p-q =( p + q )( p - q )=( a + b )n ( a −b )n =(a-b )n.综上可知结论成立.【解析】本题主要考查二项式定理等相关知识.对于(1),由条件直接将二项式进行变形整理可得;对于(2),先利用二项式定理将二项式(a−b)n展开,再对n分奇偶进行讨论可知存在p,q∈N*,使得(a−b)n=p-q,最后得到p-q=(p+q)(p-q)=(a+b)n(a−b)n=(a-b)n,故得证.【备注】高考第23题常常考查利用反证法、数学归纳法等来证明较为复杂的综合问题,二项式的相关问题等,要彻底解决这几类问题,需要在复习中,踏踏实实,强化训练,把握方法,提高能力.。
2016年高考理科数学江苏卷-答案
4 / 11
sin B 3 5
AB AC sinC sin B
AB
2
6
3
，即：
AB
5
2
2
5
（Ⅱ） cos A cos(C B) sin BsinC cos BcosC
cos A 2 又 A 为三角形的内角sin A 7 2
10
10
cos
A
π 6
3 cos A 1 sin A 7
准方程为 (x 6)2 ( y 1)2 1
|12 7 b | | 5 b |
（Ⅱ）由题意得 OA 2 5 ， kOA 2 设 l : y 2x b ，则圆心 M 到直线 l 的距离 d
0
，由
b2
a2
c2
可
2 / 11
得 3 c2 1 a2 ，则 e c 2 6 ．
42
a 33
【提示】设右焦点 F(c,0) ，将 y b 代入椭圆方程求得 B ， C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积 2
为 1，结合离心率公式计算即可得到所求值． 【考点】直线与椭圆的位置关系． 11.【答案】 2
容积的表达式，利用导数法，可得最大值 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，组合几何体的面积、体积问题． 18.【答案】（Ⅰ）因为 N 在直线 x 6 上，设 N(6,n) ，因为与 x 轴相切，则圆 N 为 (x 6)2 ( y n)2 n2 ，
n 0 ，又圆 N 与圆 M 外切，圆 M ： (x 6)2 (x 7)2 25 ，则 | 7 n || n | 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标
=f
9 2
，可得
a
值，进而得到
f
(5a)
2016年普通高等学校招生统一考试数学卷(江苏卷) Word版 含解析
【说明】： 【参考版答案】非官方版正式答案，有可能存在少量错误，仅供参考使用。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ． 【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =- ．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c，因此焦距为2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数s i n 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭， 由90BFC∠=︒可得0BF CF ⋅= ，2b BF c⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；。
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高中数学学习材料唐玲出品百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学（第四模拟）一、填空题：共14题1．设全集U=[-2,2],若集合A满足∁U A=[1,2),则A=.【答案】[-2,1)∪{2}【解析】本题主要考查考生对补集的理解,考查考生对基础知识的掌握情况.在数轴上分别作出全集U与∁U A,根据补集的概念可得A=[-2,1)∪{2}.2．在复平面内,复数z=+i2 016(i为虚数单位)对应的点位于第象限.【答案】一【解析】本题考查复数的基本运算,结合i4=1,对式子进行化简,从而判断z对应的点所在的象限.∵z=+1=+1=+,∴z对应的点所在的象限是第一象限.3．某校有甲、乙、丙3个高三文科班,其中甲班有47人,乙班有51人,丙班有49人.现分析3个班的某一次数学考试成绩,计算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是90分,丙班的平均成绩是87分,则该校这3个高三文科班的数学平均成绩是分.【答案】89【解析】本题考查统计中的平均数,考查考生的运算求解能力.由题意知,3个高三文科班的数学平均成绩=89.4．已知向量a=(2,-1),2b=(-4,6),则(a-b)·(a+b)=.【答案】-8【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算、数量积等知识,考查考生对基础知识的掌握情况.解法一因为向量a=(2,-1),2b=(-4,6),所以b=(-2,3),a+b=(0,2),a-b=(4,-4),所以(a-b)·(a+b)=(4,-4)·(0,2)=0-8=-8.解法二因为向量a=(2,-1),2b=(-4,6),所以a2=5,b=(-2,3),b2=13,所以(a-b)·(a+b)=a2-b2=5-13=-8.5．已知等比数列{a n}的各项都是正数,且,,a2成等差数列,则=.【答案】9【解析】本题考查等差数列与等比数列的基础知识,意在考查考生的运算求解能力.破解此题的关键是活用等差数列的性质、等比数列的通项公式和性质.设等比数列{a n}的公比为q(q>0),因为,,a2成等差数列,所以+a2,所以q2=3+2q,所以q=3或q=-1(舍去),所以=9.6．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b=a+c,若sin B=,cos B=,则b的值为.【答案】4【解析】本题考查余弦定理、同角三角函数的关系等知识的综合运用.∵2b=a+c,sin B=,cos B=,sin2B+cos2B=1,∴ac=15,∴b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-48=4b2-48,得b=4.7．从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是.【答案】【解析】本题主要考查古典概型的概率计算公式.解题的关键是正确列出总的基本事件及所求事件包含的基本事件.通解由题意知,从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出三个数字的情况有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种,其中剩下两个数字都是奇数的情况有(1,2,4),(2,3,4),(2,4,5),共3种,故所求概率为.优解由题意知,事件“从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出三个数字,剩下两个数字都是奇数”的概率与事件“从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出两个数字,这两个数字都是奇数”的概率相等,又从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出两个数字的情况(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中抽取的两个数字都是奇数的情况有(1,3),(1,5),(3,5),共3种,故所求概率为.8．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<0)的图象的一个最高点为(,),其图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则φ=.【答案】-【解析】本题考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查考生的运算求解能力.因为函数f(x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为,故函数的最小正周期为T=π,所以ω==2,因为函数f(x)的图象的最高点为(,),所以2×+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ-(k∈Z),因为-<φ<0,所以φ=-.9．定义[x]为不超过x的最大整数,例如[1.3]=1.执行如图所示的算法流程图,当输入x的值为4.7时,则输出y的值为.【答案】10.2【解析】本题考查算法流程图的基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.求解时注意准确判断条件是否满足,决定程序执行的方向.由输入的x为4.7,执行第一个条件判断框后,执行否方向,而4.7-[4.7]=0.7,即4.7-[4.7]不等于0,因而仍执行否方向,得到y=7+([4.7-3]+1)×1.6=10.2,故输出y的值为10.2.10．已知正三棱锥P-ABC的体积为,底面边长为2,则侧棱PA的长为.【答案】2【解析】本题考查空间几何体的体积,一方面要牢记空间几何体的体积公式,另一方面要掌握常见几何体中的基本数量关系.设底面正三角形ABC的中心为O,又底面边长为2,故OA=,由V P-ABC=PO·S△ABC,得PO××22,PO=,所以PA==2.11．已知周期为4的函数f(x)=,则方程3f(x)=x的根的个数为.【答案】3【解析】本题考查分段函数、方程的根等知识.先画出函数f(x)一个周期的图象,再向左、向右扩展,数形结合可得出两个函数图象的交点个数,从而得解.作出函数y=f(x)的图象及直线y=如图所示,则两个图象的交点个数为3,即方程的根的个数为 3.12．在平面直角坐标系中,不等式组 (a为常数)表示的平面区域的面积为4,则x2+y的最小值为.【答案】-【解析】本题考查不等式组表示的平面区域等知识.要注意z=x2+y不是一次型函数,而是二次型函数,故不一定在可行域的边界点处取得最值.由题意作出可行域如图中阴影部分所示,因为平面区域的面积为4,易得A(2,2),B(2,-2),把A,B,O三个边界点的坐标分别代入x2+y,得在这三点处的最小值为0. 令x2+y=0,即y=-x2,y'=-2x,当抛物线y=-x2平移到与直线y=-x相切时,y'=-2x=-1,得x=,即切点P(,-),代入x2+y,得x2+y=-=-,所以x2+y的最小值为-.13．已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于B、C两点,与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D,且|CD|=|CF2|,则双曲线的离心率为.【答案】【解析】本题主要考查双曲线的定义、几何性质,直线与圆、双曲线的位置关系等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.由双曲线的定义可知,-=2a,又,所以=2a.因为点F1的坐标为(-c,0),直线DF1与圆x2+y2=a2相切,且圆的半径为a,所以直线DF1的方程为y=(x+c),又直线OD的方程为y=-x,联立得点D的坐标为(-,),所以(-+c)2+()2=4a2,得,所以双曲线的离心率为.14．若关于x的不等式(ax-1)(ln x+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】(-∞,-]∪{e}【解析】本题主要考查函数的图象与性质,考查考生的转化与化归能力、运算求解能力和分类讨论思想.(ax-1)(ln x+ax)≥0⇔(a-)(a+)≥0⇔ 或.设函数f(x)=,g(x)=-,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a的取值范围是(-∞,-]∪{e}.二、解答题：共12题15．已知锐角α满足cos(α+)=.(1)求sin 2α的值;(2)求tan(α-)的值.【答案】(1)因为cos(α+)=,所以cosα-sinα=>0,所以1-sin 2α=,解得sin 2α=. (2)因为sin 2α==2sinαcosα=,即有7tan2α-50tanα+7=0,解得tanα=或tanα=7. 因为cosα-sinα>0,所以0<tanα<1,所以tanα=.则tan(α-)=.【解析】本题主要考查三角函数的运算.解答本题时要注意利用和差角公式与二倍角公式,以及同角三角函数的关系式进行求解.【备注】三角作为高考考查的重点内容,每年必考,其考查的重点是同角三角函数的关系式,三角函数的诱导公式,正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质,两角和(差)的正弦、余弦及正切公式,二倍角公式,其中两角和(差)的正弦、余弦及正切公式是高考中8个C级考点之一,在复习的过程中要重视公式的逆向应用和变形应用.16．如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD,BC=CD=AD,E,F分别为AD,PD的中点.(1)求证:CF∥平面PAB;(2)求证:平面PEC⊥平面PB D.【答案】(1)解法一连接EF,在△APD中,E,F分别为AD,PD的中点,所以EF∥PA,在四边形ABCD中,BC∥AD,又BC=AD,且AE=ED,所以BC AE,四边形BCEA为平行四边形,所以EC∥AB.又EF∩EC=E,PA∩AB=A,所以平面EFC∥平面PAB, 又FC⊂平面EFC,所以CF∥平面PAB.解法二如图,取PA的中点M,连接MF,MB.在△PAD中,PM=MA,PF=FD,所以MF∥AD,且MF=AD. 由已知,BC∥AD,且BC=AD,所以MF∥BC,且MF=BC,所以四边形BCFM为平行四边形,所以FC∥BM, 又FC⊄平面PAB,BM⊂平面PAB,所以CF∥平面PAB.(2)连接BE,在△PAD中,PA=PD,AE=ED,所以PE⊥AD.又平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,故PE⊥BD. 在四边形ABCD中,BC∥DE,且BC=DE,所以四边形BCDE为平行四边形.又BC=CD,所以四边形BCDE为菱形,BD⊥CE, 又PE∩EC=E,所以BD⊥平面PEC,又BD⊂平面PBD,所以平面PEC⊥平面PBD.【解析】本题考查几何体的结构特征以及空间中线面平行与面面垂直的证明等,考查考生的空间想象能力以及逻辑推理能力等.(1)可以构造过CF与平面PAB平行的平面;也可以在平面PAB内找出与CF平行的直线;(2)首先由面面垂直,得到PE⊥BD,再分析四棱锥底面的性质,证明BD⊥CE,即可证得BD⊥平面PEC,最后利用面面垂直的判定定理证得结果.【备注】空间中线面位置关系的证明一般都是从平面图形中的线线垂直、平行入手的,所以要注意几何体的结构特征以及平面图形中的基本运算,熟练把握空间中的平行与垂直关系的互化是解决此类问题的关键.17．如图是一个半圆形广场的平面示意图.已知AB为直径,且AB=200 m,O为圆心,C为圆周上靠近A的一点,D为圆周上靠近B的一点,且CD∥A B.设∠AOC=x rad(rad为弧度单位).(1)现在准备对半圆形广场进行绿化,在△OCD内栽花,其余部分植树,求植树面积S(x)的最小值;(2)如果从A经过C到D建造一条观光路线,其中A到C是圆弧,C到D是线段C D.设观光路线总长为f(x),求观光路线总长f(x)的最大值.【答案】(1)设半圆形广场的半径为R,由题意知S△OCD=R2sin(π-2x)=5 000sin 2x, 因为C 为圆周上靠近A的一点,D为圆周上靠近B的一点,且CD∥AB,所以0<x<.所以植树面积S(x)=S半圆-S△OCD=πR2-5 000sin 2x=5 000(π-sin 2x). 因为0<x<,所以当x=时,S(x)min=5 000(π-1).(2)由题意知,=x×100=100x,CD=200cos x,所以f(x)=100x+200cos x,x∈(0,), 则f'(x)=100(1-2sin x).令f'(x)=0,得x=,则f'(x),f(x)随x的变化情况为所以函数f(x)在x=处取得极大值,这个极大值就是最大值,所以观光路线总长的最大值为f()=100(+)m.【解析】本题是应用性问题,第(1)问先建立植树面积S(x)的函数解析式,再利用三角函数求最值;第(2)问建立观光路线总长f(x)的函数解析式,利用导数求函数的最值.【备注】高考中应用题涉及的数学模型有函数模型、不等式模型、三角模型等,解题时要认真审题,抓住关键词,将实际问题抽象为数学问题,从各种关系中找出最关键的数量关系,将这些关系用有关的量、数字及符号表示出来,从而建立数学模型,运用所学的知识解决问题.18．已知椭圆C:+=1(0<b<4)的左、右顶点分别为A、B,M为椭圆C上异于A、B的任意一点,A关于M的对称点为P.(1)若M的横坐标为,且点P在椭圆的右准线上,求b的值;(2)若以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O,求b的取值范围.【答案】(1)∵M是AP的中点,x M=,x A=-2,∴x P=3.∵P在椭圆的右准线上,∴=3,解得b=.(2)设点P的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x1,y1),∵P关于M的对称点为A,∴=x1,=y1, 即x0=2x1+2,y0=2y1.∵以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O,∴OM⊥OP,∴·=0,即x0x1+y0y1=0,∴(2x1+2)x1+2=0,即=--x1. 又点M在椭圆+=1(0<b<4)上,∴+=1,即b=,∴b=4×=4(1+)=4[1+]=4[1+],∵-2<x1<2,∴2<x1+4<6,∴4≤x1+4+<8,∴≤,即∈(-∞,], ∴b∈(-∞,4(1+)],即b∈(-∞,2-].又0<b<4,∴b∈(0,2-].【解析】本题考查直线、圆、椭圆等知识,考查椭圆中基本量的运算、圆的性质等.解题时,(1)由题意建立基本量之间的关系,即可求出b的值;(2)运用基本不等式求出b的取值范围.【备注】解析几何解答题可能涉及圆、椭圆,但更多是直线与椭圆的位置关系的研究,主要考查“设而不求”的思想,往往需要将题目所给的几何关系用代数式进行表达,最终用代数运算解决几何问题.主要类型有:定点(定值)问题、取值范围(最值)问题、存在性问题等.通常以三角形、平行四边形、垂直关系、对称关系等为载体,有时可以借助初中平面几何知识进行转化,一般步骤都是联立方程,写出判别式,然后用代数式刻画几何关系.19．已知函数f(x)=,g(x)=ax-a.(1)若函数g(x)的图象与f(x)的图象相切,求a的值及切点坐标;(2)若m,n∈(0,1],且m>n,求证:≥e m-n.【答案】(1)设函数f(x)的图象与g(x)的图象相切于M(t,),由f'(x)=,则f'(t)==a,且=at-a,消去a得,(2t-1)ln t-t+1=0.设h(t)=(2t-1)ln t-t+1,则h'(t)=2ln t+-1=2ln t-+1.设φ(t)=2ln t-+1,则φ'(t)=+>0,所以φ(t)=2ln t-+1单调递增,即h'(t)=2ln t-+1单调递增, 又h'(1)=0,所以当t∈(0,1)时,h'(t)<0,h(t)单调递减,当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增,所以h(t)的最小值为h(1)=0,所以(2t-1)ln t-t+1=0仅有一解t=1,此时a==1,切点为M(1,0).(2)要证≥e m-n,即证ln()≥m-n,即证-≥m-n,即证-m≥-n. 设p(x)=-x,因为m,n∈(0,1],m>n,所以只要证p(x)为(0,1]上的增函数即可. 因为p'(x)=-1=,又x ∈(0,1],所以p'(x)≥0,所以p(x)为(0,1]上的增函数,从而得证.【解析】本题考查利用导数研究曲线的切线、不等式的证明,考查化归与转化思想.【备注】对于函数与导数的考查,在高考题中多以对数、指数形式出现,而且属于压轴题,对考生能力的要求很高,意在提高区分度.题目可能是从含有参数的函数的单调性、极值、最值、曲线的交点等进行设计,解题时由于对参数的讨论比较复杂,因而有提升的价值,也可能是从切线等角度入手,看似简单,但如果对数学思想方法不能做到运用自如,则很难达到预期效果.因此,在复习过程中对于常规函数的性质及图象要力争做到了如指掌.20．已知数列{a n},{b n}满足b n=a n+1-a n,其中n=1,2,3,….(1)若a1=1,b n=n,求数列{a n}的通项公式;(2)若b n+1b n-1=b n(n≥2),且b1=1,b2=2.(i)记c n=a6n-1,求证:数列{c n}为等差数列;(ii)若数列{}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求a1应满足的条件.【答案】(1)当n≥2时,有a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=a1+b1+b2+…+b n-1=1+-+1. 又a1=1也满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=-+1.(2)(i)因为对任意的n∈N*,有b n+6==b n,所以c n+1-c n=a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=1+2+2+1++=7(n≥1),所以数列{c n}为等差数列.(ii)设d m=a6m+i(m≥0,i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),所以d m+1-d m=a6m+6+i-a6m+i=b6m+i+b6m+i+1+b6m+i+2+b6m+i+3+b6m+i+4+b6m+i+5=7(m≥0),所以数列{a6m+i}均是以7为公差的等差数列.设f k=+,当a i=时,对任意的n=6k+i(k≥0,i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数),有,此时由已知条件可推得a1=,,,-,-,.当a i≠时,f k+1-f k=-=(a i-)[-]=(a i-)·,①若a i>,则对任意的k∈N,有f k+1<f k,所以数列{}为单调递减数列;②若a i<,则对任意的k∈N,有f k+1>f k,所以数列{}为单调递增数列.综上,设集合B={}∪{}∪{}∪{-}∪{-}∪{}={,,,-,-},则当a1∈B时,数列{}中必有某数重复出现无数次;当a1∉B时,{} (i=1,2,3,4,5,6)均为单调数列,任意一个数在每个数列中最多出现一次,所以数列{}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.【解析】本题考查数列的基本运算及其通项公式的求解等,考查考生基本的计算能力、分类讨论思想.【备注】数列求和要注意通项公式的特征,灵活选用相应的方法,其中裂项相消法与错位相减法是高考命题的热点,应熟练掌握求解的基本步骤.21．如图,在☉O的直径AB的延长线上任取一点C,过点C作直线CE与☉O交于点D、E,记点E关于直径AB的对称点为F,连接DF,交AB于G.若CB=AB,求的值.【答案】连接OE、OF,易知∠EDG=∠EOF,又点E、F关于直径AB对称,所以,得∠EOA=∠EOF, 所以∠EDG=∠EOA,又∠EOG+∠EOA=π,所以∠EOG+∠EDG=π,故E、D、G、O四点共圆. 故CE·CD=CO·CG,又CE·CD=CA·CB,所以CA·CB=CO·CG,又CB=AB,所以CO=AB,CA=AB,故.【解析】本题主要考查四点共圆的判定、圆的割线定理等,属于中档题.先证∠EDG=∠EOA,再证E、D、G、O四点共圆,在两个圆中分别由割线定理可得CE·CD=CO·CG,CE·CD=CA·CB,进而可得CA·CB=CO·CG,再由CB=AB可得的值.22．已知二阶矩阵M的属于特征值λ=3的一个特征向量为e1=,且M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M.【答案】设M=,则=3,故,故解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,故M=.【解析】本题考查矩阵的特征值与特征向量、矩阵的变换.23．已知两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+),它们相交于A,B两点,求线段AB的长.【答案】以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则由ρ=1得,x2+y2=1, ∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,∴x2+y2-x+y=0,由,得A(1,0),B(-,-)或A(-,-),B(1,0).∴|AB|=.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化.先联立方程求出两个交点的坐标,再由两点间的距离公式求出线段AB的长.24．已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的取值范围.【答案】由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),且a≠0,得≥f(x) .又≥=2,则2≥f(x),解不等式|x-1|+|x-2|≤2,得≤x≤,即实数x的取值范围为[,].【解析】本题主要考查绝对值不等式的性质及绝对值不等式的求解,考查考生分析问题、解决问题的能力.25．某学习小组由3名男生和3名女生组成,现从中选取参加学校座谈会的代表,规则是每次选取1人,依次选取,每人被选取的机会均等.(1)若要求只选取2名代表,求选出的2名代表都是男生或都是女生的概率;(2)若选取过程中只要有女生入选,选取即结束,记所选取的代表的人数为X,求X的分布列和数学期望EX.【答案】(1)记“选出的2名代表都是男生或都是女生”为事件A,则P(A)=.(2)由题意知,X=1,2,3,4.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以X的分布列为EX=1×+2×+3×+4×.【解析】离散型随机变量的分布列与数学期望是高中概率与统计的核心内容,为高考考查的重点,备考中要牢牢抓住该部分,通过各类练习,熟练掌握其解法.本题中要特别注意第(2)问中“只要有女生入选,选取即结束”,理解其含义,正确计算X取各个值的概率.26．已知平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任意两条不平行,任意三条不共点,设这n条直线将平面分成f(n)个区域,如f(2)=4,f(3)=7.(1)试猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法加以证明;(2)请用类比的方法,写出n个平面将空间最多分成多少个部分.(不要求证明)(注:12+22+32+…+n2=).【答案】(1)通过画图可求出f(4)=11,f(5)=16,观察发现:f(3)=f(2)+3,f(4)=f(3)+4,f(5)=f(4)+5. 猜想f(n)-f(n-1)=n,进而用累加法求得f(n)-f(2)=n+(n-1)+…+3,所以f(n)=+1. 下面用数学归纳法证明.①当n=2时,f(2)=4显然成立;②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时成立,即f(k)=+1,则当n=k+1时,因为第k+1条直线与前面的k条直线都不平行,而且也不交于同一点(因为任意三条直线不共点),所以第k+1条直线与其他k条直线有k个交点,这k个交点将第k+1条直线分成k+1段,其中每一段都将所在区域一分为二,所以增加了k+1个区域,所以f(k+1)=f(k)+k+1,由归纳假设得,f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1+1=+1=+1,即当n=k+1时也成立.综合①②,得f(n)=+1对任意的n(n≥2,n∈N*)均成立.所以f(n)=+1(n≥2,n∈N*).(2)设这n个平面将空间最多分成g(n)个部分,当这n个平面任意两个不平行,任意三个不共线(即交线不重合)时才能最多,用类比法得g(n+1)=g(n)+f(n),从而求得g(n)=4+f(2)+…+f(n-1)=.【解析】本题考查推理与证明.第(1)问通过归纳推理得到结论,再利用数学归纳法给出证明;第(2)问运用类比推理写出结果.。
江苏省2016年高考最新数学模拟试卷及答案
2016江苏省高考数学模拟试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 设集合M ＝{x |x ＋3x －2<0}，N ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，则集合M ∩N ＝___ ▲ _____． 2. 复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是__ ▲ _____．3. 某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车，月产量分别为1200、6000、2000辆．为检验该公司的产品 质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验， 则型号A 的轿车应抽取____ ▲ ____辆． 4. 有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌中有黑桃的 概率是___ ▲ _______．5. 右图是一个算法的流程图，则输出的结果是____ ▲ ____．6. 设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的_____ ▲ ____条件．7. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V 1，该正方体的体积为V 2，则V 1∶V 2＝____ ▲ ____.8. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120º，AB ＝AC ＝2，D 为BC 边上的点，且→AD ·→BC ＝0，→CE ＝2→EB ， 则→AD ·→AE ＝____ ▲ ___.9. 对任意的实数b ，直线y ＝－x ＋b 都不是曲线y ＝x 3－3ax 的切线，则实数a 的取值范围是____ ▲____．10. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ▲ ．11. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (0＜x ≤10)|6－12x | (x ＞10)，若a ,b ,c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )， 则a ＋b ＋c 的取值范围为 ▲ ．AB CD E12. 若函数f (x )＝sin(ωπx －π4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是______ ▲ _____．13. 若实数a ,b ,c 成等差数列，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (2,1)，则线段MN 长度的最大值是_____ ▲ _____．14. 定义：若函数f (x )为定义域D 上的单调函数，且存在区间(m ,n )⊆D (m ＜n )，使得当x ∈(m ,n )时，f (x )的取值范围恰为(m ,n )，则称函数f (x )是D 上的“正函数”． 已知函数f (x )＝a x (a ＞1)为R 上的“正函数”，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bca B C -=2cos cos . （1）求B ； （2）若7)4tan(=+πA ，求C cos 的值.16.正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ． （1）求证：AB ∥平面CDE ； （2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．ABCDE17.如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线l 1、l 2的距离分别为4米、8米，河岸线l 1与该养殖区的最近点D 的距离为1米，l 2与该养殖区的最近点B 的距离为2米． （1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得∠BAD ＝60º，请据此算出养殖区的面积S ，并求出直线AD 与直线l 1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试求养殖区面积S 的最小值，并求出取得最小值时∠BAD 的余弦值．18.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,3)，离心率为12，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且→MA ＝λ→AF ，→MB ＝μ→BF ，当直线l 的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；（3）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（图甲） （图乙）1l 1l 2l 2l AABBCCDD19. 已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n 项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．20.已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ,n ∈R )在x ＝1处取到极值2． （1）求f (x )的解析式；（2）设函数g (x )＝ax －ln x ，若对任意的x 1∈[12, 2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2, e ](e 为自然对数的底)，使得g (x 2)＝f (x 1)，求实数a 的取值范围．兴化市第一中学2014-2015学年度春学期期初考试数学附加题1. 已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1a b 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 20d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20，（1）求实数a ,b ,c ,d 的值；（2）求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程．2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t y ＝1－t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？（2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.班级___________ 学号________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………C 1B 1A4.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望E (X )； （2）求恰好得到n (n ∈N *)分的概率．参考答案1、(1,2)2、(－1,1)3、64、107 5、63 6、充要 7、168、19、(－∞,13)10、2－111、(25,34)12、54 13、3 214、(1, e 1e)15、(1)3π(2) 16、证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ， 又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ．（2）因为AE CDE ⊥平面，且CD CDE ⊂平面， 所以AE CD ⊥，又 ABCD CD AD ⊥正方形中，，且AE AD A =，AE AD ADE ⊂、平面，所以CD ADE ⊥平面， 又CD ABCD ⊂平面，所以ABCD ADE ⊥平面平面．17、解：（1）设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-， 解得3tan 5α=，所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=；（5分） （2）设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，， 则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，解得sin tan 2cos θαθ=+， 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos 5θ=-， 经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ．答：（1）养殖区的面积为242 3 m ；（2）养殖区的最小面积为227m ．（15分） 18、解：（1）x 24＋y 23＝1（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,y 0)∵→MA ＝λ→AF ∴(x 1,y 1－y 0)＝λ(1－x 1,－y 1) ∴λ＝x 11－x 1，同理，μ＝x 21－x 2∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 2x 1x 2－x 1－x 2＋1∵⎩⎨⎧l ：y ＝k (x －1)3x 2＋4y 2－12＝0∴(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3∴x 1＋x 2－2x 1x 2＝8k 24k 2＋3－2×4k 2－124k 2＋3＝244k 2＋3，x 1x 2－x 1－x 2＋1＝4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝－94k 2＋3∴λ＋μ＝－249＝－83（3）当l ⊥x 轴时，易得AE 与BD 的交点为FK 的中点(52,0) 下面证明：BD 过定点P (52,0)word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载B 、D 、P 共线⇔k BP ＝k DP ⇔y 14－52＝y 2x 2－52⇔32y 2＝x 2y 1－52y 1⇔3y 2＝2x 2y 1－5y 1⇔3k (x 2－1)＝2x 2k (x 1－1)－5k (x 1－1) ⇔2kx 1x 2－5k (x 1＋x 2)＋8k ＝0⇔2k ·4k 2－124k 2＋3－5k ·8k 24k 2＋3＋8k ＝0⇔2k (4k 2－12)－40k 3＋8k (4k 2＋3)＝0成立．得证．同理，AE 过定点P (52,0)，∴直线AE 与BD 相交于一定点(52,0)． 【注】：书写可证明：k BP －k DP ＝···－···＝·······，证明值为0．19、（1）解：根据题意，有a 1=1，a 2=2，a 3=a 1+d 1=1+d 1，a 4=a 2+d 2=2+d 2，a 5=a 3+d 1=1+2d 1∵S 5=16，a 4=a 5，∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=7+3d 1+d 2=16，2+d 2=1+2d 1∴d 1=2，d 2=3． ∴a 10=2+4d 2=14（2）证明：当n 为偶数时，∵a n ＜a n+1恒成立，∴2+，∴（d 2﹣d 1）+1﹣d 2＜0，∴d 2﹣d 1≤0且d 2＞1 当n 为奇数时，∵a n ＜a n+1恒成立，∴，∴（1﹣n ）（d 1﹣d 2）+2＞0，∴d 1﹣d 2≤0∴d 1=d 2 ∵S 15=15a 8，∴8++14+=30+45d 2∴d 1=d 2=2 ∴a n =n ∴数列{a n }是等差数列；（3）解：若d 1=3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m≠n），使得a m =a n ，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m 为奇数，n 为偶数 ∵a m =a n ，∴∵d 1=3d 2，∴∵m 为奇数，n 为偶数，∴3m﹣n ﹣1的最小正值为2，此时d 1=3，d 2=1∴数列{a n }的通项公式为a n =．20、解： （1）∵f (x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn(x 2＋n )2∵由f (x )在x ＝1处取到极值2，∴⎩⎨⎧f (1)＝0f (1)＝2 ∴－m ＋mn (1＋n )2＝0，m 1＋n ＝2,∴⎩⎨⎧m ＝4n ＝1，经检验，此时f (x )在x ＝1处取得极值，故f (x )＝4xx 2＋1 （2）记f (x )在[12,2]上的值域为A ，函数g (x )在[1e2,e ]上的值域为B ，由（1）知：f (x )＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2∴f (x )在[12,1]上单调递增，在(1,2]上单调递K O ABMx yDEFword 专业资料-可复制编辑-欢迎下载减，由f (1)＝2，f (2)＝f (12)＝85，故f (x )的值域A ＝[85,2]依题意g (x )＝a －1x ∵x ∈[1e 2,e ] ∴1e ≤1x≤e 2①当a ≤1e 时，g (x )≤0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递减 ∴B ＝[g (e ),g (1e2)]，由题意得：[85,2]⊆B ．∵g (e )＝ae －1，g (1e 2)＝a 1e2＋2，∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0∵135e ＞1e ∴0≤a ≤1e②当1e ＜a ＜e 2时，e ＞1a ＞1e 2 ∴当x ∈[1e 2,1a )时，g (x )＜0；当x ∈(1a,e ]时，g (x )＞0；∵对任意的y 1∈[85,2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2,e ]，使得g (x 2)＝y 1 ∵g (e )－g (1e 2)＝ae －a 1e 2－3＝a (e －1e2)－3∴当3e 2e 3－1＜a ＜e 2时，g (e )＞g (1e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (1e 2)≤85g (e )≥2∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e 2 无解当1e ＜a ＜3e 2e 3－1时，g (e )＜g (1e 2) ∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0∵135e ＜3e 2e 3－1 ∴1e ＜a ＜135e当a ＝3e 2e 3－1时，g (e )＝g (1e2)不成立；③当a ≥e 2时，1a ＜1e 2 ∴g (x )＞0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递增 ∴B ＝[g (1e2), g (e )]∵[85,2]⊆B ∴g (e )≥2，g (1e 2)≤85 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ea －1≥2a e 2＋2≤85 ∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e 2 无解综上，0≤a <135e附加题参考答案1、解：（Ⅰ）由题设，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20得⎩⎨⎧c ＝22＋ad ＝0bc ＝－22b ＋d ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2； （Ⅱ）取直线y ＝3x 上的两点(0,0)、(1,3)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y ＝－x ．2、解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t y ＝1－t(t 为参数)∴x ＋2y ＝4设P (2cos θ,sin θ)∴P 到l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝|22sin(θ＋ π4)－4|5≥|22－4|5＝4－225当且仅当sin(θ＋ π 4)＝1，即θ＝2kπ＋ π 4时等号成立．此时，sin θ＝cos θ＝22∴P (2,22) 3、解：（1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝ π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2，(2,0,0)从而B (0，0，0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(0，0，3)，A 1 A (2,0,3)，C 1(0,2,3)，D (22,22,3)，E (0,22,32)．所以→CA 1＝(2,－2,3)，设AF ＝x ，则F (2，0，x )， →CF ＝(2,－2,x )，→B 1F ＝(2,0,x －3) ，→B 1D ＝(22,22,0) ∴→CF ·→B 1D ＝···＝0，所以→CF ⊥→B 1D 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由→CF ·→B 1F ＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．（2）由（1）知平面ABC 的法向量为m ＝(0,0,1). 设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ,y ,z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·→CF ＝0n ·→B 1F ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝02x －2z ＝0令z ＝1得n ＝(2,322,1)，所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos ＜m ,n ＞＝30154、解：（1）所抛5次得分的概率为P (X ＝i )＝C i -55·(12)5(i ＝5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：∴ EX＝152（2）令P n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－P n ，“恰好得到n －1分”的概率是P n －1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－P n ＝12P n －1，即P n －23＝－12( P n －1－23). 于是{P n －23}是以P 1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列.X 5 6 7 8 9 10 P132532516516532132ABC C 1B 1A 1FDx yz所以P n －23＝－16(－12)n −1，即P n ＝13[2＋(－12)n ]. 答：恰好得到n 分的概率是13[2＋(－12)n ].。
2016届百校联盟江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第七模拟)(解析版)
百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学（第七模拟）一、填空题：共14题1．若集合A={x|-1≤x≤1},B={x|y=},则A∪B=.【答案】{x|x≥-1}【解析】本题主要考查集合的概念、并运算,属于基础题.先求出集合B,再进行并运算即可.由y=得x≥0,∴B={x|x≥0},故A∪B={x|x≥-1}.2．已知复数z1=3+i,z2=1-2i,则的模为.【答案】【解析】本题主要考查共轭复数、复数的除法运算、复数的模,考查考生对基础知识的掌握情况.解题的关键是熟悉复数的除法运算法则,即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.由题意得,,故||=||=.3．在竞选2022年冬奥会的举办国时,若投票人中有女性8位,男性12位,现用分层抽样的方法从这20位投票人中抽取5位,则抽到的女性人数为.【答案】2【解析】本题主要考查统计中的分层抽样知识,考查考生运用所学知识解决相关实际问题的能力.求解时,根据分层抽样的知识列式计算.设抽到的女性人数为x,由题意,结合分层抽样可得,,∴x=2.4．执行如图所示的流程图,若输出的结果为1,则输入的实数x的值为.【答案】2或-2【解析】本题考查选择结构的流程图、简单的对数运算等知识,考查考生的运算求解能力.解决此类问题的关键是明确流程图的算法功能及其结构类型.根据流程图可知,若x>1,则由log2x=1,得x=2;若x≤1,则由x3+9=1,得x=-2.综上,实数x的值为2或-2.【备注】流程图是算法的直观表示,是算法转化为程序的媒介,它的趣味性、实用性倍受高考命题者的青睐,且流程图与其他知识之间有较强的联系,例如与统计、数列、函数(分段函数为主)等之间都有一定的联系,因此算法知识与其他知识的结合将是高考的热点,也恰恰体现了算法的普遍性、工具性.5．已知f(x)=,则f(-2)=.【答案】37【解析】本题主要考查分段函数求值,考查考生对基础知识的理解和基本的计算能力.由分段函数的解析式可知,f(-2)=f(1)=f(4)=f(7)=4×7+9=37.6．已知在等比数列{a n}中,a1+a2=3,a5+a6=12,则a9+a10=.【答案】48【解析】本题主要考查等比数列的性质等,考查考生的运算求解能力.可用等比数列的通项公式列出方程组求解;也可根据a1+a2,a5+a6,a9+a10成等比数列求解.通解设等比数列{a n}的公比为q,则由已知得a1+a1q=3且a1q4+a1q5=12,两式相除得q4=4,故a9+a10=a1q8+a1q9=q4(a1q4+a1q5)=4×12=48.优解根据等比数列的性质知,a1+a2,a5+a6,a9+a10也成等比数列,故=(a1+a2)(a9+a10),即122=3×(a9+a10),所以a9+a10=48.7．2015年高考填报志愿时,甲、乙两人约定从2所“985”重点大学、4所一般重点大学中选1所填报,且每人只报1所,则他们报同一类重点大学的概率为.【答案】【解析】本题是古典概型问题,解答本题的关键是用列举法得到基本事件总数及满足条件的基本事件数.设2所“985” 重点大学分别用1,2表示,4所一般重点大学分别用a,b,c,d表示, 则甲、乙两人填报志愿的所有情况有:11,12,1a,1b,1c,1d,21,22,2a,2b,2c,2d,a1,a2,aa,ab,ac,ad,b1,b2,ba,bb,bc,bd,c1,c2,ca,cb,cc,cd,d1,d2,da,db,dc,dd,共36种.记“甲、乙两人报同一类重点大学”为事件A,则事件A所包含的情况有:11,12,21,22,aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,da,db,dc,dd,共20种.故他们报同一类重点大学的概率P(A)=.8．已知函数f(x)=sin(ωx+)cos(ωx-)-(0<ω<1)的图象关于直线x=对称,则函数f(x)的解析式为.【答案】f(x)=cos(x-)【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换等知识,考查考生的运算求解能力.先利用三角恒等变换对f(x)进行化简,再结合三角函数的图象与性质即可求得函数f(x)的解析式.f(x)=sin(ωx+)cos(ωx-)-=sin(ωx+-)cos(ωx-)-=cos2(ωx-)-cos(2ωx-),由题意知,当x=时,f(x)取最值,即ω-=kπ,k∈Z, 解得ω=,k∈Z.又ω∈(0,1),所以ω=,所以f(x)=cos(x-).9．设过点M(4,4)的抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,则F到双曲线-y2=1的渐近线的距离为.【答案】【解析】本题是解析几何的综合问题,考查了双曲线的渐近线、抛物线的焦点、点到直线的距离等知识,考查考生的运算求解能力.由题意,将M(4,4)代入抛物线y2=2px(p>0)可得,p=2,故抛物线的方程为y2=4x,所以其焦点为F(1,0),又双曲线-y2=1的渐近线方程为x±2y=0,故F到双曲线-y2=1的渐近线的距离d=.10．四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M、N分别是PA、PB的中点,则四棱锥D-ABNM与四棱锥P-ABCD的体积之比为.【答案】3∶8【解析】本题主要考查四棱锥的结构特征、体积等知识,意在考查考生的空间想象能力与计算能力.解此类问题要注意对应元素之间的关系,体积计算公式的灵活运用.解法一连接NA、MB,V D-ABN=V N-ABD=V P-ABCD,V D-MBN=V D-ABN=V P-ABCD,又V D-AMB=V M-ABD=V P-ABCD,所以V D-ABNM=V D-MBN+V D-AMB=V P-ABCD,即V D-ABNM∶V P-ABCD=3∶8.解法二V D-ABNM=V D-PAB=V P-DAB=×V P-ABCD,则V D-ABNM∶V P-ABCD=3∶8.11．如图,在△ABC中,E为AC上一点,且=2,P为BE上一点,且满足=m+n(m>0,n>0),则+取得最小值时,向量a=(m,n)的模为.【答案】【解析】本题主要考查向量的线性运算、基本不等式的应用等知识.求解时,首先根据向量的线性运算表示出,然后结合已知条件得到m,n之间的关系式,再利用基本不等式求出取最小值时m,n的值,最后求出向量a的模.因为B,P,E三点共线,所以=λ,所以-=λ(-)=λ(-),所以=(1-λ)+λ,故m=1-λ,n=λ,m+2n=1,所以+=(+)(m+2n)=1+4++≥5+2×2=9,当且仅当,即m=n时等号成立,此时m=n=,|a|=.12．已知不等式x2+x-()n≥0(n∈N*)在x∈(-∞,λ]上恒成立,则实数λ的取值范围是.【答案】(-∞,-1]【解析】本题主要考查不等式恒成立问题,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.由x2+x-()n≥0恒成立得x2+x≥()n,即x2+x≥(恒成立.因为(,所以x2+x2≥在(-∞,λ]上恒成立,令y=x2+x=(x+)2-,则二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=-.当λ≤-时,函数在(-∞,λ]上单调递减,要使不等式恒成立,则有λ2+λ≥,得λ≤-1;当λ>-时,函数的最小值在x=-处取得,此时y=-=-,不满足题意.综上,实数λ的取值范围是(-∞,-1].13．在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点,点P在圆(x-a)2+y2=2上运动.若∠MPN恒为锐角,则实数a的取值范围是.【答案】(-∞,-4)∪(-1,+∞)【解析】这是一道两个重要C级考点的综合题,主要考查直线的方程,圆的标准方程,直线与圆、圆与圆的位置关系等知识,意在考查考生转化与化归的能力及运算求解能力.解决此题的关键是将问题转化为圆C1与圆C 2外离,且直线MN与圆C2无公共点或·>0恒成立,且点P不在直线y=x+2上.解法一由题意知,M(-2,0),N(0,2),则MN的中点坐标为(-1,1),以MN为直径的圆记为C1,则C1(-1,1),圆C1的半径r1=,圆(x-a)2+y2=2记为C2,则C2(a,0),圆C2的半径r2=.由题意知,圆C1与圆C2外离,且直线MN与圆C 2无公共点.圆C1与圆C2外离⇔|C1C2|>r1+r2⇔>r1+r2=2,解得a>-1或a<--1.直线MN 与圆C2无公共点⇔,解得a>0或a<-4.所以a<-4或a>-1.解法二由题意知,M(-2,0),N(0,2),设P(a+cosθ,sinθ),则=(a+2+cosθ,sinθ),=(a+cosθ,sinθ-2).由题意知·>0恒成立,且点P不在直线y=x+2上.·>0⇔(a+2+cosθ)·(a+cosθ)+sinθ·(sinθ-2)>0⇔(a2+2a+2)+2[(a+1)cosθ-sinθ]>0⇔(a+1)2+1+2cos(θ+φ)>0,其中tanφ=(a+1≠0),必须(a+1)2+1-2>0,所以>2,解得a>-1或a<--1.点P不在直线y=x+2上⇔a+cosθ-sinθ+2≠0⇔关于θ的方程sin(θ-)=无解⇔||>1⇔a>0或a<-4.所以a<-4或a>-1.14．已知函数f(x)的定义域为R,函数y=f(x)log2是奇函数,f(2)=0,当x>0时,f'(x)<,则不等式>0的解集为.【答案】(-∞,-2)∪(0,2)【解析】本题主要考查函数的奇偶性及导数的应用,考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力、运算求解能力,考查数形结合思想的应用.先判断函数y=的奇偶性,然后利用导数判断单调性,再利用单调性解不等式即可.易得函数y=log2是奇函数,又函数y=f(x)log2是奇函数,故函数y=f(x)是偶函数,所以函数y=是奇函数.由f'(x)<可得,当x>0时,<0,即当x>0时,()'<0,故函数y=在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数,其大致图象如图所示,结合图象易得,不等式>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).二、解答题：共12题15．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin(A+)=2cos A.(1)若cos C=,求证:2a-3c=0;(2)若B∈(0,),且cos(A-B)=,求sin B.【答案】由sin(A+)=2cos A,得sin A+cos A=2cos A,即sin A=cos A,因为A∈(0,π),且cos A≠0,所以tan A=,所以A=.(1)因为sin2C+cos2C=1,cos C=,C∈(0,π),所以sin C=,由正弦定理,得,即2a-3c=0.(2)因为B∈(0,),所以A-B=-B∈(0,),因为sin2(A-B)+cos2(A-B)=1,cos(A-B)=,所以sin(A-B)=,所以sin B=sin[A-(A-B)]=sin A cos(A-B)-cos A sin(A-B)=.【解析】本题考查三角恒等变换、三角求值和解三角形.(1)由三角恒等变换可求出角A,由正弦定理可得出边之间的关系;(2)由B=A-(A-B),根据两角差的正弦公式可求出sin B的值.【备注】江苏高考第15题侧重考查三角恒等变换,而两角和(差)的正弦、余弦及正切这一C级考点更是近5年的必考知识点,将三角恒等变换放在三角形中进行考查(此时要注意角的取值范围的限制),或者将平面向量、三角恒等变换结合起来是当前高考的主要命题方向,但问题的核心仍然是三角恒等变换.在解决这类试题时,只要抓住问题的本质,灵活地选用三角公式即可求解.16．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,D为CC1的中点,E为BC上一点,且CE=E B.求证:(1)DE∥平面A1MC1;(2)平面A1MC1⊥平面B1MC1.【答案】(1)取BC的中点N,连接MN,C1N.∵M,N分别是AB,CB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,∴A1,M,N,C1四点共面,且平面A1MNC1∩平面BCC1B1=C1N.又CE=EB,∴点E为CN的中点.∵点D为CC1的中点,∴ED∥C1N.∵ED⊄平面A1MNC1,C1N⊂平面A1MNC1,∴DE∥平面A1MNC1,即DE∥平面A1MC1.(2)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AC.∵AC⊥AB,AA1∩AB=A,∴AC⊥平面ABB1A1.又B1M⊂平面ABB1A1,∴B1M⊥A C.∵AC∥A1C1,∴B1M⊥A1C1.∵AA1⊥AB,∴四边形ABB1A1是矩形,又AB=2AA1,M是AB的中点,∴B1M⊥A1M.∵A1C1,A1M⊂平面A1MC1,A1C1∩A1M=A,∴B1M⊥平面A1MC1,又B1M⊂平面B1MC1,∴平面A1MC1⊥平面B1MC1.【解析】本题主要考查空间中直线和平面、平面与平面的位置关系,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.(1)利用线面平行的判定定理即可证明;(2)利用面面垂直的判定定理证明.【备注】新的课程标准较大幅度地降低了几何论证的要求,所以近几年立体几何的高考题以点、线、面的位置关系问题居多,主要考查位置关系的判定与证明,解题策略主要是转化,立体几何中的转化主要有平行的转化、垂直的转化,即:17．某商会拟在市区投资新建一座大型冷库,冷库的地面设计为如图所示的周长为300 m的平面区域,两头是半圆形,中间区域是矩形ABCD,冷库的高设计为地面区域两头半圆形半径的,冷库内矩形区域ABCD对应的空间用来冷藏物品.(1)求用来冷藏物品的空间容量关于AB的长度的表达式;(2)为了让用来冷藏物品的空间容量尽可能大,应该如何设计AB与BC的长度?并求出最大空间容量.【答案】(1)设中间矩形区域中AB、BC的长度分别为x、y,用来冷藏物品的空间容量记为V,则半圆的周长为,因为冷库的地面设计的周长为300,所以2x+2×=300,即2x+πy=300,所以y=.又冷库的高设计为地面区域两头半圆形半径的,故高h=.所以用来冷藏物品的空间容量V=xyh=x··,其中x∈(0,150).(2)记f(x)=2x3-600x2+45 000x,其中x∈(0,150),则f'(x)=6x2-1 200x+45 000,其中x∈(0,150).令f'(x)=0,得x=50,因为当x∈(0,50)时,f'(x)>0,当x∈(50,150)时,f'(x)<0, 所以当x=50时,用来冷藏物品的空间容量最大.即当AB、BC的长度分别设计为50 m, m时,用来冷藏物品的空间容量最大,且最大空间容量为 m3.【解析】本题是一道实际应用题,主要考查建立函数关系式、利用导数求最值等基础知识,考查运算求解能力、数学建模能力以及对数学结果进行检验、解释和处理的评价能力.(1)认真阅读、理解题意,知道用来冷藏物品的空间容量即为长方体的体积,即可列出函数表达式;(2)应用导数求最值.【备注】实际应用问题一般会“源于生活,应用于生活”,经常涉及路程、物价、产量、费用等问题,也可涉及长度、角度、面积、体积等几何量,解答这类问题一般要列出有关的函数解析式,然后用函数、导数、方程、不等式等知识解决.近几年高考应用题的立意、实际背景和情境、设问角度和方式都很新颖灵活,坚持“贴近课本、贴近生活、贴近实际”的原则,要求考生一方面要牢固掌握基础知识、基本技能和基本方法,另一方面要善于把文字语言转化成数学语言,实现由实际问题向数学问题的转化.18．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),过点F的直线l交椭圆C于M,N两点,圆x2+y2=与椭圆C的四个顶点构成的四边形相切.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:+为定值,并求出此定值.【答案】(1)因为F(1,0)为椭圆的右焦点,所以a2=b2+1,①设A,B分别为椭圆C的右顶点与上顶点,则直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.所以圆x2+y2=的圆心(0,0)到直线AB的距离的平方d2=,化简得2(a2+b2)=3a2b2,②由①②得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,x1=x2=1,则+=1,解得,所以|MF|=|NF|=,则+=2.当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),联立,化简得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,解得x=,不妨取x1=,x2=,所以x1>1,x2<1,而|MF|==|x-1|=·,-1|=·,同理|NF|=|x则+(+)=(+)=·=2.所以+为定值2.【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质,直线、椭圆、圆的位置关系等知识,考查了考生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.(1)列出关于a,b的方程组求解即可;(2)要分类讨论,综合确定+为定值.【备注】在高考中,让考生通过适当的运算求出椭圆的方程、圆的方程、直线的方程,探讨直线与圆锥曲线的位置关系等问题是解析几何部分的常规考点.解析几何研究的内容就是给定曲线C,如何求出它所对应的方程,并根据方程研究曲线的几何性质,其特征是以数解形,坐标法是几何问题代数化的重要方法.19．已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n-1=2a n-1-3·2n-1+4(n≥2,n∈N*),设b n=.(1)求证:数列{b n}是等差数列,并求出数列{a n}的通项公式;(2)设T n为数列{S n-4}的前n项和,求T n;(3)是否存在正整数m,n,使得b n+b n+1=b m成立?若存在,求出所有符合条件的正整数m,n;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)由题意有S n=2a n-3·2n+4,n∈N*,∵a1=S1=2a1-2,∴a1=2.当n≥2时,a n=S n-S n-1,故a n=2a n-1+3×2n-1, 于是+.又b n=,b1==1,则数列{b n}是首项为b1=1,公差为的等差数列.∴b n=,∴a n=2n b n=2n-1(3n-1).(2)∵S n-4=2×2n-1(3n-1)-3×2n=2n(3n-4)=3×2n×n-2n+2,∴T n=3×(2×1+22×2+…+2n×n)-4×(2+22+…+2n),记W n=2×1+22×2+…+2n×n①,则2W n=22×1+23×2+…+2n+1×n②,①-②得,-W n=2+22+…+2n-2n+1×n=2n+1(1-n)-2,∴W n=2n+1(n-1)+2.故T n=3×[2n+1(n-1)+2]-4×=2n+1(3n-7)+14.(3)由(1)得b n=,所以要使b n+b n+1=b m,则+,整理得m-2n=,∵m,n是正整数,故m-2n一定为整数,∴m-2n=不可能成立,即不存在正整数m,n,使得b n+b n+1=b m成立.【解析】本题是数列的综合问题,主要考查等差数列的定义、通项公式,数列求和等知识,意在考查考生的运算求解能力与解决综合问题的能力.(1)由S n-1=2a n-1-3·2n-1+4(n≥2,n∈N*)与S n=2a n-3·2n+4相减得a n=2a n-1+3×2n-1,从而得+,即数列{b n}是等差数列,从而得到数列{a n}的通项公式;(2)利用错位相减法和分组求和法求解;(3)由b n+b n+1=b m得m-2n=,与m,n是正整数矛盾,故不存在.【备注】递推是学好数列的重要思想,涉及a n及S n的关系的问题,要用a n=S n-S n-1(n≥2)消元化归,如本题由S n-1=2a n-1-3·2n-1+4(n≥2,n∈N*)推出S n=2a n-3·2n+4,它其实就是函数中的变量代换法,在数列中一般用n-1,n+1等去代替n,也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式,代换就是对n赋值.数列以其内容的丰富性和探索性、解法的灵活性和多样性,从多角度检测考生思维的广度和深度,多年来倍受高考命题者的青睐.其中等差数列、等比数列是C级考点,为高考必考知识点之一,函数思想与数列的结合在高考命题中频频出现,以此提升对知识的灵活运用能力,所以除了熟练掌握有关公式与性质,还需戴上“函数眼镜”,善于运用函数观点审视、分析问题.20．已知a∈R,函数f(x)=ax-ln x,g(x)=(4-a)ln x+.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)若存在a∈(0,+∞),使得函数f(x)在(0,e]上的最小值是3(e为自然对数的底数),试求a的值;(3)试讨论函数y=2f(x)+g(x)的单调性.【答案】(1)当a=1时,函数f(x)=x-ln x,∴f'(x)=1-,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),∴当0<x<1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.∴f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.(2)由已知,存在a∈(0,+∞),使得函数f(x)=ax-ln x在x∈(0,e]上有最小值3.f'(x)=a-,其中a>0,①当0<<e,即a>时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,e]上单调递增,所以f(x)min=f()=1+ln a=3,解得a=e2.②当≥e,即0<a≤时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=a e-1=3,解得a=(舍去),故此时a不存在.综上,所求实数a=e2.(3)由已知,y=2f(x)+g(x)=(2-a)ln x++2ax,所以y'=-+2a=(x>0).①当a≥0时,y=2f(x)+g(x)在(0,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数;②当-2<a<0时,y=2f(x)+g(x)在(0,)和(-,+∞)上是减函数,在(,-)上是增函数;③当a=-2时,y=2f(x)+g(x)在(0,+∞)上是减函数;④当a<-2时,y=2f(x)+g(x)在(,+∞)和(0,-)上是减函数,在(-,)上是增函数.【解析】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,综合性强,意在考查考生的运算求解能力,运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决问题的能力.【备注】解答题中函数问题一般为难题,以函数的单调性、最值,导数的应用等为考查重点,同时考查分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.高考中,此类问题还可能以高等数学的知识为背景,体现高等数学中常用的数学思想和推理方法,但解决问题的落脚点依然是中学所学的初等数学知识,考生不必惊慌,要坦然面对,认真审题、分析,灵活解答.21．已知直线l过圆心O,交圆O于B,C两点,点P在直线l上,且PA与圆O相切,A为切点,作AH⊥PB于H.求证:PA·AH=PC·H B.【答案】连接AC,A B.因为BC为圆O的直径,故AC⊥A B.又AH⊥PB,故AH2=CH·HB,即.因为PA为圆O的切线,故∠PAC=∠B.在Rt△ABC中,∠B+∠ACB=90°.在Rt△ACH中,∠CAH+∠ACB=90°.所以∠HAC=∠B.所以∠PAC=∠CAH,所以,即.所以,即PA·AH=PC·HB.【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、直角三角形中的射影定理和角平分线定理等知识,考查考生的推理论证能力.求解时,已知条件中有切线、垂直等,可转化到直角三角形中,利用射影定理等证明.【备注】几何证明选讲的主要内容是射影定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及圆内接四边形的性质和判定等,要求能通过相关的性质和定理证明一些反映圆与直线关系的题目.常用的解题策略有:由相等关系找特殊点或特殊形(如中点、等腰三角形),由乘积关系找圆的相关定理,由比例关系找相似三角形,通过相似得比例关系等.22．设矩阵M的逆矩阵M-1=,N=,求MN.【答案】设矩阵M=,则MM-1=.又M-1=,所以,所以x1=2,y1=0,x2=0,y2=3,故矩阵M=.所以MN=.【解析】本题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等知识,考查考生的运算求解能力.根据逆矩阵的定义先求矩阵M,再由矩阵的运算求MN.【备注】矩阵与变换在高考中,主要是围绕矩阵的运算、逆矩阵、特征值和特征向量、常见的平面变换等进行考查.在复习迎考时,应该在理解常见平面变换的基础上,熟悉高考考查的主要方式:考“点的变换”,考“曲线的变换”,考“已知点的变换,求矩阵”,考“已知曲线的变换,求矩阵”,考“求逆矩阵”,考“求特征值与特征向量”等.23．已知圆C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,圆C2的参数方程为(α为参数),若点P在C1上,点Q在C2上,求PQ长度的最小值.【答案】由题意得,圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,圆心C1(0,2),半径r1=2.圆C2的普通方程为(x+3)2+y2=1,圆心C2(-3,0),半径r2=1.故PQ长度的最小值为|C1C2|-r1-r2=-3.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及圆与圆的位置关系等知识,考查考生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.解题时,将极坐标方程化为直角坐标方程,将参数方程消去参数得普通方程,再进行求解.【备注】本专题需要准确理解极坐标和参数方程的概念、参数方程中参数的几何意义,能够将点的直角坐标与极坐标进行转化,将直线、圆、椭圆和抛物线的参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程灵活转化.解决本专题的常用策略是将极坐标方程转化为直角坐标方程、将参数方程消去参数得普通方程.24．若关于x的不等式|x-|+|x-a|≥a恒成立,求实数a的最大值.【答案】由绝对值的性质和不等式恒成立得,|x-|+|x-a|≥|(x-)-(x-a)|=|a-|≥a,解得a≤,因此实数a的最大值为.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解、不等式恒成立等知识,考查考生的转化思想及运算能力.由绝对值的性质|a|+|b|≥|a-b|即可将已知条件转化为|a-|≥a,从而即可求解.【备注】历年高考中,本专题的主要考查方式为以下两点:(1)应用比较法、综合法、分析法等证明不等式;(2)不等式的应用问题,往往涉及比较大小、解不等式和最值问题等.2016年对此专题的考查会保持相对稳定,以上两点仍将是重点,值得考生多加练习.25．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,点M,N分别是CD,PB的中点,连接AM,AN,MN,若MN=5,AD=3.(1)求异面直线MN与BC所成角的正弦值;(2)求二面角N-AM-B的余弦值.【答案】取AB的中点F,连接NF,MF,则NF∥PA,又PA⊥平面ABCD,∴NF⊥平面ABC D.在Rt△NFM中,由MN=5,MF=AD=3,得NF==4.以点A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,AP所在的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),M(3,,0),F(0,,0),N(0,,4).∴=(0,0,4),=(3,0,0),=(3,,0),=(0,,4),=(-3,0,4).(1)由M,F分别是底面正方形ABCD的边DC,AB的中点,得=(3,0,0),故cos<,>==-,∴异面直线MN与BC所成角的正弦值为.(2)设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),由n·=0,n·=0,得,令x=1,得y=-2,z=.∴n=(1,-2,)是平面AMN的一个法向量.又=(0,0,4)是平面AMB的一个法向量,且cos<n,>=.又二面角N-AM-B为锐角,∴二面角N-AM-B的余弦值为.【解析】本题主要考查利用空间向量求解异面直线所成的角、二面角等相关问题,考查考生的空间想象能力、运算求解能力.先找出垂直关系,建立空间直角坐标系,然后用空间向量求解空间角.【备注】高考第22题中的立体几何题多以常见且常规的柱体、锥体为载体,主要考查空间向量在求解空间角中的应用,一般两问都求解空间角,其中二面角必考,异面直线所成的角、线面角交替考;也有可能是题目中的已知条件含有空间角,设置为一证(空间中平行与垂直的位置关系)一求(不同于已知条件中的空间角类型)的命题模式.解题时,要充分利用几何体中已有的垂直关系建立合适的空间直角坐标系,将问题转化为空间向量问题,通过计算解决相关的问题.26．已知函数f(x)=,若f1(x)=f(x),且f n+1(x)=f(f n(x)),其中n∈N*.(1)求f1(x),f2(x),f3(x);(2)由(1)猜想f n(x)的表达式,并证明你的猜想正确.(x) =f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=.【答案】(1)由题意知,f(2)由(1)猜想f n(x)=.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,f1(x)=,故猜想正确.②假设当n=k(k≥1)时猜想正确,即f k(x)=.则当n=k+1时,(x)=f(f k(x))=,即当n=k+1时猜想正确.由①②可知,猜想对n∈N*都正确.【解析】本题主要以函数为载体考查数学归纳法的知识,考查考生的推理论证能力与逻辑思维能力.【备注】本题是“归纳——猜想——证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,解决本题的方法在解决探究性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.。
2016届百校联盟江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第六模拟)(解析版)
百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学（第六模拟）一、填空题：共14题1．已知i为虚数单位,若=a+b i(a,b∈R),则a-b=.【答案】-2【解析】本题主要考查复数的四则运算和复数相等的充要条件,解题时要注意i2=-1.解法一由已知得,=1+3i=a+b i.因为a,b∈R,所以a=1,b=3,所以a-b=-2.解法二由=a+b i得10i=(3+i)(a+b i)=3a-b+(a+3b)i.又a,b∈R,由复数相等的充要条件得,解得a=1,b=3,所以a-b=-2.2．已知集合A={-1,3,m2},集合B={3,-2m-1},若B⊆A,则实数m=.【答案】-1或0【解析】本题主要考查集合的包含关系.解题的关键是弄清子集的概念,同时要注意集合中元素的互异性.∵B⊆A,∴m2=-2m-1或-1=-2m-1,解得m=-1或m=0,经检验均满足题意,故m=-1或0.3．某班有学生45人,现将所有学生按1,2,3,…,45随机编号,并采用系统抽样的方法从中抽取5名学生参加学习情况问卷调查,已知抽取的学生的编号分别为3,a,21,b,39,则a+b=.【答案】42【解析】本题考查系统抽样的概念.一般地,系统抽样中抽取的样本号码具有等差的特征.由系统抽样的知识得,抽取的5个编号依次为3,12,21,30,39,所以a+b=12+30=42.4．已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a+2b与a-b平行,则实数x的值是.【答案】-2【解析】本题主要考查平面向量平行的相关知识.一般地,有下面的结论:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.由题意知,a+2b=(5,-1+2x),a-b=(-1,-1-x),因为a+2b与a-b平行,所以5(-1-x)=-(-1+2x),解得x=-2.5．若变量x,y满足不等式组,则()x+y的最小值为.【答案】【解析】本题考查简单的线性规划和指数函数的最值问题.一般地,线性规划问题的最优解在可行域的边界或顶点处取得.作出不等式组所表示的平面区域,如图中△OAB(含边界)所示,作直线l:x+y=0,若向上平移直线l,则x+y的值增大,当平移至过点B(2,4)时,x+y取得最大值6,此时取得最小值.6．已知集合A={x|x=sin,n∈N*,1≤n≤8},若从集合A中任取一个元素x,则满足x2≤的概率为.【答案】【解析】本题考查三角函数的求值、一元二次不等式的解法和古典概型等知识.由已知得,集合A={x|x=sin,n ∈N*,1≤n≤8}={0,1,,-1,-},由x2≤解得-≤x≤,集合A中满足x2≤的元素有0,,-,则由古典概型的概率计算公式可知P=.7．如图是一个算法流程图,则输出的b的值为.【答案】【解析】本题主要考查循环结构的算法流程图.开始:a=1,b=0;第一次循环:因为a<3,所以a=2,b=1;第二次循环:因为a<3,所以a=3,b=.不满足a<3,所以输出b的值为 .8．已知函数f(x)=,且f(a-1)=0,则不等式f(x)>a的解集为.【答案】(0,)【解析】本题考查分段函数、指数不等式和对数不等式,利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.解对数不等式,除了利用对数函数的单调性外,还需要考虑定义域.通解由f(a-1)=0得lo(a-1)=0,解得a=2,则不等式f(x)>2⇔或,解得0<x<,即不等式f(x)>a的解集为(0,).优解利用数形结合思想求解.画出函数f(x)的图象,由图可得a-1=1,即a=2.由图象可得不等式f(x)>2的解集为(0,).9．若抛物线y2=8ax(a>0)的准线经过双曲线-y2=1的一个焦点,则椭圆+y2=1的离心率e=.【答案】【解析】本题考查椭圆、双曲线、抛物线中的基本量的计算,弄清圆锥曲线中各基本量之间的关系是解题的关键.抛物线y2=8ax(a>0)的准线方程为x=-2a,双曲线-y2=1的焦点坐标为(±,0),则2a=,得a2=,所以椭圆的离心率e=.10．已知在矩形ABCD中,AB⊥x轴,且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y=a cos (aπx)+b(a,b∈R,a≠0)的一个完整周期的图象,则当a变化时,矩形ABCD的面积为.【答案】4【解析】本题考查余弦函数的图象与性质(最小正周期、最值)以及考生分析问题和解决问题的能力.用a表示矩形的边长是解题的关键.由题意得,矩形ABCD的边长分别为函数y=a cos(aπx)+b(a,b∈R,a≠0)的最小正周期||和|2a|,故此矩形的面积为||×|2a|=4.11．如图,在体积为9的长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BC1交于点E,则四棱锥E-A1B1C1D1的体积V=.【答案】1【解析】本题考查空间几何体的体积的求解,一方面要牢记空间几何体的体积计算公式,另一方面要掌握常见几何体中的基本数量关系.连接B1D1,交A1C1于点F,连接BD,BF,则平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF,因为E∈平面A1BC1,E∈平面BDD1B1,所以E∈BF.因为F是A1C1的中点,所以BF是中线,又B1F BD,所以,故点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的,所以四棱锥E-A1B1C1D1的体积V=BB1==1.12．若函数f(x)=|3x-x3|-a的零点个数为6,则实数a的取值范围为.【答案】(0,2)【解析】本题考查函数的零点、导数等知识,考查函数与方程思想及数形结合思想.由f(x)=|3x-x3|-a,令f(x)=0得|3x-x3|=a,即y=|3x-x3|的图象与直线y=a有6个交点,设g(x)=3x-x3,则g'(x)=3-3x2,当-1<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x<-1或x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,令g(x)=0得,x=0或x=±,将g(x)的图象中x轴下方的部分翻折到x轴的上方,得到y=|3x-x3|的图象如图所示,由图可知,若函数f(x)的零点个数为6,则实数a的取值范围为(0,2).13．在△ABC中,AC=4,∠ABC=60°,D为BC边上一点,BD=AB,设B,C到直线AD的距离分别为d1和d2,则d1+d2的最大值为.【答案】4【解析】本题考查余弦定理、三角形的面积公式以及基本不等式的应用等知识.解法一设AD=x,CD=y,由于△ABD是正三角形,∴d1=x,d2=y,d1+d2=(x+y),∠ADC=120°.又AC=4,∴=x2+y2-2xy cos 120°,整理得48=x2+y2+xy,即(x+y)2-48=xy≤(x+y)2,得x+y≤8,∴d1+d2=(x+y)≤4,当且仅当x=y=4时等号成立.解法二设AD=x,CD=y,则S△ABC=S△ABD+S△ADC=xd1+xd2,又S△ABC=x(x+y)sin 60°=x(x+y),∴d1+d2=(x+y).由于△ABD是正三角形,∴∠ADC=120°,又AC=4, ∴=x2+y2-2xy cos 120°,整理得48=x2+y2+xy, 即(x+y)2-48=xy≤(x+y)2,得x+y≤8,∴d1+d2=(x+y)≤4,当且仅当x=y=4时等号成立.14．定义实数a,b之间的运算⊕如下:a⊕b=,已知数列{a n}满足:a1=a(a>0),a2=1,a n+2=(n∈N*),若a2 016=1,记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 016的值为.【答案】7 255【解析】本题是一道新定义试题,考查周期数列的知识.解决此类问题常采取从特殊到一般的方法,先按新定义求出数列的前几项,从中发现规律,再根据已知条件进行求解.由题意得a3=,当a≥2时,a4=4,a5=2a,a6=a,a7=1,因此{a n}是周期数列,且周期为5,所以a2 016=a1=a=1,不符合题意;当a<2时,a4=,a5=4,a6=a,a7=1,即此时{a n}也是周期数列,且周期为5,所以a2 016=a1=a=1,故a1+a2+a3+a4+a5=18,S2 016=403×18+1=7 255.二、解答题：共12题15．已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A-sin C=sin B,b=c.(1)判断△ABC的形状;(2)求cos(2A+)的值.【答案】(1)在△ABC中,由及sin A-sin C=sin B,可得a-c=b,又b=c,故a=2c.所以a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形.(2)在△ABC中,由(1)知B=,所以sin A=,cos A=,所以cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin A cos A=,所以cos(2A+)=cos 2A cos-sin 2A sin=-.【解析】本题考查正弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式以及两角和的余弦公式等.(1)利用正弦定理和勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状;(2)首先求出sin 2A,cos 2A的值,再利用两角和的余弦公式求得cos(2A+).【备注】两角和与差的三角函数公式是江苏省高考的C级考点,它和二倍角公式,正、余弦定理一起成为三角部分的重点,同时也是高考的热点.高考中往往将三角恒等变换、三角函数的图象和性质、解三角形和平面向量的知识进行交汇,主要考查考生的转化与化归能力和计算能力,在复习时考生要重视对基础知识、基本公式的理解和记忆,力求不失分.16．如图,在三棱锥V-ABC中,O,M分别为AB,VA的中点,平面VAB⊥平面ABC,△VAB是边长为2的等边三角形,AC⊥BC且AC=B C.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求线段VC的长.【答案】(1)因为点O,M分别为AB,VA的中点,所以MO∥V B.又MO⊂平面MOC,VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB的中点,AC⊥BC,AB=2,所以OC⊥AB,且CO=1.连接VO,因为△VAB是边长为2的等边三角形,所以VO=.又平面VAB⊥平面ABC,OC⊥AB,平面VAB∩平面ABC=AB,OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB,OC⊥VO,所以VC==2.【解析】本题考查线面平行的证明以及线段长度的计算,考查考生的空间想象能力.(1)利用直线与平面平行的判定定理进行证明;(2)关键是线线垂直的证明,根据已知条件证得OC⊥VO,再利用勾股定理进行求解. 【备注】江苏省高考试题中关于立体几何大题的考查基本上都是围绕以下两个方面:①空间中平行关系的证明;②空间中垂直关系的证明.试题难度一般不大,但要注意书写规范和证明过程中的逻辑严密性.17．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的正西方向和正东方向设立了两个观测站A、B,它们到平台O的距离都为5海里,并将到两观测站的距离之和不超过20海里的区域设为禁航区域.(1)建立适当的平面直角坐标系,求禁航区域边界曲线的方程;(2)某日观察员在观测站B处发现在该海上平台正南10海里的C处,有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏东30°方向航行,如果航向不变,该轮船是否会进入禁航区域?如果不进入,说明理由;如果进入,求出它在禁航区域中航行的时间.【答案】(1)以AB所在的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.依题意可知,禁航区域的边界是以A,B为焦点的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则,解得a=10,b=5,∴禁航区域边界曲线的方程为+=1.(2)由题意得C(0,-10),∴轮船航行直线的方程为y=x-10.联立,整理得x2-16x+60=0,则Δ=(-16)2-4×60=16>0,方程有两个不同的实数解x1=10,x2=6,∴轮船航行直线与椭圆有两个不同的交点,设为M,N,不妨取M(10,0),N(6,-4),故轮船会驶入禁航区域.易得轮船在禁航区域中的航行距离为|MN|==8(海里),∴航行时间t==1(小时),∴该轮船在禁航区域中航行的时间是1小时.【解析】本题考查考生的建模能力和分析问题、解决问题的能力.(1)关键是由到两观测站的距离之和不超过20海里得到禁航区域的边界是椭圆,再根据待定系数法求出边界曲线的方程;(2)本质是求出直线与椭圆相交的弦长后,再利用距离、速度、时间之间的关系求得轮船在禁航区域中航行的时间.【备注】应用题是江苏省高考的必考题型,重在考查考生的数学应用意识、数学建模能力和运用数学知识综合解题的能力.从2008年以来,应用题在高考命题中占有的比例越来越稳定,考查的主要类型有:(1)函数与导数模型;(2)三角函数模型;(3)函数与不等式模型;(4)解析几何模型;(5)立体几何中的面积与体积模型.另外,在应用题的解题过程中,要遵循“审清题意、构建模型、求解模型、写出答案”等步骤.18．已知圆O:x2+y2=4交y轴正半轴于点A,点B,C是圆O上异于A的两个动点.(1)若B与A关于原点O对称,直线AC和直线BC分别交直线y=4于点M,N,求线段MN长度的最小值;(2)若直线AC和直线AB的斜率之积为1,求证:直线BC与x轴垂直.【答案】(1)由题意,直线AC和直线BC的斜率一定存在且不为0,且A(0,2),B(0,-2),AC⊥B C.设直线AC的斜率为k,则直线BC的斜率为-,所以直线AC的方程为y=kx+2,直线BC的方程为y=-x-2,故它们与直线y=4的交点分别为M(,4),N(-6k,4).所以|MN|=|6k+|≥4,当且仅当k=±时取等号,所以线段MN长度的最小值为4.(2)设直线AC的方程为y=kx+2,则直线AB的方程为y=x+2.由解得C(-,),同理可得B(-,).因为B,C两点的横坐标相等,所以BC⊥x轴.【解析】本题考查直线方程和圆的方程、解析几何中的最值问题等.(1)分别设直线AC的方程为y=kx+2和直线BC的方程为y=-x-2,求得交点M(,4),N(-6k,4),将线段MN的长度表示为|MN|=|6k+|,运用基本不等式即可求出最值;(2)关键是证明B,C两点的横坐标相等.19．已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n;(3)在第(2)问的条件下,若不等式(-1)nλ(4-S n)≤1对任意的n∈N*恒成立,求λ的取值范围.【答案】(1)由已知得,其中n∈N*,又=1,所以数列{}是首项为1,公比为2的等比数列,所以=2n-1,则a n=n·2n-1.(2)由(1)知,b n=-,故S n=4[1-+-+-+…+-]=4[1-].(3)由(2)得S n=4[1-],所以(-1)nλ(4-S n)≤1可化为≤1.当n为奇数时,不等式可化为λ≥-,记f(n)=-,易证{f(n)}是递减数列,所以f(n)max=f(1)=-1,所以λ≥-1.当n为偶数时,不等式可化为λ≤,记g(n)=,易证{g(n)}是递增数列,所以g(n)min=g(2)=3,所以λ≤3.综上可知,λ的取值范围为-1≤λ≤3.【解析】本题考查数列的通项公式与求和、数列的单调性、不等式恒成立等,考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)根据题意,证明数列{}为等比数列,求其通项公式,进而求出a n;(2)利用裂项相消法求S n;(3)对n的奇偶进行分类讨论,结合单调性求得最值,即得λ的取值范围.【备注】江苏省高考中数列的考查主要围绕等差数列和等比数列展开,考查的知识点包括等差和等比数列的定义、通项公式、求和等.递推数列的考查也是江苏省高考数列命题的一大亮点,重在考查考生的推理与转化能力、分析问题和解决问题的能力.在复习时还要关注数列与不等式、函数等其他知识的交汇.20．设函数f(x)=ln x,g(x)=e x,h(x)=ax2+bx+c.(1)若a=1,b=c=0,求函数F(x)=f(x)h(x)的单调区间;(2)若a=c=0,b>0,且G(x)=g(x)-h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立,求mb的最大值;(3)设函数R(x)=f'(x)+f'(),求证:R(1)R(2)R(3)·…·R(2n)>2n(n+1)n(n∈N*).【答案】(1)由题意知,F(x)=f(x)h(x)=x2ln x,F'(x)=2x ln x+x(x>0).令F'(x)>0,得x>, 故F(x)的单调递增区间为(,+∞);令F'(x)<0,得0<x<, 故F(x)的单调递减区间为(0,).(2)由题意知,G(x)=e x-bx,故G'(x)=e x-b,又b>0,令G'(x)=e x-b=0,得x=ln b,故当x∈(-∞,ln b)时,G'(x)<0,此时G(x)单调递减;当x∈(ln b,+∞)时,G'(x)>0,此时G(x)单调递增.故G(x)min=b-b ln b,所以m≤b-b ln b,则mb≤b2-b2ln b.设r(b)=b2-b2ln b(b>0),则r'(b)=2b-(2b ln b+b)=b-2b ln b,由于b>0,令r'(b)=0,得ln b=,b=,当b∈(0,)时,r'(b)>0,r(b)单调递增;当b∈(,+∞)时,r'(b)<0,r(b)单调递减.所以r(b)max=,即当b=,m=时,mb取得最大值.(3)由题意知,R(x)=x+,则R(1)R(2)R(3)·…·R(2n)=(1+)(2+)·…·(2n+).因为(k+1+)(2n-k+)=(2n-k)(k+1)+++>(2n-k)(k+1)+2=2n+2+2nk-k2-k=2n+2+k(2n-k-1)≥2n+2(k=0,1,…,n-1).所以(1+)(2n+)>2n+2,(2+)(2n-1+)>2n+2,……,(k+1+)(2n-k+)>2n+2,……,(n+)(n+1+)>2n+2,以上各式相乘得,R(1)R(2)R(3)·…·R(2n)=(1+)(2+)·…·(2n+)>(2n+2)n=2n(n+1)n.【解析】本题考查导数在研究函数问题中的综合运用,考查函数的单调性、最值,运用放缩法证明不等式等,考查函数与方程思想、等价转化思想及考生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.【备注】导数作为解决函数问题的工具在高考命题中越来越受到命题专家的青睐,运用导数可以研究函数的单调性、最值和极值,讨论函数的零点,证明不等式等,应用十分广泛.运用导数解决问题时一定要有定义域优先的意识,在解决不等式恒成立问题时要先将变量分离,再转化为函数的最值来处理.21．如图,BC是△ABC的外接圆圆O的直径,∠ABC=60°,点P在CB的延长线上,PA=,PB=1,求证:PA是圆O 的切线.【答案】连接AO,由∠ABC=60°得,∠ABP=120°,在△APB中,由余弦定理可得AB=1,所以∠PAB=30°.又在△OAB中,∠OAB=∠OBA=60°,所以∠OAP=90°,所以PA是圆O的切线.【解析】本题考查平面几何中圆的切线的证明.连接AO是证明的关键,平面几何问题的证明中辅助线是打开思路的一把钥匙.22．已知矩阵A=,B=,求满足条件A=BC的矩阵C.【答案】设C=,则由A=BC得.则⇒,即C=. 【解析】本题主要考查矩阵的乘法运算.解题的关键是掌握二阶矩阵乘法的运算法则.23．已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是θ=,且直线l与圆C交于A,B两点,试求弦AB的长.【答案】由圆C的参数方程(α为参数),得普通方程为(x-2)2+y2=4.又由直线l的极坐标方程θ=,得直角坐标方程为y=x.所以圆心C(2,0)到直线l的距离d=.又圆C的半径r=2,所以弦AB的长为|AB|=2=2.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化以及圆中的弦长问题.先运用平方消元法将圆的参数方程消去参数化为普通方程,将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,再由圆的性质用几何法求得弦长.24．已知a>b>0,证明:.【答案】因为a>b>0,要证,只需证明-.即证2(-)>a-b,即证,因为a>b>0,所以显然成立,故成立.【解析】本题主要考查运用分析法证明不等式.25．已知口袋内有n(n>3)个大小相同的球,其中有3个红球和(n-3)个白球.已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率是p,且4p∈N*.若有放回地从口袋中连续取四次球(每次只取1个球),记取到红球的次数为X,且D(X)>.(1)求p和n;(2)若不放回地从口袋中取球(每次只取1个球),取到白球时即停止取球,记Y为第一次取到白球时的取球次数,求Y的分布列和数学期望E(Y).【答案】(1)由题设知,4p(1-p)>,解不等式得,<p<,即1<4p<3.又4p∈N*,所以4p=2,即p=, 所以,n=6.(2)Y的所有可能取值为1,2,3,4,且P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=,P(Y=4)=.所以Y的分布列为E(Y)=1×+2×+3×+4×.【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算.(1)有放回地抽取本质上是独立重复试验,利用n次独立重复试验的方差公式D(X)=np(1-p)求解;(2)关键是运用有关公式准确求得随机变量取每个值的概率.26．设a是正整数,f(a)是a的各位数字的平方和,定义数列{a n}:a1是正整数,a n=f(a n-1)(n∈N*,n≥2).(1)求f(999),f(2 016);(2)设a1≤999,求证:①a n≤999(n∈N*); ②存在m∈N*,使得a3m=a4m.【答案】(1)由题意知,f(999)=92+92+92=243,f(2 016)=22+02+12+62=41.(2)①用数学归纳法证明如下:当n=1时,由已知a1≤999,显然成立.假设当n=k时,a k≤999成立,则当n=k+1时,a k+1=f(a k)≤92+92+92=243≤999.所以当n=k+1时结论成立.综上可知,对任意的n∈N*,有a n≤999.②由①知对任意的n∈N*,有a n∈{1,2,3,…,999}.因此存在p,q∈N*(p<q),使得a p=a q.由a n=f(a n-1)得,a p+1=a q+1,a p+2=a q+2,……,a q-1=a q+q-p-1,从而可得对所有满足r≥p且r∈N*的r,有a r+q-p=a r.设q-p=T,即对任意的r≥p,有a r+T=a r.若T≥p,取m=T,r=3m,则有a3m=a4m.若T<p,由a r+T=a r,可得a r+pT=a r,取m=pT,r=3m,则a3m=a4m.【解析】本题是一道新定义题,主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等,考查考生分析问题、解决问题的能力和转化能力.对于第(1)问,只需准确理解新定义即可;对于第(2)问,由已知条件a1≤999以及a n=f(a n-1)不难用数学归纳法证得a n≤999,由此得a n∈{1,2,3,…,999},因此存在p,q∈N*(p<q),有a p=a q,进而推得a n具有周期规律,从而得出结论.。
2016江苏卷数学理科
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x|－2<x<3}，那么A ∩B ＝________．2. 若复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，那么该组数据的方差是________． 5. 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．6. 如图所示的算法流程图，输出的a 的值是________．(第6题)7. 将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．8. 已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 9. 定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，若直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(第10题)11. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x<0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x<1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f(5a)的值是________．12. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________．13. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，若BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．(第13题)14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求边AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．\16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.(1) 求证：直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2) 求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.(第16题)17. (本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥PA 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3) 设点T(t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋b x (a>0，b>0，a ≠1，b ≠1)． (1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m 的最大值． (2) 若0<a<1，b>1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab 的值．20. (本小题满分16分)记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对任意正整数k(1≤k ≤100)，若T {1，2，…，k}，求证：S T <a k ＋1； (3) 设S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲 如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD.(第21－A 题)B. 选修42：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1202，求矩阵AB .C. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. 选修45：不等式选讲设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1) 若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2) 已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(第22题)23. (本小题满分10分)(1) 求7C36－4C47的值；(2) 设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C m m＋(m＋2)C m m＋1＋(m＋3)C m m＋2＋…＋nC m n－1＋(n ＋1)C m n＝(m＋1)C m＋2.n＋22016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. {－1，2} 【解析】由题意知A ∩B ＝{－1，2}．2. 5 【解析】由题意知z ＝5＋5i ，所以z 的实部是5.3. 210 【解析】由题意知c ＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，所以焦距为2c ＝210.4. 0.1 【解析】因为x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s 2＝15(0.42＋0.32＋02＋0.32＋0.42)＝0.1.5. [－3，1] 【解析】由题意知3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．6. 9 【解析】由流程图可知，在循环的过程中，a 与b 的值依次为1，9；5，7；9，5.因为9>5，所以输出的a ＝9.7. 56 【解析】由题意知，先后抛掷骰子2次，共有36个基本事件．其中点数之和大于等于10的基本事件有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，则点数之和小于10的基本事件共有30个．故所求的概率为3036＝56.8. 20 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意知a 1＋(a 1＋d)2＝－3，5a 1＋10d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a 9＝－4＋8×3＝20.9. 7 【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与y ＝cos x 在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点．(第9题)10.63【解析】由题意知焦点F 的坐标为(c ，0)，联立解得x ＝±32a ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3a 2，b 2，点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫3a 2，b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0.又BF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋3a 2，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎫c －3a 2，－b 2，所以c 2－34a 2＋14b 2＝0.因为b 2＝a 2－c 2，所以34c 2＝12a 2，即c 2a 2＝23，所以e ＝ca ＝23＝63.11. －25 【解析】由题意知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 因为f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，所以－12＋a ＝110，解得a ＝35， 所以f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋a ＝－1＋35＝－25.12. ⎣⎡⎦⎤45，13 【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y)到原点O 的距离的平方．由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B到原点O 的距离最远．点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.(第12题)13. 78 【解析】方法一：设DF →＝a ，DB →＝b ，则DC →＝－b ，DE →＝2a ，DA →＝3a ，所以BA→＝DA →－DB →＝3a －b ，CA →＝DA →－DC →＝3a ＋b ，BE →＝DE →－DB →＝2a －b ，CE →＝DE →－DC →＝2a ＋b ，BF →＝DF →－DB →＝a －b ，CF →＝DF →－DC →＝a ＋b ，所以BA →·CA →＝9a 2－b 2，BF →·CF →＝a 2－b 2，BE →·CE →＝4a 2－b 2.又因为BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，所以9a 2－b 2＝4，a 2－b 2＝－1，解得a 2＝58，b 2＝138，所以BE →·CE →＝4a 2－b 2＝4×58－138＝78. 方法二：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(－a ，0)，点C 的坐标为(a ，0)，点A 的坐标为(b ，c)，所以BA →＝(b ＋a ，c)，CA →＝(b －a ，c)，BF →＝⎝⎛⎭⎫b 3＋a ，c 3，CF →＝⎝⎛⎭⎫b 3－a ，c 3. 因为BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，所以b 2＋c 2＝458，a 2＝138.又因为BE →＝BD →＋DE →＝⎝⎛⎭⎫23b ＋a ，2c 3，CE →＝CD →＋DE →＝(23b －a ，2c 3)， 所以BE →·CE →＝49b 2－a 2＋4c 29＝49×458－138＝78.14. 8 【解析】因为sin A ＝2sin Bsin C ，所以sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，等式两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C. 又因为tan A ＝－tan(B ＋C)＝tan B ＋tan Ctan Btan C －1，所以tan Atan Btan C －tan A ＝2tan Btan C ，即tan Btan C(tan A －2)＝tan A.因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t(t>0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号． 故tan Atan Btan C 的最小值为8.15. (1) 因为cos B ＝45，0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)， 所以cos A ＝－cos(B ＋C)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bcos π4＋sin Bsin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A<π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，所以cos ⎝⎛⎫A －π6＝cos Acos π6＋sin Asin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16. (1) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC.在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，所以DE ∥A 1C 1. 又因为DE平面A 1C 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F.(2) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A平面ABB 1A 1，A 1B 1平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1D平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D.又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，A 1F平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F. 因为直线B 1D平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.17. (1) 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ，因为A 1B 1＝AB ＝6 m ， 所以正四棱锥PA 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)， 正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)， 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2) 设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h<6，O 1O ＝4h m.如图，连接O 1B 1.在Rt △PO 1B 1中，因为O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)， 所以仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h<6，所以V′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)． 当0<h<23时，V ′>0，V 在(0，23)上是单调增函数； 当23<h<6时，V ′<0，V 在(23，6)上是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 所以，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．(第17题)18. 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M(6，7)，半径为5.(1) 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N(6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，所以圆N 的 半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2) 因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.(第18题)如图，因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，又MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5， 解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，因为A(2，4)，T(t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25，所以点P(x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5， 解得2－221≤t ≤2＋221.所以实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． 19. (1) 因为a ＝2，b ＝12，所以f(x)＝2x ＋2－x .①方程f(x)＝2，则2x ＋2－x ＝2，即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，所以2x ＝1，解得x ＝0.②由题意知f(2x)＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f(x))2－2， 因为f(2x)≥mf(x)－6对于x ∈R 恒成立，且f(x)>0，所以m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．又（f （x ））2＋4f （x ）＝f(x)＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2) 因为函数g(x)＝f(x)－2只有1个零点，又g(0)＝f(0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点． 因为g′(x)＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a<1，b>1，知ln a<0，ln b>0，所以g′(x)＝0有唯一解x 0＝log b a⎝⎛⎭⎫－ln aln b .令h(x)＝g′(x)， 则h′(x)＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a)2＋b x (ln b)2，从而对任意x ∈R ，h ′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数， 所以当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x)<g′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)>g ′(x 0)＝0.所以函数g(x)在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，所以g ⎝⎛⎭⎫x 02<g(0)＝0.又g(log a 2)＝alog a 2＋blog a 2－2>alog a 2－2＝0，且函数g(x)在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g(x)的零点，记为x 1.因为0<a<1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．综上，x 0＝0. 所以－ln aln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 20. (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.所以当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2) 因为T{1，2，…，k}，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k ，所以S T <a k ＋1.(3) 下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集． 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠，F ≠，E ∩F ＝，所以S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，又由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l.由(2)知，S E <a k ＋1，所以3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k. 又k ≠l ，故l ≤k －1，所以S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D . 21. A. 在△ADB 和△ABC 中，因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，所以∠ABD ＝∠C. 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD.C. 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167， 所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. D. 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a.22. (1) 抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x.(2) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，线段PQ 的中点M(x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 所以直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b. ①由错误!消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0. (*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 所以Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p ＋2b>0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p. 因为点M(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p ， 所以线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p)． ②因为M(2－p ，－p)在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p)＋b ，即b ＝2－2p.由①知p ＋2b>0，所以p ＋2(2－2p)>0，所以p<43，所以p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 23. (1) 7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2) 当n ＝m 时，结论显然成立． 当n>m 时，(k ＋1)C m k ＝（k ＋1）·k ！m ！·（k －m ）！＝(m ＋1)·（k ＋1）！（m ＋1）！·[（k ＋1）－（m ＋1）]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n.又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n ，所以(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C mn ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.。