学海导航湖南人教版2012届高考理科数学二轮专题课件：专题1第3讲 定积分、导数及应用

3求 可 导 函 数 的 极 值 ， 实 质 上 是 解 方 程 ， 即 解 方 程 f x 0， 然 后 列 表 分 析 即 可 ． 4求 函 数 的 最 值 ， 则 在 求 得 极 值 的 基 础
上与端点函数值比较再确定其最值． 5导 数 与 方 程 的 根 的 分 布 及 不 等 式 的 综 合 实质上是函数单调性、极值及最值的进一 步应用，常结合数形结合思想、转化化归 思想解决问题．
x x n ( n Q )， 则 f x n x n 1； x sin x， 则 f x co s x； ④ f x co s x， x x 则 f x sin x； ⑤ f x a ， 则 f x a ln a； x x ⑥ f x e ， 则 f x e ；
2
.
x
2
令 g x 0， x m x m 0， 因 为 m 0， x 0， 所 以 x1 m m 4m
2
2
0 ( 舍 去 )， x 2
mLeabharlann m 4m2，
2
当 x (0， x 2 )时 ， g x 0， g x 在 (0， x 2 ) 上 单 调 递 减 ；
一、导数及定积分的计算 2 例 1 1 函 数 y x co s x的 导 函 数 是 ( ) A ． y 2 x co s x x sin x B ． y 2 x co s x x sin x 2 C ． y 2 x co s x D ． y x sin x 2 ( 2 0 1 1 株 洲 二 模 )若 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 2 ，
2 2
且 a4
1 2 x d x， 则 公 比 等 于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
1
4
解 析 ： 1 y 2 x co s x x sin x
2
2 x co s x x sin x， 故 选 B.
2
2 a4
2



sin xd x co s x S阴 影 S矩形 2

0
=2， 1
0
所以所求概率P
2

.
【 点 评 】 1明 确 导 数 与 定 积 分 的 几 何 意 义 ．
2注意积分变量的选择．
三、导数与定积分的基本应用 例 3 1 ( 2 0 1 1 衡 阳 八 中 )已 知 f x 为 定 义 在 ( ， ) 上 的 可 导 函 数 ， 且 f x f x 对 于 x R恒 成 立 ， 则 ( ) 2 2 011 A ． f 2 e f 0 ， f 2 0 1 1 e f 0 C ． f 2 e f 0 ， f 2 0 1 1 e
专题一 集合、函数与导数
1． 基 本 知 识 1 导 数 概 念 及 其 几 何 意 义 ． 2定 积 分 与 微 积 分 基 本 定 理 及 定 积 分 的 几 何 意 义 ． 2． 基 本 公 式 1 基 本 函 数 的 导 数 公 式 ： ① f x C ( C 为 常 数 )， 则 f x 0；
2 009
f 2 e
2 011
f 0 ， 故 选 A .
2 4
1 2 x
3
x dx
2 0 4
x dx
4
0
3
xdx
0
+
1 2
x
2
3 0

25 2
.
故 选 A.
【 点 评 】 1 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 确 定 其 单 调性，再比较大小．
x 单 调 递 增 ；
x 单 调 递 减 ．
3 4 ，此即为最大值．
x 的 极 大 值 为 f 1
2 F x ln x
a x
， x 0, 3 ， x0 a x0
2
则 有 k F x0 所 以 a ( 1 2 当 x0 1 时 ，
解 析 ：1 依 题 意 ， 知 f 当a b f x 1 x 1 2 1 2 x 时，f
x 的 定 义 域 为 (0， )， 1 4 x
2
x ln x
1 2
1 2 .
x，
x 2 x 1 2x
令 f x 0， 解 得 x 1.(因 为 x 0 ) 当 0 x 1 时 ， f x 0， 此 时 f 当 x 1 时 ， f x 0， 此 时 f 所以f
2利 用 定 积 分 的 性 质 分 成 两 个 区 间 求 值 ．
四、导数的综合应用 例 4 ( 2 0 1 1 衡 水 中 学 模 拟 )设 函 数 1 2 f x ln x a x b x . 2 1 1 当 a b 时 ， 求 f x 的 最 大 值 ； 2 1 a 2 2 令 F x f x a x b x (0 x 3)， 其 图 2 x 1 象 上 任 意 一 点 P ( x 0， y 0 ) 处 切 线 的 斜 率 k 恒 成 立 ， 2 求 实 数 a的 取 值 范 围 ； 2 3 当 a 0， b 1 ， 方 程 2 m f x x 有 唯 一 实 数 解 ， 求 正 数 m的 值 ．
A. 25 2 B ．5 2 C ．2 1
x d x的 值 为 ( ) D． 7
解 析 ：1 令 g x
f x e
x
， g x
f x e f x e
x
x
e
x
2
0，
所 以 g x在 R上 单 调 递 增 ， 所 以 g 2 0 1 1 g 2 g 0 ． 即 f 2011 e

4 1
1 2 x d x x x
2
4 1
18，
得q
a4 a2

18 2
9 ， 所 以 q 3.
【点评】以导数、定积分知识为载体， 综合解答不等式问题．
二、导数与定积分的几何意义 例 2 1 ( 2 0 1 1 周 南 中 学 )曲 线 f x 在 点 (0， f 0 ) 处 的 切 线 与 圆 C ：x t y t 1 1 的 位 置 关 系 为 ( ) A ． 相 离 B ． 相 切 C ． 相 交 D ． 与 t的 取 值 有 关 2 ( 2 0 1 1 郴 州 二 中 模 拟 )如 下 图 ， 在 一 个 长 为 ， 宽 为 2 的 矩 形 O A B C 内 ， 曲 线 y sin x (0 x ) 与 x 轴 围 成 如 图 所 示 的 阴 影 部 分 ， 向 矩 形 O A B C内 随 机 投 一 点 ( 该 点 落 在 矩 形 O A B C 内 任 何 一 点 是 等 可 能 的 )， 则 所 投 的 点 落 在 阴 影 部 分 的 概 率 是 __________ ．
b b a
x
n 1 b
| a ( n 1)；
③ sin x d x co s x | a ； ④ co s x d x sin x | a ；
b
⑤
1 x
d x ln x | a ； ⑥ e d x e | a ；
b x x b a x
b
⑦ a dx
②f ③f ⑦f ⑧f
x lo g a x， 则 f x x ln x， 则 f x
1 x .
1 x
lo g a e ；
2常 见 求 定 积 分 的 公 式 ：
① x dx
n b
1
②
a b a b a b a b
n 1 b C d x C x | a ( C 为 常 数 )；
2 2
B ． f 2 e f 0 ， f 2 0 1 1 e
2
2 011 2 011 2 011
f 0 f 0
D ． f 2 e f 0 ， f 2 0 1 1 e
3
f 0
2 ( 2 0 1 1 郴 州 模 拟 )定 积 分 4
a
a
x
ln a
| a ( a 0 且 a 1)．
b
3． 基 本 性 质 与 基 本 运 算 法 则 1 导 数 运 算 法 则 ： ① [ f x g x ] f x g x ； ② [ f x g x ] f x g x f x g x ； f x f x g x f x g x ③[ ] ( g x 0 )； 2 gx g x ④ f g x f u g x 或 y x y u u x u g x ．
2

1 2
， 在 x 0 0, 3 上 恒 成 立 ，
x 0 x 0 ) m ax ， x 0 0, 3 ． 1 2 x0 x0 取 得 最 大 值
2
1 2
，所以a
1 2
.
3 因 为 方 程 2 m f
2 2
x x 有唯一实数解，
2
所 以 x 2 m ln x 2 m x 0 有 唯 一 实 数 解 ， 设 g x x 2 m ln x 2 m x， 则 g x 2 x 2mx 2m