B(H)上保因子交换性可加映射的刻画
近世代数复习(1)
第一章 基本概念1.1 集合1.集合：由一些事物所组成的一个整体.通常用大写拉丁字母,,,A B C L L 表示.2.组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母,,,a b c L L 表示.常见符号：;,.a A a A a A ∈∉∈3.子集：若,a A a B ∀∈⇒∈则称A 是B 的子集，B 是A 的扩集，或A 包含于B ， B 包含A ，记作,A B B A ⊆⊇.当A 不是B 的子集时，记作“A B ⊄”.4.真子集：若A B ⊆，且b B ∃∈，而b A ∉，则称A 是B 的真子集，记作A B ⊂.5.幂集：由给定集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作()2A P A =.6.设,A B 是全集U 的两个子集.{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且A 的余：{}=|A x x U x A '∈∉，B 在A 中的余：{}{}\||.A B x x A x B x x A x B A B ''=∈∉=∈∈=⋂且 且 例. 设},,,,,{},,,,{},,,,,,,,{g f e d a N h e c a M h g f e d c b a U ===求,\,.M N M N M N ''⋃⋂解：{}{}{}{}{},,,,,,;\,;,,,,,,;.M N a c d e f g h M N c h M b d f g N b c h M N b ⋃==''''==⋂=1.2 映射1.映射：设,A B 是两个给定的非空集合，若有一个对应法则f ，使a A ∀∈，通过f ，!b B ∃∈与其对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作:f A B →或f A B −−→A 称为f 的定义域，B 称为f 的陪域.b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的 原像，记作()b f a =或:.f a b a2.映射相等：设f 是1A 到1B 的映射，g 是2A 到2B 的映射，若1122,,A B A B ==且1x A ∀∈，都有()()f x g x =，则称f 与g 相等，记作f g =.3.设,,A B C 是三个集合，f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，规定:(()),,h x g f x x A ∀∈a则h 是A 到C 的映射，称为f 与g 的合成（或乘积），记作h g f =o ，即()(()),.g f x g f x x A =∀∈o4.设f 是A 到B 的一个映射.（1）若12,a a A ∀∈，当12a a ≠时，有12()()f a f a ≠，则称f 是A 到B 的一个单射；（2）若,b B a A ∀∈∃∈，使()f a b =，则称f 是A 到B 的一个满射；（3）若f 既是单射，又是满射，则称f 是一个双射.例如，映射:,2,,f x x x →+∀∈ a ?是从¡到¡的一一映射.设f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，若g f o 有左逆映射，则f 有左逆映射.但是g 没有.1.3 卡氏积与代数运算1.设,A B 是两个集合，作一个新的集合：{}(,)|a b a A b B ∈∈,称这个集合是A 与B 的笛卡尔积（简称卡氏积），记作A B ⨯.例如，集合A 中含有m 个元素，集合B 中含有n 个元素，则A 与B 的卡氏积 A B ⨯中含有mn 个元素.n 个集合的卡氏积12,,,n A A A L 定义为{}12(,,,)|1,2,,,n i i a a a a A i n ∈=L L ,并记作12n A A A ⨯⨯⨯L ，或1ni i A =∏.2.设,,A B D 是三个非空集合，从A B ⨯到D 的映射称为,A B 到D 的代数运算.特别，当A B D ==时，,A A 到A 的代数运算简称为A 上的代数运算.3.设o 是集合A 上的一个代数运算，若123,,a a a A ∀∈，都有123123()(),a a a a a a =o o o o则称o 适合结合律.若12,a a A ∀∈，都有1221,a a a a =o o则称o 适合交换律.设e 是集合,B A 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),b a a b a b a ⊕=⊕e e e则称e 对于⊕适合左分配律.设⊗是集合,A B 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),a a b a b a b ⊕⊗=⊗⊕⊗则称⊗对于⊕适合右分配律.4.设o 是集合A 上的一个代数运算，（1）若,,a b c A ∀∈，有,a b a c b c =⇒=o o则称o 适合左消去律.（2）若,,a b c A ∀∈，有,b a c a b c =⇒=o o则称o 适合右消去律.例. 在实数集¡上规定一个代数运算ο：,2b a b a +=ο问这个代数运算ο是否适合结合律、交换律？解：（1）由于,11325353)221(3)21(,1782181)322(1)32(1=⋅+==⋅+==⋅+==⋅+=οοοοοοοο 二者不等，代数运算ο不适合结合律.（2）由于,722323,832232=⋅+==⋅+=οο 二者不等，代数运算ο不适合交换律.1.4 等价关系与集合的分类1.设,A B 是两个集合，则A B ⨯的子集R 称为,A B 间的一个二元关系.当(,)a b R ∈时，称a 与b 具有关系R ，记作aRb ；当(,)a b R ∉时，称不具有关系R ，记作aR b '.,A A 间的二元关系简称为A 上的关系.2.设:是集合A 上的一个二元关系，若满足下列性质：（1）自反性：,;a A a a ∀∈:（2）对称性：,,;a b A a b b a ∀∈⇔::（3）传递性：,,,,;a b c A a b b c a c ∀∈⇔:::则称:是A 上的一个等价关系.当a b :时，称a 与b 等价.例如,定义为“8|a b a b ⇔-:”的二元关系“:”是偶数集2¢上的一个等价关系.3.设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个元 素，则这些子集的全体称为A 的一个分类.每个子集称为一个类.类里任何一个元 素称为这个类的一个代表.集合A 上的等价关系与集合的分类之间有着本质的联系，它们可以互相决定：{}[]|.a x x A x a =∈:,4.设:是集合A 上的一个等价关系，由A 的全体不同:等价类所组成的集合族称为A 关于:的商集，记作/A :.例. 若设,,A m =∈ⅴ令 {}(,)|,,|,m R a b a b m a b =∈-¢证明m R 是整数集¢上的一个等价关系，并给出由这个等价关系所确定的¢的一个分类.证明：显然m R 是⨯ⅱ的一个子集，所以m R 是¢上的一个关系.又（1）,|,a m a b ∀∈-¢所以m aR a ；（2）,,a b ∀∈¢若m aR b ，则|m a b -，于是|m b a -，所以m bR a ；（3）,,,a b c ∀∈¢若,m m aR b bR c ，则|,m a b -|m b c -，于是|()()m a b b c -+-，即|m a c -，所以.m aR c因此，m R 是整数集¢上的一个等价关系.由这个等价关系m R 所确定的m R 等价类为：{}[0],2,,0,,2,,m m m m =--L L{}[1],21,1,1,1,21,,m m m m =-+-+++L L{}[2],22,2,2,2,22,,m m m m =-+-+++L L………{}[1],1,1,1,21,.m m m m -=-----L L第二章 群2.1 半群1.设S 是一个非空集合，若（1）在S 中存在一个代数运算ο；（2）ο适合结合律：()(),a b c a b c =o o o o ,,,a b c S ∀∈则称S 关于ο是一个半群，记作),(οS .若半群S 的运算还适合交换律：,,,a b b a a b S =∀∈o o则称S 是交换半群.半群的代数运算“ο”通常称为乘法，并将符号“ο”省略，即b a ο记作ab ，称为a 与b 的积.一个交换半群S 的代数运算常记作“+”，并称为加法，此时结合律、交换律分别为：()(),,,,,,.a b c a b c a b c S a b b a a b S ++=++∀∈+=+∀∈2.设S 是半群，,n a S ∈∈¥，n 个a 的连乘积称为a 的n 次幂，记作n a ，即.n n a aa a =678L且有：(),,,,.nm n m n m mn a a a a a a S m n +==∀∈∈¥ 如果S 是交换半群，且代数运算是加法时，a 的n 次幂应为a 的n 倍，表示n 个a 的和，记作na ，即.n na a a a =+++6447448L相应运算性质具有下列形式：,,.a S m n ∀∈∈¥(),()(),().ma na m n a n ma nm a n a b na nb +=+=+=+2.2 群的定义1.设(,)G g 是一个有单位元的半群，若G 的每个元都是可逆元，则称G 是一个群.适合交换律的群称为交换群或阿贝尔群.交换群G 的运算常用“+”号表示，并称G 是加群.2.设G 是半群，则下列四个命题等价：（1）G 是群；（2）G 有左单位元l ，而且G a ∈∀关于这个左单位元l 都是左可逆的；（3）G 有右单位元r ，而且G a ∈∀关于这个右单位元r 都是右可逆的；（4）G b a ∈∀,方程b ya b ax ==,在G 中都有解.3.若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群，称G 所包含元素的个数G 是G 的阶.4.群G 的运算适合左、右消去律.2.3 元素的阶1.设G 是一个群，e 是G 的一个单位元，a G ∈，使m a e =成立的最小正整数m 称为元素a 的阶，记作a m =.若使上式成立的正整数m 不存在，则称a 是无限阶的，记作a =∞.每个元素的阶都是无限的群不存在.当G 是加群时，其运算是加法，单位元为零元0，所以上式具有下列形式：0.ma =2.设G 是一个群，a G ∈，若,b G n ∀∈∃∈¢，使n b a =则称G 是由a 生成的循环群，a 是G 的生成元，记作().G a =循环群一定是交换群.3.设()G a =是一个循环群，（1）若a m =，则G 是含有m 个元素的有限群，有()m ϕ个生成元：,(,)1,r a m r =且{}0121,,,,;m G e a a a a -==L（2）若a =∞，则G 是无限群，有两个生成元：1,a a -，且{}21012,,,,,,.G a a a a a --=L L4.设G 是m 阶群，则G 是循环群当且仅当G 有m 阶元.例. 求出模12的剩余类加群12¢的每一个元的阶与所有生成元.解：12个元素：],11[],10[],9[],8[],7[],6[],5[],4[],3[],2[],1[],0[ 阶分别为：.12,6,4,3,12,2,12,3,4,6,12,1 由于12¢是由[1]生成的12阶循环群，所以12¢的生成元为：].11[],7[],5[],1[2.4 子群1.设G 是一个群，H G ∅≠⊆，若H 对G 的乘法作成群，则称H 是群G 的一个子群，记作.H G ≤2.设G 是群，H G ∅≠⊆，则下列各命题等价：（1）H G ≤（即H 对G 的乘法构成群）；（2）,a b H ∀∈，有1,ab a H -∈；（3）,a b H ∀∈，有1.ab H -∈3.（1）无限循环群G 的子群，除单位元子群外，都是无限循环群.而且G 的子群的个数是无限的；（2）m 阶循环群G 的子群的阶是m 的因数；反之，若n|m ，则G 恰有一个n 阶子群，从而G 的子群的个数等于m 的正因数个数.任何一个群都不能是它的两个真子群的并.例1. 设12¢是一个模12的剩余类加群，证明：{}[0],[4],[8]H =是12¢的一个子群.证明：首先[0]H ∈，从而H ≠∅.又[0][0][0],[0][4][4],[0][8][8],[4][4][8],[4][8][0],[8][8][4],+=+=+=+=+=+= 而12¢是一个交换群，所以H 对12¢的加法运算封闭. 因此12.H <¢ 例2. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是：1，2，4.1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身；2阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群. 因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.5 变换群1.非空集合A 到A 自身的映射称为A 的变换，A 到A 自身的满射称为A 的满变换，A 到A 自身的单射称为A 的单变换，A 到A 自身的双射称为A 的一一变换，A A ={A 的所有变换}.()E A ={A 的所有一一变换}.()E A 称为A 的一一变换群，()E A 的子群称为A 的变换群.2.（1）一个包含n 个元的有限集合的一一变换称为（n 次）置换；（2）一个包含n 个元的有限集合的所有置换作成的群称为n 次对称群，记作n S ；对称群的子群称为置换群.3.设在n 次置换σ下，1j 的像是2j ，2j 的像是31,,r j j -L 的像是r j ，r j 的像是1j ， 其余的数字（如果还有的话）保持不变，则称σ是一个r 项循环置换，记作()12,,,,r j j j σ=L也可以记作()()23111,,,,,,,,,.r r r j j j j j j j σσ-==L L L1项循环置换()j 是恒等置换，2项循环置换()12j j 又称为对换.4.（1）n S 中的所有偶置换作成n S 的子群（称为n 次交错群，记作n A ）；（2）n 次交错群n A 的阶是!.2n例1. 写出三次对称群3S 的所有元素.解：.123321,312321,231321,213321,132321,321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2. 设两个六次置换： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=416532654321,526413654321τσ求.,,12-στστστ 解：123456,142536στ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2123456,134652τσ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1123456.231546στ-⎛⎫= ⎪⎝⎭例3. 将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积.()()()4251314234563解：记(3654),(3241),(31524)σδη===，则:1554,2411,3136,4322,5243,6665,σδηa a a a a a a a a a a a a a a a a a从而，(3654)(3241)(31524)(142)(365).=2.6 群的同态与同构1.设G 与G '都是群，f 是G 到G '的映射，若f 保持运算，即()()(),,,f xy f x f y x y G =∀∈则称f 是G 到G '的同态.若同态f 是单射，则称f 是单同态；若同态f 是满射，则称f 是满同态，并称G 与G '同态，记作G G ':；若同态f 是双射，则称f 是同构，并称G 与G '同构，记作.G G '≅2.设f 是群G 到群G '的同态，e '是G '的单位元，则称{}Im ()()|f f G f x x G ==∈是f 的同态像，称{}1()|()Kerf f e x G f x e -''==∈=是f 的同态核.3.设f 是群G 到群G '的同态，e 是G 的单位元，则（1）f 是满同态当且仅当Im ;f G '=（2）f 是单同态当且仅当{}.Kerf e =4.任意一个群G 都与一个变换群同构.5.设()G a =是循环群，则（1）若a m =，则(,);m G ≅+¢（2）若a =∞，则(,).G ≅+¢2.7 子群的陪集1.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系l R ：1,,.l aR b b a H a b G -⇔∈∀∈由等价关系l R 所决定的类称为H 的左陪集.包含元素a 的左陪集等于aH .2.设H G ≤，则下列各命题成立：（1）a aH ∈；（2）1.aH bH aH bH a b H b aH bH aH -=⇔⋂≠∅⇔∈⇔∈⇔⊆ 特别，;.aH H a H eH H =⇔∈=（3）在aH 与H 之间存在一个双射.3.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系r R ：1,,.r aR b ab H a b G -⇔∈∀∈由等价关系r R 所决定的类称为H 的右陪集.包含元素a 的左陪集等于Ha .4.（Lagrange 定理）设G 是有限群，H 是G 的子群，则||[:]||.G G H H =5.有限群G 的每一个元素的阶都是||G 的因数；素数阶的群都是循环群.例如，6阶有限群的任何子群的阶数都是其正因子：1，2，3，6. 设G 是有限群，H 是G 的正规子群，若||H 与[:]G H 互素，则H 是G 中唯一的||H 阶子群.例. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是1，2，4，而1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身.二阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群，因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.8 正规子群与商群1.设N G ≤，若a G ∀∈都有,aN Na =则称N 是G 的正规子群或不变子群，记作.N G <2.设N G ≤，则下列各命题等价：（1）N G <（即,aN Na a G =∀∈）；（2）1,,;ana N a G n N -∈∀∈∈（3）1,;aNa N a G -⊆∀∈（4）1,;aNa N a G -=∀∈（5）N 的每一个左陪集也是N 的右陪集.3.设G 是群，记作N G <，令{}/|,G N aN a G =∈规定：(),,/,aN bN ab N aN bN G N =∀∈g则(/,)G N g 是一个群，称为G 关于N 的商群.4.商群/G N 的阶是N 在G 中的指数[:]G N ，且当G 是有限群时，/G N 的阶是||.||G N 2.9 正规子群与商群1.一个群G 与它的每一个商群/G N 同态.:/,,G G N a aN a G π→∀∈a称为自然（满）同态.自然同态π的核为N.2.（同态基本定理）设f 是群G 到群G '的同态，则（1）;Kerf G <（2）/Im .G Kerf f ≅3.（第一同构定理）设f 是群G 到G '的满同态，N G ''<，1()N f N -'=，则N G <，并且//.G N G N ''≅例. 设(6),(30)是整数加群¢的两个子群，证明：5(6)/(30).≅¢ 证明：令5:(6),6[6],f n n →则f 是到的一个满同态，且{}{}{}{}6(6)|(6)[0]6(6)|[6][0]6(6)|5|630|(30).Kerf n f n n n n n m m =∈==∈==∈=∈=¢因此，(30)(6)<，且5(6)/(30).≅¢ 第三章 环3.1 环的定义1、设R 是一个非空集合，具有两种代数运算：加法（记作“+”）与乘法（记作“g ”），若（1）(,)R +是一个加群；（2）(,)R g 是一个半群；（3）,,a b c R ∀∈都有乘法关于加法的左右分配律：(),(),a b c a b a c b c a b a c a +=++=+g g g g g g 则称R 是一个结合环，简称环，记作(,,)R +g .2、常见环（1）数环：数集关于数的加法、乘法所作成的环.例如2.⊂⊂⊂⊂ⅱぁ?（2）R 上的n 阶全矩阵环()n M R ：数环R 上全体n 阶矩阵关于矩阵加法、乘法.（3）R 上的一元多项式环[]R x ：数环R 上全体一元多项式关于多项式的加法、乘法.（4）高斯（Gauss ）整数环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ关于数的加法、乘法作成一个环.（5）设G 是一个加群，()E End G =是G 的所有自同态所组成的集合，规定：,,E x G στ∀∈∈，()()()(),()()(()),x x x x x στστστστ+=+=g 则(,,)E +g 是一个环，称为G 的自同态环.（6）商集{}[0],[1],,[1]m m =-关于加法运算[][][],a b a b +=+与乘法运算[][][],a b ab =g作成一个环(,,)m +，称为模m 的剩余类环.3、环的初步性质环R 关于加法是一个加群，R 具有加群的运算性质：（1）00,;a a a a R +=+=∀∈（2）()()0,;a a a a a a a R -=+-=-+=∀∈（3）(),;a a a R --=∀∈（4）,,,;a b c b c a a b c R +=⇔=-∀∈（5）(),(),,;a b a b a b a b a b R -+=----=-+∀∈（6）()(),(),,,,;m na mn a n a b na nb m n a b R =+=+∀∈∈¢其次，环R 关于乘法是一个半群，而且加法与乘法通过左右分配律相联，从而R 还具有如下性质：（7）(),(),,,;a b c ac bc c a b ca cb a b c R -=--=-∀∈（8）000,;a a a R ==∀∈（9）()(),()(),,;a b a b ab a b ab a b R -=-=---=∀∈00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡（10）121212121111(),(),,;,,;n n n n i m n mn i j i j i j i j i j a b b b ab ab ab b b b a b a b a b a a b R a b a b a b R ====+++=++++++=+++∀∈⎛⎫⎛⎫=∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑L L L L（11）()()(),,,.na b a nb n ab n a b R ==∀∈∈¢4、若环R 的乘法运算g 适合交换律，则称R 是交换环.5、若在环R 中，半群(,)R g 有单位元，则称R 是有单位元环，或称R 是带1的环.6、设R 是一个环，0a R ≠∈，若0b R ∃≠∈，使0(0),ab ba ==则称a 是R 的一个左（右）零因子.当a 既是R 的左零因子，又是R 的右零因子时，则称a 是R 的零因子. 例如，模12的剩余类环12¢是有零因子环：[3][4][12][0]==.例1. 求所有形如的矩阵组成的环R 的零因子.解：对任意的由于00000,0a x y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以环R 的每个非零元素都是R 的右零因子，且每个形如00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的元素都是R 的左零因子.又当0≠a 时，如果0000000,*a x y ax ay ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则有0,0==y x .所以00,0*a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭不是环R 的左零因子.所以环R 的左右零因子分别是00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 与 00,x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x ,不全为0. 7、设环R 不含左、右零因子，则称R 是无零因子环.8、一个有单位元、无零因子的交换环称为整环.9、设R 是一个环，若（1）R 至少包含两个元素；（2）R 有单位元；（3）R 中每个非零元都可逆；则称R 是一个除环（或体，斜域）.一个交换除环称为域.除环具有以下性质：（1）设R 至少包含两个元素，则R 是除环R ⇔中全体非零元组成的集合R *关于乘法作成一个群；（2）除环R 是无零因子环；（3）在除环R 中，,,0a b R a ∀∈≠，方程ax b =与ya b =都有唯一解.（4）一个至少含有两个元素，且没有零因子的有限环是除环.（5）一个有限整环是域.11、设R 是一个环，若存在最小正整数n ，使对于所有a R ∈，都有0na =，则称n 是环R 的特征（数）.若这样的n 不存在，则称环R 的特征（数）是零.环R 的特征（数）记作chR .在一个无零因子环R 中，所有非零元（对于加法）的阶全相等.12、设R 是一个环，且0chR n =>，则（1）当R 是有单位元时，n 是满足10n =g 的最小正整数；（2）当R 是无零因子时，n 是素数.13、域F 的特征或是素数，或是零.3.2 子环1、设R 是一个环，S R ∅≠⊆，若S 关于R 的加法、乘法作成环，则称S 是R 的一个子环，R 是S 的扩环，记作S R ≤.平凡子环：{0},.R非平凡子环：,{0},.S R S S R ≤≠≠2、(1)设R 是一个环，S R ∅≠⊆，则S 是R 的子环,a b S ⇔∀∈，有,.a b ab S -∈(2)设R 是一个除环（域），S R ∅≠⊆，则S 是R 的子除环（子域）,a b S ⇔∀∈，有1,(0).a b ab b S --≠∈3、当S 是R 的一个子环时，S 与R 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则S 也是交换环.②当S 是交换环时，R 未必是交换环. 例如20|,,().0a a b M b ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ （2）在有无零因子上.①若R 是无零因子环，则S 也是无零因子环.②当S 是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如12¢有零因子[3],[4]等，但{}[0],[4],[8]没有零因子.（3）在有无单位元上.①若R 有单位元，S 可以没有单位元. 例如¢有单位元1，但其子环2¢没有单位元.②若S 有单位元，R 可以没有单位元. 例如0|,,|,.0000a b a R a b S a b ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭ ③若R 与S 都有单位元，它们的单位元可以不同. 例如210(),;01010|,,.0000M a S a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭¡¡ 4、设R 是环，I 是一个指标集，()i S R i I ≤∈，则i i I S R ∈≤I .5、设R 是环，T R ∅≠⊆，令{}12|,n i S x x x x T n =±∈∈∑L ?则S R ≤.上述子环S 称为由T 生成的子环，记作[]T .并称T 中元素是[]T 的生成元，T 是[]T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称[]T 是有限生成的，并可以记作12[,,,]l t t t L .特别地，1[]|,m i i i i t n t n m =⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭∑ⅴ. 6、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M S T S R i I =⊆≤∈是R 的所有包含T 的子环族，则i i IT S ∈=I .3.3 环的同态与同构1、设R 与R '都是环，f 是R 到R '的映射，若f 保持运算，即,x y R ∀∈，有()()(),()()(),f x y f x f y f xy f x f y +=+= 则称f 是R 到R '的同态.单同态：同态f 是单射.满同态：同态f 是满射，并称R 与R '同态，记作R R ':. 同构：同态f 是双射，并称R 与R '同构，记作R R '≅. 环R 的自同态：R 与R 的同态；环R 的自同构：R 与R 的同构.2、设f 是环R 到环R '的同态.（1）若0是R 的零元，则(0)f 是R '的零元；（2）,()()a R f a f a ∀∈-=-；（3）若S R ≤，则()f S R '≤；（4）若S R ''≤，则1()f S R -'≤.3、当:f R R '→是满同态时，R 与R '在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则R '也是交换环.②当R '是交换环时，R 未必是交换环. 例如0:.00a b a f c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a （2）在有无零因子上.①当R 是无零因子环时，R '未必是无零因子环. 例如:m f ，¢没有零因子，m 是合数时，m ¢是有零因子环.②当R '是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如 0:;00001010.0000a b a f c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a （3）在有无单位元上.①若R 有单位元1，则R '有单位元(1)f .②当R '有单位元时，R 未必有单位元. 例如010:;000000a b a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a 4、设环R R '≅，则R 是整环（除环，域）R '⇔是整环（除环，域）.5、设f 是环R 到环R '的同态，g 是环R '到环R ''的同态，则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的同态.6、设f 是环R 到环R '的满同态（单同态，同构），g 是环R '到环R ''的满同态（单同态，同构），则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的满同态（单同态，同构）.7、设f 是环R 到环R '的同态，0'是R '的零元，则称{}|()0Kerf x R f x '=∈=是的同态核.8、设f 是环R 到环R '的同态，0是R 的零元，则f 是单同态{}0.Kerf ⇔=3.4 理想与商环1、设(,,)R +g 是一个环，(,)A +是(,)R +的一个子加群，（1）若,r R a A ∀∈∈有ra A ∈，则称A 是R 的左理想；（2）若,r R a A ∀∈∈有ar A ∈，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，又是R 的右理想，则称A 是R 的（双侧）（双边）理想，记作A R <.若A R <，且A R ≠，则称A 是R 的真理想.理想是子环，子环不一定是理想.2、只有零理想{}0与单位理想R 的环R 称为单环. 除环是单环.3、设R 是一个环，I 是一个指标集，()i A R i I ∈<，则i i IA R ∈<I .注：理想的并集一般不是理想.5、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M A T A R i I =⊆∈<是R 的所有包含T 的理想族，则称i i IA ∈I 是由T 所生成的理想，记作()T .并称T 中元素是()T 的生成元，T 是()T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称()T 是有限生成的，并可以记作12(,,,)l t t t L . 特别地，由一个元素a 生成的理想()a 称为主理想.3、设R 是一个环，a R ∈，T R ∅≠⊆，则{}()|,,,,i i i i a x ay sa at na x y s t R n =+++∈∈∑¢.且有（1）若R 是有单位元环，则{}()|,i i i i a x ay x y R =∈∑；（2）若R 是交换环，则{}()|,a ra na r R n =+∈∈¢；（3）若R 是有单位元的交换环，则{}()|a ra r R =∈；（4）{}()|(),i i i i T x x t t T =∈∈∑.例1. 求整数环¢上一元多项式环[]x ¢的理想(2,)x ，并证明(2,)x 不是主理想. 证明：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈¢¢ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.若(2,)(()),()[],x p x p x x =∈¢则2(()),(()),2()(),()(),(),()[],(),(),1(2,)p x x p x p x q x x p x h x q x h x x p x a x ah x a x ∈∈==∈=∈==±∈¢¢这与1(2,)x ±∉矛盾.得证.4、设R 是环，A R <，在商群{}{}(,)/(,)[]||R A x x R x A x R ++=∈=+∈中再规定：[][][],[],[]/x y xy x y R A =∀∈g ，则(/,,)R A +g 是一个环，/R A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[]x x A =+称为R 模A 的剩余类.5、（1）若R 是交换环，则/R A 也是交换环；（2）若R 是有单位元1的环，则/R A 有单位元[1].6、一个环R 与它的每一个商环/R A 同态.自然同态：:/,[],R R A x x x A x R π→=+∀∈a . 且有.Ker A π=7、（同态基本定理）设f 是环R 到环R '的同态，则（1）Kerf R <；（2）/Im R Kerf f ≅.8、（第一同构定理）设f 是环R 到环R '的满同态，A R ''<，1()A f A -'=，则A R <，并且//R A R A ''≅.9、设f 是环R 到环R '的满同态，若A R <，则()f A R '<.3.5 素理想与极大理想1、设R 是交换环，P 是R 的一个理想，若,,a b R ab P a P ∀∈∈⇒∈或b P ∈，则称P 是R 的素理想.单位理想是素理想.当R 是无零因子交换环时，零理想也是素理想；当R 有零因子时，零理想不是素理想.2、设P 是有单位元的交换环R 的一个理想，则P 是R 的素理想/R P ⇔是整环.例1. 试求模18的剩余类环18¢的所有素理想.解：（1）18¢有6个子加群：{}{}{}{}{}18{[0]},[0],[1],,[17],([2])[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],([3])[0],[3],[6],[9],[12],[15],([6])[0],[6],[12],([9])[0],[9].=====它们也是18¢的所有子环，也是18¢的所有理想.（2）因为[2][3][6]([6]),=∈但是[2],[3]([6]),∉所以([6])不是18¢的素理想.同理可证，{0},([9])都不是18¢的素理想.（3）对于([3])，设18[],[],[][]([3])a b a b ∈∈¢，则[][]([3]),[3][0],18|3a b r ab r ab r =-=-，从而存在m ∈¢，使318,183.ab r m ab m r -==+因为3|18，所以3|ab ，从而3|a 或3|b ，因此[]([3])a ∈或[]([3])b ∈，所以([3])是18¢的素理想.同理可证，([2])也是18¢的素理想.（4）显然单位理想18¢是18¢的素理想.3、设M 是环R 一个真理想，若对于的理想N ，M N N R ⊂⇒=，则称M 是R 的极大理想.R 中包含极大理想M 的理想只有R 与M .环R 本身不是的极大理想.若R 只有平凡理想，则零理想是R 的极大理想. 一个环可以有多个极大理想，也可以没有极大理想.4、设M 是有单位元的交换环R 的一个理想，则M 是R 的极大理想/R M ⇔是域.5、在有单位元的交换环中，极大理想一定是素理想.例2. 证明：在整数环¢上一元多项式环[]x ¢中，(2,)x 是一个极大理想. 证：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈ⅱ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.令[0],2|(0),(())[1],f f x ϕ⎧=⎨⎩其它 …………(3分) 则ϕ是满同态，且ker {()[]|(())[0]}{()[]|2|(0)}(2,),f x x f x f x x f x ϕϕ=∈==∈=¢¢ 由同态基本定理，2[](2,)x x ≅¢¢，2¢是域，则 [](2,)x x ¢ 也是域，(2,)x 是[]x ¢的极大理想. 3.6 商域1、（挖补定理）设S 是环R 的子环，S S '≅，S R '⋂=∅，则存在S '的扩环R '， 使R R '≅.2、每一个无零因子交换环R 都可以扩充为一个域F .3、无零因子交换环R 的扩域F 的构造为{}1|,F ab a R b R -*=∈∈.4、设R 是无零因子交换环，F 是R 的扩域，且{}1|,F ab a R b R -*=∈∈则称F 是R 的商域（或分式域）.5、（1）设F 是环R 的商域，F '是环R '的商域，若R R '≅，则F F '≅.（2）设F 与F '都是环R 的商域，则F F '≅.即，在同构的意义下，环的商域是唯一的.（3）环R 的商域是R 的最小扩域.例如¤是¢的商域，¡不是¢的商域.3.7 多项式环1、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，R α'∈，则R '中形如()2012,{0}n n i a a a a a R n ααα++++∈∈⋃L ?的元素称为R 上α的一个多项式，记作()f α；i a 称为()f α的系数，i i a α称为()f α的项.2、用[]R α表示全体R 上α的多项式所组成的集合，[]R α称为R 上α的多项式环.3、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，x R '∈，若()201201,{0}0,nn i n a a x a x a x a R n a a a ++++∈∈⋃⇒====L ?L则称x 是R 上的未定元.称x 的多项式 ()2012(),{0}n n i f x a a x a x a x a R n =++++∈∈⋃L ?是一元多项式.当0n a ≠时，称n n a x 是()f x 的首项；称n a 是()f x 的首项系数；称n 是()f x 的次数，记作deg ()f x ，零多项式0没有次数.[]R x 称为R 上的一元多项式环.4、设(),()f x g x 是[]R x 中两个非零多项式，则（1）(){}deg ()()max deg (),deg ()f x g x f x g x +≤，（2）()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x ≤+，且当()f x 与()g x 的最高次项系数不是零因子时，有()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x =+5、设R 是一个有单位元的交换环，则一定存在R 上的未定元x ，从而存在一元多项式环[]R x .6、设(),()[]f x g x R x ∈，且()0g x ≠，若()g x 的首项系数是可逆元，则存在唯一的一对多项式(),()[]q x r x R x ∈，使()()()(),()0f x g x q x r x r x =+= 或 deg ()deg ()r x g x <.7、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n R ααα'∈L ，把环12[][][]n R αααL 称为R 上的12,,,n αααL 的多项式环，记作12[,,,]n R αααL .12[,,,]n R αααL 中的元素称为R 上12,,,n αααL 的多项式，它们都可以表示为()1212n n i i i i i i a a R ∈∑L L 其中仅有有限个120n i i i a ≠L ，12n i i i a L 称为这个多项式的系数.8、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n x x x R '∈L ，若()1212121212000,1,2,;1,2,,n n n n i i i i i i n i i i i i i j a x x x a i j n =⇒===∑L L L L L L则称12,,,n x x x L 是R 上的无关未定元.称12,,,n x x x L 的多项式()1212121212n n n n i i i i i i n i i i i i i a x x x a R ∈∑L L L L 是n 元多项式.称12[,,,]n R x x x L 是n 元多项式环.9、设R 是一个有单位元的交换环，n ∈¥，则一定存在R 上的无关未定元12,,,n x x x L ，从而存在n 元多项式环12[,,,]n R x x x L .第四章 整环里的因子分解在本章中，I 都表示整环，其单位元是1.4.1 不可约元、素元、最大公因子1、整环I 中的可逆元ε称为I 的单位.ε是单位()I ε⇔=.一个元素个数大于2的整环中至少有两个单位：1和1-.整数环只有两个单位，即1和1-.域F 中的每一个非零元都是单位.2、整环I 的全体单位关于I 的乘法构成一个交换半群.3、设,a b I ∈，若c I ∃∈，使a bc =则称b 整除a ，或b 是a 的因子，记作|b a .4、整除关系具有下列性质.（1）|,||c b b a c a ⇒；（2）|()()b a a b ⇔⊆；（3）|,|,a b b a b a εε⇔=是I 的单位()()b a ⇔=；（4）ε是I 的单位|1ε⇔；（5）设b I ∈，ε是I 的单位，若|b ε，则b 也是I 的单位；（6）设a I ∈，ε是I 的单位，则|,|a a a εε.5、设,a b I ∈，若|a b 且|b a ，则称a 与b 相伴，记作a b :.6、设,,a b c I ∈，则下列各个命题等价：（1）a b :；（2）,b a εε=是I 的单位；（3）()()a b =.7、相伴关系是整环I 上的一个等价关系.8、设,a b I ∈，若|b a ，但b 不是单位，且b 与a 不相伴，则称b 是a 的真因子.9、设,a b I ∈，则b 是a 的真因子()()a b I ⇔⊂⊂.10、单位没有真因子.11、设a I ∈，且a bc =，若b 是a 的真因子，则c 也是a 的真因子.12、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，若a 在I 中没有真因子，则称a 是I 的一个不可约元；若a 在I 中有真因子，则称a 是I 的一个可约元.13、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，则a 是I 的可约元a bc ⇔=，且,bc 都不是单位.14、一个不可约元的相伴元也是不可约元.15、设p I ∈，且0p ≠，p 不是单位，若由|p ab 可推出|p a 或|p b ，则称p 是I 的一个素元.16、在整环I 中，每一个素元都是不可约元.17、设,a b I ∈，若d I ∃∈，使（1）|,|d a d b ；（2）,|,||c I c a c b c d ∀∈⇒；则称d 是a 与b 的最大公因子. 18、最大公因子有以下基本性质：（1）(,0)a a :；（2）(,)00a b a b ⇔==:；（3）a I ∀∈与单位ε，有(,)a εε:.19、设,a b I ∈，a 与b 的最大公因子存在，且是单位，则称a 与b 互素.a 与b 互素，当且仅当除单位外，a 与b 无其他公因子20、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则,,a b c I ∈，有（1）(,(,))((,),)a b c a b c :；（2）(,)(,)c a b ca cb :；（3）(,)1,(,)1(,)1a b a c a bc ⇒:::.4.2 唯一分解环1、设a I ∈满足：（1）有一个因子分解式12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（1）若同时又有因子分解式12s a q q q =L （j q 是I 中不可约元）；那么s r =，并且可以适当调换因子的次序，使(1,2,,)i i q p i r =:L . 则称a 为I 中的唯一分解元，并称r 是a 的长.2、设a 是唯一分解元，若在a 的分解式中，有t 个不可约因子12,,,t p p p L 互不相伴，且其他的不可约因子都与某个i p 相伴，则a 的分解式可以写作：1212t e e e t a p p p ε=L ，其中ε是单位，i e ∈¥.这个式子称为a 的标准分解式.3、若整环I 中每一个既不是零又不是单位的元都是唯一分解元，则称I 是唯一分解环.4、在一个唯一分解环I 中，若元a 的不可约因子已知，则可确定出a 的所有真因子（至多相差单位因子），且元a 的长大于其任一真因子的长.5、在一个唯一分解环I 中，任意两个元都有最大公因子，每一个不可约元都是素元.7、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则I 中的每一个不可约元都是素元.8、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的每一个不可约元p 都是素元；则I 是唯一分解环.9、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的任意两个元都存在最大公因子；则I 是唯一分解环.例1. 设[3]{3|,}{3|,}I m n m n m n i m n =-=+-∈=+∈ⅱ?（1）ε是I 的单位2||11εε⇔=⇔=±；（2）求2的相伴元；（3）I 中适合条件2||4a =的元a 是I 的不可约元；（4）2是I 的不可约元，但不是I 的素元；（5）I 不是唯一分解环.证：（1）循环论证法.若ε是I 的单位，则I ε'∃∈，使1εε'=.两边取模的平方，得22||||1εε'=. 设3m n ε=+-，则222||3m n εεε==+是正整数.同理2||ε'也是正整数，于是2||1ε=.若2||1ε=，则2231m n +=，所以0,1n m ==±，即1ε=±.显然1±是I 的单位.（2）由（1）及相伴元的定义，2的相伴元只有2与2-.（3）因为2||4a =，所以0a ≠且不是单位.设3b m n I =+-∈是a 的一个因子，则a bc =，c I ∈，于是2224||||||a b c ==.但是对于任何正整数222,,||32m n b m n =+≠，所以2||1b =或4.若2||1b =，则b 是单位；若2||4b =，则2||1c =，于是c 是单位，所以b a :.从而a 只有平凡因子，因此a 是不可约元.（4）因为2|2|4=，由（1）知，2是I 的不可约元.下面证2不是I 的素元.首先2|(13)(13)+---.若2|13+-，则存在c I ∈，使132c +-=.于是222|13||2|||c +-=，即244||c =，从而2||1c =，1c =±，但这是不可能的.所以2/|13+-.同理2/|13--.因此2不是I 的素元.（5）I 的单位只有1与1-，从而4是I 中一个既不是零元也不是单位的元，而且422(13)(13)=⋅=+--- 因为222|2||13||13|4=+-=--=，所以都是I 的不可约元.又因为213/+-:，213/--:，所以4有两种本质上不同的不可约元的因子分解，从而4不是唯一分解元.因此[3]I =-¢不是唯一分解环.4.3 主理想环1、若整环I 的每一个理想都是主理想，则称是主理想环.例如，整数环¢和域F 上的一元多项式环[]F x 都是主理想环；但¢上的一元多项式环[]x ¢不是主理想环：(2,)x 不是主理想.2、设是一个主理想环，若在序列123,,,(,1,2,3,)i a a a a I i ∈=L L中每一个元都是前面一个元的真因子，则这个序列一定是有限序列.3、每一个主理想环都是唯一分解环.4、设I 是主理想环，,a b I ∈，则(,)()a b d d =⇔是a 与b 的一个最大公因子.5、设I 是主理想环，12,,,s a a a I ∈L ，则12(,,,)()s a a a d d =⇔L 是12,,,s a a a L 的一个最大公因子.6、设I 是一个主理想环，p 是I 中的非零元，则()p 是I 的极大理想p ⇔是I 的不可约元.4.4 欧氏环1、设I 是整环，若（1）存在一个由\{0}I I *=到非负整数集{0}⋃¥的映射ϕ；（2）,,,a I b I q r I *∀∈∈∃∈，使,0b aq r r =+=或()()r a ϕϕ<；则称I 是一个欧氏环.例如，整数环¢，高斯整（数）环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ，域F 上的一元多。
保形映射例题
保形映射例题摘要：1.保形映射的定义与概念2.保形映射的性质与特点3.保形映射的例题解析4.保形映射在实际问题中的应用正文：保形映射，又称等形映射，是一种特殊的映射，它保持了映射前后图形的形状。
具体来说，保形映射是指在平面上将一个区域映射到另一个区域，使得映射前后区域的形状保持不变，即映射前后区域的边界曲线（或表面）保持一致。
它具有以下性质和特点：1.保持边界曲线（或表面）的一致性：这是保形映射最基本的特点，也是其名字的来源。
在保形映射下，原图形的边界与映射后图形的边界完全重合，即形状不变。
2.保持角度不变：在保形映射下，原图形中任意两个相邻点的夹角与映射后图形中对应点夹角相等。
3.保持长度不变：在保形映射下，原图形中任意两个相邻点之间的距离与映射后图形中对应点距离相等。
4.线性：保形映射具有线性性质，即对原图形中的任意点施加相同的映射，其结果是原图形的放大或缩小。
下面我们来看一个保形映射的例题。
题目如下：例题：在平面直角坐标系xy 中，已知区域D：{x|-1≤x≤1, y|-1≤y≤1}，区域C：{x|0≤x≤2, y|0≤y≤2}，试求一个保形映射，将区域D 映射到区域C。
解析：首先，我们可以通过计算得知，区域D 与区域C 的形状相同，但大小不同。
因此，我们需要找到一个映射，使得区域D 放大或缩小后能够完全覆盖区域C。
解法一：我们可以将区域D 中的每个点(x, y) 映射为(x/2, y)，这样，区域D 在映射后会放大为原来的2 倍，可以完全覆盖区域C。
解法二：我们也可以将区域D 中的每个点(x, y) 映射为(x/2, y/2)，这样，区域D在映射后会放大为原来的2倍，可以完全覆盖区域C。
第七章 保形变换
z
1 （3） w 可称为倒数映射，它可分解： z 1 w w1 w1 z
关于圆周的对称点：设 C 为以原点为中心，半径 为 r 的圆周。在以圆心为起点的一条射线上，如 果有两点P与 P 满足关系式 OP OP r 2，则称 P与 P 是关于圆周C的对称点。
设P在圆周C外，从P作圆周的切线PT，切点为T， 由T作OP的垂线 T P ，与OP交于 P ，则P与 P 即互为对称点（如图）。因为 OPT ∽ OTP ， OP OT 所以 OT OP ,即 OP OP r 2 。
z
Argw(t0 ) Argf ( z0 ) Argz(t0 ) Argf ( z0 ) Argw(t0 ) Argz(t0 )
若假定 平面的 x轴与 w 平面的 u 轴，y 轴与 v 轴 的正向相同，且将原来的切线正向与映射后的 切线正向之间的夹角理解为曲线C经过 w f ( z ) 映射后在 z0 处的转动角。
w(t0 ) f ( z0 ) z(t0 ) 0
z
结论：1）导数 f ( z0 ) 0 的辐角 Argf ( z0 ) 是曲 线C经过 w f ( z) 映射后在 z0 处的转动角。
2 ）转动角的大小与方向跟曲线 C 的形状与方向 无关。故称此种映射具有转动角不变性或保角 变换。
定义:如果 w f ( z) 在区域D内是单叶且保角的, 则称变换 w f ( z) 在D内是保形的,也称为D内 的保形变换. 例:讨论解析函数 和保形性.
w z
n
(n为正整数)的保角性
解 :由
角的. n 又由于 w z 的单叶性区域是顶点在原点张 角不超过 2 n 的角形区域.故在此角形区域内 n w z 是保形的.在张角超过 2 n 的角形区 域内,不是保形的.但在其中各点的邻域内是保形 的.
B（H）上保持Jordan积非零投影性的线性映射
B（H）上保持Jordan积非零投影性的线性映射李倩;吉国兴【摘要】设B（H）是复Hilbert空间H上的有界线性算子全体且dim（H）≥2,证明了当H是有限维时,B（H）上的线性映射φ保持算子Jordan积非零投影性的充分必要条件是存在B（H）中的酉算子U以及常数λ∈{-1,1},使得φ（X）=λUXU＊,X∈B（H）或φ（X）=λUXTU＊,X∈B（H）;同时得到了有界线性满射φ保持算子Jordan积非零投影性的特征.%Let B（H） be the set of all bounded linear operators on a complex Hilbert space H with dim（H）≥2.It is proved that a linear map φ on B（H） preserves the non-zero projection property of Jordan products of two operators if and only if there is a unitary operator U in B（H）and λ∈{-1,1},such that φ（X）=λUXU＊,X∈B（H）or φ（X）=λUXTU＊,X∈B（H）.At the same time,related results for bounded linear surjective maps preserving non-zero projection property of Jordan product property of operators are also obtained【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(040)002【总页数】4页(P19-22)【关键词】线性映射;非零投影;Jordan积【作者】李倩;吉国兴【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O177.1近年来，算子代数及算子空间上的线性或非线性映射保持问题引起很多学者的广泛兴趣.其中，矩阵及算子乘积的保持问题受到部分学者的关注，并且对此做了很多研究，如保持自伴矩阵乘积的线性映射特征［1－2］，保持算子积的幂等性和幂零性满射的特征［3－4］，文献［5］考虑了保持算子积投影性的线性映射.另一方面，还有学者考虑了保持Jordan积性质的映射，如算子代数上保持Jordan零积的可加映射的特征［6］，自伴算子空间上保持算子Jordan零积及Jordan积范数映射的特征［7］.由此可知，研究线性算子Jordan积的部分特性作为算子代数的同构不变量是一个值得研究的问题.受此启发，本文研究B（H）上保持Jordan积非零投影性的线性映射的特征.为了更清楚的阐述主要定理，需要给出一些概念和固定记号.设H是复Hilbert空间，B（H）是H上的有界线性算子的全体.对任意的子集S⊆H，记［S］为由S生成的闭空间，P＊是B（H）中非零投影的全体.对任意的非零向量x、y∈H，x⊗y表示一秩算子，即（x⊗y）（z）＝〈z，y〉x，∀z∈H.特别地，对任意的单位向量x∈H，x⊗x是一秩投影，F（H）表示有限秩算子的全体.∀A∈B（H），rankA表示A 的秩，AT表示算子A在H的某组固定基下的转置.设P、Q∈P＊，若PQ＝QP＝0，则称P与Q是正交的，记为P⊥Q.设A、B∈B（H），称A◦B＝（AB＋BA）／2为算子A、B的Jordan积.当B＝A 时，A2＝A◦A.设φ是B（H）上的映射，∀A、B∈B（H），若A◦B∈P＊，都有φ（A）◦φ（B）∈P＊，称φ保持算子Jordan积的非零投影性.若φ是线性映射，则称φ是保持算子Jordan积的非零投影性的线性映射.设A、B∈B（H），Δ（X）＝AXB，∀X∈B（H），称Δ为长度为1的初等算子.在不引起混淆时，I表示所有复Hilbert空间上的恒等算子.下面先考虑初等算子Δ保持算子Jordan积非零投影性的条件.命题1 设Δ是B（H）上长度为1的初等算子.则Δ保持算子Jordan积的非零投影性当且仅当存在等距算子U∈B（H）及常数λ∈｛－1，1｝，使得Δ（X）＝λUXU＊，∀X∈B（H）.设φ是B（H）上保持算子Jordan积非零投影性的线性映射，则对任意非零投影P，φ（P）2也是非零投影.引理1 设H是dim（H）≥2的复Hilbert空间，φ是B（H）上的线性映射.若φ保持算子Jordan积的非零投影性，则以下结论成立：（ⅰ）对任意的P、Q∈P＊且P⊥Q，都有φ（P）2⊥φ（Q）2；（ⅱ）φ保持幂零算子.对于F（H）上的线性映射φ，如果对任意的A∈F（H）都有φ（A）的秩不超过A的秩，则称φ是秩不增线性映射.引理2［9］设φ是F（H）上的秩不增线性映射，且存在T0∈F（H），使得rank（φ（T0））＞1，则下列结论之一成立：（ⅰ）存在H上的线性映射A和C，使得对任意的x、y∈H，都有φ（x⊗y）＝Ax⊗Cy；（ⅱ）存在H上的共轭线性映射A和C，使得对任意的x、y∈H，都有φ（x⊗y）＝Cy⊗Ax.下面给出主要结论.定理1 设H是复Hilbert空间且dim（H）＝n＜∞，φ是B（H）上的线性映射，则φ保持算子Jordan积非零投影性的充分必要条件是存在B（H）中的酉算子U以及常数λ∈｛－1，1｝，使得由H是有限维的，则对任意的B（H）中的算子都可以写成一秩算子的线性组合.又φ（I）＝I，根据文献［9，推论2.1.7］知φ是F（H）上的秩不增的线性映射，从而φ满足引理2的两个结论之一.若φ满足（ⅰ），即存在A、C∈B（H），使得∀x、y∈H，都有φ（x⊗y）＝Ax⊗Cy＝Ax⊗yC＊，则对任意的算子X∈B （H），都有φ（X）＝AXC＊.由命题1以及假设φ（I）＝I知，存在酉算子U，使得φ（X）＝UXU＊，∀X∈B（H）.同理可证φ满足引理2（ⅱ）时，存在酉算子U，使得φ（X）＝UXTU＊，∀X∈B（H）.当φ（I）＝－I时，用－φ代替φ，可证明存在酉算子U∈B（H），使得φ（X）＝－UXU＊，∀X∈B（H）或φ（X）＝－UXTU＊，∀X∈B（H）.证毕.定理2 设H是无限维复Hilbert空间，φ是B（H）上的有界线性满射，则φ保持算子Jordan积非零投影性的充分必要条件是存在B（H）中的酉算子U 以及常数λ∈｛－1，1｝，使得φ（X）＝λUXU＊，∀X∈B（H）或φ（X）＝λHXTU＊，∀X∈B（H）.证明由引理1（ⅱ）知φ保持幂零算子，又φ是有界线性映射，则根据文献［9，定理6.3.6］，可知存在非零复数λ和可逆算子A，使得φ（X）＝λAXA－1，∀X∈B（H）或φ（X）＝λAXTA－1，∀X∈B（H），又φ保持算子Jordan积非零投影性，根据命题1，知存在等距算子U∈B（H），使得φ（X）＝λUXU＊，∀X∈B（H）或φ（X）＝λUXTU＊，∀X∈B（H）.由φ是满射，知U 是满的，即U 是酉算子.证毕.定理1完全刻画了当Hilbert空间H是有限维时B（H）上的保持算子Jordan积非零投影性的线性映射，而当H是无限维时定理2只对保持算子Jordan积非零投影性的有界满射进行了刻画，对于一般保持算子Jordan积非零投影性的映射有待进一步的研究.【相关文献】［1］Fang Li，Ji Guoxing.Linear maps preserving products of positive or Hermitian matrices［J］.Linear Algebra and its Applications，2006，419（2／3）：601-611.［2］高亚玲，吉国兴.B（H）上保持逼近酉相似的线性映射［J］.陕西师范大学学报：自然科学版，2009，37（5）：11-13，19.［3］Li Chi-Kwong，Semrl Peter，Sze Nung-Sing.Maps preserving the nilpotency of products of operators［J］.Linear Algebra and its Applications，2007，424（1）：222-239.［4］Wang Meili，Fang Li，Ji Guoxing.Linear maps preserving idempotency of productsor triple Jordan products of operators［J］.Linear Algebra and its Applications，2008，429（1）：181-189.［5］吉国兴，曲凡连.保持算子乘积投影的线性映射［J］.数学学报，2010，53（2）：315-322. ［6］Zhao Liankuo，Hou Jinchuan.Jordan zero-product preserving additive maps on operator algebras［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，314（2）：689-700.［7］Chebotar Mikhail A，Ke Wen-Fong，Lee Pjek-Hwee.On maps preserving zero Jordan products［J］.Monatshefte für Mathematik，2006，149（2）：91-101.［8］BreˇSar Matej，ˇSemrl Peter.On locally linearly dependent operator s and derivations ［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1999，351（3）：1257-1275. ［9］侯晋川，崔健莲.算子代数上的线性映射引论［M］.北京：科学出版社，2002：18，194.。
计算机专业基础综合计算机组成原理(多层次的存储器)模拟试卷2
计算机专业基础综合计算机组成原理（多层次的存储器）模拟试卷2(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：12，分数：24.00)1.存储周期是指( )。
A.存储器的读出时间B.存储器的写入时间C.存储器进行连续读和写操作所允许的最短时间间隔√D.存储器进行连续写操作所允许的最短时间间隔2.某单片机字长16位，它的存储容量64KB，若按字编址，那么它的寻址范围是( )。
A.64KB.32K √C.64KBD.32KB3.某DRAM芯片，其存储容量为512K×8位，该芯片的地址线和数据线数目为( )。
A.8，512B.512，8C.18，8D.19，8 √4.某计算机字长32位，其存储容量为4GB，若按字编址，它的寻址范围是( )。
A.1G √B.4GBC.4GD.1GB5.主存储器和CPU之间增加cache的目的是( )。
A.解决CPU和主存之间的速度匹配问题√B.扩大主存储器的容量C.扩大CPU中通用寄存器的数量D.既扩大主存容量又扩大CPU通用寄存器数量6.双端口存储器( )情况下会发生读／写冲突：A.左端口与右端口的地址码不同B.左端口与右端口的地址码相同√C.左端口与右端口的数据码相同D.左端口与右端口的数据码不相同7.下列说法中正确的是( )。
A.SRAM存储器技术提高了计算机的速度B.若主存由ROM和RAM组成，容量分别为2 n和2 m，则主存地址共需n+m位C.闪速存储器是一种高密度、非易失性的读／写半导体存储器√D.存取时间是指连续两次读操作所需间隔的最小时间8.在cache的地址映射中，若主存中的任意一块均可映射到cache内的任意一块的位置上，则这种方法称为( )。
A.全相联映射√B.直接映射C.组相联映射D.混合映射9.下列关于存储系统的描述中正确的是( )。
A.虚拟存储器技术提高了计算机的速度B.若主存由两部分组成，容量分别为2 n和2 m，则主存地址共需要n+m位C.闪速存储器是一种高密度、非易失性的只读半导体存储器√D.存取时间是指连续两次读操作所需间隔的最小时间10.下述有关存储器的描述中，正确的是( )。
复变函数与积分变换讲稿 第六章 保角映射
第六章 保角映射§1保角映射的概念一、 保角映射的基本问题在实用上，往往是给出两个区域D 和G ，要求找出一个解析函数，它将区域D 保形地变换到区域G 。
这就是保交映射的基本问题，比较一般的是归结为要找出一个解析函数，将区域D 保形地变换到单位圆内部区域的问题。
另外，要求这种保形变换必须是一一对应的，因此，要求被变换的区域必须是单连域。
黎曼定理：1．一个边界至少包含两点的单连域D ，存在一个解析函数)(z f w =，将区域D 保形地变 换为单位圆1<w 。
如果在D 内再任意指定一点0z ，并令,0)(0≠z f 及)(0'z f 是正实数，则保形变换函数是唯一存在的。
这个定理从理论上指出保形变换函数的存在与唯一性。
2．如果给出两个单连域D 和G ，它们的边界分别是多于两点的曲线C 和Γ，若能找到在 D 内是解析的，在闭区域C D D +=上是连续的，且能作出将C 到Γ双方正向的，一一对应的变换函数)(z f w =,则)(z f w =将D 保形变换到G 。
3．.边界对应原理：设单连域D 和G 的边界分别为C 和Γ。
若存在一个在D 内解析，在C 上连续的函数)(z f w =，它将z 平面上的边界C 一一对应地映射成w 平面上的边界Γ。
当原像点z 和像点w 在边界上的绕向一致时，则C 内的区域D 将映射成由边界Γ所围成的区域G ；反之，则C 内的区域D 将映射成Γ的外部区域'G 。
1）当321z z z →→，有321w w w →→，绕向一致时，则有00w z →，则区域D 将映射成区域G ；2）当321z z z →→，有123w w w →→，绕向相反时，则区域D 将映射成Γ的外部区域。
二、解析函数导数的几何意义设函数)(z f w =在区域D 内解析，0z 是D 内的一点，它与w 平面上的一点0w 对应，当z在经过0z 的某条曲线C 上移动时，则相应地w 在经过点0w 的一条曲线Γ移动。
Banach空间及其相关定理
课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。
首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。
然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。
最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。
关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
Ch 17.6-7 正规子群与商群,群的同态和同构
f(e1)=e2 ，f(x −1)=f(x)−1.
第三编 代数结构
15
同态映射的性质
同态保持元素的性质
f(e1)=e2，f(x−1)=f(x)−1，f 将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2. H⊴G1, f 为满同态⇒ f(H)⊴G2. 同态核的性质： ker f = { x | x∈G, f(x)=e2 }, ker f ={e1} ⇔ f 为单同态. kerf ⊴ G1；∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf . 同态基本定理
第三编 代数结构
19
例题
V=<Z6,⊕>,求V 上的同余关系 方法一：确定所有的等价关系，然后判断置换性质
方法二：先找自同态，由同态像确定同余关系
自同态为：fi:Z6→Z6, fi(x)=(ix) mod 6, i=0,1,2,3,4,5 f0 的同态像为{0}, f0 导出的同余关系为全域关系 f1 和f5 的同态像为Z6， f1 导出的同余关系为恒等关 系
第三编 代数结构
5
证明
N是G的t 阶子群，且是唯一的t 阶子群，则N是G的正规子 群.
证明 任取g∈G，则gNg-1≤G。（证明N≈gNg-1 ） 令f: N→gNg-1，f(n)＝gng-1，n∈N 假若f(n1)＝f(n2),则有gn1g-1=gn2g-1， 从而推出 n1＝n2，即f是单射。 任取gng-1∈gNg-1，则有n∈N且f(n)＝gng-1， 所以 f 是满射。从而N≈gNg-1。 由于G只有一个t 阶子群，故gNg-1＝N。 <N,*>是<G,*>的正规子群。
B(H)上的非线性强保交换映射
收 稿 日期 ：０ １０ —４ ２ １－７２
研究了非线性强保交换映射Ｌ ， １ ］在此基础上本文 卜
Ｎｏ ｌ ｅ ｒｓｒ ｎ ｏ ｎ ｉ ａ ｔｏ ｇｃ ｍｍ ｕ ａｉｉｙｐ ｅｅ ｖｎ ｐ ｎＢ（ ） ｎ ｔｔｖｔ ｒｓｒ ｉｇｍａ ｓｏ Ｈ
Ｚ ＨＡＮＧ ａ ｇｕ ｎ Ｆ ｎ ｊａ
（ ｃ ｏ ｌ ｆＳ ｉｎ ｅ Ｓ ｈ ｏ ｃｅ ｃ ，Ｘｉａ ｉｅ ｓｔ ｆＰ ｓ ｓａ ｄＴｅｅ ｏ ｏ ’ ｎＵｎｖ ｒｉｙｏ ｏ ｔ ｎ ｌｃ ｍｍｕ ｉａｉｎ ，Ｘｉａ １ １ １ ｎｃ ｔ ｓ ｏ ’ｎ ７ ０ ２ ，Ｃｈｎ ） ｉａ
Ｂ（ 上 的非 线 性 强保 交换 映射 Ｈ）
张 芳娟
（ 西安邮电学院 理学 院，陕西 西安 ７ ０ ２ ） １ １１
摘要 ： 运用算予论方 法， 究 Ｂ（ 上强保交换的非线性满射 。证 明了如果 是 Ｂ（ 上的非线性 满射强保 交换 研 Ｈ） Ｈ）
映射 ， 当且仅 当存在 常数 ａ １ 一１ 和 函数 ｆ Ｂ（ ． Ｃ ， 则 ∈｛ ， ） ： Ｈ）－ Ｉ 使得 对任 意 ＡＥＢ Ｈ） 有 （ 一 ＋厂 Ａ） － ＊ （ ， Ａ） （ 。得到 Ｂ
Ａｂｔ ｃ ： ｉｇｓｍｅ ｔｏ ｓ ｆ ｐ ｒｔｒ ｈ ｏ ｙ ｔａ ｉ ａｎ ｎｉｅ ｒ ｕｊｃｉｎｍａ ｎＢ（ ， ｓ ａ ｔ Ｕｓ ｏ ｈ ｄ ｅａｏ ｅ ｒ ， ｈ ｔ ｓ ｏ ｌ ａ ｒ ｔ ｐｏ Ｈ） ｒ ｎ ｍｅ ｏｏ ｔ ｎ ｓ ｅ ｏ
ｗｈｃ ｒｓｒ ｅ ｔｏ ｇｃ ｍｍｕａｉｉ ｉ ｕ ｓ ｄ ｔ ｓｐｏ ｅ ｈ ｔ ｆ ｉ ａｎ ｎｉｅ ｒｓ ｒ ｃｉｎ ｉｈｐ ｅｅｖ ｓｓｒｎ ｏ ｔｔ ｔ ｉ ｄｓ ｓｅ ．Ｉ ｉ ｒｖ ｄｔ ａ ｓ ｏ ｌ ａ ｕｊ ｔ ｖｙｓ ｃ ｉ ｎ ｅ ｏ
《保形映射正式版》课件
保形映射与其他领域的交叉研究
与计算机科学的结合
利用保形映射在计算机图形学、计算机视觉和机器学习等领域的 应用，开发新的算法和技术。
与物理学的联系
探索保形映射在物理学（如量子力学、流体动力学等）中的应用， 为解决物理问题提供新的思路和方法。
实例二：三维空间中的保形映射
刚体运动
在三维空间中，保形映射通常与刚体运动相关。例如，一个球体可以经过旋转和平移后仍然保持其形状。这种变换在三维几 何和物理模拟中非常常见，如地球的自转和公转。
实例三：数值模拟中的保形映射应用
数值稳定性
在数值模拟中，保形映射的应用可以帮助提高数值计算的稳定性和准确性。例如，在流体动力学模拟 中，保形映射可以确保流场在计算过程中的形状和大小保持不变，从而减少数值误差和失真。这有助 于提高模拟的可靠性和精度。
《保形映射正式版》 ppt课件
目录
Contents
• 保形映射概述 • 保形映射的基本理论 • 保形映射的算法实现 • 保形映射的实例分析 • 保形映射的未来发展与展望
01 保形映射概述
定义与性质
总结词
保形映射是一种保持图形形状和大小的映射方法，它 具有一些重要的性质，如连续性、可逆性和一一对应 性。
唯一性定理
不变性定理
保形映射将一些几何性质从一个图形 映射到另一个图形时，这些性质保持 不变。
在一定的条件下，一个映射是保形的 当且仅当它满足一定的偏微分方程。
保形映射的证明方法
解析方法
通过解析的方法，利用偏 微分方程和函数的性质来 证明保形映射的存在性和 唯一性。
比较方法
通过比较两个图形之间的 几何性质，来证明一个映 射是保形的。
《保形映射正式版》课件
保形映射的应用领域
保形映射在地图制作、 建筑设计、虚拟现实等 领域有着广泛的应用。
保形映射的数学基础
1 复平面和复函数
复平面和复函数是进行保形映射的数学基础，它们提供了对复数的几何和代数方面的描 述。
2 复变函数的导数和解析性
复变函数的导数和解析性是进行保形映射计算的关键概念，它们决定了映射的性质和变 换结果。
3 均匀收敛和亚纯函数
均匀收敛和亚纯函数是保证保形映射计算正确和有效的数学概念，它们确保了映射的稳 定性和准确性。
保形映射的具体算法
1
Schwarz-Christoffel映射
Schwarz-Christoffel映射是一种广泛应用于二维多边形的保形映射算法，可以将 任意多边形映射到单位圆盘。
2
映射到圆盘模型
总结与展望
保形映射的优势和不足
保形映射具有保持形状不变、应用广泛等 优势，但在某些情况下可能存在计算复杂 性和数学难题等不足。
未来研究的方向
未来的研究应该关注保形映射的算法优化、 应用扩展以及与其他数学方法的结合，推 动保形映射在更多领域的应用。
保形映射在实际问题中的应用
地图投影中的应用
计算机图形学中的应用
保形映射在地图制作中被广 泛应用，可以将三维地球表 面映射到二维平面地图上， 保持地图上地区的形状不变。
保形映射在计算机图形学中 用于图像的变形和形状的映 射，可以实现图像的扭曲、 拉伸等特效效果。
计算机视觉中的应用
保形映射在计算机视觉中用 于图像处理和特征匹配，可 以实现图像的对齐、变形和 匹配等操作。
通过选择特定的参数和函数形式，可以将一个区域映射到圆盘模型，实现保形 映射的效果。
3
映射到上半平面模型
1+X粮农食品安全测评模拟题(附参考答案)
1+X粮农食品安全测评模拟题（附参考答案）一、单选题（共40题，每题1分，共40分）1、以下操作容易造成果蔬矿物质类产品损失的有()。
A、辐照B、加热C、漂烫D、杀菌正确答案：C2、在以邻苯二甲酸氢钾(KHC8H4O4)为基准物标定NaOH溶液时,下列仪器中需用操作溶液淋洗三次的是( )。
A、滴定管B、容量瓶C、移液管D、锥形瓶正确答案：A3、平板计数法检验大肠菌群,在VRBA培养基中,其菌落直径为( )mm或更大。
最低稀释度平板低于15CFU的记录具体菌落数。
A、0.2~0.3B、0.5C、1.0~2.0D、2.0~3.0正确答案：B4、采用直接法配制标准溶液时,一定要使用( )试剂。
A、化学纯B、分析纯C、基准D、以上都是正确答案：C5、标定NaOH标准溶液所用的基准物质是( )A、草酸B、邻苯二甲酸氢钾C、碳酸钠D、NaCl正确答案：B6、被称为罐头产品之父的是哪位?()A、巴斯德B、拿破仑C、尼古拉·阿培尔D、Bigelow正确答案：C7、盛放有机物水样的容器清洗时有()步。
A、3B、2C、5D、4正确答案：A8、平板计数琼脂培养基应在121℃高压灭菌( )min。
A、10B、15C、30D、20正确答案：B9、中性乙酸铵法适用于()土壤阳离子交换量的测定。
A、高度风化的酸性土壤B、石灰性土壤C、盐碱土D、酸性和中性土壤正确答案：D10、用万分之一的分析天平准确称重0.5g试样,正确的原始记录应当是( )。
A、0.500gB、0.50gC、0.5gD、0.5000g正确答案：D11、采用自然沉降法测定生产车间空气中的细菌总数时,营养琼脂培养基平板暴露于空气的时间为（） min。
A、20B、5C、15D、10正确答案：B12、采用自然沉降法测定所得的细菌总数代表空气中的( )细菌总数。
A、嗜中温性需氧和兼性厌氧B、嗜中温性需氧C、嗜中温性厌氧D、所有正确答案：A13、有机磷类杀虫剂的作用机制是( )A、引起神经递质过度释放B、抑制胆碱酯酶的活性C、占领受体D、影响突触的其他神经递质正确答案：B14、NaHCO3法不适用于()土壤中速效磷的提取。
B(H)上的保拟相似线性映射
B(H)上的保拟相似线性映射
王琳琳;张芳娟;吉国兴;庞永锋
【期刊名称】《西安建筑科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(039)003
【摘要】研究了B(H)上的拟相似不变子空间和保拟相似线性映射,其中H是复可分的无限维Hilbert空间,B(H)是由H上的有界线性算子全体所组成的Banach代数.由于拟相似不变子空间一定是相似不变子空间,因此由已知定理可得出B(H)上的拟相似不变子空间共有三种形式,即{0},CI和B(H).应用线性算子逼近的方法,证明了B(H)上的每一个有界满的保拟相性映射一定是零乘以一个自同构或反自同构.【总页数】4页(P440-443)
【作者】王琳琳;张芳娟;吉国兴;庞永锋
【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西,西安,710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西,西安,710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西,西安,710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西,西安,710062;西安建筑科技大学理学院,陕西,西安,710055
【正文语种】中文
【中图分类】O177.1
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1.域上保上三角矩阵逆的线性映射 [J], 曹重光;吴海燕
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铁磁学PPT课件-交换作用
t2g电子能量低，为束缚电子。Eg电子能量高，可在Mn3+和Mn4+间跳跃。 此跳跃要求Mn离子磁矩必须平行。这种作用称为双交换作用。 双交换作用能够解释钙钛矿锰氧化物金属型导电和巨磁电阻效应
5.4 RKKY交换作用
金属中的传导电子作为中间媒介，使局域磁矩发生间接交 换作用。
在稀土金属中，磁性4f电子是局域的，而6s传导电子时巡游 的。6s电子能进入4f壳层与4f电子发生交换作用，使s电子 自旋极化，极化的s电子的自旋取向对其他原子的4f电子的 自旋取向产生影响，结果形成以传导s电子为媒介，使相邻 的磁性原子中的4f电子自旋间产生交换作用。
为局域自旋与传导
im
电子间交换积分, EF及kF为传导电子的费米能及波矢
等效交换积分不再是常数，而是两局域自旋间的距离的函数，随 距离衰减，并作周期性震荡。
王敦辉，2004年12月获得南京大学理学博士学位，2011年12月被聘为南京大学物 理学院教授，教育部新世纪优秀人才，中国功能材料学会理事，中国电子学会 高级会员，《功能材料》杂志编委。主要从事磁相变合金、单复相磁电材料以 及自旋电子学方面的研究工作。共发表SCI论文121篇，以第一或通讯作者身份 发表80篇，包括Appl. Phys. Lett. 19篇。论文被Nature Communication，Reports on Progress in Physics ， Annual Review of Materials Research , Advanced Material, Advanced Function Material等SCI期刊他引1177次，单篇论文最高他引144次，论 文H指数为16。其中以通讯作者身份发表在Appl. Phys. Lett.90,(2007) 042507上的 一文获得2007年度中国百篇最具国际影响学术论文称号。以第一完成人身份获 得2012年江苏省科学技术二等奖。所指导的学生获得江苏省优秀硕士论文，江 苏省优秀博士论文，南京大学优秀博士论文，教育部博士研究生学术新人奖等 称号。
课件：第六章保形映射(正式版)
定理6.1 （保圆性）复反演映射将圆周映射成圆周.
证明: 记z x iy, w u iv,根据等式w 1 得 z
u x ,v y , x u , y v
x2 y2
x2 y2
u2 v2
u2 v2
26
方程 a(x2+y2)+满bx足+cby2+d=c02 4ad时 a=0表示直线,表示a0圆周 代入x, y 变为方程 d(u2+v2)+bucv+a=0。 当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线; 当a=0,d0：直线映射成圆周； 当a=0,d=0：直线映射成直线. 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性.
仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保
形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而
旋转方向相反的映射称为第二类保形映射。
例如 w z 是
第二类保形映射。
10
定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且 f '(z0)0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质:
|
f
(z0 ) |
lim
zz0
w w0 z z0
lim
Dz0
Dw Dz
称为C在z0的伸缩
上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比
值的极限，从而可视为映射w=f (z)在点z0处沿曲线C的伸 缩率, 它与曲线 C 的形状及方向无关. 所以这种映射又具有
伸缩率不变性.
上式可视为 f z f z0 f z0 z z0
O
x
海森堡交换相互作用模型
海森堡交换相互作用模型海森堡交换相互作用模型是量子力学中描述给定格点上电子的模型，它是基于电子间通过交换相互作用来传输自旋信息的理论。
这个模型起源于海森堡提出的一种基于磁性材料的自旋模型，被广泛应用于固体物理学、磁性材料和自旋电子学等领域。
在海森堡交换相互作用模型中，假设每个格点上都存在一个自旋矢量S，用来描述电子的自旋状态。
自旋可以分为上自旋和下自旋，分别用向上和向下的箭头表示。
每个格点上的自旋与其相邻格点上的自旋进行相互作用，交换相互作用的强度由一个参数J描述。
模型的Hamiltonian可以写为：H=-J∑(Si•Sj)其中∑表示对所有相邻格点求和，Si和Sj分别表示相邻格点上的自旋矢量。
这个Hamiltonian反映了交换相互作用的能量。
海森堡交换相互作用模型具有几个重要的特征。
首先，模型中自旋之间的相互作用是通过交换相互作用实现的。
当两个格点上的自旋方向相同时，交换能量最小；当两个格点上的自旋方向相反时，交换能量最大。
这种相互作用导致了自旋的整体排列和磁性特性。
其次，模型中不存在外加磁场。
实际上，交换相互作用模型可以解释材料的自发磁化现象。
当材料中的自旋有序排列时，可以通过交换相互作用来降低系统的能量，从而形成一个磁化的状态。
另外，模型中没有考虑电子之间的库伦相互作用。
这是因为海森堡交换相互作用模型是一个纯自旋模型，即只考虑自旋之间的相互作用，不考虑电荷相互作用。
实际上，库伦相互作用在实际的材料中也起到重要的作用，但是它可以通过引入额外的项来描述。
海森堡交换相互作用模型在固体物理学中有着广泛的应用。
例如，它可以用来解释铁磁、反铁磁和自旋玻璃等材料中的磁性行为。
通过调整参数J的值，可以模拟不同类型的磁性行为。
此外，海森堡交换相互作用模型还可以用来研究自旋波和自旋液体等现象，对理解材料中的自旋输运和自旋电子学具有重要意义。
总结起来，海森堡交换相互作用模型是描述给定格点上电子自旋的一种模型。
一类代数上的弱可加交换映射
一类代数上的弱可加交换映射
弱可加交换映射是代数中的一个重要概念，它是指在某个代数结构上定义的一类映射，具有弱可加性和交换性的特点。
下面我将对这一概念进行详细阐述。
我们首先来定义弱可加性。
在一个代数结构中，弱可加性指的是对于任意的元素a和b，映射f满足f(a + b) = f(a) + f(b)。
也就是说，映射f在代数结构中的加法运算下是满足可加性的。
这个性质可以理解为映射f对代数结构中的加法运算具有保持性，即保持
元素之间的加法关系。
弱可加交换映射在代数中具有重要的应用和意义。
它可以保持代数结构中的加法运算
的性质，使得代数中的运算更加方便和简洁。
弱可加交换映射还可以推广到其他的代数运算，如乘法运算，从而构建更加复杂的代数结构。
弱可加交换映射还可以用于研究代数结
构的性质和特征，从而深入理解和探索代数的基本原理和规律。
1+X粮农食品安全测评考试题(含参考答案)
1+X粮农食品安全测评考试题（含参考答案）一、单选题（共40题，每题1分，共40分）1、( )脱色是革兰氏染色的关键环节,脱色时间一般为( )S。
A、10~20B、20~30C、5~10D、1~2正确答案：B2、土壤有机质通过化学作用转化为二氧化碳、水、氨和矿质养分的过程称为()。
A、腐殖质化B、燃烧C、矿质化D、热解正确答案：C3、水中六价铬测定加入的显色剂是()。
A、试亚铁灵B、双硫腙C、硫酸亚铁D、二苯碳酰二肼正确答案：D4、DTPA浸提剂的试剂组成为( )。
A、乙二胺四乙酸-三乙醇胺-CaCl2B、二乙基三胺五乙酸-三乙醇胺-CaCl2C、乙二胺四乙酸-三氯乙酸-CaCl2D、二乙基三胺五乙酸-异丙醇-CaCl2正确答案：B5、农田地表水监测项目不包括( )。
A、DOB、SSC、CODD、VOC正确答案：D6、()法分解土壤样品可使用聚四氟乙烯坩埚。
A、Na2CO3熔融法B、NaOH熔融法C、LiBO2熔融法D、HF-HClO4消煮法正确答案：D7、在罐头生产中,通常将pH=()作为区分低酸性和高酸性食品的界限。
A、5B、4C、3D、4.5正确答案：D8、用分光光度法测定水果蒸馏酒中氰化物含量时,在( )条件下用氯胺T 将氰化物转变为氯化氰。
A、都可以B、中性C、碱性D、酸性正确答案：B9、小麦面筋吸水量测定时,面团洗涤过程中应注意观察洗涤室中排出液的清澈度。
当排出液变得清澈时,可认为洗涤完成。
用( )可检查排出液中是否还有淀粉。
A、碘化钾/碘溶液B、碱液C、酚酞D、酸溶液正确答案：A10、鲜乳常温存放期间细菌的变化情况是( )A、不变→增加→减少→无B、不变→增加→减少→增加C、不变→增加→减少D、不变→增加正确答案：C11、用分光光度法测定水果蒸馏酒中氰化物含量时,试剂氯胺T的作用是( )。
A、与氰化物反应形成氯化氰B、与异烟酸-吡唑啉酮作用生成蓝色染料C、调节酸碱度D、以上都不是正确答案：A12、关于土壤中交换性阳离子分析项目的选择,下列说法中错误的是()。
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文章 编 号 ：１ ７ — １ ３ ２ ０ ） ３０ ０ — ４ ６ ３３ ９ （ ０ ８ ０ — ２ ６０
Ｂ（ ）上 保 因子交 换性 可加 映射 的刻 画 Ｈ
焦 美艳 侯 晋 川。 ，
（．山西 大 学 数 学 科 学 学 院 ，山 西 太 原 ０ ０ ０ ； ．太 原 理 工 大学 数 学 系 ，山西 太 原 ０ ０ ２ ） １ ３０ ６ ２ ３０ ４ 摘 要 ： 算 子 的 因子 交 换 性 是 算子 代 数 之 间 同构 的不 变 量 之 一 ．进 一 步 研 究 其 逆 命题 是 否 成立 的 问题 ，有
Ｃｏ ｍｕ ａ ｉ ｉｙ ｕ ｏ ａ Ｆａ ｔ ｒ ｏ 日 ） ｍ ｔ ｔｖ ｔ ｐ ｔ ｃ ｏ ｎ Ｂ（
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或 （ 某些 情 形 ） 轭 同构 或 共 轭 反 同 构 的 常数 倍 ． 在 共
关键 词 ： Ｈｉ ｅｔ空 间 ；因 子交 换 性 ； ｏｄｎ 同构 ｌ ｒ ｈ Ｊｒａ
中 图 分 类 号 ： Ｏ１ ７ １ ７． 文 献 标识 码 ： Ａ
Ｃｈａ ａ ｔ ｒ ｚ ｔｏ ｆ Ａｄ ｔ ｖ ａ ｅ ｅ ｖ ｎ ｒ ｃ ｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｄｉｉ ｅ Ｍ ｐｓ Ｐｒ ｓ ｒ ｉ ｇ
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助 于加 深 因子 交 换 性 与算 子 代 数 的代 数 和 几何 性 质 之 间 相 互 制 约 关 系 的 理解 ．利 用 算 子 理 论 和 方 程 的技 巧 ， 在 没有 保 单 位 的假 设 条 件 下 ， 明 了无 限维 希 尔 伯 特 空 间 算 子 代 数 之 间 保 持 因子 交 换 性 的 可 加 满 射 是 同 构 ， 证
２． Ｄｅ ｔ ｏ ａ ｈｅ ａ ｉ’ Ｔａｙ ａ ｐ ． ｆＭ ｔ ｍ ｔｃ ｓ ｉｕ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ，Ｔａ ｙ ａ ３ ０ ４ ｉ ｕ ｎ ０ ０ ２ ，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
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Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｃｏ ｍｍｕ ａ ｉ ｉｙ ｕ ｏ ａ ｆ ｃ ｏ ｎ ｆｔ ｅｉ ｖ ｒａ ｔ ｆｉｏ ｐ ｉｍｓａ ｎ ｐ ｒ ｔ ｒａ ｇ ｂ ａ ． ｔ ｔ ｔ ｐ ｔ ａ ｔ ｒｉ ｏ ｅ ｏ ｈ ａ ｉ ｎ ｓｏ ｓ ｍｏ ｈ ｓ ｍｏ ｇ ｏ ｅ ａ ｏ ｌ ｅ ｒ ｓ ｖ ｓ ｎ
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２０ ０ ８年 第 ２ 卷 第 ３ ９ 期
中 北 大 学 学 报（ 自然科 学版 ）
Ｖ １２ Ｎｏ ３ ２ ０ ｏ．９ ． ０ ８
Hale Waihona Puke （ 第 １９ ） 总 １期
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｏ Ｔ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹＯ Ｈ Ｎ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ＤＴＯ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＮ Ｒ Ｈ Ｕ ＩＥ ＳＴ ＦＣ Ｉ Ａ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ Ｉ Ｎ ＥＥ ＩＩ Ｎ