2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—解析几何小题含答案
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—阅读理解题含答案
2016浙江精彩题选——阅读理解题1.（2016温州一模7）．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”。
则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（C ）A.}4|),{(=+μλμλ B.}4|),{(22=+μλμλC.}44|),{(2=-μλμλ D.}4|),{(22=-μλμλ分析：由题意，||1,||1λμ≤≤，问题转化为选项中的图与||1,||1λμ≤≤围成的正方形的图有无公共点问题.2.（2016嘉兴期末）设)4(,,,21≥n A A A n 为集合{}n S ,,2,1 =的n 个不同子集，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行第j 列的数为：⎪⎩⎪⎨⎧∈∉=j j ij A i A i a ,1,0．则下列说法中，错误的是（C ）A ．数阵中第一列的数全是0当且仅当φ=1AB ．数阵中第n 列的数全是1当且仅当S A n =C ．数阵中第j 行的数字和表明集合j A 含有几个元素D ．数阵中所有的2n 个数字之和不超过12+-n n 解析：数阵中第一列的数全是0，当且仅当111,,2,1A n A A ∉∉∉ ，∴A 正确；数阵中第n 列的数全是1当且仅当n n n A n A A ∈∈∈,,2,1 ，∴B 正确；当n A A A ,,,21 中一个为S 本身，其余1-n 个子集为S 互不相同的1-n 元子集时，数阵中所有的2n 个数字之和最大，且为1)1(22+-=-+n n n n ，∴D 正确；数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于几个子集，∴C 错误．3.（2016丽水一模8）．已知二次函数)2()(2a b bx ax x f ≤+=，定义}11)({)(1≤≤≤-=x t t f max x f ，}11)({)(2≤≤≤-=x t t f min x f ，其中}{b a max ,表示b a ,中的较大者，}{b a min ,表示b a ,中的较小者，则下列命题正确的是．（D ）A ．若)1()1(11f f =-，则)1()1(f f >-B ．若)1()1(22f f =-，则)1()1(f f >-C ．若)1()1(f f =-，则)1()1(22f f >-D ．若)1()1(12-=f f ，则)1()1(11f f <-nn n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,212222111211题目的意思是在变区间上的最值情况，1,11t x x -≤≤-≤≤，t 的范围是变的。
2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题五解析几何5-1Word版含解析
专题五解析几何第1讲直线与圆(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()．A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.答案 D2．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(x－b)2＝2相切”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线与圆相切，得|a－b＋2|2＝2，即|a－b＋2|＝2，所以由a＝b可推出|a－b＋2|＝2，即直线与圆相切，充分性成立；反之|a－b＋2|＝2，解得a＝b 或a－b＝－4，必要性不成立．答案 A3．(2014·浙江卷)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()．A．－2 B．－4 C．－6 D．－8解析由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝2－a.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r2＝d2＋⎝⎛⎭⎪⎫422得2－a＝2＋4，所以a＝－4.答案 B4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10 6 B．20 6 C．30 6 D．40 6解析配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2r2－12＝46，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝12AC×BD＝20 6.答案 B5．(2015·金华质检)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案 C6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17解析两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)．C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2，－3)，连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点．(|PM|＋|PN|)min＝|C2C1′|－R1－R2＝(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝50－4＝52－4(R 1，R 2分别为两圆的半径)．故选A.答案 A7．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )．A ．－53或－35B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋(－1)2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43. 答案 D 二、填空题8．(2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__________.解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.答案 29．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π. 答案 π10．(2014·重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案 4±1511．(2015·新课标全国Ⅱ卷改编)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝________.解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋ (－1)×(－9)＝0，所以AB→⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6. 答案 4 612．(2015·绍兴检测)若直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心且交圆C 于A ，B 两点，O 坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析 由题意知，圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.又直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，∴4×a2＋3×0－8＝0.∴a ＝4.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.∴|AB |＝2r ＝4.又点O (0,0)到直线l ：4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|0＋0－8|42＋32＝85，∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4×85＝165. 答案 165 三、解答题13．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)．故可设圆心坐标为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝()222＋t 2.解得t ＝1，则圆的半径为32＋(1－1)2＝3. 所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组 ⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9，消去y 得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 由已知可得判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12，①由OA ⊥OB 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a .所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.由①②可得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.15．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23.。
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—立体几何_word版有答案
2016浙江精彩题选——立体几何【一、轨迹问题】1．如图，平面ABC ⊥平面α，D 为线段AB 的中点，22=AB ,︒=∠45CDB ，点P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为2，则APB ∠的最大值为 ． 解：以AB 为直径的圆与椭圆A ‘B ’相切【二、动态问题】1.（2016台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M 在平面PBC 内，且AM=7，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为17分析：点A 到平面PBC 的距离为d=43，AM=7即为绕d 旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC 与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角2.（2016金华十校期末）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，且AB ACBD CD==2，则ABCD V 四面体的最大值为 （ C ） A.6 B.211 C.215 D.8 分析：由AB ACBD CD==2得B 、C 点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B ，C 离AD 的最远距离为4，可求3.（2016台州一模 8）如图,在长方体D C B A ABCD ''''-中,点Q P ,分别是棱BC ,CD 上的动点,4,BC =, 3,CD =23CC '=直线C C '与平面C PQ '所成的角为︒30,则△C PQ '的面积的最小值是( B )A ．1855B ．8C ．1633D ．104（2016宁波十校15）如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 .分析：CD ⊥平面ABF ，则平面ABF ⊥平面α。
设，平面ABF ⊥平面α=a ,四面体不动，转动平面α，则AO ⊥α于O 交BF 于M ，AO 为平面α的法向量。
2019年浙江省数学高考模拟精彩题选解析几何解答题含答案
l 的对称点，设
.
（Ⅰ）若
l
3 = ，求椭圆
C 的离心率；
4
（Ⅱ）若 DPF1F2
x2 y2 2.（ 2016 温州一模 19）．（本题满分 15 分）如图，已知椭圆 C ： a2 b2 1(a b 0) 经过点
(1, 6 ) ，且离心率等于 2 ．点 A, B分别为椭圆 C 的左、右顶点， M , N 是椭圆 C 上非
7 ，3
时，求实数
2
的取值范围．
解：（Ⅰ） 由离心率为 6 ，得 a2 3b2 ． 3
………………２ 分
设 A x1, y1 , B x2, y2 ，联立
x2 3y2 x y1
3b2 0，
0，消去 y 得 4x2
6x
3 1 b2
0
故 x1 x2
3 2 ， x1x2
3 1 b2 ，
4
所以 x1 x2
3
1 2kO2N
1 2kO2N
作 MM ' x 轴 , NN ' x轴 , M ', N ' 是垂足 ,
S S S S OMN = 梯形 MM 'N 'N
OMM '
ONN '
1 [( yM
2
y N )( xM
xN ) xM yM
xN y N ]
1 (xM yN xN yM )
2
1(
4kON
2
1
2k
2 OM
2
2
2k 2 1
2
化得 m4 ( 4k2
2)m2
(2k 2
2
1)
0 ，得 m2
2k 2
1
……………………… 13
数学高考模拟精彩题选—解析几何解答题有答案
2016浙江精彩题选——解析几何解答题1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分）已知椭圆C ：22ax ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设.（Ⅰ）若l =34，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若D PF 1F 2为等腰三角形，求l 的值.2.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，且离,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上非顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：ON BP //．解：（Ⅰ）由题意得： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+====+222222221)26(1c b a a c e b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==2422b a 故椭圆C 的方程为：12422=+y x ……………………………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM ,ON 的方程为OM y k x =，ON y k x =联立方程组22142OM y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得M ,同理可得(N ,……………………………………7分作'MM 轴, '轴,'是垂足, OMN S ∆=''''OMM ONN MM N N S S S ∆∆--梯形1[()()]2M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+1()2M N N M x y x y =-12==9分已知OMN S ∆2=，化简可得2-=ON OM k k .……………………………………11分设(,)P P P x y ,则2242P Px y -=， 又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明12AP BP k k =-……………………13分而2212242P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y O M ，代入4222=+y x得0488)12(2222=-+++O M O M O M k x k x k ，它的两个根为2-和P x 可得124222+-=OM OM p k k x 1242+=OM OMP k k y ……………………………………7分从而OM OM OMOM OM BP k k k k k k 2121242124222-=-+-+= 所以只需证ON OMk k =-21即21-=ON OM k k …………………………………9分设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x从而可得21-=ON OM k k …………………………………10分 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12422=+y x 得0424)12(222=-+++m kmx x k则124221+-=+k km x x ，12422221+-=k m x x ，0)24(822>-+=∆m k ………11分 212)24(8||21||||2122221=+-+⋅=-⋅=∆k m k m x x m S OMN化得0)12()24(22224=+++-k m k m ，得1222+=k m ………………………13分214)12(2412424)(222222212212122121-=-+-+=--=+++==⋅k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ONOM ………………………………………………15分3.(2016嵊州期末)（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>l ：10x y +-=与C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）证明：线段AB 的中点为定点，并求出该定点坐标；（Ⅱ）设()1,0M ，MA BM λ=u u u r u u u r，当a ∈⎝时，求实数λ的取值范围． 解：（Ⅰ）223a b =． ………………2分设()()1122,,,A x y B x y ，联立22233010x y b x y ⎧+-=⎨+-=⎩，，消去y 得()2246310x x b -+-=故1232x x +=，()212314b x x -=， ………………4分所以12324x x +=，121211224y y x x ++=-=． 故线段AB 的中点为定点3144⎛⎫⎪⎝⎭，． ………………6分（Ⅱ）()1,0M ，MA BM λ=u u u r u u u r，得()1211x x λ-=-． ………………8分结合1232x x +=解得2121x λλ-=-，122(1)x λλ-=-． 由()212314b x x -=得211231b λλ+=+-．………………10分因为a ∈⎝，故27,112b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ………………12分 从而2115102,3123b λλ⎛⎫+=+∈ ⎪-⎝⎭． ………………13分解得()11,2,332λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭U ．………………15分 法二：本题在运算时用12y y λ=- 再利用y 的韦达定理算出λ的式子，用21212()y y y y +来算要好算一点。
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—数列解答题含答案
1 ,是否存在 n Î N * ，使得 a n 1 ，若存在，试求出 n 的最小值，若不存在，请说明理由． 2016
证明： （Ⅰ）∵
1 a n+1
1 a n+1
=
1 a n + ca n 2
∴
=
1 c 1 1 c ，即 = a n 1 + ca n a n a n + 1 1 + ca n
1 1 c = a 1 a 2 1 + ca 1 1 1 c = a 2 a 3 1 + ca 2
解：(Ⅰ) a2 = 另一方面，
a2 n -1 + 4 +4 -2 a2 n -12 - 4 a2 n + 4 a2 n- 1 + 1 5a + 8 a2 n +1 - a2 n -1 = - a2 n -1 = - a2 n -1 = 2 n- 1 - a2 n -1 = . a2 n -1 + 4 a2 n + 1 2 a + 5 2 a + 5 2 n 1 2 n 1 +1 a2 n -1 + 1 ……………7 分 由 a2 n -1 < 2 知 a2n+1 - a2n-1 0 ，即 a2 n +1 a2 n -1 ．
3.(2016 嘉 兴 一 模 ) （ 本 题 满 分 15 分 ） 数 列 {a n } 各 项 均 为 正 数 ， a 1 = （Ⅰ）求 a n +1 = a n + ca n (c 0) ． （Ⅱ）若 c =
2
1 ， 且 对 任 意 的 nÎ N * ， 有 2
c c 1 的值； + + 1 + ca 1 1 + ca 2 a 3
2016年浙江卷19题(解析几何)的解法剖析
| AP || AQ | AM PQ m 1 2 2 1 k a 1 k AM kma2 k 2 2 k a 1
e (0,
2 ] 2
存在直线l与椭圆右侧有2个不同的交点P, Q，且|AP|=|AQ|
设P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 中点M ( x0 , y0 ) 显然x1 x2 , 且x1 , x2 0
设直线 l : y kx m ( k 0) y y kx m 2 2 2 2 2 2 ( k a 1) x 2kma x a ( m 1) 0 2 2 2 2 A(0, 1) x a y a 4k 2m2a4 4a2 ( m2 1)(k 2a2 1)
a 1 a2 1 0
存在r>0, 使得 h(1) r 2 0 2 2 2 r 4 a 2 h ( 1 ) r 4 0 2 4 a 2 1 a 2 1 1 4 r 2 4 2 a a 1 a 1 2 r 2 2 2 2 a 1 4 4 ( a 1 )( r a 1 ) 0 成立
2 e (0, ] 2
2a 2 | k1 | 2a2 | k2 | 2 2 由(1)有 | AP | 1 k , | AQ | 1 k 1 2 2 1 a2k12 1 a2k2
在y轴右侧，椭圆上存在2个不同的点P, Q，满足|AP|=|AQ| y 若记kAP=k1, kAQ=k2 其中k1≠k2, 且k1, k2<0 A(0, 1)
l
P
Mx
4a 2 ( k 2m2a2 k 2m2a2 m 2 k 2a 2 1) 0
浙江省杭州市萧山区2016届高三高考命题比赛数学试卷13 含答案
2016年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表题序考查内容分值难易程度1常用逻辑用语5容易题2函数的基本性质5容易题3三视图，直观图5容易题4等比数列性质5中档题5不等式恒成立5中档题6线性规划与基本不等式5中档题7双曲线的定义与几何性质5中等偏难题8函数与方程、函数的零点及不等式5较难题9集合运算6容易题10数列的通项与求和6容易题11函数值与不等式的解法6中档题12解三角形6中档题13平面向量概念及数量积的几何意义4中档题14直线与圆的位置关系．4较难题15函数的性质（自定义问题）4较难题16三角函数的性质与解三角形14容易题17空间中线线、线面垂直的判断及用向量、几何法求面面角15中档题18圆锥曲线的方程与函数的最值15中等偏难题型及考点分布按照《2016考试说明》参考样卷。
说明1、本试卷的命题方向和命题意图主要从以下几点为出发点:（1）、强化主干知识，强化知识之间的交叉，渗透和综合:基础知识全面考，重点知识重点考，注意信息的重组及知识网络的交叉点.（2)、淡化特殊技巧,强调数学思想方法。
考查与数学知识联系的基本方法、解决数学问题的科学方法。
(3)、深化能力立意，突出考察能力与素质，对知识的考察侧重于理解和运用。
淡化繁琐、强调能力,提倡学生用简洁方法得出结论。
（4)、控制难度. “易︰中︰难=3︰5︰2" 。
（5）、新增知识考查力度及所占分数比例可略超课时比例。
基础题象“会考”，压轴题似“竞赛”.2、试卷结构与2015年样卷保持一致⑴题型结构为，8道选择、7道填空、5道解答的结构；⑵赋分设计为，选择每题5分、填空题单空体每题4分，多空题每题6分，解答题共74分；⑶考查的内容，注重考查高中数学的主干知识:函数，三角函数和解三角形，立体几何，解析几何,数列等。
3、立足基础，突出主干命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能.对基础知识的考查主要集中在小题上，具体知识点分布在集合、向量、直线与圆、数列、函数图像、函数性质、线性规划、三视图、三角函数、圆锥曲线性质、空间角等内容上,而且小题的考查直接了当，大部分是直接考查单一知识点,试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。
2016年5月浙江省湖州市高考数学模拟试卷(理)含答案解析
2016年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣4x＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞4或x＜0}B．{x|1＜x＜4}C．{x|1＜x≤4}D．{x|1≤x≤4}2．在斜三角形ABC中，“A＞”是“tanA＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知{a n}是公比大于1的等比数列，若2a1，a2，a3成等差数列，则=（）A．B．C．D．24．若实数x和y满足，则x2+y2的最小值是（）A．2 B．C．3 D．45．已知函数f（x）=a x﹣b的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1=∠AA1C1=60°，则异面直线A1C 与AB1所成角的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．7．若f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则下列不等式正确的是（ ）A ．f （sinx ）＞f （cosx ）B ．f （）＞f （x ）C ．f （）≥f （） D ．f （）≥f （）8．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点A 在l 上的射影为A 1．若|AB |=|A 1B |，则直线AB 的斜率为（ ）A ．±3B ．±2C ．±2D ．±二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知tan α=2，则tan （α+）=______，cos 2α=______，=______．10．已知函数f （x ）= 则f （f （﹣2））=______；若f （x ）≥2，则实数x 的取值范围是______．11．已知函数f （x ）=2cos 2x +cos （﹣2x ），则函数f （x ）的最小正周期是______，值域是______．12．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______cm 3，该几何体的表面积是______cm 2．13．已知双曲线﹣y 2=1（a ＞0）的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ．若点P 的纵坐标为，则该双曲线的离心率是______．14．已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x ，y ∈R ），则|x﹣y|的取值范围是______．15．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=2AD ，若将△ABD 沿直线BD 折成△A ′BD ，使得A ′D ⊥BC ，则直线A ′B 与平面BCD 所成角的正弦值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=sinAsinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinA的值．17．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC1⊥平面ABC，BC=CA=AC1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值．18．已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．19．已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m （a）；（Ⅱ）设b∈R，若|f（x）+b|≤3对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．20．在数列{a n}中，a1=a（a∈R），a n=（n∈N*），记数列{a n}的前n项和是S n．+1（Ⅰ）若对任意的n∈N*，都有a n＞，求实数a的取值范围；+1（Ⅱ）若a=1，求证：S n＜+1（n∈N*）．2016年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣4x＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞4或x＜0}B．{x|1＜x＜4}C．{x|1＜x≤4}D．{x|1≤x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，然后求解（∁R A）∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x＞0}={x|x＞4或x＜0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B={x|0≤x≤4}∩{x|x＞1}={x|1＜x≤4}．故选：C．2．在斜三角形ABC中，“A＞”是“tanA＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“A＞”是“tanA＞1”的什么条件，只要判断，其中一个成立时，另一个是否也成立即可，我们可以利用举反例进行判断；【解答】解：当A=时，tanA=﹣，所以△ABC中，“A＞”推不出“tanA＞1”；在斜三角形ABC中，当tanA＞1，可得A＞，满足tanA＞1，推出A＞，∴“A＞”是“tanA＞1”的必要不充分条件，故选：B．3．已知{a n}是公比大于1的等比数列，若2a1，a2，a3成等差数列，则=（）A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由已知列式求得公比，然后代入等比数列的通项公式及前n项和求得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由2a1，a2，a3成等差数列，得，解得q=1（舍）或q=2．则=．故选：C．4．若实数x和y满足，则x2+y2的最小值是（）A．2 B．C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行转化求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知O到直线AB：3x+2y﹣6=0的距离最小，此时d==，则x2+y2的最小值为z=d=（）2=，故选：B．5．已知函数f（x）=a x﹣b的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数图象递减可知0＜a＜1，再有平移可知向右平移了小于1个单位，得出0＜b＜1，可得出选项．【解答】解：根据指数函数图象和平移可知：0＜a＜1，0＜b＜1，故一次函数g（x）=ax+b的图象为A．故选：A．6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1=∠AA1C1=60°，则异面直线A1C 与AB1所成角的余弦值是（）A．B．C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】设，再设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为m，利用平面向量的数量积运算求出cos，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值可求．【解答】解：设，再设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为m，则，，，∴==．=，=m．∴cos==．则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是．故选：A．7．若f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则下列不等式正确的是（）A．f（sinx）＞f（cosx）B．f（）＞f（x）C．f（）≥f（）D．f（）≥f（）【考点】函数单调性的性质．【分析】由三角函数线可判断出时，sinx＞cosx，根据f（x）的单调性便可判断选项A的正误，而对于B，C，D各选项可通过对自变量的值进行作差，配方，通分及提取公因式等方法，根据x的范围及指数函数的单调性便可判断出自变量值的大小关系，从而由f（x）的单调性即可判断出对应函数值的大小关系，从而判断选项的正误．【解答】解：A．x∈时，sinx＞cosx；∵f（x）在（﹣1，1）上为减函数；∴f（sinx）＜f（cosx），∴该选项错误；B．x∈（﹣1，1）；∴＞0；∴，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减；∴，∴该选项错误；C.=；∵x∈（﹣1，1）；∴x∈（﹣1，0）时，；∴，且f（x）在（﹣1，1）上为减函数；∴，∴该选项错误；D.=；∴①x∈（﹣1，0]时，；∴；②x∈（0，1）时，；∴；∴综上得，；∵f（x）为（﹣1，1）上的减函数；∴，∴该选项正确．故选D．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A1．若|AB|=|A1B|，则直线AB的斜率为（）A．±3 B．±2C．±2 D．±【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B到准线的距离分别为2a，a，由抛物线的定义可得|AB|=3a，利用锐角三角函数的定义即可得出直线AB的斜率．【解答】解：设A在第一象限，直线AB的倾斜角为α．过B作准线的垂线BB′，作AA′的垂线BC，∵|AB|=|A1B|，∴C是AA′的中点．设|BB′|=a，则|AA′|=2a，∴|AB|=|AA′|+|BB′|=3a．∴cosα=cos∠BAC==，∴tanα=2，由抛物线的对称性可知当A在第四象限时，tanα=﹣2．∴直线AB的斜率为±2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．10．已知函数f（x）=则f（f（﹣2））=2；若f（x）≥2，则实数x的取值范围是x≥1或x≤﹣4．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣2）=log22=1，f（1）=21=2，则f（f（﹣2））=2；若x≥0，由f（x）≥2得2x≥2，得x≥1，若x＜0，由f（x）≥2得log2（﹣x）≥2，得﹣x≥4，则x≤﹣4，综上x≥1或x≤﹣4，故答案为：2，x≥1或x≤﹣4．11．已知函数f（x）=2cos2x+cos（﹣2x），则函数f（x）的最小正周期是π，值域是[1﹣，1] ．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x+）+1，利用三角函数周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）∈[﹣1，1]，从而可求f（x）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cos2x+cos（﹣2x）=1+cos2x+sin2x=sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期T==π，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=sin（2x+）+1∈[1﹣，1]．故答案为：π，[1﹣，1]．12．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是6cm3，该几何体的表面积是cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，其底面是正视图中的直角梯形，上底为1cm，下底为2cm，高为2cm，由侧视图知四棱柱的高为2cm，所以该几何体的体积V==6（cm3），由正视图可知直角梯形斜腰是，=2×则该几何体的表面积S表面积+=（cm2），故答案为：6；．13．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P．若点P的纵坐标为，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点F（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的纵坐标，由条件结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），且c==，设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由PF⊥l，可得直线PF的方程为y=﹣a（x﹣c），联立消去x，可得y=，即有y===，由点P的纵坐标为，可得=，即有e=．故答案为：．14．已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x，y∈R），则|x﹣y|的取值范围是[1，3] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求得．再由|x+y|=得到x2+y2﹣xy=3．然后利用配方法及换元法分别求得|x﹣y|的最大值及最小值即可．【解答】解：∵，且，的夹角为120°，∴．∴|x+y|==．即x2+y2﹣xy=3．∴3=x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy，即xy≤3；则|x﹣y|==；令x+y=t，则（x+y）2=x2+y2+2xy=t2，∴3+xy+2xy=t2，则，∴|x﹣y|====．∴|x﹣y|的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．15．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．【考点】直线与平面所成的角．【分析】过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．则可证明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．设AD=1，在直角梯形中根据平面几何知识解出DO，从而得出A′O，得出线面角的正弦值．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，∴BC⊥平面A′DE，∵A′O⊂平面A′DE，∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，∴A′O⊥平面BCD．∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．在直角梯形ABCD中，过A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，设AD=1，则AB=2，∴BD=，∴AM==，∴DM==．由△AMD∽△DMO得，即，∴DO=．∴A′O==．∴sin∠A′BO==．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=sinAsinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinA的值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由余弦定理，正弦定理化简已知可得：7（a2+b2）=5c2，c2=ab，从而利用余弦定理可求cosC=﹣，结合范围C∈（0，π）即可求得∠C的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=2，由（Ⅰ）知，c2=7，a2+b2=5，联立可求a，b的值，利用正弦定理即可求得sinA的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意及余弦定理得，a2+b2+5ab=0，即7（a2+b2）=5c2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意及正弦定理得，c2=ab，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故cosC===﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为C∈（0，π），∠C=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=absinC=，即ab=2 ①．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因为S△ABC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅰ）知，c2=7，a2+b2=5 ②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立①②得，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由正弦定理得，sinA=或sinA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC1⊥平面ABC，BC=CA=AC1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC∥B1C1，AC⊥B1C1，AC1⊥ACC，由此能证明AC⊥平面AB1C1．（Ⅱ）分别取BB1，CC1的中点M、N，连结AM，MN，AN，则∠AMN为二面角A1﹣BB1﹣C的平面角，由此能求出二面角A1﹣BB1﹣C的余弦．【解答】证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BC∥B1C1．又因为∠ACB=90°，所以AC⊥B1C1，因为AC1⊥平面ABC，所以AC1⊥ACC，因为AC1∩B1C1=C1，所以AC⊥平面AB1C1．解：（Ⅱ）因为点A1在平面A1ABB1内，故只需求A﹣BB1﹣C的二面角．分别取BB1，CC1的中点M、N，连结AM，MN，AN，所以AM⊥BB1．因为AC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，所以BC⊥CC1，即平行四边形BCC1B1为矩形，所以MN⊥BB1，所以∠AMN为二面角的平面角．设BC=CA=AC1=1，则AB=AB1=BB1=，所以AM=，MN=1，AN=．由余弦定理得，cos∠AMN==，所以二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值为．18．已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，再由点C在椭圆上，得，由此能求出实数x0的值．（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，又因为点C在椭圆上，所以，解得，因为﹣，所以．（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=2x0﹣1，由，及得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣2≤x0≤2，所以﹣2≤，|FA|•|FB|=•====，所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，4]．19．已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m （a）；（Ⅱ）设b∈R，若|f（x）+b|≤3对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）问题转化为3﹣b≤f（x）≤3﹣b对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2+3|x﹣a|=，①当a≥1时，f（x）=x2﹣3x+3a在x∈[﹣1，1]单调递减，则M（a）=f（﹣1）=4+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，此时M（a）﹣m（a）=6；②当a≤﹣1时，f（x）=x2+3x﹣3a在x∈[﹣1，1]单调递增，则M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣2﹣3a，此时M（a）﹣m（a）=6；③当﹣1＜a＜1时，f（x）=，此时f（x）在x∈[﹣1，a]单调递减，在x∈[a，1]单调递增，则m（a）=f（a）=a2，M（a）=max{f（﹣1），f（1）}=max{4+3a，4﹣3a}=4+|3a|，此时M（a）﹣m（a）=4+|3a|﹣a2；因此M（a）﹣m（a）=，（Ⅱ）原问题等价于﹣3﹣b≤f（x）≤3﹣b，由（Ⅰ）知①当a≥1时，则，即，此时3a+b=﹣1；②当a≤﹣1时，则，即，此时b﹣3a=﹣1，此时3a+b≤﹣7；③当﹣1＜a＜1时，则m（a）=f（a）=a2，，即﹣a2﹣3≤b≤﹣|3a|﹣1，此时﹣a2+3a﹣3≤3a+b≤3a﹣|3a|﹣1；由﹣1＜a＜1得﹣a2+3a﹣3＞﹣7和3a﹣|3a|﹣1≤﹣1，此时﹣7＜3a+b≤﹣1，因此3a+b≤﹣1．=（n∈N*），记数列{a n}的前n项和是S n．20．在数列{a n}中，a1=a（a∈R），a n+1（Ⅰ）若对任意的n∈N*，都有a n＞，求实数a的取值范围；+1（Ⅱ）若a=1，求证：S n ＜+1（n ∈N *）．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由a n +1=（n ∈N *），可得=，当a n +1时，a n，且a n，反之也成立．即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=1时，a n，从而a n ＞0，可得a n +1﹣a n ＜0，因此，又==，可得：a n +1．利用递推关系与等比数列的前n 项和公式可得S n +．进而得出结论．【解答】（Ⅰ）解：∵a n +1=（n ∈N *），∴=，当a n +1时，a n ，且a n，反之，当a n 时，且a n ，可得：a n +1．故，且a．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=1时，a n ，从而a n ＞0，∴a n +1﹣a n ==＜0，∴，由=，可得： ==，由，得，即a n +1．∴++…+≤=＜．∴S n+．又+1﹣=≥0，∴S n＜+1（n∈N*）．2016年10月3日。
浙江省数高考模拟精彩题选解析几何解答题 Word版含答案
20xx 浙江精彩题选——解析几何解答题1.（20xx 名校联盟第一次）19．（本题满分15分）已知椭圆C ：22ax ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设.（Ⅰ）若l =34，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若D PF 1F 2为等腰三角形，求l 的值.2.（20xx温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C：22221(0) x ya ba b+=>>经过点,A B分别为椭圆C的左、右顶点，NM,是椭圆C上非顶点的两点，且OMN∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A作OMAP//交椭圆C于点P，求证：ONBP//．解：（Ⅰ）由题意得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+====+222222221)26(1cbaaceba，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==2422ba故椭圆C的方程为：12422=+yx……………………………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM,ON的方程为OMy k x=，ONy k x=联立方程组22142OMy k xx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得M,同理可得(N,……………………………………7分作'MM x⊥轴, 'NN x⊥轴,','M N是垂足,OMNS∆=''''OMM ONNMM N NS S S∆∆--梯形1[()()]2M N M N M M N Ny y x x x y x y=+--+1()2M N N Mx y x y=-12==9分已知OMNS∆2=，化简可得21-=ONOMkk.……………………………………11分设(,)P PP x y,则2242P Px y-=，又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明12AP BP k k =-……………………13分 而2212242P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y O M ，代入4222=+y x得0488)12(2222=-+++O M O M O M k x k x k ，它的两个根为2-和P x 可得124222+-=OM OM p k k x 1242+=OM OMP k k y ……………………………………7分 从而OM OM OMOM OMBPk k k k k k 2121242124222-=-+-+= 所以只需证ON OMk k =-21即21-=ON OM k k …………………………………9分设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x 从而可得21-=ON OM k k …………………………………10分若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12422=+y x 得0424)12(222=-+++m kmx x k则124221+-=+k km x x ，12422221+-=k m x x ，0)24(822>-+=∆m k ………11分212)24(8||21||||2122221=+-+⋅=-⋅=∆k m k m x x m S OMN化得0)12()24(22224=+++-k m k m ，得1222+=k m (13)分214)12(2412424)(222222************-=-+-+=--=+++==⋅k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ONOM (15)分3.(20xx 嵊州期末)（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>直线l ：10x y +-=与C 相交于A ，B两点．（Ⅰ）证明：线段AB 的中点为定点，并求出该定点坐标；（Ⅱ）设()1,0M ，MA BM λ=u u u r u u u r，当a ∈⎝时，求实数λ的取值范围． 解：（Ⅰ）223a b =． ………………2分设()()1122,,,A x y B x y ，联立22233010x y b x y ⎧+-=⎨+-=⎩，，消去y 得()2246310x x b -+-=故1232x x +=，()212314b x x -=， ………………4分所以12324x x +=，121211224y y x x ++=-=． 故线段AB 的中点为定点3144⎛⎫⎪⎝⎭，． ………………6分（Ⅱ）()1,0M ，MA BM λ=u u u r u u u r，得()1211x x λ-=-． ………………8分结合1232x x +=解得2121x λλ-=-，122(1)x λλ-=-． 由()212314b x x -=得211231b λλ+=+-．………………10分因为a ∈⎝，故27,112b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ………………12分 从而2115102,3123b λλ⎛⎫+=+∈ ⎪-⎝⎭．………………13分解得()11,2,332λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭U ．………………15分法二：本题在运算时用12y y λ=-再利用y 的韦达定理算出λ的式子，用21212()y y y y +来算要好算一点。
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—立体几何含答案
2016浙江精彩题选——立体几何【一、轨迹问题】1．如图，平面ABC ⊥平面α，D 为线段AB 的中点，22=AB ,︒=∠45CDB ，点P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为2，则APB ∠的最大值为 ． 解：以AB 为直径的圆与椭圆A ‘B ’相切【二、动态问题】1.（2016台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M 在平面PBC 内，且AM=7，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为17分析：点A 到平面PBC 的距离为d=AM=7即为绕d 旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC 与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角2.（2016金华十校期末）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，且AB ACBD CD==2，则ABCD V 四面体的最大值为 （ C ）A.6B.C.D.8 分析：由AB ACBD CD==2得B 、C 点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B ，C 离AD 的最远距离为4，可求3.（2016台州一模 8）如图,在长方体D C B A ABCD ''''-中,点Q P ,分别是棱BC ,CD 上的动点,4,BC =, 3,CD =CC '=C C '与平面C PQ '所成的角为︒30,则△C PQ '的面积的最小值是( B )AB ．8 CD ．104（2016宁波十校15）如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 .分析：CD ⊥平面ABF ，则平面ABF ⊥平面α。
设，平面ABF ⊥平面α=a ,四面体不动，转动平面α，则AO ⊥α于O 交BF 于M ，AO 为平面α的法向量。
AE 与平面α所成角正弦值最大=AE 与法向量AO 所成角最小，即为AE 与平面ABF所成角，sin 6θ=则AE 与平面α所成角的正弦即为θ5.（温州二模8）.棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为 （ B ）A． BCD．分析：作对称6.（2016五校联考8） 如图，棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为030，则顶点1C 到平面α的距离的最大值是 （ B ）A.(22+B.2C.)21D.)21(第8题图)αAB CDE。
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—三角函数含答案
2016浙江精彩题选——三角函数1.（2016宁波十校16）．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =- 与向量(cos ,cos )n C B = 共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若10,5b c a c ==<，，且2AD DC = ，求BD 的长度.解：（Ⅰ）(45,5)m a c b =- 与(cos ,cos )n C B = 共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A C b B B --∴==4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B∴+=4sin()4sin 5sin cos B C A A B∴+== 在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分（Ⅱ）10,5b c a c ==<，且4cos B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或（舍）……………………………………………9分2AD DC = 1233BD BA BC ∴=+ 22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅∙=++⋅⋅⋅⋅ 将3a =和5c =代入得：21099BD = 109=3BD ∴……………………………………………14分2.（2016嘉兴二模16）（本题满分14分）在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-．（Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）2222222222)8(b a acb c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅-222222222222282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+08222222=-+⋅--+a c b a c b ，∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc 故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩⎨⎧==14c b （Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以83cos ≥A ，所以855sin ≤A ，所以455sin 21≤=∆A bc S ABC ．所以△ABC 面积的最大值是455，当83cos =A 时取到．3.（2016衢州二模16）（本题满分14分）已知2()cos cos f x x x x =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求222a b c ab++的取值范围.解：（I）2()cos cos f x x x x=⋅+∴()2sin(2)6f x x π=+Q 222262k x k πππππ-≤+≤+∴36k x k ππππ-≤≤+∴函数()f x 的单调递增区间,,36Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II）Q ()1f C =∴()2sin(216f C C π=+=∴2266C k πππ+=+或52266C k πππ+=+k ∈Z ∴3C π=由余弦定理得：222c a b ab=+-∴222222()12()1a b c a b b a ab ab a b +++=-=+-Q △ABC 为锐角三角形∴022032{A A πππ<<<<∴62,A ππ<<由正弦定理得：2sin()sin 113,2sin sin 2tan 22A b B a A A A π-⎛⎫===+∈ ⎪⎝⎭∴[)2223,4a b c ab++∈点评：注意题中的锐角这个条件4.（2016五校联考二16）（本小题满分15分）如图，四边形ABCD ，60DAB ∠= ，,CD AD CB AB ⊥⊥。
2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题五解析几何5-3Word版含解析
第3讲 圆锥曲线的热点问题(建议用时：70分钟)一、选择题1．(2015·丽水调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )．A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5]解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2. 答案 B2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A.74 B ．2 C.94 D ．4解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94. 答案 C3．(2015·四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )．A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3解析 焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D. 答案 D4．(2015·新课标全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上， 又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33. 答案 A5．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )． A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <5⇒1<25c 2<4，∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c5－c ；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c .∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13. 答案 B6．(2015·重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意A (a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x,0)，由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x ·b 2a a －c ＝－1，解得c －x ＝b 4a 2(c －a )，所以c －x ＝b 4a 2(c －a )＜a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，所以b 4a 2＜c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2＜1⇒0＜b a ＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1,0)∪(0,1)，选A. 答案 A7．(2014·湖北卷)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )．A.433B.233 C ．3 D ．2解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆，双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2. 由⎩⎨⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2得⎩⎨⎧r 1＝a 1＋a 2.r 2＝a 1－a 2， ∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c . 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12－r 2r 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 1－122＋34， 当r 2r 1＝12时，m max ＝163，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1c max ＝433，即1e 1＋1e 2的最大值为433.答案 A 二、填空题8．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析 由题意知B ⎝⎛⎭⎪⎫p3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 答案 69．(2015·杭州调研)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得 d 1＋d 2＝|P A |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 到直线l 的距离， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522， 所以d 1＋d 2的最小值为522－1. 答案522－1 10．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 答案 2211．(2015·金华模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 解析 由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2. 答案 (1,2)12．设F 1是椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则PF 1→·PO →的最大值为________．解析 设P (x 0，y 0)，依题意可得F 1(－3，0)，则PF 1→·P O →＝x 20＋y 20＋3x 0＝x 20＋1－x 204＋3x 0＝3x 204＋3x 0＋1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2332. 又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，PF 1→·P O →取得最大值4＋2 3. 答案 4＋2 3 三、解答题13．(2015·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M . (1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1＜n ＜1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称， 所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．14．(2015·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值． 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2| ＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所在△ABQ 面积的最大值为6 3.15．(2015·天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围． 解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为 y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得 m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.。
【配套K12】浙江省2016届高三数学专题复习 专题五 解析几何模拟演练 理
专题五 解析几何经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·浙江名校联考)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝02．(2015·台州模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．23．(2015·瑞安模拟)等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右顶点分别为A 、B ，P 是双曲线上在第一象限内的一点，若直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是( ) A.π3 B.π4C.π6D.π124．(2015·湖州模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．45．(2015·大庆质检)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F ()－25，0为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x225＋y25＝1 B.x236＋y216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝16．(2015·石家庄质检)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝0二、填空题7．(2015·北京东城调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则C 的渐近线方程为________．8．(2015·杭州高级中学三模)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．9．(2015·石家庄质检)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________． 三、解答题10．(2015·绍兴一中模拟)椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且短轴长与长轴长的比是32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m ，0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．11．(2015·萧山中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B ，C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，求△PBC 面积的最小值．12．(2015·北仑中学三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，点O 为坐标原点，椭圆C 与曲线|y |＝x 的交点分别为A ，B (A 在第四象限)，且OB →·AB →＝32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)定义：以原点O 为圆心，a 2＋b 2为半径的圆称为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C 于M ，N 两点，交其“伴随圆”于P ，Q 两点，且以MN 为直径的圆过原点O .证明：|PQ |为定值．经典模拟·演练卷1．A [易知点A (1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线AB 垂直．∴k AB ＝－11－03－1＝－2.所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.] 2．C [如图所示，过点Q 作直线l的垂线，垂足为E .由FP →＝4FQ →，得|FP ||FQ |＝4.所以|EQ ||AF |＝34.由抛物线C ：y 2＝8x 知|AF |＝p ＝4， ∴|EQ |＝3，根据抛物线定义，|FQ |＝|EQ |＝3.] 3．A [由β＝2α，得∠APB ＝α， 则|PB |＝|AB |＝2a ，设P (x ，y )．∴x ＝a ＋2a cos β，y ＝2a sin β，则P (a ＋2a cos β，2a sin β)， 代入双曲线方程(a ＋2a cos β)2－(2a sin β)2＝a 2，cos 2β＋cos β＝0. ∴2cos 2β＋cos β－1＝0，则cos β＝12，cos β＝－1(舍去)，故β＝π3.]4．B [由∠APB ＝90°，知点P 在以线段AB 为直径的圆上，设该圆的圆心为O ，则O (0，0)，半径r ＝m ，由圆的几何性质，当圆C 与圆O 相内切时，圆的半径取得最大值． ∴|OC |＝32＋42＝m －1，∴m ＝6. 故m 的最大值为6.]5．B [设椭圆C 的右焦点为F ′，连接PF ′.在△PFF ′中，|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝25，知∠FPF ′＝90°. 又|PF |＝4，∴|PF ′|2＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝64，则|PF ′|＝8， 因此2a ＝|PF |＋|PF ′|＝12，a ＝6. 由c ＝25，得b 2＝a 2－c 2＝36－20＝16， 故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.]6．A [依题意，不妨设点M 在第一象限，且M (x 0，y 0)， 由抛物线定义，|MF |＝x 0＋p2，得5＝x 0＋2.∴x 0＝3，则y 20＝24，所以M (3，26)， 又点M 在双曲线上，∴32a 2－24＝1，则a 2＝925，a ＝35， 因此渐近线方程为259x 2－y 2＝0，即5x ±3y ＝0.]7．y ＝±2x [由题意知：c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，则ba＝2，所以渐近线的方程为y ＝±2x .]8．(x ＋1)2＋y 2＝2 [由题设，圆C 的圆心C (－1，0)，设半径为r ，又圆C 与圆C ′：(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切， ∴|CC ′|＝22＋r .又|CC ′|＝[2－（－1）]2＋32＝32，则r ＝2， 故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.] 9．y 2＝16x [由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p2，设满足条件的圆心为C ′，圆的半径为r . 由πr 2＝36π，得r ＝6.又圆C ′与抛物线的准线x ＝－p2相切， ∴p 4＋p2＝6，∴p ＝8.故抛物线方程为y 2＝16x .] 10．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由焦点F (－2，0)知c ＝2. ∴a 2＝4＋b 2，① 又b a ＝32，② 联立①，②得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1.故－4≤x ≤4.由点M (m ，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m ≤4.①由MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. ∵当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点．∴当x ＝4时，|MP →|2取得最小值． 由于x ∈[－4，4]，故4m ≥4，则m ≥1，② 由①，②知，实数m 的取值范围是[1，4]．11．解 (1)∵动圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切， ∴动圆的圆心到定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离等于到定直线x ＝－12的距离．根据抛物线定义，圆心的轨迹方程为y 2＝2x . (2)设点P (x 0，y 0)，B (0，b )，C (0，c )， 则直线PB 的方程为(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0， 又△PBC 的内切圆方程为(x －1)2＋y 2＝1， ∴圆心(1，0)到直线PB 的距离为1. 则|y 0－b ＋x 0b |（y 0－b ）2＋（－x 0）2＝1，整理得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0，同理，得(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，因此，b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2.依题意，得bc <0，即x 0>2. 则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0（x 0－2）2，因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2.因此△PBC 的面积S ＝12|b －c ||x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20x 0－2＝x 0＋2＋4x 0－2＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4 ≥2（x 0－2）·4x 0－2＋4＝8， 当且仅当x 0－2＝2，即x 0＝4时上式等号成立． 故△PBC 面积的最小值为8.12．(1)解 由椭圆的对称性，知点A 、B 关于x 轴对称．依题意，设点A (x ，－x )，B (x ，x )，则AB →＝(0，2x )． 由OB →·AB →＝(x ，x )·(0，2x )＝32，且x >0.∴2x 2＝32，x ＝32，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入椭圆方程，得34a 2＋34b 2＝1.①又e ＝c a ＝63，∴69＝c 2a 2＝a 2－b 2a2② 联立①，②，得b 2＝1，a 2＝3. 所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意可得“伴随圆”方程为x 2＋y 2＝4，①当直线l 斜率不存在时，设l ：x ＝n ，代入椭圆方程得M ⎝⎛⎭⎪⎫n ，1－n 23，N ⎝⎛⎭⎪⎫n ，－1－n 23， 由OM →·ON →＝0得n ＝±32，代入x 2＋y 2＝4得y ＝±132， 所以|PQ |＝13.②当直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝kx ＋m (k ，m ∈R )且与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，即m 2<3k 2＋1， ∵x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k2，可得y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－3k 21＋3k2，由OM →·ON →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即3m 2－31＋3k 2＋m 2－3k 21＋3k 2＝4m 2－3k 2－31＋3k2＝0， 所以m 2＝34(k 2＋1)，代入验证Δ>0成立．则原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2＝m 21＋k2＝32， ∵“伴随圆”的半径为2，∴|PQ |＝24－34＝13， 综合①，②知，|PQ |为定值13.。
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x2 y2 1 的左、右焦点， 若存在过 F1 a2 b2
的直线分别交双曲线 C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 BAF2 BF2 F1 ，则双曲线 C 的 离心率 e 的取值范围是
.
的平分线上的一点，且 F2 M MP 0 ，则 OM 的取值范围是 解：提示：延长垂线与 PF1 交于 N，由三线合一， PF2 PN ，
| OM |
1 | PF1 | 5 | PF2 | ，由 PF2 的范围可求。 2
B.
26 ,1 26
1
2 5 2
D.
26 2 , 26 2
6.（杭二最后卷 13） P 是椭圆
x2 y 2 1 在第一象限 上的动点， F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点， M 是 F1 PF2 ．．．． 25 16
R
A
F2
x
若 RF2 PF1 ， 且 AM PF1 ， 则双曲线的离心率是 （ C ） R ．M 是 PQ 的中点， A． 2 B． 3 C．2 D． 5
（第 7 题）
Байду номын сангаас
b b b y x 分析：由 得， R (a, b) ， k F2 R ， k F1R ， a ac ac 2 2 2 x y c
A． 3,
B． 1, 2 5
C． 3, 2 5
（ C ）
3 D． 1,
（第 7 题）
AB BF1 AF1 kBF2 BF1 BF2 2a AB BF2 AF2 BF2 kBF1 解：由三角形相似， ， BF1 kBF1 2a k ，则 BF2 BF1 F1 F2 (1 k ) BF 2a AF2 k 2c 1 BF1 AF1 kBF2 ， AF1 BF1 kBF2 ， AF2 2a BF1 k 2 BF1 k (1 2a 1, e 3 ca
线的右支于 P, Q 两点，若 | PF1 || F1F2 | ，且 3 | PF2 | 2 | QF2 | ，则该双曲线的离心 率为
7 5
.
M Q F1 O
y P
x2 y2 3（2016 嘉兴二模 7） ．如图，双曲线 2 2 1(a , b 0) 的右顶点为 A ，左右焦点分 a b b 别为 F1 , F2 ,点 P 是双曲线右支上一点， PF1 交左支于点 Q ，交渐近线 y x 于点 a
2a 2 a (c a ) ) BF1 2a ， BF1 c a ， e 2 5 ca c 3a
此题为 2016 离心率难度之最 2.（2016 宁波十校 14） 已知双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ，过 F2 的直线交双曲 a 2 b2
A.
3
B.
5.(2016 镇海最后卷 7) 在椭圆
x2 y2 1( a b 0) 上有一点 P ，椭圆内一点 Q 在 PF2 的延长线上，满足 a2 b2 5 ，则该椭圆的离心率取值范围是 13
C. , （ A）
QF1 QP ，若 sin F1 PQ
A. ,
1 5 5 3
由 MF1 A 与 RF1 F2 相似得， 再由点差法 k F1R kOM
yM F A ac ac ， yM b ，由 R、M、F1 三点共线可求 M 的横坐标， 1 2c yR F1 F2 2c
b2 2 建立等量关系。 a
x2 y2 4（20156 诸暨质检 6）双曲线 2 2 1( a b 0) 的左焦点 F ,离心率 e ，过点 F 斜率为 1的直线交双曲线 a b
的渐近线于 A、B 两点， AB 中点为 M ,若 FM 等于半焦距，则 e 等于
2
（ B）
2 C. 3 或 2 D. 3 3 2 x y2 a 2c 分析： y x c 与 2 2 0 联立，得 xM 2 ,| FM | 2 | xM (c ) | c 可求 a b b a2