广东省深圳实验学校高中部高二数学上学期期中试题
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．38．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若（a﹣b）a2＜0，则a≠0，∴a﹣b＜0，即a＜b成立，若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，即“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y＝4x2，则其标准方程为x2＝y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝，则其焦点坐标为（0，）；故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．【分析】可先求出，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】解：，；∵+与垂直；∴；解得．故选：C．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，利用cos＝，即可得出．【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨OA＝1，则A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），E．＝（﹣1，0，1），＝．∴cos＝＝＝．∴BE与SA所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）【分析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，从而△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B ﹣x A）+2＝3+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B﹣x A）+2＝3+x B，由抛物线y2＝4x及圆（x﹣1）2+y2＝16可得交点的横坐标为3，∴x B∈（5，7），∴3+x B∈（8，10），故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ【分析】A中，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；B中，根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法，能判断α∥β；C中，举例说明α∥β不一定成立；D中，α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】解：对于A，m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；对于B，m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，能判断α∥β；因为m∥β，所以在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，所以m1∥α；又m，n是两条异面直线，所以直线m1与n是两条相交直线；又n∥α，所以α∥β；对于C，因为α内不共线的三点到β的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出，所以不能判断α∥β；对于D，因为α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能是平行或相交，所以不能判断α∥β．故选：B．【点评】本题考查了判断面面平行的应用问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力，是基础题．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】利用正弦定理求出2A＝B，再对结论进行化简，利用基本不等式求出即可．【解答】解：c﹣a＝2a cos B，sin C﹣sin A＝2sin A cos B，化简sin A cos B+cos A sin B﹣sin A＝2sin A cos B，得sin（B﹣A）＝sin（A），得2A＝B，或者B＝180°（舍弃），由＝＝＝＝＝，①由A+B+C＝3A+C＝π，A∈（0，），所以①≥2＝2，当且仅当A＝，取等号，故选：C．【点评】题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．8．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y＝﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c＝2a．∴故选：B．【点评】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为【分析】利用双曲线方程求出渐近线方程，离心率，焦点坐标，结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线的方程为：，可知a＝3，b＝，c＝4，所以双曲线的焦点坐标（±4，0），所以A不正确；渐近线方程：，所以B正确；离心率为：e＝，所以C正确；焦点到渐近线的距离为：＝，所以D不正确；故选：BC．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【分析】根据图象可知，求出周期，进而得到ω的值，然后利用最高点求出φ的值，然后根据解析式确定选项．【解答】解：由题意得，所以T＝π，故ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将代入得，所以，结合，可知k＝0时，为所求，故f（x）＝＝．又因为f（）＝sinπ＝0，故（）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】本题考查三角函数的据图求式问题，以及正余弦型三角函数图象与性质，属于中档题．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【分析】由平面QEF也就是平面A1B1CD，可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】解：对于A，∵平面QEF也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面A1B1CD的距离是定值，∴点P到平面QEF的距离为定值，故A正确；对于B，∵Q是动点，E，F也是动点，推不出定值的结论，∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值，故B错误；对于C，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵点P到平面QEF的距离，∴P到平面QEF的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值，故C正确；对于D，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP【分析】设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x，通过韦达定理，判断A；求出直线AC的方程，直线BD的方程，推出Q满足的方程，判断B；求出|PC|判断C；通过P A＝PB，但QA≠QB，判断D．【解答】解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x得：y2﹣2my﹣4＝0．则y1y2＝﹣4．故A正确；由题得A（2，2），B（2，﹣2），直线AC的方程为，直线BD的方程为，消去y得，将y1y2＝﹣4代入上式得x＝﹣2，故点Q在直线x＝﹣2上，故B正确；计算P A＝2，OP＝2，可知选项C错误；因为P A＝PB，但QA≠QB，所以D错误．故选：AB．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝﹣．【分析】由题意利用诱导公式求得cos（15°﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（30°﹣2α）的值．【解答】解：∵＝cos（15°﹣α），则cos（30°﹣2α）＝2cos2（15°﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝6．【分析】由已知可得数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a1＝2，a n+1＝2a n，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，＝126，故k＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于基础试题．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为8π．【分析】利用体积公式推出AB•BC＝1，再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接球半径R的最小值，代入求出即可．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的体积为，且P A＝2，得到V＝P A•BA•BC sin＝，∴AB•BC＝1，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，则由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ＝AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC＝3，当且仅当AB＝BC＝1成立，故AC的最小值为，所以2r≥＝2，r的最小值为1，球的半径R＝的最小值为R＝＝．则球O的表面积的最小值是4πR2＝8π．故答案为：8π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是2；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为2．【分析】由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由F1Q⊥F2Q可得＝0可得Q 的纵坐标，进而求出△QF1F2的面积．【解答】解：由题意可得c＝2，2a＝2即a＝1，所以双曲线的离心率e＝＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，所以双曲线的方程为：y2﹣＝1，所以渐近线的方程为：y＝，设Q（﹣y，y）为一条渐近线的点，由F1Q⊥F2Q可得＝0，即（﹣y，y﹣2）（﹣y，y+2）＝0，可得3y2+y2﹣4＝0，所以|y|＝1，所以S＝|F1F2|•|y|＝•4•＝2，故答案分别为：2，2．【点评】本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．【分析】由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，，可得，可得B＝60°，选择①：利用正弦定理，余弦定理解得c，a的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择②：利用余弦定理可求得ac＝9，结合a+c＝6，可得a，c的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择③：利用余弦定理可求得a+c＝3，结合ac＝15，无解，可得△ABC不存在．【解答】解：由题设及正弦定理得，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝180°，可得，故．因为，故，因此B＝60°，选择①：sin A＝2sin C，即a＝2c，根据余弦定理有，＝，代入b＝3，解得c＝，a＝2，所以面积S＝＝，选择②：＝＝，代入a+c＝6，解得ac＝9，结合a+c＝6，所以a＝c＝3，所以面积S＝，选择③：＝＝，代入ac＝15，解得a+c＝3，结合ac＝15，无解，所以△ABC不存在．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论，进一步进行证明．【解答】解：（1）当n＝1时，有，整理得：，解得：a1＝2又由，可得，两式相减得，即有a n+1＝2a n．故数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．．（2）由（1）知q≠1，所以．令，为使{b n}为等差数列，则b n是关于n的一次函数，所以λ＝﹣2，此时b n＝﹣2n﹣2，当n＝1时，b1＝﹣2×1﹣2＝﹣4．当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝﹣2n﹣2﹣[﹣2（n﹣1）﹣2]＝﹣2，所以是以﹣4为首项，﹣2为公差的等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【分析】（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D，再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1，⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．【分析】（1）通过离心率以及椭圆经过的点，求出a，b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，利用韦达定理结合△OPQ的面积为，利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：（1）由得a＝2c，所以b2＝3c2，由点在椭圆上得解得c＝1，，所求椭圆方程为．（2）F（0，1），设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2＝，y1y2＝，△OPQ的面积为，所以求ABC的最大值即求|y2﹣y1|的最大值．（y1﹣y2）2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝，令m2+1＝t≥1，上式可表示成，y＝9t+6+，t≥1时，函数是增函数，所以t＝1时，y取得最小值12，|y2﹣y1|的最大值的最大值为：，△OPQ的面积为＝．S△OPQ＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值【分析】（1）取EC的中点H，连结FH，GH，证明FH∥BC，FH∥平面ABCD，HG∥CD，HG∥平面ABCD，然后证明平面FHG∥平面ABCD，推出FG∥平面ABCD．（2）在△P AD中，求出P A＝2，说明P A⊥AD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE与平面ADE所成角的余弦值即可．【解答】（1）证明：取EC的中点H，连结FH，GH，∵F为BE中点，∴FH∥BC，∵FH⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FH∥平面ABCD，∵G为PD中点，EP∥CD，∴HG∥CD，∵HG⊄平面ABCD，∴HG∥平面ABCD，∵FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABCD，∵FG⊂平面FHG∴FG∥平面ABCD．（2）解：在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD•cos∠PDA＝，∴P A＝2，∴P A2+AD2＝PD2，∴P A⊥AD又∵平面P AD⊥平面ABCD平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴P A⊥平面ABCD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，A为原点建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（0，﹣2，0），C（2，﹣2，0），D（4，0，0），P（0，0，2），设，∴，∴x＝﹣1，y＝﹣1，z＝2，∴点E的坐标为（﹣1，﹣1，2），设平面ADE的一个法向量：＝（（x，y，z）），，∴，∴，设平面BCE的一个法向量，，∴，∴，设平面BCE与平面ADE所成角为θ∴，∴平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段ON的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2＝2px经过点M（2，2），得22＝4p，故p＝1，c的方程为y2＝2x…（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为y＝，则′＝，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2＝（x﹣2），令y＝0得x＝﹣2，所以点N的坐标为（﹣2，0），故线段ON的长为2 …（5分）（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x＝﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0由l2：x＝my+b，令x＝﹣2，得y＝﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b＝0则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2b…（7分）直线MA的斜率为＝＝，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+＝2×＝1+，即＝1+＝1+，…（10分）整理得：，因为l2不经过点N，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2＝2m，即b＝2故l2的方程为x＝my+2，即l2恒过定点（2，0）…（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键．。
深圳市高二上学期期中数学试卷含答案
深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知平面向量，，且//，则＝A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A．B．C．D．7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l 交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．B．C．D．8．下列导数运算正确的是A．B．C．D．9．已知，则A．B．C．D．10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是A．B．C．D． 511．若，，则的最小值为A．B．C．D．f x xf x恒成立，则不等式的12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有()()解集为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____．14．已知实数x，y满足条件的最小值为_____．15．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．16．若数列的首项，且，则=_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤０，q：2﹣m ≤ x ≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝10，S6＝72，b n＝a n－30，(1)求通项公式a n；(2)求数列{b n}的前n项和T n的最小值．19．（本小题满分12分）中，内角的对边分别为，的面积为，若．（1）求角；（2）若，，求角．20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，抛物线y2= –x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．21．（本小题满分12分）设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.22．（本小题满分12分）已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A A B B C D B C D13．14．15．16．17．【答案】（1）；（2）【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤０得﹣2≤x≤４，即p：﹣2≤x≤４，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥４．（2）∵“ｐ∨q”为真命题，“ｐ∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．18．【答案】(1)；（2）.【解】(1)由a3＝10，S6＝72，得解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.19．【答案】(1) ; (2) 或【解】(1) 中，(2) ，，由得且B>A或或20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【证明与解答】（1）显然k≠０．联立，消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠０，x2≠０，由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以=–x1，=–x2，·=x1x2．因为k OA·k OB=·=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|=ON·|y1–y2|=×1×，所以，解得k=±．21．【解析】⑴，由已知，，故a= - 2，b= - 2.，当时，，当时，，故f(x)在单调递减，在单调递增；⑵，即，设，，所以g(x)在递增，在递减，所以max26()(2)1eg x g．当x≥０时，.22．【答案】（1）;（2）．【解】（1）解：∵点在椭圆上，∴，又∵离心率为，∴，∴，∴，解得，，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，设，，则，，∴，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，∴直线的方程为，，令得，∴直线经过定点，当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．。
高二数学试题解析版-2022-2023学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷
2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0 2．（5分）圆x2+y2+ax＝0的圆心横坐标为1，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．（5分）在递增的等差数列{a n}中，已知a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则a20＝（）A．19B．20C．21D．224．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝3，S5＝25，则a8＝（）A．13B．14C．15D．165．（5分）已知点A（﹣2，﹣1），B（3，0），若点M（x，y）在线段AB上，则的取值范围（）A．B．C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]6．（5分）已知数列{a n}满足：a n2＝a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．84B．63C．42D．217．（5分）直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0交于点P，则点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k ＝0（k∈R）的最大距离为（）A．B．C．D．8．（5分）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A．2048B．2049C．4096D．4097二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）（多选）9．（5分）已知b∈R，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣b）2＝4，C2：x2+y2＝1，则（）A．两圆可能外离B．两圆可能相交C．两圆可能内切D．两圆可能内含（多选）10．（5分）已知公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10（多选）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．若S n＝2n2﹣3，则{a n}是等差数列B．若{a n}是等差数列，且a3＝5，a2+a10＝2，则数列{a n}的前n项和S n有最大值C．若等差数列{a n}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2D．若{a n}是等差数列，则三点、、共线（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．P可能为AB中点B．|AB|的最小值为3C．若，则l的方程为y＝2D．△ABC的面积最大值为三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，则{a n}的通项公式为a n＝．14．（5分）过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝n，则＝．16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，P（x，y）为圆C上一点，则2x﹣y的最大值为．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）．（1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C．（1）求B；（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，，∠BAC＝45°，BC边上的中线为AM．（1）求AM的值；（2）求sin∠BAM．21．（12分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝．（Ⅰ）证明数列{}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，若数列{b n}的前n项和是T n，求证：T n＜2．22．（12分）函数f（x）＝log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y＝﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0【分析】由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程【解答】解：由题意可得，直线的斜率k＝﹣1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y＝﹣x﹣1即x+y+1＝0故选：A．【点评】本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题2．（5分）圆x2+y2+ax＝0的圆心横坐标为1，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】把圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标，再根据圆心横坐标为1，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+ax＝0，即圆（x+）2+y2＝，它的圆心横坐标为﹣＝1，a ＝﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．3．（5分）在递增的等差数列{a n}中，已知a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则a20＝（）A．19B．20C．21D．22【分析】根据方程的解与递增的等差数列，可得，于是可求得公差d＝1，则由等差数列的通项性质可得a20的值．【解答】解：a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，方程为（x﹣4）（x﹣6）＝0则或，由于递增的等差数列{a n}中，所以，则公差，所以a20＝a4+16d＝4+16＝20．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝3，S5＝25，则a8＝（）A．13B．14C．15D．16【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S5＝25，∴，解得a1＝1，d＝2．∴a8＝1+7×2＝15．故选：C．【点评】本题考查等差数列的第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）已知点A（﹣2，﹣1），B（3，0），若点M（x，y）在线段AB上，则的取值范围（）A．B．C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]【分析】设Q（﹣1，2），分别求出k QA，k QB，根据表示直线QM的斜率即可得到结果．【解答】解：设Q（﹣1，2），则，因为点M（x，y）在线段AB上，所以的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了直线的斜率，是基础题．6．（5分）已知数列{a n}满足：a n2＝a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．84B．63C．42D．21•a n+1（n≥2）得数列{a n}是等比数列，设其公比为q，依题意，可【分析】由a n2＝a n﹣1求得q2＝2，从而可得a4+a6+a8的值．•a n+1（n≥2），【解答】解：∵a n2＝a n﹣1∴数列{a n}是等比数列，设其公比为q，∵a2＝3，a2+a4+a6＝3+3q2+3q4＝21，即q4+q2﹣6＝0，解得q2＝2或q2＝﹣3（舍），∴a4+a6+a8＝a2（q2+q4+q6）＝3（2+4+8）＝42．故选：C．【点评】本题考查数列递推式的应用，判断出数列{a n}是等比数列是关键，考查等比数列的通项公式的应用，属于中档题．7．（5分）直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0交于点P，则点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k ＝0（k∈R）的最大距离为（）A．B．C．D．【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可．【解答】解：由题可列：，解得，所以点P的坐标为（1，﹣1），因为直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R），即k（x﹣y+2）+（1﹣y）＝0恒过定点Q（﹣1，1），所以点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的最大距离为．故选：B．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．8．（5分）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A．2048B．2049C．4096D．4097【分析】根据题意，设每小时后细胞的存活数构成数列{a n}，归纳数列的通项公式，再根据通项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设每小时后细胞的存活数构成数列{a n}，则a1＝2×2﹣1＝3，a2＝2×3﹣1＝5，a3＝2×5﹣1＝9，…由此得，a n＝2a n﹣1﹣1，a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1）；所以，数列{a n﹣1}为等比数列，且公比为2，所以a n﹣1＝2n，变形可得a n＝2n+1，所以12小时后细胞存活个数是212+1＝4097．故选：D．【点评】本题考查了构造法求数列通项公式，涉及归纳推理的应用，属于基础题．二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）（多选）9．（5分）已知b∈R，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣b）2＝4，C2：x2+y2＝1，则（）A．两圆可能外离B．两圆可能相交C．两圆可能内切D．两圆可能内含【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断．【解答】解：圆的圆心为C1（1，b），半径r1＝2，圆的圆心为C2（0，0），半径r2＝1；则，r1+r2＝3，r1﹣r2＝1，当b2＞8时，|C1C2|＞r1+r2，两圆外离；当0＜b2＜8时，r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，两圆相交；当b2＝0时，|C1C2|＝r1﹣r2，两圆内切；当b2＝8时，|C1C2|＝r1+r2，两圆外切；综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含．故选：ABC．【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．（多选）10．（5分）已知公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【分析】根据给定条件，结合等差数列前n项和公式及等差数列的性质求出a9，用公差d表示首项，再判断各项作答．【解答】解：令等差数列{a n}的公差为d，有d＞0，由a9＝S17得：，解得a9＝0，有a8＝a9﹣d＝﹣d＜0，A不正确，B正确；a1＝a9﹣8d＝﹣8d，S16＝S17﹣a17＝a9﹣（a9+8d）＝﹣8d，即a1＝S16，C正确；S10﹣S8＝a9+a10＝a9+d＝d＞0，S8＜S10，D不正确．故选：BC．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．若S n＝2n2﹣3，则{a n}是等差数列B．若{a n}是等差数列，且a3＝5，a2+a10＝2，则数列{a n}的前n项和S n有最大值C．若等差数列{a n}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2D．若{a n}是等差数列，则三点、、共线【分析】根据等差数列及等差数列前n项和S n的性质，逐项分析判断．【解答】解：A项，n＝1时，a1＝S1＝﹣1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2﹣3﹣2（n﹣1）2+3＝4n﹣2，当n＝1时，a1＝2≠﹣1，所以，{a n}不是等差数列；所以A不正确；B项，由已知可得，a6＝1，又a3＝5，所以，，，所以，S n有最大值；所以B正确；C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为5d＝10，所以d＝2；所以C正确；D项，设三点分别为A，B，C，，则，，．则，，，所以三点共线，所以D正确；故选：BCD．【点评】本题考查数列的简单应用，是中档题．（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．P可能为AB中点B．|AB|的最小值为3C．若，则l的方程为y＝2D．△ABC的面积最大值为【分析】判断点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，且此时|AB|最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D．【解答】解：由圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，知圆心（3，4），半径为r＝3，对于A：因为（1﹣3）2+（2﹣4）2＝8＜9，即点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，故A正确；对于B：当CP⊥直线l时，|AB|最小，因为k CP＝＝1，所以k l＝﹣1，则直线l的方程为x+y﹣3＝0，圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，所以|AB|＝2＝2，故B错误；对于C：当直线l斜率不存在时，即x＝1，此时|AB|＝2＝2，符合，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为kx﹣y﹣k+2＝0，由|AB|＝2＝2，得d ＝2，则圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，解得k＝0，即y＝2，所以满足题意的直线为y＝2或x＝1，故C错误；＝×|AB|×d＝×2×≤＝，对于D：S△ABC当且仅当9﹣d2＝d2，即d＝时取等号，所以△ABC的面积最大值为，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及三角形的面积问题，属中档题．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，则{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．【分析】由S n＝2a n﹣1和S n+1＝2a n+1﹣1相减得a n+1＝2a n+1﹣2a n，所以，由此可求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：由S n＝2a n﹣1，得S n+1＝2a n+1﹣1，二式相减得：a n+1＝2a n+1﹣2a n，∴，∴数列{a n}是公比为2的等比数列，又∵S1＝2a1﹣1，∴a1＝1，∴a n＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法和递推公式的灵活运用．14．（5分）过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．【分析】①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y﹣3＝（x﹣2），过点A （1，2）的直线与直线平行时满足条件．②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）．经过点A（1，2）与中点的直线满足条件．【解答】解：①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y﹣3＝（x﹣2），化为：4x+y﹣11＝0，过点A（1，2）的直线与直线：4x+y﹣11＝0平行时满足条件：y﹣2＝﹣4（x﹣1），化为：4x+y﹣6＝0．②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）．则经过点A（1，2）与中点的直线满足条件：y﹣2＝（x﹣1），化为：3x+2y﹣7＝0．综上可得：满足条件的直线方程为：3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．故答案为：3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝n，则＝．【分析】先求数列{a n}的前n项和S n，再利用裂项相消法求和即可．【解答】解：因为a n＝n，所以，所以，所以＝．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，P（x，y）为圆C上一点，则2x﹣y的最大值为20．【分析】由圆C关于直线x+3y+2＝0对称列方程求a，由此确定圆的圆心坐标和半径，设z＝2x﹣y，由直线z＝2x﹣y与圆C有公共点，列不等式求z的范围及最大值．【解答】解：方程x2+y2﹣2ax+4y＝0可化为（x﹣a）2+（y+2）2＝a2+4，所以圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0的圆心为C（a，﹣2），半径为，因为圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，所以a+3×（﹣2）+2＝0，所以a＝4，令z＝2x﹣y，则，所以|10﹣z|≤10，所以0≤z≤20，所以2x﹣y的最大值为20，故答案为：20．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）．（1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．【分析】（1）验证k＝0时，直线l是否符合要求，当k≠0时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；（2）先求直线在x轴和y轴上的截距，表示△AOB 的面积，利用基本不等式求其最小值．【解答】解：（1）当k＝0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为x＝﹣2，不经过第一象限；当k≠0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为，要使直线不经过第一象限，则，解得﹣2≤k＜0．综上，k的取值范围为[﹣2，0]．（2）由题意可得k＞0，由x﹣ky+2+k＝0取y＝0得x＝﹣2﹣k，取x＝0得，所以，当且仅当时，即k＝2时取等号，综上，此时S min＝4，直线l的方程为x﹣2y+4＝0．【点评】本题主要考查了直线方程的应用，还考查了直线交点坐标的求解，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C．（1）求B；（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得cos B的值，结合范围0＜B＜π，可得B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求a+c的值，即可求解△ABC的周长．【解答】解：（1）将（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C，展开得sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得，因为0＜B＜π，所以．（2）根据余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，因为△ABC的面积为，所以ac＝1，因为b＝1，所以1＝（a+c）2﹣3，解之，得a+c＝2，所以△ABC的周长为a+c+b＝3．【点评】本题主要考查了正余弦定理等知识点在解三角形中的应用，考查转化与划归得方法与方程思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养，属于基础题．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由等差数列的求和公式、等比数列的通项公式，求得首项和公差、公比，进而得到所求；【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项，可得b1q＝2，5×2+10d＝30，2（b4+2）＝b3+b5，即2（b1q3+2）＝b1q2+b1q4，解得d＝2，b1＝1，q＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；b n＝2n﹣1；（2）因为c n＝a n•b n＝n•2n；所以数列{c n}的前n项和T n＝1×21+2×22+3×23+......+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2T n＝1×22+2×23+......+（n﹣2）•2n+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减可得﹣T n＝2+22+23+......+2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，，∠BAC＝45°，BC边上的中线为AM．（1）求AM的值；（2）求sin∠BAM．【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理求BC，在△ABM，△ACM中分别利用余弦定理求cos∠BMA，cos∠CMA，由此列方程求解，即可得出答案；（2）在△ABM中由余弦定理求cos∠BAM，利用同角三角函数的关系，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝2，，∠BAC＝45°，∴由余弦定理得，即，又BC边上的中线为AM，则，在△ABM中，由余弦定理得，在△ACM中，由余弦定理得，又∠BMA与∠CMA互补，则cos∠BMA+cos∠CMA＝0，解得AM＝5；（2）在△ABM中，由余弦定理得，∵∠BAC＝45°，∴，∴．【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．（12分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝．（Ⅰ）证明数列{}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，若数列{b n}的前n项和是T n，求证：T n＜2．【分析】（Ⅰ）化简已知条件，即可证明数列{}是等比数列，求出首项与公比，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用放缩法推出，然后利用等比数列求和，证明结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设，数列是首项为2，公比的等比数列所以，；（Ⅱ）证明：，注意对任意n∈N*，2n﹣1≥2n﹣1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和以及放缩法的应用，考查计算能力．22．（12分）函数f（x）＝log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y＝﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意和对数函数过定点可得m＝5，n＝﹣1，由圆的弦长公式可得r的方程，解方程可得；（2）假设在直线y＝﹣1上存在一点B（异于点P）满足题意，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，若点T在S和Q时，则有，解得，然后由距离公式证明在直线y＝﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．【解答】解：（1）在函数f（x）＝log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）中，当x＝5时，y＝﹣1，∴必经过的定点为点（5，﹣1），即m＝5，n＝﹣1，由于直线AP被圆C所截得的弦长为，圆C半径为r，设圆心到直线AP的距离为d，由于圆心（5，﹣1）到直线的距离为，∴，代入d值解方程可得r＝5；（2）假设在直线y＝﹣1上存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．圆与直线y＝﹣1的交点为S（0，﹣1），Q（10，﹣1），设B（m，﹣1）（m≠2），而若点T在S和Q时，则有，即，解得，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，则：，＝，∴在直线y＝﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．【点评】本题考查圆的方程的综合应用，涉及圆的弦长问题和距离公式以，属中档题．。
广东深圳实验学校高中部高二数学上学期期中试题(含解析)
广东省深圳实验学校高中部高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，3.方程表示的曲线是A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 双曲线4.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为设，，，则下列向量中与相等的向量是A.B.C.D.5.曲线与曲线的A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等6.设平面与平面的夹角为，若平面，的法向量分别为和，则A. B. C. D.7.与圆及圆都外切的圆的圆心在A. 一个椭圆上B. 一个圆上C. 一条抛物线上D. 双曲线的一支上8.以点1，，，4，为顶点的三角形是A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9.已知点P在抛物线上，点Q在直线上，则的最小值是A. B. C. D.10.直三棱柱，，点，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是A. B. C. D.11.已知双曲线的离心率，若A，B，C是双曲线上任意三点，且A，B关于坐标原点对称，则直线CA，CB的斜率之积为A. 2B. 3C.D.12.已知空间直角坐标系中，P是单位球O内一定点，A，B，C是球面上任意三点，且向量，，两两垂直，若注：以X表示点X的坐标，则动点Q的轨迹是A. O为球心，为半径的球面B. O为球心，为半径的球面C. P为球心，为半径的球面D. P为球心，为半径的球面二、填空题（本大题共3小题）13.双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于______．14.已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．15.已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是______．三、解答题（本大题共6小题）16.已知空间三点2，，1，，．Ⅰ求以AB、AC为边的平行四边形的面积；Ⅱ若向量分别与、垂直，且，求的坐标．17.设抛物线上的点M与焦点F的距离为，到y轴的距离为．求抛物线的方程和点M的坐标；若点M位于第一象限，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．18.如图，在三棱锥中，G是的重心三条中线的交点，P是空间任意一点．用向量，，表示，并证明你的结论；设，x，y，，请写出点P在的内部不包括边界的充分必要条件不必给出证明．19.已知动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是定值其中，．求动点M的轨迹方程；当a，c变化时，指出中轨迹方程表示的曲线形状．20.如图，四边形ABCD为梯形，四边形CDEF为矩形，平面平面CDEF，，，M为AE的中点．证明：平面MDF；求平面MDF与平面BCF的夹角的大小．21.已知直线l：经过椭圆E：右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点，OM的斜率为为坐标原点．求椭圆的方程；若直线l与圆C：相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P，Q两点，求面积的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得焦点在y轴，焦点坐标为故选：D．先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．2.【答案】C【解析】解：由平面向量基本定理得：对于A选项，，所以，，三个向量共面；对于B选项，同理：，，三个向量共面；对于D选项，，所以三个向量共面；故选：C．由平面向量基本定理判断．本题考查平面向量基本定理，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为：；，即；或者；方程表示的曲线是两条直线．故选：C．先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论．本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意得，平行六面体中，；故选：A．在平行六面体中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可．本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线表示焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：平面，的法向量分别为和，若两个平面的夹角为，两平面夹角范围是，则．故选：B．直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可．本题考查空间向量的数量积求解二面角的公式，是基本知识的考查，基础题．7.【答案】D【解析】解：由，得，画出圆与的图象如图，设圆P的半径为r，圆P与圆O和圆M都外切，，，则，点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，故选：D．化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案．本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查双曲线的定义，是基础题．8.【答案】A【解析】解：1，，，4，，，3，，5，，，，，，且，以点1，，，4，为顶点的三角形是等腰直角三角形．故选：A．分别求出，3，，5，，再求出模，由此能求出结果．本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．9.【答案】B【解析】解：设与直线平行且与抛物线相切的直线为，联立消去x得，．．则的最小值是．故选：B．设与直线平行且与抛物线相切的直线为，则可知的最小值即为两直线的距离．直线方程与抛物线方程联立，消去x根据判别式等于0求得b，根据距离公式求得答案．本题考查了直线与抛物线的综合问题，以及判别式来判断直线与圆锥曲线的关系．属于基础题．10.【答案】B【解析】解：直三棱柱，，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，点，分别是，的中点，，设，则0，，1，，2，，1，，1，，，设与所成角为，则．与所成角的余弦值为．故选：B．以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.【答案】B【解析】解：由题意，设，，则，则，，两式相减可得，．故选：B．设出点A，B、C的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质：离心率的求解，考查了点差法，属中档题．12.【答案】B【解析】解：由得，，即．又，，两两垂直，所以Q是以PA，PB，PC为三条相邻棱的长方体中与顶点P相对的顶点．由，得又，所以，同理，．三式相加，得，代入式，得，即定值．所以，动点Q的轨迹是以O为球心，为半径的球面．故选：B．利用已知条件推出，然后说明结果即可．本题考查空间几何体的特征，空间向量的应用，距离公式的应用，是中档题；本题也可以采用排除法．分别考虑P与O重合和点P在球面上两种极端情形，研究即得答案．13.【答案】17【解析】解：将双曲线化成标准形式：，P到它的一个焦点的距离等于1，设舍负故答案为：17首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离．本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点．14.【答案】【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．过点O作，，因为平面APB，则，．≌，，≌，因为，所以点O在的平分线上，即．设，在直角中，，，则．在直角中，，则．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．15.【答案】【解析】解：设这组平行直线的方程为，联立，整理得，则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为，即这些点均在上，故答案为：运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】解：Ⅰ，分分Ⅱ设y，，分分1，或分【解析】以AB、AC为边的平行四边形的面积我们选择，其中是的夹角．设出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可．本题考查向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件．17.【答案】解：由抛物线的定义知，点M到准线的距离为．即有．解之，得，．所以，抛物线的方程为，点M的坐标为或．证明：联立直线与抛物线的方程，．解之，得或，即，或，．又，所以．故．【解析】由抛物线的定义知解得即可．联立直线与抛物线的方程，解之得即，或，．即可得即可证明本题考查了抛物线性质，斜率公式，考查了运算能力，属于中档题．18.【答案】解：．证明如下：．．设，x，y，，则点P在的内部不包括边界的充分必要条件是：，且，，．【解析】由题意根据空间向量的加法法则推出向量，使得它用基底表示即可；设，x，，则点P在直线AB上的充分必要条件是：，且，类比平面向量三点共线的结论写出即可．本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，注意三角形的重心的性质运用，还考察了类比推理能力，属于中档题．19.【答案】解：设，由已知，得．所以，两边平方，得，化简，得动点M的轨迹方程为因为，，所以当时，化为，它表示的曲线是直线x轴；当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，长半轴长为a，短半轴长为的椭圆；当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，实半轴长为a，虚半轴长为的双曲线．【解析】设出M的坐标．利用已知条件列出方程，化简求解即可．通过a，c的大小关系，化简方程，然后推出结果即可．本题考查圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】证明：法连结CE与DF相交于N，连结MN．因为四边形CDEF为矩形，所以N为CE中点．又M为AE的中点，所以，在中，．平面MDF．法因为四边形CDEF为矩形，且M为AE的中点，所以，从而与，是共面向量．又平面MDF，所以平面MDF．解：因为四边形CDEF为矩形，所以．又平面平面CDEF，平面CDEF，平面平面，所以平面ABCD．而，所以，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，如图．设，由已知，得，，，．设平面MDF的一个法向量为y，，则，且，所以，且，即，取，得，，即1，．同理，可求得平面BCF的一个法向量为1，．．所以，平面MDF与平面BCF的夹角为．【解析】法连结CE与DF相交于N，连结说明推出平面MDF．法说明，推出与，是共面向量．即可证明平面MDF．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面MDF的一个法向量，求出平面BCF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF 与平面BCF的夹角即可．本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，是中档题．21.【答案】解：设，，则，两式相减并整理，得，即．所以又直线l：与x轴的交点为，由已知，得联立，解得，．所以，椭圆的方程为．由直线l：与圆C：相切，得，所以，圆C：．又设动切线PQ：，注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分由，消去x，得．所以．又直线PQ：与圆C：相切，所以，即，从而．所以，面积．令，解得，相应的．所以，使面积最大的直线PQ共有四条：和．故面积的最大值为．【解析】设，，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a，b推出结果．由直线l：与圆C：相切，得，求出圆的方程，设动切线PQ：，由，消去x，得利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可．本题考查直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．深圳实验学校高中部第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．过点，的直线的倾斜角为（ ）(2,0)A (B -A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线AB 的斜率，再根据倾斜角的范围结合特殊角的三角函数值求解即得.【详解】经过，(20)A ，(B -AB k ==设该直线的倾斜角为，则，αtan α=0180α︒≤<︒所以.150α=︒故选：D 2．已知，，若，则实数的值为（ ）()2,1,3a =-()1,2,1b =-()a a bλ⊥-λA ．B ．C ．D ．22-143-145【答案】D 【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.()()a ab a a b λλ⊥-⇔⋅-= 【详解】解：因为，，()2,1,3a =-()1,2,1b =-所以，()2,12,3a b λλλλ-=-+--因为，()a ab λ⊥- 所以，即，解得，()0a a b λ⋅-= ()()()2212330λλλ--++-+-=2λ=故选：D.3．已知两平行直线与，则实数的值是（）1:0l x y -=2:220l x y b -+=bA ．B ．4C ．D ．±4±【答案】D 【分析】由题知，再根据平行线间的距离公式计算即可.2:02b l x y -+=【详解】解：将直线整理得，2:220l x y b -+=2:02b l x y -+=所以平行线间的距离公式得直线与1:0l x y -=2:02b l x y -+=解得4b =±故选：D4．四面体中，，，，点在线段上，且，为中OABC OA a = OB b = OC c = M OC 2OM MC =N BA 点，则为（ ）MNA ．B ．121232a b c -+ 211322a b c-++C ．D ．112223a b c +- 221332a b c ++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，.()2111232223MNMO ON OC OA OB a b c=+=-++=+-故选：C.5．经过点（1，-1）且一个方向向量为（2，-3）的直线L 的方程是（ ）A ．B ．3210x y +-=32+10x y +=C ．D ．23+10x y +=230x y --=【答案】A【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合点斜式即可得解.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，又因为直线过点（1，-1），由()2,3-32-点斜式可得直线的方程为.3210x y +-=故选：A.6．已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=a b c λ（ ）A ．B ．C ．D ．725292112-【答案】D【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解+b y x c a = 之可求得答案.【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=+b y x c a = ，()()()2,3,24,2,1+10,3,x y λ-=-所以，解得，24+1032+32+x y x y x y λ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩3412112x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选：D.7．已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实l 0x y m -+=224x y +=AB O 0OA OB ⋅=数为（ ）m A ．2B ．C ．D ．2±±【答案】C【分析】由题意，，故圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式即得=90AOB ∠(0,0)ld 解【详解】由题意，，由于圆半径为，=90AOB ∠ 2r =则圆心到直线的距离(0,0)l d 得，=2m 2m =±故选：C8．在正方体中，在正方形中有一动点P ，满足，则直线与1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD ⊥PB 平面所成角中最大角的正切值为（ ）11DD C CA ．1BCD 【答案】D【解析】根据题意,可知是平面内,以为直径的半圆上一点.由即为直线与平P 11DD C C 1DD BPC ∠PB 面所成的角可知当取得最小值时,与平面所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,11DD C C PC PB 11DD C C 与半圆的交点为P,此时取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得,进而求得.PC PC tan BPC ∠【详解】正方体中,正方形内的点P 满足1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD⊥可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:P 11DD C C 1DD当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E 与C 点连线上PB 11DD C C P 此时取得最小值.PC 则即为直线与平面所成的角BPC ∠PB 11DD C C设正方体的边长为2,则,1PC EC EP =-=2BC =所以tan BC BPC PC ∠===故选:D【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、多选题9．（多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ）A ．B ．430x y -=430x y +=C ．D ．10x y -+=10x y +-=【答案】BD【分析】分情况讨论，当直线过原点时直线方程；当直线不过原点时：设直线方程为430x y +=，代入点求出的值即可得到直线方程．x y a +=(3,4)-a 【详解】解：①当直线过原点时：直线方程为，化为一般式为，43y x=-430x y +=②当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为，a x y a +=又直线过点，代入得，即，(3,4)-34a -+=1a =直线方程为：，化为一般式为，∴1x y +=10x y +-=综上所求，直线的方程为或.430x y +=10x y +-=故选：BD.10．已知两条不同的直线l ，m 与两个不重合的平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若l ∥m ，则必有α∥βB ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】ABD【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】解：对于A ：如图所示：设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故A 错误；对于B ：假设α∥β，l ′⊂β，l ′∥l ，l ′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故B 错误；对于C ：若l ⊂α，l ⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故C 正确；对于D ：设α∩β＝c ，若l ∥c ，m ∥c ，虽然α⊥β，但是可有m ∥α，故D 错误，故选：ABD ．11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则（ ）A BD C --A ．⊥B ．是等边三角形AC BDACD C ．AB 与平面BCD 所成的角为60°D ．AB 与CD 所成的角为90°【答案】AB【分析】A 选项，作出辅助线，证明出线面垂直，进而得到线线垂直；B 选项，设出正方形边长为a ，由直二面角的条件得到，由勾股定理得到，从=90AOC ∠︒AC a =而得到，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD C 选项，证明线面垂直，得到AB 与平面BCD 所成角为，求出其度数即可；ABO ∠D 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直角的夹角.【详解】取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为，，AB AD =BC DC =所以，,OC BD OA BD ⊥⊥因为，平面OAC ，OC OA O ⋂=,OC OA ⊂所以BD ⊥平面AOC ，因为平面AOC ，AC ⊂所以BD ⊥AC ，A 正确；不妨设正方形边长为a ，则CD =AD =a ，则，AO CO ==因为二面角为直二面角，，A BD C --,OC BD OA BD ⊥⊥所以即为二面角的平面角，且，AOC ∠A BD C --=90AOC ∠︒由勾股定理得：，AC a ==故，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD 由AB 选项可知：，，，平面BCD ，AO OC ⊥AO BD ⊥OC BD O = ,OC BD ⊂所以AO ⊥平面BCD ，故AB 与平面BCD 所成角为，且，ABO ∠45ABO ∠=︒故AB 与平面BCD 所成的角为45°，C 错误；以O 为坐标原点，OA ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设，AB a =则，,0,0,0,,0,,,0A B C D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，0,,0,0,0=,,0AB ⎛⎫⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，,0=,CD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则21,,0,02AB CD a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故AB 与CD 所成的角不为90°，D 错误.故选：AB 12．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线()40x y x +=<<4P O 224x y +=A B 与，轴分别交于点，，则（ ）AB x y M N A ．点恒在以线段为直径的圆上B ．四边形面积的最小值为4O AB PAOBC ．的最小值为D ．的最小值为4ABOM ON+【答案】BCD【分析】对于A ，由动点及圆的性质即可判断；对于B ，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求PO PO解；对于C ，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后A B OP AB 数形结合即可得解；对于D ，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本AB M N 44OM ON a b +=+不等式即可求解．【详解】对于A ，在四边形中，不一定是直角，故A 错误；PAOB AOB ∠对于B ，连接，由题易知，所以四边形的面积PO Rt Rt PAO PBO ≌PAOB，又的最小值为点到直线的距离，即，1222S PA OA PA =⨯⋅==PO O 4x y +=所以四边形面积的最小值为，B 正确；PAOB 4=设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，(),P a b OP ()()0x x a y y b -+-=O 224x y +=得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则4ax by +=AB 4ax by +=P 4x y +=4a b +=，代入直线的方程，得，即，令，则4b a =-AB ()440a x y y -+-=()440a x y y -+-=x y =，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最440y -=1x =1y =AB ()1,1C OC =AB小值为，C 正确；=在中，分别令，得到点，，所以，因为点4a by +=0y =0x =4,0M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭40,N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭44OM ON a b +=+在直线上，所以且，，则(),P a b ()40x y x +=<<44a b +=04a <<04b <<，当且仅当时等号成立，所以()4411224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭2a b ==的最小值为4，D 正确．OM ON+故选：BCD.【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论：（1）过圆上一点的切线方程为()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y ；()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，C ()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y C A ，则切点弦所在直线的方程为．B AB ()()()()200x a x a y b y b r --+--=三、填空题13．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是___________.()3,2A -()5,4B -AB 【答案】()()221125x y ++-=【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】因点，，则线段的中点，即所求圆的圆心为点，()3,2A -()5,4B -AB ()1,1C -()1,1C -圆的半径，5=所以以线段为直径的圆的方程是：.AB ()()221125x y ++-=故答案为：()()221125x y ++-=14．为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点P ABCD PA ⊥ABCD 3AB =4=AD 1PA =到的距离为__．P BD【答案】/135 2.6【分析】方法一：过作，交于，连结，则可得是点到的距离，然后A AE BD ⊥BD E PE PE P BD 求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形中，，，，ABCD 3AB =4=AD 5BD ∴==过作，交于，连结，A AE BD ⊥BD E PE平面，平面，PA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD ，PA BD ∴⊥又 ，，AE BD ⊥PA AE A = 平面， BD ∴⊥PAE ∵平面，PE ⊂PAE ，即是点到的距离，PE BD ∴⊥PE P BD ，，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ 125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===点到的距离为．∴P BD 135方法二∵平面，平面，PA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ∴，,PA AB PA AD ⊥⊥∵AB AD⊥∴三线两两垂直，PA AB AD 、、∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，A ,,AB AD AP ,,x y z，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=-，，()340BD =- ，，，∴cos ,BP BD BP BD BP BD⋅===点到的距离为∴PBD 135d ==故答案为：13515．在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直xOy 224x y +=224440x y x y ++-+=l 线的方程为________.l 【答案】20x y -+=【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.l 【详解】若圆和圆关于直线对称，224x y +=224440x y x y ++-+=l 则直线为两个圆心的中垂线，l 的圆心为，224x y +=1(0,0)O 的圆心为.224440x y x y ++-+=2(2,2)O -，中点为121O O k =-(1,1)-可得直线为 ，整理得：.l 11y x -=+20x y -+=故答案为：.20x y -+=16．正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦ABCD M N BC AB DM CN 值为 _____．【答案】16【分析】根据点分别为棱、的中点，根据向量的运算得出，,M N BC AB ()1=22DM a b c+-，然后可设正四面体的棱长为2，从而进行数量积的运算可求得，并且根12CN a b=- 12DM CN ⋅=-，然后便可求出的值，从而可得出异面直线与所成cos ,DM CNDM CN 角的余弦值.【详解】为棱的中点，设， M BC ,,AB a AC b AD c === .()()()()111=+=+=2222DM DB DC AB AD AC AD a b c⎡⎤∴--+-⎣⎦ 又为棱的中点,N AB .∴1122CN CA AN AC AB a b=+=-+=-又的两两夹角都为，并设,,,a b c60︒===2a b c ∴()221111112224422DM CN a b c a b a a b b a c b c⎛⎫⋅=+-⋅-=-⋅--⋅+⋅ ⎪⎝⎭ .11121222=---+=-,1cos ,==6DM CN DM CN DM CN⋅∴-⋅异面直线与所成角的余弦值为.∴DM CN 16故答案为:.16四、解答题17．已知的三个顶点，，，求：ABC (4,6)A -(4,0)B -(1,4)C -(1)边上的高所在直线的方程；AC BD (2)的垂直平分线所在直线的方程．BC EF 【答案】(1)；240x y -+=(2).6810x y +-=【分析】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程；ACk BD BD k (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程．BCk EFk BC 【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．2AC k =-∴BD 12BD k =又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．BD (4,0)B -BD 240x y -+=（2），．又线段的中点为，43BCk = 34EF k ∴=-BC 5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所在直线的方程为，EF ∴35242y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭整理得所求的直线方程为：．6810x y +-=18．如图，在长方体中，，，E 是CD 中点.1111ABCD A B CD -2AB =11BC CC ==（1）和所成角的大小；1BC 1D E（2）证明：.11B E AD ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析；3π【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的大小；（2）首先求出，，利用空间向量法证明即可；1B E1AD 【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，()1,2,0B ()10,2,1C ()10,0,1D ()0,1,0E ，，所以，，设和所成的角为，则()11,2,1B ()1,0,0A ()11,0,1BC =-()10,1,1D E =-1BC 1D Eθ，因为，所以，即和所成的角为；11111cos 2BC D E BC D Eθ⋅⋅=== 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦3πθ=1BC 1D E 3π（2）由（1）可得，，所以，()11,1,1B E =---()11,0,1AD =-()()()()111101110B E AD ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=所以11B E AD ⊥19．已知圆过点，，且圆心在直线上．C ()0,1A ()2,1B C 10x y +-=(1)求圆的标准方程；C (2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．l ()2,2C l 【答案】(1)；()2212x y -+=(2)或.2x =3420x y +=-【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，C 1x =C 10x y +-=根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程；C （2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设2x =的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线l ()22y k x -=-距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，C ()0,1A ()2,1B C 1x =又圆心在直线上，令可得，C 10x y +-=1x =0y =所以圆的圆心为,C ()1,0=所以圆的标准方程为.C ()2212x y -+=（2）当l 斜率不存在时，l 的方程为，2x =易知此时被圆C 截得的弦长为2，符合题意，所以；2x =当l 斜率存在时，设l 的方程为，2(2)220y k x kx y k -=-⇒-+-=则．d =又直线l 被圆C 所截得的弦长为2，所以，则，2==1d =，解得，1=34k =所以直线l 的方程为．()32234204y x x y -=-⇒-+=综上：l 的方程为或.2x =3420x y +=-20．如图，正三棱柱的所有棱长都为2．111ABC A B C -(1)求点'到平面的距离．B 11A BC (2)求平面与平面夹角的余弦值．1AA B 11A BC【答案】【分析】（1）取的中点，的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面BC D 11B C E D的一个法向量和，结合距离公式，即可求解；11A BC n =1(0,2,0)BB =（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合平面的1AAB m =11A BC 一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.n =【详解】（1）解：如图所示，取的中点，的中点，连接与，BC D 11B C E AD DE 因为三棱柱为正三棱柱，可得且平面平面，111ABC A B C -AD BC ⊥ABC ⊥11BCC B 所以平面，AD ⊥11BCC B 由矩形中，因为分别为的中点，可得11BCC B ,D E 11,BC B C DE BC ⊥以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DB DE DA x y z 因为正三棱柱的所有棱长都为，可得，111ABC A B C -2AD =则，111(1,0,0),(0,(1,2,0),(1,2,0)B A B C -所以，111(2,2,0),(1,(0,2,0)BC BA BB =-=-=设平面的法向量为，则，11A BC (,,)n x y z =1120220n BA x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，所以，x =1yz ==-1)n =-则到平面的距离为.1B 11ABC d （2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，1(1,0,0),(0,AB A 可得，1(1,0,(0,2,0)AB AA ==设平面的法向量为，则，1AA B (,,)m a bc =1020m AB a m BC b ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩取，所以，a =0,1b c ==m =又由平面的一个法向量为，11ABC 1)n =-可得，cos ,m n m n m n ⋅===即平面与平面11A BC 1AA B21．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，，O 为AC 的中点．AB BC ==4PA PB PC AC ====(1)证明：PO ⊥平面ABC ．(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M ﹣PA ﹣C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面几何知识可证得，，再由线面垂直的判定可得证；PO OB ⊥OP AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，运用面面角、线面角的向量求解方法可求得答案.【详解】（1）以为，为的中点，所以，且.4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB因为，所以为等腰直角三角形，且.AB BC AC=ABC 1,22OB AC OB AC ⊥==由得.222OP OB PB +=PO OB ⊥由,平面,平面,得平面.,,OP OB OP AC OB AC O ⊥⊥⋂=OB ⊂ABC AC ⊂ABC PO ⊥ABC （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，O OBx Oxyz由题意得，.()()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,O B A C P-(0,2,AP ∴=取平面的一个法向量为.设，则.设平面PAC ()2,0,0OB = ()(),2,002M a a a -<≤(),4,0AM a a =- 的法向量为.PAM (),,n x y z =由，得可取，所以0,0⋅=⋅=AP n AMn ()20,40,y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩))4,n a a=--cos ,OB n =又，解得（舍去）或，cos ,OB=4a =-43a =所以，又，43n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(0,2,PC =- 设与平面所成角为，则.PC PAM θsin cos PC θ= 所以与平面PC PAM 22．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线相切．3480x y +-=（1）求圆C 的标准方程；（2）直线与圆C 交于A ，B 两点．:2l y kx =+①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.()2211x y -+=3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C 过原点，所以半径r =a ，(),0(0)C a a >又圆C 与直线相切，所以圆心C 到直线的距离（负值舍去），3480x y +-=|38|15a d a a -==⇒=所以圆 C 的标准方程为：.()2211x y -+=（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：，因为有两个交点，()()2214240kx k x ++-+=所以，即k 的取值范围是.()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（ⅱ）设，由根与系数的关系：，()()1122,,,A x y B x y 12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩所以.()1212121212122222OA OBx x y y kx kx k k kx x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+即直线OA ,OB 斜率之和为定值.。
深圳实验学校高中部2020—2021学年度第一学段考试高二数学试卷
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第一学段考试高二数学试卷高二数学(理)试卷时刻：120分钟满分：150分第一卷(选择题 满分50分)一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确, 请把正确的结论填涂在答题卡上.每小题5分，满分50分.1. 若命题”的逆命题是q ，命题"的逆否命题是r,则g 与厂的关系是(A)互为逆命题.(B)互为否命题. (C)互为逆否命题.(D)不能确定.2. 已知正方体ABCD-A }B {C {D }中，点F 是侧面CDDQ 的中心，若AF = AD+xAB+yAA if 则x-y 等于(A) 一丄.(B) 0・ (C)丄. (D) 1・2 23. 已知4(-4,6,-1八3(432),则下列各向量中是平而AO3的一个法向量的是(A) (0,1,6).(B)(—12—1)・ (0(-15436). (D)(15,4-36)・4. 设M = e R y x 2+ax+\ > o}, N =制玉 wR,(a-3)x+1 = o},若命题 p :a eM ,命题q: u 已N ,那么命题"是命题g 的7.设p 是双曲线二一二=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y = 0, cr 9仟、厲分别是双曲线的左、右焦点.若|P 川=3,则|P/s| =(A)充分不必要条件. (B) 必要不充分条件. (C) 充要条件.5. 若方程2伙$ -2)x 2 +k 2y 2 +k 2-k (A) (-^O ,-A /2) U(A /2,-+<O ). (C) (-2,-72)U(V2,2)U(2,3).2 26.设£为双曲线—+ — = 1的藹心率,2 rn (A) (-6-1)・(B)(0,6)・(D) 既不充分又不必要条件.•6 = 0表示椭圆，则&的取值范畴是(B) (-2,-阿 U (血,3). (D) (-2,3).且e e (1,2),则实数加的取值范畴为(C) (+l). (D) (-6,0).(A) 1 或5・(B)6・(C)7・(D)9・v2 v2h + c& 已知c是椭圆r +亠=1(«>b>0)的半焦距，则——的取值范畴是cr Zr a(A) (1,+s). (B)[运,w). (C)(1,V2] . (D)(1,V2).9. 椭圆C, : —+ — = 1的左准线为/,左.右焦点分别为抛物线C\的4 3准线为/,焦点是竹，6与C?的一个交点为P,则『巧I的值等于4 8(A) 一・(B)-・(C)4・(D)8・3 310. 抛物线y2 = 2px与直线a.x+y-4 = 0交于两点A、其中点A的坐标是(1,2),设抛物线的焦点为F,则\FA\ + \FB\等于(A) 7・(B)3A/5・(C)6・(D)5・深圳实验学校高屮部2005-2006学年度第二学段考试高二数学(理)试卷第二卷(非选择题满分100分)二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11・写出命题"BxeR^x2-x + 2> 0"的否定：_____________________________________ .12. 已知7 = (1,2,-1), b = (-2,3,0),若(〃叼+5)丄(a-b),则实数〃？ = ______________ :若(na^b)H(a-b),则实数“ =________________ .(第1空2分，第2空3分)213. 以双曲线X2- —= -1的对称中心为顶点，双曲线的焦点为焦点的抛物线的方3程是____________ .14•椭圆—+ -^— = 1的离心率是丄，则两准线间的距离为9 8 + 77? 2三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本题满分12分）设双曲线C的方程为—-y2 =1 ,直线/的方程是4y = kx+1 >当£为何值时，直线/与双曲线C（I）有两个公共点？（1【）仅有一个公共点？（【【【）没有公共点？16. （本题满分12 分）设N = ^x2+（aS）-8a<o}.命x + 3题p:xeM ,命题q ; x已N・（I）当a = -6时，试判泄命题p是命题g的什么条件；（II）求“的取值范畴，使命题〃是命题q的一个必要但不充分条件.17. （本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底而ABCD为正方形,AB=2, PA = y[2, PD = y/6 , PC =届,BQ 丄PC.(I )求证：平而PCD丄平面QBD：(II )求直线AC与平而PBC所成角的正弦值.18・(本题满分14分)已知正方体ABCD-A^QD,的棱长为3・(I )问在棱上是否存在点E,使异而直线£>£与色(7所成角的余弦为讣、斥, 若存在，指出点E的位置，若不存在，说明理由；(H)当点£在棱GD上，且D\E = 1时，求二面角B\—DE— G的余弦值.19. (本题满分14分)已知点A(LO),动点M到点A的跑离比到y轴的距离多1・（I ）求动点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在如此的点3,过点8的任意直线与点M的轨迹相交于P、Q两点时，使得线段P0的中点到原点O的距离恒为P0长度的一半？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.20. （本题满分14分）已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线/,交椭圆于A、3两点，若椭圆上存在一点C,使四边形QACB 为平行四边形.（I）求椭圆的离心率：（II）若AOAC的而积为15丫§,求那个椭圆的方程.深圳实验学校高屮部2005-2006学年度第二学段考试高二数学（理）参考答案一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确, 请把正确的结论填涂在答题卡上.每小题5分，满分5（）分.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（第12题第1空2分，第2空3 分）.12. in = — x /? = —1 ： --- 2_ 14. 12 或三.解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步 骤.215. （本题满分12分）设双曲线C 的方程为罕-于=],直线/的方程是4y = kx+\.当k 为何值时，直线/与双曲线C（I ）有两个公共点？ （II ）仅有一个公共点？（III ）没有公共点？ 2解：把y = kx+1 代入—-v 2= 1 得:（1 -4/r 2）x 2 -3kx-8 = 0............. （*）4 当1一4/=0,即k=±丄时，方程（*）为一次方程，只有一解.2/o Fy i当 1一4/ 工0且厶=（一8£）2—4（1一4/）（一8）>0,即一 —<Z:< —且《工± —2 2 2时，方程（*）有两个不等实根.当 1一碌2工0且厶=（一洙）2一4（1一4/：2）（—8） = 0,即k = +—时，方程（*）有2两个相等实根.当 1一 4/H0 且厶=（一洙）2-4（1一4戸）（一8）<0,即 k<- —或二时，方2 2程（*）没有实根.因此，（I ）当—且土丄时，直线/与双曲线c 有两个公共点：2 2 211. Vx e /?,x 2 -x + 2 < 0；13. x 2 = 8yglcx 2 = -8y :(H)当k = ±-或k = ±空时，直线/与双曲线C仅有一个公共点：2 2/J(III)当k<_[或《>丄「时，直线/与双曲线C没有公共点.2 216. (本题满分12 分)设三>1], N =\xx2+(aS)Sa<o},命x + 3题p'.x^M ,命题c/:xe N .(I )当a = -6时，试判定命题p是命题q的什么条件；(II)求"的取值范畴，使命题"是命题g的一个必要但不充分条件.解：M={A|X<-3<¥>5},N = {^(x-8)(x + a)<0}.(I )当a = -6时，N = {Y|6 < x < 8).•.•NuM,二当xeN时，有xwM,但xwM时不能得岀x已N .因此，命题"是命题g的必要但不充分条件.(II)当ov—8时，?/={A-|8<X<-«},有N uM,满足命题”是命题q的必要但不充分条件. 当“>一8 时，/V = {x|-«<x<8),要使N uM,须一a >5,即一8<a<-5.当« = -8时，N = {8},满足命题"是命题q的必要但不充分条件.因此，"的取值范畴是"V—5・17. (本题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为正方形, PAB=2, PA =迈,PD =屁 PC = V10 , BQ丄PC. A\(I )求证：平而PCD丄平而QBD；(II)求直线AC与平面P3C所成角的正弦值.(I )证明：•・・ AD = AB = ZAC = 2x/2 ,PA =迈,PD =联,PC =、而,・••有PC2 = PA2 + AC2f PD2 = PA2 + AD2.则PA 丄AD, PA±AC.・・・PA丄底而ABCD.・•・BC = CD,・・・MBC竺HPDC・则由30丄PC,得D0丄PC, 因此，PC丄平而QBD.• PC u平面PCD, ••・平面PCD 丄平而I)(II)法一：过A 作AM 丄PB,垂足为M,连CM.•/ PA 丄底而 ABCD, BCu 底面43CD, .•.BC 丄 PA又•.• BC 丄 AB,二 3C 丄平而 PAB ，BC 丄 AM , 则AM 丄平而PBC.因此，ZACM 为AC 与平而PBC 所成的角. 在直角AAMC 中，AM =卜；=半，&C = 2“. siiiZACM = — = 21. /法二：依(I )可知，PA 丄底而ABCD.x '以A 为坐标原点，AB. AD. AP 所在的直线分別为x 轴、y 轴、z 轴建殳空间 直角坐标系，则A(0,0,0).C(2,2,0), P(0,0,V2), B(2,0,0),/. AC = (2,2,0), BC = (0,2,0), ~PB = (2,0,』).设平面PBC 的法向量为n = (x, y, z),BCii = 0・x + 2 ・y + 0・ < =0,・血•历= 2x + 0y -辰=0. 令 x = l,解得 y = 0.z = y[2 ・COS V疋斤 >= “ "- = 和I・・・直线AC 与平而PBC 所成角与向量疋和法向量丘所成角是互余关系. 直线AC 与平而PBC 所成角的正弦值为总.618. （本题满分14分）已知正方体ABCD-A^C^的棱长为3・（I ）问在棱GD 上是否存在点E ，使异而直线DE 与5C 所成角的余弦为讣、/§, 若存在，指出点E 的位置，若不存在，说明理由；（II ）当点E 在棱G9上，且D\E = 1时，求二面角B\—DE — C\的余弦值.解：（I ）如图所示，以点£＞为坐标原点, DA . DC.分别为x、八z轴，建立空间直角坐标系.设存在满足题意的点E,且D 、E = f, 那么 ZXOQO), E(0』,3), C(0,3,0),目(3,3,3). • •旋=(0厶3), 阪= (3,0,3)・ •.•昭％所成角的余弦为箱6 2・••存在点E, E 的坐标为(0丄3)或0£ = 1时，DE 与QC 所成角的余弦为一、你・(II) CB 丄 T 【liiDEC],二 CB = (3,0.0)为丫 [们 DEC 】的法向屋，记为® =(3,0,0)・ 设平而B {ED 的法向屋:为n 2 =(aj^c)»取 c = l,解得 a = 2,b = —3,故 n 2 = (2,—3,1). -* — /?. V14• •COSV 厲” >=—:———= ----- ・I 7 2 —• —• rj> - n /二而角B 厂DE-C,的余弦值为岁.19. (本题满分14分)已知点A(l,0),动点M 到点4的距离比到y 轴的距离多1. (I )求动点M 的轨迹方程；(II)在x 轴上是否存在如此的点B,过点B 的任意直线与点M 的轨迹相交于戶、 0两点时，使得线段P0的中点到原点O 的距离恒为PQ 长度的一半？若存在，求岀 点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(I )依题意，点M 到点A 的距离等于到直线x = -l 的距离，因此点M 的轨迹/. cos< DE, CB, >=H-H3、伍肿+ 9v DB 、 = (3,33)，DE = (04,3)，/.DBi n 2 =3a + 3b + 3c = 09 DE^=b + 3c = 0 ・是以A 为焦点，以兀=一1为准线的抛物线，方程为y 2 =4x.(II)当线段PQ 的中点到点O 的距离为P0长度的一半时，AAOB 为宜角三角形, ZPOQ =90° .假设存在满足条件的点3 ,点〃坐标为(“,0).当过点3的直线垂直于x 轴时，依题意有BP=BQ=BO,则点P 的坐标为点P(“,d)在抛物线b =4.r±, /. o = 4. 下面证明点3(4,0)满足条件.当过点B 直线不垂直于x 轴时，设该直线的斜率为k 伙H0)，则直线方程为y =心一4),又设P 、0两点的坐标为P (册，》)、g(x 2,y 2).k op 'k OQ =-1 => —• —= -1, + =0. (1)把)1=«(州一4)、y 2 =k(x 2 -4)代入⑴中,得（1 + &［）牙［开三 _4&三（工］+X 2） + 16^2 = 0 ・ (2)2 — A Y 由卜 "' 消去y ,得宀一（加+4）x + 16l =0, ）,=心一4）「则(2)的左边=（1 + 鸟2）・ 16—4*2 肚 宀 + 加=16 + 16^2 —32£2 _16 + 16比2 =0.・•・（2）式对任意k 恒成立.因此，存在满足条件的点3,点B 坐标为(40)・20. (本题满分14分)已知椭圆的中心在原点O,焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线人交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C,使四边形OAC3为 平行四边形.(I)求椭圆的离心率： (II) 若△O4C 的面积为15、你,求那个椭圆的方程.解：(I )设椭圆方程为二+二=1 (a>b>0),cr b-X] +x 2 = 加+4 ~T~~直线l:y = x-c , B(x 2,y 2), AB 中点为(%儿)・由上+ ^T ，得y = x-c(a 2 +b 2)x 2 -2a 2cx + a 2(c 2 - 庆)=0=>册 +x ? =" I tr +lr_A -+X 2 _ /c 、.― -b 2c 丿吠-一---儿一"一;Th_ 2b 2 f* ・・•四边形OAC3为平行四边形，・・・兀。
深圳实验学校高中部2023-2024年度高二第一阶段考试数学试题
深圳实验学校高中部2023-2024学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟满分：150分命题人：陈素玲审题人：陈雪艳一、单选题：在每小题给出的四个选项中有且仅有一项是符合题目要求的，共8小题，每小题5分,满分40分.1.下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值是（）X 3459P2a 16a +1216A ．16B ．112C ．19D ．122．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（）A ．(1,1)-B ．(]1,1-C ．()0,1D ．()0,+∞3.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（）种不同的涂色方法.A ．108B ．96C ．84D ．484.我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2024是“八合数”)，则“八合数”共有（）个.A ．35B ．56C ．120D ．1655.6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（）种.A ．720B ．450C ．360D ．1806．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b的取值范围为（）A ．1b >B ．1b <且0b ≠C ．2b >D ．2b <且0b ≠7.某一地区患有流感的人占0.05，流感患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是流感患者的概率为（）A ．12B ．9200C ．919D ．18378．若对任意的12,(,)x x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 12x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A ．1eBC ．1D ．e二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，则（）A ．可组成360个四位数B ．可组成108个是5的倍数的四位数C ．可组成各位数字之和为偶数的四位数有180个D ．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第88个数为231010.已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B =11.若函数()()2ln 21()f x x a x x a R =+-+∈存在两个极值点12,x x ()12x x <，则（）A ．0a ＜或2a >B ．1102x ＜＜C ．2()0f x <D ．()()1212ln 2f x f x +>-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.在53(21)(1)x y +-的展开式中，32x y 的系数为.13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，现从中任意选取1个零件，则取到的零件是次品的概率为.14.已知函数()()1e xf x x =+，过点(1,)M t 可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t的取值范围是.四、解答题：共5大题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）某校将进行篮球定点投测试，规则为：每人至多投3次，先在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．已知甲同学两分球投篮命中的概率是12，三分球投篮命中的概率是110，乙同学两分球投篮命中的概率是25，三分球投篮命中的概率是15.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．16.（15分）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列.17.（15分）已知函数()()()ln f x a x a x a =+-∈R （1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）证明：当0a >时，()3ln 2f x a ≥+.18.（17分）已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．19.（17分）已知函数2()2ln (1)21().f x x a x ax a R =-+-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x .（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：12x x +>.。
广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高二上学期第一阶段考试数学试卷
深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期第一阶段考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知(2,1,3)=a ，(4,2,)x =--b ，且⊥a b ，则x =A ．103B ．103-C ．6-D ．62．已知直线1l ：sin y x α=⋅，2l ：3y x a =+，则1l 与2l A ．通过平移两直线可能会重合B ．不可能会垂直C ．通过绕1l 上某点旋转可以重合D ．可能与x 轴围成等腰直角三角形3．已知A ，B ，C ，D 是平面α内不共线的四点，P 为平面α外一点，若1123PA PB PC xPD =++，则x =A ．21B ．31C ．41D ．614．已知(2,0,0)OA = ，(0,3,0)OB = ，(0,0,6)OC =，则以下与平面ABC 平行的向量是A ．(1,2,1)-B ．(1,2,1)--C ．(1,2,1)--D ．(1,2,1)5．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点坐标为(1,1)-，则直线AB 的方程为A ．210x y +-=B ．0x y +C ．230x y -+=D ．1y =6．已知点(2,0)A ，(0,2)B ，点C 在圆2220x y x ++=上，则△ABC 的面积的最小值为A ．3+B ．3C ．2D ．37．已知圆心在y 轴上的圆C 与直线3460x y --=相切，且截直线3410x y ++=所得的弦长为C 的方程为A ．22764(225x y ++=B ．22764()225x y ++=，或223()42x y ++=C ．22(1)4x y +-=D ．22(1)4x y +-=，或22516(225x y ++=8．已知直线l ：210x y λλ+--=，圆C ：221x y +=，O 为坐标原点．①若直线l 与圆C 相切，则l 的方程为3450x y -+=②点O 到直线l③若圆C 关于直线l 对称，则2λ=-④若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则当17λ=-或1-时，△OAB 的面积有最大值以上说法正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若i 为虚数单位，则复数z =2−i1−i的实部为（ ） A ．12B ．32C ．−12D ．−322．直线l ：x ﹣y +1＝0关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y +1＝0C ．x +y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝03．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝150°，则|a →+b →|为（ ） A ．√25−10√3B ．√25−11√3C ．√25−12√3D ．√25−13√34．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP 、AB 、AC 两两互相垂直，AP ＝3，AB ＝1，AC =√15，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．25πD ．36π5．数学上规定，圆锥的顶点到该圆锥底面圆周上任意一点的连线叫圆锥的母线；沿圆锥的任意一条母线剪开展开成平面图形即为一个扇形；展开后的扇形的半径就是圆锥的母线，展开后的扇形的弧长就是圆锥底面周长；通过展开，就把求立体图形的侧面积转化为了求平面图形的面积．设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，则展开后的扇形半径为l ，弧长为圆锥底面周长2πr ，扇形的面积公式为：S =12×扇形半径×扇形弧长=12×l ×2πr =πrl ．故圆锥侧面积公式为S ＝πrl ．已知圆锥的底面直径为2√3，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π6．正三棱锥O ﹣ABC 的侧棱长为4，底面边长为6，则顶点O 到底面ABC 的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数（x ，y ）表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算cos ∠MPN 的值为（ ）A ．√714B ．√77C ．√715D ．2√7158．已知直线l ：x +y ﹣1＝0截圆Ω：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为√14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l '：（1+2m ）x +（m ﹣1）y ﹣3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（ ） A ．[2−√2，2+√3] B ．[2−√2，2+√2] C ．[√6−√2，√6+√3] D ．[√6−√2，√6+√2] 二、多项选择题。
广东省深圳实验学校2020-2021学年第一学期高二第二阶段考试数学试卷
且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到 2020 年 1 月 1 日将之前所有存款及利息全部取
回，他可取回的钱数（单位为元）（ ）
A． a(1+ r)5
B． a [(1 + r)5 − (1 + r)] r
C． a(1+ r)6
D． a [(1 + r)6 − (1 + r)] r
1
6． f (x) 是 f (x) 的导函数， f (x) 的图象如图所示，
18．（本小题满分 12 分）
设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn = 2n−1 −1 ( n N * )． (1) 求数列{an}的通项 an ； (2) 求数列{| an − n |}的前 n 项的和Tn =| a1 −1| + | a2 − 2 | + | + | an − n | ．
． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
3
已知 a R ，函数 f (x) = a + ln x −1， x (0, e ．
x （1）当 a = 2 时，求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （2）讨论函数 f (x) 的单调性．
a1 a2 a3 an = a1 a2 a19−n ． (n 18, n N*)
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）
f
(x)
=
2 x
+
ln
x
−1
f
(x)
=
−2 x2
2022-2023学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题 1．复数11i-的虚部是（ ） A ．12B ．1C ．1i 2D ．i【答案】A【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可得虚部. 【详解】()()11i 1i 11=i 1i 1i 1i 222++==+--+，故虚部为：12故选：A210-=的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】C【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =，所以直线的斜率为k =所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒. 故选：C3．已知某圆锥的底面圆半径为5， 它的高与母线长的和为25， 则该圆锥的侧面积为（ ） A ．15π B ．20π C ．60π D ．65π【答案】D【分析】根据圆锥轴截面的性质直接计算其母线，进而可得侧面积. 【详解】设该圆锥的母线长为l ，则它的高为25l -， 由()222255l l --=，解得13l =， 所以该圆锥的侧面积为65rl ππ=， 故选：D.4．已知a ，b 为不共线的非零向量，5AB a b =+，28BC a b =-+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】B【分析】根据给定条件，求出,BD AC ，再利用共线向量逐项判断作答.【详解】a ，b 为不共线的非零向量，5AB a b =+，28BC a b =-+，33CD a b =-， 则5BD BC CD a b =+=+，13AC AB BC a b =+=-+， 因1528≠-，则AB 与BC 不共线，A ，B ，C 三点不共线，A 不正确； 因AB BD =，即AB 与BD 共线，且有公共点B ，则A ，B ，D 三点共线，B 正确； 因2833-≠-，则BC 与CD 不共线，B ，C ，D 三点不共线，C 不正确； 因11333-≠-，则AC 与CD 不共线，A ，C ，D 三点不共线，D 不正确. 故选：B5．已知：空间四边形ABCD 如图所示，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC =，13CH DC =，则直线FH 与直线EG （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【答案】B【解析】由已知EF 为三角形ABD 的中位线，从而//EF BD 且12EF BD =，由11.33CG BC CH DC ==，得在四边形EFHG 中，//EF HG ，即E ，F ，G ，H 四点共面，且EF HG ≠，由此能得出结论． 【详解】如图所示，连接EF ,GH.四边形ABCD 是空间四边形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点， EF ∴为三角形ABD 的中位线//EF BD ∴且12EF BD =又11.33CG BC CH DC ==，CHG CDB ∴∽，且//HG BD ，13HG BD =∴在四边形EFHG 中，//EF HG即E ，F ，G ，H 四点共面，且EF HG ≠， ∴四边形EFGH 是梯形， ∴直线FH 与直线EG 相交，故选：B【点睛】方法点睛：证明两直线相交，首先要证明两直线共面，再证明它们不平行.所以本题先证明E ，F ，G ，H 四点共面，再证明直线FH 与直线EG 不平行.6．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π6B =，63c =，且ABC 有两解，则b 的值可能是（ ） A ．33 B ．43 C ．63D ．73【答案】B【分析】根据已知条件，结合ABC 有两解，作出示意图，确定3363b <<，可得答案. 【详解】作π6ABM ∠=,作AD BM ⊥ 于D 点，则sin 33AD c B ==,因为ABC 有两解，故以A 为圆心，以b 为半径作圆弧，需交BM 于两点，即为点C , 所以3363b <<3 故选：B7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A ．1A F 与1D E 不可能平行B ．1A F 与BE 是异面直线C ．点F 的轨迹是一条线段D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值 【答案】A【分析】设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，MN ，1A N ，证明平面1//A MN 平面1D AE ，即可分析选项ABC 的正误；再由//MN EG ，得点F 到平面1D AE 的距离为定值，可得三棱锥1F ABD -的体积为定值判断D ． 【详解】解：设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ， 则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ， 连接1A M ，MN ，1A N ， 如图.∵11//A M D E ，1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE ， 又1A M 、MN 是平面1A MN 内的两条相交直线，∴平面1//A MN 平面1D AE ，而1//A F 平面1D AE ，∴1A F ⊂平面1A MN ， 得点F 的轨迹为一条线段，故C 正确；并由此可知，当F 与M 重合时，1A F 与1D E 平行，故A 错误；∵平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，∴1A F 与BE 是异面直线，故B 正确； ∵//MN EG ，则点F 到平面1D AE 的距离为定值，∴三棱锥1F ABD -的体积为定值，故D 正确． 故选：A ．8．若对圆()()22111x y -+-=上任意一点(),P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤-或6a ≥D ．6a ≥【答案】D【分析】利用几何意义得到要想34349x y a x y -++--的取值要想与x ，y 无关，只需圆()()22111x y -+-=位于直线340x y a -+=与3490x y --=之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出4a ≤-或6a ≥，通过检验舍去不合要求的解集.(),P x y 到直线340x y a -+=与3490x y --=的距离之和，要想34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，只需圆()()22111x y -+-=位于直线340x y a -+=与3490x y --=之间， 所以圆心()1,1到340x y a -+=的距离大于等于半径，1≥，解得：4a ≤-或6a ≥，当4a ≤-时，340x y a -+=与3490x y --=位于圆心的同一侧，不合要求，舍去； 当6a ≥时，340x y a -+=与3490x y --=位于圆心的两侧，满足题意. 故选：D二、多选题9．已知椭圆C ：221641x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．长轴长为12BC．焦点坐标为：0⎛± ⎝⎭， D【答案】CD【解析】先化简椭圆方程为标准方程22111164x y +=，再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解.【详解】由椭圆方程221641x y +=化为标准方程可得22111164x y +=，所以1124a b c ===，，， 所以长轴长为21a =，焦距2c =0⎛± ⎝⎭，， 短轴长为122b =，离心率c e a ==故选：CD10．已知方程2222210x y ax ay a a +-+++-=，则下列选项中a 的值能满足方程表示圆的有（ ） A ．1- B ．0C ．12D ．2-【答案】ABC【分析】将圆的方程化为标准方程()2223124a x y a a a ⎛⎫ -++=--⎪⎝⎭，则23104a a -->，解得即可得出答案.【详解】解：2222210x y ax ay a a +-+++-=，即方程()2223124a x y a a a ⎛⎫ -++=--⎪⎝⎭方程表示圆的条件是23104a a -->，即223a -<<．所以选项A ，B ，C 能表示圆，选项D 表示一个点，不能表示圆． 故选：ABC.11．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次达到最高点，需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】先根据题意求出点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC 选项.【详解】如图所示，过点O 作OC ⊥水面于点C ，作OA 平行于水面交圆于点A ，过点P 作PB ⊥OA 于点B ，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为2ππ6030=（rad /s ），且点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，t （秒）后，可知0π30POP t ∠=，又水轮半径为4米，水轮中心O 距离水面2米，即2OC =m ，04OP =m ，所以00π6OP C AOP ∠=∠=，所以ππ306POA t ∠=-，因为4OP =m ，所以ππ4sin 306t PB ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，故ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，D 选项正确；点P 第一次达到最高点，此时ππsin 1306t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，令ππ02π36t -=，解得：20t =（s ），A 正确；令ππ4sin 22306t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：530t k =+，Z k ∈，当5k =时，155t =（s ），B 选项正确；ππ4sin 22306t ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，令ππ0π306t <-<，解得：535t <<，故有30s 的时间点P 距水面超过2米，C 选项错误；故答案为：ABD12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，2AB =，1AA a =，点M 为1CC 点的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，下列四个结论中正确的为（ ）A ．当3a =且点P 位于底面1111D CB A 的中心时，四棱锥P ABCD -外接球的表面积为253πB ．当2a =时，存在点P 满足4PA PM +=C ．当2a =时，存在唯一的点P 满足90APM ∠=︒D ．当2a =时，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为2 【答案】ACD【分析】根据给定条件，结合球的截面小圆性质求出球半径计算判断A ；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断B ，C ，D 作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，取底面ABCD 的中心H ，即四边形ABCD 外接圆圆心，连接PH ，BH ，如图，四棱锥P ABCD -是正四棱锥，PH ⊥底面ABCD ，3,2PH BH ==，显然四棱锥P ABCD -的外接球球心O 在直线PH 上，连BO ，令球半径为R ，则|3|OH R =-， 由222BO OH BH =+得：222(3)(2)R R =-+，解得523R =，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为22543S R ππ==，A 正确； 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点1A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，当2a =时，则(0,0,2),(2,0,2),(2,2,1)A B M ，延长1MC 至点M '，使111C M MC '==， 连接AM '交底面1111D C B A 于点P '，连接,,P M P M PM ''''，则点(2,2,1)M '-，因MM '⊥平面1111D C B A ，则线段MM '被平面1111D C B A 垂直平分，即有P M P M '''=，PM PM '=，PA PM PA PM AM AP P M AP P M '''''''+=+≥=+=+，当且仅当点P 与P '重合时取等号，因此min ()4PA PM AM '+=>，B 不正确； 设(,,0)P x y ，02,02x y ≤≤≤≤，(,,2),(2,2,1),(2,,2),(2,2,1)AP x y MP x y BP x y AM =-=---=--=-，因22(2)(2)2(1)(1)AP MP x x y y x y ⋅=-+-+=-+-，则当且仅当1,1x y ==，即点(1,1,0)P 时，0AP MP ⋅=成立，所以存在唯一的点P 满足90APM ∠=︒，C 正确；当BP AM ⊥时，2220BP AM x y ⋅=+-=，即1x y +=，而0,0x y ≥≥，因此点P 的轨迹是以点(1,0,0)与点(0,1,0)D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知4a =，3b =，6a b ⋅=-，则a 与b 所成的夹角大小是______. 【答案】2π3##2π3##120° 【分析】根据向量夹角公式，由题中条件，即可直接求解.【详解】因为4a =，3b =，6a b ⋅=-，记a 与b 所成的夹角为θ， 所以61cos 432a b a bθ，因此23πθ=. 故答案为：23π. 14．空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，若三个向量,,a b c 共面，则实数m 的值为______． 【答案】1【分析】利用空间向量共面定理即得. 【详解】因为三个向量,,a b c 共面，可设a b c λμ=+，即(1,1,1)(1,0,1)(1,2,)m λμ=+，∴1121m λμμλμ=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩， 解得1,12m λμ===.故答案为：1.15．在四面体-P ABC 中，PC ⊥平面ABC ，5PA PB ==，4PC =，32AB =，则四面体-P ABC 外接球的表面积为______． 【答案】34π【分析】根据线面垂直的性质定理及勾股定理，结合长方体的体对角线为外接球的直径，求出半径，再利用球的表面积公式即可求解． 【详解】如图所示，PC ⊥平面ABC ，5PA PB ==，4PC =，由勾股定理得，3AC BC ==，又32AB =222AC BC AB +=，则AC BC ⊥．设外接球的半径为R ，则()2222222243334R PC AC BC =++=++=，解得34R = 所以外接球的表面积为24π34πS R ==． 故答案为：34π 16．1F ､2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠=∠=︒，若1235MF MF MN λ+=，则椭圆E 的离心率为___________. 【答案】78##0.875【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定1||MF 与2||MF 的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由1235MF MF MN λ+=得：以13MF 、25MF 为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的对角线对应的向量与MN 共线，由1260F MN F MN ∠=∠=︒知，MN 平分12F MF ∠，因此这个平行四边形是菱形，有123|5|||MF MF =， 又12|||2|MF MF a =+，于是得1253|,|4||4MF a MF a ==，令椭圆E 的半焦距为c ，在12F MF △中，12120F MF ∠=，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即22225353494()()444416c a a a a a =++⋅=，则有2224964c e a ==，解得78e =，所以椭圆E 的离心率为78.故答案为：78四、解答题17．求经过点(A -和点(1,B 的椭圆的标准方程. 【答案】221155y x +=.【分析】根据给定条件，设出椭圆的方程，利用待定系数法计算作答.【详解】设椭圆的方程为：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因该椭圆经过点(A -和(1,B ，于是得431121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11,515m n ==，即有221515x y +=， 所以椭圆的标准方程为：221155y x +=.18．已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=. (1)求证：对m R ∈ ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB =m 的值． 【答案】（1）略（2）m =【详解】试题分析：（1）先证明直线l 恒过定点()1,1P ，再证明点P 在圆C 内即可．（2）将直线方程与圆方程联立消元后得到一个二次方程，运用根据系数的关系及弦长公式求得m =进而得到直线l 的倾斜角为3π或23π.试题解析：（1）证明：直线()11l y m x -=-的方程可化为，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点()1,1P ．∵||1PC =< ∴点P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点.（2）由()2215,10,x y mx y m ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()22221250mx m x m +-+-=，显然()22222(2)41(5)4(45)0m m m m ∆=--+-=+>．设()()1122,,,A x y B x y ，12,x x 则是一元二次方程的两个实根，∴2212122225,11m m x x x x m m -+==++，∵12AB x -==，解得23,m =∴m =l 的斜率为∴直线l 的倾斜角为3π或23π. 点睛：圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则222()2lr d =-．(2)代数法：设直线与圆相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，由方程组()()222,y kx m x a y b r =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消y 后得到关于x 的一元二次方程，从而求得1212,x x x x ＋，则弦长为||AB (k 为直线斜率)．在代数法中，由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的准确性，同时也要注意整体代换的运用，以减少运算量．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形且对角线AC 与BD 交于点O ，60,DAB PO ︒∠=⊥底面ABCD ，点E 是PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BDE ；(2)若三棱锥P BDE -的体积为3，求OP 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6OP =【分析】（1）由中位线证得EO AP ∥，即可证得AP ∥平面BDE ；（2）取OC 中点F ，证得EF ⊥平面ABCD ，再由P BDE C BDE E BCD V V V ---==结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：连接OE ．∵点O ，E 分别为,AC CP 的中点，∴EO AP ∥，∵OE ⊂平面,BDE PA ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ；（2）取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点，∴EF 为POC △的中位线，∴EF OP ∥，且12EF OP =．由菱形的性质知，BCD△为边长为2的等边三角形．又OP ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，12332BCD S =⨯=△E 是PC 的中点， ∴113332P BDE C BDE E BCD V V V OP ---===⨯∴6OP =．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=.（1）求A ； （2）若3b =，且BC 边上的高为3ABC 的面积. 【答案】（1）6π；（2）3 【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积． 【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-，由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =， 由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠， 所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）22222332cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=+-⋅⋅2716c =，7a =， 所以11sin 2322ABC S bc A a ==⨯△2131173222⨯=⨯47c =321b == 111sin 214773222ABC S bc A ===△【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．21．如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD 垂直，P 是半圆弧上一点（端点除外），AD 是半圆的直径，AB =1，AD =2．(1)求证：平面P AB ⊥平面PDC ；(2)是否存在P 点，使得二面角B PC D --3若存在，求四棱锥P - ABCD 的体积；若不存在，说明理由， 【答案】(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）根据矩形性质和面面垂直性质定理可证CD ⊥平面ADP ，结合直径所对圆周角为直角可证AP ⊥平面PDC ，然后由面面垂直判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角B PC D --3P 坐标，然后计算可得体积.【详解】（1）在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，又平面ABCD ⊥平面ADP ，平面ABCD ⋂平面,ADP AD CD =⊂平面ABCD ， 所以，CD ⊥平面ADP ，又AP ⊂平面ADP ，所以CD AP ⊥，P 是AD 为直径的半圆上一点，所以DP AP ⊥， 又,,CDDP P CD DP =⊂平面PDC ，所以，AP ⊥平面PDC ，又AP ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PDC（2）取BC 中点E ，以AD 的中点O 为坐标原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示空间直角坐标系，由平面ABCD ⊥平面ADP 可知，半圆在平面xOz 平面内，设(,0,)P a b ，则221,0a b b +=>，又(1,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,0,0)A B C D --， 由（1）可知，平面PDC 的一个法向量为,(1,0,)AP AP a b =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，又(1,1,),(2,0,0)BP a b BC =--=-，则(1)020BP n a x y bz BC n x ⎧⋅=--+=⎨⋅=-=⎩，取1z =，则(0,,1)n b =，设二面角B PC D --的大小为α，222|cos ||cos ,|(1)1AP n a b b α==-++若3sin α=1|cos |2α=，又21b a -()222111222222a a a a a -+==-⋅--，又(1,1)a ∈-， 得0,1a b ==所以，四面体P ABCD -的体积1233ABCD V S b =⋅=22．曲线Γ上动点M 到A （﹣2，0）和到B （2，0）的斜率之积为﹣14．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P （x 0，y 0）（y 0≠0）为直线x ＝4上任意一点，P A ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）24x +y 2＝1；（2）3【分析】（1）设点M （x ，y ），利用求轨迹的步骤列方程得解（2）因为SACBD ＝S △ACB +S △ADB ，设直线AP 的方程为y ＝6t（x +2），与椭圆方程联解得到C ，D的纵坐标，再换元利用基本不等式及函数单调性得解 【详解】（1）设点M （x ，y ），因为曲线Γ上动点M 到A （﹣2，0）和到B （2，0）的斜率之积为﹣14，所以22y y x x ⋅+-＝﹣14， 化简得24x +y 2＝1．所以曲线Γ的轨迹方程为：24x +y 2＝1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （4，t ）（不妨设t ＞0）， 则直线AP 的方程为y ＝6t（x +2），即x ＝6yt﹣2，代入椭圆的方程可得： （6yt﹣2）2+4y 2＝4， 化简得（9+t 2）y 2﹣6ty ＝0， 所以y ＝0或y ＝269tt +， 所以y 1＝269tt +， 同理可得y 2＝221tt -+， 所以SACBD ＝S △ACB +S △ADB ＝12|AB |×|y 1﹣y 2| ＝2（269t t +﹣221t t -+）＝16•3423109t tt t +++ ＝16•223910t tt t +++＝16•233()4t tt t+++，令u ＝t +3t，0t >，其中u ≥则SACBD ＝2161644u u u u =++， 令g （u ）＝2161644u u u u =++，ug （u ）在+∞）上单调递减，所以g （u ）最大值为g （164＝所以四边形ACBD 面积的最大值【点睛】熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系及函数单调性是解题关键.。
2019_2020学年深圳市实验学校高二上学期期中数学试卷及答案版
图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向虽的夹角 均为30°. 已知礼物的质虽为1kg,每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根 绳子拉力的大小为＿．（注：重力加速度g取9.8m尽，精确到O.OlN)
”已知椭圆 - - y9 =1, 一组平行直线的斜率是－2 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的
{k
<
Байду номын сангаас
9)的（）．
A长轴长相等
B. 短轴长相等
C. 离心率相等
D焦距相等
第1页（共5页）
．】 设平面a与平面f3的夹角为0 I 若平面QI /3的法向虽分别为窝和奇，则cos0=( ) .
A. -n+1·-n+2
叫冈
B. l-n+1·-n+2 I
阳国 1
C. l-n+1 l-n+2 I -n-1-+·-n2- -+
2019-2020学年深圳市实验学校高二上学期期中数 学试卷
、 选择题
抛物线y=2x2的焦点坐标是（）．
A (1, 0)
½) B. (0,
C. (o, 订
D. (o, ½)
若｛言，叶构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）．
A. b-++c-+,b-+,b-+-,!
B. a ,-a++b-+ ,-a+ -b-+
- — A.-a+b+2c
6 B. d+ +2d
C. -a+-b-++2c-+
A1� ，，,.，，l. .. .. .. .. ..
2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为（ ）A.(1, 0)B.(14, 0)C.(0, 14)D.(0, 18)【答案】 D【考点】 抛物线的性质 【解析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p ，进而求得焦点坐标． 【解答】整理抛物线方程得x 2=12y ∴ 焦点在y 轴，p =14 ∴ 焦点坐标为(0, 18)2. 若{a →, b →, c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A.b →+c →，b →，b →−c → B.a →，a →+b →，a →−b →C.a →+b →，a →−b →，c →D.a →+b →，a →+b →+c →，c →【答案】 C【考点】空间向量的基本定理及其意义 空间向量的正交分解及其坐标表示 【解析】由平面向量基本定理判断． 【解答】由平面向量基本定理得：对于A 选项，b →=12(b →+c →)+12(b →−c →)，所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面； 对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面；3. 方程x 2−y 2＝x +y 表示的曲线是（ ） A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.双曲线 【答案】 C【考点】 曲线与方程 【解析】先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论． 【解答】因为：x 2−y 2＝x +y ；∴ x 2−y 2−(x +y)＝0，即(x +y)(x −y −1)＝0； ∴ x +y ＝0或者x −y −1＝0；∴ 方程x 2−y 2＝x +y 表示的曲线是两条直线．4. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ．设A 1B 1→=a →，A 1D 1→=b →，A 1A →=c →，则下列向量中与2B 1M →相等的向量是（ ）A.−a →+b →+2c →B.a →+b →+2c →C.a →−b →+2c →D.−a →+b →+2c →【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义 空间向量的正交分解及其坐标表示 【解析】在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，根据空间向量的加法合成法则，对向量B 1M →进行线性表示即可． 【解答】由题意得，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，2B 1M →=2(B 1B →+BM →)＝2(A 1A →+12BD →)＝2A 1A →+BA →+AD →=2A 1A →−A 1B 1→+A 1D 1→=−a →+b →+2c →； 5. 曲线x 225+y 29=1与曲线x 225−k +y 29−k =1(k <9)的（ ）A.长轴长相等B.短轴长相等【考点】椭圆的离心率 【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断． 【解答】 曲线x 225+y 29=1表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8．曲线x 225−k+y 29−k =1(k <9)表示焦点在x 轴上，长轴长为2√25−k ，短轴长为2√9−k ，离心率为√25−k ，焦距为8．对照选项，则D 正确．6. 设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n 1→和n 2→，则cosθ＝（ ） A.n 1→⋅n 2→|n 1|→|n 2→| B.|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→| C.|n 1→||n 2→|n 1→⋅n 2→D.|n 1→||n 2→||n 1→⋅n 2→|【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可． 【解答】平面α，β的法向量分别为n 1→和n 2→，若两个平面的夹角为θ，两平面夹角范围是[0, π2]， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|．7. 与圆x 2+y 2＝1及圆x 2+y 2−8x +12＝0都外切的圆的圆心在（ ） A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上 【答案】 D【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案． 【解答】由x 2+y 2−8x +12＝0，得(x −4)2+y 2＝4， 画出圆x 2+y 2＝1与(x −4)2+y 2＝4的图象如图， 设圆P 的半径为r ，∵ 圆P 与圆O 和圆M 都外切， ∴ |PM|＝r +2，|PO|＝r +1，∴ P 点在以O 、M 为焦点的双曲线的左支上，8. 以点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是（ ） A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】 A【考点】空间中的点的坐标 【解析】分别求出AB →=(6, −2, −3)，AC →=(−2, 3, −6)，BC →=(−8, 5, −3)，再求出模，由此能求出结果． 【解答】∵ A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)，∴ AB →=(6, −2, −3)，AC →=(−2, 3, −6)，BC →=(−8, 5, −3)，∴ |AB →|=√36+4+9=7，|AC →|=√4+9+36=7，|BC →|=√64+25+9=7√2， ∴ |AB →|＝|AC →|，且|AB →|2+|AC →|2＝|BC →|2，∴ 以点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．9. 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，点Q 在直线y ＝x +3上，则|PQ|的最小值是（ ）A.√22B.√2C.32√2 D.2√2 【答案】B【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设与直线y ＝x +3平行且与抛物线相切的直线为y ＝x +b ，则可知|PQ|的最小值即为两直线的距离．直线方程y ＝x +b 与抛物线方程联立，消去x 根据判别式等于0求得b ，根据距离公式求得答案． 【解答】设与直线y ＝x +3平行且与抛物线相切的直线为y ＝x +b ， 联立{y =x +by 2=4x 消去x 得y 2−4y +4b ＝0，△＝(−4)2−16b ＝0． ∴ b ＝1．则|PQ|的最小值是√2=√2．10. 直三棱柱A 1B 1C 1−ABC ，∠BCA ＝90∘，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A.12 B.√3010C.√3015D.√1510【答案】异面直线及其所成的角 【解析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD 1与AF 1所成角的余弦值． 【解答】∵ 直三棱柱A 1B 1C 1−ABC ，∠BCA ＝90∘，∴ 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ 点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1， ∴ 设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则B(0, 20)，D 1(1, 1, 2)，A(2, 0, 0)，F 1(1, 0, 2)， BD 1→=(1, −1, 2)，AF 1→=(−1, 0, 2)， 设BD 1与AF 1所成角为θ， 则cosθ=|BD 1→⋅AF 1→||BD 1→|⋅|AF 1→|=√5⋅√6=√3010． ∴ BD 1与AF 1所成角的余弦值为√3010．11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率e ＝2，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为（ ） A.2 B.3 C.√3 D.√6 【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出点A ，B 、C 的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k CA ⋅k CB =y 12−y 22x12−x 22=b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1．即可求得结论．【解答】由题意，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，则B(−x 1, −y 1)， 则x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1，两式相减可得y12−y 22x 12−x 22=b 2a 2，∴ k CA ⋅k CB =y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=y 12−y 22x 12−x 22=b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3．12. 已知空间直角坐标系O −xyz 中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA →，PB →，PC →两两垂直，若Q ＝A +B +C −2P （注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是（ ）A.O 为球心，√2−OP →2为半径的球面 →C.P 为球心，√2−OP →2为半径的球面 D.P 为球心，√3−2OP →2为半径的球面【答案】 B【考点】 轨迹方程 【解析】利用已知条件推出OQ →2=3−2OP →2，|OQ →|=√3−2OP →2然后说明结果即可．【解答】由Q ＝A +B +C −2P 得，Q −P ＝(A −P)+(B −P)+(C −P)，即PQ →=PA →+PB →+PC →．又PA →，PB →，PC →两两垂直，所以Q 是以PA ，PB ，PC 为三条相邻棱的长方体中与顶点P 相对的顶点． 由OQ →=OP →+PA →+PB →+PC →，得OQ →2=OP →2+PA →2+PB →2+PC →2+2OP →⋅(PA →+PB →+PC →)．(∗) 又OA →=OP →+PA →，所以1=OA →2=OP →2+PA →2+2OP →⋅PA →， 同理1=OB →2=OP →2+PB →2+2OP →⋅PB →， 1=OC →2=OP →2+PC →2+2OP →⋅PC →．三式相加，得3=3OP →2+PA →2+PB →2+PC →2+2OP →⋅(PA →+PB →+PC →)，代入(∗)式，得OQ →2=3−2OP →2，即|OQ →|=√3−2OP →2（定值）． 所以，动点Q 的轨迹是以O 为球心，√3−2OP →2为半径的球面．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分．双曲线4x 2−y 2+64=0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于________． 【答案】 17【考点】双曲线的标准方程 【解析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a 、b 的值，然后根据双曲线的定义得出|PF 1−PF 2|=2a ，根据题中的已知数据，可以求出点P 到另一个焦点的距离．解：将双曲线4x 2−y 2+64=0化成标准形式：y 264−x 216=1， ∴ a 2=64，b 2=16.P 到它的一个焦点的距离等于1，设PF 1=1， ∵ |PF 1−PF 2|=2a =16，∴ PF 2=PF 1±16=17（舍负）. 故答案为：17.已知PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60∘，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是________． 【答案】 √33【考点】直线与平面所成的角 【解析】过PC 上一点D 作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．能证明点O 在∠APB 的平分线上，通过解直角三角形PED 、DOP ，求出直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值． 【解答】在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角． 过点O 作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，因为DO ⊥平面APB ，则DE ⊥PA ，DF ⊥PB ． △DEP ≅△DFP ，∴ EP ＝FP ，∴ △OEP ≅△OFP ，因为∠APC ＝∠BPC ＝60∘，所以点O 在∠APB 的平分线上，即∠OPE ＝30∘． 设PE ＝1，∵ ∠OPE ＝30∘∴ OP =1cos30=2√33在直角△PED 中，∠DPE ＝60∘，PE ＝1，则PD ＝2． 在直角△DOP 中，OP =2√33，PD ＝2．则cos∠DPO =OP PD=√33． 即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 √33．已知椭圆x 24+y 29=1，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是________． 【答案】y =−32x(−√2<x <√2)【考点】直线与椭圆的位置关系 【解析】运用中点坐标公式和参数方程，消去m ，即可得到所求的结论． 【解答】设这组平行直线的方程为y =32x +m ，联立{y =32x +m x 24+y 29=1 ，整理得18x 2+12mx +4m 2−36＝0，则x 1+x 2=−23m ，所以它们与椭圆交点的中点坐标为(−13m, 12m)， 即这些点均在y =−32x(−√2<x <√2)上，三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知空间三点A(0, 2, 3)，B(−2, 1, 6)，C(1, −1, 5)． (Ⅰ)求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积；(Ⅱ)若向量a →分别与AB →、AC →垂直，且|a →|=√3，求a →的坐标． 【答案】（1）AB →=(−2,−1,3),AC →=(1,−3,2),|AB →|=√14,|AC →|=√14 cos∠BAC =AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|=12，∴ ∠BAC ＝60∘∴ S =2×12×√14×√14sin60=7√3⋯（2）设a →=(x, y, z)，∵ a →⊥AB →,a →⊥AC →,|a →|=√3⋯∴ {−2x −y +3z =0x −3y +2z =0x 2+y 2+z 2=3 ,{x =1y =1z =1 {x =−1y =−1z =−1 ⋯∴ a →=(1, 1, 1)或a →=(−1, −1, −1) 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】（1）以AB 、AC 为边的平行四边形的面积我们选择S =|AB|⋅→|AC|→sinθ，其中θ是AB →,AC →的夹角．（2）设出a →的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可． 【解答】（1）AB →=(−2,−1,3),AC →=(1,−3,2),|AB →|=√14,|AC →|=√14 cos∠BAC =AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|=12，∴ ∠BAC ＝60∘1（2）设a →=(x, y, z)，∵ a →⊥AB →,a →⊥AC →,|a →|=√3⋯∴ {−2x −y +3z =0x −3y +2z =0x 2+y 2+z 2=3 ,{x =1y =1z =1 {x =−1y =−1z =−1 ⋯∴ a →=(1, 1, 1)或a →=(−1, −1, −1)设抛物线y 2＝2px(p >0)上的点M 与焦点F 的距离为52，到y 轴的距离为2√p ． （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；（2）若点M 位于第一象限，直线y ＝2−x 与抛物线相交于A ，B 两点，求证：MA ⊥MB ． 【答案】由抛物线的定义知，点M 到准线x =−p2的距离为52． 即有p2+2√p =52．解之，得(√p −1)(√p +5)=0，p ＝1． 所以，抛物线的方程为y 2＝2x ， 点M 的坐标为(2, 2)或(2, −2)．证明：联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ． 解之，得{x =3+√5y =−1−√5 或{x =3−√5y =−1+√5，即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 又M(2, 2)，所以k MA ⋅k MB =√51+√5√51−√5=(−3)2−51−5=−1．故MA ⊥MB ． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）由抛物线的定义知p2+2√p =52．解得p ＝1．即可．（2）联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ．解之得即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 即可得k MA ⋅k MB =√51+√5×√51−√5=(−3)2−51−5=−1．即可证明【解答】由抛物线的定义知，点M 到准线x =−p2的距离为52． 即有p2+2√p =52．解之，得(√p −1)(√p +5)=0，p ＝1．点M 的坐标为(2, 2)或(2, −2)．证明：联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ． 解之，得{x =3+√5y =−1−√5 或{x =3−√5y =−1+√5，即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 又M(2, 2)，所以k MA ⋅k MB =√51+√5√51−√5=(−3)2−51−5=−1．故MA ⊥MB ．如图，在三棱锥O −ABC 中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点．（1）用向量OA →，OB →，OC →表示OG →，并证明你的结论；（2）设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）． 【答案】OG →=13(OA →+OB →+OC →)．证明如下：OG →=OA →+AG →=OA →+23AD →．=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →−OA →)+(OC →−OA →)]=13(OA →+OB →+OC →)．设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：x +y +z ＝1，且0<x <1，0<y <1，0<z <1．【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】（1）由题意根据空间向量的加法法则推出向量OG →，使得它用基底{OA →, OB →, OC →}表示即可；（2）设OP →=xOA →+yOB →，x ，y ∈R ，则点P 在直线AB 上的充分必要条件是：x +y ＝1，且0<x <1，0<y <1．类比平面向量三点共线的结论写出即可． 【解答】OG →=13(OA →+OB →+OC →)．证明如下：OG →=OA →+AG →=OA →+23AD →．=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →−OA →)+(OC →−OA →)]=13(OA →+OB →+OC →)． 设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：x +y +z ＝1，且0<x <1，0<y <1，0<z <1．已知动点M 与定点F(c, 0)的距离和M 到定直线l:x =a 2c的距离的比是定值ca （其中a >0，c >0）．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状． 【答案】设M(x, y)，由已知，得√(x−c)2+y 2|x−a 2c|=ca． 所以√(x −c)2+y 2=ca|x −a 2c|，两边平方，得(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2， 化简，得动点M 的轨迹方程为(a 2−c 2)x 2+a 2y 2＝a 2(a 2−c 2)． 因为a >0，c >0，所以当a ＝c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a2(x −a 2c)2化为y ＝0，它表示的曲线是直线x 轴； 当a >c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a2+y 2a 2−c 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为a ，短半轴长为√a 2−c 2的椭圆； 当c >a >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a2−y 2c 2−a 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为√c 2−a 2的双曲线． 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】（1）设出M 的坐标．利用已知条件列出方程，化简求解即可． （2）通过a ，c 的大小关系，化简方程，然后推出结果即可． 【解答】设M(x, y)，由已知，得√(x−c)2+y 2|x−a 2c|=ca ．所以√(x −c)2+y 2=ca|x −a 2c|，两边平方，得(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2， 化简，得动点M 的轨迹方程为(a 2−c 2)x 2+a 2y 2＝a 2(a 2−c 2)． 因为a >0，c >0，所以当a ＝c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2化为y ＝0，它表示的曲线是直线x 轴； 当a >c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a (x −a 2c )2化为x 2a+y 2a −c =1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为a ，短半轴长为√a 2−c 2的椭圆； 当c >a >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a 2−y 2c 2−a 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为√c 2−a 2的双曲线．如图，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD ＝∠ADC ＝90∘，AB ＝AD ＝DE =12CD ，M 为AE 的中点．（1）证明：AC // 平面MDF ；（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小． 【答案】 （法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ． 因为四边形CDEF 为矩形， 所以N 为CE 中点．又M 为AE 的中点，所以，在△EAC 中，AC // MN ． AC ∥MN ACMDF MN ⊂MDF}⇒AC // 平面MDF ． （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点， 所以AC →=DC →−DA →=(DF →−DE →)−(2DM →−DE →)=DF →−2DM →，从而AC →与DF →，DM →是共面向量． 又AC ⊂/平面MDF ，所以AC // 平面MDF ． 因为四边形CDEF 为矩形，所以ED ⊥DC ． 又平面ABCD ⊥平面CDEF ，ED ⊂平面CDEF ， 平面ABCD ∩平面CDEF ＝DC ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 而∠ADC ＝90∘，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图．设AB ＝a ，由已知，得DM →=(a2,0,a2)，DF →=(0,2a,a)，CB →=(a,−a,0)，CF →=(0,0,a)．设平面MDF 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⊥DM →，且n 1→⊥DF →，所以n 1→⋅DM →=0，且n 1→⋅DF →=0，即{a2x +a2z =02ay +az =0，取z ＝−2，得x ＝2，y ＝1，即n 1→=(2, 1, −2)． 同理，可求得平面BCF 的一个法向量为n 2→=(1, 1, 0)．cos⟨n 1→,n 2→⟩=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=222222=√22． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为45∘．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】 （1）（法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ．说明AC // MN ．推出AC // 平面MDF ． （法2）说明AC →=DC →−DA →=DF →−2DM →，推出AC →与DF →，DM →是共面向量．即可证明AC // 平面MDF ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB ＝a ，求出平面MDF 的一个法向量，求出平面BCF 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF 与平面BCF 的夹角即可． 【解答】 （法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ． 因为四边形CDEF 为矩形， 所以N 为CE 中点． 又M 为AE 的中点，所以，在△EAC 中，AC // MN ． AC ∥MN ACMDF MN ⊂MDF}⇒AC // 平面MDF ． （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点， 所以AC →=DC →−DA →=(DF →−DE →)−(2DM →−DE →)=DF →−2DM →，从而AC →与DF →，DM →是共面向量． 又AC ⊂/平面MDF ，所以AC // 平面MDF ． 因为四边形CDEF 为矩形，所以ED ⊥DC ． 又平面ABCD ⊥平面CDEF ，ED ⊂平面CDEF ， 平面ABCD ∩平面CDEF ＝DC ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 而∠ADC ＝90∘，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图．设AB ＝a ，由已知，得DM →=(a2,0,a2)，DF →=(0,2a,a)，CB →=(a,−a,0)，CF →=(0,0,a)．设平面MDF 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⊥DM →，且n 1→⊥DF→，所以n 1→⋅DM →=0，且n 1→⋅DF →=0，即{a2x +a 2z =02ay +az =0，取z ＝−2，得x ＝2，y ＝1，即n 1→=(2, 1, −2)． 同理，可求得平面BCF 的一个法向量为n 2→=(1, 1, 0)．cos⟨n 1→,n 2→⟩=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22+12+(−2)2√12+12+02=√22． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为45∘．已知直线l:x +y −√2=0经过椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为13（O 为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值． 【答案】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1 ， 两式相减并整理，得y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x1+x 2=−b 2a 2，即k l ⋅k OM =−b 2a2．所以−b 2a 2=−1×13=−13．……①又直线l:x +y −√2=0与x 轴的交点为(√2,0)， 由已知，得a 2−b 2＝2．……② 联立①②，解得a 2＝3，b 2＝1． 所以，椭圆的方程为x 23+y 2=1．由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|22=r ，所以r ＝1，圆C:x 2+y 2＝1． 又设动切线PQ:x ＝my +n ，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分） 由{x =my +nx 23+y 2=1 ，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0．所以|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(2mn)2−4(m 2+3)(n 2−3)m 2+3=√1+m 2⋅2√3√m 2−n 2+3m 2+3．又直线PQ:x ＝my +n 与圆C:x 2+y 2＝1相切， 所以√1+m 2=1，即n 2＝1+m 2≥1，从而|PQ|=2√6|n|n 2+2．所以，△OPQ 面积S △OPQ =12|PQ|⋅1=√6⋅|n|n 2+2=√6|n|+2|n|≤√62√|n|⋅2|n|=√32．令|n|=2|n|，解得|n|=√2≥1，相应的|m|＝1．所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ 共有四条：x ±y +√2=0和x ±y −√2=0． 故△OPQ 面积的最大值为√32．【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a ，b 推出结果．（2）由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|√12+12=r ，求出圆的方程，设动切线PQ:x ＝my +n ，由{x =my +nx 23+y 2=1，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0．利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减并整理，得y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=−b 2a 2，即k l ⋅k OM =−b 2a2．所以−b 2a 2=−1×13=−13．……①又直线l:x +y −√2=0与x 轴的交点为(√2,0)， 由已知，得a 2−b 2＝2．……② 联立①②，解得a 2＝3，b 2＝1． 所以，椭圆的方程为x 23+y 2=1．由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|√12+12=r ，所以r ＝1，圆C:x 2+y 2＝1． 又设动切线PQ:x ＝my +n ，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）由{x =my +nx 23+y 2=1，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0． 所以|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(2mn)2−4(m 2+3)(n 2−3)m 2+3=√1+m 2⋅2√3√m 2−n 2+3m 2+3．又直线PQ:x ＝my +n 与圆C:x 2+y 2＝1相切，所以√1+m 2=1，即n 2＝1+m 2≥1，从而|PQ|=2√6|n|n 2+2． 所以，△OPQ 面积S △OPQ =12|PQ|⋅1=√6⋅|n|n 2+2=√6|n|+2|n|≤√62√|n|⋅2|n|=√32．令|n|=2|n|，解得|n|=√2≥1，相应的|m|＝1．所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ 共有四条：x ±y +√2=0和x ±y −√2=0． 故△OPQ 面积的最大值为√32．。
广东省深圳市高二数学上学期期中试题理(实验班)(new)
2017－2018学年第一学期期中考试高二年级实验班(理科数学）试题卷本试卷共22小题，满分150分。
考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。
2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的,答案无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．若0b a <<，0d c <<，则A ．ac bd <B ．dbc a > C ．ad b c +>+ D ．a c b d ->-2．若0<<b a ，则下列不等关系中，不能成立的是A ．b a 11>B ．ab a 11>-C ．3131b a < D ．3232b a >3．在ABC ∆中，已知ba c b a 2222+=+,则C =A ．30︒B ．150︒C ．45︒D ．135︒ 4．等差数列{}n a 中，11a =，5998a a +=,n S 为其前n 项和，则9S 等于A ．291B ．294C ．297D ．3005．已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ,3a ，4a 成等比数列,则2a 等于 A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-6．已知实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-1003x y x y x ,则y x z 2+-=的最小值是A ．7B ．－3C ．23D ．37.不等式(1)(1)0x x -->的解集是A ．{}10x x -<≤B ．{0x x >且1}x ≠C ．{}11x x -<<D ．{1x x >-且1}x ≠ 8．若0,0a b ≥≥，且2a b +=，则A ．1ab ≤B ．1ab ≥C ．224a b +≥D ．224a b +≤9．已知等比数列}{n a 的公比0q <,其前n 项和为n S ，则89S a 与98S a 的大小关系是 A ．9889S a S a < B ．9889S a S a > C ．9889S a S a = D ．89S a 与98S a 的大小不确定10．ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若2sin sin cos a A B b A +=,则b a= A．． C ．D11．若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是A ．4-<aB ．4->aC ．12->aD ．12-<a12．若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥.022,0,0y x y x y 则11y w x -=+的取值范围是A 。
广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期第一阶段考试数学试卷
广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期第一阶段考试数学试卷一、单选题1．已知点(3,1,4)A ，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--B ．(1,3,4)-C ．(3,1,4)---D ．(4,1,3)-2．直线3410x y --=的一个方向向量是（ ）A ．(3,4)B ．(4,3)C ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．[]0,4B ．[]4,4-C ．[]4,0-D ．[]0,24．直线a ⊥平面α，b ∥α，则a 与b 的关系为 A ．a ⊥b 且a 与b 相交 B ．a ⊥b 且a 与b 不相交 C ．a ⊥bD ．a 与b 不一定垂直5．已知直线的参数方程为45x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则直线上与点()4,5P 点的坐标是（ ） A ．()4,5-B ．()3,6C ．()3,6或()5,4D ．()4,5-或()0,16．M ，N 分别为直线34120x y --=与6850x y -+=上任意一点，则MN 最小值为（ ） A ．2910B ．295C ．175D ．17107．如图，M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，N 为OM 的中点，点P 在线段AN 上，且2AP PN =，设OA a =u u u rr，OB b =u u u r r，OC c =u u u rr，则OP =u u u r（ ）A ．111366OP a b c =++u u u r r r r B ．21131212OP a b c =++u u u r r r rC ．111366OP a b c =-+u u u r r r rD ．2113126OP a b c =+-u u u r r r r8．点(2,1)P --到直线:10(R)l mx y m m +--=∈的距离最大时，直线l 的方程为（ ） A ．2320x y --= B ．3280x y ++= C ．3250x y +-=D ．2310x y -+=二、多选题9．设A 、B 、C 、D 是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 也是异面直线 C ．若AB AC DB DC ==，，则AD =BC D ．若AB AC DB DC ==，，则AD ⊥BC10．已知空间四点()()()()1,1,0,2,2,1,1,1,1,0,2,3A B C D -，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．AB CD ⊥B ．AD =C ．点A 到直线BCD ．点D 到平面ABC11．下列说法正确的是（ ）A ．方程21y k x -=+与方程2(1)y k x -=+可表示同一直线 B ．经过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C ．过两点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可用方程()()()()211211x x y y y y x x --=--表示D ．已知(2,3)A ，(1,1)B ，点P 在y 轴上，则||||PA PB +三、填空题12．已知直线l 经过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为．13．在正三棱锥P ABC -中，O 是ABC V 的中心，2PA AC ==，则PO PB ⋅=u u u r u u u r. 14．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()10F ,，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为.四、解答题15．已知直线l 的倾斜角为135o ，且经过点()1,1P ． (1)求直线l 的方程；(2)求点()3,4A 关于直线l 的对称点A '的坐标．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，4PC =，120ABC BCP DCP ∠=∠=∠=︒.(1)求证：PA BD ⊥； (2)求AP 的长.17．已知ABC V 的顶点(1,2)A ，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210x y +-=，ABC ∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =. (1)求直线BC 的方程；(2)若点P 满足PBC ABC S S =△△，求动点P 的轨迹方程.18．已知平面边形ABCD 中，//AD BC ，BC CD ⊥，且2AD CD ===.以AD 为腰作等腰直角三角形PAD ，且PA A D =，将PAD △沿直线AD 折起，使得平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面PAC ；(2)若M 是线段PD 上一点，且//PB 平面MAC ， ①求三棱锥M ABC -的体积；②求平面PBC 与平面ABM 夹角的余弦值.19．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，点E 在母线PC 上，且3AB AE ==，CE(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)求直线PO 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)在线段OP 上是否存在一点M ，使得平面MAB 与平面ADE ？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由。
深圳实验学校数学高二上期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13027]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<3．(0分)[ID ：12994]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．(0分)[ID ：12991]在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(0分)[ID ：12986]设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5126．(0分)[ID ：12979]统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④7．(0分)[ID ：12946]从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．35C ．310D ．258．(0分)[ID ：12940]在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（ ）A ．127B ．128C ．128.5D ．1299．(0分)[ID ：12937]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>11．(0分)[ID ：13022]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为312．(0分)[ID ：13015]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元13．(0分)[ID ：13011]民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．4914．(0分)[ID ：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1615．(0分)[ID ：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万6.27.58.08.59.8元）根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13107]连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．17．(0分)[ID ：13076]某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．18．(0分)[ID ：13073]某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________． 19．(0分)[ID ：13061]执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .20．(0分)[ID ：13044]执行如图所示的流程图，则输出的x 值为______．21．(0分)[ID ：13043]某路公交车站早上在6:30,7:00,7:30准点发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是__________．22．(0分)[ID ：13041]如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.23．(0分)[ID ：13029]从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为__________．24．(0分)[ID ：13123]在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______. 25．(0分)[ID ：13086]执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为________．三、解答题26．(0分)[ID ：13223] 2.5PM 的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重，下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动，居民每天采用“绿色出行”的人数与 2.5PM 值的一组数据：2.5PM 的值y90 70 50 40 30 20 “绿色出行”的人数x （单位：万人） 124689（1）已知“绿色出行”的人数x 和 2.5PM 值y 有线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程；（计算结果保留两位小数）（2）若某日“绿色出行”的人数为10万人，请预测该市 2.5PM 的值.（计算结果保留一位小数） 参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nx yba y bxxnx ==-⋅==--∑∑ 27．(0分)[ID ：13190]树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.28．(0分)[ID ：13175]端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）求三种粽子各取到1个的概率．（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．29．(0分)[ID ：13151]某“双一流A 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x ； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间[)1.85,2.15Ω=，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？30．(0分)[ID ：13140]菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． y （微克）x （千克）xy w()281ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x y y =--∑ ()()81iii w w y y =--∑338 11 10 374 －121 －751其中2x ω=（I ）根据散点图判断，ˆybx a =+与2ˆy dx c =+，哪一个适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(Ⅱ)若用解析式2ˆydx c =+作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程，求出ˆy 与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1)(Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5 2.236≈)附：参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．A4．D5．A6．B7．D8．D9．C10．A11．D12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题17．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自18．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确19．【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图20．4【解析】循环依次为循环结束输出21．【解析】由题意可知小明在和之间到达车站时满足题意由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点点的活动范围在线段22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可23．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是24．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识25．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．3．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．8．D解析：D【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．9．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 10．A解析：A 【解析】 【分析】由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150b b b n++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．【详解】 利用特殊法解决．假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150． 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =，⋯这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =， 即这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数k b 分别为： 2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和， 即12112k k b b b b a a -++⋯++=+， 从而121502222215015022b b b n ++⋯++++⋯+⨯===．12150222221502150150150b b b ++⋯++++⋯+⨯===．对照选项，只有（A ）正确．故选：A ． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．11．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程13．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=2的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为221511(2)22S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .14．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.15．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．二、填空题16．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题解析：5 6【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305 366=.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.17．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自解析：2 5【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，采取分层抽样的方法抽取5人，第一组抽取：18521827⨯=+人，第二组抽取：27531827⨯=+人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，基本事件总数2510n C==，这两人来自同一组包含的基本事件个数22234m C C＝，=+∴这两人来自同一组的概率为42105mpn＝＝＝．即答案为2 5 .【点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键18．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．19．【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图 解析：4【解析】试题分析：由程序框图，第一次循环时，1,1k S ==，第二次循环时，22,112k S ==+=，第三次循环时，23,226k S ==+=，第四次循环时，24,63156k S ==+=>，退出循环，输出4k =．考点：程序框图．20．4【解析】循环依次为循环结束输出解析：4 【解析】循环依次为0120,21,1;1,22,2;2,24,3;x x k x x k x x k ============424,216,4;16,log 164,55;x x k x x k ========≥循环结束,输出4x =21．【解析】由题意可知小明在和之间到达车站时满足题意由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点点的活动范围在线段解析：25【解析】由题意可知，小明在6:507:00-和7:207:30-之间到达车站时满足题意，由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是201402=. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。
2023—2024学年广东省深圳市深圳实验学校高中园(明理、卓越、崇文、至臻联考)高二上期中数学试卷
2023—2024学年广东省深圳市深圳实验学校高中园（明理、卓越、崇文、至臻联考）高二上学期期中数学试卷一、单选题1. 过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．2. 若直线与直线平行，则（）A．2B．C．2或D．或13. 点关于平面对称的点的坐标是（）A．B．C．D．4. 对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（）A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．与点位置有关5. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（）A．B．C．D．6. 设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7. 如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为28，则椭圆的长轴长为（）A．5B．8C．4D．10二、多选题9. 已知向量，则（）A．向量的夹角为B．C．D．10. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则11. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（）A．若点在圆的内部，则B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是C．若圆外切，则D．过点作圆的切线，则的方程是或12. 在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）A．当为中点时，为锐角B．存在点，使得平面C．的最小值D．顶点到平面的最大距离为三、双空题13. 已知双曲线的焦点为和，一条渐近线的方程为，则离心率为 _______________ ，则的方程为 _______________ ．四、填空题14. 经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是 ______ .15. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为__________ .16. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是 ______ .五、解答题17. 已知平面上两点，，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的标准方程；(2)当动点P满足时，求P点的纵坐标．18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱P A的长为2，且P A与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.(1)试用表示向量；(2)求BM的长.19. 已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动.(1)求线段的中点M的轨迹方程；(2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值.20. 已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点．(1)求证：平面；(2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．22. 已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．。
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广东省深圳实验学校高中部高二数学上学期期中试题深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ，+a b ，-a bC ．+a b ，-a b ，cD ．+a b ，++a b c ，c3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ． 设11A B =a ，11A D =b ，1A A =c ，则下列向量中与12B M 相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=A ．1212||||n n n nB ．1212||||||n n n nC ．1212||||n n n n D ．1212||||||n n n n17．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上8．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是A ．22B ．2C ．322D ．2210．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A ．3010B ．12C ．3015D ．151011．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为 A ．2B ．3C ．3D ．612．已知空间直角坐标系O xyz -中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA ，PB ，PC 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是 A ．O 为球心，22OP -为半径的球面 B ．O 为球心，232OP -为半径的球面C ．P 为球心，22OP -为半径的球面 D ．P 为球心，232OP -为半径的球面二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线224640x y -+=上一点P 与它的一个焦点间的距离等于1，那么点P 与另一个焦点间的距离等于 ．14．PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 ．15．图2为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30︒．已知礼物的质量 为1kg ，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过 程中每根绳子拉力的大小为 ．（注：重力加速度g 取29.8m /s ，精确到0.01N ） 图216．已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -． （1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且||=a ，求向量a 的坐标．18．（本小题满分12分）设抛物线22y px =（0p >）上的点M 与焦点F 的距离为52，到y 轴的距离为． （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；（2）若点M 位于第一象限，直线2y x =-与抛物线相交于A ，B 两点， 求证：MA MB ⊥．如图3，在三棱锥O ABC -中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点．（1）用向量，，表示，并证明你的结论；（2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．图320．（本小题满分12分）已知动点M 与定点(,0)F c 的距离和M 到定直线l ：2a x c =的距离的比是定值ca（其中0a >，0c >）．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．如图4，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，︒=∠=∠90ADC BAD ，CD DE AD AB 21===，M 为AE 的中点．（1）证明：//AC 平面MDF ；（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小．图422．（本小题满分12分）已知直线l：0x y +=经过椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为13（O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值．ABCD E FM深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
12．解：选择B ．由2Q A B C P =++-得，()()()Q P A P B P C P -=-+-+-，即PQ PA PB PC =++． 又PA ，PB ，PC 两两垂直，所以Q 是以PA ，PB ，PC 为三条相邻棱的长方体中与顶点P 相对的顶点． 由OQ OP PA PB PC =+++，得222222()OQ OP PA PB PC OP PA PB PC =++++++．（*） 又OA OP PA =+，所以22212OA OP PA OP PA ==++，同理22212OB OP PB OP PB ==++，22212OC OP PC OP PC ==++． 三式相加，得2222332()OP PA PB PC OP PA PB PC =++++++， 代入（*）式，得2232OQ OP =-，即（定值）．所以，动点Q 的轨迹是以O注：本题也可以采用排除法．分别考虑P 与O 重合和点P 在球面上两种极端情形，研究即得答案．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 17 14．15． 1.41（N ）16．3(2y x x =-<注：1、第15小题中，无单位（N ）不扣分；（2）第16小题中，未注明x <<不给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -． （1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量a 分别与AB ，AC垂直，且||=a ，求向量a 的坐标．解：（1）由已知(2,1,3)AB =--，(1,3,2)AC =-，……………………………………………1分所以||(AB =-2||1AC =；…………………2分21(1)(3)327AB AC =-⨯+-⨯-+⨯=． (3)分故以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积等于222||||sin ,||||||14AB AC AB AC AB AC AB AC =-=分（2）设(,,)x y z =a ，由已知，得2222303203x y z x y z x y z ⎧--+=⎪-+=⎨⎪++=⎩ (6)分2223x zy zx y z ⎧=⎪⇔=⎨⎪++=⎩……………………………………………………………………………7分1x y z ⇔===± (8)分所以，向量(1,1,1)=a 或(1,1,1)=---a ． ………………………………………………10分18．（本小题满分12分）设抛物线22y px =（0p >）上的点M 与焦点F 的距离为52，到y 轴的距离为． （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；（2）若点M 位于第一象限，直线2y x =-与抛物线相交于A ，B 两点，求证：MA MB ⊥． 解：（1）由抛物线的定义知，点M 到准线2p x =-的距离为52，…………………………………1分即有522p +=．………………………………………………………………………………2分解之，得5)0=，1p =． ………………………………………………………3分所以，抛物线的方程为22y x =， ………………………………………………………………4分点M 的坐标为(2,2)或(2,2)-． ………………………………………………………………6分证明：（2）联立直线2y x =-与抛物线22y x =的方程，222y xy x =-⎧⎨=⎩，……………………………7分解之，得31x y ⎧=+⎨=-⎩31x y ⎧=⎨=-+⎩(31A -，(31B --+或(31A -，(31B --．…………………………………………………10分又(2,2)M ，所以2(3)5115MA MBk k --⋅===--．故MA MB ⊥．……………………………………………………………………………………12分注：1、点A ，B 的坐标只需写出一组；2、也可以利用根与系数的关系证明1MA MB k k ⋅=-（略）． 19．（本小题满分12分）如图3，在三棱锥O ABC -中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点．（1）用向量OA ，OB ，OC 表示OG ，并证明你的结论；（2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．解：（1）1()3OG OA OB OC =++．…………………………2分证明如下：OG OA AG =+23OA AD =+…………………………4分 21()32OA AB AC =+⨯+ …………………………6分1[()()]3OA OB OA OC OA =+-+-1()3OA OB OC =++． ………………………………7分 图3 （2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：1x y z ++=，………………………………………………………………………………………9分且01x <<，01y <<，01z <<．………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）已知动点M 与定点(,0)F c 的距离和M 到定直线l ：2a x c =的距离的比是定值c a（其中0a >，0c >）． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．解：（1）设(,)M x y ，由已知，||ca x c=-．……………………………………………2分2||c axa c=-，两边平方，得222222()()c ax c y xa c-+=-，化简，得动点M的轨迹方程为22222222()()a c x a y a a c-+=-．……………………………5分（2）因为0a>，0c>，所以当0a c=>时，（1）中轨迹方程化为0y=，它表示的曲线是直线x轴；……………………7分当0a c>>时，（1）中轨迹方程化为222221x ya a c+=-，它表示中心在原点，焦点在x轴上，长半轴长为a，的椭圆；………………………………………………………9分当0c a>>时，（1）中轨迹方程化为222221x ya c a-=-，它表示中心在原点，焦点在x轴上，实半轴长为a…………………………………………………12分21．（本小题满分12分）如图4，四边形ABCD为梯形，四边形CDEF为矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，︒=∠=∠90ADCBAD，CDDEADAB21===，M为AE的中点．（1）证明：//AC平面MDF；（2）求平面MDF与平面BCF的夹角的大小．证明：（1）（法1）连结CE与DF相交于N，连结MN．………1分因为四边形CDEF为矩形，所以N为CE中点．图4又M为AE的中点，所以，在△EAC中，MNAC//．……………3分A BCDE FMN⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄MDF MN MDF AC MNAC 平面平面//⇒//AC 平面MDF ．……………………………………………………5分（法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点， 所以AC DC DA =-………………………………………………………………………………1分()(2)DF DE DM DE =---2DF DM =-．…………………………………………………………………………3分从而AC 与DF ，DM 是共面向量．又/AC ⊂平面MDF ，所以//AC 平面MDF ．………………………………………………5分解：（2）因为四边形CDEF 为矩形，所以DC ED ⊥又平面ABCD ⊥平面CDEF ，⊂ED 平面CDEF ，平面ABCD 平面CDEF DC =，所以⊥ED 平面ABCD ．…………………………7分而︒=∠90ADC ，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DE 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，如图5． 图5设a AB =，由已知，得⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,0,2a aDM ，()a a DF ,2,0=，()0,,a a -=，()a ,0,0=．设平面MDF 的一个法向量为()z y x ,,1=n ，则⊥1n DM ，且⊥1n DF ， 所以⋅1n 0=DM ，且⋅1n 0=DF ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02022az ay z a x a，取2-=z ，得2=x ，1=y ，即()2,1,21-=n ． 同理，可求得平面BCF 的一个法向量为()0,1,12=n ． ………………………………10分||||,cos 212121n n n n n n ⋅=〉〈22011)2(120)2(1112222222=++-++⨯-+⨯+⨯=． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为︒45． ………………………………12分22．（本小题满分12分）已知直线l：0x y +=经过椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为13（O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值．解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减并整理，得2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 即22l OMb k k a⋅=-．所以2211133b a -=-⨯=-．……① ………………………………………………………………2分又直线l：0x y +与x轴的交点为0)，由已知，得222a b -=．……②…………………………………………………………………3分联立①②，解得23a =，21b =．所以，椭圆的方程为2213x y +=．………………………………………………………………5分（2）由直线l：0x y +=与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，得r =，所以1r =，圆C ：221x y +=． …………………………………………6分又设动切线PQ ：x my n =+，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）由2213x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(3)230m y mny n +++-=．………………………………7分所以12|||PQ y y =-==．………………………………………………………8分又直线PQ ：x my n =+与圆C ：221x y +=相切，1=，即2211n m =+≥，从而||PQ = 所以，△OPQ面积21||||122OPQ n S PQ n ∆=⋅=+||||n n =≤=+． ………………………………9分令2||||n n =，解得||1n =≥，相应的||1m =． …………………………………………10分所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ 共有四条：0x y ±+=和0x y ±=．故△OPQ 面积的最大值为2．………………………………………………………………12分。