初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定与性质同步练习-学生用卷
2016湘教版九年级数学上3.4.1相似三角形的判定同步练习含答案解析
《3.4.1 相似三角形的判定》一、填空题1．三角形一边的和其他两边，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果两个三角形的对应边的，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的对应边的比相等，并且相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的角与另一个三角形的，那么这两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．6．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=48°，∠C=102°，∠A′=48°，∠B′=30°，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．7．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=34°，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34°，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．8．在△ABC和△DEF中，如果AB=4，BC=3，AC=6，DE=2.4，EF=1.2，FD=1.6．那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有对．10．如图所示，?ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有对．二、选择题11．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC2=DC?BC D．AD2=BD?BC12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.813．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C．D．三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）图中有哪两个三角形相似？（2）求证：AC2=AD?AB；BC2=BD?BA；CD2=AD?BD；（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；（5）求证：AC?BC=AB?CD．15．如图所示，如果D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：（1）OD：OA=OE：OB；（2）△ODE∽△OAB；（3）△ABC∽△DEF．16．如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．求证：（1）∠EAF=∠B；（2）AF2=FE?FB．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB?CD=BE?EC．18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD?BC=OB?BD．19．已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E．求证：CB2=CF?CE．20．已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC，试求AF与FB的比．21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC 边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．《3.4.1 相似三角形的判定》参考答案与试题解析一、填空题1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形的三边对应成比例．所以所构成的三角形与原三角形相似．【解答】解：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．故答案是：平行于；直线；相交．【点评】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可求得答案．【解答】解：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．故答案为：三组，比相等．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意熟记相似三角形的判定定理是关键．3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；即可求得答案．【解答】解：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似．。
2018-2019学年最新湘教版九年级数学上册《相似三角形的判定与性质》同步测试及解析-精编试题
湘教版九年级数学上册第三章第四节《相似三角形的判定与性质》同步测试一．选择题（共10小题）1．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．=2．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．=D．=4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（）A．B．C．D．6．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D． 1：167．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（）A．16 B．8 C． 4 D． 28．（2015•呼伦贝尔）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1 B．C．1 D．9．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．10．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7C．3 D．12二．填空题（共8小题）11．在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC 相似，且S△ADE：S四边形BCED=1：8，则AD= cm．12．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为．13．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时（写出一个答案即可），△ADE与△ABC相似．14．如图，在方格纸中，以每个小方格的边长为单位1，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点P，使△ABC与以E、P、D为顶点的三角形相似，则点P所在的格点坐标可以是．15．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动．若以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似，则运动的时间 t 为 秒．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，则△ABC ∽ ，△BAD ∽△ACD （写出一个三角形即可）．17．如图，已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠DEC ，且点E 为AB 边中点，则图中有 对相似三角形．18．如图，正方形ABCB 1中，AB=1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB 1交直线l 于点A 1，作正方形A 1B 1C 1B 2，延长C 1B 2交直线l 于点A 2，作正方形A 2B 2C 2B 3，延长C 2B 3交直线l 于点A 3，作正方形A 3B 3C 3B 4，…，依此规律，则A 2014A 2015= ．三．解答题（共6小题） 第15题图第16题图第17题图19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，问△AOB与△COD 是否相似？有一位同学解答下：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO．∴△AOD∽△BOC．∴．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD．请判断这位同学的解答是否正确并说明理由．21．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．22．在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？第三章第四节《相似三角形的判定与性质》同步测试参考答案：一．选择题（共10小题）1．D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B二．填空题（共8小题）11．2或cm．12．2：3 ．13．不唯一，如∠ADE=∠C 14．（3，6）．15． 2.4或1.5 秒．16．△DBA （写出一个三角形即可）．17． 3 18．2（）2014．三．解答题（共6小题）19．解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．20．解：不正确，错误的原因是由△AOD∽△BOC得出，正解是：∵△AOD∽△BOC，∴，而就不能进一步推出△AOB∽△COD了．21．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE．22．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴，∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，∴EF：FA=1：2．23．解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=；当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴=，解得t=．24．解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=；（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S=cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t=3秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t=秒．因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案
湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。
湘教版-数学-九年级上册-数学3.4相似三角形的判定与性质
3.4相似三角形的判定与性质一、选择题1.下列说法中正确的是（）A. 所有的等腰三角形都相似B. 所有的等腰三角形都相似C. 所有的矩形都相似D. 所有的等腰直角三角形都相似E. 所有的菱形都相似2.下列命题错误的是（）A. 两个全等的三角形一定相似B. 两个直角三角形一定相似C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D. 相似的两个三角形不一定全等3.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD 的是（）A. ∠B=∠ACDB. ∠ADC=∠ACBC.D. AC2=AD•AB4.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（）A. 1：3B. 1：5C. 1：6D. 1：115.如图，能使△ACD∽△BCA全等的条件是（）A. B. AC2=CD CB C. D. CD2=AD BD6.下列各组中的两个图形，不一定相似的是（）A. 有一个角是120°的两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 两个直角三角形D. 两个等腰直角三角形7.设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为（）（用含n的代数式表示，其中n为正整数）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A. =B. C. D.9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A. 2：3B. 2：5C. 4：9D. ：10.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A. =B. =C. =D.=二、填空题11.若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=________．12.如图所示，△ABC中，DE∥BC ，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为________。
湘教版九年级上册数学相似三角形的判定定理同步测试题
3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理11. 有一个含有30°的两个直角三角形,一定( )A.相似B.全等C.既全等也相D.无法确定2．如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对D．4对3. 如图,在Rt ABC∠=,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过E ∆中, C90作EF⊥AB于F,则AF=_______.4.如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有_____.5. 如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数有____.6. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于E.求证：△ABD∽△CBE．初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。
”这就是厚薄读书法。
我们在复习功课时,也可以用这种方法,具体来说分为“由薄到厚”和“由厚读薄”两个部分由薄到厚第一步要“由薄到厚”地复习课本。
这就是说,我们在复习过程中对书本中的某些原理、定律、公式,不仅应该记住它的结论,而且还应该思考一下,这个定律是怎样发现的,这个公式是怎样推导的。
在阅读过程中对书中的每个概念、原理和观点要有自己的理解,对自己不懂的地方,还要查阅参考资料,通过充实书本的有关内容,使自己获得比书本上内容更为丰富、更为深刻的认识和见解,也就是把书“越读越厚”。
由厚到薄第二步可采用“由厚读薄”的方法。
在深入理解课本内容的基础上,经过自己的思考,对书中的内容加以归纳、综合和概括,抓住书中的精要、纲领,提高记忆效率。
具体来说,可采用提纲法和图表法进行归纳。
1.提纲法。
我们在复习的时候,一定要抓住纲要。
所以,在学完一个章节后,立即进行小结,总结归纳出一个复习提纲。
湘教版九年级上册数学第三章 图形的相似 单元测试题(含答案)
湘教版九年级数学上册第三章图形的相似单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）.A. 18米B. 16米C. 20米D. 15米2.△ABC∽△A,B,C,，相似比为3：4，那么面积的比是_____。
A. 3:4B. 9:16C. 6:8D. 4:53.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形面积是（）A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm24.在上科学课时，老师让同学利用手中的放大镜对蜗牛进行观察，同学们在放大镜中看到蜗牛与实际的蜗牛属于什么变换（）。
A. 相似变换B. 平移变换C. 旋转变换D. 轴对称变换5.如图，在△ABC中，DE∥BC ，，DE=4，则BC的长是（）A. 8B. 10C. 11D. 126.若相似△ABC与△DEF的相似比为1 ：3，则△ABC与△DEF的面积比( ）A. 1 ：3B. 1 ：9C. 3 ：1D. 1 ：7.如图，在ΔABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），直线y= 与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（）A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：410.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：1二、填空题（共10题；共30分）11.已知8：x =6：9，则x的值等于________。
湘教版九年级数学上册相似三角形的判定定理同步练习题 (1)
3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第4课时相似三角形的判定定理31.（2014•张家界质检）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．2 （2014•贵阳中考）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( C )（A) P1(B) P2(C) P3(D) P43.（2014•南通一模）已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A、2cm，3cmB、4cm，5cmC、5cm，6cmD、6cm，7cm4．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似；其中真命题是（把所有真命题的序号都填上）．10.如图3，己知格点△ABC，请在图2中分别画出与△ABC相似的格点△A l B l C l 和格点△A2B2C2，并使△A l B l C l与△ABC的相似比等于2，而△A2B2C2与△ABC的相似比等于5。
(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．友情提示：请在画出的三角形的项点处标上相对应的字母！)5．如图，AE ACDE BC AD AB ==，试说明：∠BAD =∠CAE ．6．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，AD ＝9，DB ＝16，AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12．求证：△ABC 为直角三角形．图3ADECB7．已知：如图，AB ∥DE ，BC ∥EF ，AC ∥DF ，求证：△ABC ∽△DEF ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）第6题 C A D B FD E B CO A 第7题A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
2016湘教版九年级数学上3.4.1相似三角形的判定同步练习含答案解析
《3.4.1 相似三角形的判定》一、填空题1．三角形一边的和其他两边，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果两个三角形的对应边的，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的对应边的比相等，并且相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的角与另一个三角形的，那么这两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．6．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=48°，∠C=102°，∠A′=48°，∠B′=30°，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．7．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=34°，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34°，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．8．在△ABC和△DEF中，如果AB=4，BC=3，AC=6，DE=2.4，EF=1.2，FD=1.6．那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有对．10．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有对．二、选择题11．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC2=DC•BC D．AD2=BD•BC12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.813．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C．D．三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）图中有哪两个三角形相似？（2）求证：AC2=AD•AB；BC2=BD•BA；CD2=AD•BD；（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；（5）求证：AC•BC=AB•CD．15．如图所示，如果D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：（1）OD：OA=OE：OB；（2）△ODE∽△OAB；（3）△ABC∽△DEF．16．如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．求证：（1）∠EAF=∠B；（2）AF2=FE•FB．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB•CD=BE•EC．18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD•BC=OB•BD．19．已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E．求证：CB2=CF•CE．20．已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC，试求AF与FB的比．21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC 边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．《3.4.1 相似三角形的判定》参考答案与试题解析一、填空题1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形的三边对应成比例．所以所构成的三角形与原三角形相似．【解答】解：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．故答案是：平行于；直线；相交．【点评】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可求得答案．【解答】解：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．故答案为：三组，比相等．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意熟记相似三角形的判定定理是关键．3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；即可求得答案．【解答】解：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似．故答案为：两组，夹角对应．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意熟记相似三角形的判定定理是关键．4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据“两角法”来判定两个三角形相似．【解答】解：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．故答案为：两个，两个角对应相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△A′C′B′，理由是有两组角对应相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由已知条件易得∠A=∠A′，∠B=∠C′，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似．【解答】解：∵∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，∴∠A=∠A′，∠B=∠C′，∴△ABC∽△A′C′B′．故答案为△ABC∽△A′C′B′；有两组角对应相等的两个三角形相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=48°，∠C=102°，∠A′=48°，∠B′=30°，那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△A′B′C′，理由是有两组角对应相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型．【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠B=30°，于是得到∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似可证明∴△ABC∽△A′B′C′．【解答】解：∵∠A=48°，∠C=102°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=30°，而∠A′=48°，∠B′=30°，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案为△ABC∽△A′B′C′；有两组角对应相等的两个三角形相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．7．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=34°，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34°，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△A′B′C′，理由是两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型．【分析】先计算出=， =，得到=，加上∠A=∠A′=34°，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似．【解答】解：∵AC=5cm，AB=4cm，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，∴==， =，∴=，而∠A=∠A′=34°，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案为△ABC∽△A′B′C′；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．8．在△ABC和△DEF中，如果AB=4，BC=3，AC=6，DE=2.4，EF=1.2，FD=1.6．那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△DEF ，理由是三组对应边的比相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】先求出两三角形对应边的比，进而可得出结论．【解答】解：∵ ==， ==， ==，∴==，∴△ABC∽△DEF．故答案为：△ABC∽△DEF，三组对应边的比相等的两个三角形相似．【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有 6 对．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠ADB=∠AEB=∠BED=90°，∴△AEH∽△ADC∽△BDH∽△BEC，∴共有6对相似三角形．故答案为：6．【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．10．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有 6 对．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；∵AD∥BC，∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD∴图中相似三角形有6对．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．二、选择题11．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC2=DC•BC D．AD2=BD•BC【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型．【分析】已知有公共角∠C，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；②AC2=DC•BC；故选D．【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定方法的运用．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8【考点】相似三角形的性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】由△CBF∽△CDE，根据相似三角形的对应边对应成比例，可知BF：DE=BC：DC，即BF=BC：DC×DE．又四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可知BC=AD=6，DC=AD=10，易知DE=3，从而求出BF的长．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，∴CD=10，BC=6，DE=3．∵△CBF∽△CDE，∴BF：DE=BC：DC，∴BF=6÷10×3=1.8．故选D．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的性质：平行四边形的对边相等．相似三角形的对应边成比例．13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=2，BC==，∴BC：AC：AB=1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）图中有哪两个三角形相似？（2）求证：AC2=AD•AB；BC2=BD•BA；CD2=AD•BD；（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；（5）求证：AC•BC=AB•CD．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由条件可知∠A=∠DCB，∠ACD=∠B，可证得△ACD∽△ABC∽△CDB；（2）利用（1）可得到=， =， =，可证得结论；（3）代入（2）中结论可求得；（4）同（3）代入（2）可求得；（5）利用面积相等即可得出结论．【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB，∴∠ACD+∠A=∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，△ACD∽△CDB，同理可证得△CDB∽△ABC，∴相似的三角形有：△ACD和△ABC，△ACD和△CDB，△CDB和△ABC；（2）证明：∵△ACD ∽△ABC ，∴=，∴AC 2=AD •AB ，同理可得=， =，∴BC 2=BD •AB ，CD 2=AD •BD ；（3）解：∵AD=2，DB=8，∴CD 2=AD •BD=2×8=16，∴CD=4，又∵AB=AD+BD=10，∴AC 2=AD •AB=2×10=20，BC 2=BD •AB=8×10=80，∴AC=2，BC=4；（4）解：∵AC=6，DB=9，且AB=AD+BD ，∴AC 2=AD （AD+BD ），即62=AD 2+9AD ，解得AD=3或（﹣12舍去），∴CD 2=AD •BD=3×9=27，∴CD=3，∴AB=AD+BD=12，∴BC 2=BD •AB=9×12=108，∴BC=6；（5）证明：∵S △ABC =AC •BC ，且S △ABC =CD •AB ，∴AC •BC=CD •AB ．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握直角三角形中角之间的关系是解题的关键，注意方程思想的应用．15．如图所示，如果D 、E 、F 分别在OA 、OB 、OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：（1）OD ：OA=OE ：OB ；（2）△ODE ∽△OAB ；（3）△ABC ∽△DEF ．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似就可以得出结论；（2）根据OD：OA=OE：OB由∠AOB=∠AOB就可以得出△ODE∽△OAB；（3）由△ODE∽△OAB就可以得出就可以得出结论．【解答】证明：（1）∵DF∥AC，EF∥BC，∴△ODF∽△OAC，△OEF∽△OBC，∴，，∴OD：OA=OE：OB；（2）∵OD：OA=OE：OB，∠DOE=∠AOB，∴△ODE∽△OAB．（3）∵△ODE∽△OAB，∴，∴．∴△ABC∽△DEF．【点评】本题考查了平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似的判定方法的运用，相似三角形的性质的运用，相似三角形的判定的运用，解答时证明三角形相似是关键．16．如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．求证：（1）∠EAF=∠B；（2）AF2=FE•FB．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）欲证∠EAF=∠B，通过AB∥CD及已知发现它们都与∠C相等，等量转换即可；（2）欲证AF2=FE•FB，可证△AFB∽△EFA得出．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，又∵∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B；（2）在△AFB与△EFA中，∵∠EAF=∠B，∠AFB=∠EFA，∴△AFB∽△EFA，∴，即AF2=FE•FB．【点评】乘积的形式通常可以转化为比例的形式，由相似三角形的性质得出，同时考查了平行线的性质．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB•CD=BE•EC．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形；切线的性质．【专题】证明题．【分析】连结AE、ED，由平行线的性质推出∠B=∠C，由AD为直径，得出∠AED=90°，从而证得∠AEB=∠CDE=90°﹣∠DEC，根据相似三角形的判定证得△ABE∽△ECD，由相似三角形的性质即可证得结论．【解答】解：连结AE、ED，∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AD为直径，∴∠AED=90°，∠AEB=∠CDE=90°﹣∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴，∴AB•CD=BE•EC．【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，能证得∠AEB=∠CDE 是解题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD•BC=OB•BD．【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】要证AD•BC=OB•BD，即要证AD：OB=BD：BC，于是求证△ABD∽△OCB即可．【解答】证明：∵BC是⊙O的切线，AB是圆的直径，∴∠CBO=∠D=90°．∵AD∥OC，∴∠COB=∠A．∴△ABD∽△OCB．∴AD：OB=BD：BC．∴AD•BC=OB•BD．【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质求解．19．已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E．求证：CB2=CF•CE．【考点】垂径定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接BF，证所求的对应边成比例线段所在的三角形相似即可，即证△CBE∽△CFB．【解答】证明：连接FB，（1分）∵CD过圆心O，且CD⊥AB，∴=．（2分）∴∠CBE=∠F．∵∠BCE为公共角，∴△CBE∽△CFB．（4分）∴=．（5分）∴CB2=CE•CF．（6分）【点评】此题考查了垂径定理及相似三角形的判定和性质．20．已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC，试求AF与FB的比．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得到，，求得BF=4CG，AF=2CG，即可得到结论．【解答】解：过C作CG∥AB交DF于G，∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，∴，，∵BC=3CD，∴=，∴=，∴BF=4CG，∵AE=2EC，∴=，∴AF=2CG，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】首先由在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，证得△BHA∽△AHC，即可得=，又由以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，可得=，∠HBD=∠HAE，则可证得△BDH ∽△AEH．【解答】解：相似．理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠BAH+∠CAH=90°，∵AH⊥BC，∴∠AHB=∠CHA=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠BAH=∠CAH，∴△BAH∽△ACH，∴=，∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴BA=BD，AC=AE，∠ABD=∠CAE=60°，∴=，∠HBD=∠HAE，∴△BDH∽△AEH．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△BAH∽△ACH是关键．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC 边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．【考点】相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；勾股定理．【专题】代数几何综合题；数形结合．【分析】四边形PECB的周长为PE+EC+CB+BP，其中BC在直角△ABC中运用勾股定理可以求出，BP=AB ﹣AP=10﹣x，另外两条边均可根据△AEP∽△ABC，借助于比例线段，用含有x的式子表示出来．关键还需求出自变量x的取值范围，这可以令E点运行到C时，求特殊值．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=8，∴BC=6．∵EP⊥AB且∠A为公共角，∴△AEP∽△ABC，∴．∵AP=x，∴，即AE=，PE=，∴．∴．当E与C重合时，CP⊥AB，∴△APC∽△ACB，∴CA2=AP•AB，∴82=10AP，AP=．因为P与A不重合，E与C不重合，所以．即．【点评】本题实际还是考查相似三角形的判定以及一次函数在几何图形中的应用．第21页（共21页）。
湘教版数学九年级上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析
湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析一．解答题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．3．如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC 上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．4．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．5．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．6．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC= ，AB= ．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．（1）若BC=8，求FD的长；（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE．8．如图：方格纸中的每个小正方形边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．①判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；②点P1，P2，P3，D，F都是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．（写出一个即可，并在图中连接相应线段，不必说明理由）9．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．10．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD，相交于点F．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）图中共有对相似三角形（全等除外）．并请你任选其中一对加以证明．你选择的是．12．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．湖南省澧县张公庙镇中学2015-2016学年湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析参考答案与解析一．解答题（共12小题）1．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．2．（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．3．解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．4．证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．5．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE．6．解：（1）如图，由勾股定理，得AC==2．AB==2故答案是：2，2；（2）如图所示，BC==2．又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．tan∠1==．综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：如图，DE=DF==，EF==．则===2，所以△CAB∽△DEF．7．解：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴，DE∥BC．∴∠AED=∠C．∵∠F=∠C，∴∠AED=∠F，∴FD==4；（2）∵AB=AC，DE∥BC．∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE，∵∠AED=∠F，∴∠ADE=∠F，又∵∠AED=∠AED，∴△ADE∽△DFE．8．解：①△ABC和△DEF相似．理由如下：∵根据图示知：AB=2，AC=，BC=5，ED=4，DF=2，EF=2，∴===，∴△ABC∽△DEF；②△ACB∽△DP3P2．理由如下：∵由①知，△ABC∽△DEF，∴∠D=∠A．连接DP2P3，DP3=，DP2=，P2P3=．∵==，∴△ACB∽△DP3P2．9．证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AEC=∠AFB=90°．∵∠A是公共角，∴△ABF∽△ACE．∴，∴，又∠A是公共角，∴△AEF∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．11．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠ABD=∠C=60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）4对，分别是△BDF∽△BEC，△DBF∽△DAB，△AFE∽△ACD，△AFE∽△BAE，选择证明△AEF∽△BEA，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，∵BD=CE，∴AE=CD，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠DAC=∠ABE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA．12．（1）解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）△ABD∽△ACE．证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴=，∴AB×AE=AC×AD，∴=，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．初中数学试卷。
初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题-普通用卷
初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，DE//BC，ADAB =23，则S△ADES四边形DBCE的值是()A. 45B. 1 C. 23D. 492.如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角()A. 都扩大为原来的5倍B. 都扩大为原来的10倍C. 都扩大为原来的25倍D. 都与原来相等3.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为()A. √5B. √6C. √10D. 64.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为()A. 14B. 15C. 8√3D. 6√55.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：26.如图，在△ABC中，AB=AC=6，D为AC上一点，连接BD，且BD=BC=4，则DC为()A. 2B. 52C. 83D. 57.下列判断中正确的个数有()①全等三角形是相似三角形②顶角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤两个位似三角形一定是相似三角形．A. 2B. 3C. 4D. 58.如图，△ABC中，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是()A. ADDB =DEBCB. EFAD=BFBCC. EFAB=DEBCD. AEEC=BFFC9.如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若AFDF =32，则下列结论正确的是()A. AEBE =35B. EFCD=35C. EFFG=23D. EGBC=2310.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的一点，且DE//BC，若S△ADE：S△ABC=4：9，则DE：BC等于()A. 4：9B. 2：3C. 4：5D. 1：2二、填空题11.已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3.则△ABC与△DEF的面积之比为______．12.如图，已知反比例函数y=−1x的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为______．13.如图所示，n+1个边长为1的等边三角形，其中点A，C1，C2，C3，…C n在同一条直线上，若记△B1C1D1的面积为S1，△B2C2D2的面积为S2，△B3C3D3的面积为S3，…，△B n C n D n的面积为S n，则S n=______．14.如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：EF=______．15.如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM=______．三、解答题16.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=______时，CD为△ABC的完美分割线；(2)如图2，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．17.如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC(三个顶点都在方格顶点上的三角形)(1)请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似(不全等)，且相似比为有理数；(2)请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．18.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE．(1)求证：AE2=EF⋅BE；(2)若AE=2，EF=1，CF=4，求AB的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=49，∴S△ADES四边形DBCE =45，故选：A．利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.【答案】D【解析】解：∵所得的三角形与原三角形相似∴三角形的每个角都与原来相等故选：D．三角形的每条边都扩大为原来的5倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是1：5，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等．本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等．3.【答案】C【解析】【分析】由∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出AC AB =ADAC，将AB=AD+BD=5，AD=2代入即可求出AC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边的比成比例是解题的关键．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，即AC2+3=2AC，∴AC=√10或AC=−√10(舍去)．故选C．4.【答案】A【解析】解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE=∠BCH=45°，∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°∴B，C，H共线，A，C，I共线，∵DE//AI//BH，∴∠CEP=∠CHQ，∵∠ECP=∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴PCCQ =CECH=EPHQ=12，∵PQ=15，∴PC=5，CQ=10，∵EC：CH=1：2，∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ//AB，∵AC//BQ，CQ//AB，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB=CQ=10，∵AC2+BC2=AB2，∴5a2=100，∴a =2√5(负根已经舍弃)，∴AC =2√5，BC =4√5，∵12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CJ ，∴CJ =2√5×4√510=4，∵JR =AF =AB =10，∴CR =CJ +JR =14，故选：A ．如图，连接EC ，CH.设AB 交CR 于J.证明△ECP∽△HCQ ，推出PC CQ =CE CH =EP HQ =12，由PQ =15，可得PC =5，CQ =10，由EC ：CH =1：2，推出AC ：BC =1：2，设AC =a ，BC =2a ，证明四边形ABQC 是平行四边形，推出AB =CQ =10，根据AC 2+BC 2=AB 2，构建方程求出a 即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，AD =2，A′D′=3，∴AB A′B′=AD A′D′=23，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比=(23)2=49，故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 6.【答案】C【解析】解：如图，作BE⊥AC于E．∵BD=BC，BE⊥CD，∴EC=DE，设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，∴62−(6−x)2=42−x2，，解得x=43∴CD=2EC=8，3故选：C．如图，作BE⊥AC于E.设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，由此构建方程求出x即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】B【解析】解：①全等三角形是相似三角形，正确；②顶角相等的两个等腰三角形相似，正确；③所有的等腰三角形不一定相似故此选项错误；④所有的菱形都相似，错误；⑤两个位似三角形一定是相似三角形，正确．故选：B．直接利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质分别判断得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定方法以及位似图形的性质、相似多边形的判定方法，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵DE//BC，EF//AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，∴△ADE∽△EFC，DE=BF，∴AEEC =DEFC=BFFC．故选：D．由DE//BC，EF//AB可得出△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，再利用相似三角形的性质及平行四边形的性质可得出AEEC =BFFC，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，利用相似三角形的性质及平行四边形的性质找出AEEC =BFFC是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵∠EAG=∠CAB，∠AEG=∠C，∴△AEG∽△ACB，∴AEAB =EGBC=AFAD=32+3=35，∵AD平分∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠AEG=∠C，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=35．故选：B．先证明△AEG∽△ACB，利用相似比得到AEAB =EGBC=35，再证明△AEF∽△ACD，利用相似比得到EFCD =AFAD=35，从而得到正确答案．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．10.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE：S△ABC=4：9，∴DE：BC=2：3．故选：B．由DE//BC ，即可证得△ADE∽△ABC ，又由S △ADE ：S △ABC =4：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11.【答案】9【解析】解：∵△ABC 与△DEF 的相似比为3，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9．故答案为9．直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 12.【答案】y =13x【解析】解：连接CO ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∵反比例函数y =−1x 的图象与直线y =kx(k <0)相交于点A 、B ，以AB 为底作等腰三角形，使∠ACB =120°，∴CO ⊥AB ，∠CAB =30°，则∠AOD +∠COE =90°，∵∠DAO +∠AOD =90°，∴∠DAO =∠COE ，又∵∠ADO =∠CEO =90°，∴△AOD∽△OCE ，∴AD EO =OD CE =OA OC =tan60°=√3， ∴S △AODS △OCE =(√3)2=3，∵点A 是双曲线y =−1x 在第二象限分支上的一个动点，∴S △AOD =12×|xy|=12，∴S △OCE =16，即12×OE ×CE =16，∴OE×CE=13，∴这个图象所对应的函数解析式为y=13x．故答案为：y=13x．连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．13.【答案】√3n4(n+1)【解析】解：由题意可知，S1=S△B2D1C1=12S△AC1B2=12S△AC1B1，S2=S△B3D2C2=13S△AC2B3=23S△AC1B1，S3=S△B4D3C3=14S△AC3B4=34S△AC1B1，…，所以S n=nn+1S△AC1B1，∵S△AC1B1=12×1×√32=√34，∴S n=√3n4(n+1)，故答案为：√3n4(n+1)首先求出S1，S2，S3，…，探究规律后即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】12【解析】解：作EH//BC交AD于H，则△AEH∽△ABD，∴HEBD =AEAB=16，∵BD=13BC，∴CD=2BD，∴HECD =112，∵EH//BC，∴△CFD∽△EFH，∴CFEF =CDHE=12，即CF：EF=12，故答案为：12．作EH//BC，根据△AEH∽△ABD，得到HEBD =AEAB=16，证明△CFD∽△EFH，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键．15.【答案】2或252【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，BA=BC，∵PB⊥BF，∴∠PBM=90°，∵∠ABP+∠CBP=90°，∠CBP+∠CBM=90°，∴∠ABP=∠CBM，∴当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM，解得BM=2；当BABM =BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，解得BM=252，综上所述，当BM为2或252时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．故答案为2或252．先利用等角的余角相等得到∠ABP=∠CBM，利用相似三角形的判定方法得到当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM；当BABM=BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，然后分别利用比例的性质求BM的长．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．16.【答案】40°【解析】解：(1)当∠BCD=40°时，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；故答案为：40°；(2)①∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，∵AC=AD=2，BC=√2，设BD=x，则AB=2+x，∴√2x+2=x√2，解得x=−1±√3，∵x>0，∴BD=x=−1+√3，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC =BDBC，∵AC=2，BC=√2，BD=−1+√3∴CD=2×√3−1√2=√6−√2，如图3，②∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =ADAC，∴2AD+√2=AD2，∴AD=√2，∴AB=2√2，∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =CDBC，∴22√2=CD√2，∴CD=1，如图4，③∵△CDB∽△ACB，∴CDAC =BCAB，∴CD2=√2AD+DB=DB√2，即CD2=√2CD+DB=√2，CD=√2DB，CD2+DB⋅CD=2√2，CD⋅BD+DB2=2，∴CD2−DB2=2√2−2，∴DB=√2√2−2，∴CD=2√√2−1；如图5，④∵△ACD∽△ABC，∴ADAC =CDBC=ACAB，∴AD2=√2=ACAB，∴CD=√2，同理解得：CD=√4−2√2，如图6，⑤△ADC∽△ACB，CD=BC=√2综上所述，CD的长为√6−√2或1或√2或√4−2√2或2√√2−1．(1)根据已知条件得到△ABC不是等腰三角形，求得∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，得到∠ACD=∠A=40°，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图2所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为2；(2)如图3所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为√5．【解析】(1)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；(2)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．此题主要考查了相似变换，正确应用网格分析是解题关键．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ABE，∴∠DAC=∠ABE，∵∠EAF=∠EBA，∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB=EF：EA，∴AE2=EF⋅BE；(2)∵AE2=EF⋅BE，∴BE=221=4，∴BF=BE−EF=4−1=3，∵AE//BC，∴AFFC =EFBF，即AF4=13，解得AF=43，∵△EAF∽△EBA，∴AFAB =EFAE，即43AB=12，∴AB=83．【解析】(1)利用平行四边形的性质得到AD//BC，则∠DAC=∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；(2)先利用AE2=EF⋅BE计算出BE=4，则BF=3，再由AE//BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF=43，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．。
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初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定
与性质同步练习(无答案)
一、选择题
1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影
部分)与△ABC相似的是()
A. B.
C. D.
2.下列两个三角形不相似的是()
A. 一个三角形的两个角分别是40°、80°；另一个三角形的两上角分别是60°、80°
B. 一个三角形的三边长分别是4cm、6cm、8cm；另一个三角形的三边长分别是12cm、
18cm、21cm
C. 一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分
别是3cm和7.5cm，夹角是40°
D. 各有一个角是120°的两个等腰三角形
3.已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=
∠ADE=90°，如图所示放置，边AE，AD与BC于点M，
N.则图中一定相似的三角形有()对．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是()
A. ∠ABD=∠ACB
B. ∠ADB=
∠ABC
C. AB2=AD⋅AC
D. AD
AC =DB
BC
5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在
下列五个条件中：①∠AED=∠B；②DE//BC；③AD
AC =AE
AB
；
④AD⋅BC=DE⋅AC；⑤∠ADE=∠C，能满足△ADE∽△
ACB的条件有()
A. 1个
B. 2
C. 3个
D. 4个
6.在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE//BC，若AD：
DB=1：1，则S△ADE：S四边形DBCE的值为()
A. 1：1
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4
7.如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，
则图中相似三角形的对数是()
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对
8.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，
AB=7，AD=3，BC=4.点P为AB边上一动点，若
△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个
数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
9.如图所示，在△ABC中，D为线段AB的中点，AE=3EC，
延长DE交BC的延长线于F，则BC
CF
为()
A. 2：1
B. 3：1
C. 3：2
D. 4：3
10.两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是()
A. √2：√3
B. 2：3
C. 4：9
D. 8：27
二、填空题
11.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，
则AD：DB的值为______．
12.如图所示，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，
若AE=3，EC=1，且知DE=7
2
，则BC=______
13.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC的重心，
如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______．
14.如图，在▱ABCD中，E在AD上，AE
ED =2
1
，CE交BD于F，
则S△BCF：S△DCF=______．
三、解答题
15.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为
线段CE上一点，且∠DFE=∠A．
(1)求证：△DFC∽△CBE；
(2)若AD=4，CD=6，DE=3，求DF的长．
16.如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=2√5，
BD=√5，射线AE与直线CD交于点P．
(1)求证：△ABE∽△CBD；
(2)若AB//ED，求tan∠PAC的值；
(3)若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．
17.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一
个动点(不与B、C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．。