北师大 数学必修2解析几何初步 第2.2节 圆的一般方程
2.2.2圆的一般方程 教案 (高中数学必修二北师大版)
2．2圆的一般方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程；(2)了解二元一次方程表示圆的条件；(3)会将一般方程化为标准方程．2．过程与方法通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．3．情感态度与价值观渗透数形结合，化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生大胆创新、勇于探索．●重点难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化．难点：对圆的一般方程的应用．通过圆的两种形式的互化，加强对圆方程的理解．(教师用书独具)●教学建议本节是学习了圆的标准方程后，继续对圆的方程的学习，教学时可以把圆的标准方程展开得圆的一般方程，然后把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程化为圆的标准方程，注意指出圆心、半径以及表示圆的充要条件，让学生学会探索发现．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生对圆的标准方程和一般方程的互化，进一步认识圆的方程⇒通过例1及变式训练，使学生掌握二元二次方程是否表示圆的条件⇒通过例2及互动探究，使学生掌握如何求圆的一般方程⇒通过例3及变式训练，使学生掌握圆一般方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？【提示】方程可配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．1．圆的一般方程的定义当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程．22心和半径．【思路探究】 解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．【自主解答】 法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，表示圆的方程．此时圆心(2m ，－m )，半径r ＝5|m －2|.1．对于二元二次方程中变量含参数的，在求解时，常结合分类讨论的思想分析方程反映的曲线特征．2．解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x 2与y 2的系数是否相等；②不含xy 项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看D 2＋E 2－4F ＞0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．判断下列二元二次方程能否表示圆，若能，求出圆心、半径． (1)x 2＋y 2－x ＋y ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋a 2＝0.【解】 (1)原方程可化为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12，故能表示圆，圆心(12，－12)半径22.(2)原方程可化为(x ＋a )2＋(y －a )2＝a 2， 当a ＝0时表示一个点； 当a ≠0时表示圆，此时圆心(－a ，a )，半径为|a |.(1)△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,5)、B (－2，－2)、C (5,5)，求其外接圆的方程； (2)已知点A (0,2)，B (4,0)，求过点A 、B 及原点O 的圆的方程．【思路探究】 由于所给的条件与圆心和半径无直接关系，可以利用圆的一般方程，用待定系数法求解．【自主解答】 (1)设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题设得方程组{ －D ＋5E ＋F ＋26＝0 －2D －2E ＋F ＋8＝0 5D ＋5E ＋F ＋50＝0， 解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. (2)法一 设所求的圆的一般方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A ，B ，O 在圆上，有{ 2E ＋F ＋4＝0 4D ＋F ＋16＝0， F ＝0 解得{ D ＝－4 E ＝－2. F ＝0所以所求圆的方程是x 2＋y 2－4x －2y ＝0.法二 因为A ，B ，O 构成直角三角形，其外接圆的圆心应在斜边的中点上．∵A (0,2)，B (4,0)，∴M (2,1)．又AB ＝16＋4＝25，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.1．本题与圆心坐标和圆的半径没有关系，所以选用圆的一般式方程．本题也可利用△ABC 与外接圆的几何性质求解，即外接圆的圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，因此可先求其中两边的垂直平分线，其交点就是外接圆圆心，然后再求半径．2．求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．对于本例(1)，试用“外心是三角形三边的垂直平分线的交点”这个性质求解． 【解】 AB 边的垂直平分线的方程为：x ＋7y －9＝0， BC 边的垂直平分线的方程为：x ＋y －3＝0，由{ x ＋7y －9＝0 x ＋y －3＝0，得圆心坐标为(2,1)， ∴半径为[2－(－2)]2＋[1－(－2)]2＝5.所以△ABC 外接圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.C 的轨迹方程． 【思路探究】 设C (x ，y )根据条件列出等式即可． 【自主解答】 法一 设AB 中点为D ， 则D 点坐标为(1,0)，设C (x ，y )， ∵△ABC 为Rt △，∴|CD |＝12|AB |.即(x －1)2＋y 2＝12(3＋1)2＋0∴(x －1)2＋y 2＝4，又∵A 、B 、C 三点构成三角形，∴y ≠0.故直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． 法二 设直角顶点C (x ，y )， ∵AC ⊥BC ，A (－1,0)，B (3,0)， ∴k AC ·k BC ＝－1，∴y x ＋1×y x －3＝－1， ∴x 2＋y 2－2x －3＝0，又∵A 、B 、C 构成三角形，∴A 、B 、C 不共线．∴y ≠0.故所求直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0.(y ≠0)1．求轨迹方程的常用方法有直接法、代入法，要根据题目的条件，选用适当的求轨迹的方法．2．要注意验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点．已知P 是圆x 2＋y 2＝16上的动点，A (12,0)，M 为P A 的中点，求点M 的轨迹方程． 【解】 设M (x ，y )，∵A (12,0)，M 为P A 的中点， ∴P (2x －12,2y )．∵P 为圆x 2＋y 2＝16上的动点，∴(2x －12)2＋4y 2＝16，即(x －6)2＋y 2＝4.忽视二元二次方程表示圆的条件致误已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． 【错解】 ∵点A 在圆外，∴a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a ＞0， ∴a ＞2.【错因分析】 本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时，需D 2＋E 2－4F ＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．【防范措施】 二元二次方程表示圆时一定要注意其等价条件即D 2＋E 2－4F ＞0. 【正解】 ∵点A 在圆外，∴{ a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a ＞0， (－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )＞0，∴⎩⎨⎧a ＞2， a ＜94，即2＜a ＜94，∴a 的范围是2＜a ＜94.。
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
D E ,- ） 2 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2，表示一个点（ - 2 ,- 2 ）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以
不表示任何图形。
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2—4F>0）可表示圆的方程
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
(北师大)高中数学必修2课件：2.2.2圆的一般方程
必修2
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合作探究·课堂 互动
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2．2 圆的一般方程
数 学 第二章 解析几何初步
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数 学 第二章 解析几何初步
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[提示] 可以，但有一定条件． [问题4] 给出二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的标准方程确定成 立的条件？ [提示] 可以．
数 学 第二章 解析几何初步
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1．了解圆的一般方程的特点，熟练掌握圆的两种方程的互化． 2．会根据已知条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题． 3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．
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解析： (1)∵D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，
∴方程 x2＋y2＋x＋1＝0 不表示任何图形；
Hale Waihona Puke (2)∵方程化为(x＋a)2＋y2＝0，
∴x＝－a，y＝0，
∴方程 x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)表示一个点(－a,0)．
a a 1 (3)∵方程可以化为x＋22＋y－22＝2a2，且 a≠0，
[思路探究] 解答本题可直接利用 D2＋E2－4F＞0 是否成立来判断，也可把 左端配方，看右端是否为大于零的常数．
数 学 第二章 解析几何初步
北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章 解析几何初步 §2 22 含解析
第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程课时跟踪检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案：D2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3 解析：－D 2＝－2，则D ＝4；－E 2＝3，则E ＝－6；此时方程为x 2＋y 2＋4x －6y ＋F ＝0.12 42＋(－6)2－4F ＝4，则F ＝－3.答案：D3．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．6C ．±2D ．2解析：两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，C 2(0,0)． ∵两圆关于直线x －y －1＝0对称．∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－12在直线x －y －1＝0上．∴a 4＋12－1＝0，a ＝2.答案：D4．如果圆的方程为x 2＋ y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：R 2＝k 2＋4－4k 24＝4－3k 24. 当k 2＝0时，R 2最大，面积也最大．此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，圆心为(0，－1)．答案：D5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜0，2a ＞0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＞2.答案：D 6．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 与b 的值分别为( )A ．k ＝－2，b ＝5B ．k ＝2，b ＝5C ．k ＝2，b ＝－5D ．k ＝－2，b ＝－5解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，∵两圆关于直线y ＝kx ＋b 对称，∴2－0－4－0×k ＝－1，∴k ＝2. 又∵两圆心连线的中点在直线上，∴－2k ＋b ＝1，∴b ＝5.答案：B二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－28．圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为______________________________________________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.答案：x ＋y －4＝09．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆心在x 轴上，∴－E 2＝0，则E ＝0.此时圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52＋12＋5D ＋F ＝0，12＋32＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，F ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.答案：x 2＋y 2－4x －6＝0三、解答题10．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－2＝0.即⎩⎨⎧ D －E ＋F ＝－2，－D ＋E ＋F ＝－2，D ＋E ＝－4.∴⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解：(1)因为方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0，所以(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0.所以23t >－9，即t >－332.(2)圆x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0的标准式方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋t 22＝(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)4， 由条件知，圆的半径是3，所以3＝12 (3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).所以23t ＋9＝36.所以t ＝932>－323，所以t ＝932.12．已知一圆过点P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆与y 轴的交点为A (0，m )，B (0，n )，令x ＝0，则y 2＋Ey ＋F ＝0，所以m 、n 是这个方程的根，且m ＋n ＝－E ，mn ＝F .所以|AB |2＝(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ＝E 2－4F ＝(43)2，故E 2－4F ＝48. ①又因为点P (4，－2)、Q (－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，且1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.即4D －2E ＋F ＋20＝0， ②－D ＋3E ＋F ＋10＝0. ③解①②③得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4. 因此圆的方程是x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.13．已知Rt △AOB 中|OB |＝3|AB |＝5，点P 是△AOB 内切圆上一点，求以|P A ||PB ||PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，设P (x ，y )，内切圆半径为r ，则有|OA |·r ＋|OB |·r ＋|AB |·r ＝|OA |·|OB |所以r ＝1.故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.②由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1.将其代入②，则有|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22，因为x ∈[0,2]，故|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PB |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， π4×22＝11π2，π4×18＝92π，所以所求面积之和的最大值为11π2，最小值为9π2.。
高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程222圆的一般方程课件北师大版必修2(2)
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表 示圆时，务必注意x2及y2的系数都为1.
【跟踪训练】 若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小， 则a=_________.
【对点训练】
1.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分
别为 ( )
A.(3，0)，8
B.(0，-3)，8
C.(0，3)，2 2
D.(3，0)，2 2
【解析】选C.因为x2+y2-6y+1=0，可化为x2+(y-3)2 =8，所以圆心为(0，3)，半径为2 2 .
2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是
【跟踪训练】
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为
半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，8，-4
B.-4，8，4
C.8，-4，16
D.4，-8，16
【解析】选B.由已知，圆的标准方程为(x-2)2 +(y+4)2=16， 展开得一般方程x2+y2-4x+8y+4=0， 比较系数知，D，E，F分别为-4，8，4，故选B.
(-2，-4)，半径为5；当a=2时，方程为
4x2+4y2+4x+8y+10=0(x ，即1)2y12不5表示圆.
2
4
答案：(-2，-4) 5
【方法总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判 断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程 可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示 圆.
北师大版高中数学必修二课件2.2圆的一般方程
1 D2 + E2 - 4F 为半径的圆. 2
（ 2 ） 当 D2 + E2 - 4F = 0 时 ， 方 程 (*) 只 有 一 个 实 数 解
x = - D , y = - E ，所以方程 (*) 表示一个点 (- D ,- E ) .
2
2
22
（3）当 D2 + E2 - 4F < 0时，方程 (*) 没有实数解，所以方程 (*) 不
1.掌握圆的一般方程，会由圆的一般方程确定圆的 圆心、半径．（重点） 2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准 方程,会用待定系数法求圆的方程.（重点、难点）
探究点圆的一般方程
将圆的标准方程 (x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 展开得 x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
表示任何图形.
圆的一般方程
方程 x2 y 2 Dx Ey F 0 (D 2 E 2 4F 0)
称为圆的一般方程.
圆心为,半(径D ,为 E )
22
1 D2 E2 4F. 2
思考:圆的一般方程与圆的标准方程的不同与特点?
提示：(1)形式不同：(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0） (2)圆的一般方程的特点: (a)x2,y2的系数为1 (b)没有xy项 (c)D2+E2-4F＞0
不是圆
是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
总结：
方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 所表示的轨迹
北师大版 高中数学 必修二 2.2 圆的一般方程.ppt(共20张PPT)
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圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，
－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，
F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心 坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
方程 x2＋y2＋ Dx＋Ey ＋F＝0
条件
图形
D2＋E2－4F>0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示以 为圆心， 1 D2＋E2－4F 以2 为半径的圆
1．圆的一般方程与标准方程可以互化
形式
转化
标准方程
一般方程
对应关系
D＝－，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2
形式 圆心 半径
标准方程 (a，b) r
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ 5|m－2|.
[一点通]
解决这种类型的题目，一般先看这个方
北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》2.2《圆与圆的方程(4)》教案
第四课时 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系。
2、过程与方法：设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含。
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。
二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学方法：学导式 四、教学过程
圆与圆的位置关系有几类？
生利用“图形”求，对这些学生应
用代数的方法来解决几何问题．
指出两圆的交点，可以
引导学生讨论、交流，说出各
自
页的练习题．生：阅读教科书的例
程相减，
组：五、教后反思：。
【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
2 2
2
2
（1）当
D E 4F 0
2 2
时，表示圆，
D E 4F
2 2
E D 圆心 - , 2 2
r
2
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
E D - , 2 2
D E 4F 0
2 2
时，不表示任何图形
8
2
8E F 0
D 6, E 8， F 0.
所求圆的方程为：
2 y2 6x 8y 0 x
若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
设方程为
2 2 2
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
( x a ) ( y b) r
2 2
(或x y Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
.
.
（-1，0）
O
.
A(3,0)
x
[简单的思考与应用] (1)已知圆 x 2 y 2 Dx Ey F 0 的圆心坐标为 (-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 (D)
( A ) 4 , 6 ,3
( B ) 4 , 6 ,3 ( C ) 4 , 6 , 3
( D ) 4, 6, 3
江西省萍乡市高中数学第二章解析几何初步2.2.2圆的一般方程课件北师大版必修2
,半径为
1 r= 2
������2 + ������2 -4������ .
名师点拨1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆,当且仅当 D2+E2-4F>0时表示圆,当D2+E2-4F=0时表示一个点,当D2+E2-4F<0 时不表示任何图形. 2.圆的一般方程的特点 (1)x2和y2的系数相等且不为0; (2)没有xy这样的二次项; (3)满足D2+E2-4F>0.
题型一
题型二
题型三
解:方法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0, 可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. 因此,当m=2时,原方程表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆. 此时,圆的圆心为点(2m,-m),
1 (2)将 x +y -2x+y+ =0 配方 ,得 (x-1)2+ 4 1 故圆心坐标为 1,- ,半径为 1. 2
2 2
������ +
1 2 =1. 2
题型一
题型二
题型三
题型二
圆的方程的判断
【例2】 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆,若能 表示圆,求出圆心坐标和半径. 分析:解答本题可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把 左端配方,看右端是否为大于零的常数.
0 2 -4 2
∴圆心坐标为(0,2),
1 02 + (-4 )2 -4 × 2 2������ 0 (2)∵- =-a,- =0, 2 2
北师大版必修2高中数学第二章解析几何初步2圆与圆的方程第2课时圆的一般方程课件课件
．
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程 不表示任何图形 ．
[问题思考]
1．方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？
提示：此方程不表示圆的一般方程． ∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0. ∴此方程不表示任何图形．
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么 条件？ 提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0； ③D2＋E2－4AF>0.
讲一讲 2.已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)， C(－3,5)，求这个三角形外接圆的方程．
待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方 程，再根据条件列出方程组求出未知数D，E，F，当已知条件 与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法．
练一练 2．求过点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程．
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的范围是( ) A．0＜m＜1 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
解析：方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆， 须42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1. 答案：D
3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的 方程为( ) A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
第2课时 圆的一般方程
[核心必知]
1．圆的一般方程的定义 当 D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以
为圆心，
以
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2.2 圆的一般方程【5分钟训练】1.方程220x y Dx Ey F ++++=,(1) 当 时,方程表示以一个点 ;(2) 当 时,方程无实数解, 因而它不表示任何图形;(3) 当 时,方程表示以 为圆心, 为半径的圆.将方程220x y Dx Ey F ++++= (2240D E F +->)叫做圆的一般方程.答案:(1) 2240D E F +-= (,22D E --) ; (2) 2240D E F +-<;(3)2240D E F +-> (,22D E --)2.比较二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=,可以得出如下结论,满足以下三个条件:(1)2x 、2y 的系数相同且不等于零,即 ; (2)不含xy 项,即 ;(3) 时,这样的二元二次方程表示一个圆. 答案: (1)A C = ; (2)0B =; (3) 2240D E AF +->. 3.方程064222=--++y x y x 表示的图形是( )A.以(1，-2)为圆心，11为半径的圆 Ｂ.以(1，2)为圆心，11为半径的圆 Ｃ.以(-1，-2)为圆心，11为半径的圆 Ｄ.以(-1，2)为圆心，11为半径的圆答案:D解析: 064222=--++y x y x 22(1)(2)11x y ⇒++-=, 故应选D. 4. 若02)1(22=++-++λλλy x y x 表示圆，则λ的取值范围是( ) A.λ＞0 Ｂ.51≤λ≤１ Ｃ.λ＞1或λ＜51Ｄ.λ∈R 答案:C解析: 由22(1)(2)40λλλ-+->解得λ＞1或λ＜51, 故应选C. 5. 过圆034622=-+-+y x y x 的圆心 ，且平行于x +2y +11=0的直线方程是 . 答案: x +2y +1=0解析: 由034622=-+-+y x y x 得, 22(3)(2)16x y -++=,得圆心为(3,-2),由过点(3,-2)与直线x +2y +11=0平行的直线为x +2y =3+2×(-2)= -1, 即为x +2y +1=0 .【10分钟训练】1. 圆x ２+y ２-4x +6 y +11＝0的圆心和半径分别是( )A.(2,-3)、2 Ｂ.(2，-3)、2 Ｃ.(-2,3)、1 Ｄ.(-2,3)、2 答案:A解析: 圆(x -2)２+(y +3)２＝２的圆心为(2，-3),半径为2,故应选A.2.(2006北京东城,7）圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切,则该圆的方程是( )A.22100x y y ++=B.22100x y y +-=C. 22100x y x ++=D.22100x y x +-= 答案:B解析: 设圆心为(0,)m ,则||5m m ⇒=,则圆的方程为22(5)25x y +-=,即22100x y y +-=,故选B.3.(2006重庆模拟,6)圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为( )A. 2B.C. 1D.答案:D解析: 已知圆的圆心是(1,-2),到直线1x y -===故应选D.4. 过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是 .答案: （x -1）２+(y -1)２=1或(x -5)２+(y -5)２=25解析: 由r =｜a ｜=｜b ｜可得圆方程为（x -1）２+(y -1)２=1或(x -5)２+(y -5)２=255. 直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x 2+y 2=25上，则k 的值是_____. 答案: ±1解析: 由⎩⎨⎧=--=--032022k y x k y x ,得⎩⎨⎧-=-=k y kx 34,∵交点(－4k ,－3k )在圆x 2+y 2=25上，∴(－4k )2+(－3k )2=25,∴k =±1.6.已知过(0,1)A 和(4,)B a 且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值，及此时圆的方程. 解: 因为圆与x 轴相切，故可设所求圆的方程为：222()()x m y n n -+-=, 将A 、B两点的坐标代入得：222120,81620,m n m m a an ⎧+-=⎪⎨-++-=⎪⎩消去n 得：22(1)8160,(1)a m m a a --+-+=由题意知：方程（1）只有一个解.（I ）当10a -=时，方程（1）只有一个解，即1a =时，2m =，此时52n =，所求方程为：22255(2)()()22x y -+-=;（II ）当10a -≠时，即1a ≠时，方程（1）是关于m 的一元二次方程，由2644(1)(16)0a a a ∆=---+=得：0a =，此时174,2m n ==, 所求圆的方程为：2221717(4)()()22x y -+-= .7. 求过三点O （0，0），M （1，1），N （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解: 设所求的圆的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0∵O 、M 、N 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D 、E 、F 的三元一次方程组，即0,20,42200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解此方程组，可得：F=0,D=-8,E=6. ∴所求圆的方程为：x 2+y 2-8x +6y =0 ,由r =F E D 42122-+,得r =5. 由32,42-=-=-FD , 得圆心坐标为（4，-3）. 8. 求下列条件所决定的圆的方程:(1)已知圆过两点A (3，1)、B (-1，3)，且它的圆心在直线3x -y -2=0上； (2)经过三点A (1，-1)、B (1，4)、C (4，-2). 解: (1)设所求圆的圆心为C (a ,b )，∵｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜＝ｒ，点C 在直线3x -y -2=0上，∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=---++=-+-42023)3()1()1()3(2222b a b a b a b a .10)1()3(22=-+-==b a CA r∴所求圆的方程是(x -2)２+(y -4)２=10.(2)设圆的方程为x ２+y ２+D x +E y +F =0,将A 、B 、C 三点坐标代入，整理得2,7,417,3,4220, 2.D E F D D E F E D E F F -+=-=-⎧⎧⎪⎪++=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-+=-=⎩⎩ 所求圆的方程为x ２+y ２-7x -3y +2=0.【30分钟训练】1. 当a 取不同的实数时，由方程x 2+y 2+2ax +2ay －1=0可以得到不同的圆，则( ) A ．这些圆的圆心都在直线y =x 上 B ．这些圆的圆心都在直线y =－x 上C ．这些圆的圆心都在直线y =x 或在直线y =－x 上D ．这些圆的圆心不在直线上 答案: 解析:A 2.x答案:A 3.答案:A4. (2006湖南高考文,9)圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B . 18 C. 26 D . 25 答案:C解析: 已知圆222(2)(2)x y -+-=的圆心为(2,2),半径为3, 其到直线014=-+y x的距离d==∴圆上点到直线的最大距离为,最小距离为其差为26, 故应选C.5. （2005广东模拟,10）如右图,定圆半径为圆心为( b ,c ), 则直线ax +by +c =0与 直线 x –y +1=0的交点在( )A. 第四象限B. 第三象限C.第二象限D. 第一象限答案:B解析: 如图所示, ∵定圆半径为a , ∴0a >, 又由图可知0,0,||b c a c b a <>>>且,从而||b c >, 易求得直 线0ax by c ++=与直线10x y -+=有交点为(,)b c a ca b a b+--++, ∵0,0b c a ca b a b+--<<++ , ∴交点在第三象限,故应选B. 6.O xyC答案:C 7.答案:B 解析:8.（2007合肥模拟,13）已知圆心在x 轴上，半径是5且以A (5，4)为中点的弦长是25，则这个圆的方程是 .答案: (x -3)２+y 2=25或(x -7)２+y ２=25解析: 设圆心坐标为(a ,0),则由已知可得22(5)4525a -++=,解得3a =或7a =,故所求圆的方程为(x -3)２+y 2=25或(x -7)２+y ２=25.9.（2006合肥模拟,7）若(,)P x y 在圆22430x y x +++=上, 则yx的取值范围是( ) A. 3[ B. 33[ C. 3[ D. 3(,-∞ 答案:解析: ∵22(2)1x y ++= , ∴圆心C(-2,0), 半径1r =,设yk x=, 则0kx y -=, 211k =+, 33k =±, ∴33[]33k ∈-. 故应选B.10.（2006乳山市期中,14）已知A 点是圆222460x y ax y +-+-=于直线210x y ++=的对称点也在圆上,那么实数a 等于 .答案:3解析: 由题意直线210x y ++=通过圆心(a ,-2),即2(2)10a +⨯-+=,故3a =. 11.解:∴所求的圆方程为222230x y x y ++--=.12.解:设点M(,x y ),则点P 坐标为(212,2)x y -, ∵点P 在圆2216x y +=上,∴22(212)(2)16x y -+=, 即得22(6)4x y -+=. ∴PA 中点的轨迹是以点(6,0)为圆心,2为半径的圆.13.解:14. 如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨 度AB =20 m ，拱高OP =4 m ，在建造时每隔4 m 需用一个支 柱支撑，求支柱A 2P 2的高度.（精确到0.01 m ）.解: 如图所示,建立坐标系，圆心在y 轴上，设圆心的坐标是(0,b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2.∵P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得：b=-10.5,r 2=14.52 ∴圆方程为：x 2+(y +10.5)2=14.52.把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程，得（x -2）2+（y +10.5)2=14.52,∵P 2的纵坐标y ＞0 ,∴y +10.5=22)2(5.14--即y =22)2(5.14---10.5≈14.36-10.5=3.86 (m)答：支柱A 2P 2的高度约为3.86 m .15. 已知一曲线是与两个定点O （0，0）、A （3，0）距离的比为21的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解: 如图所示,在给定的坐标系里，设点M （x ,y )是 曲线上的任意一点，也就是点M 属于集合P ={M ｜21=AMOM }. 即21)3(2222=+-+y x y x , 得41)3(2222=+-+y x y x . 整理得：x 2+y 2+2x -3=0 , 所求曲线方程即为：x 2+y 2+2x -3=0.将其左边配方，得(x +1)2+y 2=4.∴此曲线是以点C （-1，0）为圆心，2为半径的圆.如图所示.。