分式的整理
第三章整理《分式》(复习)ppt课件
顺水速=静水速+水流速 逆水速=静水速-水流速
设是水流速为xkm/ h
则 水 为 20 + x)km/ h 顺 速 (
逆 速 (20 - x)km/ h 水 为
72 48 = 20 + x 20 − x
A．扩大3倍 B．扩大9倍C．扩大4倍D．不变 扩大3 扩大9 扩大4
3、 填空： x ( x − y ) = ( x − 2
y)
x + xy
x+y
例1：化简求值 ：
a−2 a −1 a−4 ( 2 − 2 )÷ a + 2a a + 4a + 4 a + 2 2 其中a满足：a + 2a − 1 = 0
1. 若分式
A、 A、x≠-1 C、x≠2 、
若有意义， 应满足（ 若有意义，则x应满足（ B ） 应满足
B、 ≠-1且 B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2 、 或
x −4 ( x + 1)( x − 2)
若值为0， 应满足（ 若值为 ，则x应满足（ B ） 应满足
A、x=2 、 C、 、
1km
中点 18km }
xkm / h
甲 A
乙 B
甲走了总共20km 甲走了总共
设 乙的速度 xkm / h 则 甲的速度( x + 0.5)km / h
20 18 = x + 0.5 x
1、一项工程，若甲队单独做，恰好在规定的日期 、一项工程，若甲队单独做， 完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成 天完成； 完成，若乙队单独做要超过规定日期 天完成；现 在先由甲、乙合做2天 在先由甲、乙合做 天，剩下的工程再由乙队单独 也刚好在规定日期完成， 做，也刚好在规定日期完成，问规定的日期是多 少天？ 少天？ 1 甲每天的工作量 x 设 天 甲x
分式整理
。
2、下列分式中的字母满足什么条件时 分式有意义？
2 a
x 1 x -1 2a b 3a b
2m 3m + 2 2 2 x -1
1 x y
x3 3.若分式： 有意义，则（ x2
）
A．x≠2 B．x≠-3 C．x≠-3或x≠2 D．无法确定
4.下列式子是分式的是（
）
A． C
x x 1
度为______.ຫໍສະໝຸດ SV观察:
S a V S
与 10
7
不同点？ A 都是 （即A÷B）的形式 B
V S
200 33
有什么相同点？
10 200 7 33 的分子A与分母B都是整数
并且分母 B中含有字母
S 的分子A与分母B都是整式， a
分式定义:
一般地，如果A、B表示两个整式， A 并且B中含有字母，那么式子 B 就叫做分式。
B．x=-1 D．x≠1
A．x=1 C．x=±1
练习:
1、列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地40公顷， 人均耕地面积为 公顷；
（2）△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD为 （3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车 少用1小时，它的平均车速为 千米/小时。
1 时，分式 有意义. 5 3b
（4）当x,y 满足关系
有意义.
xy 时，分式 xy
【例题3】
当x取何值时，分式
x 1 x 1
的值为零.
议一议
当x取何值时，下列分式的 值为零？
1
5x x 1
2
x 9 x 3
2
【跟踪训练3】
若分式： x 1 的值为0，则
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
分式的基本性质2(201911整理)
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） a ac
（2） x 3 x 2
(c 0)
2b 2bc
xy y
解：（1）∵c≠0
∴ a a c ac 2b 2b c 2bc
解：（2）∵x≠0，
∴ x3 x3 x x2 xy xy x y
例2 填空：
（1）3xx2y
x x2
y y2
(___1__) x y
练习3
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
1 a 2 3x
2b
2y
3 x2
2a
练习4
用分式表示下列各式的商，并约分：
1 4a2b 6ab2 2 4m3n2 2m3nl 33x2 x x2 x 4 x 2 9 2x 2 6x
例4 通分 1
1
（1）
a
2b
，
ab
2
11
（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂
的积。(最简公分母)
解
（1）
1 a2b
与
1 ab2
x
1
y
＝
1(x y) ＝
(x y)( x y)
x y x2 y2
练习： 课本 第5页 练习1，2
补充练习
练习1：下列等式的右边是怎样从左 边得到的？
b by ( y 0) 2x 2xy
分式经典问题整理
分式经典问题整理
1. 什么是分式
分式是由一个分数线将一个整体分为若干部分的形式。
分式一般由两部分组成：分子和分母，分子在分数线上方，分母在分数线下方。
2. 分式的基本性质
- 分母不能为0，否则分式无意义。
- 当分子为0时，分式的值为0。
- 当分子和分母互为倒数时，分式的值为1。
3. 分式的四则运算
- 加法：分式相加时，需要找到它们的公共分母，并对分子进行相应的运算。
- 减法：分式相减时，也需要找到它们的公共分母，并对分子进行相应的运算。
- 乘法：分式相乘时，将分子相乘，分母相乘。
- 除法：分式相除时，将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘。
4. 分式的化简
通过约分来化简分式，即找到分子和分母的最大公约数，并将其约去。
5. 分式方程
分式方程是包含分式的代数方程。
解分式方程时，通常需要通过移项、合并同类项等步骤，将方程化简为一个一次方程。
6. 分式不等式
分式不等式是包含分式的不等式。
解分式不等式时，需要确定分式的取值范围，并确保不等式在该范围内成立。
以上是关于分式的经典问题整理，希望对您有所帮助。
如果您还有其他问题需要解答，请随时提问。
分式整式图形和变换知识点整理
初一数学 分式、整式、图形变换知识点汇总整式代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。
单独的数或字母也是代数式。
代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。
2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。
3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。
4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。
5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。
代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。
注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。
2、若带入的值是负数时，应添上括号。
3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。
例：判断下列各代数式哪些是单项式（1）21+x ； (2)y ； (3)－xy2； (4)－52、单项式系数和次数：系数：与字母相乘的数字叫单项式的系数。
次数：所有字母的指数的和叫做单项式的次数 例：判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
①x ＋1； ②x1； ③2r π； ④－23a2b注：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如 , 等； ③单项式次数只与字母指数有关单项式的特征：1、分母都不含字母。
2、不含数与字母或字母与字母的加减运算。
3、不含数与字母或字母与字母的开方运算。
3、多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项，叫做常数项例：多项式5232+-x x 有三项，它们是23x ，－2x ，5，其中5是常数项多项式的项与次数：一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数例：多项式5232+-x x 是一个二次三项式。
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
分式习题整理(有难度)
…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________分式习题整理（有难度）1. 如果分式2x 21-x 2+的值为0，那么x= .2. 当x=-2时，分式ax b-x +无意义；当x=4时，分式的值为0，则a+b= . 3. 当x 满足 时，分式1x 1x 2-x 2++的值为正数.4. 已知23y x =，则yx y -x += . 5. 一份工作，甲单独做需a 天完成，乙单独做需b 天完成，那么两人合作完成需要 天。
6.x16+表示一个整数，则整数x 的取值为 . 7. 若每个人的工作效率相同，如果a 个人b 天做c 个零件（每个人工作效率相同），那么b 个人做a 个零件需要 天。
8. 若分式32221+-÷++x x x x 有意义，则x 应满足的条件是 . 9. 如图，设k=乙图中阴影部分面积甲图中阴影部分面积（a ＞b ＞0），则k 的取值范围是 .10. 若z11y y 11x +=+=，，试用z 的代数式表示x 为 。
11. 若代数式2a 2-a 21-a 3-A +•）（的化简结果为2a-4，则整式A 为 ； 12. 若n m n m +=+711，则nm m n +的值为 .13. 若5321=++z y x ，7123=++z y x 则zy x 111++ = . 14. 已知三个数x ，y ，z 满足,43,43,2-=+=+-=+x z zx y z yz y x xy 则zx yz xy xyz++的值为 . 15. 若无论x 为何实数，分式mx 2-x 52+总有意义，求m 的取值范围。
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
初二数学分式函数知识点整理
初二数学分式函数知识点整理分式函数是初中数学中的一个重要内容，本文将对初二数学分式函数的知识点进行整理和总结。
一、分式的定义与性质分式是由分子和分母组成的表达式，其中，分子和分母都是代数式。
分式可以表示两个整式之间的除法关系。
分式的形式可以是普通分式、整式分式和带分数等形式。
分式的性质包括：分式的值与分式的定义有关、分式的定义域、分式的相等与简化、分式的约分与通分，以及分式的加减乘除等运算性质。
二、分式函数的定义与性质分式函数是指含有分式形式的函数。
具体来说，分式函数是由一个分子是整式，分母是整式的有理函数所定义的函数。
分式函数在数学中起到了连接有理函数和代数函数的桥梁作用。
分式函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像的特点等。
三、分式函数图像的绘制方法1. 首先，确定分式函数的定义域，并排除分母为零的情况。
2. 然后，确定分式函数的值域，可以通过求函数的极值来确定函数的变化趋势。
3. 接下来，绘制分式函数的图像，可以通过绘制关键点、画出特殊点的渐近线、寻找函数的极值点等方法来帮助绘制图像。
需要注意的是，当分式函数有分母为一次因式的平方时，可能会出现拐点。
四、分式函数的应用分式函数在实际生活中有着广泛的应用，特别是在经济学、物理学等领域。
1. 经济学中可以通过分式函数描述成本、利润、价格等变化规律。
2. 物理学中可以通过分式函数描述物体运动的位移、速度、加速度等变化规律。
五、分式函数的解与方程解分式函数的关键是将其化为整式方程。
可以通过以下步骤解决分式函数的方程：1. 将分式函数化为整式方程。
2. 化简方程，使其成为一元高次或低次整式方程。
3. 求解整式方程，得出解的集合。
六、分式函数的综合运用分式函数的知识点在数学中具有重要的综合性，能够与其他知识点相互结合，解决复杂的问题。
例如，在几何学中，可以通过分式函数知识点来解决比例问题，在代数学中，可以通过分式函数知识点来解决方程与不等式等问题。
分式方程题型重难点最新总结
分式方程重难点题型一、知识梳理一：分式方程的基本解法1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：解分式方程一定要验根．二：分式方程的增根和无解1．分式方程的增根（1）产生增根的原因增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．（2）分式方程增根的应用如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值．2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（1）原方程去分母后的整式方程无解；（2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．3．分式方程无解与增根的区别：分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解．二、 例题分析题型一 分式方程的概念与基本解法【例1】 下列方程中哪些是分式方程？（1）3(1)0x x -+= （2）11(1)923x x +-=（3）1371x x-=+（4）22133x x +=（5）2973x x +=-（6）3731y y -+（7）13x x += （8）31=3x x- （9）2927=01x xa a-++（a 为字母系数） （10）2133a a x x ++=-（a 为字母系数） 【解析】 思路与技巧：分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中分式方程有（3）、（5）、（7）、（8）、（10）【例2】 解下列分式方程：（1）324x --2x x -1=2（2）2242111x x x x x -+=-+ （3）311(1)(2)x x x x -=++- 【解析】 （1）53x =；（2）12x =-；（3）两边同时乘以(1)(2)x x +-，得(2)(1)(2)3x x x x --+-=． 解这个方程，得1x =-．，检验：1x =-时(1)(2)0x x +-=，1x ∴=-不是原分式方程的解，原分式方程无解．【变1】 解下列分式方程：（1）21622=422x x x x x -++-+- （2）22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+ 【解析】 （1）原方程化为1622=(2)(2)22x x x x x x -+++-+- 方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，约去分母，得2216(2)=(2)x x -+-+，整理得22412=44x x x x --++，解这个整式方程，得=2x -， 检验：把=2x -代入(2)(2)x x +-，得(22)(22)0-+--= 所以=2x -是原方程的增根，原分式方程无解． （2）原方程可变形为：525710(2)(3)(3)(4)(2)(4)x x x x x x x x x --+=-++---方程两边都乘以(2)(3)(4)x x x -+-，得5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+，整理，得4040x -=-，∴1x =， 检验，当1x =时，(2)(3)(4)0x x x -+-≠∴原方程的解是1x =．【变2】 设实数k 满足01k <<，解关于x 的分式方程：221211k k x x x x+-=--． 【解析】 由题意得，21(21)(1)kx k x -=+-，即21(21)21kx k x k -=+--，解得2x k =， I ．如果12k =，即1x =，则2x k =为原方程的增根； II ．如果01k <<且12k ≠，则2x k =为原方程的根. 题型二 分式方程的增根、无解及解范围问题【例3】 （1）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是___________． （2）若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a =___________． （3）若关于x 的方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值． 【解析】 （1）1或2；（2）1或2-；原方程化为(2)3a x +=，1x =、0x =、20a +=时，原方程均无解． （3）原方程化为(2)3a x +=-，①∵原方程无解，∴20a +=或10x -=，20x +=，得1x =，2x =-分别代入①，得5a =-，12a =-，综上知2a =-，5-或12-．【例4】 （1）若关于x 的方程2102x mx ++=-的根为正数，则m 取值范围为________． （2）若关于x 的分式方程32122x a x x =---的解是非负数，则a 取值范围是________． （3）若关于x 的方程1101ax x +-=-的解为正数，则a 取值范围为_______． 【解析】 （1）去分母，得：2(2)0x m x ++-=，化简可得：23mx -=， 由题意得：0x >且2x ≠，即：203m ->且223m-≠，解得：2m <且4m ≠-. （2）43a ≥-且23a ≠．（3）1a <且1a ≠-．【例5】 （1）若关于x 的分式方程26111mx x -=--有增根，则增根是________． （2）如果分式方程8877x kx x--=--出现了增根，那么k 的值为________． （3）若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值为________． （4）如果解方程2251224m x x x x +-=-+-时出现增根，则m 的取值为________． 【解析】 （1）1x =；去分母，得：26(1)1m x x -+=-，移项，得：27(1)m x x -+=，当1x =-时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论），当1x =时为原方程的增根．（2）1；（3）2-或1；（4）12m =±．【变3】 ⑴若分式方程：11222kx x x-+=--有增根，则k 的值为__________ ⑵若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为_________ ⑶若分式方程212x ax +=--的解是正数，求a 的取值范围. ⑷解关于x 的方程()0x a cc d b x d-=+≠- 【解析】 ⑴解分式方程得：22x k =-，由于有增根，则2x =，∴222k =-，∴1k = ⑵解分式方程得：621x m =-+，由于方程无解，则0x =或3 当0x =时，m 无解，当3x =时，32m =-⑶解分式方程得：203ax -=>且2x ≠，∴2a <且4a ≠- ⑷∵0c d +≠∴ad bcx c d+=+ 题型三 8大技巧解分式方程对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。
高中数学解题技巧之分式方程
高中数学解题技巧之分式方程在高中数学中，分式方程是一个常见的题型。
解决分式方程需要掌握一些特定的技巧和方法。
本文将介绍一些解题技巧，并通过具体的例子来说明这些技巧的应用。
首先，我们来看一个简单的例子：求解方程$\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{2}$。
这是一个典型的分式方程，我们可以通过交叉相乘的方法来解决它。
将等式两边的分数交叉相乘，得到$(x+1)\times 2 = (x-2)\times 3$。
然后，我们可以按照一般的方程求解的方法展开计算，得到$2x+2=3x-6$。
再继续整理方程，我们得到$x=8$。
所以，该方程的解为$x=8$。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子：求解方程$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}=\frac{5}{x^2-x-2}$。
这个方程中涉及到了分式的相加，我们可以通过通分的方法来解决它。
首先，我们观察到$x^2-x-2$可以因式分解为$(x-2)(x+1)$。
因此，我们可以将方程两边的分数通分，并将分母化简为$(x-2)(x+1)$。
化简后的方程为$2(x-2)+3(x+1)=5$。
然后，我们按照一般的方程求解的方法展开计算，得到$2x-4+3x+3=5$。
继续整理方程，我们得到$5x=6$。
最后，解得$x=\frac{6}{5}$。
所以，该方程的解为$x=\frac{6}{5}$。
除了通分和交叉相乘的方法外，我们还可以通过代数运算的方法解决分式方程。
例如，求解方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{2}{x+1}$。
首先，我们可以通过求最小公倍数的方法通分，将方程化简为$\frac{x+3+x}{x(x+3)}=\frac{2}{x+1}$。
然后，我们可以通过整理方程的方法得到$x^2+4x=2x^2+2x$。
继续整理方程，我们得到$x^2-2x=0$。
最后，解得$x=0$或$x=2$。
所以，该方程的解为$x=0$或$x=2$。
分式方程的解法
分式方程的解法
分式方程的解法：1.将分式方程整理成整式方程〔即乘以公分母〕2.去括号，移项，合并同类项；3.求解；4.检验。
分式方程的解法：1.将分式方程整理成整式方程〔即乘以公分母〕2.去括号，移项，合并同类项；3.求解；4.检验。
分式方程的解法第一步，去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，解3÷(x+1)=5÷(x+3)。
同乘(x+1)(x+3)就可以去掉分母了。
第二步，去括号，系数分别乘以括号里的数。
第三步，移项，含有未知数的式子挪动到方程左边，常数挪动到方程右边。
第四步，合并同类项
第五步，系数化为1，方程的根本性质就是同时乘以或除以一个数，方程不变，和天平一样的。
这里除以-2。
第六步，检验，把方程的解代入分式方程，检验是否正确。
1。
分式方程整理
已知x 2-5x+1=0，求x+-1x ，x 2+-2x 的值221-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2231a b c d ---⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2×10-3）3 ×（-31×102）-2 324222333a a a b b b ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()02223322n m mn n m ÷-⋅---已知关于x 的方程)1(m x -+x m = - 的解为x= - ，则m=化分式方程为整式方程时，方程两边必须同乘A.（5x 2-5）（x 2-1）(1-x)B.5(x 2-1)(1-x)C.5(x 2-1)(x-1)D.5(x+1)(x-1)+ 3 =+++…+=1 +x 1．一艘轮船在静水中的速度为x km/h,水流速度为y km/h（0＜y＜10）（1）当x=30时，这艘轮船顺流航行90km所用时间，与逆流航行60km所用时间相等，求y的值；（2）当x=40时，请通过计算说明顺流航行90km所用时间与逆流航行60km所用时间那个更少；（3）通过技术升级，轮船在静水中平均提速了v km/h。
当y=3时，轮船提速前顺流航行了s km的时间与提速后顺流多航行50 km的时间相同，请直接写出轮船在静水中的速度x= km/h。
（用含v、s的式子表示。
）甲乙两船在静水中的最大航速均为x千米/时,甲船以最大航速沿江逆流航行10千米的时间与以最大航速沿江顺流航行10千米的时间之和记为，乙在静水中以最大航速航行20千米的时间记为，设水流速度为y千米/时。
（1）列式表示、，（2）计算-、÷在城区改造项目中，区政府对某旧小区进行节能窗户改造．该小区拥有相同数量的A、B两种户型．已知所有A户型窗户改造的总费用为54万元，所有B户型窗户改造的总费用为48万元，且B户型窗户的每户改造费用比A户型窗户的每户改造费用便宜500元．问A、B两种户型的每户窗户改造费用各为多少元？若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客人．（需要解二次方程）某学校准备用2400元购买一批学习用品作为奖品奖励优秀学生，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，现学校决定用这些钱购买甲、乙两种学习用品，且使乙种学习用品的件十是甲种学习用品的件数的2倍，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？应分别购买多少件？某市今年1月份起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12 月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件．问小明在网上购买的这一商品每件几元？（需要解二次方程）哈市道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？列方程：某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产个零件．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20 米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（完成工程的工期为整数）（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道.铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程____.加工一批产品m件，原计划a天完成，今需要提前b天完成，则每天应生产件产品.（需要解二次方程）某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价5折售完剩余图书．问该店老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？赔（或赚）多少钱？一种商品原来的销售利润率是47%。
分式的整理
分式的整理一、知识要点1．分式的有关概念2．分式的基本性质3．分式的运算(分式混合运算的法则与分数的运算法则类似)．4．零指数 )0(10≠=a a5．负整数指数 ).,0(1为正整数p a a a pp ≠=- 注意正整数幂的运算性质6、科学计数法7、分式方程二、常见方法和技巧1、先约分再求值2、整体通分法3、逐步通分法4、整体代换法5、先用运算律，再求值6、换元法7、设K 值法8、倒数求值法三、习题练习（一）基本练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2.如果把yx y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） （A ）、扩大5倍 （B ）、不变 （C ）、缩小5倍 （D ）、扩大4倍3. （－ ×103 ）×（1.5×104 ）2 的计算结果是（ ）A 、－1.5×1011B 、 × 1010C 、1014D 、－1014 4、已知a ＝2－2 ，b ＝（ －1）0 ，c ＝（－1）3 ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＞b ＞cB 、b ＞a ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a5、若分式 的值为零，那么x 的值为（ ）A 、x ＝－1或x ＝2B 、x ＝0C 、x ＝2D 、x ＝－16、下列各式正确的是（）A、＝0B、＝C、＝1D、7、已知ab≠0，a＋b≠0，则（a－1＋b－1 ）应等于（）A、a＋bB、C、D、8、分式，，，中，最简分式有（）A、1个B、2个C、3个D、4个9、（－1.5a4b2c3）÷（－3ab）的计算结果是（）A、4.5a3 bc3B、0.5a3b2 c3C、－4.5a3 bc3D、0.5a3bc310、下列计算正确的是（）A、4x4y2÷2x2 y2＝2x2B、－16x4 y3÷2x2 y2＝2xyC、－16x6 yz ÷0.25 xyz＝－4x5D、（－0.5 x2 y）2÷2x2 y＝0.125 x4 y11、8a3b m÷28a n b2＝b2，那么m、n的取值是（）A、m＝4，n＝3B、m＝4，n＝1C、m＝1，n＝3D、m＝2，n＝312、8a x＋1 b y÷24a2x b y的结果为（）A、a x＋1B、3a1－xC、a1－xD、a1－x b2y13、与a n b2 相乘的积为3a2n＋1 b2n＋1的单项式是（）A、3a3n＋1 b2n＋3B、3a n＋1b2n－1C、3a2 b nD、3a2n＋1 b4n＋114、（15×1010）÷（3×105）＝；（－x）2008÷（－x2）2 =15、32m÷＝8m 72a m b n÷8ab n－2＝16、16（a＋b）16（a－b）16 ÷4（a＋b）8（a－b）6＝17、将分式 约分后得18、当x ≠ 时，式子 ＝ 成立19、若分式 的值为正整数，则整数x 的值是20、如果方程 有增根，那么增根是21、用科学计数法表示－0.000003974 ＝22、已知a ＋ ＝6，则（a － ）2 ＝23、计算 （1）x x x 11-+ （2）yx x x y xy x 22+⋅+ （3）、)11(2)2(y x y x xy y x y y x x +÷+⋅+++ （4）222)11(11-+⋅-÷--a a a a a a a 24、解方程（1）、22121--=--x x x （2）、9431112-=++-x x x25、先化简再求值 329632-÷--+m m m m ，其中2-=m26、已知 x 2－5xy+6y 2=0 求 x 2+3xy 2y 2 的值27、已知a+2b 5 =3b-c 3 =2c-a 7 ,求 c-2b 3a+2b的值（二）专题练习。
分式知识点整理
用心教育个性化辅导讲义第十六章 分式知识点整理 1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +- 变式练习：已知2-=x 时，分式ax b x +-无意义，4=x 时，分式的值为零，则____=+b a 。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）例5.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例6.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式例7.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例8.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+- A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷例9.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a - 例10.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 例11.已知x+1x=3，求2421x x x ++的值．4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
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分式的整理
一、知识要点
1．分式的有关概念
2．分式的基本性质
3．分式的运算
(分式混合运算的法则与分数的运算法则类似)．
4．零指数 )0(10≠=a a
5．负整数指数 ).,0(1为正整数p a a a p
p ≠=- 注意正整数幂的运算性质
6、科学计数法
7、分式方程
二、常见方法和技巧
1、先约分再求值
2、整体通分法
3、逐步通分法
4、整体代换法
5、先用运算律，再求值
6、换元法
7、设K 值法
8、倒数求值法
三、习题练习
（一）基本练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2
38y y -，91-x 2.如果把y
x y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） （A ）、扩大5倍 （B ）、不变 （C ）、缩小5倍 （D ）、扩大4倍
3. （－ ×103 ）×（1.5×104 ）2 的计算结果是（ ）
A 、－1.5×1011
B 、 × 1010
C 、1014
D 、－1014 4、已知a ＝2－2 ，b ＝（ －1）0 ，c ＝（－1）3 ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A 、a ＞b ＞c
B 、b ＞a ＞c
C 、c ＞a ＞b
D 、b ＞c ＞a
5、若分式 的值为零，那么x 的值为（ ）
A 、x ＝－1或x ＝2
B 、x ＝0
C 、x ＝2
D 、x ＝－1
6、下列各式正确的是（）
A、＝0
B、＝
C、＝1
D、
7、已知ab≠0，a＋b≠0，则（a－1＋b－1 ）应等于（）
A、a＋b
B、
C、
D、
8、分式，，，中，最简分式有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
9、（－1.5a4b2c3）÷（－3ab）的计算结果是（）
A、4.5a3 bc3
B、0.5a3b2 c3
C、－4.5a3 bc3
D、0.5a3bc3
10、下列计算正确的是（）
A、4x4y2÷2x2 y2＝2x2
B、－16x4 y3÷2x2 y2＝2xy
C、－16x6 yz ÷0.25 xyz＝－4x5
D、（－0.5 x2 y）2÷2x2 y＝0.125 x4 y
11、8a3b m÷28a n b2＝b2，那么m、n的取值是（）
A、m＝4，n＝3
B、m＝4，n＝1
C、m＝1，n＝3
D、m＝2，n＝3
12、8a x＋1 b y÷24a2x b y的结果为（）
A、a x＋1
B、3a1－x
C、a1－x
D、a1－x b2y
13、与a n b2 相乘的积为3a2n＋1 b2n＋1的单项式是（）
A、3a3n＋1 b2n＋3
B、3a n＋1b2n－1
C、3a2 b n
D、3a2n＋1 b4n＋1
14、（15×1010）÷（3×105）＝；（－x）2008÷（－x2）2 =
15、32m÷＝8m 72a m b n÷8ab n－2＝
16、16（a＋b）16（a－b）16 ÷4（a＋b）8（a－b）6＝
17、将分式 约分后得
18、当x ≠ 时，式子 ＝ 成立
19、若分式 的值为正整数，则整数x 的值是
20、如果方程 有增根，那么增根是
21、用科学计数法表示－0.000003974 ＝
22、已知a ＋ ＝6，则（a － ）2 ＝
23、计算 （1）x x x 11-+ （2）y
x x x y xy x 22+⋅+ （3）、)11(2)2(y x y x xy y x y y x x +÷+⋅+++ （4）222)1
1(11-+⋅-÷--a a a a a a a 24、解方程
（1）、22121--=--x x x （2）、9431112-=++-x x x
25、先化简再求值 3
29632-÷--+m m m m ，其中2-=m
26、已知 x 2－5xy+6y 2
=0 求 x 2+3xy 2y 2 的值
27、已知
a+2b 5 =3b-c 3 =2c-a 7 ,求 c-2b 3a+2b
的值
（二）专题练习。