【人教版】新编七年级下册数学导学案第9章 不等式及不等式组 学案
《不等式的性质》教学设计
3.你觉得在做题过程中应注意哪些问题？
学生自己小结，自由发言谈本节课的感受与收获，最后老师强调补充
通过小节使学生对本节课内容进行系统掌握，明了重难点
巩固练习
1.判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”
(1)不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（）
(2)若a＜b，则a＋c＜b＋c.（）
D．a≤0
例3：
（1）两边都乘,得
（2），两边都乘15，得
（3），则
a-4,根据
（4）若，则c0,
根据
学生在练习本上做相应例题，并回答
回答时说明原因理由，解释清楚根据
通过反馈校正检验学生对不等式的性质2和不等式的性质3的掌握情况，纠正并及时强调学生出现的错误，做到查漏补缺
课堂小结
1.本节课你都有哪些收获？
符号指的是正、负号
思考问题，并回答，重点标记该结论
重点强调这两点并让学生重点标记，避免学生在表达和做题过程中出错
反馈校正
例1：将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式,并在数轴上表示：
（1）－2x＞3;
（2）3x＜－9.
例2：若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为（）
A．a＞０
B．ａ＜０
C．ａ≥0
教学设计
课题名称
9.1.2不等式的性质
教材
内容分析（课程标准要求）
《不等式的性质》是人教版初中数学教材七年级下册第9章第1节内容。在此之前学生已学习了等式的基本性质，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。根据《课程标准要求》不等式是初中代数的重要内容之一，是已知量与未知量的矛盾统一体。数学关系中的相等与不等是事物运动和平衡的反映，学习研究数量的不等关系，可以更好地认识和掌握事物运动变化的规律。“不等式的性质”是学生学习整个不等式知识的理论基础，为以后学习解不等式（组）起到奠基的作用。
第9章 不等式及不等式组 学案
课题：9.1.1不等式及其解集【学习目标】1．了解不等式、一元一次不等式等概念． 2．初步学会在数轴上表示不等式的解集． 【活动方案】活动一 了解不等式、一元一次不等式等概念阅读课本P 121至倒数第二行，画出不等式的概念，并在关键词下做上记号，依照不等式的概念完成下列问题：1．自己举出五个不等式:2．用不等式表示:(1)a 是正数； (2)a 是非负数；(3)a 与4的和不大于2； (4)a 的一半小于4．小组交流：从符号上看，不等式的形式有何特征． 活动二 初步学会在数轴上表示不等式的解集阅读课本P 121-123，画出不等式的解及解集的概念，并完成下列问题： 1．下列哪些数值是不等式x 2＜8的解？哪些不是？ －1 5 3.9 4.1 －3 4 －22．把不等式x 2＜8的解集在数轴上表示出来．小组交流：在(2)中，数轴上表示4的点画空心圈,表示什么意思?【检测反馈】1．下列数值哪些是不等式63>+x 的解？哪些不是？ －4 －2.5 0 1 2.5 3 52．用不等式表示：（1）a是负数（2）a与2的差小于－1 （3）a的4倍大于8 （4）a的一半小于33．直接写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来．（1）x+3＜5 (2) 2x＞8 (3) x-2＞0课题：9.1.2不等式的性质⑴【学习目标】1．通过对比等式的基本性质，认识不等式的基本性质； 2．学会初步运用不等式的性质．【活动方案】活动一 回顾等式的基本性质，认识不等式的基本性质阅读课本P 123-124，完成课本中思考的空格，画出不等式的三个基本性质，并在关键词下做上记号．依照不等式的性质完成下列问题： 设m ＞n 用“＞”或“＜”填空：(1)5__5m n --； (2)4___4m n ++； (3)6___6m n ； (4)11__33m n --； (5)32___32m n ----.小组交流：先比较性质2与性质3有什么不同，再比较等式的性质与不等式的性质，它们有什么联系?活动二 会用不等式的基本性质解简单的不等式阅读课本P 125-126，完成例题1中，第(2)，(4)题的空格．依照例题1的解题方法和格式完成下题：用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．(1) x ＋5＞－1 (2) 4x ＜3x －5 (3) 2x －4＞0 (4)－31x ＋2＞5小组交流：1．不等式的解集如何在数轴上表示？2．解不等式时，每一步要注意什么？【检测反馈】1．利用不等式的性质，填”＞”,＜”．(1)若a ＞b ,则a －1 b －1; (2)若a ＞b ,则2a ＋1 2b ＋1;(3)若a＞b,则－2a＋8 －2b＋8;(4)若－1.25y＜10,则y－8;2．用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．(1) x＋2＜6 (2) －2x＞－6课题：9.1.2不等式的性质⑵【学习目标】1．复习不等式的基本性质．2．会用“移项”，“未知数系数化为1”解简单的不等式. 【活动方案】活动一 复习不等式的基本性质 用不等号填空：若a b >，则1．2___2a b ++；2．___a b --；3．2___2a b -+-+；4．___0a b -. 小组交流：运用了哪些不等式的性质？活动二 会用“移项”，“未知数系数化为1”解简单的不等式再看课本P 125例1中(2)(4)小题的解题，画出含有“移项”,“ 未知数系数化1”方法的语句，并在关键字下做上记号．再利用此方法解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： 1．726x ->； 2．321x x <+； 3．2503x >； 4．43x ->.小组交流：1．在黑板上展示答案2．“移项”,“ 未知数系数化为1”的依据分别是什么？注意点分别是什么？【检测反馈】解下列不等式，并在数轴上表示解集：1．51x +>-； 2．435x x <-；13．-8x＞10；4．－x＋2＞5．3课题：9.1.2不等式的性质⑶【学习目标】1．知道像a ≥b 或a ≤b 或a ≠b 这样的不等式，也常用来表示两个数量的大小关系； 2．会用a ≥b 或a ≤b 这样的不等式表示实际问题中的不等关系； 3．会用不等式的性质变形得出等价的新结论. 【活动方案】活动一 知道像a ≥b 或a ≤b 或a ≠b 这样的不等式，也常用来表示两个数量的大小关系 1．2009年12月18日南通的最低气温是-4℃，最高气温是4℃，若t 表示温度，请你用不等式表示这一天的温度.2．某长方体形状的容器长5cm ，宽3cm ，高10cm ，容器内原有水的高度为3cm ，现准备向它继续注水，用V cm 3表示新注入水的体积，写出V cm 3的取值范围，并且在数轴上表示.小组交流：将不等式的解集在数轴上表示时，空心圆圈与实心圆圈各表示什么意思？活动二 会用不等式的性质变形得出等价的新结论例：三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？小组交流：在三角形ABC 中，边AB 、AC 的长分别是2和5，求边BC 的取值范围？【检测反馈】1．用不等式表示下列语句：（1）x 的3倍大于或等于1 （2）x 与3的和不小于6 （3）y 与1的差不大于0abc（4）y的2倍小于或等于－22．解不等式x＋3≤6，并在数轴上表示解集：3．小明就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始．小明家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小明上午几点从家里出发才能保证不迟到？课题：9.2实际问题与一元一次不等式⑴【学习目标】1．能根据具体问题中的数量关系，列一元一次不等式，解决实际问题；2．知道解一元一次不等式的步骤，会解一元一次不等式．【活动方案】活动一会用一元一次不等式描述实际问题中的不等关系甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。
2020-2021学年七年级数学人教版下册《9.3一元一次不等式组的整数解》专题突破训练(附答案)
2021年度人教版七年级数学下册《9.3一元一次不等式组的整数解》专题突破训练（附答案）1．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，且（a+2）x＜1的解集为x＞，则a可取（）个整数．A．3B．2C．1D．02．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．4C．6D．13．若关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b 组成的有序数对（a，b）共（）个．A．3B．4C．5D．64．不等式组的最小整数解是（）A．5B．0C．﹣1D．﹣25．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（）A．﹣5＜a＜﹣4B．a＜﹣4C．﹣5≤a＜﹣4D．﹣5＜a＜6．求不等式组的最大整数解为（）A．0B．﹣1C．1D．﹣27．当3≤5﹣3x＜9时，不等式组的非负整数解为（）A．3B．2C．1D．08．若关于x的不等式仅有四个整数解，则a的取值范围是（）A．1≤a≤2B．1≤a＜2C．1＜a＜2D．a＜29．不等式组的整数解的个数为（）A．2B．3C．4D．510．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜﹣3，则m的取值范围是．11．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是．12．不等式组的正整数解为．13．不等式组的最小整数解是．14．不等式组的负整数解是．15．不等式组的所有整数解的和是．16．把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有本．17．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围是．18．不等式组的非负整数解的个数是．19．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是．20．对于任意实数p、q，定义一种运算p※q＝p﹣q+pq﹣2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：4※5＝4﹣5+4×5﹣2＝17．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有5个整数解，则m的取值范围是．21．若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m的取值范围是．22．求关于x的不等式组的所有整数解之和．23．解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解．24．解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和．25．已知关于x的不等式组．（1）如果这个不等式组无解，求k的取值范围；（2）如果这个不等式组有解，求k的取值范围；（3）如果这个不等式组恰好有2021个整数解，求k的取值范围．26．解不等式组，并写出其所有的整数解．27．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，求实数a的取值范围．参考答案1．解：解不等式组，解不等式①得x≥a+2，解不等式②得x＜3，∵原不等式只有3个整数解∴这3个整数解分别为2，1，0﹣1＜a+2≤0∴﹣3＜a≤﹣2，∵（a+2）x＜1的解集为x＞，∴a+2＜0，∴a＜﹣2，∴满足所有条件的a的取值范围是﹣3＜a＜﹣2，∴a一个整数也取不到，故选：D．2．解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得到﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．3．解：，由①得：x≥，由②得：x≤，不等式组的解集为：≤x≤，∵整数解仅有1，2，，∴0＜≤1，2≤＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6，∴a＝1，2，3，b＝4，5，∴整数a，b组成的有序数对（a，b）有（1，4），（2，4），（3，4），（1，5），（2，5），（3，5）共6个，故选：D．4．解：解不等式x+3＞1，得：x＞﹣2，解不等式x﹣1≤4，得：x≤5，故不等式组的解集为：﹣2＜x≤5，则该不等式组的最小整数解为：﹣1，故选：C．5．解：不等式组整理得：，解得：a＜x＜，由不等式组的整数解共有6个，得到整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，则a的范围为﹣5≤a＜﹣4．故选：C．6．解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＜﹣，∴不等式组的解集为x＜﹣，则其最大整数解为﹣2，故选：D．7．解：由3≤5﹣3x＜9解得，﹣＜x≤，方程组，解①得：x＜2，解②得x＜4．则不等式组的解集是x＜2．故非负整数解是0，故选：D．8．解：，解①得：x＞a﹣1，解②得：x≤4，则不等式组的解集是：a﹣1＜x≤4．不等式组有四个整数解，则是1，2，3，4．则0≤a﹣1＜1．解得：1≤a＜2．故选：B．9．解：，由①得：x＞﹣1，由②得：x≤4，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，则不等式组的整数解为：0，1，2，3，4共5个，故选：D．10．解：解不等式2x﹣1＞3x+2，得：x＜﹣3，∵不等式组的解集是x＜﹣3，∴m≥﹣3．故答案为m≥﹣3．11．解：由2x﹣1＜4得x＜，由x﹣m＞0得x＞m，则不等式组的解集是m＜x＜．不等式组有2个整数解，则整数解是1，2．则0≤m＜1．故答案是：0≤m＜1．12．解：，解①得x＜2，解②得x≥﹣1，故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故不等式组的正整数解为1．故答案为1．13．解：，解①得x＞2，解②得x≥﹣1，则不等式的解集是x＞2．则最小整数解是3．故答案为3．14．解：解不等式3x≤x+2得，x≤1，解不等式x+7＞﹣4x﹣3得，x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，∴负整数解为﹣1，故答案为﹣1．15．解：，由①得：x≤3，由②得：x＞1，∴1＜x≤3，则所有整数解为2，3，之和为5，故答案为5．16．解：设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，依题意得：，解得：5＜x＜6，又∵x为正整数，∴x＝6，∴3x+8＝26．故答案为：26．17．解：解不等式3x+m＜0，得：x＜﹣，∵x＞﹣5，∴不等式组的解集为﹣5＜x＜﹣，∵不等式的所有整数解的和为﹣9，∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3、﹣2或﹣4、﹣3、﹣2，﹣1，0，1，则﹣2＜﹣≤﹣1或1＜﹣≤2，解得3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3，故答案为：3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3．18．解：，解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得x≤3，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3，非负整数解为0，1，2，3共4个，故答案为4．19．解：不等式组整理得：，解得：a≤x≤2，由不等式组的整数解共有3个，得到整数解为0，1，2，则a的范围为﹣1＜a≤0．故答案为：﹣1＜a≤0．20．解：∵，∴，解不等式①得：x＜4，解不等式②得：x≥，∴不等式组的解集是≤x＜4，∵不等式组有5个整数解，∴﹣2＜≤﹣1，解得：﹣6.5＜m≤﹣4.5，故答案为：﹣6.5＜m≤﹣4.5．21．解：解不等式组得：m＜x≤6，∵所有整数解的和是15，15＝6+5+4，∴x＝6，5，4，因此不等式组的整数解为①6，5，4，或②6，5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，∴3≤m＜4或﹣4≤m＜﹣3；故答案为：3≤m＜4或﹣4≤m＜﹣3．22．解：，解不等式①得，x＜3，解不等式②得，x≥1，所以，不等式组的解集是1≤x＜3，所以，不等式组的整数解有1、2，它们的和为1+2＝3．23．解：，解不等式①得x＜3，解不等式②得x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，数轴表示为：整数解为：0，1，2．24．解：，由①得：x≤8，由②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤8，∴x的最小整数为﹣2，最大整数为8，∴x的最小整数解与最大整数解的和为6．25．解：（1）根据题意得：﹣1≥1﹣k，解得：k≥2．（2）根据题意得：﹣1＜1﹣k，解得：k＜2．（3）∵不等式恰好有2021个整数解，∴﹣1＜x＜2021，∴2020≤1﹣k＜2021，解得：﹣2020＜k≤﹣2019．26．解：，解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤﹣1，所以不等式组的解集为：﹣4＜x≤﹣1．∴不等式组的整数解有﹣3，﹣2，﹣1．27．解：，由不等式①，得x＞2，由不等式②，得x＜，∴该不等式组的解集是2＜x＜，∵关于x的不等式组有且只有四个整数解，∴6＜≤7，解得，18＜a≤21。
9_1_1 不等式及其解集(优质学案)
学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学七年级下册 9.1.1 不等式及其解集 导学案一、学习目标：1. 了解不等式及其解的概念；2. 学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的思想；3. 理解不等式的解集及解不等式的意义．重点：会用不等式表示简单问题的数量关系，把不等式的解集正确的表示到数轴上.难点：理解不等式解集的意义. 二、学习过程： 自主学习一问题 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50km ，要在12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？ 分析：设车速是 x km/h.从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50km 所用的时间不到____h ，即 _______ ①从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶32h 的路程要超过____km ，即 __________ ②【归纳】________________________________________________________，叫做不等式.(1)像a+2≠a-2这样用符号“______”表示不等关系的式子也是不等式. (2)不等式中可以含未知数，也可以不含未知数.例如：a+2＞5，4b ＜6；3＜4，-1＞-2.(3)“_____”读作“大于或等于”或“不小于”“______”读作“小于或等于”或“不大于” 用不等号填空：大于( ) 小于( ) 不大于( ) 不小于( )学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________不超过( ) 至多( ) 至少( ) 正数( ) 负数( ) 非负数( ) 非正数( ) …… 典例解析例1.下列式子：①3>0；②4x +5>0；③x <3；④x 2+x ；⑤x =−4；⑥x +2>x +1，其中不等式有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【针对练习】判断下列式子是不是不等式：（1）-3>0; （2）4x+3y<0； （3）x=3; （4） x 2+xy+y 2； （5）x ≠5; （6）x+2>y+5.例2.根据下列数量关系列不等式： (1)x 的7倍减去1是正数． (2)y 的13与13的和不大于0．(3)正数a 与1的和的算术平方根大于1． (4)y 的20%不小于1与y 的和．【针对练习】用不等式表示：(1) a 是正数；______ (2) a 是负数；______(3) a 与5的和小于7；_________ (4) a 与2的差大于-1；_________ (5) a 的4倍大于8；_________ (6) a 的一半小于3. _________ 自主学习二对于不等式5032>x ，当x ＝80时，5032>x ；当x ＝78时，5032>x ；当x＝75时，5032=x ；当x ＝72时，5032<x .当x 取某些值(如80，78)时，不等式5032>x 成立；当x 取某些值(如75，72)时不等式5032>x 不成立.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【归纳】____________________________________________叫做不等式的解. 思考：除了80和78，不等式5032 x 还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？【归纳】____________________________________________________，组成这个不等式的解集.________________________________叫做解不等式. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系典例解析例3.下列各数中，哪些是不等式x ＋2＜4的解？哪些不是？－3，－1，0，1，32，2，52，3，4.【针对练习】下列数中哪些是不等式x +3＞6的解，哪些不是？-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例4.把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x ≥－3； (2)x ＞－1； (3)x ≤3； (4)x<－32.【针对练习】将下列不等式的解集在数轴上表示出来：① x ＜－1； ②x ＜－2； ③x ＞0； ④x ＜－52.【总结提升】解集的表示方法：第一种:___________________________________________________________.第二种: ___________________________________________________________. 用数轴表示不等式的解集的步骤:第一步:____________；第二步:____________；第三步:____________. 达标检测1.在下列式子中:①5<7；②2x>3；③a ≠0；④x ≥-5；⑤3x-1；⑥x2≤3；⑦x=3，其中是不等式的有( )A.3个B.4个C.5个D. 6个 2. x 与3的和的一半是负数，用不等式表示为( )A.12x+3>0 B. 12x+3<0 C. 12(x+3)>0 D. 12(x+3)<0 3.在数值-2，-1，0，1，2中，能使不等式x+3>2成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 4.下列说法错误的是( )A.1不是x ≥2的解B.不等式x+3>3的解集是x>0C.0是x<13的一个解 D. x=6是x-7<0的解集学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5.如图表示不等式的解集为________.6.方程2x=10的解有____个，不等式2x<10的解有______个，不等式2x<10的解集是_______.7.满足x ≤3.5的非负整数解是_____________.8.某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是__________mg.9.用不等式表示下列关系:(1) x 的2倍与6的差小于3; __________ (2) x 的平方不小于5; _________(3) x 的13与x 的2倍的和是非负数; ___________ (4) a 与4的和的30%小于7; ______________ (5) x 除以2的商加上2，至多为5; __________ (6) a 与b 两数和的平方大于10. ______________ 10.把下列不等式的解集在数轴上表示出来.(1) x>-3； (2) x ≤4； (3) x<3.5.11.根据下列语句写出不等式:(1)火车提速后，时速(v)最高可达300km/h; ______________ (2)某班学生中身高(h)最高的为1.84m; ______________(3)小明今天锻炼身体花了tmin,他每天锻炼身体的时间不少于30min; (4)某校男子跳高纪录是1.75m ，在今年的校田径运动会上，小明的跳高成绩是hm,打破了该校男子跳高纪录. ______________学习笔记记录区___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________。
高中数学 第二章 等式与不等式学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
人教版初中数学七年级下册9.1.1《不等式及其解集》教案
明确验证解的方法,引入不等式的解集概念
解析:解集是个范围
例3 下列说法中正确的是( )
A.x=3是不是不等式2x>1的解
B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解;
C.x=3不是不等式2x>1的解;
D.x=3是不等式2x>1的解集
注意:1.实心点表示包括这个点,空心点表示不包括这个点
例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是?
-3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5
解:略.
练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个.
2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数?
情境导入
导出新知
一.问题探知
两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏．现在换了一个胖子上去，跷跷板发生了倾斜，这个游戏还能继续下去吗？
某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植 树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？
含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.
分析不等关系,渗透不等式的列法
2.不等式解集的表示方法
例4 在数轴上表示下列不等式的解集
(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1
分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答
解:
学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反:
七年级数学下册 一元一次不等式组复习学案 湘教版
第一章一元一次不等式组一、记忆学习1、把含有相同的合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
2、一元一次不等式组中的几个一元一次不等式的解集的____________,叫做这个一元一次不等式组的解集。
3、把求不等式组的解集的________，叫做解不等式组。
4、解一元一次不等式组的过程（一般步骤）：第一步：____________________________________；第二步：____________________________________；第三步：____________________________________。
5、确定一元一次不等式组的解集的口诀：6_____________________________________________________________二、例题练习（一）填空：1、列不等式组表示X与2的差是负数，X与6的和不小于2___________________.2、不等式组 x＞3x＜7 的解集是___________________.3、不等式组 x＞2x＞a 的解集是x＞2,则a的取值是___________________.4、不等式组 x＞a (a≠b) 的解集是空集，那么a与b的大小关系为x＜b ___________________.5、不等式组 x＞-2x≤2 的整数解是___________________.6、不等式组 3 x-1＞82x+3＞1 的解集是___________________.7、满足3≤2x-5＜9的整数解为___________________.8、若3x-1与2x+3的值的符号相同，则x 的取值范围是___________________.（二）、解下列不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-2243)1(574x x x x ⎩⎨⎧+<<+323312x x x⎩⎨⎧≤-<-0123105x x ⎩⎨⎧-<+<+34635x x x（三）、综合拓展题1、若X 的方程3X+2m-1=5X+9的解不大于3且大于0，求的m 取值范围。
七年级数学下册一元一次不等式组学案导学案2
一元一次不等式组（学案2）〔学习目标〕进一步熟练一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题。
〔重点难点〕重点用一元一次不等式组解决有关的实际问题；难点正确分析实际问题中的不等关系。
〔教学过程〕一、复习旧知，铺垫新知1.解不等式3215x ≤-≤，并在数轴上表示出来。
2. 解不等式组293(1)3x x +>⎧⎨-->⎩，并在数轴上表示出来。
二．自学例1 3 个小组计划在10天内生产500件产品（每天产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务。
每个小组原先每天生产多少件产品？分析：“不能完成任务”的数量含义是什么？“提前完成任务”的数量含义是什么？ 解：设每个小组原先每天生产件x 产品。
依题意，得这个不等式的解集为思考：到此你能知道每个小组原先每天生产多少件产品吗？为什么？三．课堂练一练1. 使两个代数式23x +与21x -+的值都是正数的范围是（ ）A ．12x >-B ．32x >-C ．3122x -<< D ．以上均不对 2．下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：3(1)152(1)5(21)6x x x x x x -+--⎧⎨---⎩ 3(2)4564x x x x--≥⎧⎨+-⎩3．数式2131--x 的值不大于321x -的值，求x 的范围四、当堂检测1.不等式253(1)2x x <⎧⎨+>⎩的整数解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2、方程组⎩⎨⎧-=+=-323a y x y x 的解为负数，求a 的范围3 .解下列不等式组 ①⎪⎩⎪⎨⎧--≤--x x x x 14214)23( ②⎪⎩⎪⎨⎧-≥--+356634)1(513x x x x4一个两位数，它的个位数比十位数字大2，若这个两位数大于30且小于50，求这个两位数。
5某商品的售价是150元，商家售出一件这种商品可获利润是进价的10%-------20%，利润的范围是多少？进价的范围是多少？仔细读一读1、列一元一次不等式组解应用题与列一元一次不等式解应用题的思想和步骤是一样的，不同的是前者列出的是两个不等式，而后者列出的是一个不等式。
名师学案七年级下册数学电子版2021
名师学案七年级下册数学电子版20215.1 相交线5.1.1 相交线5.1.2 垂线5.1.2 垂线-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】5.1.3 同位角、内错角、同旁内角5.1.3 同位角、内错角、同旁内角-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线5.2.1 平行线-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.2.2 平行线的判定5.2.2 平行线的判定-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质5.3.1 平行线的性质-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.3.2 命题、定理、证明5.3.2 命题、定理、证明-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.4 平移5.4 平移-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试进阶测评(一) [5. 1～5.2]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版进阶测评(二) [5. 3～5.4]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第六章实数6.1 平方根6.1.1 算术平方根-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.1.2 平方根-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版进阶测评(三) [6. 1～6.2]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.2 立方根6.2 立方根-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.3 实数6.3.1 实数的概念-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.3.2 实数的运算-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试第6章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（2）实数-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(二) 实数-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第6章变式专题算术平方根与面积问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第6章易错(混)专題开方运算及无理数判断中的易错题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第6章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第七章平面直角坐标系7.1 平面直角坐标系7.1.1 有序数对7.1.1 有序数对-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版7.1.2 平面直角坐标系7.1.2 平面直角坐标系-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版7.2 坐标方法的简单应用7.2.1 用坐标表示地理位置7.2.1 用坐标表示地理位置-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版7.2.2 用坐标表示平移7.2.2 用坐标表示平移-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试第7章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（3）平面直角坐标系-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(三) 平面直角坐标系-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第7章方法专题平面直角坐标系中与几何圜形的面积有关的计算-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第7章拓展专题平面直角坐标系中点的坐标规律探究-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第7章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（4）与平面直角坐标系有关的问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.1 二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版进阶测评(四) [8. 1～8.3]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.2 消元——解二元一次方程组8.2.1 用代入消元法解二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.2.2 用加减消元法解二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.3 实际问题与二元一次方程组8.3.1 实际问题与二元一次方程组（一）-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.3.2 实际问题与二元一次方程组（二）-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版*8.4 三元一次方程组的解法8.4 三元一次方程组的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试期末复习（4）二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版【免费】第8章变式专题行程问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章方法专题解含参数的二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章基础专题二元一次方程组的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章突破专题二元一次方程组的运用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(四) 二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第九章不等式与不等式组9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集9.1.1 不等式及其解集-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.1.2 等式的性质9.1.2 不等式的性质-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.2 一元一次不等式9.2.1 一元一次不等式的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.2.2 一元一次不等式的应用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.3 一元一次不等式组9.3 一元一次不等式组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试第9章方法专题不等式(组)与参数-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（5）不等式与不等式组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第9章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第9章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第9章基础专题一元一次不等式(组)的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(五) 不等式与不等式组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查10.1.1 全面调查-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版10.1.2 抽样调查-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版10.2 直方图10.2 直方图-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版103 课题学习从数据谈节水10.3 课题学习从数据谈节水-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试备考集训(六) 数据的收集、整理与描述-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第10章基础专题从图表中获取信息-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（6）数据的收集、整理与描述-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第10章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第10章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版综合复习与测试七年级第一次月考试题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版七年级第二次月考试题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（1）平行线的性质与判定的应用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期中学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（2）拐点问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（3）方程组与不等式(组)的应用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版。
权方和不等式(含柯西不等式的应用)(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)备战2025年高考数学一轮复习学案
第06讲 权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)≥|ac +bd |(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)(2)≥|ac |+|bd |(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)(3) (a +b )(c +d )≥(a ,b ,c ,d ≥0, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)3.扩展： a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2二、权方和不等式:若 ,,,0a b x y > 则 222()a b a b x y x y ++³+ 当且仅当 a bx y= 时取等.(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设 1212,,,,,,,n n x x x R y y y R ++ÎÎL L ,若 0m > 或 1m <-, 则 ()()111112121212m m m m n n m m m mn n x x x x x x y y y y y y ++++++++++³+++L L L ;若 10m -<<, 则 ()()111112121212m m m m n n m m m mn n x x x x x x y y y y y y ++++++++++£+++L L L ;上述两个不等式中的等号当且仅当312123n nx x x x y y y y ====L 时取等注意观察这个不等式的结构特征, 分子分母均为正数, 且始终要求分子的次数比分母的次数多 1, 出现定值是解题的关键, 特别的, 高考题中以 1m = 最为常见, 此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.例1：若正数x ，y 满足111=+yx ，则y x 2+的最小值为______________解：21111212x y x yx +=+=+³，123x y£Þ+³+，当且仅当1x =时取等号，即1x =+，1y =+时取等号所以y x 2+的最小值为3+例2：若0>x ，0>y ，2321=+++yxy x ，则y x 56+的最小值为______________解：()21311212242x y x y x y x y x y +=+==+++++即2³，则13652x y +³+12x y =+例3：已知正数,x y 满足491x y +=，则22492x x y y+++的最小值为解：()()2222222222249944949149492184298917x yy x x x y y x x y y x y x yæö+ç÷èø+=+=+³=++++++++当且仅当944989y x x y =++时取等号.由49194,4989x y y x x y ì+=ïïïíï=ï++ïî解得：17217x y ì=ïíï=î，例4：若1>a ，0>b ，=+b ab2+的最小值为______________解：2121311a b a +=³+--，当且仅当11a =-例5：若1>a ，1>b ，则1122-+-a b b a 的最小值为______________解：()()22222448112a b t a b t b a a b t t+++³==++³--+-当且仅当1122ab b a a b ì=ï--íï+-=î时取等号，即2a b ==，所以2211a b b a +--的最小值为8例6：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则yx zx z y z y x 222222+++++的最小值为______________解：()222212222223x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++³=++++++++当且仅当222x y zy z z x x y==+++时取等号例7：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则zy x 941++的最小值为______________解：()222212314912336x y z x y z x y z++++=++³=++，当且仅当123x y z ==时取等号例8：已知正数x ，y 满足1=+y x ，则2281y x +的最小值为______________解：()()3332222212181227x y x y x y ++=+³=+当且仅当12x y=时取等号例9：求θθ22cos 4sin 1+的最小值为______________解：()()()()2221112222221214129sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++=+³=+当且仅当2212sin cos θθ=时取等号例10：求6cos 583sin 25)(22+++=x x x f 的最小值为______________解：()()()()22222222254585481()2sin 35cos 63752sin 325cos 610sin cos 27f x x x x x x x +=+=+³=++++++当且仅当()()225452sin 325cos 6x x =++时取等号例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设*0,0,,0n n a b n m >>Î>N ，则()()11111123123123123m m m m m n nm m m m m n n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++³++++L L L ，当且仅当123123n n a a a a b b b b ====L 时，等号成立．根据权方和不等式，若π0,2x æöÎç÷èø1cos x 取得最小值时，x 的值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12解：由题意得，sin 0,cos 0x x >>，()()()333322221112222222131(31)48cos sin cos sincos xx x x x ++=+³==+，当且仅当2231sin cos x x=，即1cos 2x =时等号成立，所以π3x =．例12：已知正数x ，y 满足194=+yx ，则y y x x +++22924的最小值为______________解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x x y y x x y y x y x yæö+ç÷èø+=+=+³=++++++++当且仅当944989y x x y=++时取等号例13：已知305432=++++v u z y x ，求222225432v u z y x ++++的最小值为______________解：()()()()()222222222222234523451234523453060123+4+515y z u v x x y z u v x y z u z ++++=++++++++³==++当且仅当x y z u v ====时取等号例14：已知0>a ，0>b ，5=+b a，求31+++b a 的最大值为______________()()()()111222111122221313311112a b a b ----++++++=+£==+当且仅当13a b+=+时取等号例15：求223223)(x x xx x f -+++-=的最大值为______________解：()()()()11222211221222123223()11322311x x x x f x xx x x----++-=+=+-+++-£=+当且仅当223223x x x x -+=+-时取等号例16：已知正数a ，b ，c 满足1=++c b a，求131313+++++c b a 的最大值为___________解：()()()()()1112221112221212313131111313131111a b ca b c ----+++=+++++++£=++当且仅当13a b c ===时取等号例1：用柯西不等式求函数y=的最大值为A B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.【详解】由柯西不等式可得，函数y=4£=2x =时等号成立，故该的最大值为4.故选：C.例2：由柯西不等式，当24x yz ++=）A ．10B ．4C．2D【答案】D【分析】利用柯西不等式可得2(2)(424)x y z ++++³，即求.【详解】解：由柯西不等式，得2(2)(424)x y z ++++³，当且仅当2424x y z==，即82,25x z y ===时，等号成立.因为24x y z++=，所以210£，£故选：D例3：已知,(0,)xy Î+¥k 的取值范围是．【答案】k >【详解】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y£++£k >.考点：柯西不等式例4：已知23612x y z ++=，求222x y z ++的最小值.（利用柯西不等式）【答案】14449【分析】利用柯西不等式进行求解．【详解】由柯西不等式可知：（222x y z ++）（4+9+36）2144(236)49x y z ³++³，22214449x y z \++³，当且仅当243672,,,23649494923612x y zx y z x y z ì==ï===íï++=î即【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．例5：已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +++=，则1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++的最小值是 ．【答案】163/153【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++()1111133a b c d a b c b c d c d a d a b æöéù=+++´+++ç÷ëû++++++++èø()()()()111113a b c b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b æöéù=+++++++++++´+++ç÷ëû++++++++èø()2116111133³+++=，当且仅当14a b c d ====时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.例6：已知非负实数a 、b 、c 、d 满足1ab bc cd da +++=，求证：33331.3a b c d b c d c d a d a b a b c +++³++++++++【答案】证明见解析【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.【详解】不妨设0a b c d ££££，则22220a b c d ££££．记a b c d S +++=，则0S a S b S c S d -³-³-³->，1111S a S b S c S d£££----．依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到3333a b c d b c d c d a d a b a b c+++++++++++()2222222221()4a ab bc cd c a b c d a b c d S a S b S c S d ××××=+++³+++×+++----1111S a S b S c S d æö×+++ç÷----èø()()()()()22221111148a b c d S a S b S c S d S a S b S c S d æöéù=+++×-+-+-+-×+++ç÷ëû----èø()222221448a b c d ³+++×()()()()2222222216a b b c c d d a éù=+++++++ëû1(2222)6ab bc cd da ³+++11()33ab bc cd da =+++=，故原不等式正确．一、单选题1．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．2+D ．3+【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为01x <<，所以10x ->，则()121212133111x x x x x x x x x x -æö+=+×+-=++³+éùç÷ëû---èø，当且仅当121x xx x-=-，即1x =-时，等号成立，取得最小值3+故选：D ．2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x y yx +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．6D ．3【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为0x >，0y >，且21x y +=，所以()112231331x x y x y xy y x x y y x y æö=+=++=++³=çèø+÷，当且仅当2x yy x =，即x =1y =时取等号.故选：D3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（ ）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112+=y x，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y x xy æöæö+=++=+++ç÷ç÷èøèø31333222222xy xy =++³+=+=当且仅当12112xy xy y x ì=ïïíï+=ïî，即x y ì=ïíïî时取等.故选：C.4．（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ）A ．45B ．23C ．1D ．2【答案】A【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b æöéùéù+=+=+++=++++ç÷ëûëû++èø12431422532455a b a b a b a b æ++æö=++³+=çç÷ç++èøè，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A5．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（ ）A ．49BC ．79D ．1【答案】D【分析】由题可得点P 满足的圆方程227x y +=，进而()()22119x y +++=，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点P 的坐标满足227x y +=，所以，()()22119x y +++=．因此，()()222222141141111911x y x y x y éùéù+=++++êúë++++ëû()2222411115519119x y x y ééù++êêú=++³+=ê++êúëûë.当且仅当()222241111x y x y ++=++时，即x y ==故选: D ．6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【分析】由已知可得125a b +++=，根据“1”的代换化简得出11121212512b a a b a b ++æö+=++ç÷++++èø.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为2a b +=，所以125a b +++=，所以()111111212512a b a b a b æö+=++++ç÷++++èø1212512b a a b ++æö=++ç÷++èø14255æ³+=ççè，当且仅当12,2a b a b +=++=，即31,22a b ==时，等号成立，所以1112+++a b 的最小值为45．故选：C ．7．（2021·浙江·模拟预测）已知0x >，R y Î，且2530x xy x y +-+=的最大值为（ ）A B C ．D ．【答案】C【分析】依题意得6x y +==，进而由柯西不等式可得最大值.【详解】由2530x xy x y +-+=可得23050x x xy y --++=，即()()560x x y ++-=.由0x >可知6x y +===.由0x >，20x -³可得02x <£，由柯西不等式得22222124éùéù£+×+=êúêúëûëû，£=12x =时，取等号..故选：C.【点睛】关键点点睛：+=+之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.8．（高三上·浙江宁波·期中）设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（ ）A ．2B ．92C ．132D ．9【答案】C【分析】根据题意可得2122113a b a b éùæö+++=ç÷êúèøëû，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b éùæö++£+êúç÷èøêúëû，解不等式即可求解.【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b éùæö+++=ç÷êúèøëû，所以1221212213a b a b a b a b éùæöæö+=++++ç÷ç÷êúèøèøëû 2222121413a b b a a b éùæö=+++++êúç÷èøêúëû22212212591313a b a b éùéùæöæö³++=++êúêúç÷ç÷èøèøêúêúëûëû，当且仅当22a b b a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a béùæö++£+êúç÷èøêúëû，解得12922a b £+£所以12a b +的最大值为92；最小值为2；所以最大值和最小值之和为132.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.9．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则 2m mm n n+-的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【答案】A【分析】根据题意，()22m m n n =-+，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由20m n >>，20m n \->，()22m m n n =-+，()()22222233222m n n m n n m m n m nm n n m n n m n n-+-+-\+=+=++³+---当且仅当222n m nm n n-=-，即(2m n =时等号成立.故选：A.10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +³--恒成立，则实数a 的最大值（ ）A ．2B ．4CD ．【答案】D 【分析】首先不等式变形为2224211x y a y x £+--恒成立，再利用两次基本不等式求224211x y t y x =+--的最小值，即可求解a 的取值.【详解】不等式()()222241211x y a y a x +³--恒成立，可转化为2224211x y a y x £+--恒成立，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，³，=8³=，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是111x x -=-且12121y y -=-，得2x =且1y =，此时第一次使用基本不等式()()()()221211212211211x x y y y x -+-+-+-+=--，说明两次基本不等式能同时取得，所以224211x y y x +--的最小值为8，即28a £，则a -££所以实数a 的最大值为故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求224211x y t y x =+--的最值时，需变形为()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，再通过两次基本不等式求最值.二、填空题11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为.【答案】4【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为(),0,m n ¥Î+，14n m+=，所以9191191044m m n mn n n m mn æöæöæö+=++=++ç÷ç÷ç÷èøèøèø11044æö³=ç÷ç÷èø，当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时取等号.故答案为：412．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是 ．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+éùéù+=++-+=+++ëûêú+-+-ëû1224³+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立，故答案为：2413．（2024·河南·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为 ．【答案】92【分析】,,a b c 是ABC V 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为2a b c ++=，所以()411412a b c a b c a b c æöéù+=×+++ç÷ëû++èø141955222c a b a b c æ+æö=×++³×+=çç÷ç+èøè，当且仅当4c a b a b c +=+，即2a b c +=时等号成立，故41a b c ++的最小值为92．故答案为：92.14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数10>>>a b ，且2222a b b a +=+，则111a b+-的最小值为 .【答案】4【分析】根据10>>>a b ，将2222a b b a +=+化简可得20a b +-=，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【详解】由2222a b b a +=+可得()()20a b a b -+-=，因为10>>>a b ，所以0a b -¹，即20a b +-=，则11-+=a b ，则()111111224111b a a b a b a b a b -æö+=+-+=++³+=ç÷---èø，当且仅当11b a a b-=-，即31,22a b ==时等号成立，故111a b +-的最小值为4.故答案为：4.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是 ．【答案】3+3．【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由22x y +=，得211x y-+=，因为1x >，0y >，所以10,0x y ->>，所以121213(1)3311(1)y x y x y x y x x y æöæö+=-++=+-+³+=+ç÷ç÷---èøèø当且仅当2(1)(1)x y x y-=-，即x 2y =所以11y x +-的最小值是3+故答案为：3+16．（2024·全国·模拟预测）已知0x y >>，621x y x y+=+-，则2x y -的最小值为 ．【答案】12【分析】令2a x y =+，2b x y =-，从而可得11x a b =+，11y a b =-，再根据()1323x y a b a b æö-=++ç÷èø，结合基本不等式求解即可.【详解】令2a x y =+，2b x y =-，则2x y a+=，2x y b -=，且0a >，0b >，所以11x a b =+，11y a b=-．又31a b +=，所以()11111313223x y a b a b a b a b a b æöæöæö-=+--=+=++ç÷ç÷ç÷èøèøèø933612b a a b =+++³+=，当且仅当16a =，12b =，即8x =，4y =时，等号成立．故答案为：1217．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为 .【答案】52/2.5【分析】将目标式转化为1421a b +-+，应用柯西不等式求141a b ++的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，1a b =-，则12122142111a b a b a b a b -+=+=+-+++，又214(1)()91a b a b +++==+，∴14912a b +³+，当且仅当12b a +=时等号成立，∴12952122a a b +³-=+，当且仅当1223b a +==时等号成立.∴121a ab ++的最小值为52.故答案为：52.18．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y £+++恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(],4¥-【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y æö+++=++=++ç÷++++èø()()()41322324991929x y x y ++=++³+=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min 412x y x y æö+=ç÷++èø，4a £，故实数a 的取值范围是(],4¥-.故答案为：(],4-¥【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到221431212x y x y x y +=++++++，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为 .【答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y æöéù+=++++ç÷ëû++++èø，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y éù++=+++êú++ë+++û，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y yyx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++³=+，当且仅当32474x y x y x y +=+ìí+=î时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +³++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为：94.20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为 .【答案】3+3【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++³+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+21．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．【答案】2【分析】解法1、根据题意，得到22491236x y xy xy ++=+，结合基本不等式求得23(23)34x y +£，进而求得23x y +的最大值；解法2、根据题意，得到222(96)33x y xy x +++=，利用权方和不等式得24(23)x y +≥，进而求得23x y +的最大值．【详解】解法1、由2249630x y xy ++-=，可得22491236x y xy xy ++=+，由基本不等式得2223(23)3233()2x y x y x y ++=+×£+，可得23(23)34x y +£，所以232x y +£，当且仅当23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =ìí++-=î，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．解法2、由2249630x y xy ++-=，可得222(96)33x y xy x +++=，因为0,0x y >>，由权方和不等式得222(3)(3)111133x y x x y x +++++，即24(23)x y +≥，所以232x y +£，当且仅当3113x y x+=，即23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =ìí++-=î，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．故答案为：2.22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数,,x y z 满足31224x y z ++=，则2123x y y z+++的最小值为 .【答案】22【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意,,x y z 为正数，()()312232234x y z x y y z ++=+++=，所以2123x y y z +++()()2132232314x y y z x y y z æö++++++=éùç÷ëûèø()()433218423y zx y x y y z ++éù=++êú++ë1824é³+=êêë当且仅当()()()()224332,324323y z x y x y y z x y y z++=+=+++，)()223x y y z +=+，23x y y z ì+ïíï+=î.故答案为：223．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cosf x x x =+，π0,2x æöÎç÷èø，则函数()y f x =的最小值为 ．【答案】【分析】令πsin cos )4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，令πsin cos )4t x x x=+=+，由π02x <<，得ππ3π444x <+<，πsin()14x <+£，则1t <£由sin cos t x x =+，得22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，则原函数可化为22244()1112ttg t t t t t ===---，又函数1,y t yt ==-在上单调递增，所以1y t t=-在上单调递增，故当t =时，1y t t =-，此时()g t 取得最小值故答案为：24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数,a b满足112121a b a b a b +++=+++，则a b +的最小值为 .【分析】根据分离常量法可得112212121a b a b +=++++，结合权方和不等式计算可得(1)(1)1a b a b +-++³，即2()2a b +³，即可求解.【详解】0,0a b >>，112212121a b a b+++++，所以11a b =++，所以(1)(1)1a b a b +-++³，得2()2a b +³，所以a b +³a b +£，即a b +。
2022-2023学年七年级数学人教版下册：第9章不等式与不等式组小结(2) 教案
2022-2023学年七年级数学人教版下册：第9章不等式与不等式组小结(2) 教案教学目标1.理解不等式和不等式组的概念；2.掌握解一元一次不等式和不等式组的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点1.解一元一次不等式；2.解一元一次不等式组。
教学难点解一元一次不等式组。
教学准备1.教材《数学人教版》下册；2.板书工具；3.教学PPT。
教学过程导入引入老师可以从学生已学内容开始，例如回顾不等式的定义和解不等式的方法。
概念讲解1.回顾不等式的概念，即不等式是带有不等号的算式，用于表示两个数之间的大小关系。
2.引入不等式组的概念，即由多个不等式组成的集合，要求同时满足所有不等式。
解一元一次不等式1.回顾解一元一次不等式的方法，包括原则和步骤。
2.通过教材中的例题，引导学生灵活运用不等式的解法，培养学生的逻辑思维和解题能力。
3.在解题过程中，要强调解不等式时的等价变形，例如：–对等式两边加减同一个数–对等式两边乘除同一个正数–对等式两边乘除同一个负数时，要注意改变不等号的方向解一元一次不等式组1.引入解一元一次不等式组的方法，包括联立不等式组和代入法。
2.通过教材中的例题，引导学生运用不等式组的解法，培养学生的逻辑思维和解题能力。
3.在解题过程中，要强调解不等式组时要先解各个不等式，再根据解的结果来判断整个不等式组的解集。
实际问题应用1.提供一些实际问题，让学生运用所学知识解答，以巩固对不等式和不等式组的理解和应用能力。
2.鼓励学生思考，让他们自己提出一些实际问题，并尝试解答。
小结总结1.对本节课的内容进行小结和总结，回顾重点和难点，澄清学生的疑惑。
2.布置课后作业，巩固所学内容。
课堂练习选择题1.已知不等式x - 3 > 7，下列哪个是解？ A. x > 7 B. x > 10 C. x < 4 D. x > 02.解不等式组{x - 3 > 2，2x - 5 > 7}，则x的解集为： A. x > 7 B. x > 5 C. x > 3 D. x > 2计算题1.解不等式3x + 2 > 17。
高中数学第二章等式与不等式不等式及其性质学案新人教B版必修第一册
2．2.1 不等式及其性质课程标准理解不等式的概念，掌握不等式的性质．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 实数大小比较1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ；如果a －b________，那么a ＝b ；如果a －b 是________，那么a ＜b ，反之也成立．2．符号表示a －b ＞0⇔a________b ；a －b ＝0⇔a________b ；a －b ＜0⇔a________b ．状元随笔 1.不等式“a≤b”的含义是“a ＜b”或“a ＝b”．2．比较两实数a ，b 的大小，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a ，b 的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b 的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二 不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a ＞b ⇔________可逆2传递性a ＞b ，b ＞c ⇒________3可加性a ＞b ⇔________可逆4可乘性c 的符号5同向可加性同向6同向同正可乘性同向7可乘方性a ＞b ＞0⇒________同正(n∈N，n≥2)8可开方a＞b＞0⇒______(n∈N，n≥2)同正状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b＞c ⇒a＞c －b. 性质3是可逆性的，即a＞b ⇔a ＋c＞b ＋c .(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．知识点三 证明问题的常用方法方法定义综合法从________出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．分析法从要证明的________，________使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．反证法首先假设结论的________成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法．基础自测1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( )A．T＜40B．T＞40C．T≤40D．T≥402．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是( )A．x2＜a2＜0B．x2＞ax＞a2C．x2＜ax＜0D．x2＞a2＞ax课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 比较大小[教材P60例1]例1 比较x2－x和x－2的大小．状元随笔 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是()A ．f (x )＜g (x )B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )＞g (x )D ．随x 值变化而变化状元随笔 作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型2 不等式的性质[经典例题]例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c＞a＞b＞0，则ac−a＞bc−b；⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.其中正确的个数是( ) A．2B．3C．4D．5状元随笔 分析条件→利用不等式性质逐一判断方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a＜b，那么下列式子中，错误的是( )A．4a＜4b B．－4a＜－4bC．a＋4＜b＋4D．a－4＜b－4状元随笔 利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中不正确的是( )A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＞b，则1a＜1b题型3 利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，(1)求xy的取值范围；(2)求x－2y的取值范围．题型4 利用不等式的性质证明不等式[逻辑推理、数学运算]综合法、分析法与反证法例4 (1)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea−c>eb−d；(2)证明：√7−√3<√6−√2.状元随笔 注意书写的规范性及易错点：①分析法的步骤要规范，分析时一般按照“要证……，需证……，只需证……”的步骤进行．②反证法，必须假设所证问题的反面成立，推出与之矛盾，从而肯定原结论成立．③不等式两边含有根式，同时两侧均为正数的时候，通常选择平方处理，此时应该注意平方后尽量保证式子的最简化，如本例将√7和√2结合，剩余两数结合，好处在于平方后能消掉一部分，使问题简单化．④应该明确问题的反面，如“＞”的反面是“≤”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”等．方法归纳利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点(1)实质：就是根据性质把不等式变形．(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法．跟踪训练4 (1)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：e(a−c)2>e(b−d)2；(2)将下面用分析法证明a2+b22≥ab的步骤补充完整：要证a2+b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立；(3)已知x，y>0，且x＋y>2.求证：1+xy，1+yx中至少有一个小于2.2．2 不等式2．2.1 不等式及其性质新知初探·自主学习[教材要点]知识点一1．正数 等于0 负数2．> ＝ <知识点二b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd a n>b n n√a> n√b知识点三已知条件 结论出发 逐步寻求 否定[基础自测]1．解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x+12)2＋34>0，所以M>N.答案：A3．解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B课堂探究·素养提升例1 【解析】 因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1＞0，从而(x2－x)－(x－2)＞0，因此x2－x＞x－2.跟踪训练1 解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.答案：C例2 【解析】 对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．对于②，由ac2>bc2，知c≠0，∴c2>0⇒a>b.②对．对于③，由a<b<0，两边同乘以a得a2>ab，两边同乘以b得ab>b2，∴a2>ab>b2.③对．对于④，c>a>b>0⇒c−a>0，c−b>0a>b⇒−a<−b⇒c−a<c−b}⇒0<c－a<c－b⇒1c−a>1c−b>0a>b>0}⇒a c−a>b c−b.④对．对于⑤，a>b⇒a−b>01a>1b⇒b−aab>0}⇒ab<0a>b}⇒a>0，b<0.⑤对．【答案】 C跟踪训练2 解析：(1)根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b －4，D项正确．(2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：(1)B (2)ABD例3 【解析】 (1)|a|∈[0，3]；(2)－1<a＋b<5；(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6， ①由1≤b<2得－6<－3b≤－3， ②由①②得，－10<2a－3b≤3.跟踪训练3 解析：(1)∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy 的取值范围是(2，6)．(2)由(1)知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是(－5，－2)．例4 【证明】 (1)方法一 因为c<d<0，所以－c>－d>0，因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以0<1a−c<1b−d，又因为e<0，所以ea−c>eb−d.方法二 ea−c−eb−d＝e［(b−d)−(a−c)］(a−c)(b−d)＝e［(b−a)+(c−d)］(a−c)(b−d)，因为a>b>0，c<d<0，所以－c>－d>0，所以a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，所以e［(b−a)+(c−d)］(a−c)(b−d)>0，所以ea−c>eb−d.(2)方法一 分析法：要证√7−√3<√6−√2，只需证√7+√2<√3+√6，只需证(√7+√2)2<(√3+√6)2，展开得9＋2√14<9＋2√18，只需证√14<√18，即证14<18，显然成立，所以√7−√3<√6−√2.方法二 反证法：假设√7−√3≥√6−√2，则√7+√2≥√3+√6，两边平方得9＋2√14≥9＋2√18，所以√14≥√18，即14≥18，显然不成立，所以假设错误．所以√7−√3<√6−√2.跟踪训练4 解析：(1)证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0，因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以(a－c)2>(b－d)2>0，所以0<1(a−c)2<1(b−d)2，又e<0，所以e(a−c)2>e(b−d)2.(2)用分析法证明a2+b22≥ab的步骤为：要证a2+b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．(3)证明：假设1+xy，1+yx都不小于2，即1+xy≥2，1+yx≥2.因为x，y>0，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.所以2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．所以1+xy，1+yx中至少有一个小于2.答案：(1)见解析 (2)a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0 (3)见解析11。
人教版七年级下数学下不等式的应用教案教学设计教学案课时作业同步练习试卷含试题答案解析
不等式组的应用3【目标导航】经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式组解决实际问题的经验，体会分类思想，感知方程与不等式的内在联系【课堂操练】1．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．2．初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．．每份可得0.2元．（1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．4．“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；⑵求y与x之间的关系式；⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．（1）设初三（1）班有x名同学，则这批树苗有多少棵？（用含x的代数式表示）．（2）初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名？5．为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．（1）满足条件方案共有几种?写出解答过程．（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱．6．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.7．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【课后盘点】1．某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足：1150＜w＜1200，相关数据如下2．某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A 队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能成整个维修任务．⑴求工程队A原来平均每天维修课桌张数；⑵求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围．3．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？4．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．（1）至少购进乙种电冰箱多少台？（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？5．星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？6．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？7．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？答案【课堂操练】解：(1)设每支钢笔和每本笔记本的价格分别为x ，y ，则⎩⎨⎧x+3y=182x+5y=31 解得⎩⎨⎧x=3y=5答：每支钢笔的价格是3元，每本笔记本的价格5元。
湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的应用
+
- ,
解得
-2
,
3
=2.
2
=
=
1
,
2
3
.
2
1 2 3 4 5 6
5.已知不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|2<x<3},则a+c=
解析 由不等式 ax2+5x+c>0 的解集为{x|2<x<3},
< 0,
可得 2 + 3 =
2×3=
5
- ,解得
,
= -1,
所以 a+c=-1-6=-7.
等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1,或x>x2},当a<0时,其
解集是{x|x1<x<x2}.
变式训练2
关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),求关于x的不等式
ax+b>0的解集.
解 由题意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的两根,
解 因为函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,
所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的两个实数根,
由根与系数的关系知
2+6=
2×6=
2
- ,
则
- ,
= -4,
= -12,
所以不等式 cx2+2bx-a<0 等价于-12ax2-8ax-a<0.
新人教版七年级下数学第九章不等式和不等式组复习学案
仪陇县大罗乡小学校 初中七年级(下)数学 导学案 制作人：吴春伶 组别：初中数学组 制作时间：2014-4-8多一份睿智 少一份嬉戏 展一份风采 审核人： 复核人：1 第 1 页 共 1 页 513(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩第九章小结一、知识结构二、回顾与思考1、什么是不等式？什么是一元一次不等式？什么是一元一次不等式组？2、一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有什么异同？什么是一元一次不等式的解集？ 若a ＞b,请你指出下列不等式组的解集：①,;x a x b ⎧⎨⎩ ②,;x a xb ⎧⎨⎩ ③,;xa xb ⎧⎨⎩ ④,.xa xb ⎧⎨⎩3、什么是一元一次不等式组的解集？怎样解一元一次不等式组？4、运用不等式解决实际问题与运用一元一次方程解决实际问题有什么异同？ 三、例题导引例1 已知方程组2,456 3.x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解是正数，求m 的取值范围。
例2 若不等式组,.x ab x ab +⎧⎨-⎩的解集是－1＜x ＜3，求ax+b ≤0解。
例3 某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。
（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，1800元，请你选择最省钱的一种方案。
例4 某商场为了促销,开展对顾客赠送礼品活动,准备了若干件礼品送给顾客,•在一次活动中,如果每人送5件,则还余8件,如果每人送7件,则最后一人还不足3件.求该次活动中获赠顾客人数及所准备的礼品数.三、练习升华1、在数轴上表示不等式组x+2>0x 1⎧⎨≤⎩ 的解，其中正确的是（ ）2、不等式组⎩⎨⎧--≥-31201 x x 的整数解是（ ） Ａ、－１，０ Ｂ、－１，１ Ｃ、０，１ Ｄ、无解3、不等式组⎩⎨⎧-≤->+x x x 284133的最小整数解是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、－14、班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔 支。
第7章一元一次不等式及不等式期末复习教学案
第七章 一元一次不等式及不等式组期末复习教学案【知识要点】、1.不等式： 式子叫做不等式。
2.表示不等式关系的符号及其意义．（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能说明两个量谁大谁小； （2）“＞”读作“大于”，它表示其左边的数比右边的数大； （3）“＜”读作“小于”，它表示其左边的数比右边的数小；（4）“≥”读作“大于或等于”，其意义是指左边的数不小于右边的数； （5）“≤”读作“小于或等于”，其意义是指左边的数不大于右边的数；3.（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做 ；（2）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全集叫做 ； （3）解不等式：求不等式解集的过程叫做 ． 4. 不等式解集的表示方法（1）用不等式表示：不等式的解集是一个范围，这个范围可以用一个最简单的不等式来表示．（2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，要注意一是定方向，二是定边界点，大于向右画，小于向左画；无等于号时边界点处画空心圆圈，有等于号时边界点处用实心圆点表示一定要注意不等号“ ＞” ,“ ＜ ”与“ ≥" “≤”在数轴上画法的区别．5.等式的解与不等式的解集的联系与区别．（1）联系： ； （2）区别： ．6.不等式的性质．（重点）不等式的性质 1 ：不等式的两边 ，不等号的方向不变．不等式的性质 2 ：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 ．7.一元一次不等式 （重点）：（1）只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1系数不等于0不等式，叫做 ． （2）一元一次不等式的一般形式为：b ax+＞0或b ax +＜0（0≠a ）8. 叫做一元一次不等式组。
叫做这个不等式组的解集。
9.一元一次方程与一次函数、二元一次方程（组）与一次函数的联系．（重点）（1）任何一元一次方程都可以转化为)0,(0≠=+a b a bax 为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线b ax y +=，确定它与x 轴的交点的横坐标的值．（2）二元一次方程与一次函数的联系．若k ，b表示常数且k ≠0，则b kx y =-为二元一次方程，有无数个解，将其变形可得b kx y +=，将 x ，y 看作自变量、因变量，则b kx y +=是一次函数．事实上，以方程b kx y =-的解为坐标的点组成的图象与一次函数b kx y +=的图象相同．（3）二元一次方程组与一次函数的联系．二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 解一可以看作是两个一次函数1111b cx b a y +-=和2222b cx b a y +-=图像的交点．11.一元一次不等式与一次函数的联系． （重点）（1）任何一个一元一次不等式都可以转化为b ax+＞0或b ax+＜0（a ，b为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大（小）于0时，求自变量的取值范围． （2）一次函数b kx y +=与一元一次方程0=+b kx 和一元一次不等式的关系：函数b kx y +=的图象在x 轴上方的点所对应的自变量x 的值，即为不等式b kx+＞0的解集；在x 轴上的点所对应的自变量x 的值，即为方程0=+b kx 的解；在x 轴下方的点所对应的自变量x 的值，即为不等式b kx +＜0的解集．【典型例题】【例1】下列式子中哪些是不等式？（1）x+y=y+x (2)－4>－6 (3)x ≠5 (4)x ＋2>5 (5)3x<y (6)2a －b 解：是不等式的是： （填序号） 【例2】用不等式表示下列关系。
华师版七年级下册的数学教学计划
华师版七年级下册的数学教学计划根据自己的实际情况，比如工作职责，确定一下工作目标，这样就可以有针对性的明确自己的工作计划，可以先确定一个总的方向，在按时间分段完成。
这里给大家分享一些关于华师版七年级下册的数学教学计划，方便大家学习。
华师版七年级下册的数学教学计划1一、教材分析全期共有六章。
新授课程主要有一元一次不等式组、二元一次方程组、平面上直线的位置关系和度量关系、多项式的运算、轴对称图形、数据的分析与比较。
第一章一元一次不等式组本章主要使学生掌握一元一次不等式组的解法,以及怎样利用一元一次不等式组解决实际问题。
重点:一元一次不等式的解法及其简单应用.难点:了解一元一次不等式组的解集,准确利用不等式的基本性质.第二章二元一次方程组本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法.重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题.难点:二元一次方程组解决实际问题第三章平面上直线的位置关系和度量关系本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计.第四章多项式的运算本章主要要求了解多项式的的有关概念，能进行简单的多项式的加、减、乘运算，以及乘法公式。
注重联系实际，为将来学函数奠定基础让课堂内容生动、趣味化，从学生熟悉的背景引出概念。
重点：对于每个概念的正确理解，以及各项法则的正确、灵活的应用。
难点：探索各项法则的形成原因。
第五章轴对称图形本章主要体会对称之美，利用轴对称进行图案设计，认识和欣赏轴对称在现实中的应用。
人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用
2.2.4 均值不等式及其应用
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等
式.
2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.
3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简单的
4
= +
1
+a+4
取等号.
所以 m+n 的最小值是 5.
=
5
4
+
5
≥2
5 5
5
· =5,当且仅当 4
4
=
5
,即 a=2 时
探究点三 间接利用均值不等式求最值
【例 3】(1)已知 x<0,则
(2)已知 x>2,求
12
3x+ 的最大值为
.
1
x+ 的最小值.
-2
分析(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.(2)先对式子变形,凑
解 由 0<x<1,可得 y=x
x=
2
时,等号成立,此时
2
1- 2
=
2 (1- 2 )
1
y 的最大值为2.
≤
2 +1- 2
2
=
1
2
2
,当且仅当
x
=1-x
,即
2
学以致用•随堂检测全达标
8
1.y=2x+ (x>0)有(
2020年-人教版七年级数学下册 学案 9.2 第4课时 一元一次不等式的应用--含答案
第9章不等式与不等式组9.2 一元一次不等式第4课时一元一次不等式的应用核心提要在列不等式解应用题的时候要注意：(1)要根据题目中的关键字(如“大于”“不大于”“至多”“不超过”等)所表示的不等关系列出________．(2)在设未知数的时候，不能出现“至多”“不超过”等字眼．典例精讲知识点：一元一次不等式的应用1．小明准备用22元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每本笔记本2元，他买了3本笔记本后，其余的钱用来买笔，那么他最多可以买()A．3支笔B．4支笔C．5支笔D．6支笔2．某文具店计划购进学生用的甲、乙两种圆规80只，进货总价要求不超过384元．两种圆规的进价和售价如下表：甲种乙种进价(元) 4 5售价(元) a(6≥a＞4) 7(1)问该文具店至少应购进甲种圆规多少只？(2)在全部可销售完的情况下，针对a的不同取值，应怎样的进货所获利润最大？变式训练变式1某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打()A．6折B．7折C．8折D．9折变式2某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零价，其中西红柿与西兰花的批发价格与零售价格如表．蔬菜品种西红柿西兰花批发价(元/kg) 3.68零售价(元/kg) 5.414蔬菜当天全部售完后，一共能赚多少钱？(请列方程组求解)(2)第二天该经营户用1520元仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发多少千克的西红柿？基础巩固1.有10名菜农，每人种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排________人种茄子．2．小王家鱼塘有可出售的大鱼和小鱼共800千克，大鱼每千克售价10元，小鱼每千克售价6元，若将这800千克鱼全部出售，收入可以超过6 800元，则其中售出的大鱼至少有多少千克？若设售出的大鱼为x千克，则可列式为：________________________.3．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输及销售中估计有10%的苹果正常损耗，苹果的进价是每千克1.8元，商家要避免亏本，需把售价至少定为____元．4．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，缴水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？5．某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．(1)该班男生和女生各有多少人？(2)某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1 460个，那么至少要招录多少名男学生？能力提升6．某小区为更好地提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜40元．(1)问购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？(2)如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问最多购买垃圾箱多少个？培优训练7．为了加强对校内外安全监控，创建荔湾平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元．(2)若购买该批设备的资金不超过11 000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？(3)在(2)问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1 600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．第4课时 一元一次不等式的应用----答案【核心提要】 不等式 【典例精讲】 1．C2．解：(1)设该文具店应购进甲种圆规x 个，则乙种圆规的个数为80－x 个， 由题意得，4x ＋5(80－x)≤384， 解得：x ≥16， 答：该文具店至少应购进甲种圆规16个； (2)设购进甲种圆规x 个，利润为y ，则y ＝x(a －4)＋(7－5)(80－x)＝(a －6)x ＋160， ∵6≥a ＞4，∴a －6≤0， 故x 越小，y 值越大， 当x ＝16时，y 值最大．答：该文具店应购进甲种圆规16个，乙种圆规64个，所获利润最大．【变式训练】1．B2．解：(1)设批发西红柿x kg ，西兰花y kg ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3003.6x ＋8y ＝1 520， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200y ＝100 ，故批发西红柿200 kg ，西兰花100 kg ，则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：200×1.8＋100×6＝960(元)，答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元；(2)设批发西红柿a kg ，由题意得，(5.4－3.6)a ＋(14－8)×1 520－3.6a8≥1 050，解得：a ≤100，答：该经营户最多能批发西红柿100 kg.【基础巩固】 1．42．10x ＋6(800－x)>6 800 3.24．解：设该市规定的每户每月标准用水量为x 吨，∵12×1.5＝18＜20， ∴x ＜12. 则1.5x ＋2.5(12－x)＝20， 解得：x ＝10. 答：该市规定的每户每月标准用水量为10吨． 5．解：(1)设该班男生有x 人，女生有y 人，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42，x ＝2y －3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝27，y ＝15.∴该班男生有27人，女生有15人．(2)设招录的男生为m 名，则招录的女生为(30－m)名，依题意得：50m ＋45(30－m)≥1 460， 即5m ＋1 350≥1 460， 解得：m ≥22.答：工厂在该班至少要招录22名男生．【能力提升】6．(1)解：设购买1个温馨提示牌需要x 元，购买1个垃圾箱需要y 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝580x ＝y －40，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60y ＝100 答：购买1个温馨提示牌需要60元，购买1个垃圾箱需要100元． (2)解：设购买垃圾箱m 个，则购买温馨提示牌(100－m)个，依题意得60(100－m)＋100m ≤8 000，解得m ≤50， 答：最多购买垃圾箱50个．【培优训练】7．解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1503b －2a ＝400， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝850b ＝700；(2)设购买甲型设备x 台，则购买乙型设备(15－x)台，依题意得 850x ＋700(15－x)≤11 000， 解得x ≤313，∵两种型号的设备均要至少买一台，∴x＝1，2，3，∴有3种购买方案：①甲型设备1台，乙型设备14台；②甲型设备2台，乙型设备13台；③甲型设备3台，乙型设备12台；(3)依题意得：150x＋100(15－x)≥1 600，解得x≥2，∴x取值为2或3.当x＝2时，购买所需资金为：850×2＋700×13＝10 800(元)，当x＝3时，购买所需资金为：850×3＋700×12＝10 950(元)，∴最省钱的购买方案为：购买甲型设备2台，乙型设备13台．。
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新编人教版精品教学资料课题：9.1.1不等式及其解集【学习目标】1．了解不等式、一元一次不等式等概念．2．初步学会在数轴上表示不等式的解集．【活动方案】活动一 了解不等式、一元一次不等式等概念阅读课本P 121至倒数第二行，画出不等式的概念，并在关键词下做上记号，依照不等式的概念完成下列问题：1．自己举出五个不等式:2．用不等式表示:(1)a 是正数； (2)a 是非负数；(3)a 与4的和不大于2； (4)a 的一半小于4．小组交流：从符号上看，不等式的形式有何特征．活动二 初步学会在数轴上表示不等式的解集阅读课本P 121-123，画出不等式的解及解集的概念，并完成下列问题：1．下列哪些数值是不等式x 2＜8的解？哪些不是？－1 5 3.9 4.1 －3 4 －22．把不等式x 2＜8的解集在数轴上表示出来．小组交流：在(2)中，数轴上表示4的点画空心圈,表示什么意思?【检测反馈】1．下列数值哪些是不等式63>+x 的解？哪些不是？－4 －2.5 0 1 2.5 3 52．用不等式表示：（1）a是负数（2）a与2的差小于－1 （3）a的4倍大于8 （4）a的一半小于33．直接写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来．（1）x+3＜5 (2) 2x＞8 (3) x-2＞0课题：9.1.2不等式的性质⑴【学习目标】1．通过对比等式的基本性质，认识不等式的基本性质；2．学会初步运用不等式的性质．【活动方案】活动一 回顾等式的基本性质，认识不等式的基本性质阅读课本P 123-124，完成课本中思考的空格，画出不等式的三个基本性质，并在关键词下做上记号．依照不等式的性质完成下列问题：设m ＞n 用“＞”或“＜”填空：(1)5__5m n --； (2)4___4m n ++； (3)6___6m n ； (4)11__33m n --； (5)32___32m n ----.小组交流：先比较性质2与性质3有什么不同，再比较等式的性质与不等式的性质，它们有什么联系?活动二 会用不等式的基本性质解简单的不等式阅读课本P 125-126，完成例题1中，第(2)，(4)题的空格．依照例题1的解题方法和格式完成下题：用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．(1) x ＋5＞－1 (2) 4x ＜3x －5 (3) 2x －4＞0 (4)－31x ＋2＞5小组交流：1．不等式的解集如何在数轴上表示？2．解不等式时，每一步要注意什么？【检测反馈】1．利用不等式的性质，填”＞”,＜”．(1)若a ＞b ,则a －1 b －1;(2)若a ＞b ,则2a ＋1 2b ＋1;(3)若a＞b,则－2a＋8 －2b＋8;(4)若－1.25y＜10,则y－8;2．用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．(1) x＋2＜6 (2) －2x＞－6课题：9.1.2不等式的性质⑵【学习目标】1．复习不等式的基本性质．2．会用“移项”，“未知数系数化为1”解简单的不等式.【活动方案】活动一 复习不等式的基本性质用不等号填空：若a b >，则1．2___2a b ++；2．___a b --；3．2___2a b -+-+；4．___0a b -. 小组交流：运用了哪些不等式的性质？活动二 会用“移项”，“未知数系数化为1”解简单的不等式再看课本P 125例1中(2)(4)小题的解题，画出含有“移项”,“ 未知数系数化1”方法的语句，并在关键字下做上记号．再利用此方法解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：1．726x ->； 2．321x x <+；3．2503x >； 4．43x ->.小组交流：1．在黑板上展示答案2．“移项”,“ 未知数系数化为1”的依据分别是什么？注意点分别是什么？【检测反馈】解下列不等式，并在数轴上表示解集：1．51x +>-； 2．435x x <-；13．-8x＞10；4．－x＋2＞5．3课题：9.1.2不等式的性质⑶【学习目标】1．知道像a ≥b 或a ≤b 或a ≠b 这样的不等式，也常用来表示两个数量的大小关系；2．会用a ≥b 或a ≤b 这样的不等式表示实际问题中的不等关系；3．会用不等式的性质变形得出等价的新结论.【活动方案】活动一 知道像a ≥b 或a ≤b 或a ≠b 这样的不等式，也常用来表示两个数量的大小关系1．2009年12月18日南通的最低气温是-4℃，最高气温是4℃，若t 表示温度，请你用不等式表示这一天的温度.2．某长方体形状的容器长5cm ，宽3cm ，高10cm ，容器内原有水的高度为3cm ，现准备向它继续注水，用V cm 3表示新注入水的体积，写出V cm 3的取值范围，并且在数轴上表示.小组交流：将不等式的解集在数轴上表示时，空心圆圈与实心圆圈各表示什么意思？活动二 会用不等式的性质变形得出等价的新结论例：三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？小组交流：在三角形ABC 中，边AB 、AC 的长分别是2和5，求边BC 的取值范围？【检测反馈】1．用不等式表示下列语句：（1）x 的3倍大于或等于1（2）x 与3的和不小于6（3）y 与1的差不大于0a b c（4）y的2倍小于或等于－22．解不等式x＋3≤6，并在数轴上表示解集：3．小明就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始．小明家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小明上午几点从家里出发才能保证不迟到？课题：9.2实际问题与一元一次不等式⑴【学习目标】1．能根据具体问题中的数量关系，列一元一次不等式，解决实际问题；2．知道解一元一次不等式的步骤，会解一元一次不等式．【活动方案】活动一会用一元一次不等式描述实际问题中的不等关系甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。
1．独立完成：（1）甲商店购物款达多少元后可以优惠？乙商店购物款达多少元后可以优惠？（2）现在有4个人，累计购买金额x元如下表所示，选择哪家商场合算？试填表：累计购买金额x元选择哪家商场合算4080140200小组交流：（1）选择哪家商场合算与什么量有关？可以怎样分类考虑顾客选择商店购物能获得更大优惠？（2）如果累计购买金额x超过100元，此时，用x的代数式可表示在甲商场花费为元，在乙商场花费为元．现假设在甲商场花费小，则这个实际问题可用不等式表示为：（3）如何解这个不等式？试运用解一元一次方程的经验、步骤解决，并考虑每一步的依据．小组交流：问题(2)中，如何根据实际问题列不等式的；问题(3)中，如何解这个不等式的？活动二 会解带括号一元一次不等式解下列不等式，并在数轴上表示解集．1．)5(3)5(2-<+x x 2．)1(2)4(410-≤--x x小组交流：1．先独立完成，后小组交流，把组内错误展示在小黑板上并订正;2．解带括号一元一次不等式需注意什么？【检测反馈】1．活动一中：如果累计购买金额x 超过100元，现假设在乙商场花费小，则累计购买金额x 又在什么范围内？在两家商场购物花费一样呢？2．解下列不等式，并在数轴上表示解集．)34(2)52(3+<+x x课题：9.2 实际问题与一元一次不等式(2)【学习目标】1．能找出实际问题中的不等关系，列不等式；2．能解一元一次不等式，体会解不等式与方程步骤上的内在联系．【活动方案】活动一 能找出实际问题中的不等关系，列不等式1．自主完成下列各题：迎奥运，北京开展了“为绿色奥运添彩 将环保进行到底”的主题活动，空气质量良好的天数明显增多。
2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55％。
若2008年这样的比值要超过70％，那么，2008年北京空气质量良好（二级以上）的天数至少可以增加多少天？分析：（1）2002年北京空气质量良好的天数是______________天（列式）；（2）设2008年空气质量良好的天数比2002年增加x 天，则2008年质量良好的天数表示为_____________________；（3）2008年是闰年，共有____________天；（4）“若2008年这样的比值要超过70％”中的比值是指___________与__________比，由此可列出不等式： ．完整解出此题：小组交流：1. 根据问题的实际意义，x 的取值上应注意什么？2. 解一元一次不等式应用题的一般步骤？3. 一元一次不等式与一元一次方程的解法有何异同？活动二 会解一元一次不等式，体会解不等式与方程步骤上的内在联系1．解不等式 ，并在数轴上表示其解集．2．解不等式1)53(3)1(2+-≤+x x 并在数轴上表示其解集．小组交流：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，确有一步要注意，你知道是哪一步吗？注意什么？【检测反馈】1．求3（x＋1）的值不小于5x＋10的值的最大整数x．2．某种彩电出厂为每台1800元，各种管理费约为出厂价的12％，商家零售价为每台多少元时，才能保证毛利率不低于15％（精确到10元）？课题：9.2 实际问题与一元一次不等式(3)【学习目标】1． 会根据实际向题中的数量关系列不等式解决问题；2． 熟练解一元一次不等式．【活动方案】活动一 会根据实际向题中的数量关系列不等式解决问题．某次知识竞赛共有20道题，每道题答对加10分，答错或不答均扣5分．小明要想得分超过90分，他至少要答对多少道题？1．小明答对了x 道题，则如何用含有x 的式子表示得分？2．完整的解出这道应用题：小组交流：本题在写出答案时要注意什么？活动二 熟练求解一元一次不等式阅读课本P 133的归纳，在关键词下做上记号，并在空白处写上解一元一次不等式的具体步骤，依照步骤完成：解下列不等式，并在数轴上表示解集．1．)1(3)1(27-≤+-x x 2．231222--≥+x x小组交流：此题的解集在数轴上表示时要注意什么？【检测反馈】1．电脑公司销售一批计算机，第一个月以每台5500元的价格出售60台，第二个月其降价，后以每台5000元的价格将这批计算机全部售出，销售款总量超过55万元。
这批计算机最少有多少台？2．解下列不等式，并在数轴上表示解集．（1）)162(2)13(412-≤--x x（2）135253--<+x x课题: 9．3一元一次不等式组（1）【学习目标】1．知道一元一次不等式组及其解集的意义；2．学会解一元一次不等式组；3．会用数轴确定一元一次不等式组解集．【活动方案】活动一 解一元一次不等式组1．解不等式（1）1213+>-x x ； （2）x x 237121-≤-．2．小组交流：解上面不等式的步骤是什么？活动二 会用数轴确定解集1．自学课本P137至P139例2以上的内容,解决P138第一段提出的问题,完成探究内容．(小组交流)2．利用 可以直观形象地确定不等式组的解集．3．归纳例1解一元一次不等式组的步骤．4．解不等式组 （１）⎩⎨⎧<-<-xx x 332312 ； （２）⎪⎩⎪⎨⎧->-+-<--)3(4)4(316125x x x x⎪⎩⎪⎨⎧<->+xx x 987121⎩⎨⎧+>++<-145123x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 237121)1(325⎩⎨⎧<>-621113x x 活动三 归纳一元一次不等式组的解集的确定方法小组交流学习体会和收获 一元一次不等式组解集四种类型如下表：不等式组（a ＜b ）数轴表示 解 集 (1)｛x ＞a x ＞b(2)｛x ＜a x ＜b(3)｛x ＞a x ＜b(4)｛x ＜a x ＞b【检测反馈】１．解下列不等式组(1)(2)(3)(4)a ba ba b a b课题：9．3一元一次不等式组（2）【学习目标】1．进一步熟练一元一次不等式组的解法；2．会用一元一次不等式组解决有关的实际问题。