广东省阳江市高一下学期开学数学试卷
广东高一高中数学开学考试带答案解析
广东高一高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则等于（）A．B．C．D．2.函数的定义域为A．B．C．D．3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A．①②B．②④C．①③D．①④4.指数函数y=ax的图像经过点（2，16）则a的值是（）A．B．C．2D．45.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（）A．1:1B．2:1C．3:1D．4:16.下列命题正确的是………………………………………………（）A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面7.下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D8.设，用二分法求方程的近似解的过程中得，，，则据此可得该方程的有解区间是A．B．C．D．不能确定二、填空题1.直线的倾斜角是 .2.式子的值为3.垂直于同一个平面的两条直线一定4.已知正四棱锥的底面边长为1，高为3，则它的体积是三、解答题1.（8分）已知集合，试用列举法表示集合2.（ 10分）已知函数（1）（4′）求（2）（6′）求的最小值3.（本小题共10分）三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB.（1）（4′）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）（6′）求三棱锥D—CBB1的体积.4.（本小题共12分）圆O: 内有一点P(-1,2),AB为过点p且倾斜角为的弦，(1) （6′）当=135时,求AB的长;(2) （6′）当弦AB被点p平分时，写出直线AB的方程.广东高一高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.若集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略2.函数的定义域为A．B．C．D．【答案】C【解析】略3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A．①②B．②④C．①③D．①④【答案】B【解析】略4.指数函数y=ax的图像经过点（2，16）则a的值是（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】略5.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（）A．1:1B．2:1C．3:1D．4:1【答案】C【解析】略6.下列命题正确的是………………………………………………（）A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面【答案】D【解析】略7.下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D【答案】A【解析】略8.设，用二分法求方程的近似解的过程中得，，，则据此可得该方程的有解区间是A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】略二、填空题1.直线的倾斜角是 .【答案】【解析】略2.式子的值为【答案】【解析】略3.垂直于同一个平面的两条直线一定【答案】平行【解析】略4.已知正四棱锥的底面边长为1，高为3，则它的体积是【答案】1【解析】略三、解答题1.（8分）已知集合，试用列举法表示集合【答案】解：由题意可知是的正约数，当；当；当；当；而，∴，即；【解析】略2.（ 10分）已知函数（1）（4′）求（2）（6′）求的最小值【答案】解：（1）（4′）由题意知【解析】略3.（本小题共10分）三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB.（1）（4′）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）（6′）求三棱锥D—CBB1的体积.【答案】证明：（1）（4′）CC1⊥平面ABC，平面C1CD⊥平面ABC 解：（2）（6′）CC1⊥平面ABC CC1∥BB1 BB1⊥平面ABC所以，三棱锥D—CBB1的体积为.【解析】略4.（本小题共12分）圆O: 内有一点P(-1,2),AB为过点p且倾斜角为的弦，(1) （6′）当=135时,求AB的长;(2) （6′）当弦AB被点p平分时，写出直线AB的方程.【答案】（1）（6′）依题意直线AB的斜率为-1，直线AB的方程为：y-2=-(x+1),圆心O(0,0)到直线AB的距离为d=,则AB==,AB的长为.（2）（6′）当弦AB被点P平分时，弦AB与OP垂直，此时OP的斜率为-2，所以AB的斜率为,根据点斜式方程直线AB的方程为x-2y+5=0.【解析】略。
广东省阳江市第一高级中学高一数学理联考试卷含解析
广东省阳江市第一高级中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={2，0，1，4}，B={k|k∈R，k2﹣2∈A，k﹣2?A}，则集合B中所有元素之和为（）A．2 B．﹣2 C．0 D．参考答案：B【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】由于集合A={2，0，1，4}，根据集合B={k|k∈R，k2﹣2∈A，k﹣2?A}，先求出集合B中的元素再求和．【解答】解：A={2，0，1，4}，B={k|k∈R，k2﹣2∈A，k﹣2?A}，①当k2﹣2=2时，k=±2，k=2时，k﹣2=0∈A，∴k≠2；k=﹣2时，k﹣2=﹣4?A，成立；②当k2﹣2=0时，k=，k﹣2=±﹣2?A，A，成立；③当k2﹣2=1时，k=，k﹣2=?A，成立；④当k2﹣2=4时，k=，k﹣2=?A，成立．从而得到B={}，∴集合B中所有元素之和为﹣2．故选B．【点评】本题考查集合中元素之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．2. 某同学用收集到的6组数据对（x i，y i）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：x，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③1；其中正确的结论是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③参考答案：A由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.3. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是A.(－∞,+∞)B.C.D.参考答案：D由题意知，在上恒成立．（1）当时，满足条件；（2）当时，二次方程无实根，故，所以．综上．4. 下列四个命题中的真命题是（）A. 经过定点的直线都可以用方程表示B. 经过任意两个不同点的直线都可以用方程表示C. 不经过原点的直线都可以用方程表示D. 经过定点的直线都可以用方程表示参考答案：B试题分析：A中只有斜率存在的直线才可以表示；B中直线方程正确；C中只有两轴上截距都存在且不为零的直线可以用截距式；D中只有斜率存在的直线才可以表示考点：直线方程5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（ ****** ）A． B．C． D．参考答案：C6. 一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是( )．A. B. C. D.参考答案：C【分析】正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，可求得外接球半径，代入表面积公式求得外接球表面积；再求解出正方体表面积，作比得到结果.【详解】设正方体的棱长为，则正方体表面积正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，即正方体外接球表面积本题正确选项：C【点睛】本题考查多面体的外接球表面积求解问题，属于基础题.7. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（-3）等于（）A.12B.6C.3D.2参考答案：B略8. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．B．C．D．参考答案：B9. 集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的终边都在( )A.x轴的正半轴上B.y轴的正半轴上C.x轴或y轴上D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上参考答案：C10. 函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）= ．参考答案：1﹣（x≥0）【考点】反函数．【分析】把已知函数化为关于x的一元二次方程，求解x，再求出原函数的值域得到反函数的定义域得答案．【解答】解：由y=（x﹣1）2，得x=1±，∵x≤1，∴x=1﹣．由y=（x﹣1）2（x≤1），得y≥0．∴f﹣1（x）=1﹣（x≥0）．故答案为：1﹣（x≥0）．12. 关于(x∈R)，有下列命题：(1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；(2)y＝f(x)的表达式可改写成；(3)y＝f(x)图象关于对称；(4)y＝f(x)图象关于对称．其中正确命题的序号为___________________参考答案：(2)(3)13. 若=（2，3），=（－4，7），则在方向上的投影为___________参考答案：略14. 已知函数其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.参考答案：(3，＋∞)．15. 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=1: :3，则∠B的大小为参考答案：试题分析：由sinA:sinB:sinC=1: :3可知考点：正余弦定理解三角形16. 已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最小正周期为_____________,值域为_________________.参考答案：解析：17. 已知向量的模为1，且满足，则在方向上的投影等于 .参考答案：-3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省高一下学期开学考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}1,0,1,2,3A =-{}1,2,3,4B =A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,2,3C ． D ．{}2,3,4{}1,0,4-【答案】B【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】由已知可得. {}1,2,3A B = 故选：B ．2．命题“，”的否定为（ ） 1x ∀>sin e x x <A ．， B ．， 1x ∀≤sin e x x <1x ∀>sin e x x ≥C ．， D ．，1x ∃≤sin e x x <1x ∃>sin e x x ≥【答案】D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”. 1x ∀>sin e x x <1x ∃>sin e x x ≥故选：D ．3．下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是 (,0)-∞A ． B ．C ．D ．2y x =1y x=y x =2y x =-【答案】D【详解】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减2y x =1y x =0{0x x y x x x ≥==-<(,0)-∞函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D ． 2y x =-(,0)-∞【解析】（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断． 4．已知，，则（ ） ln 2a =ln 3b =ln18=A ． B ． 2a b -2a b -C ． D ．2+a b 3a b +【答案】C【分析】根据对数的运算，将展开运算，可得答案.ln18【详解】因为,()2ln18ln 23ln 22ln 32a b =⨯=+=+故选：C ．5．已知则复数z=（ ） 2,1izi =+＋A ． B ． C ． D ．13i -+13i -3i +3i -【答案】B【分析】先化简求出，然后可得复数. z z 【详解】解：因为()()2i 1i 13i z =++=+所以 z 13i =-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，属于基础题. 6．已知，，，则，，的大小关系为（ ） 3sin 7a π=4cos 7b π=3tan(7c π=-a b c A ． B ． C ． D ．a b c <<b<c<a c b a <<c<a<b 【答案】C 【解析】,，且均属于，而，大小关系即可确定. 3sin07a π=>4cos 07b π=<a b >()1,1-1c <-【详解】解：；， 3sin 07a π=> 427πππ<<，即. 4cos coscos 72πππ∴<<10b -<<又正切函数在上单调递增，(0,2π；347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=， 33tan(tan 177c ππ∴=-=-<-，01a b c ∴>>>->故选：C.7．已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） 0a >x 220x x a -+<(),m n 14m n+A ．B ． 924C ．D ．722【答案】A【分析】分析可知、均为正数，利用韦达定理得出，将代数式和相m n 2m n +=14m n +()12m n +乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 14m n+【详解】由已知，、是方程的两根，所以，， m n 220x x a -+=2m n +=0=>mn a 所以，，0m >0n >且， ()141141419552222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当时，取等号，因此，的最小值为. 423n m ==14m n +92故选：A ． 8．设函数，若对，不等式成立，则实数a 的取值范围21253()32xx f x x--=++x ∀∈R 2()(9)f ax f x +≥是（ ）A ．B ．C ．D ．(][),44,-∞+∞ []4,4-(][),66,-∞-⋃+∞[]6,6-【答案】D【分析】先得出为偶函数，在判断出在上的单调性，利用单调性和偶函数的性质()f x ()f x [)0,∞+将问题化为，利用分离参数法结合均值不等式可得答案.29ax x ≤+【详解】，所以为偶函数. ()()()()2211225353,3322xxx x x R f x f x xx ------∈-=+=+=++-()f x 当时， 0x ≥()221112221135311()33332222xxx x x f x x x x-----=+=+=-+++++和在 上都为单调递减函数. 13x y -=2112y x =+[)0,∞+所以在 上都为单调递减函数. ()1211332xf x x-=-++[)0,∞+由为偶函数，则,即()f x 2()(9)f ax f x +≥2299ax x x ≤+=+当时，恒成立，则0x =09≤a R ∈当时， 0x ≠299x a x x x+≤=+由，当且仅当，即时等号成立.96x x +≥9x x =3x =±所以，即 6a ≤66a -≤≤故选：D二、多选题9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：()y f x =x 1 2 3 4 5y0.2- 1.30.90.5-1-下列区间中函数一定有零点的是（ ）A ． B ． C ．D ．()y f x =(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)【答案】AC【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】因为函数的图象是一条连续不断的曲线， ()y f x =且， (1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <>><函数在区间和上一定有零点 (1,2)(3,4)故选：AC10．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么（ ） A ．z 的虚部为 B ．z 的虚部为1 i C ．z ＝－－i D ．z ＝＋i 3434【答案】BD【分析】设复数，、，由复数相等列方程求出的值即可． z x yi =+x R y ∈y【详解】解：设复数，、， z x yi =+x R y ∈由，得， 2z z i +=+()2x yi i +=+即；(2x yi i +=+所以，所以，所以21x y ⎧⎪=⎨=⎪⎩134y x =⎧⎪⎨=⎪⎩34z i =+即的虚部为1． z 故选：．BD 11．在△ABC 中，下列关系式恒成立的有（ ） A ． B ．()sin sin A B C +=cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．D ．()sin 22sin20A B C ++=()cos 22cos20A B C ++=【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】对于A 中，由，所以A 正确； ()()sin sin sin A B C C π+=-=对于B 中由，所以B 正确；cos cos sin 2222A B C C π+⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C 中，由()()()sin 22sin2sin 2sin2sin 2sin2A B C A B C C C π⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦，所以C 正确；()sin 22sin2sin2sin20C C C C π=-+=-+=对于D 中，()cos(22)cos2cos 2cos2cos[2()]cos2A B C A B C C C π⎡⎤++=++=-+⎣⎦，所以D 错误．()cos 22cos2cos2cos22cos2C C C C C π=-+=+=故选：ABC.12．下列结论正确的是（ ）A ．函数（，）的图象过定点（，1）()121x f x a +=-0a >1a ≠1-B ．是方程有两个实数根的充分不必要条件 0m <20x m -+=C ．的反函数是，则lg y x =()y f x =()10f =D ．已知在区间（2，）上为减函数，则实数a 的取值范围是()()212log 3f x x ax a =-++∞[]4,4-【答案】AD【分析】根据或通过图像平移判断选项A 正确；利用m 范围的包含关系可判断B 错误；由01a =同底的对数函数与指数函数互为反函数，然后求值可知C 错误；根据复合函数同增异减结合定义域可知D 正确.【详解】对于函数，令，可得， 1()21x f x a +=-=1x -0(1)211f a -=-=故函数的图象过定，点，故A 正确；()f x (1,1)-根据方程有两个实数根，可得，即， ||2x m -=-01m <-<10m -<<故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B 错误； 0m <||20x m -+=∵的反函数是，∴，故C 错误； lg y x =()10x y f x ==1(1)0f =若在区间上为减函数， ()21()log32f x x ax a =-+(2,)+∞则在区间上大于零，且， 23t x ax a =-+(2,)+∞22a≤即且，求得，故D 正确， 4230a a -+≥4a ≤44a -≤≤故选：AD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积______． 3α=2r =S =【答案】6【分析】由扇形的弧长公式、面积公式可得答案. 【详解】因为扇形的弧长为，所以． 6l r α==162S rl ==故答案为：6．14．已知幂函数在上为减函数，则______．()()21mf x m m x =+-()0,∞+()2f -=【答案】## 140.25【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，解出的值，可得出函数的解析式，m m ()f x 即可求得的值.()2f -【详解】由已知有，解得，故，所以．2110m m m ⎧+-=⎨<⎩2m =-()2f x x -=()124f -=故答案为：． 1415．若是实系数一元二次方程的一个根，则__________. 32i +230x bx c ++=b c +=【答案】21【解析】由方程一个根可确定另一根，由韦达定理可构造方程求得，进而得到结果. ,b c 【详解】是方程的一个根，是方程的另一个根，32i + 230x bx c ++=32i ∴-230x bx c ++=，解得：，.()()3232633232133bi i c i i ⎧-=++-=⎪⎪∴⎨⎪=+-=⎪⎩1839b c =-⎧⎨=⎩21b c ∴+=故答案为：.21【点睛】结论点睛：实系数一元二次方程的一根为，则其另一根必为.z a bi =+z a bi =-16．的最大值是3，的图像与y 轴的交点坐标()()2πcos 10,0,02f x A x A ωφωφ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭()f x 为，其相邻两个对称中心的距离为2，则______． ()0,2()()()122015f f f +++= 【答案】4030 【详解】试题分析：，最大值，解得，周期，因此，得，，由于过点，，即，，，在一个周期内，.(1)(2)(2015)f f f +++ 8503(21)(20)(21)=4030=⨯+-+-++【解析】1、三角函数的化简；2、函数的周期性的应用.四、解答题17．已知全集U =R ，集合，集合. {}15A x x =<<(){}11,B x a x a a R =-≤≤+∈(1)当时，求；5a =()U A B ð(2)若集合，当时，求实数a 的取值范围. 207x C xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭B C =∅ 【答案】(1)或 {1x x ≤4}x ≥(2) [3,6]【分析】（1）先求出集合B 和集合A 的补集，再求，()U A B ð（2）由已知可得集合或，则由题意可得从而可求出实数a 的取值范{7C x x =>2}x <12,17,11,a a a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩围【详解】（1）当时，集合， 5a ={}46B x x =≤≤而或， {5U A x x =≥ð1}x ≤所以或.(){1U A B x x ⋃=≤ð4}x ≥（2）由已知可得集合或， {7C x x =>2}x <由题意可得，B ≠∅所以要满足，只需解得，B C =∅ 12,17,11,a a a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩36a ≤≤综上实数a 的取值范围为. [3,6]18．已知函数.()sin(3)4f x x π=+（1）求的单调递增区间；()f x （2）若是第二象限角，，求的值.α4()cos()cos 2354f απαα=+cos sin αα-【答案】（1），；（2）或． 22[,]34312k k ππππ-+Z k∈【详解】试题分析：（1）将看作一个整体，根据正弦函数的单调递增区间便可得34x π+sin y x =的单调递增区间.（2）将代入得()sin(3)4f x x π=+3α4()cos(cos 2354f απαα=+.求三角函数值时，首先考虑统一角，故利用和角公式和倍角公式化4sin()cos()cos 2454ππααα+=+为单角的三角函数得：.注意这里不能将α4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+约了.接下来分和两种情况求值.sin cos αα+sin cos 0αα+=sin cos 0αα+≠试题解答：（1）； 22232()24243123k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈（2）由题设得：，4sin()cos()cos 2454ππααα+=+即，. 4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+若，则， sin cos 0αα+=cos sin αα-=若，则sin cos 0αα+≠241(cos sin )cos sin 5αααα=-⇒-=【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.19．已知函数的最大值为,函数图像的相邻两条对称轴之间的距π()sin()(0,0)6f x A x A ωω=+>>2()f x 离为. π2(1)求的值; ,A ω(2)若,,求的值. ()2f α=π02α<<cos 2α【答案】(1), 2A =2ω=(2)12【分析】(1)根据函数的最大值为可得;由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为()f x 2A ()f x π2可得,结合即可求出结果;π22T =2πT ω=(2)根据,可得的值,依据可求出的值,即可求出的值.()2f α=πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭π02α<<2αcos 2α【详解】（1）由题意,函数的最大值为2,可得, ()f x 2A =由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,可得,()f x π2π22T =,即; πT ∴=2π2Tω==（2）由(1)知,()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()2f α= ,π2sin 226α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭即,πsin 216α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π02α<< , ππ7π2666α∴<+<, ππ262α∴+=, ∴π23α=. 1cos 22α∴=20．已知函数2()2sin cos 222x x xf x =+(1)求函数的周期和对称中心；()f x (2)若不等式对任意恒成立，求整数m 的最大值；|()|3f x m -≤ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)周期为，对称中心为2πππ,03k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z (2)4【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式把化成一个三角函数，利用周期以及对称轴公式求解即()f x 可；（2）由求出的值域，再结合不等式恒成立，限定m 的范围并求出结ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x |()|3f x m -≤果.【详解】（1）由题意得：22()2sin cos sin 2cos 12222x x x xf x x ⎫=+=-⎪⎭πsin 2sin 3x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令，得． 2π2π||T ω==ππ,3x k k +=∈Z ππ,3x k k =-+∈Z 可得函数的周期为，对称中心为．()f x 2πππ,03k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z （2）因为，所以，所以，ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππ2π633x ≤+≤1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以当时，的最小值为1；当，的最大值为2，π6x =-()f x π6x =()f x 所以．1()2f x ≤≤由题意得，，所以对一切恒成立，3()3f x m -≤-≤3()3m f x m -≤≤+ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以，解得，3132m m -≤⎧⎨+≥⎩14m -≤≤所以整数m 的最大值为4．21．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家鼓励新能源企业发展，已知某新能源企业，年固定成本50万元，每生产台设备，另需投入生产成()*x x N ∈本y 万元，若该设备年产量不足20台，则生产成本万元；若年产量不小于20台，则230y x x =+生产成本万元，每台设备售价50万元，通过市场分析，该企业生产的设备能270053285y x x=+-全部售完.（总成本=固定成本+生产成本；利润=销售总额-总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量x （台）的关系式； ()f x (2)年产量为多少时，该企业所获年利润最大?【答案】(1) 22050,020()27003235,20x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)年产量为30台时，该企业所获年利润最大【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售收入年固定成本产品生产成本的公式，分=--，两种情况讨论，即可求解．020x <<20x ≥（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【详解】（1）解：（1）当时，，020x <<22()5050(3)2050f x x x x x x =--+=-+-当时，， 20x ≥27002700()5050(53285)3235f x x x x x x=--+-=--+故； 22050,020()27003235,20x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）当时，，020x <<22()2050(10)50f x x x x =-+-=--+当时，的最大值为50，10x =()f x 当时，， 20x≥27002700()3235(323523555f x x x x x =--+=-++≤-+=当且仅当，即时，等号成立， 27003x x=30x =， 5550> 故年产量为30台时，该企业所获年利润最大，最大利润为55万元．22．已知函数在区间上有最大值4和最小值()221(0)g x ax ax b a =-++>[]2,3 1.（1）求､的值；a b （2）设()().g x f x x =①若时，，求实数的取值范围；[]1,1x ∈-()220x x f k -⋅…k ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． ()2213021x x f k k -+⋅-=-∣∣k 【答案】（1）；（2）①；② .1,0a b ==(],0-∞()0,+∞【分析】（1）由二次函数的单调性求得最大值和最小值，从而可求得；,a b （2）① 不等式分离参数得，可换元设，然后由二次函数性质求得最小值，2121(2)2x x k ≤+-12xt =进而得的范围；k ② 化简方程，换元设和，转化关于的二次方程，由根的21x t =-t 2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠分布知识求解．【详解】（1），对称轴是，又，2()21g x ax ax b =-++1x =0a >所以在上单调递增，则，解得． ()g x []2,3(2)11(3)314g b g a b =+=⎧⎨=++=⎩10a b =⎧⎨=⎩（2）由（1），， 2()21g x x x =-+()1()2g x f x x x x==+-①即，， (2)20x x f k -⋅≥12222x x xk +-≥⋅2121(2)2x x k ≤+-令，记，，， 11,222x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦2()21F t t t =-+min ()(1)0F t F ∴==0k ∴≤即的取值范围是.k (],0-∞② 由得， 2(21)(3)021x x f k -+-=-1221(23)021x x k k +-+-+=-即，且，令，则方程化为221(23)21(12)0x x k k --+-++=210x -≠21x t =-，2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠又方程有三个不同的实数解，由的图象可知， 2(21)(3)021x x f k -+-=-21x t =-有两个根且或， 2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠12,t t 1201t t <<<1201,1t t <<=记，2()(23)(12)t t k t k ϕ=-+++则或，解得． (0)120(1)0k k ϕϕ=+>⎧⎨=-<⎩(0)120(1)023012k k k ϕϕ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩0k >故的取值范围是．k (0,)+∞。
广东省高一下学期开学数学试卷
广东省高一下学期开学数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高一下·上高月考) 在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 的非负半轴重合，终边过点，则（）A.B.C.D. 2. （2 分） (2016 高一下·江门期中) 已知全集 U=R,集合 A= （ ）。
A. B.R C. D.，集合 B=，则为3. （2 分） (2016 高三上·黑龙江期中) 已知向量 =（2，3）， 是（ ），若 ⊥ ，则实数 x 的值A.B.C.第 1 页 共 17 页D. 4. （2 分） 已知函数，且A.B.C.D. 5. （2 分） (2018 高二上·会宁月考) 如果 A. B. C. D.，且6. （2 分） (2018 高三上·北京月考) 下列函数中，在， 则 tan2x 的值是（ ），那么的大小关系为（ ）内有零点且单调递增的是（ ）A. B.C. D. 7. （2 分） (2016 高一下·丰台期末) 函数 y=（sinx+cosx）2（x∈R）的最小正周期是（ ） A. B.第 2 页 共 17 页C.π D . 2π8. （2 分） (2018·南宁模拟) 函数的部分图像如图所示，若方程在，（ ， ， 是常数，，，）上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2020 高一下·杭州期中) 已知函数的图象过点，令，.记数列 的前 n 项和为 ，则（）A.B.C.第 3 页 共 17 页D. 10. （2 分） (2020·安阳模拟) 已知向量 角为（ ） A..若，则向量 与 的夹B.C.D.11. （2 分） (2016 高一上·洛阳期中) 要得到函数 y=8•2﹣x 的图象，只需将函数 A . 向右平移 3 个单位长度 B . 向左平移 3 个单位长度 C . 向右平移 8 个单位长度 D . 向左平移 8 个单位长度的图象（ ）12. （2 分） (2017 高二下·孝感期末) 已知函数 y= x3﹣x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c=（ ）A.B. 或 C . ﹣1 或 1D.或二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2017 高二下·西城期末) 已知 9a=3，lnx=a，则 x=________．14. （1 分） (2017·松江模拟) 已知函数 f（x）=ax﹣1 的图象经过（1，1）点，则 f﹣1（3）________第 4 页 共 17 页15. （1 分） (2019 高三上·西城月考) 设向量是互相垂直的单位向量，向量与垂直，则实数 ________16. （2 分） (2019 高一上·浙江期中) 已知函数 若函数 f（x）在区间[-1，a-2]上满足对任意 x1≠x2 ， 都有三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） 综合题。
广东省高一下学期开学数学试卷
广东省高一下学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N+|x≤5}，则A∩B=（）A . {1，2，3}B . {1，2}C . {4，5}D . {1，2，3，4，5}2. （2分）把389化为四进制数的末位为（）A . 1B . 2C . 3D . 03. （2分）(2020·哈尔滨模拟) 已知函数且，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）某算法程序如图所示，执行该程序，若输入4，则输出的S为（）A . 36B . 19C . 16D . 105. （2分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：x00.50.531250.56250.6250.751f（x）﹣1.307﹣0.084﹣0.0090.0660.2150.512 1.099由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（）A . 0.625B . ﹣0.009C . 0.5625D . 0.0666. （2分）(2017·运城模拟) 如图给出了一个程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x 值有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分） (2017高二上·唐山期末) 在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2 ，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值为（）A . 13πB . 14πC . 15πD . 16π8. （2分）下列命题中正确的是（）A . 若一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直B . 若一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行C . 若一条直线垂直一个平面，则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直D . 若一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相平行9. （2分）若右边的程序框图输出的S是126，则条件①可为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·舒城模拟) 直线与圆x2+y2=1相交于A、B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值为（）A . 0B .C .D .11. （2分） (2017高一上·武清期末) 已知函数有3个零点，则实数a的取值范围是（）A . a＜1B . a＞0C . a≥1D . 0＜a＜112. （2分） (2016高一上·德州期中) 设f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣（）x+x的反函数，则f﹣1（x）＞1成立的x的取值范围是（）A .B .C .D . x＜0二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·万全期中) 函数f（x）=log （x2﹣6x+5）的单调递减区间是________．14. （1分）(2017·青浦模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=________．15. （1分） (2019高三上·苏州月考) 定义在上的偶函数满足：，且在上单调递减，设，，，则、、的从小到为排列是________.16. （1分） (2017高三上·威海期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数 .(Ⅰ)当a=1时，求的解集；(Ⅱ)若的解集包含集合，求实数a的取值范围.18. （5分）画出计算的程序框图，并编写相应的程序.19. （5分） (2016高一上·西城期末) 已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．20. （10分）(2020·金堂模拟) 已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.21. （10分） (2018高一上·上海期中) 已知。
广东省阳江市高一数学下学期第一次质检试卷(含解析)
2016-2017学年广东省阳江市高一（下）第一次质检数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若M={1，2，3，6}，N={2，3，4，7，9}，则M∩N=（）A．{2，3} B．{1，4}C．{1，2，3，4，6，7，9} D．{2}2．2﹣2的值为（）A．4 B．2 C．D．3．函数的定义域为（）A．[5，+∞）B．（5，+∞）C．（﹣∞，5] D．（﹣∞，5）4．若直线的倾斜角为α，则α（）A．等于0 B．等于C．等于D．不存在5．圆（x﹣1）2+（y+1）2=10的半径为（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C． D．106．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[116.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.58．高一（23）班8个同学参加独唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和929．有一个容量为300的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A．27 B．81 C．54 D．10810．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.11．两直线x+y﹣5=0和直x﹣y=0的交点坐标为．12．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2：3：5，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，则应从高二年级抽取名学生．13．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．14．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n= ．15．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为3，5时，最后输出的m的值是16．角﹣1540°为第象限角．17．已知α是第三象限角，sinα=﹣，则tanα= ．18．线段AB长为60cm，现从该线段随机取两点，则两点距离小于15cm的概率为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 19．某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．20．已知，且，求sinα，cosα的值．21．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．22．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）23．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．2016-2017学年广东省阳江市阳东一中高一（下）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若M={1，2，3，6}，N={2，3，4，7，9}，则M∩N=（）A．{2，3} B．{1，4}C．{1，2，3，4，6，7，9} D．{2}【分析】由交集的定义，求出集合M，N的公共元素，即可得到所求集合．【解答】解：若M={1，2，3，6}，N={2，3，4，7，9}，则M∩N={2，3}．故选：A．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．2．2﹣2的值为（）A．4 B．2 C．D．【分析】利用指数的运算性质即可得出．【解答】解：2﹣2==．故选：D．【点评】本题考查了指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数的定义域为（）A．[5，+∞）B．（5，+∞）C．（﹣∞，5] D．（﹣∞，5）【分析】根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数，∴5﹣x＞0，解得x＜5；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，5）．故选：D．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．4．若直线的倾斜角为α，则α（）A．等于0 B．等于C．等于D．不存在【分析】利用平行于x轴的直线的倾斜角的定义即可得出．【解答】解：直线的倾斜角为α，则α=0，故选：A【点评】本题考查了平行于x轴的直线的倾斜角的定义，属于基础题．5．圆（x﹣1）2+（y+1）2=10的半径为（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C． D．10【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y+1）2=10，得r2=10，即r=．故选：C．【点评】本题考查圆的标准方程，是基础的概念题．6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值，可得当k=3时不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1满足条件k＜3，执行循环体，S=1，k=1满足条件k＜3，执行循环体，S=2，k=2满足条件k＜3，执行循环体，S=8，k=3不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．7．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[116.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【分析】由样本数据求出样本数据落在[116.5，124.5）内的频数，计算所求的频率值．【解答】解：由样本数据为125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，共10个；样本数据落在[116.5，124.5）内的数据是120，122，120共3个；所求的频率为P==0.3．故选：B．【点评】本题考查了频率=的应用问题，是基础题．8．高一（23）班8个同学参加独唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行求解即可．【解答】解：将数据从小到大重新排列为87，89，90，91，92，93，94，96，则中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=90+（﹣3﹣1+0+1+2+3+4+6）=90+=90+1.5=91.5，故选：A【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的定义分别进行计算是解决本题的关键．9．有一个容量为300的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A．27 B．81 C．54 D．108【分析】由频率分布直方图先求出[10，12）的频率，由此能求出样本数据落在区间[10，12）内的频数．【解答】解：因为组距为2，所以[10，12）的频率为：1﹣（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，所以样本数据落在区间[10，12）内的频数为300×0.18=54．故选：C．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．10．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.11．两直线x+y﹣5=0和直x﹣y=0的交点坐标为．【分析】联立，解出即可得出．【解答】解：联立，解得x=y=．可得交点：．故答案为：．【点评】本题考查了直线的交点、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2：3：5，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，则应从高二年级抽取45 名学生．【分析】先求出高二学生所占的比例，用样本容量乘以此比例，即得所求．【解答】解：高二学生所占的比例为=，故样本中高二学生所占的比例也是，150×=45，故答案为：45．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．13．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：．【点评】本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．14．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n= 4 ．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．15．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为3，5时，最后输出的m的值是 5【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算分段函数m=的值，代入a=3，b=5，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，∵a=3＜b=5，∴m=5故答案为：5．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．16．角﹣1540°为第三象限角．【分析】由﹣1540°=﹣5×360°+260°，可知﹣1540°与260°的终边相同，则答案可求．【解答】解：∵﹣1540°=﹣5×360°+260°，∴﹣1540°与260°的终边相同，为第三象限角．故答案为：三．【点评】本题考查象限角及轴线角，考查终边相同角的表示法，是基础题．17．已知α是第三象限角，sinα=﹣，则tanα= ．【分析】由α为第三象限角，sinα的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α是第三象限角，sinα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==．故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．线段AB长为60cm，现从该线段随机取两点，则两点距离小于15cm的概率为．【分析】由已知中线段AB的长为60，在线段AB上随机取两个点C、D，设C、D坐标分别为x，y，则（x，y）点对应的平面区域为一个边长为60的正方形，若|CD|＜15，则|x﹣y|＜15，求出满足条件的平面区域的面积，代入几可概型公式即可得到答案．【解答】解：线段AB上随机取两个点C、D，设C、D坐标分别为x，y，则（x，y）点对应的平面区域如下图所示：其中满足|CD|＜15的平面区域如图中阴影部分所示：故|CD|＜15的概率P=1﹣=；故答案为：【点评】本题考查了几何概型概率求法；几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据概率公式求解三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 19．某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为： =30．这20名工人年龄的方差为S2= [（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）2+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．20．已知，且，求sinα，cosα的值．【分析】利用诱导公式化简可得tanα的值，根据同角三角函数关系式可得sinα，cosα的值．【解答】解：由tan（α+4π）=tan α==﹣，得sin α=﹣cos α．①又sin2α+cos2α=1，②由①②得cos2α+cos2α=1，即cos2α=．又，即α是第二象限角，∴cos α=﹣，sin α=．【点评】本题考查了诱导公式的化简能力及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．21．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．【解答】解（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1，4和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1，3和2，1两个．因此所求事件的概率P==．（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．又满足条件n≥m+2的事件为：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=．故满足条件n＜m+2的事件的概率为1﹣P1=1﹣=．【点评】本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．22．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）【分析】（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9（分钟）；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=∴P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.15+0.3+0.25=0.7∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查互斥事件，将事件分拆成互斥事件的和是解题的关键，属于中档题．23．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【分析】（1）由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×（﹣2）+54×2+42×4]=2.68（元）．【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．。
2022-2023学年广东省阳江市两阳中学高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省阳江市两阳中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果a →，b →是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A ．a →=b →B ．a →=−b →C ．a →2=b →2D ．a →⋅b →=12．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若复数a +i 与﹣1+bi 互为共轭复数，则复数a +bi 的模等于（ ） A ．2B ．√22C ．√2D ．13．已知b →=(6，3)，c →=(3，x)，若b →⋅c →=30，则x 等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是（ ） A ．0°＜θ＜90°B ．0°≤θ＜90°C ．0°＜θ≤90°D ．0°＜θ＜180°5．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x =5，则样本数据2x 1+1，2x 2+1，…，2x n +1的均值为（ ） A ．5B ．10C ．11D ．216．下列函数中，最小正周期为2的偶函数是（ ） A ．y ＝sin2x +cos2x B ．y ＝sin πx +cos πx C ．y =sin(πx +π2)D ．y ＝cos2x7．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A ．“至少有1件正品”与“都是次品”B ．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”C ．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”D ．“都是正品”与“都是次品”8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线AD 1与直线EF 的位置关系是（ ）A ．相交B ．垂直C ．平行D ．异面9．若棱长为√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．92πB ．278π C ．9π D ．27π二、多项选择题：本题共5小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．10．若θ∈（π，2π），则复数cos θ+i sin θ在复平面内对应的点可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则（ ）A ．选取的这部分学生的总人数为500人B ．合唱社团的人数占样本总量的40%C ．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人D ．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多12512．函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）最小正周期为T ＝πB ．φ=π6C ．f （x ）在区间[−5π12，−π6]上单调递减 D ．方程f(x)=12在区间[0，2π]内有4个根13．连续两次抛掷一个质地均匀的骰子，并记录每次正面朝上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件B 与事件C 是独立事件 B ．事件A 与事件B 是独立事件 C ．P （A ）＝2P （B ）P （C ）D ．P （ABC ）＝P （A ）•P （B ）•P （C ）14．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分．15．已知tan(α+π4)=√3，请写出一个满足条件的角α＝ ．16．小强忘记了进门密码的最后两位，只记得最后一位是数字1，7中的一个，倒数第二位是数字3，6，9中的一个，则小强输入一次密码能成功开门概率是 ．17．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →=xOA →+yOB →，且BP →=2PA →，则xy= ．18．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4√3，东畔长为2√7，在A 处测得C ，D 两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为 ．（注：sin41°≈0.66）19．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P ，Q ，R 分别在棱DD 1、AA 1、CC 1上，且D 1P ＝AQ ＝CR ＝1，则以平面PQR 截正方体所得截面为底面，A 为顶点的棱锥的体积为 ．四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（10分）已知点O （0，0），A （2，1），B （4，3）及OP →=OA →+tOB →． （1）若点P 在第一象限，求t 的取值范围；（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 21．（12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，B =π3． （1）若c ＝5，求a ；（2）若ac ＝40，求△ABC 的周长．22．已知函数f(x)=√3sin2x +2acos 2x −a(a ＞0)，f(π2)=−1． （1）当x ∈(0，π2)时，f （x ）的最大值及相应的x 值；（2）将f （x ）的图象向左平移φ个单位后关于原点对称，|φ|≤π2，求φ的所有可能取值．23．（12分）学校组织数学知识应用能力测试，测试满分为100分，从测试卷中随机抽取400份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计测试成绩的第80百分位数；（2）现从该样本成绩在[40，50）与[50，60）的学生中按分层抽样抽取6人，6人中再随机取2人，求2人的测试成绩来自不同组的概率．24．（12分）在四面体P ﹣ABC 中，点H 为△ABC 的垂心，且PH ⊥平面ABC ． （1）若AP ⊥PC ，求证：P A ⊥PB ； （2）若PB ＝AB ，证明：PC ＝AC ．25．（12分）在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝1，cosA =−13，设点P 为边BC 上一点，点Q 为线段CA 延长线上的一点．（1）当AQ →+AC →=0→且P 是边BC 上的中点时，设PQ 与AB 交于点M ，求线段CM 的长； （2）设AQ →=tAC →(t ＜0)，若PA →⋅PQ →+3=AP →⋅AB →，求线段AQ 长度的最小值．26．（12分）如图，在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2A 1B 1，AA 1=√3，M ，N 为棱B 1C 1，C 1D 1的中点，棱AB 上存在一点E ，使得A 1E ∥平面BMND ． （1）求AE AB；（2）当正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积最大时，证明：C 1C ⊥平面BMND ．2022-2023学年广东省阳江市两阳中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果a →，b →是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A ．a →=b →B ．a →=−b →C ．a →2=b →2D ．a →⋅b →=1解：两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A ，B 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a →⋅b →=1不一定成立，所以选项D 不正确； 因为a →，b →是两个单位向量，故a →2=|a →|2=1，b →2=|b →|2=1，则选项C 正确． 故选：C ．2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若复数a +i 与﹣1+bi 互为共轭复数，则复数a +bi 的模等于（ ） A ．2B ．√22C ．√2D ．1解：∵a +i 与﹣1+bi 互为共轭复数，∴a ＝﹣1，b ＝﹣1， ∴|a +bi|=|−1−i|=√(−1)2+(−1)2=√2． 故选：C ．3．已知b →=(6，3)，c →=(3，x)，若b →⋅c →=30，则x 等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3解：由题意，b →=(6，3)，c →=(3，x)，b →⋅c →=30， 即6×3+3x ＝30，解得：x ＝4． 故选：C ．4．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是（ ） A ．0°＜θ＜90°B ．0°≤θ＜90°C ．0°＜θ≤90°D ．0°＜θ＜180°解：直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0°，90°）；直线和平面所成的角的范围为[0°，90°]． 故选：A ．5．已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的均值为（）A．5B．10C．11D．21解：∵样本数据x1，x2，…，x n的均值x=5，∴样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的均值为：2x+1=2×5+1=11．故选：C．6．下列函数中，最小正周期为2的偶函数是（）A．y＝sin2x+cos2x B．y＝sinπx+cosπxC．y=sin(πx+π2)D．y＝cos2x解：A选项：y=f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，函数的周期为T=2π2=π，A不正确；因为y=g(x)=sinπx+cosπx=√2sin(πx+π4)，函数的周期为2，但g(−x)=√2sin(−2x+π4)≠g(x)，不是偶函数，B不正确；因为y=F(x)=sin(πx+π2)=cosπx，函数的周期为2，又F（﹣x）＝cos（﹣πx）＝cosπx＝F（x），是偶函数，C正确；因为y＝cos2x，函数的周期为π，是偶函数，D不正确．故选：C．7．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A．“至少有1件正品”与“都是次品”B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”D．“都是正品”与“都是次品”解：从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次、2正、2次，对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合；对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意；对于C：“至少有1件次品”包括1正1次、2次，“至少有1件正品”包括1次1正、2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意．故选：D．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线AD1与直线EF的位置关系是（）A．相交B．垂直C．平行D．异面解由题意，作图如下：显然直线EF∩平面ADD1A1＝P，且P∉AD1，则EF与AD1异面．故选：D．9．若棱长为√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．92πB．278πC．9πD．27π解：由题知，正方体的棱长为√3，且正方体的顶点都在同一球面上，设正方体的外接球半径为R，所以得2R=√3×√3，即R=3 2，所以该球的体积为V=43πR3=43⋅π⋅278=92π，故选：A．二、多项选择题：本题共5小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．10．若θ∈（π，2π），则复数cosθ+i sinθ在复平面内对应的点可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：当θ∈(π，3π2)时，cosθ＜0，sinθ＜0，故复数cosθ+i sinθ在复平面内对应的点在第三象限，当θ∈(3π2，2π)时，cosθ＞0，sinθ＜0，故复数cosθ+i sinθ在复平面内对应的点在第四象限．故选：CD．11．光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则（ ）A ．选取的这部分学生的总人数为500人B ．合唱社团的人数占样本总量的40%C ．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人D ．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125 解：由题图知：选取人数为50÷10%＝500人，故合唱社团占比为200500×100%=40%，故AB 正确，所以机器人社团占比为1﹣20%﹣15%﹣10%﹣40%＝15%，故该社团人数为500×15%＝75人，故C 错误，所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多（40%﹣15%）×500＝125人，故D 正确． 故选：ABD ．12．函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）最小正周期为T ＝πB ．φ=π6C ．f （x ）在区间[−5π12，−π6]上单调递减 D ．方程f(x)=12在区间[0，2π]内有4个根 解：对于A ，由图象知：f （x ）的最小正周期T =2×(5π6−π3)=π，A 正确； 对于B ，由A 知：ω=2πT =2，∴f(π3)=sin(2π3+φ)=1，∴2π3+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，解得：φ=−π6+2kπ(k ∈Z)，又|φ|＜π2，∴φ=−π6，B 错误；对于C ，由AB 可知：f(x)=sin(2x −π6)， 当x ∈[−5π12，−π6]时，2x −π6∈[﹣π，−π2]， ∴f （x ）在[−5π12，−π6]上单调递减，C 正确； 对于D ，当x ∈[0，2π]时，2x −π6∈[−π6，23π6]， 则当2x −π6=π6或5π6或13π6或17π6，即x =π6或π2或7π6或3π2时，f(x)=12， ∴f(x)=12在区间[0，2π]内有4个根，D 正确． 故选：ACD ．13．连续两次抛掷一个质地均匀的骰子，并记录每次正面朝上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件B 与事件C 是独立事件 B ．事件A 与事件B 是独立事件 C ．P （A ）＝2P （B ）P （C ）D ．P （ABC ）＝P （A ）•P （B ）•P （C ）解：P(A)=3×6+3×66×6=12，P(B)=36=12，P(C)=36=12，P(BC)=14=P(B)P(C)，P(AB)=14=P(A)P(B)， 对于A ，事件B 与事件C 是相互独立事件，故A 正确； 对于B ，事件A 与事件B 是独立事件，故B 正确； 对于C ，P(A)=12=2P(B)P(C)，故C 正确；对于D ，P(ABC)=14，P(A)⋅P(B)⋅P(C)=(12)3=18，故D 错误． 故选：ABC ．14．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．B ．C ．D ．解：当截面平行于正方体的一个侧面时得C ， 当截面过正方体的体对角线时得B ，当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得A ， 但无论如何都不能截出D ， 故选：ABC ．三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分． 15．已知tan(α+π4)=√3，请写出一个满足条件的角α＝ π12（答案不唯一） ．解：因为tan(α+π4)=tan π3， 所以α+π4=π3+kπ，k ∈Z ， 则α=π12+kπ，k ∈Z ， 故满足条件的一个角为π12．故答案为：π12（答案不唯一）．16．小强忘记了进门密码的最后两位，只记得最后一位是数字1，7中的一个，倒数第二位是数字3，6，9中的一个，则小强输入一次密码能成功开门概率是 16．解：由条件可知，小强可能输入的密码包含（3，1），（6，1），（9，1），（3，7），（6，7），（9，7） 共6种情况，其中正确的密码有1个， 所以输入一次密码正确的概率P =16． 故答案为：16．17．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →=xOA →+yOB →，且BP →=2PA →，则xy= 2 ．解：由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由BP →=2PA →， 得OP →−OB →=2(OA →−OP →)， 即OP →=23OA →+13OB →， 所以x =23，y =13．可得xy=2．故答案为：2．18．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4√3，东畔长为2√7，在A 处测得C ，D 两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为 6.6 ．（注：sin41°≈0.66）解：由题可得，∠DAC ＝49°﹣19°＝30°，在△ACD 中，由余弦定理可得DC 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD •cos30°， 代入得：28＝AC 2+48﹣12AC ，即（AC ﹣2）（AC ﹣10）＝0， 因为∠ADC ＞90°， 故AC ＝10，故BC ＝AC •cos49°＝10•sin41°＝6.6． 故答案为：6.6．19．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P ，Q ，R 分别在棱DD 1、AA 1、CC 1上，且D 1P ＝AQ ＝CR ＝1，则以平面PQR 截正方体所得截面为底面，A 为顶点的棱锥的体积为143．解：延长PQ 交DA 的延长线于M ，延长PN 交DC 的延长线于N ， 连接MN 交AB 于E ，交BC 于F ，连接QE ，RF ，AR ，AF ，AC ， ∵AQ ∥DP ，∴QA DP=MA MD，∴MAMA+4=13，解得MA ＝2，同理CN ＝2，∴AE ＝CF ＝2，V P ﹣DMN =13×12×6×6×3＝18， V Q ﹣AME =13×12×2×2×1=23， V R ﹣AFC =13×12×2×4×1=43， V A ﹣PRCD =13×12（1+3）×4×4=323，∴V A ﹣QEFRP ＝V P ﹣DMN ﹣2V Q ﹣AME ﹣V R ﹣AFC ﹣V A ﹣PRCD =143． 故答案为：143．四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（10分）已知点O （0，0），A （2，1），B （4，3）及OP →=OA →+tOB →． （1）若点P 在第一象限，求t 的取值范围；（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 解：（1）OP →=OA →+tOB →=(2，1)+t(4，3)=(4t +2，3t +1)， 由题意得{4t +2＞03t +1＞0，解得：t ＞−13，即t 的取值范围为(−13，+∞)．（2）若四边形OABP 是平行四边形，只需要OP →=AB →，即OP →=OA →+tOB →=AB →， 由（1）知，OP →=(4t +2，3t +1)，而AB →=(2，2)，∴{4t +2=23t +1=2，方程组无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形． 21．（12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，B =π3． （1）若c ＝5，求a ；（2）若ac ＝40，求△ABC 的周长． 解：（1）由正弦定理a sinA=b sinB=csinC，则sinC =c b ⋅sinB =5√314，∵b＞c，∴B＞C，又∵C∈(0，π2)，∴cos C＞0，则cosC=√1−sin2C=1114，∴sin A＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C=√32×1114+12×5√314=4√37，∴a=bsinB⋅sinA=7324√37=8．（2）∵b＝7，B=π3，ac＝40，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即49＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣120，得（a+c）2＝169，即a+c＝13，∴a+b+c＝20，∴△ABC的周长为20．22．已知函数f(x)=√3sin2x+2acos2x−a(a＞0)，f(π2)=−1．（1）当x∈(0，π2)时，f（x）的最大值及相应的x值；（2）将f（x）的图象向左平移φ个单位后关于原点对称，|φ|≤π2，求φ的所有可能取值．解：（1）由函数f(x)=√3sin2x+2acos2x−a=√3sin2x+a⋅cos2x，因为f(π2)=−1，可得f(π2)=√3sinπ+acosπ=−1，即2√3×1×0+a−a×2×1=−1，所以a＝1，所以f(x)=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，又由x∈(0，π2)，可得2x+π6∈(π6，7π6)，当2x+π6=π2时，即x=π6时，函数f（x）的最大值为2；（2）将f(x)=2sin(2x+π6)的图象向左平移φ个单位后关于原点对称，可得g(x)=2sin[2(x+φ)+π6]=2sin(2x+2φ+π6)，因为g（x）关于原点对称，即g（x）为奇函数，可得2φ+π6=kπ，k∈Z，因为|φ|≤π2，当k＝0时，φ=−π12；当k＝1时，φ=5π12，所以φ的所有可能的取值为−π12或5π12．23．（12分）学校组织数学知识应用能力测试，测试满分为100分，从测试卷中随机抽取400份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计测试成绩的第80百分位数；（2）现从该样本成绩在[40，50）与[50，60）的学生中按分层抽样抽取6人，6人中再随机取2人，求2人的测试成绩来自不同组的概率．解；（1）∵（0.005+0.01+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，∴a＝0.03，设知识竞赛成绩的第80百分位数为m，由[40，80）的频率为0.65，[40，90）的频率为0.9，则m位于[80，90），则0.65+（m﹣80）×0.025＝0.8，解得m＝86，所以知识竞赛成绩的第80百分位数为86．（2）成绩在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.05，0.1，0.050.05+0.1×6=2，则在[40，50）内选取2人，记为A，B，在[50，60）内选取4人，记为a，b，c，d，从这6人中选取2人的所有选取方法：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，2人的竞赛成绩来自不同组的选取方法：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，共8种，所以所求概率为815．24．（12分）在四面体P﹣ABC中，点H为△ABC的垂心，且PH⊥平面ABC．（1）若AP⊥PC，求证：P A⊥PB；（2）若PB＝AB，证明：PC＝AC．证明：（1）如图1，连接AH，并延长交BC于M，连接PM，∵点H为△ABC的垂心，∴AM⊥BC，∵PH⊥平面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥PH，又PH∩AM＝H，PH、AM⊂面P AM，∴BC⊥面P AM，∵AP⊂面P AM，∴AP⊥BC，又AP⊥PC，PC∩BC＝C，∴AP⊥面PBC，∵PB⊂面PBC，∴AP⊥PB．（2）如图2，取AP的中NN，连接BN，CN，由（1）可得AP⊥BC，又PB＝AB，所以AP⊥BN，又BN∩BC＝B，∴AP⊥面BCN，又CN⊂面BCN，∴AP⊥CN，在△ACP中，因为N为P中点，CN⊥AP，∴CA＝CP．25．（12分）在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝1，cosA =−13，设点P 为边BC 上一点，点Q 为线段CA 延长线上的一点．（1）当AQ →+AC →=0→且P 是边BC 上的中点时，设PQ 与AB 交于点M ，求线段CM 的长； （2）设AQ →=tAC →(t ＜0)，若PA →⋅PQ →+3=AP →⋅AB →，求线段AQ 长度的最小值． 解：（1）设AB →=a →，AC →=b →，由AQ →+AC →=0→，可得A 是QC 的中点， 由P 是BC 的中点，则M 是△CBQ 的重心，CM →=23×12(CB →+CQ →)=13(−2b →+a →−b →)=13(a →−3b →)，|CM →|=13√(a →−3b →)2=13√9+9−6⋅(−1)=2√63，即线段CM 的长为2√63； （2）设CP →=λCB →(0≤λ≤1)，则AP →=λa →+(1−λ)b →，AQ →=tb →， 则AP →⋅AB →=[λa →+(1−λ)b →]⋅a →=λa →2+(1−λ)b →⋅a →=10λ﹣1， PA →⋅PQ →=−[λa →+(1−λ)b →]•（AQ →−AP →) =[λa →+(1−λ)b →]2−tb →⋅[λa →+(1−λ)b →]=[λ2a →2+2λ(1−λ)a →⋅b →+(1−λ)2b →2]−t[b →⋅λa →+(1−λ)b →2] ＝9λ2﹣2λ+2λ2+1﹣2λ+λ2﹣t （1﹣2λ） ＝12λ2﹣4λ+1﹣t （1﹣2λ），由PA →⋅PQ →+3=AP →⋅AB →，得12λ2﹣4λ+4﹣t （1﹣2λ）＝10λ﹣1， 所以t （1﹣2λ）＝12λ2﹣14λ+5， 因为t ＜0，12λ2﹣14λ+5＞0， 所以12＜λ≤1，t =12λ2−14λ+51−2λ，令m ＝2λ﹣1∈（0，1]，则t =12⋅(m+12)2−14⋅m+12+5−m =−3m 2−m+1m =−(3m +1m)+1≤−2√3+1，当且仅当m =√33∈(0，1]时取到等号， 所以t 的最大值是−2√3+1，又|AQ →|=|tb →|=|t|=−t ≥2√3−1， 故AQ 线段的最小值为2√3−1．26．（12分）如图，在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2A 1B 1，AA 1=√3，M ，N 为棱B 1C 1，C 1D 1的中点，棱AB 上存在一点E ，使得A 1E ∥平面BMND ． （1）求AE AB；（2）当正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积最大时，证明：C 1C ⊥平面BMND ．（1）解：如图所示，作B 1F ∥A 1E 交AB 于F ， 再作FG ∥BC 交BD 于G ，连接MG ．因为A 1E ∥平面BMND ，所以B 1F ∥平面BMND ． 又平面B 1FGM ∩平面BMND ＝MG ， 所以B 1F ∥MG ．又因为FG ∥BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1FGM 是平行四边形， 所以FG =B 1M =12B 1C 1=14AD ，即F 为棱AB 的四等分点， 故E 也为棱AB 的四等分点，所以AE AB=14．（2）证明：由（1）易知G 为BD 的四等分点， 所以点B 1在点G 的正上方，所以B 1G ⊥底面ABCD ．设AB ＝2A 1B 1＝4x ，则BG =14BD =√2x ，所以B 1G =√3−2x 2， 所以该四棱台的体积V =13(16x 2+√16x 2⋅4x 2+4x 2)√3−2x 2=283x 2√3−2x 2， 而V 2=7849x 2⋅x 2⋅(3−2x 2)≤7849⋅(x 2+x 2+3−2x 23)3． 当且仅当x 2＝3﹣2x 2，即x ＝1时取等号，此时AB ＝4，A 1B 1＝2． 作MH ∥C 1C 交BC 于H ，则H 为BC 的四等分点．连接GH ，在△BGH 中，GH 2=GB 2+BH 2−2GB ⋅BHcos π4=5， 而MG =BF =√(√3)2+12=2，所以GH2＝MG2+MH2，即MH⊥MG．在△BMH中，BM=√22+(√2)2=√6，MH=√3，BH＝3，所以BM2+MH2＝BH2，即MH⊥BM．而BM，MG⊂平面BMND，且BM∩MG＝M，所以MH⊥平面BMND，故C1C⊥平面BMND．。
广东省高一下学期开学考试数学试题(解析版)
雅安中学高2022级高一下期入学考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合（ ）{}2N |4M x x =∈≤{}1,2,3N =M N ⋂=A. B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2,3--{}1,2【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式，以及集合的交集运算计算求解. 【详解】由题知，，，{}{}2N |40,1,2M x x =∈≤={}1,2,3N =所以.故A ，B ，C 错误. M N ⋂={}1,2故选：D.2. 函数的部分图象大致是（ ）()11f x x =-+A .B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.【详解】解：因为，且， (),1112,1x x f x x x x ≥⎧=-+=⎨-<⎩()11111f =-+=，故符合题意的只有A.()00112f =-+=3. 设，则的大小关系为（ ）0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. a b c <<b a c <<C. D.b<c<a c<a<b 【答案】D 【解析】【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.,,a b c ,,a b c 【详解】解：，，0.30.30.201()22212-=>>= 0.20.2log 0.3log 0.21<=∴． c<a<b 故选：D4. 函数的零点所在区间为（ ） ()4ln 1f x x x=-+A. B. (0,1)(1,2)C. D.(2,3)(3,4)【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, ()f x (0,)+∞又，， (2)ln221ln210f =-+=-<()413ln31ln3033f =-+=->由零点存在定理可知,零点所在区间为. (2,3)故选:.C 5. 中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，85℃再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开60℃25℃85℃始，经过x 分钟后的温度为．y 与x 的函数关系式近似表示为，那么在室y ℃600.92325x y =⨯+25℃温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（ ）ln 0.9230.08,ln12ln 70.54≈--≈A. 8B. 7C. 6D. 5【解析】【分析】根据题意带入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.【详解】由题意降至时口感最佳，即，带入函数关系式即得， 60℃60y =60600.92325x =⨯+即，两边同时取对数，得， 70.92312x=ln 0.923ln 7ln12x =-所以.ln 7ln120.547ln 0.9230.08x -=≈≈故选：B6. 已知，则（ ） ()()()()2cos sin sin 1x x f x x πππ-+=--20236f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】解：，()()()()2cos sin sin 1x x f x x πππ-+=--，22cos sin cos sin tan sin cos 1x x x xx x x==-=--则， 20232023tan tan 337tan 6666f πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D7. 已知，则（ ） 11221,01,log log 4xy x y M x y =<<<=⋅A. B.C.D.1M ≥1M >1M ≤1M <【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解【详解】因为，所以01x y <<<1122log 0,log 0,x y >>所以， 221112221122log log log log log 122x y xy M x y +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅≤== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当即时，取等号，1122log log x y =12x y ==所以. 1M <故选：D8. 已知函数 的值域为，则实数a 的取值范围是（ ）()()0.211,6log 1,16ax x f x x x -≥⎧=⎨-<<⎩R A. B.C.D.()0,∞+(),2-∞()0,2(]0,2【答案】D 【解析】【分析】判断当时，的取值范围，从而判断时，的取16x <<()0.2()=log 1f x x -6x ≥()11f x ax =-值范围应包含，由此列出不等式，求得答案.(,1]-∞【详解】由题意知当时，，16x <<()0.2()=log 1(1,)f x x -∈-+∞由于函数 的值域为， ()()0.211,6log 1,16ax x f x x x -≥⎧=⎨-<<⎩R 故时，的取值范围应包含， 6x ≥()11f x ax =-(],1∞--故此时，且，故， 0a >1161,2a a -≥-∴≤02a <≤即实数a 的取值范围是， (]0,2故选：D二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“，”的否定是“，” R x ∀∈21x >-R x ∃∈21x <-B. “ ”是“”的充分不必要条件 =1x -(1)(2)0x x +-=C. 与()f x x =()g x =D. 函数与的图象关于直线y ＝x 对称()42log f x x =()2xg x =【答案】BCD 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定可判断A ；根据“ ”和“”之间的逻辑推理=1x -(1)(2)0x x +-=关系，可判断B ；根据函数的三要素可判断C ；利用互换，可判断D.,x y 【详解】对于A ，命题“，”的否定是“，”，A 错误； R x ∀∈21x >-R x ∃∈21x ≤-对于B ，时，一定有，=1x -(1)(2)0x x +-=但时，不一定是，也可能是， (1)(2)0x x +-==1x -2x =故“ ”是“”的充分不必要条件，B 正确； =1x -(1)(2)0x x +-=对于C ，，定义域为R ，，()||g x x ==()[0,)g x ∈+∞定义域和对应关系以及值域与相同， ()f x x =故与C 正确；()f x x =()g x =对于D ，即，以x 代换y ，y 代换x ， ()42log f x x =2log y x =可得，2log ,2xx y y =∴=即函数与的图象关于直线y ＝x 对称，D 正确，()42log f x x =()2xg x =故选：BCD10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） ()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A.B. C. D. π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD 【解析】【分析】由题意得，可得，根据的范围，()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ可得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答案. sin θcos θ【详解】因为， 1sin cos 5θθ+=所以，则， ()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确； π,2θπ⎛⎫∈⎪⎝⎭所以， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确； 7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误. sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）x ()2240axaxbx ++>()2,1-A.a<0B. 函数的单调递减区间为()()22log 4f x bx x =+()1,+∞C.4ab =D. 不等式的解集为 240bx x a ++≤R 【答案】ACD 【解析】【分析】恒成立，故不等式，可化为，根据不等式的解集20ax >()2240axaxbx ++>240ax bx ++>为，可解得，进而逐个选项进行判断，可得答案.()2,1-22a b =-⎧⎨=-⎩【详解】根据题意，恒成立，故不等式，可化为，20ax >()2240axaxbx ++>240ax bx ++>而该不等式的解集为，可得，不等式可化为，设方程的两根()2,1-a<0240bx x a a ++<240bx x a a++=为和，根据题意，可得，解得，1x 2x 1212142b x x ax x a ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩22a b =-⎧⎨=-⎩对于A ，，，故A 正确；2a =-<0a ∴对于B ，，则，根据复合函数的单调性，对于，令2b =-22()log (24)f x x x =-+224y x x =-+，解得，且该二次函数的对称轴是，2240x x -+>02x <<1x =所以，在上单调递增，在上单调递减，故B 错误； ()f x (0,1)x ∈(1,2)x ∈对于C ，，成立，故C 正确；2,2a b =-=- 4ab ∴=对于D ，不等式，，则转化为，化简得，240bx x a ++≤ 22a b =-⎧⎨=-⎩22420x x -+-≤，此时成立，故D 正确；2(1)0x -≥x ∈R 故答案选：ACD12. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若为第二象限的角，则为第三、四象限的角α2αB. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为()f x R 0x ≤()()1f x x x =+()f x()2f x x x =-C. 若，则的取值范围是1log 12a >a 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 若，则()22ln ln (0,0)xy x y x y -->--><0x y +<【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，求出的取值范围，即可得到的取值范围，即可判断；α2α选项B ，令，则，可得，即可得出的解析式，即可判断出正误；0x >0x -<()2f x x x =-()f x 选项C ，分或两种情况讨论，结合对数函数的单调性，解出即可得出； 1a >01a <<选项D ，令，则函数在单调递减即可判断出. ()2ln (0)x f x x x -=->()f x (0,)+∞【详解】对于A ：因为为第二象限的角，所以，，α90360180360k k α°+°×<<°+°×Z k ∈所以，， 1807202360720k k α°+°×<<°+°×Z k ∈则为第三、四象限的角或轴负半轴上，故A 错误； 2αy 对于B ：若，则，0x >0x -<则，()()1f x x x -=--+=()21x x x x -=-是偶函数，()f x ，即，()()2f x x x f x ∴-=-=()2f x x x =-所以，即的解析式为，故B 正确；()22,0,0x x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩()f x ()2f x x x =-对于C ：若，则， 1log 12a >1log log 2a a a >若，则，此时不成立， 1a >12a >a 若，则，此时，01a <<12a <112a <<即的取值范围是，故C 正确；a 1,12⎛⎫⎪⎝⎭对于D ：若，则，()22ln ln xy x y -->--()2ln 2ln x y x y -->--令，()()2ln 0xf x x x -=->则函数在单调递减， ()f x ()0,∞+则不等式等价为，()2ln 2ln xy x y -->--()()()0f x f y y >-<则，即，故D 正确． x y <-0x y +<故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数的图像恒过定点P ，点P 的坐标是______． ()log 14a y x =-+【答案】 (2,4)【解析】【分析】根据对数函数的性质，令，求得y 的值，即得答案. 11x -=【详解】对于函数，令，即，则， ()log 14a y x =-+11x -=2x =4y =即函数的图像恒过定点，即P 的坐标是， ()log 14a y x =-+(2,4)(2,4)故答案为：(2,4)14. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC ）的AOB 120AOB ∠=︒33OA OC ==面积是______．【答案】## 8π38π3【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB 、COD 的面积即可. 【详解】由题意可得，扇形AOB 的面积是， 212π33π23⨯⨯=扇形COD 的面积是． 212π11π233⨯⨯=则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是． 183ππ33π-=故答案为：83π15. 函数，则______．()()2,12,1x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩()41log 3f -+=【答案】 【解析】【分析】判断的范围，代入分段函数相应的解析式中，结合指数以及对数的运算法则，即可41log 3-+求得答案.【详解】因为， 4431log 34log 0-+=<故()441log log 2441212431log 3(log )(log 2)24124f f f +-+=====故答案为：16. 定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同R ()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩x ()()20f x bf x c ++=的实数解，，，，，则______． 1x 2x 3x 4x 5x 12345x x x x x ++++=【答案】 10【解析】【分析】作出函数的图像，令，由图像可知，则有两个不等的实数根，且()f x ()f x t =20t bt c ++=其中一个为，画出直线，，设其与函数相交的5个点横坐标分别为，1()1y m m =≠1y =()f x 1x 2x ，，，，设，根据函数的图像关于直线对称，可得3x 4x 5x 32x =lg 2=-y x 2x =，从而得.15244x x x x +=+=1234510x x x x x ++++=【详解】作出函数的图像如图所示，()f x由于方程恰有5个不同的实数解，()()20fx bf x c ++=令，则有两个不等的实数根，且其中一个为， ()f x t =20t bt c ++=1画出直线，，与函数交于5个点， ()1y m m =≠1y =()f x 其横坐标分别为，，，，，设，1x 2x 3x 4x 5x 32x =且， 因为函数的图像关于直线对称， 12345x x x x x <<<<lg 2=-y x 2x =则，所以. 15244x x x x +=+=1234510x x x x x ++++=故答案为：10【点睛】求解复合函数零点问题时，需要综合考虑两个函数的零点，根据函数取不同值时零点的个数，并结合函数的对称性可求解零点的和.四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知集合，． {}211A x a x a =-≤≤+{}03B x x =≤≤（1）若，求；1a =A B ⋃（2）在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题． A B B ⋃=A B A = 若______，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}03A B x x ⋃=≤≤（2）条件选择见解析，1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）当时，集合，则可求出；1a ={}12A x x =≤≤A B ⋃（2）任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数a 的取值范围. A B ⊆A 【小问1详解】当时，集合， 1a ={}12A x x =≤≤又， {}03B x x =≤≤所以； {}03A B x x ⋃=≤≤【小问2详解】 方案一 选择条件①． 由，得．A B B ⋃=A B ⊆当时，，得，此时，符合题意；A =∅211a a ->+2a >AB ⊆当时，得，解得．A ≠∅21013211a a a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤+⎩122a ≤≤综上，实数a 的取值范围是．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭方案二 选择条件②． 由，得．A B A = A B ⊆当时，，得，此时，符合题意．A =∅211a a ->+2a >AB ⊆当时，得，解得．A ≠∅21013211a a a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤+⎩122a ≤≤综上，实数a 的取值范围是． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18. （1）计算：；2302282e lg 2lg 527---⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）若，求的值． tan 2α=224sin 3sin cos 5cos αααα--【答案】（1）；（2）1 74-【解析】【分析】（1）利用指数、对数的运算性质进行计算求解.（2）利用把原式转化为齐次式，再对分子分母同时除以弦化切进行求解. 22sin cos 1αα+=2cos α【详解】解：（1）2302282e lg 2lg 527---⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()2233lg 22lg 5lg 2lg 522232223972244--⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=--=-+（2）224sin 3sin cos 5cos αααα-- 22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+， 224tan 3tan 5tan 1ααα--=+又，tan 2α=所以 22224tan 3tan 542325tan 121ααα--⨯-⨯-=++. 515==19. 已知函数且.()()21,(01x x a f x a a -=>+1)a ≠（1）判断的奇偶性，并证明你的结论.()f x （2）当时，函数的值域为，求. []1,1x ∈-()f x []1,1-a 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）或 13a =3【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的判定方法，首先定义域关于原点对称，其次证明；()()f x f x -=-（2）利用定义法讨论函数单调性，设，则，12x x <()()()()1212124()11x x x x a a f x f x aa --=++分和讨论即可.1a >01a <<【小问1详解】奇函数，证明：由题意得的定义域为, ()f x R 且，()()()212121()()111x x x xxxa a a f x f x a aa ------===-=-+++是奇函数，()f x ∴【小问2详解】设，则12x x <()()()()()()121212121221214()1111x x x x x x x x a aa a f x f x a a aa ----=-=++++当时,，得 1a >120-<x x a a ()()120f x f x -<即, ()()12f x f x <这时在上是增函数;()f x R 则，即，解得.()()1111f f⎧-=-⎪⎨=⎪⎩()()1121112111a a a a --⎧-⎪=-⎪+⎨-⎪=⎪+⎩3a =当时,,01a <<120x x a a ->得,即, ()()120f x f x ->()()12f x f x >这时在上是减函数.()f x R 则，即，解得，()()1111f f⎧-=⎪⎨=-⎪⎩()()1121112111a a a a --⎧-⎪=⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩13a =综上或3. 13a =20. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，锐角的终边与单位圆的交点坐标为xOy O αOA ，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于()1,02A m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭OA O θB B y θ的函数为．()y fθ=（1）求函数的解析式，并求的值； ()y fθ=π3f ⎛⎫-⎪⎝⎭（2）若，，求的值． ()fθ=π,π3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1），；()πsin 6fθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2）. πta n 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解； （2）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解. 【小问1详解】因为锐角的终边与单位圆的交点坐标为，αOA ()1,02A m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以，且，所以1sin 2α=0m >π6α=由此得， ()()πsin sin 6fθθαθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭.ππππ1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由知()fθ=πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由于，得，π,π3θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ7π,626θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭与此同时，所以πsin 06θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以，πcos 6θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ππsin sin π33tan ππ3cos cos 33θθθθθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.πππsin cos 266πππsin cos 662θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭====⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 某企业为了降低生产部门在产品生产过程中造成的损耗，特成立减少损耗技术攻关小组，企业预期每年能减少损耗10万元～1000万元．为了激励攻关小组，现准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随减少损耗费用x （单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％． （1）若建立函数模型奖励方案，试用数学语言表述企业对奖励函数模型的基本要求； ()f x ()f x （2）现有三个奖励函数模型；①；②；③．试314y x =+20lg 10y x =-()2110100002000y x x =-+分析这三个函数模型是否符合企业要求．【答案】（1）当时，Ⅰ、函数为增函数，Ⅱ、恒成立； []10,1000x ∈()f x ()12f x x ≤（2）函数模型③. 【解析】【分析】（1）随减少损耗费用x （单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％，即是增函数与，翻译成数学语言即可. ()12f x x ≤（2）分别验证这三个模型是否满足在定义域下为增函数且. ()12f x x ≤【小问1详解】设奖励函数模型为，则企业对函数模型的基本要求是： ()y f x =当时，Ⅰ、函数为增函数，Ⅱ、恒成立． []10,1000x ∈()f x ()12f x x ≤【小问2详解】Ⅰ．对于①函数模型，由，该模型不符合企业奖励方案； ()31142f x x x =+>Ⅱ．对于②函数模型，由，()11020lg101010102f =-=>⨯故当时，不恒成立，该模型不符合企业奖励方案；10x =()12f x x ≤Ⅲ．对于③函数模型，二次函数的对称轴为，故函数在区间上单调递增；令()f x 1051021x -=-=<⨯()f x []10,1000 ()()12g x f x x =-()211101000020002x x x =-+- ()211010100002000x x =-+()()11010002000x x =--当时，，，101000x ≤≤100x -≥10000x -≤故． ()()110100002000x x --≤得当时，恒成立．[]10,1000x ∈()12f x x ≤由上知，函数模型③符合企业奖励方案． ()2110100002000y x x =-+22. 已知函数，在区间上有最大值2()21(0)f x ax ax b a =-++>2()21(0)f x ax ax b a =-++>[]2,34和最小值1． （1）求a 、b 的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数k 的取值范围；()240xxf k -⋅≥[)1,x ∞∈+（3）若方程有三个不相等的实数根，求实数k 的取值范围． ()212302121x x xf k k -+⋅-=--【答案】（1）1,0a b ==（2）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（3） ()0,∞+【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性及取值情况列方程求解即可得a 、b 的值；()f x （2）将不等式，转化为在上恒成立，利用函()240xxf k -⋅≥212111422x x x k ⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭[)1,x ∞∈+数取值即可求得实数k 的取值范围；（3）原方程化为，令，，构造函数()()2213221210x x k k --+-++=|21|x t -=0t >，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围．()()()23221h t t k t k =-+++k k 【小问1详解】函数， 22()21(1)1f x ax ax b a x b a =-++=-++-因为，所以在区间上是增函数，0a >()f x []2,3故，即，解得； ()()2134f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩11314b a b +=⎧⎨++=⎩1,0a b ==【小问2详解】由（1）得，则不等式为在上2()21f x x x =-+()240xxf k -⋅≥422140x x x k -⨯+-⋅≥[)1,x ∞∈+恒成立，即在上恒成立，212111422x x x k ⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭[)1,x ∞∈+又时，，则，所以[]1,x ∈+∞110,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1111,22x ⎛⎤-∈-- ⎥⎝⎦2111,124x ⎛⎫⎡⎫-∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭则，故实数k 的取值范围.14k ≤1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【小问3详解】 方程为， ()212302121x x x f k k -+⋅-=--12212302121x x x k k --++⋅-=--整理为， ()()2213221210x x k k --+-++=可令，则，结合的图象，21xt =-0t >21xt =-由题意可得有两个不等实根，，()()232210t k t k -+++=1t 2t 其中，或，，101t <<21t >101t <<21t =设，则或，()()()23221h t t k t k =-+++()21010k h k +>⎧⎨=-<⎩()2101032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩解得或， 0k >k ∈∅则的取值范围是．k ()0,∞+。
广东省高一下学期开学考试数学试题(解析版) (2)
宜宾市四中2022-2023学年高一下期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则等于（ ）{}2,4,6,8,9A ={}1,4,6,9B =A B ⋂A. B.C.D.{}4,6,9{}1,2,8{}1,2,4,6,8,9{}4,6【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：集合，，则=， {}2,4,6,8,9A ={}1,4,6,9B =A B ⋂{}4,6,9故选：A .2. 命题“，”的否定是（ ） R x ∀∈3210x x -+≤A. ， B. ， R x ∃∈3210x x -+≥R x ∃∈3210x x -+>C. ， D. ，R x ∃∈3210x x -+≤R x ∀∈3210x x -+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可解出.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∈.3210x x -+>故选：B.3. 已知函数，则（ ） ()1,01100,0x x f x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩1100f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. 0B.C.D. 11101100【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，所以， ()1,01100,0x x f x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩1110001100100f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以；()10011100f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D4. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为（ ） A. B.C. 8D. 2【答案】A 【解析】【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用扇形的弧长和面积公式，求得r =长.【详解】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 已知扇形的圆心角为2 rad ，则， 2l r =扇形面积，112822S lr r r r ==⨯⋅=⇒=所以扇形的周长，244C l r r =+==⨯=故选：A.5. 函数的图象大致为（ ） 2cos 2()22x xx xfx -=+A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性和特殊值法进行判断．【详解】因为，所以是偶函数，故A ，C 错误； ()2cos 2()22x xx xf x f x --==+()f x ，选项B 符合函数，D 不符合2111cos 2(1)022f -=<+()f x 故选：B.6. 已知函数，则的大小关系为（ ） ()e e x x f x -=-0.60.60.4(0.4),(0.6),(0.4)a f b f c f ===A. B. C.D.b ac <<a b c <<c<a<b a c b <<【答案】D 【解析】【分析】利用幂函数的性质比较、、大小，再由单调性比较0.60.20.60.216=0.40.20.40.16=0.40.4()f x a 、b 、c 大小.【详解】由，，即， 0.630.20.20.6(0.6)0.216==0.420.20.20.4(0.4)0.16==0.20.20.160.216<所以，又，0.40.60.40.6<0.60.40.40.4<所以，而递增， 0.60.40.60.40.40.6<<()e e x x f x -=-故 0.60.40.6(0.4)(0.4)(0.6)a f c f b f =<=<=故选：D7. 牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间0T t 后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用T ()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T h 来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，lg 30.4771≈，）lg 50.6990≈lg11 1.0414≈A. 4分钟 B. 5分钟 C. 6分钟 D. 7分钟【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.1101112h⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】根据题意，，即()11752580252h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1101112h⎛⎫= ⎪⎝⎭设茶水从降至大约用时t 分钟，则，75℃55℃()1552575252ht ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即，即3152ht⎛⎫= ⎪⎝⎭310511t⎛⎫= ⎪⎝⎭两边同时取对数：()31010lg lg lg 1lg1151111tt t ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟lg 3lg 551lg11t -=≈-516+=故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.8. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范2,0()2,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩21()()04f x bf x ++=b 围（ ） A. B. C. D.(2,1)--5(,1)4--5(,0)4-(2,0)-【答案】B 【解析】【详解】令，则原函数方程等价为,作出函数f （x ）的图象如图1：图象可知当由()t f x =2104t bt ++=时，函数有3个交点，所以要使有六个相异实根，则等价为有01t <<()t f x =()()2104f x bf x ++=两个根，，且，，令，则由根的分布（如图2）可得1t 2t 101t <<201t <<()214g t t bt =++，即，即，解得，则实数的取值范围()()0100411104012f f b b >⎧⎪⎪=>⎪⎪⎨=++>⎪⎪⎪<-<⎪⎩2105420b b b ⎧->⎪⎪>-⎨⎪-<<⎪⎩115420b b b b ><-⎧⎪⎪>-⎨⎪-<<⎪⎩或514b -<<-b是，故选B. 5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图象结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围()f x b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列四个关系中正确的是（ ） A. B.C.D.{}11,2,3⊆{}{}11,2,3∈{1,2}{1,2}⊆{1}∅⊆【答案】CD 【解析】【分析】根据元素和集合，集合与集合的关系，依次判断即可. 【详解】对选项A ：，错误； {}11,2,3∈对选项B ：，错误； {}{}11,2,3⊆对选项C ：，正确； {1,2}{1,2}⊆对选项D ：，正确； {1}∅⊆故选：CD10. 若关于的二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）x 210ax bx ++>11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭A.B.a<05a b +=-C. 的解集是 D. 的解集是 20ax x b +->2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭20ax x b +->()2,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】利用三个“二次”的关系和的解集是得到且的两个210ax bx ++>11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭a<0210ax bx ++=实数根是或，然后利用韦达定理列方程求解，即可判断A 、B 选项； 11x =-213x =a b 接一元二次不等式即可判断C 、D 选项.【详解】因为的解集是，所以，且的两个实数根是210ax bx ++>11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭a<0210ax bx ++=11x =-或，即，解得：，故A 、B 正确， 213x =211,33b a a -=-=-3,2a b =-=-选项C ：，解得：，故C 正确，D 不正确. ()220320ax x b x x +->⇔-+-->2,13⎛⎫-⎪⎝⎭故选：ABC.11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 ()10x x x+>2B.C.的最小值是2D. 的最小值是 423x x--2-【答案】AB 【解析】【分析】利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），A 正确； 0x >12x x +≥=1x x =1x =，因为B 正确；=20x ≥=≥，即时，等号成2==+≥=23x =-立，显然不成立，故C 错误；当时，D 错误. 1x =42323452x x--=--=-<-故选:AB.12. 已知函数，，且有最小正零()()ππ0,,Z 22f x x t t ωϕωϕ⎛⎫=++>-<<∈ ⎪⎝⎭()01f =()f x 点，若在上单调，则（ ） 34()f x 94,2⎛⎫⎪⎝⎭A.B.C. D.πω=5π3ω=()19f =()91f =-【答案】BC 【解析】【分析】确定，，故或，当时，不满足单调性，排除；当时，(1t ∈Z t ∈0=t 1t =0=t 1t =计算，，代入计算得到答案. 0ϕ=5π3ω=【详解】，故，()01f t ϕ=+=(1t ∈+，故， 33044f t ωϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t ⎡∈⎣故，，故或， (1t ∈Z t ∈0=t 1t =当时，，，故，，0=t sin ϕ=ππ22ϕ-<<π4ϕ=()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，有最小正零点，，， 0ω>()f x 34*3ππ,N 44k k ω+=∈*4ππ,N 33k k ω=-∈，故，，故，，914222T ≥-=2π1T ω=≥2πω≤πω=()ππ4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当，，函数不单调，排除； 94,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π17π19ππ,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，，，故， 1t =sin 0ϕ=ππ22ϕ-<<0ϕ=3sin 4ω⎛⎫= ⎪⎝⎭或，或， 35π2π44k ω=+37π2π44k ω=+85ππ,N 33k k ω=+∈87ππ,N 33k k ω=+∈，故，，故， 914222T ≥-=2π1T ω=≥2πω≤5π3ω=，验证满足条件，此时，()5π13f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()915π11f =+=故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 化简求值：_________． 22(lg5)2lg 2lg5lg 4+⨯+=【答案】2 【解析】【分析】根据对数的运算算出答案即可.【详解】()22(lg 5)2lg 2lg 5lg 42lg 5lg 5lg 2lg 42lg 5lg 4lg 25lg 4lg1002+⨯+=⋅++=+=+==故答案为：214. 某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人. 【答案】12 【解析】【分析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，列方程求解即可. x 【详解】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则. x 31264512x =+-=故答案为：12.15. 若函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是_________． ()22()log 1f x mx mx =-+【答案】 [4,)+∞【解析】【分析】因为函数的值域为R ，所以真数能取到大于0的一()22()log 1f x mx mx =-+21u mx mx =-+切实数，分类讨论和两种情况讨论，再取并集即可.0m =0m ≠【详解】令，由题意得出真数能取到大于0的一切实数. 21u mx mx =-+21u mx mx =-+①当时，，函数为，此时函数的值域为，不符合题意；0m =1u =2log 10y =={}0②当时，则有，解得：. 0m ≠240m m m >⎧⎨∆=-≥⎩4m ≥综上所述，实数的取值范围是. m [4,)+∞故答案为：.[4,)+∞【点睛】易错点睛：本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数的取值范围，解题时要对首项系数的符号以及判别式的符号进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.16. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为()12cos 2221x xx f x π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+M m M m +____________． 【答案】4 【解析】【分析】对函数的解析式进行化简，构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可.()f x 【详解】解：因为， ()12cos 222sin 2sin 22212121x xx x xx x x f x π+⎛⎫+++ ⎪⋅-+-⎝⎭===++++令， ()sin 21xxg x -=+则，， ()()2f x g x =+()()()sin sin 2121xxx xg x g x ----===-++所以为奇函数， ()sin 21xxg x -=+因此，因此， ()min max ()0g x g x +=max min ()2()24M m g x g x +=+++=故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知实数满足，求的值． x 11223x x --=1x x --（2）若，求证：． 3461x y z ==≠1112x y z+=【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值；1122x x -+1x x --（2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的3log x m =4log y m =6log z m =运算性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：，，， 11223x x--= 21112229x x x x --⎛⎫∴-=+-= ⎪⎝⎭211122213x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭又，，所以0x >1122x x-+=111112222x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：设，则且，，，346x y z m ===1m ≠3log x m =4log y m =6log z m =，，，1log 3m x ∴=1log 4m y =1log 6m z=，. 11log 3log 2log 62m m m x y ∴+=+=1112x y z∴+=18. 已知集合，集合． {}2|340A x x x =--<1282x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭（1）求，；A B （2）设集合，若，求实数的取值范围． {|2}C x m x m =≤≤+()C A B C ⋂⋃=m 【答案】（1），；（2）. (1,4)A =-[1,3]B =-[1,2)-【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，解指数不等式求得集合.A B （2）先求得 ，根据得到，由此列不等式组，解不等式组求得的A B ⋃()C A B C ⋂⋃=()C A B ⊆ m 取值范围.【详解】（1）由，解得，所以， 2340x x --<14x -<<(1,4)A =-又在集合中，，∴． B 13222x -≤≤[1,3]B =-（2）由（1）知[1,4)A B ⋃=-又因为，所以()C A B C ⋂⋃=()C A B ⊆ ∴，即241m m +<⎧⎨≥-⎩12m -≤<所以实数的取值范围．m [1,2)-19. 若，. ()()211f x ax a x =-++a R ∈（Ⅰ）若的解集为，求的值； ()0f x <1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭a （Ⅱ）求关于的不等式的解集.x ()0f x <【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.4a =【解析】【分析】（Ⅰ），1为方程的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可. 14()0f x =（Ⅱ），分、、、和五种情况讨论即可(1)(1)0ax x -->a<00a =01a <<1a =1a >【详解】（Ⅰ）的解集为，，1是的解. ()2110ax a x -++<1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭14()2110ax a x -++=. 1114114a a a+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：4a =（Ⅱ）当时，不等式的解为，解集为0a =1x >{}1x x >当时，分解因式 0a ≠()()110x ax --<的根为，. ()()110x ax --=11x =21x a =当时，，不等式的解为或；解集为. a<011a >1x >1x a <11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或当时，，不等式的解为；解集为. 01a <<11a <11x a <<11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当时，，不等式的解为；等式的解集为. 1a >11a <11x a <<11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当时，原不等式为，不等式的解集为.1a =()210x -<∅综上：当时，不等式的解集为； 0a ={}1x x >当时，不等式的解集为； a<011x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或当时，不等式的解集为； 01a <<11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为； 1a >11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为.1a =∅20. 已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻()sin()(R)f x A x x ωϕ=+∈π(0,0,0)2A ωϕ>><<x 两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为. π22π(,2)3M -（1）求的周期； ()f x （2）当时，求的值域. ππ[,]122x ∈()f x 【答案】（1）； π（2）.[1,2]-【解析】【分析】（1）由题得即得解； π22T =（2）首先求出，再利用不等式的性质和三角函数的图象和性质得解. ()2sin(2)6f x x π=+【小问1详解】 解：由轴上相邻两个交点间的距离为，得，即， x π2π22T =πT =函数的周期为.()f x π【小问2详解】解：由函数图象的最低点为，得， 2π(,2)3M -2A =由得. πT =2π2πω==又点在图象上，得，即， 2π(,2)3M -2π2sin(2)23ϕ⨯+=-4πsin()13ϕ+=-故，，所以，， 4ππ2π32k ϕ+=-Z k ∈11π2π6k ϕ=-Z k ∈又，所以，所以. π(0,)2ϕ∈π6ϕ=()2sin(2)6f x x π=+又，所以， ππ[,122x ∈ππ7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以. 1sin(2[,1],2sin(2)[1,2]626x x ππ+∈-+∈-所以的值域为.()f x [1,2]-21. 近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v （单位：）．其中0ln M v v m=m/s 0v （单位）是喷流相对速度，m （单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：）是推进m/s kg kg 剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．已知A 型火箭的喷流相对速度为． M m2000m/s （1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T ，求不小于T 的15800m/s 最小整数？参考数据：0.80.8ln230 5.4,2.225 2.226,125278.2e e ≈<<⨯≈【答案】（1）；10800/m s （2）279【解析】【分析】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【小问1详解】当总质比为230时，，2000ln 2302000 5.410800v =≈⨯=即A 型火箭的最大速度为.10800/m s 【小问2详解】A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A 型火箭的喷流相对速度为，总质比为，由题意得： 2000 1.53000/m s ⨯=5M m， 0.80.83000ln 2000ln 800ln 0.81255125125M M M M M e T e m m m m m-≥⇒≥⇒≥⇒=≥因为，0.82.225 2.226e <<所以，即0.8278.125125278.25e <<278.125278.25T <<不小于T 的最小整数为.27922. 已知，函数. a R ∈()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）当时，解不等式；4a =()0f x >（2）若关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围； x ()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦a （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求0a >1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +a 的取值范围.【答案】（1）或； （2）； （3）.{|0x x >1}3x <-(2,3)(3,4)(4,)+∞ 3[,)2+∞【解析】【分析】（1）当时，得到不等式，结合对数的性质，即可求解； 4a =21log 40x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围，进行求解即可；a （3）根据条件得到恒成立，利用换元法进行化简，结合对勾函数的单调性，即可求()()11f t f t -+≤解.【详解】（1）当时，函数， 4a =()21log 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由不是，可得，则满足，解得或， ()0f x >21log 40x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭140141x x⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩0x >13x <-即当时，不等式的解集为或.4a =()0f x >{|0x x >1}3x <-（2）由题意，关于的方程， x ()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦即，可得， ()221log log 425a a x a x ⎛⎫⎡⎤+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭()101425a x a a x a x⎧+>⎪⎪⎨⎪+=-+-⎪⎩化简得且， 2(4)(5)10a x a x -+--=10a x +>即且， [(4)1](1)0a x x --+=10a x+>当时，，不符合题意，舍去；4a ==1x -当时，，不符合题意，舍去，3a =121x x ==-当且时，，且， 3a ≠4a ≠114x a =-21x =-12x x ≠又由，即，解得， 110a x +>40a a -+>2a >，即，解得， 210a x +>10a -+>1a >因为关于的方程有两个不等的实数根，x ()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦综上可得且且，2a >3a ≠4a ≠所以实数的取值范围为.a (2,3)(3,4)(4,)+∞ （3）由函数在上单调递减， ()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[],1t t +因为函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，()f x [],1t t +可得，即， ()()11f t f t -+≤2211log ()log ()11a a t t +-+≤+即，所以， 112()1a a t t +≤⨯++1211(1)t a t t t t -≥-=++设，因为，则， 1t r -=1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2[0,3r ∈可得， 21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+当时，， 0r =2032r r r =-+当时，可得， 203r <≤212323r r r r r=-++-因为在区间为单调递减函数，可得， 2y r r =+2(0,]32211333r r +≥+=所以 2113211322333r r r r r =≤=-++--所以实数的取值范围是. a 3[,)2+∞【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数()0f x =()f x x ()()f x g x =和图象的交点的横坐标；()f x ()g x 2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省阳江市高一下学期开学数学试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分）(2020 高一下·南宁期末) 角 的顶点在坐标原点，始边在 x 轴正半轴上，且终边过点
，
则
（）
A.
B. C.
D.
2. （2 分） 已知集合 M={x|y=lg }，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁RM）∩N=（ ）
A . {x|10＜x＜1}
B . {x|x＞1}
C . {x|x≥2}
D . {x|1＜x＜2}
3. （2 分） 已知 =（2，1）， =（x，﹣2），且（ + ）∥（2 ﹣ ），则 x 等于（ ）
A . ﹣6
B.6
C . ﹣4
D.4
4. （ 2 分 ） (2018· 临 川 模 拟 ) 在 锐 角
中，角
所对的边分别为
，若
第 1 页 共 12 页
，则 的值为（ ）
A. 或
B.
C.
D.
5. （2 分） (2018 高二上·会宁月考) 如果
A.
B.
C.
D.
6. （2 分） 给出以下命题：
①若 、 均为第一象限角，且
，且
，且 ；
②若函数
的最小正周期是 ， 则 ；
③函数
是奇函数；
④函数
的周期是 ；
⑤函数
的值域是
.
其中正确命题的个数为（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
第 2 页 共 12 页
，那么
的大小关系为（ ）
7. （2 分） 函数 A . 周期为 π 的奇函数 B . 周期为 π 的偶函数 C . 周期为 2π 的奇函数 D . 周期为 2π 的偶函数
是（ ）
8. （2 分） (2019 高三上·眉山月考) 已知函数
点
在图象上，若
，
，且
的部分图象如图所示，
，则
（）
A.3
B. C.0
D. 9. （2 分） (2016 高一上·潮阳期中) 下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的奇函数是（ ） A. B . y=x5 C . y=x﹣3 D . y=x
10. （2 分） (2019 高二上·寿光月考) 已知
为（ ）
第 3 页 共 12 页
，则向量
的夹角
A. B. C. D. 11. （2 分） (2017·舒城模拟) 如图是 f（x）=x3+bx2+cx+d 的图象，则 x12+x22 的值是（ ）
A. B. C. D. 12. （2 分） (2018 高二下·凯里期末) 函数
的部分图象可能是 （ ）
A. B.
C.
D.
第 4 页 共 12 页
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （ 1 分 ） (2020 高 一 下 · 上 海 期 末 ) 等 比 数 列 ________．
满足
．则
14. （1 分） (2019 高三上·上海月考) 函数
的反函数
________.
15. （1 分） (2020 高一上·宿州期末) 下面六个句子中，错误的题号是________. ①周期函数必有最小正周期；
②若
则 ， 至少有一个为 ；
③ 为第三象限角，则
；
④若向量 与 的夹角为锐角，则
；
⑤存在 ，
，使
成立；
⑥在
中，O 为
内一点，且
，则 O 为
的重心.
16. （1 分） (2017 高二下·南昌期末) 函数 f（x）的定义域为 D，若对于任意 x1 ， x2∈D，当 x1＜x2 时， 都有 f（x1）≤f（x2），则称函数 f（x）在 D 上为非减函数．设函数 f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三
个条件：①f（0）=0；②
；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则
=________．
三、 解答题 (共 6 题；共 75 分)
17. （15 分） (2019 高一上·如东月考) 已知函数
，
，函数
．
（1） 若
的最大值为 0，记
，求
的值；
（2） 当 数的底数 ；
时，记不等式
的解集为 M，求函数
，
的值域 是自然对
（3） 当
时，讨论函数
的零点个数．
18. （10 分） (2019 高一上·张家港月考) 如图所示，
第 5 页 共 12 页
是边长为 的正三角形，点
四等
分线段 ．
（1） 求
的值；
（2） 若点 Q 是线段
上一点，且
，求实数 m 的值．
19. （15 分） (2019 高一上·公主岭月考) 已知
.
（1） 化简
.
（2） 若 是第三象限角，且
，求
的值.
（3） 若
，求
的值.
20. （10 分） (2019 高一上·应县期中) 已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3.
（1） 求 f(x)的解析式；
（2） 若 f(x)在区间[2m ， m＋1]上不单调，求实数 m 的取值范围．
21. （10 分） (2019 高三上·城关期中) 已知函数 所示．
的部分图象如图
第 6 页 共 12 页
（1） 求函数
的解析式；
（2） 设
，且方程
有两个不同的实数根，求实数 的取值范围．
22. （15 分） (2018 高一上·唐山月考) 设函数
时，
，
对任意
都有
，且当
（1） 证明 为奇函数．
（2） 证明 在 上是减函数．
（3） 若
，求 的取值范围．
第 7 页 共 12 页
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、 15-1、
参考答案
第 8 页 共 12 页
16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 75 分)
17-1、 17-2、
第 9 页 共 12 页
17-3、 18-1、
第 10 页 共 12 页
18-2、19-1、
19-2、19-3、
20-1、20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
22-3、。