导数运算与导数公式
函数的导数与导数公式
函数的导数与导数公式导数是微积分的重要概念之一，它在函数的研究和应用中起着重要的作用。
本文将介绍函数的导数及其相关公式。
一、导数的定义与计算方法导数是函数在某一点上的瞬时变化率。
对于函数$f(x)$，其在$x=a$处的导数可以通过极限的定义来计算，即：$$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中$h$表示自变量$x$的增量。
对于一次多项式函数$f(x) = ax+b$，可以直接求导。
根据导数的定义计算，有：$$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = a$$所以一次多项式函数的导数等于其系数。
二、导数的几何意义导数具有几何意义，可以理解为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
具体来说，对于函数$f(x)$，其导数$f'(x)$表示函数曲线在点$(x,f(x))$处的斜率。
通过导数的定义计算，可以得到函数曲线在不同点处的切线斜率，从而描绘出函数曲线的变化情况。
三、导数的基本性质导数具有一些基本的性质，可以用来简化导数的计算或推导其他函数的导数。
1. 常数乘法规则：若$c$为常数，则$(cf(x))' = cf'(x)$，即常数与函数的乘积的导数等于常数乘以函数的导数。
2. 取负号规则：$(-f(x))' = -f'(x)$，即函数的相反数的导数等于函数的导数的相反数。
3. 和差法则：$(f(x)\pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$，即函数的和（或差）的导数等于函数的导数之和（或差）。
4. 乘法法则：$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$，即函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
5. 商法则：$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$，即函数的商的导数等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
导数公式及导数的运算法则
5.y f (x) 1 x
6.y f (x) x
1.函数 y = f (x) =c 的导数
因 y f x x f x c c 0，
x
x
x
y y=c
所以 y' lim y lim 0 0. x0 x x0
看几个例子:
例3.已知y log2 x，求曲线在点 x 2处的切线方程.
y 1 2 (x 2) 2 2 ln 2
例4.已知y cos x，求曲线在点
x 5 处的切线方程.
6
y 3 1 (x 5π )
22 6
例5：求下列函数的导数
1 (1).y x4 ; (2).y x x.
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
一、复习
1. 导数的几何意义 导数的物理物理意义
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
1.2.2导数公式及导数运算法则
例2.求下列函数的导数. 1）y=x3-2x+3 2) y (x 1) x
4x - 1 3) y 4 x
4) y e x log4 x
6) y sinx cos x
lnx 5) y x e
7) y tan x
练习：《面对面》P13：基础训练 1，2，3，4 P14：基础巩固 1-8
3、如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求 切点坐标与切线方程.
解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行,
∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0=(x3+x-10) | x=x0=3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
导数的运算公式和法则
导数的运算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
在求导的过程中，有一些常用的运算公式和法则，可以帮助我们简化计算。
下面是一些常用的导数运算公式和法则。
一、基本导数公式1. 常数导数法则：对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
2. 幂函数导数法则：对于任意实数n，幂函数y = x^n的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，当n = 0时，常数函数y = c的导数为d/dx(c) = 0。
3. 指数函数导数法则：对于底数为常数a的指数函数y = a^x，其导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
这个法则也适用于自然对数中的指数函数y = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x。
4. 对数函数导数法则：对于底数为常数a的对数函数y = log_a(x)，其导数为d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
特别地，当底数为自然常数e时，对数函数变为自然对数函数y =ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1 / x。
5.三角函数导数法则：（1）正弦函数的导数为d/dx(sin(x)) = cos(x)。
（2）余弦函数的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
（3）正切函数的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
（4）余切函数的导数为d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。
（5）正切函数和余切函数的导数也可以写成d/dx(tan(x)) = 1 /cos^2(x)和d/dx(cot(x)) = -1 / sin^2(x)。
6.反三角函数导数法则：（1）反正弦函数的导数为d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
（2）反余弦函数的导数为d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
（3）反正切函数的导数为d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
导数公式大全
导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。
在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。
下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。
（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。
（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。
（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。
（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
导数计算公式
导数计算公式导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。
计算导数有多种方法，下面将详细解释常见的导数计算公式。
1.函数的导数定义：函数f(x)在其中一点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2.基本导数公式：(1)常数函数：f(x)=c(c为常数)，导数f'(x)=0(2)幂函数：f(x)=x^n，导数f'(x)=n*x^(n-1)(3) 指数函数：f(x) = a^x (a大于0且不等于1)，导数 f'(x) =ln(a) * a^x(4) 对数函数：f(x) = ln(x)，导数 f'(x) = 1 / x(5)三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数 f'(x) = cos(x)余弦函数：f(x) = cos(x)，导数 f'(x) = -sin(x)正切函数：f(x) = tan(x)，导数 f'(x) = 1 / cos^2(x) = sec^2(x) (6)反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数f'(x) = 1 / √(1-x^2)反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数 f'(x) = -1 / √(1-x^2)反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数 f'(x) = 1 / (1+x^2)(7) 指数函数与对数函数复合：f(x) = a^x，导数 f'(x) = a^x *ln(a)3.导数的四则运算法则：(1)和差法则：若f(x)和g(x)分别是可导函数，那么(f+g)'=f'(x)+g'(x)，(f-g)'=f'(x)-g'(x)(2)乘法法则：若f(x)和g(x)分别是可导函数，那么(f*g)'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)(3)商法则：若f(x)和g(x)分别是可导函数且g(x)不等于0，那么(f/g)'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^24.链式法则：(1)如果y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，那么复合函数F(x)=f(g(x))的导数为F'(x)=f'(g(x))*g'(x)5.高阶导数：(1)二阶导数：f''(x)=(f'(x))'(2)n阶导数：f^n(x)=(f^(n-1)(x))'(n为正整数)总结起来，导数计算的公式和法则包括函数的导数定义、基本导数公式（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）、导数的四则运算法则、链式法则以及高阶导数的计算公式。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。
导数公式和导数的运算法则是使用导数进行计算和推导的基本工具。
下面将介绍导数的定义、导数公式以及导数的运算法则。
一、导数的定义对于给定的函数y=f(x)，在其中一点x=a处的导数定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，lim表示极限，h为x在a点的增量。
该定义表明导数表示函数在其中一点处的斜率或变化率。
二、导数的主要公式1.常数的导数公式如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
指数函数e^x的导数仍然是e^x。
4.对数函数的导数公式如果f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- sin函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)，其中sec^2表示secant的平方。
6.反三角函数的导数公式- arcsin函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数具有一些基本的运算法则，可以用于计算复杂函数的导数。
1.常数乘以函数的导数法则如果f(x)的导数是f'(x)，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化率的工具。
它在求解函数的最值、判断函数的增减性和曲线的弧长等方面有广泛的应用。
在微积分中，导数的基本公式和运算法则是必须掌握的基本内容。
本文将就导数的基本公式和运算法则进行详细介绍。
1.基本函数的导数公式(1)常数函数的导数：f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
(2) 幂函数的导数：f(x) = x^n，其中n为整数，则f'(x) =nx^(n-1)。
(3) 指数函数的导数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x) =ln(a) * a^x。
(4) 对数函数的导数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
(5)三角函数的导数：① f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
② f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
③ f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数的导数：① f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / √(1-x^2)。
② f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / √(1-x^2)。
③ f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1+x^2)。
2.导数的四则运算公式设函数f(x)和g(x)可导，常数k为实数，则有以下四则运算法则：(1)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
(2)乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
(3)除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)(其中g(x)≠0)。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。
导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。
本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。
2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。
4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。
5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。
二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。
2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。
3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。
4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。
5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。
导数公式及其运算法则
导数公式及其运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。
导数的公式及其运算法则包括如下几类：基本导数公式、常数倍法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则和链式法则。
一、基本导数公式：1.常数函数：对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0。
例如，f(x)=7的导数为f'(x)=0。
2.幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是任意实数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，f(x)=x^3的导数为f'(x)=3*x^23. 指数函数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，f(x) = 2^x 的导数为 f'(x) = ln(2)*2^x。
4. 对数函数：对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，f(x) = log_2(x)的导数为 f'(x) = 1/(x*ln(2))。
5. 三角函数：对于三角函数 f(x) = sin(x)，其导数为 f'(x) =cos(x)。
同样地，cos(x) 的导数为 -sin(x)，tan(x) 的导数为sec^2(x)，cot(x) 的导数为 -csc^2(x)。
二、常数倍法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，c 是常数，则 (cf(x))' =cf'(x)。
三、和差法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
四、乘法法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
高中数学导数公式及导数的运算法则
高中数学导数公式及导数的运算法则一、导数的定义导数是函数变化速率的一种描述方式，用函数f(x)在点x处的变化率来近似表示。
导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x处有定义，如果当自变量x自小于且无限接近于x时，函数值的变化量Δy始终与自变量的变化量Δx之比近似为一个定值，即lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx这个极限值称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以写成dy/dx。
二、常见函数的导数公式1.幂函数的导数若y = xⁿ，n为常数，则y' = nxⁿ⁻¹。
2.反函数的导数若y=f⁻¹(x)，则y'=1/f'(f⁻¹(x))。
3.指数函数的导数若y = aˣ，a > 0，a ≠ 1，则y' = (lna) * aˣ。
4.对数函数的导数(a) 若y = logₐ(x)，a > 0，且a ≠ 1，则y' = 1/(xlna)。
(b) 若y = ln(x)，则y' = 1/x。
5.指数对数函数的导数(a) 若y = aˣ(x > 0)，则y' = aˣ(lna)。
(b) 若y = logₐx(a > 0，且a ≠ 1)，则y' = 1/(xlna)。
(c) 若y = ln，x，则y' = 1/x。
6.三角函数的导数(1) 若y = sinx，则y' = cosx。
(2) 若y = cosx，则y' = -sinx。
(3) 若y = tanx，则y' = sec²x。
1.基本运算法则(a)常数乘积法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。
(b)和差法则：[f(x)±g(x)]的导数是f'(x)±g'(x)。
(c)常数倍数法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。
常用导数公式及运算
常用导数公式及运算导数公式及运算是微积分的基础，对于研究函数的性质和求解实际问题具有重要作用。
下面将介绍一些常用的导数公式以及其运算。
1.常数函数的导数对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0，即dy/dx = 0。
2.幂函数的导数若y = x^n，其中n为实数，其导数可以通过幂函数的定义和求导法则求解。
根据求导法则，对于y = x^n，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
特殊情况下，我们可以得到以下幂函数的导数公式：- y = x，导数为1，即dy/dx = 1；- y = x^0，导数为0，即dy/dx = 0；- y = x^1/n，则其导数为dy/dx = (1/n)x^(1/n-1)。
3.指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是相互逆的函数。
若y = a^x，其中a为正常数且a ≠ 1，其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。
对数函数的导数为dy/dx = 1/(x * ln(a))。
4.三角函数的导数- y = sin(x)的导数为dy/dx = cos(x)。
- y = cos(x)的导数为dy/dx = -sin(x)。
- y = tan(x)的导数为dy/dx = sec^2(x)。
- y = cot(x)的导数为dy/dx = -csc^2(x)。
- y = sec(x)的导数为dy/dx = sec(x) * tan(x)。
- y = csc(x)的导数为dy/dx = -csc(x) * cot(x)。
5.反三角函数的导数- y = arcsin(x)的导数为dy/dx = 1/√(1-x^2)。
- y = arccos(x)的导数为dy/dx = -1/√(1-x^2)。
- y = arctan(x)的导数为dy/dx = 1/(1+x^2)。
- y = arccot(x)的导数为dy/dx = -1/(1+x^2)。
- y = arcsec(x)的导数为dy/dx = 1/(x * √(x^2-1))。
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(4) y 2x x 2 sin x 2 ( 5) y xa a x a a
(6) y xtanx - cscx xsinx (7) y 1 tanx 1 - lnx ( 8) y 1 lnx
例11 求下列函数的导数
(1) y sec x
解
y (sec x ) (
sec x tan x .
(cos x ) sin x cos 2 x cos 2 x
同理可得
1 ) cos x
(csc x ) csc x cot x .
sin x ( 2) y tan x 解 y (tan x ) ( ) cos x (sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x sin2 x 1 2 sec x 2 2 2 cos x cos x cos x
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
( 2) [ fi ( x )] f1 ( x )f 2 ( x )fn ( x )
i 1
i 1 n i 1
n
n
( x) f1 ( x )f 2 ( x )fn 1 1 ( 3) ( ) 2 g( x) g(x) g ( x)
且有 1 ( y ) . f ( x )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 给y以增量y
( y 0 )
由y f ( x )的单调性可知
于是有
x 0,
x 1 , y y x
( y )连续, 又知 f ( x) 0
x 0 ( y 0),
二、计算下列各函数的导数：
10 x 1 1 1、 y ；2、 y x ； 2 10 1 1 x x 1 t 2 csc x 3、 y ； 4、 f ( x ) ,求 f ( 4) ； 2 1 t 1 x x a b a b x 5、 y (a 0, b 0) . b x a
二、导数运算与导数公式
1. 和、差、积、商的求导法则
2. 反函数的导数
3. 导数的基本公式
1.和、差、积、商的求导法则
性质3.4
设f(x),g(x)在x点可导,则
(1) [Cf(x)] Cf x ( 2) [f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ); ( 3) [f ( x ) g( x )] f ( x )g( x ) f ( x )g( x ); f ( x) f ( x )g( x ) f ( x )g( x ) ( 4) [ ] (g( x ) 0). 2 g( x ) g ( x)
且 (sin y ) cos y 0,
在 x ( 1,1)内有
1 1 1 1 (arcsin x ) ) . 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x
同理可得
(arccos x )
1 ; 2 1 x
1 1 x
2
.
(arctan x )
x 1 1 ( y ) lim lim y 0 y x 0 y f ( x ) x 1 即 ( y ) . f ( x)
例13 求函数 y arcsin x 的导数. 解
x sin y在 y ( , )内单调、可导, 2 2
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得
(a 0, a 1)
解:
ln x 1 1 (log a x ) ( ) (ln x ) ln a ln a x ln a
例12 求下列函数的导数
2 三、求抛物线 y ax bx c 上具有水平切线的点.
1 x 四、写出曲线 y x 与 轴交点处的切线方程. x
练习题答案
2 sin x x x 一、1、 x ( cos x ) ；2、3a ln a e 2 ； 2x x 3 sec x ( 2 sec x tan x ) 2 3、 ； 4 、 ；5、 ；6、 . 25 4 1 2x 10 x 2 ln 10 二、1、 ； 2、 ； 2 2 x 2 (1 x x ) (10 1) 1 2 csc x[(1 x 2 ) cot x 2 x ] 3、 ； 4、 ； 2 2 18 (1 x ) a x b a x b a ab ). 5、( ) ( ) ( ) (ln b x a b x 2 b b 4ac ). 三、( , 2a 4a 2x y 2 0 2x y 2 0 四、 和 .
思考题
99 g ( x ) f ( x) ( x 1) g ( x) 设 在x=1处连续，
且 g(1)=5 ,求 f ' (1) .
练 习 题
一 、 填 空 题 ： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 dy x x 2、 设 y 3a e ， 则 =__________. x dx dy x 2 y e ( x 3 x 1 ) 3、 设 ,则 = __________. dx x 0 y 2 tan x sec x 1 4、 设 ,则 y =_________. 3 x2 5、 设 y f (x ) ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 x 0 6 、 曲 线 y sin x 在 处 的 切 线与 x 轴 正 向 2 的 夹 角 为 _________.
注意:
[u( x ) v ( x )] u( x )v( x );
u( x ) u ( x ) [ ] . v( x ) v ( x )
2.反函数的导数
性质3.5 如果函数 y f ( x)在(a, b )内严格单调、可导 则它有反函数x ( y ),当f ( x ) 0 时, x ( y )可导,
1 ( arccot x ) . 2 1 x
例14 求下列函数的导数
tanx (1) y 33 x arctan x x sinx ( 2) y secx tanx - 2x arcsinx
例15 设(y)为单调连续函数 f(x)的反函数, 且 f(1) 2, f (1) - 3, 求( 2)