第13讲.几何综合.提高班.教师版

1初二秋季·第13讲·提高班·教师版全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。

一、常见辅助线的作法有以下几种：1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

二、常见模型1.最值问题：“将军饮马”模型；2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。

三、尺规作图部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。

思路导航13名校期末试题点拨——几何部分题型一：全等三角形与轴对称2初二秋季·第13讲·提高班·教师版【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ）典题精练3初二秋季·第13讲·提高班·教师版则20-a =（2a -20）-（20-a ），解得a =15． ∴当n =3时，a 的值为12或15． 故答案为：12或15．【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）．A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个【解析】C⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？ 【解析】12种，如下图所示：【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小；⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1CABP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所lD CBA4初二秋季·第13讲·提高班·教师版B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E D CB AP E D CBA【例4】 如图1，在ABC △中，2ACBB ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB AC BC 、、于点NE M 、、. ⑴当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； ⑵当M 是BC 的中点时，写出CE 和CD 之间的等量关 系，并加以证明；⑶请直接写出BN CE CD 、、之间的等量关系.（海淀期末考试）【解析】 ⑴证明：连接ND .∵AO 平分BAC ∠， ∴12∠=∠.∵直线l AO ⊥于H ， ∴4590∠=∠=︒. ∴67∠=∠. ∴AN AC =. ∴NH CH =.∴AH 是线段NC 的中垂线.5初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴DN DC =. ∴89∠=∠.∴AND ACB ∠=∠.∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠. ∴BN DN =. ∴BN DC =.⑵如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =. 证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N .由（1）可得'BN CD =，'AN AC =，AN AE =. ∴43,'NN CE ∠=∠=.过点C 作CG AB ∥交直线l 于G . ∴42∠=∠，1B ∠=∠. ∴23∠=∠. ∴CG CE =.∵M 是BC 中点， ∴BM CM =.在BNM △和CGM △中， 1,,,B BM CM NMB GMC ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BNM CGM △≌△. ∴BN CG =. ∴BN CE =.∴''2CD BN NN BN CE ==+=.⑶BN CE CD 、、之间的等量关系：当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-； 当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-.一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ； 思路导航题型二：直角三角形与勾股定理6初二秋季·第13讲·提高班·教师版4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+；5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比为12）；6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1二、直角三角形的判定 1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形； 2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．【例5】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，D 1E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．EDCBA【解析】D 1C 1B 1EDCBA典题精练7初二秋季·第13讲·提高班·教师版CE BF C DBF CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEC ≌△DFB ， ∴DE =DF ． ⑵CE +BG =EG ，证明：连接DA ， 在△ACD 和△ABD 中AC AB AD AD CD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△ABD ， ∴∠CDA =∠BDA =60°，∵∠EDG =∠EDA +∠ADG =∠ADG +∠GDB =60°，图1C AEG BFD8初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴∠CDE =∠ADG ，∠EDA =∠GDB ， ∵∠BDF =∠CDE ， ∴∠GDB +∠BDF =60°，即∠GDF =60° 在△DGF 和△DGE 中 DE DF EDG GDF DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DGF ≌△DEG ， ∴FG =EG ， ∵CE =BF ，∴CE +BG =EG ．⑶过C 作CM ⊥AD 交AD 的延长线于M ， 在△AMC 和△ABC 中 AMC ABC DAC BAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△ABC ， ∴AM =AB ．CM =CB ，由⑴⑵可知：DM +BE =DE ， ∵AE =3，∠AED =90°，∠DAB =60°， ∴AD =6，∴DM =AB -6=BE +3-6=BE -3，【例7M 图2DABCE9初二秋季·第13讲·提高班·教师版AC BC ACB BCE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD =BE ，AC F BMEDN图310 初二秋季·第13讲·提高班·教师版11初二秋季·第13讲·提高班·教师版NMDC BA训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）HGFE⑵如图，在锐角△ABC中，45AB BAC =∠=°，BAC ∠的平分线交BC于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．【解析】 ⑴ 如图所示：分别作点A B ，关于HE EF ，的对称点''A B ，，连结''A B 与HE EF ，交于M N ，两点.折线AM MN NB --就是白球的运动路径.（可由对称证明角度相等，类似于物理中的镜面反射问题） ⑵ 过B 作BE AC ⊥，与AD 交点即为M ，过M 作MN AB ⊥，垂足即为N ，BM MN BE +=，又∵垂线段最短，∴BE 为最短距离，长为4.训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .⑴ 当090︒<α<︒时，如图1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）；⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α；⑶ 当90180︒<α<︒时，如图2，求证：△A 1CF ≌△BCD . （三帆期中）图2图1ABCA 1B 1E F DDFEB 1A 1CBA【解析】 ⑴ 答案不唯一，例如：1ACF BCD △≌△，1B CF ACD △≌△ ⑵ 由题意得111902CB B CBB ∠=∠=︒-α思维拓展训练(选讲)FGA'12 初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴11452DBB ∠=︒-α，又145BDB ∠=︒+α在1BDB △中，只能有11BDB BB D ∠=∠，即190452︒-α=︒+α解得30α=︒⑶ 111CB CA BCD ACF B A =∠=∠∠=∠，，, ∴△A 1CF ≌△BCD .训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E .PEDC B AAB C DEP⑴ 求证：PD=PE ；⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积. 【解析】 ⑴ 证明：连接AP ,在ABP △和ACP △中，∵AB ＝AC ，PB ＝PC ，AP =AP ， ∴ABP △≌ACP △（SSS ）∴CAP BAP ∠=∠,AP 是A ∠的平分线； 又∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ∴PD ＝PE （角平分线上点到角的两边距离相等）⑵ 解：∵PD ⊥AB ，o 45=∠DBP , ∴BDP △是等腰直角三角形.设x DP =，则x BP ⋅=2，在直角ADP △中，由勾股定理()[]42122=++x x ，整理得：()42242=+x ，2222+=x .∴四边形ADPE 的面积=2⨯ADP △的面积 =()()22222121=+⋅+=+x x训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、c 、d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ∆，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C的坐标和正方形13初二秋季·第13讲·提高班·教师版的边长为（ ）（海淀期末）A ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．(11)2-，，C．(11)-， D．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交DC 间的数量关系，并证明. 【解析】 ⑴ D ⑵ 连结BD ，证90DBC ∠=︒，可得12AD DC =14 初二秋季·第13讲·提高班·教师版【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点， 则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等 分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示）（北京中考）⑵如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠， 若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5【解析】（2n ≥，且n 为整数）⑵ A （提示：延长BD ）【练习2】 如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；⑵ 若1FD =，求线段BF 的长． (实验期末) 【解析】 ⑴ ∵AB AC =，AD 是角平分线∴AD BC ⊥，D 是BC 中点 ∴BF CF =∴FBC FCB ∠=∠⑵ ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠∵FBC FCB ∠=∠，∴ABE ACF ∠=∠ 由题意AB AE AC CE === ∴ABE AEB ACF ∠=∠=∠ ∴60EFC CAE ∠=∠=° ∴60BFD CFD ∠=∠=° ∴22BF FD ==复习巩固DCB AG FEDCB A第十五种品格：创新创新的力量20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受潮现象，这给公司带来巨大损失。