高等工程数学题091数值分析部分
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
高等工程数学数值分析部分试题(3)
一、填空题
1. 设*
2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有 位有效数字. 2. 数值求积公式⎰++≈10)1(6
1)21(32)0(61)(f f f dx x f 具有 次代数精度 . 3. 已知352)(4
7+++=x x x x f ，则均差=]2,,2,2[810 f .
4.取步长2.0=h ,用Euler 法求解初值问题x y y +-=',1)0(=y ,10≤≤x 的迭代格式为________.
二、计算题
1. 当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
2. 确定求积公式101()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
3. 设线性方程组b X =A 的系数矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a A 232131 试求能使Jacobi 迭代收敛的a 的取值范围。
4. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解初值问题)10(<<+='x y x y ,1)0(=y 的计算公式,并计算出1y 的近似值.(精确到小数点后四位)。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】数值分析试题一、 填空题（2 0×2′） 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
09下数值分析答案(A)
《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。
---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。
--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。
--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析课后题答案
数值分析 第二章2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =为互异节点，求证：（1）0()nkkj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =（2）0()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1） 令()kf x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nk n j j j L x x l x ==∑。
插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=0()nk kj j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又 由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。
答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。
答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。
答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。
数值分析习题及答案解析
数值分析习题及答案解析第⼀章绪论习题⼀1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满⾜，⽽，故即2.下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似值，试指出它们有⼏位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才⽐较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利⽤：式计算误差最⼩。
四个选项：第⼆、三章插值与函数逼近习题⼆、三1. 给定的数值表⽤线性插值与⼆次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使⽤n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应⽤误差估计（5.8）。
线性插值时，⽤0.5及0.6两点，⽤Newton插值误差限，因，故⼆次插值时，⽤0.5，0.6，0.7三点，作⼆次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若⽤⼆次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：⽤误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这⾥p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有⽽当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并⽤均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表⽤Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，⽤n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时⽤Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这⾥仍为0.5658．求⼀个次数不⾼于四次的多项式p(x),使它满⾜解：这种题⽬可以有很多⽅法去做，但应以简单为宜。
数值分析整理版试题及答案
例1、已知函数表求的解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为例2、设，，试求在［0，1］上关于，的最佳平方逼近多项式。
解：若，则，，且,这样，有所以，法方程为，经过消元得再回代解该方程，得到，故,所求最佳平方逼近多项式为例3、设,，试求在[0, 1］上关于,的最佳平方逼近多项式。
解：若,则,,这样,有所以，法方程为解法方程,得到，，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用的复合梯形和复合辛普森公式计算积分。
解：（1）用的复合梯形公式由于，，，所以，有(2）用的复合辛普森公式由于，，，，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元再回代，得到，，所以,线性方程组的解为，，例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解:设则由的对应元素相等,有，，，，，,，，因此，解,即，得,,解，即,得，,所以，线性方程组的解为，，１、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。
（）２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
（）3、形如的高斯（Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
（）４、矩阵的２－范数＝９。
（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。
(用）（）6、设,，且有（单位阵)，则有。
（)7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。
（)1、（Ⅹ) 2、（∨）3、（Ⅹ) 4、(∨）5、( Ⅹ）6、（∨)7、（Ⅹ) 8、( Ⅹ）一、判断题（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。
( ×)2、解非线性方程f(x）=0的牛顿迭代法在单根x＊附近是平方收敛的。
( √)3、若A为n阶方阵,且其元素满足不等式则解线性方程组AX＝b的高斯-—塞德尔迭代法一定收敛。
（×) 4、样条插值一种分段插值。
（√）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
数值分析参考答案
数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。
数值分析第九章习题
答案解析
难度：简单。
解析：利用已知的函数性质，我们可以直接求得$x = frac{1}{2}$。
答案解析
难度：中等。 解析：通过观察函数的图像，我们可以得出$x = -1$。
难度：简单。
05
总结与展望
本章总结
01
02
03
内容回顾
详细总结了第九章的主要 知识点，包括数值逼近、 插值方法、样条函数、数 值积分和微分等。
重点难点解析
对第九章中的重点和难点 进行了深入的解析，帮助 学生更好地理解和掌握相 关内容。
例题解析
选取了具有代表性的例题， 进行了详细的解答和解析， 帮助学生掌握解题方法和 技巧。
迭代法的关键在于选择合适的迭代公式和迭代初值，以保证迭代过程的收敛性和稳 定性。
常见的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。
解题技巧二：矩阵分解
矩阵分解是将一个复杂矩阵分解 为几个简单的、易于处理的矩阵，
从而简化数值计算过程。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、 QR分解和SVD分解等。
习题四解析
总结词
矩阵的特征值和特征向量
详细描述
该习题主要介绍了矩阵的特征值和特征向量的基本概念和计算方法，包括特征多项式、特征值和特征 向量的计算以及特征值的性质。通过该习题的解析，可以更好地理解矩阵的特征值和特征向量的基本 原理和应用。
03
解题技巧总结
解题技巧一：迭代法
迭代法是一种通过不断逼近解的方法，适用于求解线性方程组、非线性方程组以及 优化问题。
习题二解析
总结词
数值积分方法
详细描述
该习题主要介绍了数值积分的基本概念和方法，包括复化梯形公式、复化 Simpson公式和复化Cotes公式。通过比较不同方法的精度和稳定性，可以更好 地理解数值积分的基本原理和应用。
高等工程数学题091数值分析部分
数值分析（计算方法）部分一． （8分）求一个次数不高于3的多项式)(x f ，使它满足：(1)1,(0)0,f f -==(1)1,(2)16,f f ==，并求差商[2,1,0,2]f --的值。
解：商差表：-1 1 0 0 -111112 16 15 7 2∴ f(x)=1-(x+1)+x(x+1)+2(x+1)x(x-1)=2x 3+x 2-2x∴ (3)f()23!f [2,1,0,2]23!3!ξ⨯--===二．（10分）用迭代法求解方程：2ln 40x x --=的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到610-的近似根）。
解：设f(x)=x 2-lnx-4，显然x>0 f ’(x)=2x-1/x ，故f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增又x →0+时 f(x)→-4，f(2)=1/2-ln2-4<0∴x ∈(0,2)时f(x)<0又x →+∞时 f(x)→+∞∴方程有且仅有一个实根x *，并且x *∈(2,+∞)容易计算出，f(2)=-ln2<0，f(3)=5-ln3>0∴方程有且仅有一个实根x *，并且x *∈(2,3) 选用Neuton 迭代法2k k k k 1k k k k kf (x )x ln x 4x x x 1f '(x )2x x +--=-=--(k=0,1,2,……)它在单根x *附近至少平方收敛 计算，选取x 0=2x 1=2.1980421，x 2=2.1869229，x 3=2.1868881，x4=2.1868881 精确到10-6的近似根为2.186888三．（12分）1．用列主元素法解方程组： 123422351121242532713230x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2．写出用 G auss Seidel - 迭代法求解线性方程组1231231232231242122316x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩ 的迭代格式，并讨论其收敛性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值分析（计算方法）部分
一． （8分）求一个次数不高于3的多项式)(x f ，使它满足：(1)1,(0)0,f f -==
(1)1,(2)16,f f ==，并求差商[2,1,0,2]f --的值。
解：
商差表：-1 1 0 0 -1
1
1
1
1
2 16 15 7 2
∴ f(x)=1-(x+1)+x(x+1)+2(x+1)x(x-1)=2x 3+x 2-2x
∴ (3)
f
()
23!f [2,1,0,2]23!
3!
ξ⨯--==
=
二．（10分）用迭代法求解方程：2
ln 40x x --=的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到610-的近似根）。
解：设f(x)=x 2-lnx-4，显然x>0 f ’(x)=2x-1/x ，故f(x)在
(0,
2)上单调递减，在
(
2
,+∞)上单调递增
又x →0+时 f(x)→-4，
f(2
)=1/2-ln
2
-4<0
∴x ∈
(0,
2
)时f(x)<0
又x →+∞时 f(x)→+∞
∴方程有且仅有一个实根x *
，并且x *
∈
(
2
,+∞)
容易计算出，f(2)=-ln2<0，f(3)=5-ln3>0
∴方程有且仅有一个实根x *，并且x *∈(2,3) 选用Neuton 迭代法
2
k k k k 1k k k k k
f (x )x ln x 4x x x 1f '(x )
2x x +--=-
=-
-
(k=0,1,2,……)
它在单根x *
附近至少平方收敛 计算，选取x 0=2
x 1=2.1980421，x 2=2.1869229，x 3=2.1868881，x4=2.1868881 精确到10-6的近似根为2.186888
三．（12分）
1．用列主元素法解方程组： 1
2
3
4
2
235112124253271
3
2
30x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 2．写出用 G auss Seidel - 迭代法求解线性方程组
1231231
2322312
42122316
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-++=⎨⎪++=⎩ 的迭代格式，并讨论其收敛性。
解：1. 对方程组的增广矩阵施行如下初等行变换
2
2351121241
21241212422351025172532725327011211323
01323
001
1
5
4-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪
⎪
⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
121241
2124011210112102517003390115
40
003
3--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪
⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭
∴ 原方程组同解于1234234344x 2x x 2x 4x x 2x 13x 3x 93x 3++-=⎧⎪++=-⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 回代得123
4
x 2x 1
x 2x 1=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩
2. G-S 迭代格式为
(k 1)(k )(k )
123(k 1)(k 1)(k )
2
13(k 1)(k 1)(k 1)3
121x (122x 3x )21x (124x x )21x (16x 2x )3++++++⎧=---⎪⎪
⎪=+-⎨⎪
⎪=--⎪⎩
(k=0,1,2,……) 其迭代矩阵B S =(D-L)-1U
∴ 方程|λI-B S |=0同解于|λD-λL-U|=0
即 223421023λ
λ
λλ
λ
λ
--= 即 3
2
12220λλλ--+=
∴ 123110,,3
2
λλλ===-
∴ 1()12
s B ρ=
<
∴ G-S 迭代法收敛
四．（12分）
1．求系数210,,A A A ，
使数值公式：10121
()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰
的
代数精度尽量高，并求其最高的代数精度。
2．用Romberg 算法求积分0
cos x
I e xdx π
=⎰
的近似值。
（精确到610-）
解：1. f(x)=1时，左=
11
1dx -⎰
=2，右=A 0+A 1+A 2，即A 0+A 1+A 2=2 (1)
f(x)=x 时，左=
11xdx -⎰
=0，右
=-A 0
+2，即A 0-A 2=0 (2)
f(x)=x 2
时，左=
12
1
x dx -⎰
=2/3，右=2A 0/3+2A 2/3，即A 0+A 2=1 (3)
由(1)(2)(3)式解得 0121A 2A 11A 2⎧
=⎪⎪
=⎨⎪⎪=
⎩
取f(x)=x 3
时，左=
13
1
x dx -⎰=0，右
3
3/2=0=左
取f(x)=x 4
时，左=
14
1
x dx -⎰
=2/5，右
)4
)4/2=4/9≠左
∴ 取A 0=1/2，A 1=1，A 2=1/2，有最高的代数精度，为3
2.
812142142116842T 34.77851866T 17.38925933S 11.59283955T 13.33602285S 11.98494402C 12.01108432T 12.38216243S 12.06420896C 12.06949329R 12.07042041T 12.14800410S 12.06995132C 12.07033415R ≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-≈-32168412.07034749T 12.08974212
S 12.07032146
C 12.07034613
R 12.07034632
≈-≈-≈-≈- ∴ 0
cos 12.070346=≈-⎰
x
I e xdx π
五．（8分）用改进的Euler 法（预报—校正公式）计算积分：
2
x
t
y e
dt
-=
⎰
在0.5,0.75,1x =时的近似值。
（取步长0.25,h =小数点后至少保留6位） 解：2
x
t
y e
dt -=
⎰
2
1-=-x
dy e
dx
x=0时，显然y=0
预报—校正公式为： 2
k 2
2k k 1
x k 1
k x x k 1k y y h (e 1)h y y e 1e 12
+-+--+⎧=+-⎪
⎨⎡⎤=+-+-⎪⎣⎦⎩。