诱导公式讲义
三角函数的诱导公式讲义
三角函数的诱导公式讲义1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是闭区间[-1, 1]。
对于任意角度x（弧度制），我们可以通过三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)来得到正弦函数的周期性。
其他常用的三角恒等式还有sin(x) = sin(π - x)和sin(x) = -sin(-x)等。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，其定义域和值域与正弦函数相同。
对于任意角度x，我们可以通过三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)来得到余弦函数的周期性。
其他常用的三角恒等式还有cos(x) = -cos(π - x)和cos(x) = cos(-x)等。
3. 正切函数（tan）：正切函数也是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是全体实数。
有时候我们还会使用余切函数（cot）的值，它是正切函数的倒数。
常用的三角恒等式有tan(x) = tan(x + π)和cot(x) = 1/tan(x)等。
在掌握了这些基本的三角函数性质后，我们可以开始讲解三角函数的诱导公式了。
1.正弦函数的诱导公式：根据三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)，我们可以得到：sin(x + π) = sin(x)cos(π) + cos(x)sin(π)= -sin(x)因此，我们可以得到正弦函数的诱导公式：sin(x + π) = -sin(x)。
2.余弦函数的诱导公式：根据三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)，我们可以得到：cos(x + π) = cos(x)cos(π) - sin(x)sin(π)= -cos(x)因此，我们可以得到余弦函数的诱导公式：cos(x + π) = -cos(x)。
3.正切函数的诱导公式：根据三角恒等式tan(x) = tan(x + π)，我们可以得到：tan(x + π) = (tan(x) + tan(π))/(1 - tan(x)tan(π))= (tan(x) + 0)/(1 - tan(x)*0)= tan(x)因此，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(x + π) = tan(x)。
考点15 诱导公式及恒等变化——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点15 诱导公式及恒等变化【思维导图】【常见考法】考点一：诱导公式1．已知角α的终边经过点()5,12P --，则3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 。
【答案】513【解析】由三角函数的定义可得：5cos 13α==-，则32sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭5cos 13α=-=. 2．若角θ的终边经过点34(,)55-，则sin()cos()tan(2)2πθπθπθ++-+-= 。
【答案】43【解析】由题知4tan θ=-3．由诱导公式()()44sin cos tan 2cos cos tan tan 233πθπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+-=--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3．若,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭= 。
【答案】sin cos θθ-【解析】由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，sin cos θθ===-，又由(,)2πθπ∈，则sin 0,cos 0θθ><sin cos θθ=-． 4．若sin 2sin 2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
【答案】25-【解析】∵sin 2sin 2cos 2x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴222sin 4cos 1cos x x x ==-，21cos 5x =， ∴cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin x x -2122cos 255x =-=-⨯=-．5．若()0,απ∈，()sin cos παα-+=，则sin cos αα-的值为 。
【答案】43【解析】由诱导公式得()sin cos sin cos 3παααα-+=+=， 平方得()22sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<， 所以()216sin cos 12sin cos 9αααα-=-=， 又因为()0,απ∈，所以sin cos 0αα->，所以4sin cos 3αα-=. 6．已知α为第四象限角,化简=________.【答案】2cos α【解析】依题意α为第四象限角，所以==+1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==.故答案为：2cos α7．已知α 【答案】-1=sin cos 1cos sin αααα-==--故答案为：1-8．在数学解题中，时常会碰到形如“1x yxy+-”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若a ,b 是非零实数，且满足sin cos855tan15cos sin55a ba bπππππ+=-，则ba=________.【解析】由已知sin cos tan8555tan15cos sin1tan555ba baba baπππππππ++==--，又tan tan853tan tan()15531tan tan35πππππππ+=+=-，所以tan3baπ==考点二：恒等变换1．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为.【答案】1 2 -【解析】sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17+=-+()sin47cos17cos47sin17=--sin(4717)=--1 sin302 =-=-2．2sin37522+的值为.【解析】2223 cos375sin375cos15sin15cos(4515)cos302222+=+=-==．3=.【答案】14【解析】13tan10=-=⎝⎭()sin204sin3010︒︒-︒=14= 4．tan70tan503tan50tan70+-=______.【答案】【解析】因为tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅，所以()tan 70tan50tan1201tan50tan 7033tan50tan 70+=-⋅=-+⋅，∴原式50tan 703tan 50tan 703=⋅-⋅=-.故答案为5．70tan 70)sin 80︒-︒︒= . 【答案】12【解析】由题意可得：()707080tan sin ︒-︒︒cos1020=40cos20cos10sin 20-=⋅()()3010cos 3010cos10sin 20+--=⋅331sin10cos10sin1022cos10sin 20⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅sin10cos1012sin10cos102==. 6．化简cos 20(tan20cos10︒︒+⋅︒值为 .【答案】2【解析】cos 20sin 20cos 20(tan 20(cos10cos 20cos10︒︒︒︒⋅=+⋅︒︒︒cos 20cos10︒=︒12(sin 2020)2sin80222cos10cos10︒+︒︒===︒︒ 7．2223164sin 20sin 20cos 20︒︒︒-+=__________． 【答案】32.【解析】因为222222313cos20sin 20sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒-=︒︒︒︒)2sin20sin201sin 404︒+︒︒-︒=︒。
三角函数的诱导公式ppt课件
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
诱导公式的应用教学课件
在积分运算中的应用
积分运算
诱导公式在积分运 算中有着广泛的应 用，通过诱导公式 可以将复杂的积分 问题化简为简单的 计算。
三角函数积 分
利用诱导公式，可 以快速求解三角函 数的积分，提高解 题效率。
拓展应用
诱导公式不仅在积 分运算中有应用， 还可以拓展到其他 数学领域，如求解 微分方程等。
04
诱导公式的应用 实例
诱导公式的应用教 学课件
目录
01 诱导公式的基本概念 02 诱导公式的基本应用 03 诱导公式的拓展应用 04 诱导公式的应用实例 05 诱导公式的注意事项
01
诱导公式的基本 概念
诱导公式定义
基本概念
诱导公式是三角函数中一些具有 特殊性质的恒等式。
应用领域
诱导公式在三角函数的化简、求 值、证明等方面有广泛应用。
导公式来解决一些复杂的数学问题。
解决实际问题
三角函数的图像变换
诱导公式可以应用于三角函数的图像变换中， 例如平移、伸缩和对称变换等，以帮助我们更
好地理解和分析函数的性质。
03
诱导公式的拓展 应用
在解三角形中的应用
解决角度问题
诱导公式可以用于解决解三角形 中的角度问题，通过将角度转换 到已知的坐标系中，简化计算过 程。
角度的化简
利用诱导公式，将角度化简到0到 360度之间，便于后续的三角函数 计算。
特殊角的三角函数值
利用诱导公式，求出特殊角的三 角函数值，为解决实际问题提供 基础数据。
三角函数的求值
在解决三角函数的求值问题时，需 要将角度与弧度制进行转换，利用 诱导公式简化计算。
利用诱导公式，可以快速求出特殊 角的三角函数值，如30°、45°、 60°等。
诱导公式复习课公开课课件
诱导公式在研究三角函数的图象和性质时也发挥了重要作 用，如利用诱导公式推导三角函数的周期性、对称性等性 质。
解三角形问题
在解三角形问题中，诱导公式常用于处理与角度和边长相 关的问题，如利用诱导公式计算角度或利用三角函数性质 推导边长关系。
数学竞赛中诱导公式的解题技巧
1 2
熟悉常见诱导公式的形式
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
01
诱导公式简介
诱导公式的定义
诱导公式是指通过三角函数的诱导公式来求解三角函数值的方法。诱导公式是三 角函数中常用的一类公式，用于将任意角度的三角函数值转化为已知角度的三角 函数值。
诱导公式通常包括正弦、余弦、正切等函数的诱导公式，通过这些公式可以将任 意角度的三角函数值转化为0度到360度之间的角度的三角函数值。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
诱导公式复习课公开 课课件
目录
CONTENTS
• 诱导公式简介 • 诱导公式的分类与记忆 • 诱导公式的推导与证明 • 诱导公式的应用与解题技巧 • 诱导公式的综合练习与提高 • 诱导公式在数学竞赛中的应用
REPORT
CATALOG
解析
利用诱导公式将角度转换为225° = 180° + 45°，再利用 余弦函数的周期性和奇偶性，得到cos(225°) = -cos45° 。
解题思路与技巧总结
思路
首先识别角度是否可以通过诱导 公式转换为0°到360°之间的角度 ，然后利用三角函数的性质进行 计算。
技巧
熟练掌握诱导公式，注意角度的 周期性和奇偶性，灵活运用三角 函数的基本性质。
5.3 诱导公式 课件(2)(共29张PPT)
37π 5π
(4)tan
·sin－ 3
6
π
π
＝tan6π＋ ·sin－2π＋
6
3
π
π
3
3 1
＝tan ·sin ＝ × ＝ .
6
3 3
2 2
解题方法（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：）
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[跟踪训练一]
.
α 直线 y＝x 对称.
六、诱导公式六
π
＋α 型诱导公式(公式六)：
2
π
sin ＋α＝
2
cos α
π
cos ＋α＝
2
－sin α
；
.
小试牛刀
25π
1．(1)sin
＝________；
6
7π
(2)tan－ ＝________.
π 1
tan(α＋2kπ)＝
(k∈Z)；
tan α (k∈Z)．
提醒 1：α＋2kπ 与 α 终边相同角.
二、诱导公式(二)
终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝ －sin α
cos(－α)＝
；
cos α ；
tan(－α)＝ －tan α
.
提醒 2：-α 与 α 关于 x 轴对称.
π
(2)cos－ ＝cos－6π＋ ＝cosπ－
6
6
6
π
3
三角函数的诱导公式经典讲义
三角函数的诱导公式经典讲义三角函数的诱导公式是我们在学习和应用三角函数时经常用到的一个重要工具。
它能够帮助我们把一个三角函数表达式转化为其他三角函数的表达式，从而简化计算和推导过程。
本文将详细介绍三角函数的诱导公式的原理、推导过程以及常用应用。
一、诱导公式的原理诱导公式是基于三角函数的正负号周期性性质而得出的。
周期性是指三角函数在不同的角度上取值相同，而正负号则决定了函数的正负。
根据这些性质，我们可以利用一个固定的三角函数表达式来推导出其他角度上的三角函数表达式。
具体来说，我们可以通过利用已知的正弦函数和余弦函数的周期性关系，推导出其他三角函数的表达式。
例如，我们可以利用正弦函数的周期性关系：sin(x + 2π) = sin(x)，再结合勾股定理，推导出余弦函数的表达式：cos(x) = sin(x + π/2)。
这就是三角函数的诱导公式的基本思路。
二、常用的诱导公式1.正弦函数的诱导公式sin(x ± π/2) = ±cos(x)sin(x ± π) = ±sin(x)sin(x ± 2π) = sin(x)2.余弦函数的诱导公式cos(x ± π/2) = ±sin(x) cos(x ± π) = -cos(x) cos(x ± 2π) = cos(x) 3.正切函数的诱导公式tan(x ± π/2) = ±cot(x) tan(x ± π) = tan(x)tan(x ± 2π) = tan(x) 4.余切函数的诱导公式cot(x ± π/2) = ±tan(x) cot(x ± π) = -cot(x) cot(x ± 2π) = cot(x) 5.正割函数的诱导公式sec(x ± π/2) = ±csc(x) sec(x ± π) = -sec(x) sec(x ± 2π) = sec(x) 6.余割函数的诱导公式csc(x ± π/2) = ±sec(x) csc(x ± π) = -csc(x) csc(x ± 2π) = csc(x)三、诱导公式的推导过程下面我们以正弦函数和余弦函数的诱导公式为例，介绍具体的推导过程。
高一数学人必修课件诱导公式
通过角度关系进行推导
角度关系的定义
角度关系是指两个角之间的数量关系，如相等、互补、 互余等。
利用角度关系推导诱导公式
根据三角函数的周期性、奇偶性等性质，结合角度关系 ，可以推导出三角函数的诱导公式。
借助已知特殊角求解
特殊角的三角函数值
特殊角是指0°、30°、45°、60°、90°等角度，它们的三角函数值是已知的。
计算三角函数值域和单调性
01 利用诱导公式将三角函数转化为基本区间内的函
数，进而确定其值域。 02
通过分析基本区间内函数的单调性，结合诱导公 式判断原函数的单调性。
判断三角函数图像变换规律
利用诱导公式分析三角函数周期性、对称性等性 质，进而判断图像变换规律。
结合图像变换规律，理解并掌握三角函数在各象 限内的性质及变化规律。
THANKS
感谢观看
诱导公式在数列、概率等数
05
学问题中应用
将数列问题转化为三角函数问题求解
利用诱导公式将数列的通项公式转化为三角函数 01 的表达式，从而可以利用三角函数的性质进行求
解。
通过将数列的递推关系式转化为三角函数的递推 02 关系式，可以简化数列的求解过程。
利用三角函数的周期性、对称性等性质，可以求 03 解一些具有特殊性质的数列问题。
结合正弦定理、余弦定理求解问题
正弦定理应用
正弦定理指出在任意三角形中，各边与其对应角的正弦值的比相等。结合诱导公式，可以将非特殊角度的正弦值 转化为特殊角度的正弦值，进而利用正弦定理求解三角形问题。
余弦定理应用
余弦定理适用于已知三角形两边及夹角求第三边或已知三边求角的问题。结合诱导公式，可以将非特殊角度的余 弦值转化为特殊角度的余弦值，从而方便利用余弦定理求解问题。同时，诱导公式还可以帮助判断余弦定理的适 用条件，提高解题效率。
三角函数概念与诱导公式讲义
三角函数概念与诱导公式讲义一、三角函数概念三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们以周期性和波动性的特点在数学、物理等学科中有广泛的应用。
下面我们来了解一下三角函数的概念。
1. 正弦函数(sin)正弦函数是一个周期为2π的函数，它的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]。
在单位圆上，正弦函数可以通过角度θ和点P(x, y)的纵坐标y之间的关系来定义，即sinθ = y。
2. 余弦函数(cos)余弦函数也是一个周期为2π的函数，它的定义域是整个实数集，值域也是[-1, 1]。
在单位圆上，余弦函数可以通过角度θ和点P(x, y)的横坐标x之间的关系来定义，即cosθ = x。
3. 正切函数(tan)正切函数是一个周期为π的函数，它的定义域是实数集中所有不是π/2 + kπ (k为整数)的实数，值域是整个实数集。
在单位圆上，正切函数可以通过角度θ和点P(x, y)的纵坐标y和横坐标x之间的关系来定义，即tanθ = y / x。
4. 余切函数(cot)余切函数也是一个周期为π的函数，它的定义域是实数集中所有不是kπ (k为整数)的实数，值域是整个实数集。
余切函数的定义是cotθ = 1 / tanθ。
5. 正割函数(sec)正割函数是一个周期为2π的函数，它的定义域是实数集中所有不是π/2 + kπ (k为整数)的实数，值域是(-∞, -1]∪[1, +∞)。
正割函数的定义是secθ = 1 / cosθ。
6. 余割函数(csc)余割函数也是一个周期为2π的函数，它的定义域是实数集中所有不是kπ (k为整数)的实数，值域是(-∞, -1]∪[1, +∞)。
余割函数的定义是cscθ = 1 / sinθ。
二、诱导公式在三角函数的运算中，诱导公式是非常重要的。
诱导公式是指通过一个三角函数之间的等式来得到另一个三角函数的等式。
1.正弦与余弦的诱导公式正弦与余弦的诱导公式是sin(π/2 - θ) = cosθ和cos(π/2 - θ) = sinθ。
第2讲 三角函数的诱导公式-简单难度-讲义.
三角函数的诱导公式知识讲解一、同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2x+cos2x=1，sec2x−tan2x=1，csc2x−cot2x=1商数关系：sin xcos x =tan x，cos xsin x=cot x倒数关系：sec x=1cos x ,csc x=1cos x,tan x=1cot x教师内容:1.注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24α+cos24α=1等；2.注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tanα⋅cotα=1,α≠kπ2,(k∈Z)3.对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cosα=±√1−sin2α，sin2α=1−cos2α，cosα=sinαtanα等．4.特殊角的三角函数值二、诱导公式（1）角α与α+k⋅2π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα;（2）角α与−α的三角函数间的关系；sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα;（3）角α与α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin[α+(2k+1)π]=−sinα,cos[α+(2k+1)π]=−cosα,tan[α+(2k+1)π]=tanα;（4）角α与α+π2的三角函数间的关系．sin(α+π2)=cosα,cos(α+π2)=−sinα,tan(α+π2)=−cotα．教师内容:诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以y=sin(m⋅π2+φ)为例，若m为π2的偶数倍，则函数名不改变，根据角φ所在象限判断变换后的三角函数的符号，若m为π2的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看象限．典例精讲一．选择题（共12小题）1．（2017秋•绍兴期末）cos（π+x）=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx D．﹣sinx 【分析】直接利用诱导公式写出结果即可．【解答】解：cos（π+x）=﹣cosx．故选：B．2．（2017秋•重庆期末）tan390°的值等于（）A．√33B．√3C．﹣√33D．﹣√3【分析】利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：tan390°=tan30°=√33．故选：A．3．（2018春•嘉兴期末）已知cosα=45，则cos（π﹣α）=（）A．−45B．45C．35D．−35【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：cosα=45，则cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣45．故选：A．4．（2018•北京模拟）已知sinα=513，那么sin（π﹣α）等于（）A．−1213B．−513C．513D．1213【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：已知sinα=513，那么sin（π﹣α）=sinα=513，故选：C ．5．（2018春•古冶区校级期中）若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ） A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=﹣sinCC ．tan （A +C ）=tanBD ．sinB+C 2=cos A2【分析】由题意利用三角形内角和公式、诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则A +B=π﹣C ，∴cos （A +B ）=cos （π﹣C ）=﹣cosC ，sin （A +B ）=sin （π﹣C ）=sinC ，故A 、B 均错误．由A +C=π﹣B ，可得tan （A +C ）=﹣tanB ，故C 错误， 由B +C=π﹣A ，可得B+C 2=π2﹣A 2，∴sin B+C 2=sin （π2﹣A 2）=cos A2，故D 正确， 故选：D ．6．（2018春•福州期中）若cos （α﹣2π）＞0，sin （π﹣α）＜0，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据三角函数的在各个象限中的符号，得出结论．【解答】解：∵cos （α﹣2π）=cosα＞0，sin （π﹣α）=sinα＜0，则角α的终边在第四象限， 故选：D ．7．（2018•香坊区校级四模）已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π−α)=2，则tan(α+π2)=（ ）5【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而化简所求即可计算得解． 【解答】解：∵cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π−α)=2，∴sinα−3cosαsinα+cosα=tanα−3tanα+1=2，解得：tanα=﹣5， ∴tan(α+π2)=﹣1tanα=﹣1−5=15．故选：C ．8．（2018•武侯区校级一模）已知sin （7π6+α）=√33，则cos （2π3﹣2α）=（ ）A ．﹣23B ．﹣13C ．23D ．13【分析】由题意利用诱导公式求得cos （π3﹣α）=﹣√33，再利用二倍角公式求得cos （2π3﹣2α）的值．【解答】解：∵sin （7π6+α）=﹣sin （π6+α）=√33，∴sin （π6+α）=﹣√33，即cos （π3﹣α）=﹣√33，则cos （2π3﹣2α）=2cos 2(π3−α)﹣1=23﹣1=﹣13，故选：B ．9．（2018•陕西三模）计算cos2025°=（ ） A ．√22B ．−√22C ．√6−√24D ．√2−√64【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：cos2025°=cos （360°×6﹣135°）=cos （﹣135°）=cos135°=−√22．故选：B ．10．（2018•广东二模）若cos(α+π6)=45，则sin(α−π3)=（ ）55【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：若cos(α+π6)=45，则sin(α−π3)=﹣cos（π2+α−π3）=﹣45．故选：D．11．（2018春•东安区校级月考）已知cos（5π12﹣θ）=13，则sin（π12+θ）的值是（）A．﹣13B．﹣2√23C．13D．2√23【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵cos（5π12﹣θ）=13，∴sin（π12+θ）=cos[π2﹣（π12+θ）]=cos（5π12﹣θ）=13．故选：C．12．（2018春•桂林期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=﹣sinCC．cos（A2+C）=sinB D．sinB+C2=cosA2【分析】利用三角形的内角和公式、诱导公式逐一判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．【解答】解：∵角A，B，C是△ABC的三个内角，∴A+B=π﹣C，∴cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC，故排除A；又sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，故排除B；∵sin B+C2=sinπ−A2=cosA2，故D满足条件；由于A2+C有可能为钝角，故cos（A2+C）可能小于零，而sinB＞0，故C不一定成立；故选：D．二．填空题（共6小题）13．（2017秋•红桥区期末）cos120°=−12．【分析】直接利用有时间的三角函数求解即可．【解答】解：cos120°=﹣cos60°=﹣12．故答案为：﹣12．14．（2018•铜山区一模）已知tan（π6﹣α）=√33，则tan（5π6+α）=−√33．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan（π6﹣α）=√33，∴tan（5π6+α）=tan[π﹣（π6﹣α）]=﹣tan（π6﹣α）=﹣√33．故答案为：﹣√3315．（2018•嘉定区一模）已知sinα=45，则cos(α+π2)=−45．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=45，∴cos（π2+α）=﹣sinα=﹣45．故答案为：﹣4516．（2018•上海模拟）已知cosα=45，则cos(α−π2)+2sin(π−α)2tan(π+α)+cot(π2+α)=125．【分析】利用诱导公式化简，再代入即可得出结论．【解答】解：∵cosα=45，∴cos(α−π2)+2sin(π−α)2tan(π+α)+cot(π2+α)=sinα+2sinα2tanα−tanα=3cosα=125． 故答案为：125．17．（2018•黄浦区一模）已知sin （α+π2）=13，α∈（﹣π2，0），则tanα= ﹣2√2 ．【分析】由α∈（﹣π2，0）sin （α+π2）=13，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin （α+π2）=cosα，sin （α+π2）=13，∴cosα=13，又α∈（﹣π2，0），∴sinα=﹣2√23，∴tanα=sinαcosα=﹣2√2．故答案为：﹣2√2．18．（2018春•思明区校级月考）若cos （π2−α）=﹣13，且π＜α＜3π2，则tan （π﹣α）= ﹣√24．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα=﹣13，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求得tan （π﹣α）的值．【解答】解：∵cos （π2−α）=sinα=﹣13，且π＜α＜3π2，∴cosα=﹣√1−sin 2α=﹣2√23，∴tan （π﹣α）=﹣tanα=﹣sinαcosα=﹣√24．故答案为：﹣√24．三．解答题（共4小题）19．（2018春•兴庆区校级期中）已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P （m ，√154）．（1）求实数m 的值； （2）求sin(α−π2)sin(π+α)−sin(3π2−α)+1的值． 【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值． （2）利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：（1）角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P （m ，√154）， ∴m 2+1516=1，且m ＜0，求得m=﹣14，∴cosα=m=﹣14，sinα=√154；（2）sin(α−π2)sin(π+α)−sin(3π2−α)+1=−cosα−sinα+cosα+1=14−√154−14+1=3−√15=﹣3+√156． 20．（2018春•陆川县校级月考）若cosa=23，a 是第四象限角，求sin(a−2π)+sin(−a−3π)cos(a−3π)cos(π−a)−cos(−π−a)cos(a−4π)的值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵cosa=23，a 是第四象限角，∴sina=﹣√1−cos 2a =﹣√53，∴sin(a−2π)+sin(−a−3π)cos(a−3π)cos(π−a)−cos(−π−a)cos(a−4π)=sina+sina⋅(−cosa)−cosα+cosa⋅cosa =sina(1−cosa)cosa(cosa−1)=−√53⋅1323⋅(−13)=√52． 21．（2018春•葫芦岛期末）已知f （α）=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(7π−α)tan(−5π−α)sin(α−3π)．（1）化简f （α）； （2）若tan （α﹣3π2）=﹣2，且α为第一象限角，求f （α）的值．【分析】（1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．（2）由题意应用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得f （α）的值． 【解答】解：（1）f （α）=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(7π−α)tan(−5π−α)sin(α−3π)=−cosα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=﹣cosα．（2）若tan （α﹣3π2）=﹣cotα=﹣cosαsinα=﹣2，∴cosαsinα=2．由sin 2α+cos 2α=1，∵α为第一象限角，∴cosα=2√55，∴f （α）=﹣cosα=﹣2√55．。
三角函数的诱导公式 课件
给值(或式)求值问题
[典例] 已知cosπ6－α＝ 33，求cos56π＋α的值．
[解] 因为 cos56π＋α＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－
3 3.
1．诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α .
2．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于 x 轴对称． 如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝ －sin α . cos(－α)＝ cos α . tan(－α)＝ －tan α .
sin1 440°＋α·cosα－1 080° (2)cos－180°－α·sin－α－180°.
[解]
(1)
cos－αtan7π＋α sinπ－α
＝
cos αtanπ＋α sin α
＝
cos α·tan sin α
α＝ssiinn
αα＝1.
(2)
原
式
＝
sin4×360°＋α·cos3×360°－α cos180°＋α·[－sin180°＋α]
(2)tan 945° ＝ tan(2×360° ＋ 225°) ＝ tan 225° ＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用] 求下列各式的值： (1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°；
给角求值问题
[典例] 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos1169π. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－s80°－60°)＝－sin
5.3诱导公式(精讲)(原卷版)
5.3 诱导公式（精讲）诱导公式：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦． ①“奇”“偶”是对k ·π2±α(k ①Z)中的整数k 来讲的．①“象限”指k ·π2±α(k ①Z)中，将α看成锐角时，k ·π2±α(k ①Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2k π±α，π±α，k ∈Z 的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一 给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值． (1)sin1470︒；(2)9πcos 4；(3)11πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭．（4）43sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）()()cos 120sin 150tan855︒︒︒--+. 【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）sin 240︒的值是（ ） A． BC ．12-D ．122．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则()sin ππcos cos 2θθθ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（ ） A ．13-B ．13C ．23-D ．233．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭ ；(3)7πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)7πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭(5)47cos π6；(6)7πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(7)()tan 855-︒．考点二 化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知α的终边与单位圆交于点P m ⎛ ⎝⎭，且α为第二象限角，试求()πsin 23πsin πsin 12ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角．求()()()()()7πsin 5πcos tan π2tan 19πsin f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----的值．2．（2023秋·高一课时练习）已知 1cos 3α=-，且α为第二象限角,tan β=()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值为（ ） ABCD3．（2023春·陕西西安 ）已知函数()22x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（ ）A ．23-B ．23C ．32D ．32-考点三 给值(或式)求值问题【例31】（2023秋·高一课时练习）已知 1sin(π)3α-=，则sin(2021π)α-的值为（ ）AB． C ．13D ．13-【例32】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，则πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．79-BC ．79D ．13【例33】（2023秋·浙江嘉兴）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A．BC．3D【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．23B ．23-CD． 2．（2023秋·山东德州 ）已知2π3sin 35x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于 ． 3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππcos cos 63x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 ；考点四 利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【一隅三反】1．（2023云南）求证：()()()cos 6sin 2tan 2tan 33cos sin 22πθπθπθθππθθ+---=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2．（2023·高一课时练习）求证：()()()()()11sin 2cos cos cos 22tan 9cos sin 3sin sin 2πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．3．（2023·全国·高一假期作业）求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-． 4．（2023北京）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++； （2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.。
诱导公式(经典公开课)
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
诱
公式二
导
公
公式三
式
公式四
sin(π＋α)＝-sin α cos(π＋α)＝- cos α
tan(π＋α)＝tan α
sin(－α)＝-sin α cos(－α)＝cos α tan(－α)= - tan α sin(π－α)＝sin α cos(π－α)＝- cos α tan(π－α)＝- tan α
反思 感悟
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦：一般需将表sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
1.如图所示，角
θ
的终边与单位圆交于点
P－
55，2
5
5，则
cos(π－θ)的值为（
）
A.－2 5 5
学习目标
1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四. 2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简.
1 知识梳理
知识点一 公式二
1.角π＋α与角α的终边关于 原点 对称.如图所示.
2.公式：sin(π＋α)＝ －sin α， cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α .
60°＝－
3 2.
反思
感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化； (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
二、给值(式)求值
例 2 (1)已知 cos(π－α)＝－35，且 α 是第一象限角，则 sin(－2π－α)的值是
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诱导公式复习语录天下：One needs 3 things to be truly happy living in the wor ld: some thing to do, some one to love, some thing to hope for.1.基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝ cos（2kπ＋α）＝tan（2kπ＋α）＝ cot（2kπ＋α）＝公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝ cos（π＋α）＝tan（π＋α）＝ cot（π＋α）＝公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝ cos（－α）＝tan（－α）＝ cot（－α）＝公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝ cos（π－α）＝tan（π－α）＝ cot（π－α）＝公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝ cos（2π－α）＝tan（2π－α）＝ cot（2π－α）＝公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝ cos（π/2＋α）＝tan（π/2＋α）＝ cot（π/2＋α）＝sin（π/2－α）＝ cos（π/2－α）＝tan（π/2－α）＝ cot（π/2－α）＝sin（3π/2＋α）＝ cos（3π/2＋α）＝tan（3π/2＋α）＝ cot（3π/2＋α）＝sin（3π/2－α）＝ cos（3π/2－α）＝tan（3π/2－α）＝ cot（3π/2－α）＝(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k ∈Z)的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos;cos →sin;tan →cot,co t →tan.（奇变偶不变）然后在前面加上(把α看成锐角时)原函数值的符号。
（符号看象限）例1．的值是（ ）A ．B ．C ．D ．例2. sin 2150°＋sin 2135°＋2sin210°＋cos 2225°的值是 （ ）A ．41 B ．43 C ．411 D ．49练习 1.sin34π²cos 625π²tan 45π的值是（ ） A ．－43 B ．43C ．－43D ．432.如果 ，那么 是（ ）A ．B ．C ．D ．3．的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —235．已知 且 是第四象限角，则 =（ ）A ．B ．C ．D ．6.若，则 的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα8、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m例3．若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．练习1．设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为（ ）A ．211aa ++ B ．－211aa ++ C ．211aa +- D ．211aa +-2.若sin θ=31,则tan θ的值为 ( )A.423 B.－423 C.±42 D.42 3、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ）A 、34-B 、43C 、43±D 、34±例4、若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ）A 、A CB sin )sin(=+ B 、AC B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+D 、A C B cot )cot(=+ 练习1.已知A 、B 、C 是△A BC 的内角，下列不等式正确的有（ ）①si n （A +B ）=si n C ②cos （A +B ）=－cosC ③t an （A +B ）=－t an C （C ≠2π） ④si n 2C B +=cos 2AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2 在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形例5. 若sin θ+3cos θ=0,则sin θ值为 ( ) A.±10103 B.±1010 C.±32D.1010 例6、若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）A 、1B 、2C 、-1D 、-2 练习1 . sin αcos α＝81，且4π＜α＜2π，则cos α－sin α的值为（ ） A ．23B ．23-C ．43D ．43-2．设α是第二象限角，且｜cos2α｜＝－cos 2α，则2α是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角二、填空题： 1．sin （—317π）= .2．求值：=34cosπ_______，=-)43sin(π_________； =611tan π________． 3．化简ααπαπαπααπc o t )2t a n ()(s i n )c o t ()2c o s ()s i n (2----+---的结果是_______________．4.设tan α=2,则 （1）2sin 2α－3sin αcos α+5cos 2α= ,（2）ααααcos 4sin 3cos 5sin 2+- = .5.已知:tan100°=k ,则sin80°的值为 .6.若tan x =2,则xx cos sin 11-= .7. 若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .8. sin(－330°)=_______，cos4080°=_______．9. sin(450°－a)－sin(180°－a)+cos(450°－a)+cos(a －180°)的值为_______．10. sin500°cos130°+sin230°cos400°－tan320°cot140°的值为_________． 11.cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．12、若sin （125°－α）= 1213 ,则sin （α＋55°）=．13．tan2010°的值为 14．化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___.三、解答题：1． 求下列三角函数值： （1）sin 3π7； （2）cos 4π17； （3）tan （－6π23）； （4）sin （－765°）.2．计算：（1）、设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.（2）、已知2)9cos()sin(4)cos()sin(3=+---++απαααπ，求αtan 的值．3化简(1))sin()3sin()cos()cos()2sin(απαπαπαπαπ----+- (2))1050sin()600cot()420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-（3）)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi （4）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-；4. 已知54sin -=α. 求ααtan cos 和的值5.已知21)sin(=+απ，求απααπcos )tan()2sin(⋅-+-的值.6.已知1)sin(=+βα，求证 0tan )2tan(=++ββα走进高考1.（2010全国卷1文） cos300︒=(A)32-(B)-12 (C)12(D) 32 2.（2010全国卷2文） 已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________3.（2010全国卷1文） 已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .4.（2009辽宁文，8）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ） A.43-B.54C.34-D.455.（2009四川卷文）已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数6.（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A ．0sin11cos10sin168<< B ．0sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<<7.(2009四川卷文）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且510sin ,sin 510A B == （I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。