【新课标人教A版必修四】高中数学“学考复习”模块过关专题讲座练习：第七讲 平面向量的概念与几何意义
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专 题 归 纳第二十五页，编辑于星解期一读：点 高十一分考。
7．(2011·重庆高考)设 a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋ cos2π2－x满足 f－π3＝f(0)，求函数 f(x)在4π，1214π上的最大值和 最小值． 解 f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝a2sin 2x－cos 2x. 由 f－π3＝f(0)得－ 23·a2＋12＝－1， 解得 a＝2 3. 因此 f(x)＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π6.
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专 题 归 纳第十八页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
命题趋势 本章内容虽然公式多，公式的变式、方法技巧多，但是公式间 的逻辑性较强，规律及变换原则较明确，通过近三年的高考看， 常以选择题、填空题和解答题的形式出现，其中小题往往单纯 考查三角函数式的变换、求值或化简，充分利用了两角和与差 的正、余弦公式和正切公式，以及倍角公式．大题则多与向量 相结合命题或利用化简后的结果再考查有关三角函数的性质， 题目难度以中、低档为主．
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专 题 归 纳第五页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
专题一 给值求值 给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法 是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决 此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间 角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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专 题 归 纳第七页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
∴1＋sinco4sα2α＝21s＋in12＋α·cc2ooss 22αα＝2×1－＋213＋2213×13 ＝－4152.
人教版高一数学A必修4全册例题讲解及练习题(71页)
（2）设人在距离标语 xm 处，则 x = l » 5 » 3439 (m) ，故视力正常的人，能在约 3439m 远处
a 0.001454 看清长宽均为 5m 的大字标语.
【例 4】已知扇形的面积为 S ，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值.
解法 1：设扇形的半径为 R ，弧长为 l ，由 S = 1 lR ，得 l = 2S ，
8 §1.5 函数 y = Asin (w x + j ) 的图像……………（15）
9 §1.6 三角函数模型的简单运用………………（17） 10 第一章 三角函数 复习………………………（19）
11 §2.1 向量的物理背景与概念、几何表示……（21） 12 §2.1.3 相等向量与共线向量…………………（23） 13 §2.2 向量的加减法运算及其几何意义………（25） 14 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义………………（27） 15 §2.3 平面向量基本定理及坐标表示…………（29） 16 §2.3.3 平面向量的坐标运算……………………（31）
{ } 引申： 终边在坐标轴上的角的集合 a a = k × 90o , k Î Z ；终边在 y = x 上的角的集合
{ } { } a a = 45o + k ×180o ,k Î Z
；终边在 y = ± x 上的角的集合
a
a
= 45o
o
+ k × 90 , k Î Z
.
【例 3】如果角a 与角q + 45o 具有同一条终边，角 b 与角q - 45o 具有同一条终边，那么a 与 b 的关
23 §3.1.1 两角差的余弦公式……………………（45） 24 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(1)…（47） 25 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(2)…（49） 26 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(1)………（51） 27 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(2)………（53） 28 §3.1.3 简单的三角恒等变换…………………（55） 29 第三章 三角恒等变换 复习…………………（57）
高一数学(必修4)学业水平复习
4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的对称中心 和对称轴方程
对 称 轴 ： ω =xk++2
2k+-2 x= 2ω
k-
对 称 中 心 ω:,0
k为整数
2、函数 yAsi nx ()的图象（A>0, >0 )
第一种变换: 图象向左( 0 ) 或
ysinx 向右( 0 ) 平移| | 个单位 ysinx()
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
( , )
2、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与x轴的非负半轴 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
3、象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。
注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。
法一：五点法
列表取值方法：是先对ωx+φ取 0，π/2，π，3π/2，2π
法二：图象变换法 2、y=Asin(ωx+φ)关于 A、ω、φ的三种变换
（1）振幅变换（对A） （2）周期变换（对ω） （3）相位变换（对φ）
3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法
1、先由图象确定A与T 2
2、由ω=T 求ω 3、特殊点代入法求
4、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：
S {| k 3 6 0 ,k Z } （角度制）
{| 2 k,k Z }（弧度制）
例1、求在 0 到 3 6 0 （ 0到2 ）范围内，与下列各角终边相同的角
（ 1） 、 9 5 0 1 2 （ Nhomakorabea2）
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专 题 归 纳 解 读 高 考 第二十五页，编辑于星期一：点 十一分。
(3)由 y＝sin2x－34π，可得如下表中数据.
x0
π 3π 5π 7π 8 888
π
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图所示．
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专 题 归 纳 解 读 高 考 第二十六页，编辑于星期一：点 十一分。
(2)把 y＝sin x 向左平移6π个单位得到 y＝sinx＋6π，然后纵坐标 保持不变、横坐标缩短为原来的12， 得到 y＝sin2x＋6π，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得 到 y＝12sin2x＋6π，最后把函数 y＝12sin2x＋π6的图象向下平移 1 个单位，得到 y＝12sin2x＋6π－1 的图象．
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专 题 归 纳 解 读 第十八页，编辑于星期一：点 十高一分。考
(3)由已知函数图象求函数 y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式 时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值 确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定 φ， 但由图象求得的 y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不是 唯一的，只有限定 φ 的取值范围，才能得出唯一的解，否则 φ 的值不确定，解析式也就不唯一．
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专 题 归 纳 解 读 第十九页，编辑于星期一：点 十高一分。考
【例 3】 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π2) 的一段图象． (1)求此函数解析式； (2)分析一下该函数是如何通过 y＝sin x 变换得来的？
新课标高中数学人教A版必修四教材解读4
新课标高中数学人教A版必修四教材解读4尤溪第一中学罗世卿四、教学内容分析第三章三角恒等变换课程标准内容：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）知识结构：3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时安排：建议本节4课时第1课时:两角差的余弦公式；第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式；第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式；第4课时:公式的综合运用.教学要求：基本要求。
①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性；②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路；③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式；④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。
发展要求。
①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。
②理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。
③能对公式进行简单的逆用。
说明。
①控制好拆分角度的难度。
②题型的变化不宜过多。
重点难点：重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探索和证明。
教学建议：教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手，采用实验探究、交流讨论等方式进行教学，可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，，的正弦、余弦值的等量关系。
教学时应当注意下面四个要点：①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系,为向量方法的运用做好准备；③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。
新课标人教A版数学必修四全册复习课件(共50张PPT)
()()()()的取值范围的夹角为钝角，求实数若的值求若求，已知k b a k k k a a 4223,422221,2,3b )2,1(-+-+--==5322)4,14(42)1(=-∴-=-a b a Q 13232,)6(4)421442)2()42,6(2)2(-=∴-=--=+∴-++-=+k k k k b a b a k k k b a k PQ135010)42(4)6(14,1042)2(42)2()42,6(2)3(-≠<∴-≠<+---≠<-⋅+∴-++-=+k k k k k k b a b a k b a b a k k k b a k 且且即且）（的夹角为钝角）与（且 ()()()()()()θθππθθθθθθθcos sin ,2,,51,02;cos sin 2sin ,0,21.,cos ,1,sin ,12+∈⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+∈==R ()()θθθθcos sin 0cos sin 0,21-=∴=+∴=+b a 21cos sin 2sin 1cos sin cos cos sin 2sin 22222-=+∴=+-=+∴θθθθθθθθθ 又251cos sin 2151cos sin =-∴=-θθθθ)23,(02524cos sin 2ππθθθ∈∴>=∴572549cos sin 21cos sin -=-=+-=+∴θθθθ()()()()()P )(tan ,2;26cos ,32)6(1,2,sin ,1,cos 2x f x f ba x f xb x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅===αππα()322)32sin()26cos(22632322)32sin(322)32sin()6(22sin 2cos sin 2)(1-=+=-∴=-++-=+∴=++=+∴+=+=⋅=πααππαππαπαπαπα）（又 f x x x x f 9213)(22tan sin cos 22)2(==∴=∴x f x x x ∥练习：2.分别写出满足下列条件的角的集合 （1）终边在y 轴上的角的集合（2）终边在象限角平分线上的角的集合 3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式4.写出终边在各图中阴影部分的角的集合已知一个扇形的周长是4cm ,面积为1cm 2， 则这个扇形的圆心角的弧度数为_____________练习．已知tan α=，求sin α.cos α1,求值：2,765 k k Z πα-∈1.把表示成+的形式，2απ≤<其中0547766 ππ--答案：=+{|,}2k k Z πααπ=+∈{|,}24k k Z ππαα=+∈1{|22,}665S k k k Z ππβπβπ=+≤≤+∈2{|22,}66S k k k Z ππβπβπ=-+≤<+∈355{|22,}66S k k k Z ππβπβπ=-+<<+∈2sin 3cos tan 3sin 4cos ααααα+=-(1)已知求221tan 3sin cos ααα=-(2)已知求22tan 3sin 3cos ααα=-(3)已知求2sin(1740)cos(1470)cos(660)sin 750tan 405-⋅+-⋅⋅ cos()sin 2119cos()sin()22πθπθθππθθ+-+（--）2.已知角终边上一点P （-4，3），求的值利用 ，求得ωπ2=Tω。
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专 题 归第纳五页，编辑于星期一解：点读九分。高 考
专题一 向量的共线问题 证明运用向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量 a、b(a≠0) 共线⇔存在唯一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量 a 与 b 共线⇔|a·b|＝|a||b|；(4) 向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的基线共线时，除满足定理的要求外，还应说 明此两基线有公共点．
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专 题 归第纳二十七页，编辑于星解期一读：点 九高分。考
7．(2011·安徽高考)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且
＝
1＋4×－12＋4＝ 3.
答案 B
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专 题 归第纳二十六页，编辑于星解期一读：点 九高分。考
6．(2010·湖南高考)若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0， 则 a 与 b 的夹角为( )． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析 0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos 〈a，b〉＋|b|2， ∵|a|＝|b|≠0， ∴2cos 〈a，b〉＋1＝0，cos 〈a，b〉＝－12，〈a，b〉＝120°. 答案 C
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专 题 归第纳十八页，编辑于星期解一：读点 九分高。 考
∴13－3t a＋tb＝14－4sb＋sa.
∴13t＝－143t－＝4ss
，解得st＝＝112311
.
故A→P＝131a＋121b.
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专 题 归第纳十九页，编辑于星期解一：读点 九分高。 考
命题趋势 向量作为一种工具，在解决平面几何、解析几何以及许多物理 问题中，都显示了其操作简单、运算方便、形象直观的优越性， 从近三年的高考试题来看，考查的热点在两个方面：一是对向 量的基本概念、基本运算的考查，二是突出考查向量的工具作 用，即运用向量知识解决平面几何、立体几何、三角、代数中 的综合问题．
人教版A版高中数学期末必修四专题总复习教案
专题1：三角函数定义及同角公式一、教学目标：1.知识目标：掌握三角函数的定义及同角公式。
2.能力目标：会用三角函数的定义及同角公式的综合应用。
3.领导型人才培养目标结合学生实际，从“人自身”（学生自身）出发，能够用运用本节知识解决有关实际问题，并能结合其他知识熟练应用，最终达到培养学生数学素养的能力。
4. 具体环节体现的领培目标：1) 提问环节——培养学生“创新、荣誉、责任、贡献“的精神。
2) 自主学习环节——培养学生“遵规、自强、梦想”的态度。
3) 学生展示环节——培养学生“自强、创新、友善、包容、遵规、贡献、荣誉”的积极心态。
二、教学重点：三角三角函数的定义及同角公式 三、教学难点： 同角公式灵活变通应用 四、教学用具：多媒体，教具。
五、过程设计：任务一：复习回顾三角函数定义及同角公式。
模块组合：1、教师提问，学生回顾展示。
2、教师点拨，学生总结记忆。
任务二：例题精讲模块组合：1、学生先做，教师抽典例精讲。
2、学生进行基础知识与方法梳理。
3、教师引领总结升华。
例题1：若角480α=︒的终边上有一点(),2a ，则a 的值是（ ）A ．BC ．3±D ．3-【答案】D例题2：若角α的终边在直线2y x =-上，则sin α等于（ ）A ．15±B ．±C ．D ．12±【答案】C例题3：求解下列各题. (1)已知1sin 2α=,且α为第一象限角,求cos α,tan α; (2)已知4cos 5α=-,且α为第三象限角,求sin α,tan α; (3)已知3tan 4α=-,且α为第四象限角,求sin α,cos α; (4)已知1sin 3α=,且α为第二象限角,求cos α,tan α.【答案】(1)cos α=,tan α=.(2)3sin 5α=-,3tan 4α=.(3)4cos 5α=,3sin 5α=-.(4)cos 3α=-,tan 4α=-. 例题4：已知tan 4α=-,求下列各式的值. (1)2sin α; (2)22cos sin αα-; (3)3sin cos αα;(4)4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+.【答案】(1)1617;(2)1517-;(3)1217-;(4)187.例题5：已知sin cos 5αα-=-,求tan α的值. 【答案】tan 2α=或12任务三：当堂检测模块组合：1、独立完成2、交叉批改3、教师评价1.已知角θ的终边过点(12,5)P -，求角θ的三角函数值.【答案】5sin 13θ=；12cos 13θ=-；5tan θ122.已知2π<θ<π且sin θ＝35m m -+，cos θ＝425m m -+，求tan θ的值．【答案】512-3. 若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 【答案】354.如果tan 2θ=，那么1sin cos θθ+的值是（ ） A ．73B ．75C ．54D ．53【答案】B任务四：课堂小结模块组合：1、学生展示：本节课你的收获是什么？ 2、教师点拨：本节课的重点内容和方法。
人教新课标a版高一数学必修4
人教新课标a版高一数学必修4人教新课标A版高一数学必修4是高中数学学习中非常重要的一部分，它涵盖了多个重要的数学概念和技能。
以下是该课程的主要内容概述：1. 三角函数：包括正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、性质、图像和应用。
学生将学习如何利用三角函数解决实际问题，如测量、导航等。
2. 三角恒等变换：这部分内容涉及到三角函数之间的基本关系，如和差公式、倍角公式、半角公式等，以及它们在简化表达式和解决复杂问题中的应用。
3. 解三角形：学生将学习如何使用正弦定理和余弦定理来解决三角形的问题，包括已知两边和夹角求第三边，或者已知三边求角度等。
4. 数列：数列是数学中的一个重要概念，学生将学习等差数列和等比数列的定义、通项公式、求和公式以及它们的应用。
5. 不等式：包括不等式的基本性质、解法和应用。
学生将学习如何解一元一次不等式、一元二次不等式以及更复杂的不等式系统。
6. 立体几何：这部分内容将介绍空间中的点、线、面之间的关系，包括直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等。
7. 空间向量：学生将学习如何使用向量来描述空间中的点、线和面，以及如何利用向量解决几何问题。
8. 解析几何：包括直线和圆的方程，以及如何利用这些方程来解决几何问题。
9. 概率与统计初步：学生将学习基本的概率概念，如样本空间、事件、概率的计算，以及统计的初步知识，如数据的收集、整理和描述。
10. 算法初步：这部分内容将介绍算法的概念，包括算法的描述、设计和实现。
通过学习人教新课标A版高一数学必修4，学生不仅能够掌握高中数学的核心知识，还能够培养逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力。
这些技能对于学生未来的学术和职业生涯都是非常宝贵的。
人教A版高中数学必修四必修模块测试样题参考答案.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作朝阳区2009—2010学年第一学期期末高一年级数学学科试卷参考答案【模块考试题】一、选择题（每小题4分，共56分）题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B B D B C B 题号8910 11 12 13 14 答案D D DBACC二、填空题(每小题4分,共16分) 15.35 16. 34π 17. 203π㎝ , 1003π㎝2 18. 20； 310sin()2084y x ππ=++，[6,14]x ∈.三、解答题(共3小题,共28分)19.（本小题满分8分） 解：（1）因为02απ<<，4sin 5α=， 故3cos 5α=，所以34tan =α. …………3分（2）23238cos 2sin()12sin cos 1225525ααααπ++=-+=-+=. ……………8分 20. （本小题满分10分） 解：（1）因为1()()2-=a b a +b ⋅ ，即2212-=a b ， 所以221111222=-=-=b a ，故22=b . ……………………5分（2）因为cos θ=a ba b ⋅=22， 又0180θ≤<︒，故45θ=. ……………………10分21.（本小题满分10分）解：（1）由已知，所求函数解析式为()sin()6g x x π=-. ……………………4分（2）由()y f x =的图象过点2(,0)3π，得2sin 03ωπ=，所以23k ωπ=π，k ∈Z . 即32k ω=，k ∈Z .又0ω>，所以k ∈*N . 当1k =时，32ω=，3()sin 2f x x =，其周期为43π，此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数； 当k ≥2时，ω≥3，()sin f x x ω=的周期为2ωπ≤2433ππ<， 此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数. 所以，32ω=. …………………………10分【非模块考试题】一、选择题：(每小题4分,共16分)题号1 2 3 4 答案C B A D二、填空题：(每小题4分,共12分)5. 2 6．等腰三角形 7．,20114π三、解答题：8. （本小题满分10分） 解：（1）由a ∥b 得：3cos sin 02x x +=， …………………1分 若cos 0x =，则sin 1x =±，不合题意.则3tan .2x =- …………………2分因此22222cos 2sin cos 12tan 16cos sin 2.sin cos tan 113x x x x x x x x x ---===++ ………………4分（2）2()()4f x =-++⋅a b b 12(sin cos ,)(cos ,1)24x x x =+⋅-- 12112(sin cos )cos sin 2cos 224224x x x x x =+--=+-22sin(2)244x π=+-. …………………6分 依题得1sin(2)42x π+=，解得124x k π=π-或2724x k π=π+，12,k k ∈Z . …………………8分又12x x -＝217243k k ππππ-π+≥+24， 所以12x x -的最小值为3π． …………………10分9. （本小题满分12分） 解：（1）2227113()sin cos cos cos (cos ).8828f x x x x x x =+-=-++=--+………2分 则当1cos 2x =时，函数()f x 的最大值是3.8…………………4分（2）22151()cos 2482a f x x a a ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭. …………………5分当02x π≤≤时，1cos 0≤≤x ，令x t cos =，则10≤≤t . …………………6分 ,218542122-++⎪⎭⎫⎝⎛--=a a a t y 10≤≤t .当012a ≤≤，即02a ≤≤时，则当2a t =，即cos 2ax =时， 2max51()1482a f x a =+-≤，解得342a -≤≤，则302a ≤≤； …………………8分 当02a<，即0a <时，则当0t =即cos 0x =时， max 51()182f x a =-≤，解得125a ≤，则0a <. …………………10分当12a>，即2a >时，则当1t =即cos 1x =时，max 53()182f x a a =+-≤，解得2013a ≤，无解.综上可知，a 的取值范围3(,]2-∞． ……………………12分。
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第二章 2.5.1 平面几何中的向量方法
=5-2a·b=4,
||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
∵由①得 2a·b=1,
∴||2=6,∴||= 6,即 AC= 6.
当堂检测
①
反思感悟在解决求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知
识,解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决.
-(1-λ)λ ·-λ(1-λ) ·+λ2 ·=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0,
因此 ⊥ ,故 PA⊥EF.
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
(证法二)以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所
示的直角坐标系.
设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,设
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1
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1
证明:因为 DE=3AB,DF=4DB,
1
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1
1
所以 = 3 , = 4 = 3 .
1
1
于是 = − = −
1
3
1
3
= + =
3
1
1
=- ,
3
3
3
因此 ∥ ,
又因为, 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
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变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为
(
)
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第二章 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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解:(1)(方法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),
∴a-b=(-4,0).
∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(方法二)a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
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角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用
例2在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且
1
2
1
2
DM= MC,BN= BC,则 ·=
||2 -4· + 4||2
= 5-4 × 1 + 4 × 10 = 41.
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(2)因为 a=(1,2),所以|a|= 5.
1
||
因此与 a 垂直的单位向量的坐标是± (2,-1),即
2 5 5
- 5 ,5
2 5
5
,5
5
或
.
(3)因为 b=(3,-1),所以|b|= 10,因此与 b 平行的单位向量的坐标是
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.
故b=(9,12),c=(4,-3).
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第二章 2.3.1 平面向量基本定理
平面向量的基本定理及坐标表示
-1-
2.3.1
平面向量基本定理
-2-
核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养.
定理
2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表
基底
示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养.
向量夹角
.
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解析:①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,
但空间中的向量则不一定.
②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.
③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为
λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.
求出两个向量的夹角.
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变式训练2已知两非零向量a与b的夹角为80°,则a与-b的夹角
是
,2a与3b的夹角是
.
解析:如图①,向量a与-b的夹角为100°.
如图②,向量2a与3b的夹角为80°.
答案:100° 80°
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3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定
向量垂直
义.培养数学运算、数学抽象素养.
课前篇自主预习
一、平面向量基本定理
1.对于平面内的任意向量a,是否可以用平面内的一个非零向量e1
线性表示?是否可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示?当向
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第七讲 平面向量的概念与几何意义
一、知识回顾
知识点1：向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量
知识点2：向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母，； ③用有向线段的起点与终点字母：；
知识点3：向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 知识点4： ①长度为0的向量叫零向量，记作0 ，0 的方向是任意的.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
知识点5：平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.
知识点6：相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等；
（3）两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．
. 知识点7：共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，任一组平行向量都可移到同一直线上
（与有向线段的起点无．．．．．．．．．关）．．
.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
二、典型例题
例 1、下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例 2、判断：（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
例4、 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量
、、相等的向量.
A(起点)
B （终点）
a
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？ 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？ 变式三：与向量共线的向量有哪些？
三、课堂练习
1、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形A BCD 是平行四边形当且仅当AB ＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
四、总结提升
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 五、课后作业
1、下列各量中不是向量的是（ ）
A.浮力
B.风速
C.位移
D.密度
2.下列说法中错误．．
的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点
D.一个单位圆
4．已知非零向量b a //,若非零向量a c //，则c 与b 必定 .
5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .
6.设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点, 则_______,||=________=。