1.3.2 球的体积与表面积
课件8：§1.3 第2课时 球的体积和表面积
球面上的动点．若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O
的表面积为( )
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
【解析】 如图，设球的半径为 R， 因为∠AOB＝90°，所以 S△AOB＝12R2. 因为 VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB 面积为定值， 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO－ABC 最大， 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时， 体积 VO－ABC 最大为13×12R2×R＝36，所以 R＝6. 所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选 C. 【答案】 C
2．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体
的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
49
7
A. 9 π
B.3π
28
28
C. 3 π D. 9 π
解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为 2
的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三
棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为 r，则
【题型探究】
类型一 球的体积与表面积 [例 1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相 等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
解 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，
则由题意得 13πr2·h＝43πR3 r＝2R
，∴13π(2R)2·h＝43πR3，
∴R＝h，r＝2h，∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
跟踪训练 2 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
1.3.2 球的体积和表面积
O A
O′
C
16 64 S = 4πR = 4π × π. = 9 9
2
B
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的 倍,则半径变为原来的 2 倍. 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 则半径变为原来的___倍 若球的表面积变为原来的 2.若球半径变为原来的 倍，则表面积变为原来的 4 倍. 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的___倍 若球半径变为原来的 3.若两球表面积之比为 ，则其体积之比是 1 : 2 2 若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______. 若两球表面积之比为
1:3 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______. 若两球体积之比是1:2 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是
5.有三个球 一球切于正方体的各面,一球切于正 有三个球,一球切于正方体的各面 一球切于正 有三个球 一球切于正方体的各面 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点 一球过正方体的各顶点,求这三 方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三 个球的体积之比_________. 个球的体积之比 1 : 2 2 : 3 3
R ∵O′O = , ∆ABC是正三角形， ′A = 2 × 3 AB = 2 3 = r 是正三角形， O 2 3 2 3
′中 ′ ′ 在Rt∆OOA ,∵OA2 = OO2 + OA2 ,
R 2 2 3 2 ) , ∴R = ( ) + ( 2 3
2
4 ∴R = . 3
4 3 4 4 3 256 V = πR = π ( ) = π; 3 3 3 81
o
o
Si
(2)、近似求和. (2)、近似求和.
∆S i
O
球的体积和表面积
O A
O
R O O , ABC是正三角形， 2
C
B
2 3 2 3 OA AB r 3 2 3
例题讲解
例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等 于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面 积． 解：在RtOOA中, OA2 OO 2 OA2 ,
3 2 2 2
R
球的体积
V半球 1 1 (1 )( 2 ) n n ] R 3 [1 6
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
1 当n 时, 0. n 2 3 V半 球 R 3 4 3 从 而V R . 3
例题
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积 相等.
Si
O
Vi
V V1 V2 V3 Vn
球的表面积 第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O O
1 Vi S i hi 3 由第一步得：
Vi
V V1 V2 V3 Vn
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
2
球的体积
ri
2
R R i 1 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
3
R 2 R [ ( i 1)] , i 1,2,, n n
2
V半球 V1 V2 Vn
1 2 ( n 1) [n ] 2 n 3 n R 1 ( n 1) n ( 2n 1) [n 2 ] n n 6 1 ( n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
2020版人教A数学必修2：1.3.2 球的体积和表面积
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球 的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底 面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:
课件3：1.3.2 球的体积和表面积
4π5hπ2h2＝
25．
跟踪训练4 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和 为6，求两球的体积之差．
解 设两个球的半径分别为 R，r(R>r)，
则由题意得 4πR2－4πr2＝48π， R＋r＝6，
∴(R＋r)·(R－r)＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋r＝6，
R＋r＝6， r＝2.
两球的体积之差43π×43－43π×23＝43π(43－23)＝2234π.
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为4338ππrr33＝392.
答案：
9 32
跟踪训练2 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5， ∴S 球＝4πR2＝100π.
跟踪训练 1 如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的 表面积之比为________． 解析 根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等 于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方． ∵两个球的体积之比为8∶27，∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
谢 谢！
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h， 水的体积恒定， 则容器内水的体积是 V′＝13π·( 33h)2·h＝19πh3. 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即这时容器中水的深度为3 15r.
跟踪训练 3 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，
球的体积与表面积
五、有关球的切、接问题
• 长方体的外接球 D’ A’ D A B
长方体的共顶点的三个 棱长分别是3 ,4, 5 ，求长 方体的外接球的表面积
C’ o
B’ CБайду номын сангаас
六、正四面体与球的组合问题——正 四面体的内切球
【例3】各棱长为 3 的四面体内有一内切球，求该 球的半径。
S
A
O
O1 O B D
C
通常用等体积法 求一个多面体的内 切球的半径。
正四面体的棱切球
C
A 同理，正四面体的 D
棱切球就是对应正 方体的内切球。
B
解决与球有关的组合体问题的解题 技巧
• (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析 图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关 系，并且作出合适的截面图. • (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面 解题. • (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱 和球心、切点或接点作出截面图.
球与正方体六个 五、有关球的切、接问题 面均相切，切点
为各面的中心
• 一、正方体的内切球
A
B
A
B O D
C
D
C
过球心的截面
正方体的内切球的半径是棱长的一半，即直径等于棱长
五、有关球的切、接问题
• 二、正方体的棱切球
五、有关球的切、接问题 与12条棱均相切，
切点为各棱中点
• 二、正方体的棱切球
D’
A
正方体的内切球的直 径等于棱长，即 d = a 1 （或 r 2 a ）；
正方体的棱切球的直 正方体的外接球的直 径等于面对角线，即 径等于体对角线，即 2 a） d 3a （或 r 3 a ） d 2a （或 r 2 2
课件4：1.3.2 球的体积和表面积
名师指导
1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过 作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而 这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等． 2．几个常用结论 (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方 体的棱长等于球的直径；
名师指导 (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体 的体对角线长等于球的直径； (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱 的高，也等于圆柱底面圆的直径； (4)球与棱锥相切，则可利用 V 棱锥＝31S 底 h＝13S 表 R，求球 的半径 R.
()
A. 92π＋12
B. 92π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
题型探究 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面一个直径 为 3 的球，下面一个底面为正方形且边长为 3，高为 2 的长方体所构成的几何体，则其体积为： V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18. 【答案】 B
【答案】 D
课堂检测
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
课堂检测
【解析】 设该球的半径为R， ∴(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2， 即4R2＝6a2. ∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2. 【答案】 B
跟踪训练
1．球的体积是332π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
跟踪训练
【解析】 设球的半径为 R， 则由已知得 V＝34πR3＝323π，R＝2. ∴球的表面积 S＝4πR2＝16π. 【答案】 B
1.3.2 球的体积和表面积
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
2.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
.
【解题探究】1.典例1中的三视图表示什么几何体? 提示:典例1中几何体是半球与一个圆锥的组合体. 2.典例2中的几何体表示什么? 提示:该几何体为一个半球.
【解析】1.选C.由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体 的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公 式可得组合体的体积为30π. 2.由三视图得该几何体为半径为1的半球,则表面积为半球面+底面圆, 代入数据计算为S= 1 ×4π×12+π×12=3π.
【变式训练】球的大圆面积扩大到原来的4倍,那么球的表面积扩大到 ( A.16倍 B.2倍 C.4倍 D. 4 倍
3
)
【解析】选C.球的大圆面积扩大到原来的4倍,则半径成为原来的2倍, 所以球的表面积也变为原来的4倍.
类型二
由三视图求球的体积与表面积
【典例】1.(2015·济宁高一检测)某几何体的三视图如图所示,它的 体积为 ( )
答案:12π
【补偿训练】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的 体积为 m 3.
【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为6,3,1的长方体,下面 是两个半径为
3 的相切的球体,所以所求的体积是:V=2V球+V长方体=2× 2
4 3 π × ( )3 +6×3×1=9π +18. 3 2
【方法技巧】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键:把握住球的表面积公式S球=4π R2,球的体积公式V球=
4 π R3 3
是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住 公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方; ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
新授课：1.3.2《球的体积和表面积》
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
由计算器算得:
x 2.24
2 x 4 .5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？ 它与球的表面积有什么关系？ 球的表面积等于球的大圆面积的4倍
理解新知
• 1球的体积公式推导：分割→近似求和→精确求和 • 2球的表面积公式推导：分割→近似求和→精确求 和 • 3球的表面积等于球的大圆面积的4倍 • 4球的体积是球体所占空间大小的度量，球的表面 积是对球的表面大小的度量，由球的几何结构特 征可知它们都是由球半径惟一确定，都是球半径 的函数，根据和可以发现，确定球半径大小是求 解球的体积和表面积的关键所在．
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
教学目标
重点难点
球的体积
球表面积
退出
例题讲解
课堂练习
课堂小结
布置作业 封底
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
1.3.2 球的体积和表面积
[跟踪训练] 1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为 48π cm2，则球的表面积为________cm2.
256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆 O 是球的过已知半径的大圆， AB 是截面圆的直径，作 OC 垂直 AB 于点 C，连接 OA.由截面面积为 48π cm2， 可得 AC＝4 3 cm.设 OA＝R，则 OC＝12R，所以 R2－12R2＝(4 3)2，解得 R ＝8 cm.故球的表面积 S＝4πR2＝256π(cm2)．
由三视图求球的表面积与体积 例 2、一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注 入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆 锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下 降后减少的体积来建立一个关系式来解决．
2．若球的过球心的圆面的周长是 C，则这个球的表面积是( )
A．4Cπ2
B．2Cπ2
C．Cπ2
D．2πC2
C [由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，所以 S 球面＝4πR2＝Cπ2.]
3．若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积扩大到原来的( )
A．2 倍
B．4 倍
C．8 倍
D．16 倍
C [设气球原来的半径为 r，体积为 V，则 V＝43πr3.当气球的半径扩大到 原来的 2 倍后，其体积变为43π(2r)3＝8×43πr3.]
]
2．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4
cm，则该球的体积是 ( )
A．1030π cm3
B．2038π cm3
C．5030π cm3
D．416313π cm3
1.3.2.球的表面积与体积
∴r＝ 2，故选C.
根据三视图计算球的体积与表面积
学法指导 三视图中球的有关计算问题
(1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要 的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据 的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面 积或体积． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分 割与拼接，避免重叠和交叉等．
的半径之间的关系．
一个球的大圆面积扩大到原来的100倍，那么这个球的 体积有什么变化？
[答案]
球的体积扩大到原来1 000倍．
（2）两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球 的半径为( A．2 C. 2 3 ) B. 2 13 D. 4 2
[答案] C
[解析] 3
4 3 4π 设大球半径为r，则 πr ＝2× ， 3 3
一个长、宽、高分别为2,1,2的长方体，则它的外接球的 表面积为________，体积为________．
9 [答案] 9π， π. 2
[解析] 4 3 9 ＝3πR ＝2π
2R＝ 2 ＋1 ＋2
2
2
2
3 ∴R＝ ，S＝4πR2＝9π， S 2
思路方法技巧
球的表面积与体积
学法指导 求球的表面积与体积的方法：
[答案]
8π
[解析] S＝4π×( 2)2＝8π.
3．与球的关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝ a2＋b2＋c2 (a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体 内接于球，则2R＝ 3a(a为正方体的棱长)； (2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R ＝a.
(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意，有4πr2＝120×4πR2，解得r＝2 30R. 4 3 4 3 π r π 2 30 R V木 3 3 所以 ＝ ＝ ＝240 30. 4 3 V地 4 3 3πR 3πR 故木星的体积约是地球体积是240 30倍．
1.3.2 球的表面积和体积
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R
2
3. 球的体积
半径是R的球的体积是
3. 球的体积
半径是R的球的体积是
V 4 3 πR .
3
有一种空心钢球， 质量为142g，
测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
圆柱的底面直径与高都等于球
的直径.
(1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝
a
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
课堂小结
1. 球的表面积公式； 2. 球的体积公式；
3. 球的表面积 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． 定点叫做球心， 定长叫做球的半径． 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面． C A R O
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． 定点叫做球心， 定长叫做球的半径． 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面． C A R O
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A R O C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． A R O C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． 定点叫做球心， 定长叫做球的半径． C A R O
1.3.2球的体积和表面积
1.3 球的体积和表面积
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9 [ 4 ( 5 )3 4 x 3 ] 142
32 3
x 3 ( 5 )3 142 3 11.3
2
7.9 4
例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积 和表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面为⊙O′面.
在RtOOA中,OA2 OO2 OA2,
R2 (R )2 (2 3 )2 ,
2
3
解得R 4 .
则
:
V球 S球面
4
3
3
R3
4R
2
4
3
( 4
4)3 256A ;
3
16
8614
.
99
O C
O
B
1.3 球的体积和表面积
练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
解：在RtB1D1D中, 有
(2R)2 a2 ( 2a)2,
解得R 3 a 2
S球O面 4R2 3a 2
D AD ABiblioteka 1D AD A11
C B O
高中数学同步讲义必修二——第一章 1.3.2 球的体积和表面积
1.3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．知识点 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × ) 3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )类型一 球的体积和表面积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________． 答案 (1)B (2)32解析 (1)由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.(2)设大球的半径为R ，由题意得 43πR 3＝2×43π×13，得R ＝32. 类型二 球的截面及切接问题 命题角度1 球的截面问题例2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42， ∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.跟踪训练2 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________． 答案 12π解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为2，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为3，所以球的表面积为4π(3)2＝12π. 命题角度2 与球有关的切、接问题例3 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.2π3 C.3π2 D.π6 答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝9π. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练3 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3D ．1∶9(2)表面积为433的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A.23π B.13π C.23π D.223π答案 (1)C (2)A解析 (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝⎛⎭⎫123∶43π×⎝⎛⎭⎫323＝1∶3 3.(2)如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a .∵正四面体的表面积为433，∴4×34a 2＝433， 解得a ＝233，∴正方体的棱长是63， 又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R ， ∴2R ＝63×3， ∴R ＝22， ∴球的体积为43π·⎝⎛⎭⎫223＝23π，故选A.1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2．一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π3 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 3．如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以R 1－R 2＝2.5．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍． 答案 3 3解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32. ∴外接球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323，内切球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫123，∴外接球的体积是内切球的体积的33倍．1．球的体积和表面积公式 设球的半径为R (1)体积公式：V ＝43πR 3.(2)表面积公式：S ＝4πR 2.2．用一个平面截球所得截面的特征 (1)用一个平面去截球，截面是圆面． (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 以及截面的半径r ，有下面的关系r ＝R 2－d 2.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．一、选择题1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 设两球的半径分别为R ，r (R ＞r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1，∴R －r ＝1.2．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，32B.43，1C.32，1 D.43，43答案 A解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， ∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，则V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32， S 圆柱S 圆＝6πR 24πR 2＝32. 3．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(8＋162) cm 2 C ．(4＋82) cm 2 D ．(16＋322) cm 2 答案 B解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4 cm ，正四棱柱的底面对角线长为2 2 cm ， ∴正四棱柱的高为16－8＝2 2 cm ，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋16 2 (cm 2)，故选B.4．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意，OO 1＝4 cm ，O 1A ＝3 cm ， ∴OA ＝R ＝OO 21＋O 1A 2＝5(cm)，故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRr D ．π(R ＋r )2答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .6．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球 D ．无法确定答案 A解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2.7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( ) A.32π3 B ．4π C ．2π D.43π 答案 D解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1. 故球的体积为V ＝43πR 3＝43π.二、填空题8．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则 V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3， V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V 锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.9．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53 cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2.答案 100π解析 设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r ＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．答案 3π4 解析 由题意得，该圆柱底面圆周半径r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32. ∴该圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4. 11．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为________．答案 3∶2⎝⎛⎭⎫或32解析 如图，△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O ，由题意知AD ＝3OE ，则OA ＝2OE ，设OE ＝r ，则OA ＝2r ，AD ＝3r ， 在Rt △AEO 中，sin ∠EAO ＝12， 又∵0°<∠EAO <90°，∴∠EAO ＝30°.在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝BD 3r ＝33，BD ＝3r . 则AB ＝AD 2＋BD 2＝(3r )2＋(3r )2＝23r ，圆锥的侧面积为π×BD ×AB ＝6πr 2，球的表面积为4πr 2，∴所求的比值为6πr 2∶4πr 2＝3∶2.12．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AC ＝3，AB ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．答案 132解析 可将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形到长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1中如图所示，则BC 1为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的直径，∴BC 1＝32＋42＋122＝13，∴球O 的半径为132. 三、解答题13．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .设⊙O 的半径为R ，由题意，得43πR 3＝972π， 所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18.已知CD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA ＝122，因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，所以AD ＝42，S 圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O 1的半径为r ，因为△ABC 的周长为2×(122＋42)＝322，所以S △ABC ＝12r ·322＝12×82×16，解得r ＝4， 所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π. 四、探究与拓展14．已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________． 答案 9π解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32， 所以S 球＝4πR 2＝9π. 15．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比．解 设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a 2，2a ＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3，R 3＝32a ，所以R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶ 3. 所以S 1∶S 2∶S 3＝R 21∶R 22∶R 23＝1∶2∶3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.。
1.3.2 球的体积和表面积2
【自主解答】1.选C.由三视图可知该组合体由一个半球和一个 倒立的圆锥组成.
1 1 4 V 32 4 33 30. 3 2 3
2.由题知半径为r的实心铁球的体积和水上升的体积相等,即
4 3 R 2 r R 2 r，所以 . 3 r 3
答案:2∶ 3
4 3 R1 2 2 3 S 4 R R R V R R1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 提示: ( ) , ( ). 2 2 3 S2 4R 2 R 2 R 2 V2 4 R 3 R 2 R2 2 3
【探究总结】对球的体积及表面积公式的两点说明 (1)球的体积和表面积公式都是关于半径R的函数,因此求体积 和表面积时,只需求出半径即可. (2)确定一个球的条件是球心和球的半径,已知球的半径可以利 用公式求它的表面积和体积;反过来已知体积或表面积也可以 求其半径.
【解题指南】1.长方体的体对角线等于其外接球的直径. 2.结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半 径的方程,求出球半径,再利用V= πR3求出球的体积.
4 3
【自主解答】1.选B.由长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则 长方体的体对角线为 (2a)2 a 2 a 2 6a, 与外接球的直径相等, 故2R= 6 a,S球=4πR2=6πa2. 2.选A.设球的半径为Rcm,由勾股定理可知,R2=(R-2)2+42,解得 R=5,所以球的体积 V 4 R 3 4 53 500 cm3 .
(3)具体解题流程
【拓展延伸】与球有关的组合体中的数量关系 (1)长方体内接于球: 2R a 2 b2 c2 (R为球的半径,a,b,c为 长方体的长、宽、高). (2)正方体内接于球:2R= 3 a(R为球的半径,a为正方体的棱长). (3)球内切于正方体:2R=a(R为球的半径,a为正方体的棱长). (4)球与正方体的每条棱都相切:2R= 2 a(R为球的半径,a为正方 体的棱长).
1.3.2球的体积与表面积
3 a2
A C
P
O B
（2015高考题全国卷第9题） 在四棱锥P-ABCD中，棱AB,AD,AP两两垂直，
AD=1,AB= 6,AP=3，顶点P,A,B,C,D都在球O上，
C 则球O的表面积是（ ）
A 4 B 8 C 16 D 20 P
A D
B
C
变式2：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于？
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
球半径的求法
• 方法一：直接法 • 方法二：构造直角三角形 • 方法三：补形
一、直接法
正方体与球
正方体的内切球, 棱切球,外接球
1、正方体的内切球
o
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。 直径：相对两个面中心连线。 球的直径等于正方体棱长。
O
D1
C1
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
R
3 a
2
S 4R2 3a 2
D A
D1
C A1
B1
B
O 正方体的外接球 C1
A1
B1
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。
a 2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
2 a2
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
二、构造直角三角形
球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d与球的半径R 及截面圆的半径r的关系：
高一数学必修二 1.3.2 球的体积和表面积
B.81π
C.27π
解析:V=
4π 3
×
33
=
36π.
答案:D
D.36π
12
知识梳理
2.球的表面积 如果球的半径为R,那么它的表面积S=4πR2.
【做一做 2】 半径为 5的球的表面积等于 . 解析:S=4π×( 5)2 = 20π. 答案:20π
与球有关的组合体问题的解题策略 剖析:可通过画过球心的截面来分析.例如,底面半径为r,高为h的 圆锥内部有一球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.
如图,过球心O和圆锥的顶点A作圆锥的截面,则球心是等腰三角 形ABC的内接圆的圆心,AB和AC均是圆锥的母线,BC是圆锥的底面 直径,D是圆锥底面的圆心.
用同样的方法可得出以下结论: (1)若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是 球的直径; 若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长; 若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (2)若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高, 也等于圆柱底面圆的直径. (3)若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.
3π.
答案:3π
题型一 题型二 题型三
反思1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体 积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中 数据的含义.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.
2.计算球或与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割 与拼接,避免重叠和交叉.
题型一 题型二 题型三
题型一 题型二 题型三
重点例题
【例 1】 (1)已知球的表面积为 64π,求它的体积;
(2)已知球的体积为
500π 3
1.3.2球表面积与体积
1.3.2球表面积与体积班级姓名【复习性作业】温馨提示：复习性作业是完成其它作业的基础与保障.阅读课本P27-28的内容，回顾课堂学习过程，整理课堂学习笔记，并完成如下问题的解答．1.球的表面积和体积球的表面积公式S=．（其中R为球半径）2.球的体积球的体积V=．（其中R为球半径）组合体的体积计算，应从其结构入手，应用“割”或“补”的方法，转化为简单几何体的体积计算．【巩固性作业】温馨提示：巩固性作业要独立且尽量限时地完成. 1．（P28练习2）一个正方体的顶点都在球面上，正方体的棱长是a cm，求球的体积．2．（P28练习3）一个球的体积是1003cm，试着计算它的表面积（π取3.14，结果精确到13cm，可用计算器．）【提高性作业】温馨提示：提高性作业欢迎大家来征服！1．在半径为13cm的球面上有A，B，C三点，12cmAB BC AC===，求球心到经过这三点的截面的距离．2．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．【预习性作业】温馨提示：预习性作业能使你的听课效率倍增！阅读课本P40-43的内容，并尝试完成如下问题的解答．1．（P43练习1）下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（P43练习2）（1）不共面的四点可以确定个平面；（2）共点的三条直线可以确定个平面．3．在下列命题中，不是公理的是．①平行于同一个平面的两个平面相互平行②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．【拓展性作业】温馨提示：拓展性作业是你展示数学才华的舞台！在一个球内有相距9 cm的两个平行截面，其面积分别为49πcm2和400πcm2，求此球的表面积．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结
4 3 球的体积公式： V球 πR 3
球的表面积公式： S 球 4R
2
作业
课本P32练习
球的体积 球的表面积
4 3 V球 R 3
S球 4 R
2
都是以R为自变量的函数
例题
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积.
O
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 4 V球 R 3 3 2 3 V圆 柱 R 2R 2 R R O
球的体积与
表面积
复习
1. 柱、锥、台的体积计算公式？ 圆柱、 圆锥的侧面积、表面积计算公式？ 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的 高分成相等的三段，求圆锥分成的三 部分的侧面积之比、三部分的体积之 比.
球的体积
设球的半径为R，它的体积怎么
求呢？你有什么方法吗？
事实上，如果球的半径为R，那 么它的体积为：
D A D1 A1 O B
C
分析:正方体内接于 球,则由球和正方体 都是中心对称图形 可知,它们中心重合, 则正方体对角线与 球的直径相等.
证明略
练习
1.正方形的内切球和外接球的体积的比 为 3 3 : 1，表面积比为 3 : 1 . 2. 若球的表面积变为原来的2倍,则半径 变为原来的___倍. 2 3. 若两球表面积之比为1:2，则其体积之 比是______. 1: 2 2 4. 若两球体积之比是1:2，则其表面积之 3 比是______. 1: 4的体积
h
实验
排液法测小球的体积
H
h
你还有别的方法吗？
小 球 它 的 排 等 体 开 于 积 液 体 的 体 积
球的表面积
设球的半径为R，它的表面积怎
么求呢？你有什么方法吗？
事实上，如果球的半径为R，那 么它的表面积为：
S球 4 R
2
球的体积与表面积:
2 V球 V圆柱 3 (2) S 球 4R 2
S圆柱侧 2R 2 R 4R 2
S 球 S圆柱侧
例题
例2.如图，已知球O的半径为R,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都 在球O的球面上，求证： 3 a R
2
D A C1 B1 A1 D1 B1 O C1 B C